Top Banner
ANALISIS REAL II Kelompok 8
28

Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Apr 15, 2017

Download

Education

Anzilina Nisa
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

ANALISIS REAL IIKelompok 8

Page 2: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

ANGGOTA KELOMPOK: Anzi Lina Ukhtin Nisa (135090401111012) Umi Fauziyah (135090401111040) Nafi’atuz Zahro (135090407111014) R. M. Racel Purnomo (135090407111016)

Page 3: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

BARISAN FUNGSI

Page 4: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 5: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Diberikan barisan dari fungsi-fungsi kontinu pada Jika seragam pada , maka kontinu pada .

Teorema 10.4.1.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 6: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Bukti:

Diberikan sebarang Karena seragam, maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku ;

(10.19)

untuk setiap

Ambil sebarang karena kontinu pada untuk setiap maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dengan berlaku ;

(10.20)

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 7: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Berdasarkan (10.19) dan (10.20) maka untuk setiap dengan dan setiap berlaku ;

+ += .

Terbukti kontinu di titik . Karena sebarang, maka kontinu pada

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 8: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Jika deret fungsi-fungsi kontinu konvergen seragam ke fungsi jumlah pada maka kontinu pada

Teorema 10.4.2.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 9: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti :

Deret dikatakan konvergen seragam ke fungsi jika barisan fungsi konvergen seragam ke

Diketahui deret konvergen untuk setiap berlaku Menurut Teorema Cauchy, barisan konvergen

seragam pada . Terbukti bahwa deret konvergen seragam pada

Page 10: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Diketahui kontinu maka , berlaku

kontinu. Karena kontinu dan

berlaku juga untuk

konvergen seragam ke fungsi , menurut definisi konvergen ke fungsi , untuk setiap berlaku

|– |<

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 11: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Akan dibuktikan kontinu pada | |

Terbukti kontinu di titik Karena sebarang, maka kontinu pada .

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 12: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Contoh 10.4.3.

Diberikan deret fungsi kontinu pada , dengan

, di mana adalah jarak ke bilangan bulat yang terdekatJika , buktikan kontinu pada .

Page 13: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti :

Pertama perhatikan terlebih dulu bentuk fungsi pembilang, yaitu bahwa

Jadi

Katakan , sehingga

Karena kontinu pada , maka kontinu pada

Karena dan deret bilangan konvergen,

Page 14: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

maka menurut Teorema 10.3.2., deret konvergen seragam pada Dengan demikian menurut Teorema 10.4.1. fungsi jumlah kontinu pada .

Page 15: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

Dimisalkan seragam pada dan titik limit . Jika untuk setiap (10.21) maka barisan konvergen.dan(10.22) atau dengan kata lain(10. 23).

Teorema 10.4.4.

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Page 16: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Bukti:

Diberikan karena seragam pada , maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap dan berlaku

(10.24) .Dengan , maka menurut (10.21) ketaksamaan (10.24) menjadi

(10.25)

untuk setiap .

Page 17: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Sehingga barisan merupakan barisan Cauchy di dalam .

Oleh karena itu konvergen kesuatu bilangan .

Kembali ke pernyataan awal bahwa seragam pada , maka terdapat sehingga untuk setiap dan setiap berlaku

(10.26) .

Page 18: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Karena , maka terdapat sehingga untuk setiap dihasilkan

(10.27) |

Kesamaan (10.21) menggambarkan bahwa, untuk setiap dengan

(10.28) |

untuk setiap

Page 19: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Pilih

Ketaksamaan (10.26), (10.27), (10.28) menjadi

s|

+ + = .

Untuk setiap dan setiap dengan

.

Page 20: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Dengan demikian dapat disimpulkan

Page 21: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Page 22: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Diberikan barisan fungsi terintegral Riemann pada . Jika seragam pada , maka terintegral Riemann pada dan

Teorema 10.5.1.

Page 23: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Bukti:

, dimisalkan

Maka dan

Berlaku

Atau

Sehingga untuk integral Riemann atas dan bawah dari f memenuhi

Page 24: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Sehingga

Karena seragam pada , maka sehingga

Maka dikatakan terintegral Riemann

pada dan ditulis

Page 25: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Selanjutnya ketaksamaan (10.30) dapat dinyatakan sebagai

sehingga diperoleh

Artinya ketaksamaan (1) dipenuhi, yaitu

Page 26: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN PENGINTEGRALAN

Jika terintegral Riemann pada dan deret

Konvergen seragam pada , maka

Akibat 10.5.2.

Page 27: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

TERIMA KASIH

Page 28: Konvergen Seragam dan Kekontinuan, Konvergen Seragam dan Pengintegralan

KONVERGEN SERAGAM DAN KEKONTINUAN

Contoh

Diberikan barisan fungsi , Selidiki apakah barisan tersebut konvergen seragam ke limitnya!