Lenturan Present

LENTURAN Pembebanan lentur murni yaitu pembebanan lentur, baik akibat gaya lintang maupun momen bengkok yang tidak terkombinasi dengan gaya normal maupun momen puntir, ditunjukkan pada Gambar 2.1. Gambar 2.1(a) disebut balok kantilever sedangkan jenis yang lain adalah balok-balok dengan penumpuan elastis sederhana, Gambar 2.1(b). Gaya dalam yang bekerja pada balok-balok tersebut mungkin akan berupa tegangan normal dan atau tegangan geser. Bebannya tidak hanya terbatas pada kopel seperti pada gambar, mungkin juga gaya lintang.

Gambar 2.1. Pembebanan Lentur

Pendekatan yang dilakukan untuk pemecahan masalah ini digunakan teori balok menurut makanika klasik. Cara ini dikenal dengan pemecahan pendekatan karena persoalannya dideskripsikan secara pasti namun kemudian digunakan asumsi-asumsi. Pendekatan lain adalah penyelesaian menurut teori elastisitas yang dikenal dengan penyelesaian eksak, karena pada pendekatan ini persoalannya disederhanakan namun tidak dilakukan asumsi-asumsi. Untuk kepentingan praktis penyelesaian pendekatan cukup akurat apabila balok tersebut cukup panjang, lh, dan relatif jauh, lebih dari h, dari titik tumpuan atau titik beban terpusat. Untuk balok-balok yang pendek dan di sekitar titik tumpuan dan titik beban terpusat, penyelesaian eksak akan memberikan hasil yang lebih akurat. Hal ini sesuai dengan prinsip Saint Venant, yang pertama kali dikemukakan oleh seorang insinyur Perancis, Barre de Saint Venant, pada tahun 1855.

Gambar 2.2(a) di bawah menunjukkan sebuah balok sebelum mendapatkan pembebanan. Gambar 2.2(b) setelah mengalami perubahan bentuk. Diambil elemen CD sembarang dari balok AB, lalu diperbesar seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(c).

Gambar 2.2. Pembebanan Lentur

2.1. Momen Lentur dan Distribusi Tegangan Normal

Terlihat bahwa sepanjang bagian 12DC mengalami perpendekan sehingga titik yang tadinya di 1 berpindah ke 1’, sedangkan sepanjang bagian CD34 mengalami perpanjangan yang ditandai dengan berpindahnya titik 4 ke 4’. Dengan demikian dapat diketahui bahwa serat-serat sepanjang bagian 12DC mengalami pembebanan tekan, sedangkan sepanjang bagian DC34 mengalami pembebanan tarik. Sumbu netral terletak sepanjang titik berat penampang lintang sepanjang batang.Untuk elemen CD yang sangat pendek, maka dapat dipandang sebagai busur lingkaran sebesar radial dengan jari-jari r, sehingga:

CDr

C Dr y

C DCD

yr

C DCD

yr

' ' ' ' ' '1 1

atauC D CD

CDpanjang setelah pembebanan panjang semula

panjang semulayr

' '

Sehingga

(2.1)xxyr

Dengan perkataan lain, besar regangan pada suatu serat berbanding lurus dengan jarak serat tersebut dari sumbu netral.Selanjutnya, menurut hukum Hooke, besarnya regangan satu dimensi adalah

Sehingga

(2.2)dengan: xx = tegangan yang terjadi (N/mm2, MPa)

E = modulus Young, modulus elastisit (N/mm2, MPa)y = jarak serat dari sumbu netral (mm)r = jari-jari lengkungan (mm)

xxxx

Eyr

xx Eyr

Karena untuk suatu bengkokan tertentu pada bahan tertentu, E dan r adalah konstan, maka jelaslah bahwa tegangan pada suatu serat tertentu merupakan fungsi linier jarak serat tersebut terhadap sumbu netral. Distribusi tegangan normal sepanjang sumbu y ditunjukkan pada Gambar 2.2(d).

Sehingga(2.4)

Karena  y2 . dA = I (2.5)

maka(2.6)

Sebagian penampang lintang balok diambil elemen sembarang dA yang berjarak y dari sumbu netral, Gambar 2.2(e). Besar elemen gaya yang bekerja pada luasan tersebut adalah

dF = xx . dA (2.3)Karena jaraknya terhadap sumbu netral, maka elemen gaya tersebut menimbulkan elemen momen terhadap sumbu netral sebesar d M y dF y dA y E

yr

dAb x

. . .

bMEr

y dA 2.

bMEIr

dengan: Mb = momen bengkok (N.mm)I = momen lembam linier atau inersia linier (mm4)r = jari-jari bengkokan (mm)

Dari persamaan (2.6) didapat , yang kemudian dimasukkan ke

persamaan (2.2) sehingga didapat

(2.7)

rEIMb

xxbM yI

.

2.2. Momen Lentur dan Distribusi Tegangan Geser

Gambar 2.3. Elemen Balok yang Mengalami Lenturan

Gaya normal yang bekerja pada elemen yang diarsir pada sisi kiri adalah 

(2.8a)dA

Iy

dA MF b

xxn .

.1

Sedangkan gaya normal pada sisi kanan elemen untuk luasan dan posisi yang sama akan diperoleh

(2.8b) Sedangkan gaya geser pada bidang horisontal yang menyebabkan keseimbangan pada elemen-elemennya adalah  Ft b dx (2.8c)Jumlah gaya yang bekerja pada arah mendatar sama dengan nol, sehingga

dA

.dA.dA.σdσF xxxxn2

IydMM bb

xx

h

b b bFM y

IdA M d M y

IdA b dx

0 0

. .. .

. ..

.. .

b dxd M y

IdA

I bd M

dxydA

b

b

1

bv

dMdx

F

y dA Q

.

(2.9)(2.10)(2.11)

Dengan substitusi persamaan-persamaan (2.8) dan (2.9) pada persamaan (2.8) akan didapat besarnya tegangan geser pada serat C’D’ dalam paskal (Pa) 

(2.12) dengan:

Fv = jumlah gaya-gaya vertikal yang bekerja pada elemen dx (N)

Q = inersia bidang di luar serat dari arah sumbu netral terhadap sumbu netral (mm3)

I = inersia penampang lintang balok (mm4)b = tebal balok (mm)

Untuk penampang lintang berbentuk segi empat dengan tebal b (mm) dan tinggi h (mm) besar Q adalah

xyvF QI b

.

.

Dengan substitusi persamaan (2.12) pada persamaan (2.11) akan didapat besar tegangan geser dalam paskal (Pa) yang bekerja bidang C’D’D”C” yang berjarak y1 dari sumbu netral, adalah

(2.14)

denganFv = jumlah gaya-gaya vertikal yang bekerja pada elemen dx (N)h = tinggi penampang lintang balok (mm)y1 = jarak serat dari sumbu netral (mm)I = inersia penampang lintang (mm4)

(2.13)

228

4

8

4

8

42

1

2

1

2

1

2

2/

2/22/

2/

2bbzdzQ

yhyhyhb

bb

b

dzdzdyyy

dzdyydAyQb

by

hb

b

h

y

b

b

h

y

2/

2/

2/2

2/

2/

2/2/

2/

2/

11

1

21.).(.

8

42

1

2 bQ

yh

xy

vF h y

I

.

.

2 214

8

Perhatikan persamaan tersebut di atas. Untuk suatu penampang lintang tertentu pada panjang balok, besarnya gaya-gaya vertikal yang bekerja padanya adalah konstan. Dengan demikian, distribusi tegangan geser pada serat tertentu pada penampang lintang sepanjang sumbu vertikalnya, sumbu y, merupakan fungsi parabolik jarak serat tersebut terhadap sumbu netral yang dinyatakan oleh y1 2.

Sedangkan besarnya tegangan geser maksimum terjadi pada harga y1 = 0 , yaitu

Sedangkan tegangan geser minimum terjadi bila y1 = h/2 , yaitu

2.3. Persoalan-persoalan KhususKekhususan dalam hal ini adalah konstruksi titik tumpuan dan jenis beban.Balok kantilever seperti Gambar 2.1a dan balok di atas dua tumpuan elastissederhana seperti Gambar 2.1b merupakan persoalan yang sering dijumpai.Sedangkan beban dapat berupa beban terpusat atau beban titik, beban merata baikyang konstan maupun yang variabel, dan momen bengkok.

a. Balok Kantilever Gambar 2.4 di bawah menunjukkan sebuah balok kantilever dengan berbagai macam beban.

Gambar 2.4. Balok Kantilever dengan Berbagai Macam Beban

Gaya-gaya F2 dan F3 disamping memberikan beban normal secara langsung, juga menimbulkan kopel sebesar F2 r2 + F3 r3 yang akan membengkokkan balok AB. Dengan adanya beberapa beban tersebut, maka besarnya momen lentur pada sepanjang balok AB dapat dibagi menjadi lima daerah, yakni daerah AC, CD, DE, EF dan FB.

0 1

1 1

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3 4

12

12

2

12

2

1212

x a M F x

a x b M F x q x a x a F x q x a

b x c M F x q x a F r F r

c x d M F x q c a x a c a F r F r

d x l M F x q c a x a c a F r F r F x d

x

x

x

x

x

.

. ( ){ ( )} .

.

. ( ){( ) ( )}

. ( ){( ) ( )} ( )

(2.16a)

(2.16b)

(2.16c)

(2.16d)

(2.16.e)

Turunan pertama persamaan-persamaan (2.15a) sampai dengan (2.15e) di atas berturut-turut adalah

Selanjutnya perhatikan persamaan (2.7) dan (2.13). Ternyata bahwa distrubusi tegangan normal menurut persamaan (2.7) dipengaruhi oleh torsi akibat beban F2 dan F3. Sedangkan distribusi tegangan geser menurut persamaan (2.13) tidak tergantung pada adanya kopel akibat gaya F2 dan F3 tersebut.

0 1

1

1

1

1 4

x a dMdx

F

a x b dMdx

F q x a

b x c dMdx

F q x a

c x d dMdx

F q c a

d x l dMdx

F q c a F

x

x

x

x

x

( )

( )

( )

( )

(2.17a)

(2.17b)

(2.17c)

(2.17d)

(2.17.e)

Dengan memendang reaksi titik tumpuan sebagai gaya aksi dan bagian tengah balok dengan sudut lenturan sama dengan nol sebagai tumpuan jepit, bagian balok yang akan dicari distribusi gaya normal dan gaya gesernya dari balok di atas dua tumpuan elastis sederhana dapat diperlakukan sebagai balok kantilever, karena perilakunya yang sama dalam pembebanan. Jadi perhitungan momen adalah sama dengan yang telah dilakukan terhadap balok kantilever di atas.

2.4. Pembebanan Kombinasi Normal dan Lentur

Dalam hal ini suatu batang dismaping menderita beban tarik atau tekan langsung, juga menderita beban lentur.Pada Gambar 2.5a ditunjukkan bahwa batang ABCD mendapat beban F1 dan F2 yang tidak sama besarnya pada arah sumbu x. Gaya-gaya F1 dan F2 disebut gaya normal. Penampang lintang batang ABCD ditunjukkan pada Gambar 2.5b.

b. Balok Di atas Dua Tumpuan Elastis Sederhana

Gambar 2.5. Pembebanan KombinasiAkibat selisih besar F1 dan F2 maka batang ABCD akan menderita tegangan normal langsung yang besarnya

(2.17)

 dengan: xx-1 = tegangan normal langsung (MPa)Fx = jumlah gaya-gaya horisontal, searah sumbu x

(N)A = luas penampang lintang balok (mm2)

xxvF

A 1

Grafik distribusi tegangan normal Gambar 2.5c menunjukkan distribusi tegangan normal langsung pada setiap serat pada penampang lintangnya.Karena gaya-gaya F1 dan F2 bekerja berlawanan arah dan adanya jarak terhadap sumbu netral, maka akan timbul kopel sebesar Mb = Mx = F1 . a + F2 . b(2.18)Akibat momen lentur tersebut, serat pada sisi AB akan menerima tarikan, sedangkan pada sisi CD akan menrima tekanan atau desakan. Menurut persamaan (2.7) besarnya beban pada serat AB dan CD berturut-turut adalah 

xx ABb

xx CDb

M yI

M yI

.

.

1

2

(2.19a)

(2.19b)

Distribusi tegangan yang diberikan oleh persamaan-persamaan (2.19a) dan (2.19b) digambarkan dalam grafik pada Gambar 2.5d.Untuk menghitung tegangan total yang terjadi pada setiap serat pada suatu penampang lintangnya dapat dilakukan dengan menjumlahkan grafik tegangan Gambar 2.5c dan Gambar 2.5d. Hasil ini ditunjukkan pada Gambar 2.5e.Dalam perencanaan suatu konstruksi, diambil tegangan total maksimum terbesar yang terjadi antara serat-serat terluarnya.

Contoh Soal: Sebuah kuda-kuda rumah dibuat dengan rangka kaku bentuk simetri. Panjang bentangannya 5,6 m dan tingginya 2,1 m. Gaya bekerja pada bubungan atap sebesar 1 kN. Penampang lintang berbentuk empat persegi panjang dengan tebal 8 cm dan tinggi 12 cm. Hitunglah tegangan maksimum yang terjadi.

Penyelesaian: F = 1 kN = 1000 N smax = ?Konstruksi simetri, sehingga RA = RB = R/2 = 500 N.Dengan dalil Phytagoras, didapat panjang AC = 3,5 m. RAh = RA cos a = 500 (2,1/3,5) = 300 N.Mb maksimum terjadi di C yang besarnya Mb = RA . 2,8 = 1400 N.m =

140000 N.cm.Akibat beban normal, terjadi tegangan normal langsung sebesarsxx-1 = RAh / A = 300 / (12 . 8) = 3,125 N / cm2

Akibat lenturan, terjadi tegangan normal tak langsung sebesarxx-2 = Mb.y / I dengan y = h / 2 = 6 cm.

I = (1 / 12) b h3 = (1 / 12) . 8 . 123 = 1152 cm4.sehinggaxx-2 = 140000 . 6 / 1152 = 729 N/cm2.Dengan demikian, tegangan maksimum berupa tegangan desak

pada serat bagian atas yang besarnyaxx-max = xx-1 + xx-2 = 732,125 N/cm2.

2.5. Pusat Geser  Pusat geser, S pada Gambar 2.6 pada halaman depan, adalah titik yang dilewati garis kerja resultan gaya-gaya geser dalam. Agat tidak terjadi puntiran maka resultan gaya-gaya luar juga juga harus dilewatkan titik tersebut.Untuk baja profil pada umumnya b dan h jauh lebih besar dari t1 maupun t2 sehingga distribusi tegangan geser pada bagian hirosontal (flange) dan pada bagian vertikal (web) dari penampang lintangnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6(b). Pada bagian horisontal, tegangan geser maksimumnya akan terjadi pada pertemuannya dengan bagian vertikal, yang besarnya adalah  1 F b h

I. . (2.20a)

Gambar 2.7. Lenturan Murni Pada Profil Kanaldengan1 = tegangan geser maksimum pada penampang bagian horisontal (MPa)

Fv = jumlah gaya-gaya vertikal yang bekerja pada penampang tersebut (mm2)

b = lebar penampang lintang (mm)h = setengah tinggi penampang lintang (mm)I = inersia penampang lintang (mm4)

Tegangan tersebut akan memberikan total gaya dalam pada bagian horisontal bagian atas F1 seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6(c), yang besarnya 

(2.20b) dengan t1 adalah tebal penampang lintang bagian horisontal (mm).Dalam keadaan seimbang, jumlah gaya-gaya horisontal harus sama dengan nol, maka pada bagian horisontal bawah akan timbul gaya horisontal F3 yang sama besar dengan F1 namun dengan arah yang berlawanan, sehingga secara matematisF1 = -F3 (2.20c)Pada ujung-ujung bagian vertikal akan dibangkitkan tegangan geser sebesar

 (2.21a)

1 1 1

211

2 2F b t

F b h tI

. .. . .

.

21

2 F b h t

I t. . ..

dengan t2 adalah tebal penampang lintang bagian vertikal (mm). Tegangan tersebut sepanjang sumbu y berdistribusi secara parabolik sepert ditunjukkan pada Gambar 2.6(b). Total gaya akibat tegangan tersebut pada luasan penampang lintang bagian vertikalnya adalah F2 seperti pada Gambar 2.6(c) yang besarnya dapat dicari dengan prinsip keseimbangan gaya-gaya vertikal

(2.21b)Keseimbangan rotasi mensyaratkan 

(2.22) Substitusi persamaan (2.20b) pada persamaan (2.22) akan didapat

(2.23)

vF F F 0 2

AM F e F h

atau e F hF

0 2 02

1

1

. ..

e b h tI

2 2

1

Sedangkan besarnya , namun karena t1

I t h b t b t h 112

1122

3 31 1

22 2 2. . . .

jauh lebih kecil dari b maupun h maka harga sangat kecil dan dapat diabaikan terhadap harga I secara keseluruhan, sehingga 

(2.24)  Substitusi persamaan (2.24) pada persamaan (2.23) akan diperoleh

(2.25)

112

31b t

I t h b t h 23 2

31

22. . .

e b h th t b t

23

2 21

2 13. .

2.6. Arus Geser Arus geser pada lenturan dapat didefinisikan sebagai hasil perkalian antara tegangan geser, , dengan tebal dinding pada balok berpenampang ‘profil’, t, yang mendapatkan pembebanan lentur. Jadi, besarnya arus geser dalam N/mm pada prifil adalah adalah  q = . t (2.26) dengan adalah tegangan geser (Pa, N/mm2)

t adalah tebal dinding (m, mm).

Gambar 2.8. Arus Geser Besarnya arus geser dapat dicari dengan penerapan prinsip keseimbangan gaya-gaya pada arah horisontal pada Gambar 2.8b. Fh = 0 – H – F + H’ = 0atau

F = H’ - H (2.27)F = q dx (2.28a)

(2.28b) 

(2.28c)

H dA M yI

dAxxb ..

.

H d dA M d M yI

dAxx xxb b

..

.

Dengan substitusi persamaan-persamaan (2.28a), (2.28b) dan (2.28c) pada persamaan (2.27) akan diperoleh 

atau  (2.29) dengan adalah jumlah gaya-gaya vertikal

pada penampang tersebut (N)

y . dA = Q adalah momen bidang di luar serat itu terhadap sumbu netral (m3) Dengan demikian, besarnya arus geser di titik A adalah 

(2.30)

q dx M d M MI

y dAI

dM ydAb b bb. . . .

1

qI

dMdx

y dAb 1

.

bv

dMdx

F

q t F QI

v ..

Gambar 2.9. Distribusi Arus Geser pada Berbagai Bentuk Penampang

Contoh Soal: Balok pipa berpenampang segi empat dengan ukuran seperti pada Gambar 2.10(a) menerima beban geser sebesar 10 kN. Tentukan distribusi arus geser pada penampang tersebut !

Gambar 2.10. Profil Pipa Segi Empat dengan Beban Lentur(Ukuran dalam milimeter) 

Penyelesaian:Karena terdapat dua sumbu simetri, maka sumbu netral akan

melewati perpotongan kedua sumbu simetri tersebut. Jadi hanya arus geser di titik- titik B, C dan D saja yang perlu dicari, sedangkan distribusinya linier pada bagian horisontal dan parabolik pada bagian yang vertikal.

I = (1/12)(60.803 - 40.603) = 1 840 000 mm4

Di titik B:

AB = 0 sehingga

Di titik C:QC = y AC = 35 (50 x 10) = 17 500 mm3

(N/mm)

Di titik D:QD = S ( y AD ) = 20 (40 x 10) + 35 (40 x 10) + 20 (40 x 10) = 30

000 (mm3)

(N/mm)

BBv BQ q F QI

0

Cv Bq F QI

x

10 000 175001840000

99 11.

,

Dv Dq F QI

x

10 000 300001840000

163.