Laboratorium Manajemen Dasarma-dasar.lab.gunadarma.ac.id/wp-content/uploads/2015/03/MODUL... · LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL ... Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

MODUL MATEMATIKA EKONOMI 2

ATA 2014/2015

NAMA :

NPM :

KELAS :

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS GUNADARMA

DEPOK

Laboratorium Manajemen Dasar

Matematika Ekonomi 2 i ATA 14/15

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat, hidayah, dan

karunia yang diberikan-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan modul ini

tepat pada waktunya. Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini kepada

mahasiswa dan meningkatkan mutu pengajaran dalam perkuliahan, maka modul

ini dapat digunakan untuk memenuhi kebutuhan mahasiswa dalam pembelajaran.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum

sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat

meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman bagi

mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu modul ini

juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan

perekonomian dan disesuaikan dengan teori-teori ekonomi yang ada.

Dengan penuh kesadaran, bahwa modul praktikum ini masih perlu

disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat

diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim litbang Matematika

Ekonomi 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam

penulisan modul praktikum ini.

Akhir kata, penyusun mngucapkan terimakasih kepada semua pihak yang

telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung.

Depok, Maret 2015

Tim Litbang


Matematika Ekonomi 2 ii ATA 14/15

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................. i

DAFTAR ISI ................................................................................................ ii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................... iv

MATERI 1. DERIVATIF

1. Konsep Dasar Turunan ............................................................................ 1

2. Kaidah Diferensiasi ................................................................................ 1

3. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya ........................................... 5

3.1 Menentukan persamaan Garis Singgung dan Garis Normal 5

3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 6

4. Penerapan Ekonomi 7

4.1 Elastisitas 7

4.1.1 Elastisitas Harga 7

4.1.2 Elastisitas Permintaan 8

4.1.3 Elastisitas Penawaran 10

4.1.4 Elastisitas Produksi 12

4.2 Biaya 15

4.3 Penerimaan 18

4.4 Laba Maksimum 21

MATERI 2. INTEGRAL TAK TENTU

1. Konsep Dasar Integral Tak Tentu ........................................................... 24

2. Kaidah-Kaidah dalam Integral Tak Tentu............................................... 25

3. Penerapan Ekonomi ............................................................................... 26

3.1 Fungsi Biaya ............................................................................................ 26

3.2 Fungsi Penerimaan ........................................................................... 30


Matematika Ekonomi 2 iii ATA 14/15

3.3 Fungsi Produksi ................................................................................ 34

3.4 Fungsi Utilitas .................................................................................. 38

3.5 Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan .......................................... 39

MATERI 3. INTEGRAL TERTENTU

1. Konsep Dasar Integral Tertentu .............................................................. 45

2. Penerapan Ekonomi ................................................................................ 45

2.1 Surplus Konsumen ........................................................................... 46

2.2 Surplus Produsen .............................................................................. 54

MATERI 4. TRANSEDENTAL

1. Konsep Dasar Transedental..................................................................... 61

1.1 Fungsi Eksponensial ........................................................................ 61

1.2 Fungsi Logaritmik ............................................................................ 63

2. Penerapan Ekonomi ................................................................................ 65

2.1 Model Bunga Majemuk .................................................................... 66

2.2 Model Pertumbuhan ......................................................................... 70

2.3 Kurva Gompertz ............................................................................... 74

2.4 Kurva Belajar (Learning Curve) ............................................................... 77

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................. 81


Matematika Ekonomi 2 iv ATA 14/15

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif ...................................................... 9

Gambar 1.2 Tampilan hasil output contoh kasus 1 ................................... 9

Gambar 1.3 Tampilan awal software EC-Math ........................................ 11

Gambar 1.4 Tampilan Awal Menu Derivatif ............................................ 11

Gambar 1.5 Tampilan Output Contoh Kasus 2 ......................................... 12

Gambar 1.6 Tampilan Awal Software EC-MATH ................................... 13



Gambar 1.9 Tampilan Awal Software EC-Math ...................................... 16


Gambar 1.11 Tampilan Output Contoh Kasus ............................................ 17







Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math ............................ 27

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu ............................ 28

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya ................................. 28

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya ............................. 29

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya .......................... 29



Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan ........................ 32


Matematika Ekonomi 2 v ATA 14/15

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan ................... 33

Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan ................. 33



Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi ............................ 36

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi ........................ 37

Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi ..................... 37



Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi .......................... 42

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi ...................... 43

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi ................... 43

Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving ........................... 44

Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving ........................ 44

Gambar 3.1. Grafik Surplus Konsumen ..................................................... 46

Gambar 3.2. Tampilan Ec-Math ................................................................ 48

Gambar 3.3. Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1 ................. 48

Gambar 3.4. Tampilan Rumus Ec-Math .................................................... 49

Gambar 3.5. Hasil Perhitungan Suplus Konsumen 1 ................................. 49

Gambar 3.6. Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2 ................. 50

Gambar 3.7. Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2 ................. 51

Gambar 3.8. Tampilan Hasil Pengerjaan Surplus Konsumen 2 ................. 51

Gambar 3.9. Grafik Contoh Soal Surplus Konsumen ................................ 53

Gambar 3.10. Grafik Surplus Produsen ....................................................... 54


Matematika Ekonomi 2 vi ATA 14/15

Gambar 3.12. Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1 ................... 57

Gambar 3.13. Tampilan Rumus Ec-Math .................................................... 57

Gambar 3.14. Hasil Output .......................................................................... 58

Gambar 3.15. Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2 ................... 59

Gambar 3.16. Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Produsen 2 .................... 59

Gambar 3.17. Tampilan Hasil Pengerjaan Ec-Math Surplus Produsen 2 .... 60

Gambar 4.1. Tampilan Menu Awal Transedental ...................................... 69

Gambar 4.2. Tampilan Menu Model Bunga Majemuk .............................. 70

Gambar 4.3. Tampilan Hasil Output Kasus 1 ............................................ 70

Gambar 4.4. Tampilan Menu Awal Transedental ...................................... 72

Gambar 4.5. Tampilan Menu Model Pertumbuhan Majemuk ................... 73

Gambar 4.6. Tampilan Hasil Output Kasus 2 ............................................ 73

Gambar 4.7. Tampilan Awal Software Ec-Math ....................................... 75

Gambar 4.8. Tampilan awal menu Kurva Gompertz ................................. 76

Gambar 4.9. Tampilan output kasus kurva gompertz ................................ 76

Gambar 4.10. tampilan awal software ec-math............................................ 89

Gambar 4.11. Tampilan menu kurva belajar ............................................... 80

Gambar 4.12. Tampilan Output Kasus Kurva Belajar ................................. 80

Laboratorium Manajemen Dasar Derivatif

Matematika Ekonomi 2 1 ATA 14/15

DERIVATIF

1. KONSEP DASAR TURUNAN

Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan

diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensiasi, dimana : ∆x 0.

Kurva 1.1 Kurva Derivatif

Bentuk merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi

(difference quotient) yang menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat y

terhadap variabel bebas x.

2. KAIDAH DIFERENSIASI

Berikut ini adalah kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi:

1. Diferensiasi fungsi konstanta

Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y’ = 0

Contoh : y = 4 maka y’ = 0

2. Diferensiasi fungsi linear

Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y’ = b

Contoh : y = 25 + 12x maka y’ = 12

3. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = axn, dimana a adalah konstanta, maka y’ = n.a x

n-1

Contoh : y = 4X5 maka y’ = 5.4X

5-1 = 20X

4



4. Diferensiasi penjumlahan atau pengurangan fungsi

Jika y = u + v dimana u = g(x) dan v = n(x), maka y’ = u’ + v’

Contoh : y = 5X4 – 4X

5

u = 5X4, u’ = 4.5X

4-1= 20X

3

v = -4X5, v’ = 5.-4X

5-1= -20X

4

karena y’ = u’ + v’

maka y’ = 20X3 – 20X

4

5. Diferensiasi perkalian

a. Perkalian fungsi dan konstanta

Jika y = k . u , dimana u = g(x), maka y’ = k . u’

Contoh : y = 4 . 5X5

u = 5X5

maka → u’ = 5 . 5X5-1

=25X4

karena y’ = k . u’ maka y’ = 4 . 25X4 = 100X

4

b. Perkalian fungsi

Jika y = u.v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka y’ = u’.v + u.v’

Contoh: y = (X4

– 5)(4X4 – 4)

u = (X4 – 5) maka → u’ = 4X

3

v = (4X4 – 4) maka → v’ = 16X

3

karena y’ = u’.v + u.v’ maka

y’ = (4X3) (4X

4 – 4) + (X

4 – 5)(16X

3)

y’ = 16X7

– 16X3 + 16X

7 – 80X

3

6. Difernsiasi hasil bagi fungsi

Jika y =

, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y’ =

Contoh : y =

u = (X4 – 5) → u’ = (4X

3)

v = (X5 – 4) → v’ = (5X

4)



karena y’ =

, maka:

y’ = ( )

y’ =

y’ =

7. Diferensiasi fungsi komposisi (dalil rantai)

Jika y = f(u) sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f[ g(x) ], maka:

Contoh : y = (6X2 + 4)

2

misalkan : u = 6X2+4, sehingga y = u

2

maka

8. Derivatif tingkat tinggi

Derivatif ke-n dari fungsi y = f(k) diperoleh dengan mendiferensiasikan

sebanyak n kali.

Derivatif ke-n dilambangkan dengan

atau f

n(x) atau

Contoh : y = 5X5 + 4X

4 + 3X

3 + X , maka

y' atau

y’’ atau

9. Diferensiasi implisif

Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0

suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari

persamaan tersebut ditentukan oleh dy/dx.



Contoh : xy4 – x

4 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

1.y4 + x.4y

– 4x

3 +

= 0

(4xy + 1)

= 4x

3 – y

4

=

10. Derivatif fungsi logaritmik

y = ln x →

y = ln u, dimana u = g (x)

y = alog x →

contoh : jika y = ln (3 – 3x2) maka tentuka dy / dx

u = 3 – 3x2

11. Derivatif fungsi eksponensial



12. Derivatif fungsi trigonometrik

Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :

3. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA

3.1 Menentukan persamaan Garis Singgung dan Garis Normal

Langkah – langkah untuk mencari Garis Singgung dan Garis Normal adalah :

1. Tentukanlah titik singgung (xo, yo)

2. Cari koefisien arah m = f’ (x)

3. Cari Garis Singgung dengan rumus : y – yo = m (x – xo)

4. Cari Garis Normal dengan rumus : y – yo =

* Catatan :

Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva



3.2 Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

1. Fungsi y = f (x) monton naik jika f’(x) > 0

2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f’(x) < 0

3. Nilai stasioner

Jika diketahui y = f(x), maka pada f (x) = 0, titik (x, y) merupakan Nilai

Stasioner.

Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :

Jika f(x) > 0, maka (x, y) merupakan titik balik minimum

Jika f(x) < 0, maka (x, y) merupakan titik balik maksimum

Jika f(x) = 0, maka (x, y) merupakan titik balik belok

CONTOH :

Diketahui TR = 15Q – 4Q2, tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari

fungsi tersebut!

Jawab :

TR’ = 0

15-8Q = 0

-8Q = -15

Q = -15/-8

= 1.875

TR” = -8 ( TR” < 0, merupakan titik balik maksimum)

Nilai maksimum TR = 15Q – 4Q2

= 15(1.875) – 4(1.875)2

= 28.125 – 14.0625

= 14.0625



4. PENERAPAN EKONOMI

4.1 ELASTISITAS

4.1.1 ELASTISITAS HARGA

Adalah perbandingan antara perubahan relative dari jumlah perubahan

relative dari harga.

Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam yang digunakan

yaitu:

1. ELASTISITAS TITIK (Point Elasticity)

2. ELASTISITAS BUSUR (Arc Elasticity)

Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.

Kelemahannya adalah timbulnya tafsiran ganda.

Elastisitas titik dan busur dipakai untuk menghitung :

a. Elastisitas harga permintaan, d < 0 (engatif)

b. Elastisitas harga penawaran, s > 0 (positif)

Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :

a. || > 1 → ELASTIS

b. || < 1 → INELASTIS

c. || = 1 → UNITARY ELASTIS

d. || = 0 → INELASTIS SEMPURNA

e. || = → ELASTIS TAK HINGGA



4.1.2 ELASTISITAS PERMINTAAN

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang

diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan

ditanyakan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya adalah :

d = Qd’

CONTOH KASUS 1 :

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 44 – 4P2.

Tentukanlah elastisitas permintaan pada saat P = 5/unit. Bagaimanakah sifat

elastisitasnya? Analisislah!

Diketahui : Qd = 44 – 4P2 → Qd’ = -8P

P = 5

Ditanya : d ?

Jawab :

d = Qd’ .

d = -8P .

d = -8(5) .

d = 3.57 > 1 ( elastis )

Analisis :

Jadi besarnya elastisitas permintaan adalah 3.57 pada saat harga produk sebesar

Rp 5. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang akan diminta akan

turun sebanyak 3.57%



LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE

EC-MATH:

1. Buka aplikasi EC – Math pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas

Permintaan

Gambar 1.1 Tampilan Menu Derivatif

2. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2. Kemudian tekan enter.

Kemudian masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk

menampilkan hasilnya.

Gambar 1.2 Tampilan hasil output contoh kasus 1



4.1.3 ELASTISITAS PENAWARAN

Adalah suatu koefisen yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi

penawaran dinyatakan dengan Qs = f (P) , maka elastisitas

penawarannya:

s = Qs’

CONTOH KASUS 2 :

Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = -45 + 5P2.

Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 4/unit. Bagaimana sifat elastis

penawaran tersebut, analisislah!

Diketahui : Qs = -45 + 5P2

Qs’ = 10P

P = Rp 4/unit

Ditanya : s ?

Jawab :

s = Qs’ .

s= 10P .

s = 10(4) .

s = 4.57 → (elastis)

Analisis:

Jadi besarnya elastisitas penawaran adalah 4.57 pada saat harga produk sebesar

Rp.4. Jika harga tersebut naik sebesar 1% maka barang yang ditawarkan akan

bertambah sebanyak 4.57%.




EC-MATH:

1. Buka aplikasi EC – Math

Gambar 1.3 Tampilan awal software EC-Math

2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Penawaran

Gambar 1.4 Tampilan Awal Menu Derivatif



3. Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 2. Kemudian tekan enter.



Gambar 1.5 Tampilan Output Contoh Kasus 2

4.1.4 ELASTISITAS PRODUKSI

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah

masukan (input) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan

P = f(x), maka elastisitas produksinya:

p = P’

CONTOH KASUS 3 :

Diketahui fungsi produksi perusahaan PT. Coba Colek ditunjukkan oleh

persamaan P = 5X3 – 4X

2. Hitunglah elastisitas pada saat X = 4 unit dan

analisislah!



Diketahui : P = 5X3

– 4X2

P’ = 15X2 – 8X

X = 4

Ditanya : p ?

Jawab :

p = P’ .

p = (15X2 – 8X) .

p =

p =

p = 3.25

Analisis :

Jadi elastisitas produksi sebesar 3.25 pada saat jumlah masukan produk sebesar 4

unit.


EC-MATH:


Gambar 1.6 Tampilan Awal Software EC-MATH



2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Elastisitas Produksi


3, Masukkan Pangkat Terbesar sama dengan 3. Kemudian tekan enter.






4.2 BIAYA

a. BIAYA TOTAL (TC)

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau

memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap

atau biaya variabel.

TC = F(Q)

atau

TC = FC + VC

b. BIAYA RATA-RATA(AC)

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang

atau jasa pada tingkat produksi total

AC =

c. BIAYA MARGINAL (MC)

Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat

pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tingkat produksi tertentu.

MC = TC’ =

CONTOH KASUS 4:

Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan mobil PT Handok di tunjukkan oleh

persamaan TC = 4Q3 + 5Q

2 – Q + 4. Tentukanlah besarnya biaya total, biaya rata-

rata, dan biaya marginal pada saat kuantitas 4 unit? Berikan analisisnya!



Diketahui :TC = 4Q3 + 5Q

2 – Q + 4

Q = 4

Ditanya : TC, AC, dan MC pada Q = 4

Jawab :

TC = 4(4)3 + 5(4)

2 – 4 + 4

= 336

AC = TC/Q

= 336/4

= 84

MC = TC’

= 12Q2 + 10Q – 1

= 12(4)2 + 10(4) – 1

= 231

Analisis:

Jadi pada saat perusahaan memproduksi sebanyak 4 unit maka biaya total yang

dikeluarkan sebesar Rp 336 dengan biaya rata – rata sebesar Rp 84 dan biaya

marginal Rp 231


EC-MATH:


Gambar 1.9 Tampilan Awal Software EC-Math



2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Biaya


3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 3. Lalu tekan enter. Kemudian

masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk





4.3 PENERIMAAN

a. PENERIMAAN TOTAL (TR)

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

TR = F (Q) = P Q

b. PENERIMAAN RATA-RATA (AR)

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu

barang/jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan

fungsi permintaan dari harga barang tersebut.

AR =

=

= P

c. PENERIMAAN MARGINAL (MR)

Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan

penjualan atau unit barang/jasa pada suatu kuantitas tertentu.

MR = TR’ =

CONTOH KASUS 5 :

Fungsi permintaan perusahaan makanan ringan ditunjukkan oleh P = 54Q + 4.

Bagaimanakah persamaan penerimaan totalnya? Berapakah besarnya penerimaan

total, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marginal jika penjualan sebesar 5

unit? Berikan analisisnya!

Diketahui : P = 54Q + 4

Q = 5

Ditanya : TR, AR, dan MR pada saat Q = 5

Jawab :

TR = P x Q

= (54Q + 4)Q

= 54Q2 + 4Q

= 54(5)2 + 4 (5) = 1370



AR = TR / Q

= 1370 / 5

= 274

MR = TR’

= 108Q + 4

= 108 (5) + 4

= 544

Analisis :

Jadi penerimaan total yang diterima perusahaan makanan ringan saat penjualan 5

unit sebesar Rp 1370 dengan penerimaan nata-rata Rp 274 dan penerimaan

marginal sebesar Rp 544.


EC-MATH:





2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Penerimaan


3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2. Lalu tekan enter. Kemudian

masukkan angka-angka yang diketahui di soal. Lalu tekan enter untuk





4.3 LABA MAKSIMUM

Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum :

1. Pendekatan Totalitas (Totality Approach)

2. Pendekatan Rata – Rata (Average Approach)

3. Pendekatan Marginal (Marginal Approach)

Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum

dengan pendekatan marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba

dilakukan dengan membandingkan Biaya Marginal (MC) dan Pendapatan

Marginal (MR), laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.

Laba (π dibaca: phi) = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila

turunan pertama fungsi TC (dTC/dQ atau MC) sehingga MR – MC = 0.

Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau

kerugian minimum), bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR =

MC.

CONTOH KASUS 6 :

Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -455Q + 555.555

dengan biaya variabel VC = 45Q2 – 4.444Q. Biaya tetap yang dikeluarkan

perusahaan sebesar 5.444. Tentukanlah pada tingkat penjualan berapa perusahaan

bisa mendapatkan laba maksimum dan berapakah besarnya laba tersebut?

Analisislah!

Diketahui : P = -455Q + 555.555

VC = 45Q2 – 4.444Q

FC = 5.444

Ditanya : Q pada saat laba max?

Jawab :

TR = P x Q

= (-455Q + 555.555 ).Q

= -455Q2 + 555.555Q



TC = VC + FC

= (45Q2 – 4.444Q)+5.444

= 45Q2 – 4.444Q + 5.444

Laba / rugi = TR – TC

= (-455Q2 + 555.555Q) – (45Q

2 – 4.444Q + 5.444)

= -500Q2 + 559.999Q – 5.444

Laba maksimum →laba’ = 0

-1.000Q + 559.999 = 0

1.000Q = 559.999

Q = 559,999 → 560

Saat Q = 560 →Laba = -500Q2 + 559.999Q – 5.444

= -500(560)2 + 559.999(560) – 5.444

= 156.793.996

Analisis:

Jadi untuk mendapatkan laba maksimum, perusahaan harus menjual produknya

sebanyak 560 unit sehingga keuntungan yang ia dapat sebesar 156.793.996


EC-MATH:





2. Pilih Derivatif kemudian pilih Mencari Fungsi Laba


3. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 pada fungsi penerimaan total

dan fungsi biaya total kemudian masukkan angka – angka yang diketahui di soal

kemudian tekan enter.


Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tak Tentu


INTEGRAL TAK TENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TAK TENTU

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral, yaitu

integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).

Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang

berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau

derivatif dari fungsinya diketahui. Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x)

berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah :

Keterangan :

∫ tanda integral

= diferensial dari F(x)

= integran

F(x) = integral particular

F(x)= intergal partikular

k = konstanta pengintegralan

Formula Integral

Dalam diferensial kita menemukan bahwa jika suatu fungsi asal

dilambangkan dengan F(x) dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x)

maka:

Untuk fungsi asal : F(x)= + 5

Fungsi turunannya : =

= 2x

Jika prosesnya dibalik (fungsi turunan f(x) diintegralkan), maka:

∫𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑘 = 𝑥 + k

∫ X dx 𝑋𝑛+

𝑛 + k

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑘



Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol. Jadi setiap kita mengintegralkan

fungsi turunan konstanta c tetap dalam bentuk c. Nilai c tidak dapat diisi dengan

sembarang bilangan tertentu kecuali nilai c tersebut sudah ditentukan. Karena

ketidaktentuan nilai konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan

kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.

2. KAIDAH-KAIDAH DALAM INTEGRAL TAK TENTU

Berikut ini adalah beberapa kaidah dalam integral tak tentu, diantaranya:

1. Formula pangkat

∫

+ k

2. Formula logaritmis

∫

ln + k

3. Formula eksponensial

∫ + k

∫ + k u = ƒ(x)

4. Formula penjumlahan

{ }

5. Formula perkalian

∫ ∫

6. Formula subtitusi

∫

= ∫




Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan

fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya

diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi

total, maka dengan proses sebaliknya, yaitu integrasi, dapat dicari fungsi asal dari

fungsi turunan tersebut atau fungsi totalnya.

3.1 FUNGSI BIAYA

BIAYA TOTAL (TC) = ∫ MC dQ = ∫ f’ (Q)

BIAYA RATA-RATA(AC) =

CONTOH KASUS 1 :

Diketahui fungsi biaya marjinal pada suatu perusahaan Maju Cantik sebesar MC =

15Q²+ 4Q + 4. Bentuklah fungsi biaya total dan biaya rata-ratanya apabila

diketahui konstanta sebesar 5. Berapakah besarnya biaya total dan biaya rata-rata

jika kuantitasnya sebesar 55 unit? Analisislah!

Diketahui : MC = 15Q² + 4Q + 4

k = 5

Q = 55

Ditanya :Persamaan TC dan AC?

Besarnya TC & AC jika Q = 55?

Jawab :

TC = ∫MC dQ

= ∫ 15Q² + 4Q + 4 dQ

=

Q

3 +

Q

2 + 4Q + k

= 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5

AC

=

= 5Q² + 2Q + 4 +



Jika Q=55, maka:

TC = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5

= 5(55)³ + 2(55)² + 4(55) + 5

= 831.875 + 6.050 + 220 + 5

= 838.150

AC =

=

= 15.239,09

Analisis :

Apabila MC = 15Q² + 4Q + 4 dan konstanta sebesar 5, maka fungsi biaya total

dan fungsi biaya rata-rata adalah TC = 5Q³ + 2Q² + 4Q + 5 dan AC = 5Q² + 2Q +

4 +

. Pada saat kuantitasnya sebesar 55 unit maka biaya total sebesar Rp

838.150,00 dan biaya rata-rata sebesar Rp15.239,09.


EC-MATH


Gambar 2.1 Tampilan Menu Awal Software EC-Math



2. Pilih Integral Tak Tentu

Gambar 2.2 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Biaya

Gambar 2.3 Tampilan Menu Operasi Fungsi Biaya



4. Masukan data-data yang diketahui dari soal. Untuk menentukan Banyaknya

Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan FC

sebesar c, yaitu 5, kemudian masukkan persamaan MC seperti yang diketahui di

soal. Klik Calculate.

Gambar 2.4 Tampilan Menu Input Data Fungsi Biaya

5. Untuk mencari besarnya TC dan AC, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,

yaitu 55. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.5 Tampilan Menu Output Data Fungsi Biaya contoh Kasus 1



3.2 FUNGSI PENERIMAAN

PENERIMAAN TOTAL (TR) = ∫ MR dQ = ∫ f’ (Q)

PENERIMAAN RATA-RATA (AR) =

CONTOH KASUS 2 :

Jika fungsi penerimaan marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh persamaan

MR = 45Q² + 4Q + 5 maka bentuklah fungsi TR dan AR jika k = 0?

Berapakah besarnya penerimaan total dan penerimaan rata-rata jika kuantitas yang

terjual sebesar 15 unit? Analisislah!

Diketahui : MR = 45Q² + 4Q + 5

k = 0

Q = 15

Ditanya : Persamaan TR dan AR?

Besarnya TR dan AR jika Q = 15?

Jawab :

TR = ∫MR dQ

= ∫ 45Q² + 4Q + 5 dQ

=

Q

3 +

Q

2 + 5Q + k

= 15Q³ + 2Q² + 5Q

AR =

= 15Q3

+ 2Q2

+ 5Q

Q

= 15Q² + 2Q + 5

Jika Q=15, maka:

TR = 15Q³ + 2Q² + 5Q

= 15(15)³ + 2(15)² + 5(15)

= 50.625 + 450 + 75

= 51.150



AR =

=

= 3.410

Analisis :

Apabila MR = 45Q² + 4Q + 5 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi penerimaan

total dan fungsi penerimaan rata-ratanya adalah TR = 15Q³ + 2Q² + 5Q dan AR =

15Q² + 2Q + 5.

Jika pada saat kuantitasnya sebesar 15 unit, maka besarnya biaya penerimaan

yang masuk ke perusahaan tersebut adalah Rp 51.150,00. Sedangkan besarnya

penerimaan rata-rata adalah Rp 3.410.


EC-MATH






Gambar 2 .7 Tampilan Menu Awal Integral Tak Tentu

3. Pilih Fungsi Penerimaan

Gambar 2.8 Tampilan Menu Operasi Fungsi Penerimaan




Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 2. Masukkan

persamaan MR seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.9 Tampilan Menu Input Data Fungsi Penerimaan

5. Untuk mencari besarnya TR dan AR, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,


Gambar 2.10 Tampilan Menu Output Data Fungsi Penerimaan contoh kasus 2



3.3 FUNGSI PRODUKSI

PRODUK TOTAL (TP) = ∫ MP dX = ∫ f’ (X)

PRODUK RATA-RATA (AP) =

X = Masukan atau Input

CONTOH KASUS 3 :

Produk marjinal PT.RED ditunjukkan oleh persamaan 54X² + 1. Bentuklah fungsi

produk total dan fungsi produk rata-ratanya jika k = 0? Berapakah besarnya

produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 11 unit?

Analisislah!

Diketahui : MP = 54X² + 1

k = 0

X = 11

Ditanya : Persamaan TP dan AP?

Besarnya TP dan AP jika X = 11?

Jawab :

TP = ∫ MP dX

= ∫ 54X² + 1

=

X

3 + X + k

= 18X³ + X + k

= 18X³ + X + 0

= 18X³ + X

AP =

= X X

= 18X²



Jika X = 11, maka:

TP = 18X³ + X

= 18(11)³ + 11

= 23.969

AP =

=

= 2.179

Analisis :

Apabila MP = 54X² + 1 dan konstantan sebesar 0, maka fungsi Total Produksi TP

= 18X³ + X dan fungsi rata-rata produksi AP = 18X² .

Jika masukan yangdigunakan sebesar 11 unit, maka besarnya produk total adalah

23.969 unit. Sedangkan produk rata-ratanya sebesar 2.179 unit.


EC-MATH

1.Buka aplikasi EC Math






3. Pilih Fungsi Produksi

Gambar 2.13 Tampilan Menu Operasi Fungsi Produksi




Variabel hitung berapa banyak variabel pada data soal, yaitu 1. Masukkan

persamaan MP seperti yang diketahui di soal. Klik Calculate.

Gambar 2.14 Tampilan Menu Input Data Fungsi Produksi

5. Untuk mencari besarnya TP dan AP, masukkan nilai Q seperti yang ada di soal,


Gambar 2.15 Tampilan Menu Output Data Fungsi Produksi contoh kasus 3



3.4 FUNGSI UTILITAS

UTILITAS TOTAL (TU) = ∫ MU dQ = ∫ f’ (Q)

CONTOH KASUS 4:

Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas

marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 45Q² - 44Q +1 dan konstantanya

sebesar 0? Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 14?

Diketahui : MU = 45Q² - 44Q +1

k = 0

Q = 14

Ditanya : Persamaan TU?

Besarnya TU jika Q = 14?

Jawab :

TU = ∫ MU dQ

= ∫ 45Q² - 44Q +1 dQ

=

Q

3 -

Q

2 + Q + k

= 15Q³ - 22Q2 + Q + k

= 15Q³ - 22Q2 + Q

Jika Q = 14 maka:

TU = 15Q³ - 22Q2 + Q

= 15(14)³ - 22(14)2 + 14

= 41.160 – 4.312 + 14

= 36.862

Analisis :

Apabila MU = 45Q² - 44Q +1 dan konstanta sebesar 0, maka fungsi utilitas

totalnya adalah TU = 15Q³ - 22Q + Q. Jika kuantitasnya sebesar 14 unit, maka

besarnya utilitas total konsumen sebesar 36.862



3.5 FUNGSI KONSUMSI DAN FUNGSI TABUNGAN

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional

terhadap pendapatan nasional (Y). Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C)

adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

Keterangan:

MPC (Marginal Propensity to Consume) = Perbandingan antara besarnya

perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang

mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

MPS (Marginal Propensity to Saving)= Perbandingan antara besarnya perubahan

saving (ΔS) dengan perubahan Pendapatan Nasional (ΔY) yang mengakibatkan

adanya perubahan konsumsi tersebut.

k = a = Autonomous Consumption = konsumsi otonom menunjukkan besarnya

konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol

k = -a = Autonomous Saving = Tabungan otonom menunjukkan besarnya

tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol.

Dimana :

MPC < 1 = menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan

digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu

sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > 0,5 = menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan

untuk konsumsi.

MPC selalu positif = karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k = +a

S = ∫ MPS dY = F(Y) + k k = -a

0,5 < MPC < 1

MPC + MPS = 1



CONTOH KASUS 5 :

Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara

Juvedona jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 15

milyar? Berapa besar konsumsi dan tabungan masyarakat jika pendapatan

nasional negara Juvedona sebesar 445 Milyar?

Diketahui :MPC = 0,55

Konsumsi Otonomus = k = a= 15

Pendapatan Nasional = 445

Ditanya : f (C) & f(S)? Besar C & S?

Jawab :

MPC + MPS = 1

MPS = 1 – MPC

= 1 – 0,55

= 0,45

C = ∫ MPC dY

= ∫ 0,55 dY

= 0,55Y + k

= 0,55Y + 15

S = ∫ MPS dY

= ∫ 0,45 dY

= 0,45Y + k

= 0,45Y – 15

Jika (Y=445) maka,

C = 0,55Y + 15

= 0,55(445) + 15

= 259,75



S = 0,45Y – 15

= 0,45(445) – 15

= 185,25

Analisis :

Apabila MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 15; maka fungsi

konsumsi yang terbentuk adalah C = 0,55Y + 15. Sedangkan fungsi tabungannya

adalah S = 0,45Y – 15. Jika pada saat Pendapatan Nasional sebesar 445 maka

konsumsi dan saving masyarakat negara Juvedona sebesar 259,75 & 185,25.


EC-MATH







3. Pilih Fungsi Konsumsi

Gambar 2.18 Tampilan Menu Operasi Fungsi Konsumsi



4. Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar 15,

kemudian masukkan nilai MPC yaitu 0,55. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.19 Tampilan Menu Input Data Fungsi Konsumsi

5. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk

menghitung nilai konsumsinya, klik Calculate.

Gambar 2.20 Tampilan Menu Output Data Fungsi Konsumsi Contoh Kasus 5



6. Setelah itu masuk ke menu Integral Tak Tentu. Lalu pilih Fungsi Tabungan.

Masukkan nilai k atau a sesuai dengan data yang diketahui di soal sebesar -15,

kemudian masukkan nilai MPS yaitu 0,45. Kemudian klik Calculate.

Gambar 2.21 Tampilan Menu Input Data Fungsi Saving

7. Masukan nilai Y sesuai data soal sebesar 445 pada kolom Y untuk menghitung

nilai savingnya, klik Calculate.

Gambar 2.22 Tampilan Menu Output Data Fungsi Saving contoh kasus 5

Laboratorium Manajemen Dasar Integral Tertentu


INTEGRAL TERTENTU

1. KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU

Integral Tertentu (definisi) merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan

proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah

ditentukan.

Rumus Integral tertentu :

∫

=

a = batas bawah

b = batas atas

dimana a < b

Contoh:

Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan nilai a = 1 dan nilai b =4

pada persamaan ∫5x2 + 4x + 1 dx !

Jawab :

∫5x2 + 4x + 1 dx = [5/3x

3 + 2x

2 + x

= [5/3 (4)3 + 2 (4)

2 + 4] – [5/3 (1)

3 + 2 (1)

2 + 1]

= [ 106,67 + 32 + 4 ] – [ 1,67 + 2 + 1 ]

= [ 142.67 ] – [ 4,67 ]

= 138


Integral Tertentu dapat digunakan untuk mencari besarnya keuntungan Konsumen

(Surplus Konsumen) dan besarnya keuntungan Produsen (Surplus Produsen).



2.1 SURPLUS KONSUMEN = SK (Consumer’s Surplus = CS)

Surplus konsumen merupakam cerminan suatu keuntungan lebih/surplus

yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar

suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area di

bawah kurva permintaan ( P = f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

Catatan: Jika mencari SK/CS maka harus memakai fungsi permintaan

1. Jika fungsi permintaan/ demand berbentuk D = Maka Rumusnya:

CS =∫

= ∫

Keterangan :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

= Tingkat harga pada saat Q=0

Gambar 3.1 Grafik Surplus Konsumen

CONTOH SOAL 1

Diketahui suatu fungsi permintaan barang Pd = 54 – 4Q dan fungsi penawaran Ps

= 4 + Q, tentukan surplus konsumen dengan dua cara? Analisi dan buat grafiknya!

Diketahui : Pd = 54 – 4Q

Ps = 4 + Q

Ditanya : Cs ?



Jawab :

Cara 1 : Pd = Ps P = 54 – 4Q

54 – 4Q = 4 + Q P = 54 – 4(10)

– 4Q - Q = 4 – 54 Pe = 14

- 5Q = - 50

Qe = 10

Analisis:

Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 200 karena konsumen

dapat membeli dengan harga Rp 14 padahal konsumen sanggup membayar lebih

tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 14.

Langkah membuat kurva:

1. Pd = 54 – 4Q

Misal P = 0, maka 0 = 54 – 4Q

4Q = 54

Q = 13,5



Misal Q = 0, maka P = 54 – 4 (0)

P = 54

2. Letakkan nilai kuantitas keseimbangan pasar (Qe = 10) dan harga keseimbangan

pasar (Pe = 14).

3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga , L = (a x t) : 2. Dengan

a = 10 ; t = 40. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (10 x 40)

: 2 = 200

Gambar 3.2 Grafik Surplus Konsumen soal 1

LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH :

1. Buka software EC-Math, Lalu pilih materi Integral tertentu, Surplus

Konsumen 1 (Rumus1)

Gambar 3.3 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 1



2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal ( Lihat fungsi permintaan

nya), pilih 1 variabel

Gambar 3.4 Tampilan Rumus Ec-Math

3. Masukan data-datanya sesuai soal. Jika sudah semua, Klik Hitung, maka akan

muncul jawabannya.

Gambar 3.5 Hasil Perhitungan Suplus Konsumen 1



Cara 2

Pd = 54 – 4Q 4Qd = 54 – P

Qd = 13.5 – 0.25P

Jika : Q = 0 ; = 54

200


1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Konsumen 2 (Rumus2)

Gambar 3.6 Tampilan Integral Tertentu Surplus Konsumen 2



2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal ( Lihat fungsi permintaan

nya), pilih 1 variabel

Gambar 3.7 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Konsumen 2

3. Masukan nilai konstanta dan nilai koefisien nya. Jika sudah lalu klik Hitung,

maka akan keluar jawabannya.

Gambar 3.8 Tampilan Hasil Pengerjaan Surplus Konsumen 2



CONTOH SOAL 2

Jika fungsi permintaan P= 45 – 4Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya

adalah 5. Hitunglah surplus konsumen nya dengan menggunakan 2 cara,

analisislah dan buat grafiknya !

Diketahui : P = 45 – 4Q

Qe = 5

Ditanya : Cs?

Jawab :

Qe = 5 Pe = 45 – 4(5) = 25

Cara 1

Analisi: Jadi surplus yang diperoleh konsumen tersebut sebesar Rp 50 karena

konsumen dapat membeli dengan harga Rp 25 padahal konsumen sanggup

membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar yang bernilai Rp 25.


1. Pd = 45 – 4Q

Misal P = 0, maka 0 = 45 – 4Q

4Q = 45

Q = 11,25



Misal Q = 0, maka P = 45 – 4 (0)

P = 45


pasar (Pe = 25).

3. Untuk area Cs dapat dihitung dengan rumus luas segitiga , L = (a x t) : 2. Dengan

a = 5 ; t = 20. Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (5 x 20) :

2 = 50

Gambar 3.9 Grafik Surplus Konsumen soal 2

Cara 2:

Pd = 45 – 4Q 4Qd = 45 – P

Qd = 11,25 – 0.25P

Jika : Q = 0 ; = 45



50

2.2 SURPLUS PRODUSEN = SP (Producer’s Surplus = PS)

Surplus produsen mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang

dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan harga pasar dari barang yang

ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas

kurva permintaan (P = f (Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe). Rentang

wilayah nya dibatasi oleh Q = sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

Catatan: Jika mencari SP/PS maka harus memakai fungsi penawaran

Ps = ∫

= ∫

Keterangan :

Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

= Tingkat harga pada saat Q=0

Gambar 3.10 Grafik Surplus Produsen



CONTOH SOAL 3

Diketahui fungsi penawaran suatu barang adalah Ps = 45 + Q dan fungsi

permintaan Pd = 51 – Q. hitunglah surplus produsen PT. OPQ, analisis dan buat

grafiknya!

Diketahui : Ps = 45 + Q

Pd = 51 – Q

Ditanya : Ps ?

Jawab :

Cara 1 Pd = Ps P = 45 + Q

51 – Q = 45 + Q P = 45 + 3

-Q – Q= 45 – 51 Pe = 48

- 2Q = - 6

Qe = 3

≈ 5

Analisis

Jadi produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp 5 dikarenakan perusahaan

dapat menjual barang dengan harga Rp 48 padahal sebenarnya ia bersedia menjual

dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar dengan nilai Rp

48




1. Ps = 45 + Q

Misal P = 0, maka 0 = 45 + Q

Q = -45

Misal Q = 0, maka P = 45 + 0

P = 45


pasar (Pe = 48).

3. Untuk area Ps dapat dihitung dengan rumus luas segitiga , L = (a x t) : 2. Dengan

a =3 ; t =3 . Maka nilai Cs atau Luas segitiga yang diarsir adalah L = (3 x 3) : 2 =

4,5.

Gambar 3.11 Grafik Surplus produsen soal 1




1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Produsen 1 (Rumus1)

Gambar 3.12 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 1

2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi

Penawarannya), pilih 1 variabel

Gambar 3.13 Tampilan Rumus Ec-Math



3. Masukan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung, maka akan tampil

jawabannya,

Gambar 3.14 Tampilan Output Surplus Produsen soal 1

Cara 2

Ps = 45 + Q Qs = P – 45

Jika : Q = 0 ; = 45

≈ 5



LANGKAH–LANGKAH MENGGUNAKAN SOFTWARE EC-MATH

1. Pilih materi Integral tertentu, Surplus Produsen 2 (Rumus 2)

Gambar 3.15 Tampilan Integral Tertentu Surplus Produsen 2

2. Masukan jumlah variable Q yang tertera pada soal (Lihat fungsi

Penawarannya), pilih 1 variabel

Gambar 3.16 Tampilan Rumus Ec-Math Surplus Produsen 2



3. Masukan data-datanya sesuai soal, jika sudah klik Hitung, maka akan tampil

jawabannya

Gambar 3.17 Tampilan Hasil Pengerjaan Ec-Math Surplus Produsen 2

Laboratorium Manajemen Dasar Transedental


TRANSEDENTAL

1. KONSEP DASAR TRANSEDENTAL

Transedental merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan

hubungan ketergantungan. Transedental digunakan untuk menentukan tingkat

pertumbuhan pada periode yang akan datang. Yang termasuk dalam fungsi

transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik,

fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Namun pokok pembahasan

di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik. Baik fungsi

eksponensial maupun fungsi logaritmik keduanya memiliki hubungan yang erat,

dikarenakan fungsi logaritma adalah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponen

tertentu, atau sebaliknya.

1.1 Fungsi Eksponensial

Fungsi Eksponensial berbeda dengan fungsi pangkat. Fungsi pangkat

adalah suatu fungsi dimana variabel bebasnya dipangkatkan dengan suatu

konstanta. Sedangkan fungsi eksponensial adalah suatu fungsi dimana

konstantanya dipangkatkan dengan variabel bebasnya.

Bentuk Fungsi Eksponens yang paling sederhana adalah:

di mana: n > 0

Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah:

di mana: n ≠ 0

e = 2,71828

k , c = konstanta

𝑦 𝑛𝑥

𝑦 𝑛𝑒𝑘𝑥 𝑐



Hukum-Hukum Eksponensial, antara lain:

1. a0 = 1

2. a-k

=1/(a)k

3. a1/q

= q√ a

4. am

an

5. am / an = a m-n

6. (am

)k

= amk

Contoh Soal:

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e0,45x

- 1 , pada masing-masing

sumbu dan hitunglah f(4)!

Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0

e0,45x

– 1 = 0

e0,45x

= 1

Ln e0,45x

= Ln 1

0,45x Ln e = Ln 1

0,45x = 0

x = 0

Titik potongnya (0 ; 0)

Ket :

Ln e = 1

Ln 1 = 0



Pada sumbu y ; x = 0

y = e0,45x

- 1

y = e0,45(0)

- 1

y = e0 - 1

y = 1 - 1

y = 0

Titik potongnya (0 ; 0)

Untuk x = 4

y = e0,45x

- 1

y = e0,45(4)

- 1

y = e1,8

– 1

y = 2,7181.8

– 1

y = 6,0496 – 1

y = 5,0496

Titik potongnya (4 ; 5,0496)

1.2 Fungsi Logaritmik

Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok

untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Misalnya, 52

= 25, ini berarti bahwa

eksponen 2 sebagai logaritma dari 25 dengan bilangan pokok 5. Sedangkan

fungsi logaritma adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan

logaritma, seperti y = a log x atau log y = a + b log x.



Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :

di mana: n > 0

n ≠ 1

Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :

di mana: x > -1

Hukum-Hukum atau rumus-rumus logaritma

1. Log a.b = log a + log b

2. Log a/b = log a – log b

3. a log b = log b / log a

4. a log b = c maka a

c = b

5. a log a = 1

6. log xn = n log x

7. a log 1 = 0

8. a a log b

= b

Contoh:

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = -4,5 Ln(1 + x) – 1, pada masing-

masing sumbu dan hitunglah f(4)!

Jawab :

Pada sumbu x ; y = 0

-4,5 Ln(1 + x) – 1 = 0

-4,5 Ln (1 + x) = 1

𝑦 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑥

y = a Ln(1+x) + b



Ln (1 + x) = -0,22

1 + x = e–0,22

1 + x = 0,8025

x = -0,1975

Titik potongnya (-0,1975; 0)

Pada sumbu y ; x = 0

y = -4,5 Ln (1 + x) – 1

y = -4,5 Ln (1 + 0) – 1

y = -4,5 Ln 1 – 1

y = -4,5 . 0 – 1

y = –1

Titik potongnya (0 ; -1)

Untuk x = 4

y = -4,5 Ln(1 + x) – 1

y = -4,5 Ln(1 + 4) – 1

y = -4,5 Ln 5 – 1

y = -7,242 – 1

y = -8,242

Titik potongnya (4 ; -8,242)


Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan

fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang

berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi

eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain:



2.1 MODEL BUNGA MAJEMUK

Modul bunga majemuk tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial.

Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa mendatang dari jumlah

sekarang suatu pinjaman atau tabungan.

Jika suatu modal awal P dibunga majemukkan secara tahunan pada suku

bunga i selama n tahun, maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:

Tetapi jika bunga dimajemukkan sebanyak m kali dalam setahun, maka

jumlah di masa mendatang Fn adalah :

di mana :

Fn = Jumlah saldo pinjaman atau tabungan setelah n tahun.

P = Jumlah saldo sekarang (tahun ke-0).

i = Tingkat bunga per tahun.

m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.

n = Jumlah tahun

Dalam hal ini Fn merupakan variabel terikat (dependent variable) dan n

sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian, prinsipprinsip

penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan terhadap model ini.

Selanjutnya, apabila bunga dimajemukkan secara kontinu selama satu

tahun (m sangat besar / bunga diperhitungkan secara terus menerus atau sering),

maka jumlah di masa mendatang Fn adalah:

dimana e = 2,71828

𝐹𝑛 𝑃 𝑖 𝑛

𝐹𝑛 𝑃 𝑖

𝑚 𝑚 𝑛

𝐹𝑛 ≈ 𝑃 𝑒𝑖 𝑛



Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung (continuous

compound interest). Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam

seringkali dipraktekkan oleh para “pelepas uang” atau “rentenir” atau “lintah

darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang

yang dipinjamkannya secara harian (m = 360). Oleh karena itu, model ini dapat

pula disebut “model lintah darat”

CONTOH SOAL 1:

Aliando baru saja memenangkan kuis berhadiah Rp 155.555.555. Untuk itu

uangnya langsung ia tabung di Bank Gunadarma dengan bunga 5% pertahun.

Berapa jumlah tabungan Aliando setelah 5 tahun, jika bunga diperhitungkan :

a. Setiap triwulan

b. Setiap per jam

Diketahui :P = 155.555.555

i = 5% = 0,05

m = 4

n = 5

Ditanya : a. F5 per triwulan?

b. F5 per jam?

Jawab :

a. Per triwulan (dengan rumus bunga majemuk biasa)

1) Tanpa Menggunakan Logaritma

F5 = 155.555.555 (1,0125)20

F5 = 155.555.555 (1,2820)

F5 = 199.428.013,1



2) Dengan Menggunakan Logaritma

F5= 155.555.555 (1,0125)20

Log F5= log 155.555.555 + 20 log 1,0125

Log F5= 8,19188 + 0,1079

Log F5= 8,29978

F5 = 199.428.013,1

b. Per jam (dengan rumus bunga majemuk sinambung)

1) Tanpa Menggunakan Logaritma Natural

F5 ≈ 155.555.555 x e0,05 * 5

F5 ≈ 155.555.555 x e0,25

F5 ≈ 155.555.555 x 1,2840

F5 ≈ 199.737.286,3

2) Dengan Menggunakan Logaritma Natural

F5 ≈ 155.555.555 x e0,05 * 5

F5 ≈ 155.555.555 x e0,25

Ln F5 ≈Ln 155.555.555 + 0,25 Ln e

Ln F5 ≈ 18,8625 + 0,25

Ln F5 ≈ 19,1125

F5 ≈ 199.737.286,3

Analisis :

Jumlah uang tabungan Aliando setelah 5 tahun apabila pembayaran bunga

dihitung per triwulan adalah sebesar Rp 199.428.013,1 Sedangkan jika

pembayaran bunga dihitung per jam Rp 199.737.286,3



Langkah-Langkah Pengerjaan Menggunakan Software Ec-Math

1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik

Transendental.

Gambar 4.1. Tampilan Menu Awal Transedental

2. Lalu pilih Model Bunga Majemuk

Gambar 4.2. Tampilan Menu Model Bunga Majemuk



3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu klik hasil maka akan muncul

jawaban dibawah data diketahui

Gambar 4.3 Tampilan Hasil Output Kasus 1

Catatan :

Hasil perhitungan secara manual dengan menggunakan software EC-Math

mengalami perbedaan karena pada perhitungan secara manual menggunakan

pembulatan 4 angka dibelakang koma, sedangkan pada software EC-Math tidak

menggunakan pembulatan.

2.2 MODEL PERTUMBUHAN

Model pertumbuhan tak lain juga merupakan bentuk fungsi eksponensial.

Model ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi juga

dapat diterapkan untuk menaksir variabel-variabel lain yang berkenaan dengan

pertumbuhannya.

𝑃𝑡 𝑃 𝑅𝑡

R = 1 + r



Dimana :

Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.

t = Jumlah tahun.

P1 = Jumlah penduduk pada tahun pertama (basis).

r = Tingkat pertumbuhan

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variabel

dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka

persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi:

di mana:

N = Variabel yang sedang diamati.

r = Persentase pertumbuhan per satuan waktu.

t = Indeks tahun.

CONTOH SOAL 2:

Pada tahun 2010 jumlah mahasiswa fakultas ekonomi di World Class University

adalah 1.155 mahasiswa. Diperkirakan pertumbuhan mahasiswa fakultas ekonomi

setiap tahunnya sebesar 15% per tahun. Hitunglah berapa jumlah mahasiswa

fakultas ekonomi di World Class University pada tahun 2014? Analisislah!

Diketahui: N = 1.155

t = 5 tahun

r = 0,15

R = 1 + 0,15 = 1,15

Ditanya : N5 = ….. ?

𝑁𝑡 𝑁 𝑅𝑡 R = 1 + r



Jawab :

1) Tanpa Menggunakan Logaritma

Nt = N1 x R(t-1)

N5 = 1.155 x 1,15(5-1)

N5 = 1.155 x 1,154

N5 = 1.155 x 1,749

N5 = 2.020 mahasiswa

2) Dengan Menggunakan Logaritma

N5 = 1.155 x 1,15(5-1)

N5 = 1.155 x 1,154

Log N5 = log 1155 + 4 log 1,15

Log N5 = 3,0626 + 0,2428

Log N5 = 3,3054

N5 = 2.020 mahasiswa

Analisis :

Dalam kurun waktu 5 tahun ke depan diperkirakan jumlah mahasiswa fakultas

ekonomi di Worl Class University akan meningkat menjadi 2.020 mahasiswa,

dengan jumlah peningkatan sebesar 865 mahasiswa.


1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental,

Gambar 4.4 Tampilan Menu Awal Transedental



2. Lalu pilih Model Pertumbuhan Majemuk.

Gambar 4.5 Tampilan Menu Model Pertumbuhan Majemuk

3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul

jawaban dibawah data diketahui.

Gambar 4.6. Tampilan Hasil Output Kasus 2



2.3 KURVA GOMPERTZ

Metode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secara

eksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya

sangat kecil atau tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.

Dimana:

N = Jumlah variabel tertentu yang sedang diamati

c = Batas jenuh pertumbuhan

a = Proporsi pertumbuhan awal

r = Tingkat pertumbuhan rata-rata

t = Indeks waktu

CONTOH SOAL 3

Diketahui PT.Valiant setiap bulannya selalu mengalami peningkatan jumlah

produksi sebesar 55% bulan, dengan produksi awal sebesar 541 unit. Jika batas

jenuh pertumbuhan sebesar 1.454, berapakah jumlah produk yang akan dihasilkan

oleh perusahaan pada bulan ke 4 ?

Diketahui :

Ditanya : ?

Jawab :

1) Tanpa menggunakan Logaritma



913486208

≈

2) Dengan meggunakan logaritma

-0,42945706)

(-0,039298005)

≈

Analisis : Jadi pada bulan ke-4 PT.Laksana jaya akan menghasilkan 1.328 unit

produk jika produksi awalnya sebesar 541 unit dengan tingkat pertumbuhan 55%

setiap bulan , dan batas jenuh pertumbuhan sebesar 1.454.


1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental.

Gambar 4.7 Tampilan awal software ec-math



2. Pilih Kurva Gompertz

Gambar 4.8. Tampilan awal menu Kurva Gompertz

3. Klik mencari N, lalu isi sesuai dengan angka pada soal, lalu klik Hasil.

Gambar 4.9. Tampilan output kasus kurva gompertz



2.4 KURVA BELAJAR (Learning Curve)

Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untuk

menggambarkan perilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabel

waktu.

a. Bentuk Dasar

Dimana:

m = batas jenuh y atau y tertinggi yang dapat tercapai

k, m, s > 0

b. Perilaku Produksi

Dimana:

P = Produksi per satuan waktu setelah t satuan waktu

Pm = Kapasitas produksi maksimum per satuan waktu

Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada

t= 0)

t = Indeks waktu

r = Tingkat pertumbuhan produksi

c. Perilaku Biaya

Dimana:

C = Biaya total per satuan waktu

Cm = Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang

disediakan) per satuan waktu

Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0)

t = Indeks waktu

r = Persentase kenaikan biaya per satuan waktu



CONTOH SOAL 4

PT.Semakin Jaya mampu menghasilkan kapasitas produksi maksimum sebesar

44% pada awal produksi dari kapasitas yang telah ditentukan. Namun manager

produksi perusahaan yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sebesar 15% setiap

bulan. Jika kapasitas produksi maksimum perusahaan sebesar 1115 unit, maka:

a. Bentuklah persamaan perilaku produksi bulanan

b. Unit yang dihasilkan pada awal produksi

c. Berapa unit produksi setelah produksi berlangsung selama 4 bulan?

Diketahui : Pm = 1115

Ps = 56% (1115) = 624,4

r = 15% = 0,15

t = 4

Ditanya : a. persamaan P

b. produksi perdana

c. jumlah produksi setelah 5 bulan

Jawab :

1) Tanpa menggunakan Logaritma

P = Pm – Ps e – r.t

P = 1.115 – 624 e - 0,15 . 4

P = 1.115 – 624 e – 0,6

P = 1.115 – 624 0,5488

P = 1.115 – 324,458

P = 772,54 = 773

2) Dengan menggunakan Logaritma Natural

P = Pm – Ps e – r.t

P = 1.115 – 624 e - 0,15 . 4

P = 1.115 – 624 e – 0,6

P = 1.115 – 624 ( -0,6 ln e )

P = 1.115 – 624 ( -0,6 . 1 )



P = 1.115 – 624 ( anti ln -0,6 )

P = 1.115 – 624 (0,5488)

P = 1.115 – 342,458

P = 772,54 = 773

Analisis : Dengan kapasitas produksi maksimum sebesar 1.115 unit dan

peningkatan produksi 15% setiap bulannya, maka jumlah produksi yang

dihasilkan perusahaan setelah 4 bulan adalah 773 unit


1. Buka software EC MATH, lalu klik materi Transendental, klik

Transendental.

Gambar 4.10 tampilan awal software ec-math



2. Pilih Kurva Belajar (Learning Curve)

Gambar 4.11 Tampilan menu kurva belajar

3. Isi Angka sesuai soal, lalu klik Hasil.

4.12 Tampilan output kasus kurva belajar



DAFTAR PUSTAKA

Assauri, Sofjan. 1996. Matematika Ekonomi, Edisi Baru. Jakarta: PT Raja

Grafindo Persada.

Dumairy. 1995. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi Kedua.

Yogyakarta:

BPFE. Dumatubun, Pius Izak. 1999. Matematika Aplikasi Bisnis dan Ekonomi,

Edisi Pertama.

Yogyakarta: ANDI. H. Johanes dan Budiono, Sri Handoko. 1994. Pengantar

Matematika untuk

Ekonomi. Jakarta: LP3ES. Kalangi, Josep Bintang. 2006. Matematika Ekonomi &

Bisnis. Jakarta: Salemba Empat.

Modul Matematika Ekonomi 2. Lab. Manajemen Dasar Periode ATA 2012/2013.

Universitas Gunadarma, Buku Diktat Matematika Ekonomi, 2002

Alpha C.Chiang , Kevin Wainwraight .Dasar-dasar Matematika Ekonomi .Jilid 1

Kalangi, Joseph Bintang. 2006. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta :

Salemba Empat.

Riyanti Esty, Hedwigis (2008). Matematika Ekonomi Bisnis 2, Penerbit: PT.

Grasindo, Jakarta.

Buku Diktat Matematika Ekonomi.2002.Universitas Gunadarma

Wibisono, Yusuf. 1999. Manual Matematika Ekonomi. Yogyakarta: UGM Press.



Laboratorium Manajemen Dasarma-dasar.lab.gunadarma.ac.id/wp-content/uploads/2015/03/MODUL... · LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL ... Dalam usaha meningkatkan kegunaan modul ini

Documents