Koordinat Polar (Ch.10.2-10.3) Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O. O (the pole) ray (polar axis)
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Koordinat Polar (Ch102-103)
Dalam beberapa hal lebih mudah mencari
lokasiposisi suatu titik dengan menggunakan
koordinat polar
Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray)
yang diberikan dan berpangkal pada O
O (the pole) ray (polar axis)
Titik P dengan koordinat polar (r ) berarti
berada diposisi
- derajat dari sumbu-x (sb polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O
Perhatian
jika r lt 0 maka P berada di posisi yang
berlawanan arah
r koordinat radial
koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu
representasi dalam koordinat polar
(r ) = (- r + n ) untuk n bil bulat ganjil
= ( r + n ) untuk n bil bulat genap
Example
the following polar coordinates represent
the same point
(2 3) (-2 43) (2 73) (-2 -23)
Konversi koordinat polar kedalam koordinat
tegak Gunakan relasi
x = r cos y = r sin
Maka r2 = x2 + y2
tan = yx jika x 0
Catt menentukan
Jika x gt0 maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -2 lt lt 2 = arctan(yx)
Jika x lt 0 x berada di kuadran 2 atau 3
= + arctan(yx)
Persamaan2 dalam Koordinat Polar
Pers polar dari lingkaran berjari-jari a r = a
Untuk lingkaran berjari a
- berpusat di (0a) r = 2a sin
- berpusat di (a0) r = 2a cos
r = 2 sin r = 2 cos
r
0 0
2 2
0
r
2 0
0 2
-2
Konversikan persamaan polar r = 2 sin
kedalam sistem koordinat tegak
Kalikan kedua sisi dengan r
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb dalam koordinat tegak adalah
x2 + (y -1)2 = 1
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Titik P dengan koordinat polar (r ) berarti
berada diposisi
- derajat dari sumbu-x (sb polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O
Perhatian
jika r lt 0 maka P berada di posisi yang
berlawanan arah
r koordinat radial
koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu
representasi dalam koordinat polar
(r ) = (- r + n ) untuk n bil bulat ganjil
= ( r + n ) untuk n bil bulat genap
Example
the following polar coordinates represent
the same point
(2 3) (-2 43) (2 73) (-2 -23)
Konversi koordinat polar kedalam koordinat
tegak Gunakan relasi
x = r cos y = r sin
Maka r2 = x2 + y2
tan = yx jika x 0
Catt menentukan
Jika x gt0 maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -2 lt lt 2 = arctan(yx)
Jika x lt 0 x berada di kuadran 2 atau 3
= + arctan(yx)
Persamaan2 dalam Koordinat Polar
Pers polar dari lingkaran berjari-jari a r = a
Untuk lingkaran berjari a
- berpusat di (0a) r = 2a sin
- berpusat di (a0) r = 2a cos
r = 2 sin r = 2 cos
r
0 0
2 2
0
r
2 0
0 2
-2
Konversikan persamaan polar r = 2 sin
kedalam sistem koordinat tegak
Kalikan kedua sisi dengan r
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb dalam koordinat tegak adalah
x2 + (y -1)2 = 1
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Setiap titik mempunyai lebih dari satu
representasi dalam koordinat polar
(r ) = (- r + n ) untuk n bil bulat ganjil
= ( r + n ) untuk n bil bulat genap
Example
the following polar coordinates represent
the same point
(2 3) (-2 43) (2 73) (-2 -23)
Konversi koordinat polar kedalam koordinat
tegak Gunakan relasi
x = r cos y = r sin
Maka r2 = x2 + y2
tan = yx jika x 0
Catt menentukan
Jika x gt0 maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -2 lt lt 2 = arctan(yx)
Jika x lt 0 x berada di kuadran 2 atau 3
= + arctan(yx)
Persamaan2 dalam Koordinat Polar
Pers polar dari lingkaran berjari-jari a r = a
Untuk lingkaran berjari a
- berpusat di (0a) r = 2a sin
- berpusat di (a0) r = 2a cos
r = 2 sin r = 2 cos
r
0 0
2 2
0
r
2 0
0 2
-2
Konversikan persamaan polar r = 2 sin
kedalam sistem koordinat tegak
Kalikan kedua sisi dengan r
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb dalam koordinat tegak adalah
x2 + (y -1)2 = 1
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Konversi koordinat polar kedalam koordinat
tegak Gunakan relasi
x = r cos y = r sin
Maka r2 = x2 + y2
tan = yx jika x 0
Catt menentukan
Jika x gt0 maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -2 lt lt 2 = arctan(yx)
Jika x lt 0 x berada di kuadran 2 atau 3
= + arctan(yx)
Persamaan2 dalam Koordinat Polar
Pers polar dari lingkaran berjari-jari a r = a
Untuk lingkaran berjari a
- berpusat di (0a) r = 2a sin
- berpusat di (a0) r = 2a cos
r = 2 sin r = 2 cos
r
0 0
2 2
0
r
2 0
0 2
-2
Konversikan persamaan polar r = 2 sin
kedalam sistem koordinat tegak
Kalikan kedua sisi dengan r
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb dalam koordinat tegak adalah
x2 + (y -1)2 = 1
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Persamaan2 dalam Koordinat Polar
Pers polar dari lingkaran berjari-jari a r = a
Untuk lingkaran berjari a
- berpusat di (0a) r = 2a sin
- berpusat di (a0) r = 2a cos
r = 2 sin r = 2 cos
r
0 0
2 2
0
r
2 0
0 2
-2
Konversikan persamaan polar r = 2 sin
kedalam sistem koordinat tegak
Kalikan kedua sisi dengan r
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb dalam koordinat tegak adalah
x2 + (y -1)2 = 1
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Konversikan persamaan polar r = 2 sin
kedalam sistem koordinat tegak
Kalikan kedua sisi dengan r
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tsb dalam koordinat tegak adalah
x2 + (y -1)2 = 1
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Cari titik potong antara 2 persamaan polar
berikut r = 1 + sin and r2 = 4 sin
Solusi
(1 + sin )2 = 4 sin
1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0
sin2 - 2 sin + 1 = 0
(sin - 1)2 = 0 sin = 1
Jadi sudut = 2 + 2n dimana n = 01hellip
Jadi salah satu titik potong (2 2)
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Grafik Persamaan Polar
Cardioid )cos1()sin1( ardanar
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Limaccedilon r = a + b cos r = a + b sin Limaccedilon r() = 3 ndash 2 cos()
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Persamaan berbentuk
r = cos (n ) atau r = sin(n )
mempunyai grafik berbentuk mawar (rose)
dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil
2n jika n genap
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Rose r() = a ndash b sin (n)
contoh r() = 5 ndash sin(2)
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Grafik persamaan polar
)2cos(2 r
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Lemniscate
)2sin(42 r
)2sin(atau )2cos( 22 arar
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Spiral r =
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Grafik dari ldquobutterfly curverdquo
r() = exp(cos())- 2cos(4 ) + sin( 4)^3
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Menghitung Luas dalam Koordinat Polar
Definisi
Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis
radial = dan = dan kurva r = f( )
adalah
dfA2
21 )(
=
=
r = f()
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Diket luas lingkaran berjari r
Luas juring (sektor) lingkaran
Partisi selang [ ] = 0 lt1 lt2 hellip ltn =
Daerah R dibagi menjadi n buah sektor
Luas sektor ke- i ( Ai ) Luas sektor dg jari2
f(i ) dan besar sudut i = i - i-1
Ai
Jadi A =
2r
2
2
1r
iif 2
)(2
1
dffn
i
iin
2
1
2)(
2
1)(
2
1lim
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Hitung luas daerah limaccedilon dgn pers
r = 3 +2 cos 0 2
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Example
Solution
112sinsin12112
1
2cos22cos1292
1get we
2cos222
2cos14cos4 Because
cos4cos129 2
1
cos23
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
212
21
dA
d
ddrA
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Contoh 2 Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop
limacon
]20[)cos(21)( r
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Luas daerah yg dibatasi ikalan luar
Luas yg dibatasi ikalan dalam (rlt0)
Luas =
32
32 ))(cos(4)cos(41
))cos(21(2
12
3
2
0
23
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
ddd
dA
32
3))cos(21(
2
13
4
3
2
2
2
dA
3321 AA
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Luas daerah antara dua kurva polar
r = f() dan r = g() dengan
f() g() 0
dgfA22
)()(2
1
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Kurva Parametrik (Ch104)
Definisi
Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah
sepasang fungsi
x = f(t) y = g(t) (pers Parametrik)
yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam
interval tertentu t bilangan real (parameternya)
Contoh x = cos t y = sin t 0 t 2
Atau
t
t
tty
t
ttx
1
2)(
1
1)(
22
2
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Kurva parameter dari
fungsi parameter
x= cos 3t y = sin 5t
0 t 2
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Cycloid Suatu lingkaran berjari r menggelinding
sepanjang garis horisontal jejak sebuah titik pada
lingkaran tsb membentuk kurva cycloid
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan
jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat
C(ata)
x = a(t ndash sin t)
y = a(1- cos t)P(xy)
Q(aty)
C(ata)
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Garis tangen pada persamaan parametrik
Kurva parametrik x = f(t) y= g(t) dikatakan mulus (smooth)
jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara
bersamaan
Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs
tangen
Contoh Cari persamaan garis tangen
pada t yang ditentukan
1di1
3
1
33
2
3
t
t
ty
t
tx
)(
)(
tf
tg
dtdx
dtdy
dx
dy
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Parametrik Koordinat Polar
Kurva dalam koordinat polar r = f( ) dapat
dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter
x( ) = f( ) cos y( ) = f( ) sin
(x dan y dinyatakan dgn parameter )
Kemiringan dydx dari garis tangen
sincos
cossin
sin)(cos)(
cos)(sin)(
rr
rr
ff
ff
ddx
ddy
dx
dy
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Cari persamaan garis tangen
dari kurva parametrik
3disincos4 33
ttytx
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
2
33)
2
1(3adalah tangen garis dari Persamaan
2
33
2
1
))3
(sin4)3
(cos4())()((
3
3)3
tan()tan(
)(cos)sin(12
)cos()(sin12
33
2
2
xy
tytx
tDi
t
tt
tt
dtdx
dtdy
dx
dy
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar
berikut ini
r = f( = 2 + 3 cos(8 ) di = 34
Hit dyd dxd dydx
Conic Sections
Conic Sections
Related Documents
