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Clase: Economa para Ingenieros.
Docente: Diego Navarro Castao.
Curso: Especializacin en Vas y Transporte.
Video N 548 - 52:26'
MATEMATICAS FINANCIERA
Una serie de herramientas matematicas sencillas que me permiten anlizar cuantitativamente
la factibilidad economica y financiera de lo que es un proyecto de inversin.
Ej: es la construccin de una va, la construccin de un edificio, cualquier tipo de negocio que pensemos.
En la deficin se han introducido dos conceptos que se deben aclarar:
1. Qu es factibilidad econmica y financiera.
2. Qu es un proyecto de inversin.
La factibilidad economica y financiera: Un proyecto tiene dos lados uno econmico y uno financiero, osea.
Entonces las deficiniones que se han dado es que la Ingenieria Econmica es
una serie de herramientas que permiten analizar cuantitativamente la factibi
lidad econmica y financiera de un proyecto.
El segundo concepto es qu es un proyecto de inversin y lo vamos a representar a travs de una lnea horizontal de tiempo y lo vamos
a llamar flujo de caja.
Siempre el da de hoy se indica como cero (0), los desembolsos va hacia abajo.
0
0
Inversin del
proyecto
Financiacin del proyecto
Ejemplo:Montaje de una fabriica de arepas, entonces se habla de la factibilidad econmica y se plantea si el proyecto es bueno o malo independientemente quien sea el dueo del proyecto.
Con recursos de quien? del Banco? y a qu tasa o por UPAC. Cuando hablamos de factibilidad financiera tiene que ver con la inversin.
Proyecto de inversin se representa con una lnea horizontal de tiempo.
Se llama diagrama de flujo de caja.
El da de hoy se van a colocar siempre como cero (0)
Los desembolsos se colocan siempre hacia abajo y van a ser negarivos.
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Cundo se este trabajando en el portatil se vera que todos los egresos entran negativos lo qe quiere decir que son salida de dinero.
Entonces un proyecto de inversin es generar una inversin ahora con el objeto de generar unos flujos de caja, as.
0
Lo s flujos de caja le llamaremos "T" de tarifa, por ejemplo T del sistema de Te.
Para generar esa T, adems de la inversin se genera periodicamente desembolsos y se van a llamar gastos de operacin del sistema.
T T
0
Entonces en el sistema se tiene tres elementos: 1. La inversin (en equipos, en capital de trabajo).
2. Desembolsos (Gastos de operacin.)
3. Flujos de caja (lo hemos llamado T).
Entonces un proyecto de inversin se va a representar graficamente de la siguiente manera.
T T
0
Entonces se van a desarrollar herramientas matemticas que permitan determinar criterios y si equis negocio es bueno o malo y debe
cumplir con tres condiciones.
1. Debo recuperar la inversin.
2. Recuperar el gasto de operacin.
3. Obtener un rentabilidad deseada la cual se asocia al costo de capital promedio ponderado del proyecto (CCPPP) tambin se llama
en terminos financieros el WACC, tambin se llama la Tasa de Descuento.
Recuperar la Inversin.
Recuperar el gasto de operacin.
T Obtener rentabilidad deseada. ..10:55'
12:14'.
Vamos a hablar de T y se llevar al nivel ms elemental y se llama "Rentabilidad del Sistema", son los flujos de caja, son los ingresos del
sistema. Ese T puede ser cuando se lleva el dinero al banco, seria el interes que paga el banco, son ingresos, van en la parte positiva del
diagrama de flujo.
Ejemplo de la casa que puede valer 100' de pesos y verifico si es bueno o mal negocio y quien me puede facilitar los recursos. Si el el ban
co he de verificar s a una tasa variable o a una tasa de UVR lo que antes se le conocidad como unidades UPAC.
El costo de oportuidad es el nmero de unidades que se acrifica en X por hacer la operacin Y. ..16:02'.. ..16:50'.
.19:21'.
Ese T, que son los ingresos del sistema, cualquier sistema, una carretera, lo que se quiera, es utilidad o ganancia en el sistema finan
ciero se llama inters, redito.
Yo le presto al banco 100000 y el
P= preste al banco. me devuelve al 2%
i = 2% lo que reconoce el banco.
$2.000 $2.000 $2.000 $2.000
$100.000
cero (0) hacia abajo y van a ser negarivos.
Flujos de caja.
Desembolsos y se van a llamar gastos de operacin del sistema.
Flujos de caja.
Ingresos, son positivos.
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0 2% 2% 2% 2% Funcin lineal.
mes 1 mes 2 mes 3. Se habla en terminos nominales.
Tasa nominal mes vencida.
Cuando se reinvierte se genera
Ahora lo reinvierto y vea lo que sucede. una funcin exponenecial.
Estamos hablando en terminos
N = 1 mes Efectivo.
P= Valor presente.
i = 2%
0 2% 2% 2%
Periodo 1 Periodo 2 periodo 3
Intereses en 3 periodo
1 mes
Para reinvertir durante un ao se tiene que hacer todo el proceso por lo que se hace necesario disear una frmula para simplificar el
proceso.
Pregunta de control. En ingenieria econmica EQUIVALENCIA, supone reinversin.
Ejemplo: 2% c/mes es equivalente a 6,1208 trimestralmente. Si se me paga trimestralmente. ..30:32'.
Los bancos en teoria estan diseados para que uno crezca, pero hay que evaluar si me sirve o no una transacin. A veces endeudarse
con el banco es bueno. Los bancos estan diseados para ganar dinero pero uno debe pegarsele al banco cuando tambin se gana
dineros a veces la gente sale tumbada pero no ha hecho calculos.
..35:55'.. Si se fuese a pagar arrendamiento de $500.000,00 mensuales, se pagaria anticipado o vencido?
Si los voy a cobrar mejor es anticipado y si voy a pagar mejor es vencido, porque puedo manejar el dinero y reinvertirlo.
Se tiene que ser experto para cobrar y malo par pagar. Tengo que ser experto recaudando y debo demorar los pagos debidmente negocia
dos. Dilato los pagos porque en mis manos tengo la capacidad de rentabilizar el dinero.
Ejemplo:
0 2% 0 2%
Anticipado pago al final del mes.
quinientos vencidos.
Mejor pagar $508.000 al final, porque si en un negocio me gano al % $510.000, entonces con el pago del arriendo al final del mes me
gano $2.000 pesos a un mes.
No se puede comparar dineros que esten en diferente fecha, eso se llama fecha focal. Si traigo los $508.000 genero un valor
presente neto.
Recordemos que equivalencia es sinnimo de reinversin.
Ahora vamos a llamar valor presente a P, que en la hoja de clculo se llama VA (Valor actual) y es la cantidad de dinero que se invierte
ahora, en el tiempo cero.
P = Valor presente.
Tasa de interes periodica i = 2% mensual
Tiempo que dura la transacin u operacin N = ? N de periodos.
i y N deben estar referidos a la misma peridiocidad, osea que si i es mensual N debe ser mensual y si i es trimestral N debe ser
trimestral.
N en la calculadora financiera se llama Nper.
F, es el valor futuro, es la cantidad de dinero que dispongo al final de la operacin.
$6.120,80
$10.000,00
$500.000 $508.000
$100.000
$106.120,80
$2.000,00 $2.040,00 $2.080,80
$100.000
$100.000 $102.000,00 $104.040,00 $106.120,80
$100.000
El banco al final de los tres periodos me devuelve ese valor.
-
P*i P*i*(1+i) F = P*(1+i)N
0 % %
P*i + P P*i*(1+i) + P*(1+i)
P P(1+i) P*(1+i)2
F = P*(1+i)N, esta es la formula fundamental y demuestra la equivalencia entre P y F y hay equivalencia porque ha habido REINVERSION y
se llama ESQUEMA DE PAGOS UNICOS.
Hay tambin esquemas de series uniformes, esquemas de series gradientes, esquema de series infinitas, con esto se puede establecer
fondos de pensiones, bono pensional, se puede hacer bellezas. ..51:40'..
Primer caso de esquema de pagos unicos. Es posible que se tenga conocimiento de qu es la tasa interna de retorno (TIR).
Video N 549 - 31:08'
Esquemas de pagos nicos, entonces:
N
Dados los valores de P, i, N.. Hallar F? F = P * ( 1 + i )
(1+i)N : Es un factor que convierte un pago nico de valor presente P que esta en cero en un pago nico futuro de valor F que esta enN y el cual es equivalente.
(1+i)N : (F/P, i, N); quiere decir que dado P hallar F con datos de i% y N.
F
N = 3 mes Suma de intereses:
P= Valor presente.
i = 2% cada mes
0 2% 2% 2%
N mes 1 mes 2 mes 3
F = P * ( 1 + i )
3
F = * ( 1 + 2% )
F = puedo decir que $100.000,00 ahora equivale a $106.120,80 en 3 meses.
Segundo caso de esquema de pagos nicos. Dados F, i, N,Hallar P? El factor que convierte un pago nico de valor F que
esta en N en un pago nico presente P que esta en
(-N) cero y el cual es equivalente.
P = F ; P = F * ( 1 + i )
N
( 1 + i )
(1+i)N : (P/F, i, N); quiere decir que dado F hallar P con datos de i% y N.
Una aplicacin de este caso es un factori venta de cartera, por ejemplo: Un contratista compra materiales a una ferreteria y paga con
una factura y el dueo de la ferreteria ante la necesidad de dinero, al cabo de un tiempo le vende la fatura al banco y ste se la compra
obteniendo una ganacia.
Entonces.
N = 3 mes
F= Valor futuro.
i = cada mes
0
P
(-N) mes 1 mes 2 mes 3
$10.000.000,00
$10.000.000
1,5%
1,5% 1,5% 1,5%
$100.000 $102.000,00 $104.040,00 $106.120,80
$100.000
$106.120,80
$106.120,80
$2.000,00 $2.040,00 $2.080,80 $6.120,80
$100.000
c
c
-
P = F * ( 1 + i )
-3
P = * ( 1 + )
P = puedo decir que $9.563.169,94 ahora equivale a $10.000.000,00 en 3 meses.
El banco se esta ganado cada mes el 1,5% y los va acumulando.
N
.17:05'. Tercer caso de esquema de pagos nico. Dado P, F, i Hallar N? F = P * ( 1 + i ) despejamos N.
N = log (F/P)
Ej: supongamos que se puede invertir a una tasa de 1,5% c/mes y se quere invertir un dinero que se duplique, cuantos log (1+i)
meses habra que esperar para que ese dinero se duplique si existe una entidad financiera que da 1,2% cada mes.
F= N = log 2 N = meses , aprox. aos
i = log ( 1 + )
.21:30'. Cuarto caso de esquema de pagos nico. Dado P, F, N,.. Hallar i?
N 1/N
F = P * ( 1 + i ) despejamos i. i = ( F ) - 1 .22:58'.
P
.25:15' Ejercicio: Una franja de tierra costo el m2 $50.000 hace 15 aos y hoy cuesta $200.000.
Pregunta 1. Qu tasa mensual se gana?
2. Tasa trimestral? Rta: 1. Mensual N varia. N = 15 aos * 12 meses
3. Tasa semestral? 1 ao
4. Tasa anual? N = meses
1/N i = ( ) - 1 i =
Datos: P = Frmula: i = ( F ) - 1
F = P
N = 15 aos
Rta: 2. Trimestral N varia. N = 15 aos * 4 trimestres i = ( ) - 1 i =
1 ao
N = 60 trimestres
Rta 3. Semestral N varia. N = 15 aos * 2 semestres i = ( ) - 1 i =
1 ao
N = 30 semestres
Rta 4. Anual N varia. N = 15 aos * 1 ao i = ( ) - 1 i =
1 ao
Todas son tasas equivalentes.
Video N 550 - 32:56'
Qu es apalancar un proyecto financieramente? Es financiar un proyecto con dineros por debajo de la rentabilidad proyectada.
Hago una inversin de $100.000.000,00 y estimo que me hago el 10% y yo quiero ganar ms, entonces voy al banco y me presta al 7,5%
$50.000.000,00, entonces de 10% le pago al banco el 7,5% de $50.000.000,00, osea,
* = entonces quedan de recursos propios:
+ =
Apalancar es cuando se invierte con recursos del banco por debajo de la inversin proyectada.
Fases de un proyecto de Inversin: 1. Entusiasmo. Uno siempre tiene que saber por donde esta la puerta de
2. Desilucin. emergencia.
3. Buscar culpables.
4. Felicitar a los que no se metieron.
Los riesgos se pueden eliminar basados en la ingenieria financiera. .13:02'
A B Dos empresas donde puedo invertir (acciones). A - B
4% 3% El xito esta en invertir en un portafolio
3% 4%
2% 3%
1% 2% 2%
10% 2,5% 12,5%
4%
4%
3%
$200.000 9,68%
$50.000
$50.000.000,00 7,5% $3.750.000,00 $46.250.000,00
$50.000
0,0333
$200.000 4,73%
$50.000
0,0667
$50.000 $50.000
$200.000
0,0167
$200.000 2,34%
1,2% 1,2%
180
0,0056
$200.000 0,77%
$10.000.000 1,5%
$9.563.169,94
$100 58,108 4,8423
Cantidad de dinero que quiero que se me duplique $2.
c
c
-
El profe explica la venta de pauelos y sombrillas y como he de invertir en un portafolio y como elevo la rentabilidad y en resumen es
el caso de una cartera colectiva.
Tasas Equivalentes: dos o ms tasas periodicas de inters son equivalentes si al final del periodo anual producen el mismo inters
efectivo. Inters efectivo es reinversin.
1. Tasa Nominal Anual. Vamos a llamar J %NOM.
Es aquella tasa de inters que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periodicamente
no se reinvierten. Es una funcin lineal.
Ej: * 12 mese = Nminal mes vencida (NMV)
* 4 trimestre = Nminal trimestre vencido (NMV)
* 2 semestre = Nminal semestre vencido (NMV)
* 1 anual = Nminal anual vencido (NMV)
2. Tasa Efectiva Anual. iE %EFE.
Es aquella tasa de inters que se obtiene al final de un periodo anual siempre y cuando los rendimientos generados periodicamente
se reinviertan a la tasa de inters pactada inicialmente. Es una funcin exponencial.
Video N 551 - 34:52'
Dada una tasa nminal J, hallar el iEFE. A B N
P = F = P * ( 1 + i )
N = 12 meses 1 ao
i = 2% ? = iefe Qu tasa efectiva anual debe reconocer B para que sea
equivalente invertir en A o en B.
PA = PB = 100, se eliminan y queda. FA = FB
12 1
* ( 1 + 2% ) * ( 1 + iB )
12 1
( 1 + 2% ) = ( 1 + iB )
= 1 + iB
iB = - 1
iB = Tasa efectiva anual.
P
La formula general para hallar la tasa efectiva seria: iEFE = ( 1 + ip ) - 1 5:26'.
La frmula sirve para hallar una tasa efectiva periodica anual, entonces la tasa nominal es igual a:
Tasa Nominal J = ip * P
Ejemplo: Dada una tasa nominal J = mes vencido, halle la Tasa Efectiva.
Cuando se dice mes vencido, se esta diciendo que divida en doce periodos en el ao y cada periodo se va a ganar el 2%
2 2 2 2 Nominal es , entonces
nmero de periodos: 12
0 2% 1 2% 2 2% 3 .. 12
P 12
iEFE = ( 1 + ip ) - 1 ; iEFE = ( 1 + ) - 1 iEFE =
La tasa efectiva es lo que se va a ganar al cabo de un ao. ? Siempre la referencia es un ao para
hallar la equivalencia de las tasas.
0 1
2,00% 26,82%
26,82%
1,2682
1,2682
0,2682 26,82%
24%
24%
9,68% 9,68%
$100,00 $100,00
$100 $100
0,77% 9,28%
2,34% 9,35%
4,73% 9,46%
c
c
-
ip : Es la tasa periodica que corresponde a la tasa nominal dada:
11 10
ip = J = 2 ( 1 + 2% ) + 2 ( 1 + 2% )
p
+ .
Tasa Nominal Tasa Efectiva
En conclusin: J = mes vencido, es equivalente a iEFE = ao vencido .15:00'.
Ejercicio: Dada una tasa nominal de J = trimestre vencida, hallar la Efectiva. iEFE = ?
Trimestre significa que en un ao
10 10 10 10 son 4 periodos.
ip = ip =
0 1 2 3 4
?
0 1
4
iEFE = ( 1 + ) - 1 iEFE = ; nominal trimestre vencido es equivalente aao vencido.
Despus vino el cuento de feliz Correa y a morir a casa grande, entre otros, hasta el final del video.
Video N 552 - 35:37'
P
El sistema financiero colombiano es slido. Recordemos: iEFE = ( 1 + ip ) - 1 ; ip = %NOM
1/p 1/p P
Entonces, ip = ( 1 + iE ) - 1 ; %NOM = [ ( 1 + iE ) - 1 ] * p iEFE = ( %NOM + P ) - 1P
p = periodo frecuencia de conversin anual, a veces lo llaman mm.
Cuando P = 1, estamos hablando que es igual a la tasa efectiva anual.
Si P = 2, estamos hablando de una tasa semestral vencida.
Si P = 4, estamos hablando de una tasa trimestral vencida.
Si p = 12, tasa anual vencida.
Si p = , tasa de inters continua. Ej: cajeros trabajan a tasa de inters continua.
Tips: 1. La tasa efectiva nunca se puede dividir, porque es exponencial.2. La tasa nominal slo admite como divisor su propia peridiocidad.
3. Tasas nominales equivalentes entre si siempre tendrn la misma tasa de inters efectiva.
4. La tasa efectiva es criterio para tomar desiciones. Eso quiere decir que me endeudo donde me cobren menos e invierto
donde paguen mas y cobrando menos, solamente cuando halle la tasa para ello debo volverla a tasa efectiva.
5. La tasa efectiva siempre sera periodica anual y siempre sera vencida.
Ejemplo: En una cartera colectiva renta liquidez la cual garantiza una rentabilidad efectiva del 8% y se deja la inversin durante 16
das. Se quiere saber cuanto deja la inversin.
P =
iE = 8% Lo mejor seria hallar una tasa diaria y luego calculo cuanto gano en esos 16 das. p = das
N = 16 das
1/p
ip = ( 1 + iE ) - 1 ip = ( 1 + 8% ) - 1 ip =
N
Ahora buscamos el futuro de los: F = P * ( 1 + i )
16
F = * ( 1 + ) F = ..23:53'
Ejemplo 2: Dada una tasa nominal de 21% trimestre vencida, hallar una tasa nominal mes vencida equivalente.
Dada la tasa nominal hallar la efectiva y hallada la efectiva hallar la nominal.
$10.000.000,00
$10.000.000,00 0,021% $10.033.793,318
46,41%
P
$10.000.000,00
365
0,0027
0,021%
46,41%
10,00% 46,41% 40%
24% 26,82%
40%
40% 10,00%
10% 10% 10% 10% 4
26,82%
$2,49 $2,44
c
c c
c c c
-
%NOM = Entonces. ip = la formula de tasa nominal hallar otra nominal, la solucion es paso la nominal
N = 4 trimestres a efectiva y luego la paso a nominal, porque tasas nominales equivalentes entre si
iE = ? tienen la misma tasa efectiva.%NOM = ? mv
Entonces dan la tasa del 21% trimestre vencido la hago efectiva y luego que la tenga efectiva la paso a nominal mes vencida porque
tasas nominales equivalentes entre si tienen la misma tasa efectiva.
P 4
iEFE = ( 1 + ip ) - 1 iEFE = ( 1 + ) - 1 iEFE =
0 1 2 3 4 0 12
p = 12 meses
1/p
ip = ( 1 + iE ) - 1 ip = ( 1 + ) - 1
ip = tasa periodica mes vencido.
Entonces la tasa nominal es: %NOM = J * P %NOM = * 12 %NOM = mes vencido.
Entonces 21% nominal TV, es equivalente a 20,64% nminal MV, porque tienen la mismo valorefectivo.
Recuento: 1. Definicin.
2. Esquemas de pagos nicos.
3. Tasa equivalentes.
Video N 553 - 18:13'
F
Ecuaciones de Valor. N
0 F = P * ( 1 + i )
P = desembolso 12
ip = mensual, que corresponde Fecha comparacin focal FF = 12 12
a una tasa nominal de: J = ip * p F = * ( 1 + )
p = 12 meses J = * 12
J = F =
%NOM = MN En ingenieria economica o financiera, no se puede comparar canti
Recuento: ip = 2% dades que esten en diferentes fechas.
%EFE = MV Comparar es sumar o restar.
P Para que se puedan comparar o sumar o restar tienen que estar en
iEFE = ( 1 + ip ) - 1 la misma fecha.No se puede comparar F que esta en 12 con $1000 que esta en cero.
Lo que dice la ingenieria finaciera es que la comparacin puede ser en cualquier fecha lo importante es que esten en la misma fecha.
Entonces para enfrentar 1000 con F, deben estar en la misma fecha sin importar cual fecha.
Entonces tomemos la fecha cero: Entonces 1000 esta en cero y necesito traer F a 1000 por lo que debo realizar lo siguiente.
F
F =
0 = F * ( 1 + )
12 ( 1 + )
Fecha comparacin focal FF = 0
F = .7:43'.
F
Entonces, 6 -6
. 9:00'. 0 ( 1 + ) = F * ( 1 + )
6 12 = F *
Fecha comparacin focal FF = 6 F =
.12:33'.
F
-8 -20
2,00% 2,00%
$1.126,16 0,888
$1.000,00
$1.268,24
-12
2,00% 2,00%
$1.000,00 $1.268,24
$1.000,00 2,00% 2,00%
24,00%
26,82%
-12 $1.000,00
$1.000,00 2,00%
2,00%
$1.000,00 $1.000,00 2,00%
2,00%
24,00% $1.268,24
0,0833
22,71%
1,72%
1,72% 20,64%
$1.000,00 2,00%
5,25% 22,71%
5,25% 5,25% 5,25% 5,25% 22,71%
21% 5,25%
-
0 ( 1 + ) = F * ( 1 + )
-8 12 = F *
Fecha comparacin focal FF = -8 F =
Video N 554 - 32:08' N
Recordemos. F = P * ( 1 + i )
Hallar A = ? A 6
= ( 1 + )
0
0 = -
6 12
0 =
6
A = ( 1 + )
A =
Para la ecucin de valor lo primero que se necesita es la fecha focal (FF). FF = 7
1
B = ( 1 + )
B A
B =
0 5
2% A = B * ( 1 + )
6 7 12
A = *
N -N
F = P * ( 1 + i ) A = P = F * ( 1 + i )
Otra forma:
7 1
( 1 + ) = ( 1 + ) + A ( 1 + )
= + A ( )
A =
.. 15:01'. Ejercicio con las siguientes condiciones.
6 -6
FF = 6 ( 1 + ) = B + B ( 1 + )
B B = B ( 1 + )
0 B =
6 12
-6
Ahora con FF = 0 = B ( 1 + ) + B ( 1 + )
B B = B ( + )
0 B =
6 12 Es mejor sistema es aquel donde se pague mas intereses siempre y cuando la rentabilidad
del proyecto supere la tasa de interes.
Lo que importa a la hora de endudarse con el banco es la tasa.
Video N 555 - 2:31'
Ejercicio: FF = 0 -6
1W 2W = W ( 1 + ) + 2 W ( 1 + )
$596,49
2,00% 2,00%
$1.000,00
-12
$1.000,00 2,00% 2,00%
$1.000,00
-12
$1.000,00 2,00% 2,00%
$1.000,00 0,8880 0,7885
2,00%
$1.126,16 0,89
596,49
2,00% 2,00%
$1.148,69 $510,00 0,9057
$705,16
$1.000,00 2,00%
$705,16
-5
$1.000,00 2,00% $500,00 2,00% 2,00%
$500,00
$638,69
2,00% 2,00% 2,00%
$1.000,00 $638,69 1,10
$626,16 2,00%
$705,16
$626,16
$626,16 2,00%
2,00% 2,00% $1.126,16 $500,00
$1.000,00 $626,16
$853,49 0,673
$1.000,00
$1.268,24
$500,00
$500,00 $1.000,00 2,00%
$1.000,00 2,00% 2,00%
2,00% 2,00%
-
0 = 3 W ( + )
6 12 W =
Video N 556 - 41:25'
12
F F = ( 1 + )
Intereses:
0 F = Capital:
12
R
FF = 0 N -N
Recordemos. F = P * ( 1 + i ) P = F * ( 1 + i )
A
-6
0 = ( 1 + ) + A ( 1 + )
6 12 = + A ( )
A =
6
R = ( 1 + )
R = Intereses:
- Capital:
6
( 1 + ) = Intereses:
- Capital:
Sumatoria de capitales: + =
Sumatoria de intereses: + =
M
B =
B B M = ( 1 + )
0 M = Intereses:
- Capital:
6 12
6
( 1 + ) = Intereses:
- Capital:
Sumatoria de capitales: + =
Sumatoria de intereses: + = Hasta aqu se explican buenas notas de clase.
14:51' Sistemas de Amortizacin Equivalentes de Pago. Conjuntos de pagos que tienen las caractersitcas que el valor presente
de los pagos sea P, que el valor futuro de los pgos sea F, que la sumatoria de capital siempre sea igual P, que el monto de los intereses
depende de lo rapido o lento con lo cual se mortiza.
El mejor sistema para pagar es donde me demore ms.
17:04' Esquema de Series Uniformes. Son sistemas de amortizacin equivalentes de pago de los cuales las cotas son cuotas
iguales efectuadas a intervalos iguales de tiempo. Ej: pensiones, amortizacin de deuda, pago de dividendos, pago de arrendamiento,
arrendamiento financiero, lisin, entre muchas mas.
as sucesivamente hasta infinitas cuotas, pero
R R R R R por ahora veamos esquemas finitos, luego se
veran series continuas perpetuas.
0
1 2 3 N-1 N Este esquema se llama Modo Cero. La carac
$126,16 $66,82 $192,99
$66,82
$596,49 $529,67
$0,00 $596,49
$470,33 $529,67 $1.000,00
$529,67 $596,49
$1.000,00
$529,67 2,00% $596,49
$1.126,16 $126,16
2,00% 2,00% $596,49 $470,33
$126,16 $79,00 $205,16
$596,49
6
$1.000,00 2,00%
$705,16 $626,16
$0,00 $705,16
$373,84 $626,16 $1.000,00
$626,16 $500,00
$626,16 2,00% $705,16 $79,00
705,16
$1.000,00 2,00%
$1.126,16 $126,16
$500,00 $373,84
2,00% 2,00%
$1.000,00 $443,99 0,79
$1.000,00
2,00% $1.268,24
$1.000,00
$500,00
-12
$1.000,00 $500,00 2,00% 2,00%
$1.000,00
$1.000,00 2,00%
$268,24
$1.268,24 $1.000,00
$1.000,00 0,8880 0,7885
2,00% 2,00%
$198,83
-
tersica es que los pagos estan efectuados
P F al final. Tambin se le llama serie ordinaria.
o vencida o modo tipo.
El intervalo de pago, es el tiempo comprendido entre dos pagos sucesivos.
Plazo de la serie uniforme, es el plazo que va desde el inicio cero hasta el final N.
Entonces, P esta en cero y es un pago nico presente equivalente a N cuotas de valor R efectuadas al final de cada intervalo de pago.
Ej: Este prodia ser un contrato de arrendamiento donde necesito pagar mes vencido, lisin financiero o algo asi.
F, esta en N donde ocurre el ultimo aporte y F es un pago nico futuro que esta en N y es equivalente a N cuotas de valor R cada una efec
tuada al final de cada intervalo de pago.
Haciendo por defecto la fecha focal igual a cero, hallamos P.
-1 -2 -3 -N
P = R ( 1 + i ) + R ( 1 + i ) + R ( 1 + i ) + + R ( 1 + i )
Luego factorizamos R. Entre parentesis se tiene la suma de los terminos de una progresin geometrica.
S : a + ar1 + ar2 + . + arN S = a[ 1 + rN ] r, es la razn.1 - r
a = 1 r = 1
1 + r 1 + i
-N
Reemplazando y simplificando: P = R [ 1 - ( 1 + i ) ]
i
N Esta frmula tambin se puede hallar
F = R [ ( 1 + i ) - 1 ] con una ecuacin de valor, haciendo FF en F
i
R = P ( i )
-N
1 - ( 1 + i )
Utilicemos la hoja de clculo.
Video N 557 - 00:39' llamado de lista y adelanto algunas frmulas en el tablero para la hoja de clculo.
Video N 558 - 52:26'
Entonces lo primero que definimos fue la factibilidad economica y financiera de un proyecto de inversin.
y lo segundo vimos el concepto de lineal y exponencial osea exquema de pagos unicos.
Luego vimo concepto de tasas equivalentes, nominal, efectiva.
Luego vimos ecuaciones de valor.
Luego vimos el concepto de series uniformes.
. 6:24'.. P = R
N = mensual 12 meses %NOM = ip =
iE = 0
1) R = ? Intereses:
2) F = Capital:
3) Plan de pagos = La tabla de amortizacin
4) Hallar el saldo adeudado despus de pagar K cotas (Pk).
1/p ip = ( 1 + ) - 1
ip = ( 1 + iE ) - 1
ip =
-N
P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] = R [ 1 - ( 1 + ) ]
i
= R ( ) R =
N
F = P * ( 1 + ip ) F =
R R R R
$5.473.565,76
-180
$1.000.000,00 0,95%
0,95%
$1.000.000,00 86,134 $11.609,87
$5.473.565,76 $1.000.000,00
$1.000.000,00
0,0833
12,0%
0,9489%
0,9489%
12%
$11.609,87 $4.473.565,76 0,9489% 180
$1.000.000,00
180 11,39%
c
Es el factor que convierte N cuotas de valor R en un pago nico de valor presente P equivalente que esta en cero un periodo antes que se inicie la primera cuota.
c
c
-
Pk, es el saldo adeudado despus de pagar k cotas.
0
K K+1 N-1
P Pk
Pk la hallamos haciendo una ecuacin de valor, entonces hacemos fecha FF = Pk o cota 100.
k k
Pk = P0 ( 1 + i ) - R [ ( 1 + i ) - 1 ]
i
-N-k
Otra forma es traer del futuro las que me hacen falta por pagar.: Pk = R [ 1 - ( 1 + i ) ]
Pk, es el valor presente de N - K cotas
P100 = [ 1 - ( 1 + ) ]
P100 =
P100 = ( 1 + ) - [ ( 1 + ) - 1 ]
P100 = -
P100 = . 23:05' .
5) Se quere hallar contenido de inters y amortizacin a capital contenido entre las cotas 80 a 120.
En excel existe unas funciones que es pago inters entre . Hay compredidas las siguientes cotas: 41
1. Capital (80.120) = P79 - P120
R R R R R R
2. Interes (80.120) = 41 * R - Capital (80.120)
0
80 N-1
P
P79 = [ 1 - ( 1 + ) ]
P79 =
P79 = ( 1 + ) - [ ( 1 + ) - 1 ]
P79 = -
P79 =
P120 = [ 1 - ( 1 + ) ] Capital (80.120) = P79 - P120
P120 = ok Capital (80.120) = -
1. Capital (80.120) =
2. Interes (80.120) = 41 * R - Capital (80.120)
0,9489%
$529.268,53 $752.162,20 $529.268,53
$222.893,67
0,9489%
$2.108.718,70 $1.356.556,50
$752.162,20
-60
$11.609,87 0,9489%
$752.162,20
79 79
$1.000.000,00 0,9489% $11.609,87 0,9489%
0,9489%
$1.000.000,00
-101
$11.609,87 0,9489%
0,9489%
0,9489%
$2.571.284,84 $1.922.522,51
$648.762,32
79 120 180
0,9489%
$648.762,32
100 100
$1.000.000,00 0,9489% $11.609,87 0,9489%
180
100
-80
$11.609,87 0,9489%
Lo que se deberia si no se hubiesen realizado abonos.
Abonos realizados.
c
c
-
Interes (80.120) = 41 * -
Interes (80.120) =
6) Ahora el credito se quiere amortizar de la siguiente manera: Sucede que cada 6 meses se recibe la prima y entonces cada seis
meses se puede hacer un abono extraordinario.
Calculadora Financiera Hewlett Packard 19BII
Abonos extras debidamente programados: Calculadora Financiera Hewlett Packard 17BIIPlus
Abonos extras. B B B B N
Se tiene dos series las de las R y la segunda las B
R R R R R R
0
12 18 N-1
P
Video N 559 - 37:40'
-N -M
. 2:03' Entonces traslado a valor P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] + B [ 1 - ( 1 + iB ) ]
presente las R y las B: i iB
La i de B, es diferente a la i de R debido a que la peridiocidad de las tasas debe coincidir con la peridiocidad del pago, por lo tanto si B
el pago es semestral debe ser una tasa semestral, entonces debo usar la equivalente periodica semestral.
6:34' [email protected]
N = meses M = 30 meses
N, es nmero de pagos ordinarios. M, es nmero de pagos extraordinarios.
N/M 6
iB en funcin de iR: iB = ( 1 + i ) - 1 iB = ( 1 + ) - 1 iB =
Si tengo la i trimestral y quiero hallar la i anual se tiene que hacer ( 1 + i trimestral )4 por que en el ao hay cuatrotrimestres y asi hallo la efectiva. 1 ao = 4 trimestres
Si se quiere hallar la mesual y se tiene la semestral hay que hacer ( 1 + i semestral )1/6.
1 ao tiene 2 semestres 1 semestre = 6 meses x = 1 mes * 1 semestre = 1
1 ao tiene 4 trimestres x 1 mes 6 meses 6
1 ao tiene 12 meses
P = [ 1 - ( 1 + ) ] + B [ 1 - ( 1 + ) ]
= + B ( ) B =
Otra frmula:
-N -N
P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] + B [ 1 - ( 1 + i ) ]i N/M
( 1 + i ) - 1
P = [ 1 - ( 1 + ) ] + B [ 1 - ( 1 + ) ] =
6
( 1 + ) - 1
+ B ( ) =
B =
0,9489%
0,9489%
$299.059,70 14,02 $1.000.000,00
$50.000,00
-180 -180
$3.472,05 0,9489% 0,9489% $1.000.000,00
0,9489% 5,8301%
$1.000.000,00 299059,70 14,019 $50.000,000
0,9489% 5,83%
-180 -30
$3.472,05 0,9489% 5,8301%
$253.111,14
6 180
0,9489%
$1.000.000,00
180
$11.609,87 $222.893,67
c
c
c
-
Entonces se quiere pagar el credito con cotas mensuales iguales pero quiero hacer un abono semestral de $50.000,00 por cada
milln. Cuantas cuotas voy a pagar este credito, cuantas van a ser (180).
R = ?
B =
N =
M = 30
Conozco: P =
ip =
= R [ 1 - ( 1 + ) ] + [ 1 - ( 1 + ) ]
( 1 + ) - 1
= R ( ) + R =
Video N 560 - 32:15' Contina con el ejercicio anterior y comenta apuntes importantes.
Se trabaja en excel Lo que tiene que impactar es la tasa mas no los intereses.
Cuando me endeudo al 12% efectivo? Cuando pueda invetir a una tabla mayor del 12%. Y cuando en los negocios se puede invertir
a una tasa mayor del 12% el mejor sistema es .. . 20:32'.
La forma de amortizar un credito no altera la tasa, entoces el credito se ha pagado en cotas iguales de la 1 hasta la 180.
entonces se ha diseado segunda forma de pagar el $1000.000,00, cada mes 3400 pesos y cada 6 mese 53000 y pico
Esos son sistemas de amortizacin equivalentes de pago por lo tanto las caractersitcas son que el valor presente o frontera in ferior
es un 1000.000,00, y el valor futuro son 5000.000,00 y pico y son equivalentes y siempre la sumatoria de capital debe ser igual 1000000
o igual a P y cuando pague la ultima cota me tiene que dar cero.
En ambos sitemas se han pagado o mas interes o menos intereses de lo rapido o lento que se ha amortizado.
Se quiere disear cuanto es la tarifa en un sistema de transporte integrado. . 25:10'
La tarifa tiene que garantizar tecnicamente que el sistema. Y se reuelve con una ecuacin de valor.
Video N 561 - 29:44'
7) Voy a ser un abono que no tenia programado, supongamos la cota 60, abono $200.000,00. Transcurrido 60 meses se va a hacer
un abono de $200.000,00.
Se tiene dos opciones, la primera es rebajar el valor de la cota y seguir pagando las cotas que hacen falta, es decir como liberar caja
y la segunda opcion seria pagar la misma cota pero recortar plazo. La tasa no cambia porque se sigue trabajando con tasas fijas y no va
riable el cual es otro procedimiento.
Solucina) es que voy a rebajar R. La solucin b) baja N.
Resover para a): Lo primero es estimar cuanto debo cuando he pagado la cota 60 y luego le resto los $200.000,00..
Q =
R R Rii Rii Rii Rii
0
K K+1 N-1
P Pk
N - K
P60 = [ 1 - ( 1 + ) ] P60 es lo que se le ha llamado un Pk.
180
60
-120
$11.609,87 0,9489%
0,9489%
0,9489%
$1.000.000,00 86,13 $700.940,30 $3.472,05
$200.000,00
$1.000.000,00 0,9489% $50.000,00 0,9489%
0,9489% 6
$50.000,00
180
$1.000.000,00
0,9489%
-180 -180
-
P60 = - P60 = Nuevo P en cuantas cotas se va a
pagar? En 120 y a qu tasa? A la
Esto se hace con la funcin VA (valor actual) misma = 0,9489%.
Ahora tenemos que buscar R. y puede ser con la funcin pago de excel. El nuevo N =
-N
P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] = Rii [ 1 - ( 1 + ) ]
i
= Rii ( ) Rii =
16:20' Este prestamo de $1000.000,00, se ha pagado con 60 cuotas de $11.609,87, ese momento hago un pago extraordinario
19:31'. N N-k N-k N-k
F = R [ ( 1 + i ) - 1 ] * ( 1 + i ) + Q ( 1 + i ) + Rii [ ( 1 + i ) - 1 )]
i i
F = [ ( 1 + ) - 1 ] * ( 1 + ) + ( 1 + )
+ [ ( 1 + ) - 1 ) ]
F = * + + F =
no programado de $200.000,00 y luego pago la cuota 61, 62 con valor de $8.810,93.
-N
B) Rebajemos el N: Se conoce: P = N = ? de: P = R [ 1 - ( 1 + i ) ]
R = i
ip =
despejo N. log ( 1 - P * i ) log ( 1 - * )
N = - R N = -
log ( 1 + i ) log ( 1 + )
N = - N = Con frmula excel: NPER
Video N 562 - 14:59'
La solucin para obtener vivienda esta entre 8 a 12 aos. Libro: Manten peor coche que tu vecino. Luis Pita.
El video se fue en apuntes y notas dialogadas importantes a tener en cuenta. Esta el tema de obtener vivienda.
Video N 563 - 24:39'
Uno debe estar endeudado para crecer ms no para consumo.
8) Como no se puede pagar cotas altas porque los ingresos son limitados, entonces el banco me facilita pagar las primeras 12 cuotaas
con un valor R y las siguientes que valgan 2R y la tercera que valga 3R, entonces se comporta como un gradiente.
3R 3R N
2R 2R Se divide en series, por escalas.
R R
0
ip =
P
4:30' .
0,9489%
$1.000.000,00
-12 -12 -12
0,9489%
-0,3138698 77
0,0041015 77
180
$629.589,70
$11.609,87
0,9489%
$629.589,70 0,9489%
$11.609,87
0,9489%
120
$8.810,93 0,9489%
0,9489%
$20.355,18 3,11 $621.169,64 $1.955.410,04 $2.639.799,77
120
$11.609,87 0,9489% 0,9489% $200.000,00 0,9489%
0,9489%
$629.589,70 71,46 $8.810,93
60 120
$829.589,70 $200.000,00 $629.589,70
120
-120
$629.589,70 0,9489%
c
c
c
-
P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] + 2R [ 1 - ( 1 + iB ) ] * ( 1 + i )
i iB
5:16' Frmula 1
+ 3R [ 1 - ( 1 + iC ) * ( 1 + iC ) dividirlo en series
iC
4:30' .
P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] + R [ 1 - ( 1 + iB ) ] * ( 1 + i )
i iB
5:16' Frmula 2
+ R [ 1 - ( 1 + iC ) * ( 1 + iC )
iC
8:46'
Serie Uniforme (S.U.): Determinacin de la tasa de inters. i = ? Con excel seria: Funcin Tasa.
Se sabe que: Modo cero -N
P = R [ 1 - ( 1 + i ) ]
i
Ej: Articulo con precio de lista P, comprelo con una cuota inicial CI y abonelo en cuotas R.
P = Esto no tiene financiacin porque:
CI = R R R N*R+CI = 70000
R =
N = 6 0 Pero el producto se quiere comprar de contado, entonces se le
6 hace un 25% de descuento, por lo que:
i = ?
P Precio de contado = Pc = P * idescuento
Pc = *
Pc = P = P - Pc
P = -
P =
Estan cobrando financiacin ? Como el almacen dice que se abone $10.000,00, entonces realmente me esta financiado:
P = - P = Estos se tienen que pagar en 6 cuotas.
Tasa Nominal
R R R Que tasa efectiva anual se ha cobrado: Con excel: i =
J = ip * p
0 %NOM = i * 12 %NOM = * 12 Tasa Efectiva
6
%NOM =
P =
P
Cual seria la tasa efectiva. iE = ? iEFE = ( %NOM + P ) - 1 iEFE =P
N
F = P * ( 1 + ip ) F =
Video N 564 - 52:28'
Veamos un credito en UVR: Cual se cree que es mejor fuente de financiacin ante un banco para un proyecto, en pesos o en UVR.
UPAC = UVR: Luichin Curie, buenas tierras a la agricultura y otras a la ganaderia, entoces reforma agraria ley 35.
Libro: La Colombia hoy, por Jesus Antonio Bejarano.
130,09%
$42.500,00
224,60%
$78.811,38
$52.500,00
$52.500,00 $10.000,00 $42.500,00
10,84%
10,84%
$10.000,00
$10.000,00
$70.000,00 25%
$17.500,00
$70.000,00 $17.500,00
-180 180-12 -12
180-24 -(12+12)
$70.000,00
-12 -24
c
c
-
En el ao 72 llegaron las 4 estrategias y dijo Curie tiene la razn y se creo el UPAC
UPAC, unidad de poder adquisitivo constante. Se crearon corporaciones captadoras de recursos del publico y luego lo prestaban
basicamente al sector de la construccin. El BCH, en aquella poca le dio soluciones de vivienda a ms de 70.000 ncleos familiares
en 50 aos.
El UPAC, en 50 aos dio solucin de vivienda a un 1000.000 de nucleos familiares.
Pastrana retomo el sistema UPAC y se genero el sistema UVR, unidad de valor real y ahora hay credito hitpotecario que es manejado
por los bancos.
En colombia funciona el peso colombiano, en otros paises funciona la unidad UVR, el cual es una unidad de cuenta que se contabiliza
y no se ve porque es una unidad de cuenta.
Entonces se solicita un prestamo de: y el sistema lo convierte en unidades UVR.
Una unidad UVR = entonces la entidad: UVR y sobre este valor se tiene que pagar intereses
en UVR.
El UVR solo trabaja con tasas efectivas. iu = 7%
N = cotas mensuales -N
Un sistema para pagar el credito seria en cotas iguales, osea en RUVR. P = R [ 1 - ( 1 + i ) ] despejo R.
i
Se supone que UVR = $300, debe permanecer constante, osea que si hoy tengo una UVR y compro un producto con esa UVR, y se supone
que dentro de un ao tengo la misma UVR y puedo adquirir el mismo producto con esa UVR, entonces permanece constante, pero en
colombia los precios fluctuan el producto de hoy que cuesta $300 en un ao puede estar en $350 , pero se tiene la UVR y se puede adqui
rir el producto.
ip = ( 1 + ) - 1 Como 180 meses es mensual, entonces para la periodica es anual por lo que:
periodo p = 12 meses
ip =
R.U = P.U ( i ) R.U = ( )
-N
1 - ( 1 + i ) 1 - ( 1 + )
R.U = UVR
R R
Se hizo un desembolso, pero las UVR han cambiado de valor, ej: UVR =
0 por lo que mi esquema de pago varia as:
P =
Si se le paga al banco en cotas iguales debo tener en cuenta que debo pagar a como este el UVR en cada pago
R R Recuerdese de que este pago es en cuotas iguales el saldo empieza a bajar hasta la cero.
0 Con las 300 se va corrijiendo, se hizo el desembolso de 3333 unidades pero al UVR vale
hoy 300.
Dentro de 1 mes se paga la primera cota de 29,56 a como este el UVR y esta a 300 entoces
P = UVR se tiene que ajustar de acuerdo a la inflacin.
Supongase que la tasa de inflacin hoy para colombia es el 3% y es otra tasa efectiva y cuanto vale para un mes mensual.
i inflacin mensual = ( 1 + 3% ) - 1 iinf =
3% es un promedio geometrico.
Entonces UVR hoy = DTF : Es la tasa de capatacin del sistema colombiano,
1 a la cual prestan.
UVR en 1 mes = ( 1 + ) =
2 Tasa variable en pesos
UVR en 2 mes = ( 1 + ) =
3
300
300 0,2466% 300,74
300 0,2466% 301,48
$3.333,33
29,56
180
300,00
0,0833
0,2466%
-180
0,5654%
29,56
29,56
300
180
180
0,0833
7,00%
0,565%
3.333,33$ 0,5654%
1.000.000,00$
300,00$ 3.333,33$
-
UVR en 3 mes = ( 1 + ) =
UVR en 180 mes = ( 1 + ) =
UVR
0 N = 15 aos meses
1 2
UVR en 1 mes = ( 1 + ) =
P
UVR UVR en 2 mes = ( 1 + ) =
Video N 565 - 17:57'
En pesos: Las cotas quedan totalmente variables.
0
1 2
P
El UPAC, subio de 100 a 20000 y luego lo bajaron a 100. Supongamos que prestan. P =
UPAC =
CM = 5% Correccin monetaria.
Tasa Upac =
El sistema hacia:
quiere decir que el prestamo fue el siguiente, lo 50 estaban a 20000
0
Un ao
P upac
quiere decir que realmente prestaron
0
Un ao
P
0
iE Un ao
Otro ejercicio: P =
UVR =
UVR inflacin = 5% 0
Tasa UVR =
Un ao
UVR que prestaron:
Conclusin: No importa que hubiese estado a 20000, a 250, o el valor de la UPAC, ni la UVR, la que importa es las tasa que es la que
decide, antes desembolsaban 1000000 en billetes de 20000 y cuantos daban 50, ahora el mismo millon de pesos lo
desembolsan pero con 4000 billetes de 250 pesos.
Noo, lo que importa son las tasas.
Tasas Mltiples. Es cuando sobre un prestamo cobran simultaneamente dos o ms tasas y la frmula es.
262,50 1155000,00
1 1
5%
250,00 1.000.000,00
250
10% 1
10%
4000 4.000,00
1155000,00
1
15,5%
1.000.000,00
1000000 4400,00
10%
50,00
21000,00
1
5,0%
20.000,00
1.000.000,00
1000000
20000
10%
55,00
1
318,27$
8890,4
8890,37 8912,29 13816,83
180
300,74 301,48 467,39 2
300,00 300 3,0000%
180
180 1
300 3,0000% 309,00$
300 0,2466% 302,23
180
300 0,2466% 467,39
-
im = ( 1 + i1 ) * ( 1 + i2 ) - 1
im = i1 + i2 + i1 * i2
im = im =115,00% 15,50%
c
