Lab. Manajemen Dasarma-dasar.lab.gunadarma.ac.id/wp-content/uploads/2009/11/MODUL...Contoh Soal ... jangkauan (range), variansi dan standar deviasi. 2. ... Analisis ! Diketahui : 51,

LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR

STATISTIKA 1

PTA 2015/2016

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS GUNADARMA

JAKARTA

2015

NAMA :

NPM :

KELAS :

KP :

TUTOR :

ASBAR :

Lab. Manajemen Dasar

Statistika 1 i Litbang PTA 15/16

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat,

hidayah, dan karunia-Nya sehingga Modul Praktikum Statistika 1 PTA 2015/2016

ini dapat terselesaikan dengan baik.

Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum

sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat

meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman

mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Selain itu, modul ini

juga dapat digunakan sebagai dasar suatu pandangan mahasiswa melihat keadaan

perekonomian dan disesuaikan dengan teori ekonomi yang ada.

Pada penyusunan modul ini, kami menyadari bahwa modul praktikum ini masih

perlu disempurnakan kembali, sehingga diperlukannya kritik dan saran untuk

penyajian serta isinya.

Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih kepada Tim Litbang Statistika 1

PTA 2015/2016 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam

penyusunan modul praktikum ini. Penyusun juga mengucapkan terima kasih

kepada seluruh pihak yang berpatisipasi sehingga pelaksanaan praktikum dapat

berjalan dengan lancar.

Kelapa Dua, Juli 2015

Tim Litbang Statistika


Statistika 1 ii Litbang PTA 15/16

DAFTAR ISI

Halaman Depan

Kata Pengantar ................................................................................................... i

Daftar Isi............................................................................................................. ii

Daftar Rumus ..................................................................................................... iv

Daftar Gambar .................................................................................................... v

Materi 1 Ukuran Statistik

1. Pendahuluan ................................................................................................... 1

2. Ukuran Pemusatan ......................................................................................... 1

3. Ukuran Penyebaran ........................................................................................ 5

4. Contoh Soal .................................................................................................... 8

Soal Kuis ............................................................................................................ 16

Materi 2 Distribusi Binomual

1. Pendahuluan ................................................................................................... 17

2. Tujuan Praktikum Binomial ........................................................................... 19

3. Contoh Soal .................................................................................................... 20

Soal Kuis ............................................................................................................ 32

Materi 3 Distribusi Poisson

1. Pendahuluan ................................................................................................... 34

2. Rumus Pendekatan Peluang Poison untuk Binomial ..................................... 34

3. Rumus Proses Poisson ................................................................................... 35

4. Ciri-ciri Distribusi Poisson ............................................................................. 36

5. Contoh Soal .................................................................................................... 36

Soal Kuis ............................................................................................................ 50

Materi 4 Distribusi Normal

1. Pendahuluan ................................................................................................... 51

2. Definisi Konsep Dasar ................................................................................... 51

3. Bentuk Umum dan Rumus ............................................................................. 52

4. Kurva Distribusi Normal ................................................................................ 52

5. Contoh Soal .................................................................................................... 54


Statistika 1 iii Litbang PTA 15/16

Soal Kuis ............................................................................................................ 65

Daftar Pustaka .................................................................................................... 68


Statistika 1 iv Litbang PTA 15/16

DAFTAR RUMUS

1.1 Rumus Rata-rata Hitung ...................................................................... 2

1.2 Rumus Letak Median 1 ....................................................................... 3

1.3 Rumus Letak Median 2 ....................................................................... 3

1.4 Rumus Letak Kuartil ........................................................................... 4

1.5 Rumus Jangkauan (Range) .................................................................. 6

1.6 Rumus Ragam (Variance) untuk Sampel ............................................ 6

1.7 Rumus Ragam (Variance) untuk Populasi .......................................... 7

1.8 Rumus Standar Deviasi untuk Sampel ................................................ 7

1.9 Rumus Standar Deviasi untuk Populasi ............................................. 8

2.1 Rumus Distribusi Binomial ................................................................. 19

2.2 Rumus Kombinasi ............................................................................... 19

3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson utnuk Binomial ......................... 34

3.2 Rumus Proses Poisson ........................................................................ 35

4.1 Rumus Distribusi Normal ................................................................... 52


Statistika 1 v Litbang PTA 15/16

DAFTAR GAMBAR

1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander ............................................. 9

1.2 Gambar New Data Set ............................................................................... 9

1.3 Gambar Data Editor .................................................................................. 10

1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) ...................... 10

1.5 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise ............ 11


1.7 Gambar New Data Set Contoh Soal 2 ....................................................... 13

1.8 Gambar Data Editor Contoh Soal 2 .......................................................... 14

1.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal ............................ 15

1.10 Hasil Output Software R-Commander Soal Kuis ................................... 16


2.2 Gambar Cumulative Binomial Probabilities ............................................. 23

2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial .......................................... 23

2.4 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal ....................... 25

2.5 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2 .................. 26

2.6 Gambar Script Window Contoh Soal 3 ..................................................... 27

2.7 Gambar Output Software Contoh Soal 3 .................................................. 28

2.8 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4 ......................................... 31

2.9 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4 .................. 31

2.10 Gambar Output Software Distribusi Binomial Soal Kuis ....................... 33


3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 1 ..................................................... 39

3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities) ........ 40

3.4 Gambar Poisson Probabilities ................................................................... 40

3.5 Gambar Output Poisson Probabilities ....................................................... 41

3.6 Tampilan Software R-Commander ........................................................... 43

3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites ..................... 44

3.8 Gambar Poisson Probabilities ................................................................... 44

3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3 .......................... 45


Statistika 1 vi Litbang PTA 15/16

3.10 Gambar Tampilan Software R-Commander ........................................... 47

3.11 Tampilan Software R-Commander Poisson Distribution ....................... 48

3.12 Gambar Poisson Probabilities Contoh Soal ............................................ 48

3.13 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 4 ........................ 49

3.14 Gambar Output Software Soal Kuis ........................................................ 50


4.2 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities .................................... 56

4.3 Tampilan Normal Probabilities ................................................................. 56

4.4 Gambar Output Software R-Commander ................................................. 57

4.5 Gambar Software R-Commander .............................................................. 59

4.6 Gambar Software R-Commander Normal Probabilities ........................... 60

4.7 Gambar Normal Probabilities Contoh Soal 2 ........................................... 60

4.8 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2 .......................... 61

4.9 Tampilan Software R-Commander ........................................................... 63

4.10 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 4 ........................ 64

4.11 Gambar Output Software Soal Kuis ........................................................ 66

4.12 Gambar Tabel Z ...................................................................................... 67

Lab. Manajemen Dasar Materi Ukuran Statistik

Statistika 1 1 Litbang PTA 15/16

MATERI 1

UKURAN STATISTIK

1. Pendahuluan

Statistika adalah kumpulan dari cara – cara dan aturan – aturan mengenai

pengumpulan, pengelolahan, penafsiran dan penarikan kesimpulan dari data yang

diperoleh sebelumnya. Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukan

bagaimana suatu gugus data memusat dan menyebar.

Di dalam ukuran statistik ada tiga karakteristik utama dari ukuran

deskripsi data, yaitu distribusi data, ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran.

Distribusi data adalah metode statistika untuk menyusun data dengan cara

membagi nilai – nilai observasi data ke dalam kelas – kelas dengan interval

tertentu. Ukuran pusat data yang banyak digunakan untuk mendeskripsikan

data adalah rata-rata hitung (mean), median, dan modus. Sedangkan ukuran

penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau

keragaman data. Ukuran disperse data yang umum dipakai adalah

jangkauan (range), variansi dan standar deviasi.

2. Ukuran Pemusatan

Nilai Pusat adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam

suatu data. Disebut nilai pusat karena pada umumnya berlokasi di bagian

tengah atau pusat dari suatu distribusi. Ukuran pemusatan data merupakan

alat analisa statistik untuk mengetahui karakteristik umum dari suatu sampel atau

populasi. Nilai pusat sering dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data.

Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat, yang sering

digunakan yaitu rata-rata hitung (mean), median, dan modus.



A. Mean (rata-rata hitung)

Rata-rata hitung merupakan ukuran pusat data yang paling sering digunakan

untuk menghitung rata-rata dari data, karena mudah dimengerti perhitungannya

oleh siapa saja. Dari segi aritmetik mean adalah jumlah nilai dibagi dengan

jumlah individu. Untuk mencari rata-rata hitung dilakukan dengan cara

menjumlahkan seluruh data yang selanjutnya dibagi dengan banyaknya (jumlah)

observasi atau data.

1.1 Rumus Rata-rata hitung

Dimana:

X = Rata-rata hitung

Xi = Nilai dari observasi ke-i

n atau N = Banyaknya observasi ukuran sampel/populasi

fi = Frekuensi dari observasi ke-i

B. Median

Median adalah nilai yang terletak ditengah suatu data yang telah diurutkan

dari nilai terkecil hingga nilai terbesar. Dalam menentukan median dari data yang

belum di kelompokan, yang dapat dilakukan hanya menentukan letak median

saja, yaitu data atau satu titik angka yang letaknya berada ditengah-tengah

rangkaian data yang berurut.

Jika jumlah data ganjil maka nilai median dapat diketahui secara langsung,

dengan membagi 2 data sama banyak, nilai yang berada di tengah disebut

dengan median. Jika digambarkan dengan rumus :

X =

/ /



1.2 Rumus Letak Median 1

Jika jumlah data genap maka nilai median diambil dari rata – rata dua nilai

yang terletak di tengah data. Jika digambarkan dengan rumus :

1.3 Rumus Letak Median 2

Dimana :

Me = Letak median

n = Jumlah data

C. Modus

Modus merupakan nilai data yang paling banyak muncul atau nilai

yang mempunyai frekuensi yang paling besar, sehingga modus dimaknai

sebagai data yang relatif dominan dalam suatu sampel atau populasi. Suatu data

tidak selalu mempunyai modus atau mungkin terdapat lebih dari satu modus.

Dalam data bisa terdapat satu modus (unimodus), dua modus (bimodus), lebih

dari dua modus (multimodus), atau sama sekali tidak memiliki modus. Jika

semua pengamatan mempunyai frekuensi sama maka modus tidak ada.

D. Kuartil

Kuartil merupakan nilai yang membagi suatu data yang telah diurutkan

dari nilai terendah sampai nilai tertinggi menjadi 4 bagian yang sama besar.

Nilai-nilai kuartil diberi simbol Q1 (kuartil pertama), Q2 (kuartil kedua) dan

+

2



Q3 (kuartil ketiga). Nilai Q2 sama dengan nilai median. Rumus untuk mencari

letak kuartil:

1.4 Rumus Letak Kuartil

Q1 Q2 Q3

Dimana :

i = 1, 2, 3

Q1 = Kuartil bawah

Q2 = Kuartil tengah/median

Q3 = Kuartil atas

n = Jumlah data

Contoh Soal

1. Sebuah toko kerudung ternama memiliki data permintaan dari costumer yaitu

55, 51, 65, 65, 66. Carilah rata-rata permintaannya, median, dan berapakah

kuartil Q1, Q2 dan Q3 ! Analisis !

Diketahui : 51, 55, 65, 65, 66

Ditanya : Mean, Median, Q1, Q2, dan Q3 ?

Jawab :



Letak kuartil 1 = i(n+1)/4 = 1(5+1)/4 = 1,5 = data ke 1,5

= (51+55)/2 = 53

Letak kuartil 2 = i(n+1)/4 = 2(5+1)/4 = 3 = data ke 3 = 65

Letak kuartil 3 = i(n+1)/4 = 3(5+1)/4 = 4.5 = data ke 4.5 = (65+66)/2

= 65.5

Analisis :

Jadi, rata-rata permintaan kerudung sebesar 60,4 dengan median sebesar 65,

jangkauan sebesar 15. Didapat nilai kuartil pertama, kedua dan ketiga yaitu

masing – masing 53, 65 dan 65.5

3. Ukuran Penyebaran

Ukuran penyebaran adalah besarnya penyimpangan suatu data dari

sentralnya. Ukuran penyebaran adalah salah satu aspek yang sangat penting dalam

statistika deskriptif karena dapat digunakan untuk mengukur variabilitas nilai –

nilai observasi dari nilai sentralnya. Dua kelompok data mungkin mempunyai rata

– rata yang sama, tetapi berbeda dalam hal variabilitas nilai – nilai observasinya.

Contoh :

Data A terdiri dari nilai – nilai 52, 56, 60, 64, 68

Data B terdiri dari nilai – nilai 40, 50, 60, 70, 80

Rata – rata kedua kelompok data tersebut adalah sama, yakni 60. Namun

demikian, variansi nilai – nilai terhadap nilai sentral kedua kelompok data tersebut

berbeda. Perhatikan gambar berikut :

Data A :

52 56 60 64 68

Data B :

40 50 60 70 80



A. Jangkauan (range)

Jangkauan atau range suatu data adalah selisih antara nilai maksimum dengan

nilai minimum.

1.5 Rumus Jangkauan (Range)

Dimana :

R : Range (Jangkauan)

Xmax : Nilai tertinggi dari suatu data

Xmin : Nilai terendah dari suatu data

Range adalah ukuran penyebaran yang paling sederhana. Kelemahannya, range

hanya ditentukan oleh dua nilai observasi. Jika pada data terdapat nilai ekstrem,

maka range akan memberikan gambaran yang variabilitasnya yang kurang benar.

Contoh :

Data : 40, 41, 42, 45, 470, 540, 600, 880, 950, 1000

Range : 1000 – 40 = 960.

B. Ragam (Variance)

Ragam adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai

data terhadap rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s2.

Sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ2

1.6 Rumus Ragam (Variance) untuk Sample

R = Xmax - Xmin

s2



1.7 Rumus Ragam (Variance) untuk Populasi

Dimana :

s2 = Varians (untuk sampel)

σ2 = Varians (untuk populasi)

Xi = Nilai observasi sampai dengan ke-i pada sampel

n = Banyaknya data pada sampel

X = Rata-rata pada sampel

µ = Rata-rata pada populasi

C. Standar Deviasi

Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali

disebut simpangan baku.

1.8 . Rumus Standar Deviasi Sampel

1.9

Dimana :

S = Standar Deviasi pada sampel

s2 = Varians pada sampel

Sedangkan untuk rumus standar deviasi pada populasi adalah sebagai berikut ini :

1.9 Rumus Standar Deviasi Populasi

1.10

σ2

s 2

σ =



Dimana :

σ = Standar Deviasi pada populasi

σ2 = Varians pada populasi

4. Contoh Soal

1. Tempat pelatihan software Komputer “ELF” memiliki 7 score ujian siswa

yang mengikuti pelatihan yaitu 55, 16, 55, 55, 56, 56, 16. Tentukanlah

Mean, Median, Modus, Range, Varians dan Standar Deviasinya!

Dik : 16, 16, 55, 55, 55, 56, 56

Dit : X , Median, Modus, R, , s ?

Jawab :

X = = = 44,14

Letak Median = = = 4, data ke-4 median = 55

Modus = 55

Range = - = 56 – 16 = 40

=

= + + +

+ + +

/ (7 - 1) = 369,79

s = = = 19,22

Analisis : Jadi, score ujian siswa yang mengikuti pelatihan yaitu rata-rata

hitung sebesar 44,14 Median sebesar 55, Modus sebesar 55, Jangkauan

sebesar 40, Variansi sebesar 369,79 dan Standar Deviasi sebesar 19,22



Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander,

berikut ini adalah langkah-langkahnya:

Tekan Icon R-Commander pada dekstop maka akan muncul tampil seperti

berikut :

1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander

Pilih Menu Data, New Data Set. Masukan nama dari data set, lalu OK

1.2 Gambar New Data Set



Masukan data nilai statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat

dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin diubah pada var1.

Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tomboh (X) atau Close.

1.3 Gambar Data Editor

Jika sudah benar data yang diinput maka pilih Menu Statistics, lalu

Summaries, lalu pilih Active Data Set

1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set)



Lalu pilih menu Statistics, pilih Summarise, pilih Numerical Summarise.

Maka akan muncul tampilan berikut.

1.5 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise)



2. Tentukanlah mean, modus, dan jangkauan dari data pada tabel dibawah

ini!

Dik : x1= 156 f1= 5

x2= 166 f2= 5

x3= 151 f3= 6

x4= 116 f4= 5

Dit : x̄, modus, median dan jangkauan

Jawab :

• x̄ =

= (156 x 5) + (166 x 5) + (151 x 6) + (116 x 5)

21

= 3096 = 147,43

21

• Modus = 151

• Median = 151

• Jangkauan = Xmax – Xmin = 166 – 116 = 50

• Analisis :

Jadi, dari data tersebut diperoleh mean = 147,43; modus 151 dan

jangkauan 50.

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-

Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya:

Tekan Icon R-Commander pada dekstop maka akan muncul tampil seperti

berikut :

Skor (x) 156 166 151 116

Frekuensi (f) 5 5 6 5




Pilih Menu Data, New Data Set. Masukan nama dari data set, lalu OK

1.7 Gambar New Data Set Contoh Soal 2



Masukan data nilai statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat

dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin diubah pada var1.

Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tomboh (X) atau Close.

1.8 Gambar Data Editor Contoh Soal 2

Jika sudah benar data yang diinput maka pilih Menu Statistics, lalu

Summaries, lalu pilih Active Data Set



1.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2



Soal Kuis

Lembaga Pelatihan Bahasa Korea “DaehanMinguk” memiliki 5 nilai dari ujian

yang diberikan kepada suatu kelas yaitu 65, 66, 66, 61, 66. Tentukanlah Mean,

Median, Modus, dan Range nya!

Dik : 61, 65, 66, 66, 66

Dit : X , Median, Modus, R ?

Jawab :

X = = = 64,8

Letak Median = = = 3, data ke-3 median = 66

Modus = 66

Range = - = 66 – 61 = 5

Analisis :

Jadi, nilai ujian siswa yang mengikuti pelatihan Bahasa Korea yaitu rata-rata

hitung sebesar 64,8 Median sebesar 66, Modus sebesar 66 dan Jangkauannya

sebesar 5.

1.10 Hasil Output Software R-Commander Soal Kuis

Lab. Manajemen Dasar Materi Distribusi Binomial


MATERI 2

DISTRIBUSI BINOMIAL

1. Pendahuluan

Distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas diskrit yang sering

terjadi. Distribusi ini mula-mula ditemukan oleh seorang ahli matematika

berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernoulli. oleh karena itu distribusi

binomial dikenal juga sebagai distribusi Bernoulli. Distribusi binomial dapat

digunakan apabila suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses

Bernoulli. Proses Bernoulli adalah suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan

berulang kali, misalnya :

Seorang petugas telemarketing berhasil membuat konsumen “membeli

produknya” atau “tidak membeli produknya”.

Sebuah produk diklasifikasikan “dapat diterima” atau “tidak dapat diterima”

oleh departemen kendali mutu.

Dari contoh petugas telemarketing di atas dapat diberikan suatu label

“berhasil” untuk membeli produknya dan label “gagal” untuk tidak membeli

produknya ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan klasifikasi produk, kita dapat

memberi label “berhasil” untuk dapat diterima dan label “gagal” untuk tidak

dapat diterima ataupun sebaliknya. Akan tetapi pemberian label tersebut tidak

otomatis menyatakan bahwa satu hasil adalah baik dan yang lainnya tidak baik.

Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal setiap

ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½. Distribusi binomial

memiliki sedikit kesamaan dengan distribusi poisson. Keduanya berusaha

mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada, namun

ada beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut, yaitu:



Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari

20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05.

Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20

atau sama dengan 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤

0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan 0.05).

Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial adalah sebagai berikut :

a) Percobaan diulang sebanyak n kali

b) Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas, dimisalkan

“berhasil” atau “gagal”

“ya” atau “tidak”

“success” atau “failed”

c) Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan

nilai p tetap, dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q

dimana q = 1 – p sehingga p + q = 1

d) Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x

e) Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.

Catatan :

Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q,

terlebih dahulu harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang

dapat dikategorikan “success atau berhasil” dan yang mana kejadian yang

dapat dikategorikan “failed atau gagal”. Perlu diingat bahwa kejadian yang

menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa

dikategorikan sebagai kejadian “success atau berhasil”. Dengan demikian

kejadian yang menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan

dengan p.

Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya :

Kurang dari disimbolkan dengan ( < )

Lebih dari disimbolkan dengan ( > )

Paling banyak disimbolkan dengan ( ≤ )



Paling sedikit disimbolkan dengan ( ≥ )

Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ( ≤ )

Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ( ≥ )

2. Tujuan Praktikum Binomial

Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu

praktikan dalam menghitung dan mengkoreksi jawaban nilai probabilitas

(peluang) dari suatu peristiwa binomial (peristiwa dengan jumlah sampel n<20

dan nilai peluang berhasil p>0.05) dengan menggunakan software Rcommander.

a. Rumus Umum Distribusi Binomial

Sebelum kepada contoh soal, berikut adalah rumus umum dari distribusi

binomial :

2.1 Rumus Distribusi Binomial

b (x;n,p) = nCX

Dimana :

x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

n = banyaknya kejadian berulang

p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q

q = peluang gagal dimana q = 1 – p

Adapun rumus dari Kombinasi:

Dimana :

C = Kombinasi

2.2 Rumus Kombinasi

n C x = n!

( n – x ) ! x !



n = Banyaknya kejadian berulang

x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x

3. Contoh Soal

1. Berdasarkan data yang diperoleh oleh Desa SUKA TANI, diketahui 65%

warganya sudah berpenghasilan cukup, sedangkan sisanya masih belum

berpenghasilan cukup. Apabila ditanyakan kepada 11 orang warganya,

berapa sekurang-kurangnya ada 5 orang yang berpenghasilan cukup?

Diketahui :

p = 65% = 0,65

q = 1 – 0,65 = 0,35

n = 11

x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Ditanyakan : P (x ≥ 5)

Jawab :

Jumlah sample 11, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Karena (x ≥ 5), jadi nilai x nya adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

{(x=5) + (x=6) + ...... + (x=11)}, atau (1-{(x=0) + (x=1) + ...... +

(x=4)})

B (x;n;p) = nCx px qn-x

b(0;11;0,65) = 11C0 (0,65)0 (0,35)11-0

= 1 (1) (0,000009655)

= 0,000009654915737

b(1;11;0,65) = 11C1 (0,65)1 (0,35)11-1

= 11 (0,65) (0,00002759)

= 0,000197233

b(2;11;0,65) = 11C2 (0,65)2 (0,35)11-2

= 55 (0,4225) (0,000078816)

= 0,00183147

b(3;11;0,65) = 11C3 (0,65)3 (0,35)11-3



= 165 (0,2746) (0,0002252)

= 0,010203586

b(4;11;0,65) = 11C4 (0,65)4 (0,35)11-4

= 330 (0,1785) (0,000643393)

= 0,037899062

( x ≥ 4 ) = (1-{(x=0) + (x=1) + ...... + (x=4)})

= 1 –{0,000009654915737+0,000197233+ 0,00183147+

0,010203586+ 0,037899062}

= 1 – 0.050141005

= 0,949857394

= 94,9857%

Analisis :

Jadi, nilai probabilitas sekurang-kurangnya ada 4 orang yang

berpenghasilan cukup adalah sebesar 94,99 %


Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :

Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan

seperti dibawah ini :




Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial

distribution >> Binomial tail probabilities

Input angka sesuai dengan soal

Variable value (s) = 4

Binomial trial = 11 (sebagai nilai n)

Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil)

Setelah itu pilih Upper tail, kemudian klik OK



2.2 Gambar Cumulative Binomial Probabilities

Pada output windows akan muncul nilai probabilitas sekurang-kurangnya

ada 5 orang yang belum berpenghasilan cukup adalah sebesar 94,99%

2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial



2. Tuan Sandy adalah seorang pemilik toko jersey INI BOLA. Ia melakukan

penelitian jersey manakah yang lebih banyak diminati oleh pelanggan di

tokonya. Dari hasil penelitian tersebut diketahui bahwa 16% pelanggannya

menyukai jersey Chealsea, dan sisanya menyukai jersey Barcelona.

Apabila ditanyakan kepada 15 orang pelanggan, berapakah probabilitas

paling banyak 1 orang yang menyukai jersey Chealsea?

Diketahui :

p = 16% = 0,16

q = 1-0,16 = 0,84

x = 0 dan 1

n = 15

Ditanyakan : P (x ≤ 1)

Jawab :

Jumlah sample 15, anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,

15

Karena (x ≤ 1) jadi nilai x nya adalah 0 dan 1

{(x=0 + (x=1)} atau (1-{(x=2) + (x=3) + ......+ (x=15)})

b(x;n,p) = nCx px qn-x

b(0;15,0,16) = 15C0 (0,16)0 (0,84)15-0

= 1 (1) (0,07314578261)

= 0,07314578261

b(1;15,0,16) = 15C1 (0,16)1 (0,84)15-1

= 15 (0,16) (0,08707831263)

= 0,2089879503

( x ≤ 1 ) = {(x=0) + (x=1)}

= 0,07314578261 + 0,2089879503

= 0,282133773291

= 28,21%

Analisis :



Jadi, nilai probabilitas paling banyak ada 1 orang yang membeli jersey

chealsea adalah sebesar 28,21%

Langkah penyelesaian soal pada R-Commander adalah sebagai berikut :

Tekan icon R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul

tampilan software

Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial

distribution >> binomial tail probabilities

Input angka sesuai soal

Variable value (s) = 1 (sebagai nilai x)



Lalu klik lower tail, kemudian klik OK

2.4 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2

Pada output windows akan muncul nilai probabilities paling banyak

ada 1 orang pembeli yang membeli jersey chealsea adalah sebesar

28,21%



2.5 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2

3. Dilakukan penelitian di kelas 2EA01 tentang mahasiswa menggunakan

provider XXL dam IM2. Dari penelitian tersebut dihasilkan 55% mahasiswa

lebih memlih provider XXL, sedangkan sisanya menggunakan IM2. Apabila

ditanyakan kepada 16 orang mahasiswa. Berapakah probabilitas ada 1

sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai providernya ?

Diketahui :

p = 55% = 0,55



q = 1 – 0,55 = 0,45

n = 16

x = 1, 2, 3, 4, 5

Ditanya : P (1 ≤ x ≤ 5)

Jawab :

Jumlah sampel 16, berarti anggota 1 – 16 karena (1 ≤ x ≤ 4) jadi nilai x nya

1 – 5

{(x = 1) + (x = 2) + ... + (x = 5)}

b (x ; n , p) = nCx px qn-x

b (1 ; 16 , 0,55) = 16C1 p1 q16-1

= 16C1 (0,55)1 (0,45)15

= 16 (0,55) (0,000006283298709)

= 0,00002488186289

b (2 ; 16 , 0,55) = 16C2 (0,55)2 (0,45)16-2

= 105 (0,3025) (0,00001396288602)

= 0,00044961672

b (3 ; 16 , 0,55) = 16C3 (0,55)3 (0,45)16-3

= 560 (0,166375) (0,0000310286356)

= 0,002890937979

b (4 ; 16 ; 0,55) = 16C4 (0,55)4 (0,45)16-4

= 1820 (0,091506675) (0,00006895252355)

= 0,01148344808

b (5 ; 16 ; 0,55) = 16C5 (0,55)5 (0,45)16-5

= 4368 (0,0503284375) (0,0001532278301)

= 0,03368478104

P (1≤ x ≤ 5) = {(x=1) + (x=2) + (x=3) + (x=4) + (x=5)}

= 0,00002488186289 + 0,00044961672 +

0,002890937979 + 0,01148344808 +0,03368478104

= 0,04852754513

= 4,85%



Analisis :

Jadi probabilitas ada 1 sampai 5 orang mahasiswa yang menggunakan XXL

sebagai providernya adalah 4,85%


Commander, berikut adalah langkah-langkahnya :

Tekan icon R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul

tampilan software. Perintah mencari probabilitas binomial pada script

window adalah sum(dbinom(x,n,p)). Maka tuliskan pada script window

sum(dbinom(1:5,16,0,55) )

2.6 Gambar Script Window Contoh Soal 3



Block semua yang ada pada window scrip window, lalu klik submit. Maka

pada output window akan muncul probabilitas ada 1 sampai 5 orang

mahasiswa yang menggunakan XXL sebagai provider adalah sebesar

4,85%

2.7 Gambar Output Software Contoh Soal 3

4. Dilakukan penelitian di 2EA01 sebanyak 15 orang, 65% mahasiswa yang

memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya, sedangakan sisanya

memilih karena penampilannya. Berapakah probabilitas ada 6 orang yang

memilih ketua kelas karena sosok dan prestasinya ?

Diketahui :



p = 65% = 0,65

q = 1-0,65 = 0,35

n = 15

x = 6

Ditanya : P (x=6) ?

Jawab :

Jumlah sample 15, berarti anggotanya 0-15 karena (x=6) jadi nilai x hanya

6

b (x ; n ; p) = nCx px qn-x

b (6 ; 15 ; 0,65) = 15C6 (0,65)6 (0,35)15-6

= 5005 (0,07541889063) (0,00007881563867)

= 0,0297506611

= 2,975%

Analisis :

Jadi, probabilitas ada 6 orang yang memilih ketua kelas karena sosok dan

prestasinya adalah 2,975%.

Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander,

berikut adalah langkah-langkahnya :

Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan

software. Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial

distribution >> Binomial probabilities

Input angka sesuai dengan soal :



Kemudian klik OK



2.8 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4

Pada output window akan muncul nilai probabilitas ada 6 yang memilih

ketua kelas karena sosok dan prestasinya adalah sebesar 2,975 %. (karena

yang ditanyakan nilai probabilitas 6 orang pemilih, maka yang dilihat pada

output window hanya nilai probabilitas pada angka 6 saja)

2.9 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4



Soal Kuis

Nopa manajer Rowes Industries ingin meneliti materi apa yang diminati oleh

mahasiswa, keuangan atau pemasaran. Dari hasil penelitiannya diketahui

bahwa 65% mahasiswa menyukai keuangan. Apabila ditanyakan kepada 15

orang berapakah probabilitas kurang dari 5 orang yang menyukai keuangan ?

Diketahui:

p = 0,65

q = 1 – p

= 1 – 0,65 = 0,35

x = 0,1,2,3,4

n = 15

Ditanya : P (x < 5) = ?

Jawab:

b (x;n,p) = nCx px qn-x

b (0;15,0.65) = 14C0 0,650 0,3514-0

= (1) (1) (0.00000144)

= 0.00000144

b (1;15,0.65) = 15C1 0,651 0,3515-1

= (15) (0.65) (0.00000413)

= 0.00000413

b (2;15,0.65) = 15C2 0,652 0,3515-2

= (105) (0.4225) (0.000000118)

= 0.000052468

b (3;15,0.65) = 15C3 0,653 0,3515-3

= (455) (0.274625) (0.00003)

= 0.0004222

b (4;15,0.65) = 15C4 0,654 0,3515-3

= (1356) (0.1785) (0.000009)

= 0.002352

Jadi : P(x<5) = 0.00000144 + 0.00000413 + 0.000052468 + 0.0004222 +

0.002352



= 0.002831425

= 0,2831%

Analisis :

Jadi probabilitas kurang dari 5 orang yang menyukai mata kuliah keuangan

adalah 0,28%

2.10 Gambar Output Software Distribusi Binomial Soal Kuis

Lab. Manajemen Dasar Materi Distribusi Poisson


MATERI 3

DISTRIBUSI POISSON

1. Pendahuluan

Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon

D.Poisson. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variable diskrit

acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi

ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat

digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.

Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah

kedatangan, misalnya probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank

pada jam kantor. Distribusi poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas

menurut satuan waktu.

2. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk

mendekatkan probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam

situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil.

Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup

besardan p cukup kecil, yaitu jika :

p > 20 dan n < 0,05

Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson

digunakan rumus sebagai berikut :

3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial

Dimana : e = 2.71828 p = probabilitas kelas sukses

μ = rata –rata keberhasilan = n .p

n = Jumlah / ukuran populasi

x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel



3. Rumus Proses Poisson

Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama

tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk

pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang

selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada

interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses

kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut :

A. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam

ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk

periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini

melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang

dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1,2

kedatangan setiap menit.

B. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang

terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat

berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya

adalah sama.

C. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam

interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah

probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bias

berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang

dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.

Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson

digunakan rumus sebagai berikut:

3.2 Rumus Proses Poisson



Dimana : λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu

t = Jumlah unit waktu

x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu

4. Ciri-ciri Distribusi Poisson

Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut termasuk dalam

kriteria Distribusi Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri tersebut

adalah :

A. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau

suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan

yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.

B. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang

singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada

banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah

tersebut.

5. Contoh Soal :

1. Jika rata-rata kedatangan bus tujuan bekasi adalah 11 bus per jam.

Brapakah probabilitas dalam interval waktu 51 menit dan ada 6 bus yang

akan datang. Gunakanlah proses poisson!

Diketahui :

Ditanya : P untuk x = 6 ?

Dijawab :



(8%)

Analisis :

Jadi besarnya probabilitas dalam interval waktu 51 menit dan ada 6 orang

yang akan datang adalah 0,08 atau 8 %.

2. SMA LAMADA memiliki klub basket yang akan mengikuti perlombaan.

Klub ini memiliki 56 pemain. Pelatih klub ini memperkirakan akan ada

1% dari jumlah pemain yang tidak ikut lomba karena jarang latihan, maka

berapakah probabilitas 5 pemain yang yang tidak ikut lomba?

Diketahui : n =56 P = 1% = 0.01

Ditanya : P untuk x = 5 ?

Dijawab :

𝜇 = n . p = 56 . 0.01 = 0.56

P ( x ; 𝜇 ) = ( e–𝜇. 𝜇x ) / x !

P (5 ; 0.56 ) = ( 2.71828-0.56 . 0.565 ) / 5 !

= 0.0002621525 = 0.026%

Analisis :

Jadi, probabilitas 5 pemain yang tidak ikut lomba adalah 0.0002621525

atau 0.026%.



Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R-

Commander. Langkah-langkah adalah sebagai berikut :

Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan

seperti gambar berikut :


Tuliskan pada Script window dpois (5,0.56). Angka 5 menunjukan nilai x dan

angka 0.56 menunjukan nilai μ yang didapat dari perkalian n * p (56 *0.01).

kemudian tekan tombol Submit.



3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 1

Maka probabilitas 5 pemain yang tidak ikut lomba adalah = 0.0002621525

jika ditanyakan dalam bentuk prosentase (%) maka jawabannya adalah

0.026%.

Atau cara lain, tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discrete

distribution > poisson distribution > poisson probabilities.



3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities)

Kemudian masukan mean = 0.56 (didapatdari n * p ) = 56 * 0.01

3.4 Gambar Poisson Probabilities



Lihat kolom paling kiri x = 5 yaitu 0.0003 atau sama dengan 0.03%. (cara ini

terdapat sedikit perbedaan hasil karena yang diambil dibelakang koma hanya 4

angka)

3.5 Gambar Output Poisson Probabilities



3. Tempat kerajinan tangan MADAS ART mampu menghasilkan 156

produk setiap harinya. Tempat kerajinan tangan ini memperkirakan 1%

diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka

berapakah probabilitas paling banyak 5 produk yang tidak sesuai standar?

Diketahui :

n = 156 p = 1% = 0.01

Ditanyakan :

p untuk x ≤ 5 ?

Jawab :

μ = n .p = 156 . 0.01= 1,56

P (x ; μ) = (e-μ . μx ) / x!

P (x ≤ 5 ;1,56) = P (0 ; 1,56) + P (1 ; 1,56) +P (2 ; 1,56) +

P (3 ;1,56) +P (4 ; 1,56) + P (5 ;1,56)

= 0.9946359atau99,46%

Analisis :

Jadi, peluang produk paling banyak 5 produk yang tidak sesuai standar

adalah 0.9946359 atau 99,46% .

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R.

Langkah-langkah adalah sebagai berikut :





3.6 Tampilan Software R-Commander

Kemudian pilih menu Distributions, discrete distribution, poisson tail

probabilities.



3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites

Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan

mean sebesar 1,56 (didapat dari nilai µ).

3.8 Gambar Poisson Probabilities



Maka dari P(5 ; 1,56) adalah 0,9946359 atau 99,46%.


4. Dalam perjalanan tujuan Jakarta - Surabaya terdapat 555 orang

penumpang yang menaiki pesawat Yellow Air. Pihak bandara

memperkirakan terdapat 1% dari penumpang tersebut yang tidak ikut



dalam keberangkatan. Hitunglah probabilitas lebih dari 5 orang yang tidak

ikut dalam keberangkatan, analisislah!

Diketahui :

n = 555 p = 1% = 0.01

Ditanya :

P untuk x >5 ?

Dijawab :

𝜇 = n . p = 555 . 0.01 = 5.55

P (x ;𝜇) = (e-𝜇 . 𝜇x) / x !

P (x > 5 ; 5.55) = 1 - P (x ≤ 5 ; 5.55)

= 1 - 0.52036 = 0.47964 atau 47.96%

Analisis :

Jadi, peluang penumpang lebih dari 5 orang yang tidak ikut dalam

keberangkatan adalah 0.4796313 atau 47.96%.

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R.

Langkah-langkah adalah sebagai berikut :






Kemudian pilih menu Distributions, discrete distribution, poisson tail

probabilities.



3.11 Tampilan Software R-Commander Poisson Distribution

Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan

mean sebesar 5,55 (didapat dari nilai µ), kemudian tandai Upper tail karena x

≤ 5.

3.12 Gambar Poisson Probabilities Contoh Soal 4



Maka dari P(5 ; 5,55) adalah 0,4796313 atau 47,96%.




Soal Kuis

Perusahaan APLAMANDA merupakan suatu perusahaan tekstil. Perusahaan ini

memiliki 66 pekerja. Pihak manajer memperkirakan akan ada 1% dari jumlah

pekerja yang akan diPHK tahun ini, maka berapakah probabilitas 5 pekerja

yang akan diPHK tahun ini?

Diketahui :

n = 66 P = 1% = 0.01

Ditanya :

P untuk x = 5 ?

Dijawab :

𝜇 = n . p = 66 . 0.01 = 0.66

P ( x ; 𝜇 ) = ( e–𝜇. 𝜇x ) / x !

P (5 ; 0.66 ) = ( 2.71828-0.66. 0.665 ) / 5 !

= 0.0005393= 0.05%

Analisis :

Jadi, probabilitas 5 pekerja yang akan diPHK tahun ini adalah 0.0005393 atau

0.05%

3.14 Gambar Output Software Soal Kuis

Lab. Manajemen Dasar Materi Distribusi Normal


MATERI 4

DISTRIBUSI NORMAL

1. Pendahuluan

Distribusi normal merupakan salah satu dari distribusi variable random

kontinyu. Distribusi normal digunakan untuk mencari probabilitas yang telah

diketahui rata-rata ( μ ) dan standar deviasinya ( σ ). Selain variabel random

kontinyu, ada juga yang dinamakan variabel random diskrit. Variabel random itu

sendiri merupakan besaran yang nilainya berubah-ubah tanpa kontrol pelaku

observasi atau pelaku ekperimen. Misalnya tingkat penjualan suatu produk

merupakan variabel random karena kita tidak bisa menentukan berapa tingkat

penjualan di masa yang akan datang. Semua tergantung pada permintaan pasar.

Seperti yang sudah di bahas di awal, variabel random bisa berbentuk diskrit

dan kontinyu. Disebut diskrit jika nilai-nilai variabelnya hanya berupa bilangan

utuh atau bilangan bulat, misalnya jumlah pengunjung di Bioskop dalam satu hari

adalah variabel diskrit karena tidak mungkin pengunjung Bioskop tersebut berupa

bilangan pecahan, misalnya 21,9 orang. Sebaliknya variabel random kontinyu

adalah variabel yang menampung semua nilai baik utuh/ bilangan bulat maupun

angka pecahan, misalnya tinggi badan siswa kelas 6 SD bisa saja terjadi bahwa

tinggi badannya 165,7 cm. Untuk mempermudah , biasanya variabel random

diskrit berhubungan dengan proses perhitungan, sedangkan variabel random

kontinyu biasanya berhubungan dengan pengukuran.

2. Definisi dan Konsep Dasar

Distibusi normal disebut juga distribusi Gauss diambil dari nama penemunya

yaitu Carl Friedich Gauss , seorang ahli matematika yang banyak memberikan

andil pada pengembangannya di awal abad ke-19. Kata “normal” disini tidak

diartikan sebagai kata-kata dalam bahasa inggris “normal” yang berarti “ordinary”

atau “common” dan tidak juga seperti terminology kedokteran sebagai “tidak

sakit”, namun merupakan suatu model matematik yang menggambarkan

penyebaran probabilitas dari pengamatan yang tidak terbatas dan diukur terus

menerus.



Distribusi normal dapat juga dikatakan sebagai distribusi teoritis, sehingga

distribusi peluang lainnya dapat lebih mudah dihampiri distribusi normal ini. Hal

tersebutlah yang menyebabkan distribusi normal banyak digunakan oleh para

pengguna statistik untuk pemecahan soal. Banyaknya kejadian yang terdistribusi

normal, tanda =, ≥ , dan ≤ diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan <. Perhitungan

probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan

transformasi nilai-nilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ).

Distribusi normal ini memiliki ciri yaitu n ≥ 30 dan n,p ≥ 5.

3. Bentuk Umum dan Rumus

4.1 Rumus Distribusi Normal

Dimana :

Z = Nilai Hitung

X = Rata-rata Sampel

µ = Rata-rata Populasi

σ = Standar Deviasi

4. Kurva Distribusi Normal

Kurva Normal

Kurva normal berbentuk seperti lonceng, maka dari itu sering disebut

kurva lonceng, yang berarti simetris di kanan dan di kiti dari “mean” (µ).

Mencari luas daerah pada suatu kurva normal menggunakan tabel :



P ( 0 ≤ Z ≤ a ) = Nilai Tabel a

P ( Z ≥ a ) = 0.5 – Nilai Tabel a

P ( Z ≥ -a ) = 0,5 + Nilai Tabel (-a)

P ( Z ≤ a ) = Nilai Tabel a + 0,5

P ( ≤ Z ≤ ) = Nilai Tabel - Nilai Tabel



P (- ≤ Z ≤ ) = Nilai Tabel + Nilai Tabel

5. Contoh Soal

1. Diketahui bahwa rata-rata pendaki Gunung Bromo mencapai 11.155 orang

per hari dengan standar deviasi 15 per hari. Jika jumlah pendaki tersebut

terdistribusi normal, berapakah probabilitas dari pendaki Gunung Bromo

kurang dari 11.111 orang? Analisislah!

Diketahui :

µ = 11.155

σ = 15

X = 11.111

Ditanya :

P (X < 11.111)?

Jawab :

Z =

= = -2,93

Z tabel = 0,4983



0,5 – 0,4983 = 0,0017

Analisis :

Jadi, probabilitas pendaki Gunung Bromo kurang dari 11.111 orang

adalah 0,17%

Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti

gambar berikut :


1)

2)

3)

4)

5)

6)



Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal

Probabilities

4.2 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities

Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value =

11.111. input nilai mean = 11.155. Input nilai Standar Deviation= 15. Pilih

lower tail (karena P(X < 11.111) atau kurang dari selalu menggunakan lower

tail). Kemudian tekan OK.

4.3 Tampilan Normal Probabilities



Maka pada output window diperoleh P(x < 11.111) = 0,0018 (hasil tidak sama

persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma

yang diambil)

4.4 Gambar Output Software R-Commander

2. Diketahui bahwa rata-rata kedatangan nasabah bank Restu dalam suatu

counter adalah 516 nasabah per hari dengan stadar deviasi 155 per hari.

Jika jumlah nasabah tersebut terdistribusi normal, berapakah probabilitas

dari kedatangan nasabah lebih dari 615 nasabah? Analisislah!

Diketahui :

µ = 516



σ = 155

X = 615

Ditanya :

P (X > 615)?

Jawab :

Z = = = 0,64

Z tabel = 0,2389

0,5 – 0,2389 = 0,2611

Analisis :

Jadi, probabilitas kedatangan tiap nasabah Bank Restu lebih dari 615

nasabah adalah 0,2611 atau 26,11%




gambar berikut :

516 615

0,2389 0,2611



4.5 Gambar Software R-Commander

Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal

Probabilities



4.6 Gambar Software R-Commander Normal Probabilities

Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value =

615. input nilai mean = 516. Input nilai Standar Deviation= 155. Pilih lower

tail (karena P(X > 615) atau lebih dari selalu menggunakan upper tail).

Kemudian tekan OK.

4.7 Gambar Normal Probabilities Contoh Soal 2



Maka pada output window diperoleh P(x > 615) = 0,2389 (hasil tidak sama

persis dengan perhitungan manual kemungkinan dikarenakan perbedaan

jumlah angka dibelakang koma yang berbeda)


3. Diketahui bahwa rata-rata peminat Bunga Mawar di Nindya Florist

mencapai 56 orang per hari. Dengan standar deviasi 66 orang per hari. Jika

jumlah peminat Bunga Mawar tersebut terdistribusi normal. Berapakah

probabilitas peminat Bunga Mawar tersebut antara 16 orang sampai

dengan 61 orang per hari? Analisislah!

Diketahui :

µ = 56



σ = 66

X1 = 16

X2 = 61

Ditanya :

P (16 < X < 61)?

Jawab :

Z1 = = = -0,61

Z tabel = 0,2291

Z2 = = = 0,08

Z tabel = 0,0319

0,2291 + 0,0319 = 0,261

Analisis :

Jadi, probabilitas terhadap peminat bunga MAWAR antara 16 sampai

dengan 61 orang adalah 0,261 atau 26,1%






gambar berikut :

4.9 Tampilan Software R-Commander

Lalu di script window, ketikkan nilai probabilitas X1 ditambah dengan X2






Soal Kuis

Dari hasil laporan para pengusaha batik, diketahui bahwa rata-rata pengusaha

batik dapat menghasilkan 615 lembar kain dalam satu bulan, dengan standar

deviasi 51. Jika diasumsikan hasil kain tersebut berdistribusi normal, berapakah

probabilitas pengusaha batik yang dapat menghasilkan kain lebih dari 611

lembar dalam satu minggu?

Diketahui:

= 615

= 51

Ditanya:

P(X>611)?

Jawab:

= -0,07

Ztabel = 0,0279

0,0279 + 0,5 = 0,5279



Analisis :

Jadi probabilitas dari probabilitas pengusaha batik yang dapat menghasilkan

kain lebih dari 611 lembar dalam satu minggu adalah sebesar = 0.5312575 atau

53,126%

4.11 Gambar Output Software Soal Kuis



4.12 Gambar Tabel Z

Sumber: Buku Statistika Universitas Gunadarma



DAFTAR PUSTAKA

Modul Praktikum Statistika PTA 2014/2015

Setia Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi, Yogyakarta: CV.Andi

Offset.

Subiyakto, Haryono. 1994. Statistika 2. Jakarta: Penerbit Gunadarma.

Walpole, Ronald.E. 1993. Pengantar Statistika, Edisi III. Jakarta: PT.Gramedia

Pustaka Utama.

Walpole Ronald. 2005. Pengantar Statistika. Edisi 3. Jakarta: PT Gramedia

Jakarta

Lab. Manajemen Dasarma-dasar.lab.gunadarma.ac.id/wp-content/uploads/2009/11/MODUL...Contoh Soal ... jangkauan (range), variansi dan standar deviasi. 2. ... Analisis ! Diketahui : 51,

Documents