Konsep dasar pendugaan parameter

Konsep Dasar Pendugaan Parameter• Pendugaan parameter adalah mempersoalkan tentang bagaimana cara

menduga atau menguji hipotesis tentang parameter populasi yang belum diketahui, dengan contoh acak dan hitung peluang.

• Dugaan tehadap parameter populasi dapat berupa titik atau selang.• Kelakuan populasi yang akan ditinjau disini hanyalah mengenai

parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data dari sampel dianalisis, dihitung, dan diperoleh nilai-nilai statistik ini kita simpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.

• Jadi harga parameter yang sebenarnya tetapi tak diketahui itu akan ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.

• Parameter populasi yang akan ditaksir dan akan diuraikan ini terutama adalah : rata-rata, simpangan baku dan proporsi.

NextBack

• Secara umum parameter populasi diberi simbul θ (baca theta) jadi θ bisa berupa rata-rata μ simpangan baku α, proporsi Π dan sebagainya. Jika θ yang tidak diketahui harganya diduga oleh θ maka θ dinamakan penaksir. Jelas diinginkan θ = θ tetapi ini hanya merupakan suatu keinginana yang ideal sifatnya, kenyataan yang terjadi adalah :1. menaksir θ oleh θ terlalu tinggi2. menaksir θ oleh θ terlalu rendah.

• Kedua ini jelas tidak diinginkan oleh peneliti karena kita mengiginkan penaksir yang baik.

NextBack

Pendugaan ParameterPenduga dikatakan terbaik apabila memiliki ciri-ciri sebagai berikut:•Tak bias (unbiasedness)

Suatu penduga dapat dikatakan tak bias apabila nilai harapan dari penduga tersebut adalah sama dengan nilai parameter yang diduga.

Seperti:E ( ) = μE (s) = ơE (þ) = p

•Efisiensi (efficiency)Jika ada beberapa penduga tak bias, maka penduga

yang mempunyai ragam terkecil merupakan penduga yang paling efisien. Jadi makin kecil ragam suatu penduga maka penduga tersebut makin efisien.

NextBack

• Kecukupan (surfficiency)Suatu penduga selain tak bias dan efisien masih ada kriteria lain yaitu bahwa penduga tersebut harus mengandung semua informasi tentang parameter populasi atau dengan kata lain penduga tersebut harus mempunyai syarat kecukupan. Dalam hal ini median dan modus bukanlah penduga yang berkecukupan karena hanya mencakup satu nilai pada pertengahan data yang telah diurutkan atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.

• Konsistensi (consistency)Suatu penduga dikatakan konsisten apabila jumlah kuadrat galatnya mendekati nol kalau ukuran contoh mendekati tak hingga.

NextBack

Cara-cara menduga/menaksirMenduga μSecara umum penduga μ adalah X denagn rumus

• Penduga/titik taksiran untuk sebuah parameter μ misalkan harganya akan berlainan tergantung pada harga X yang didapatkan dari sample yang diambil. Karena orang sering merasa kurang yakin atau kurang percaya atas hasil penduga macam ini. Sebagai gantinya dipakai interval pendugaan atau selang taksiran yaitu menduga suatu parameter diantara batas-batas dua harga denagn tingkat kepercayaa yang telah ditentukan.•Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan α maka besarnya 0<α< 1. harga ∂ yang digunkana tergantung pada persoalan yang dihadapi dan keyakinan peneliti. Namun yang biasa digunakan ialah 0,95 atau 0,99.

n/)

n

1i

Xi( X

NextBack

• Jadi pendugaan θ yang dimaksud adalah :P(A < θ <B) = αP: peluang yang diiginkanA: batas bawah pendugaan B:batas atas pendugaanθ: parameter yang didugaα: koefisien kepercayaan pendugaan • Perumusan ini berarti bahwa peluang θ terletak diantara nilai A dan B

sebesar α. Dalam penelitian A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel maka A dan B merupakan bilangan tetap. Maka perumusan diatas berarti kita merasa percaya sebesar α bahwa parameter θ akan ada didalam interval ( A,B).

NextBack

Aplikasi Pendugaan Parameter• Pendugaan rata-rata μ

Misalkan kita mempunyai suatu populasi berukuran N dengan rata-rata μ dan simpangan baku α. Dari populasi ini parameter rata-rata μ akan diduga dengan . untuk keperluan ini kita mengambil sample sebesar n dan hitung rata-ratanya ( ) jika data berasal dari populasi yang menyebar normal dan α diketahui maka :

P ( – Z 1/2α α/√n < μ < + Z1/2α α/√n) =α

Disini Z1/2α nilainya diambil dari tabel normal baku untuk peluang ½ α. Jadi interval kepercayaan parameter μ sebesar α adalah :

– Z1/2α α/√n<μ< +Z1/2α α/√n

Atau ± Z1/2α α/√n

NextBack

Dalam penelitian /kenyataan parameter α tidak diketahui,sehingga interval kepercayaan parameter μ sebesar α menjadi – t ½ α s/√n < μ < X + t 1/2α s/√n

Atau ± t 1/2α s/√n

Dimana t 1/2α nilainya diambil dari tabel t dan s dicari dengan rumus:

Jika ukuran sample berhingga yaitu sebesar N yakni (n/N) > 5% maka:

atau

1)(n_______

2)_X - (X

SDτ

n

i 1

11 2/12/1

N

nN

n

stX

N

nN

n

stX

12/1

N

nN

n

st

NextBack

• Pendugaan proporsi Populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi Π untuk suatu peristiwa

yang terdapat didalam populasi tersebut. Bila di dalam sampel acak berukuran n diambil dari populasi itu.

Sehingga interval kepercayaannya dengan pendekatan normal dengan n cukup besar menjadi :

Dengan p = x/n dan q = 1 – p sedangkan Z1/2γ adalah bilangan z didapat dari daftar normal baku untuk peluang 1/2γ.

Contoh :Misalkan kita ingin menaksir da berapa persen anggota masyarakat berumur 15 tahun

ke atas yang termasuk golongan A. untuk ini sampel acak berukuran n = 1200 diambil yang menghasilkan 504 tergolong kategori A.

Persentase golongan A dalam sampel =

NextBack

Jika ditaksir ada 42% anggota masyarakat berumur 15 tahun ke atas yang termasuk golongan A maka dalam hal ini telah digunakan titik taksiran. Untuk menentukan 95% interval kepercayaan parameter Π maka rumus diatas dapat digunakan

Dengan p = 0,42 ; q = 0,58 ; dan Z0,475 = 1,96 maka

Atau 0,39 < Π < 0,45Kita merasa yakin bahwa persentase anggota masyarakat yang termasuk golongan A

akan ada dalam interval 39% dan 45%.

NextBack

• Pendugaan Simpangan Baku / Ragam

Untuk menaksir varians dari sebuah populasi sampel varians s2 berdasarkan sampel

acak berukuran n perlu dihitung dengan rumus:

Ternyata bahwa varians s2 adalah penaksir tak bias untuk varias Ơ2. Akan tetapi simpangan baku s bukan penaksir tak bias untuk simpangan baku Ơ2. Jadi titik taksiran s untuk Ơ2 adalah bias.

Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians Ơ2 maka 100 γ % interval kepercayaan untuk Ơ2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat. Rumusnya adalah:

Dengan n = ukuran sampel sedangkan X21/2 ( 1 + γ) dan X2

1/2 ( 1 - γ) didapat dari daftar

Chi kuadrat p = ½(1+γ) dan p = ½(1-γ) dengan dk = (n-1)Next

Back

Contoh:Sebuah sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan baku ơ. Dihasilkan harga statistik s2

= 7,8 dengan koefisien kepercayaan 0,95 dan dk = 29 maka daftar chi kuadrat didapat:X2

0,975 = 45,7 dan X20,025 = 16,0

Diperoleh

Atau 4,95 < < 14,14Interval taksiran untuk simpangan baku ơ adalah2,23 < ơ < 3,75Kita merasa 95% percaya bahwa simpangan baku ơ akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,23 dan 3,75 

NextBack

• Pendugaan Selisih Rata-rata

Misalkan kita mempunyai dua buah populasi kedua-duanya berdistribusi normal. Rata-rata dan simpangan bakunya masing-masing μ1 dan ơ1 Untuk populasi kesatu, μ2 dan ơ2 untuk populasi kedua. Dari masing-masing populasi secara independen diambil sampel acak dengan ukuran n1 dan n2. Rata-rata dan simpangan baku dari sampel-sampel itu berturut-turut 1, s1 dan 2, s2 akan ditaksir selisih rata-rata (μ1-μ2)Jika kedua populasi normal itu mempunyai ơ1 dan ơ2 = ơ dan besarnya diketahui maka 100 γ % interval kepercayaan untuk (μ1-μ2) ditentukan oleh rumus:

Dengan Z1/2γ didapat dari daftar normal baku dengan peluang 1/2γ

Dalam hal ơ1 = ơ2 = ơ tetapi tidak diketahui besarnya pertama-tama dari sampel – sampel kita perlu tentukan varians gabungannya, dinyatakan dengan s2 , dengan rumus:

NextBack

Interval kepercayaan ditentukan dengan menggunakan distribusi student. Rumus untuk 100 γ %. Interval kepercayaan (μ1-μ2) adalah:

Untuk populasi normal dengan ơ1≠ ơ2 dilakukan pendekatan dengan memisalkan

s1 = ơ1 dan s2 = ơ2 untuk sampel acak berukuran cukup besar. Rumus interval kepercayaannya ditentukan oleh:

NextBack

• Pendugaan Selisih Proporsi

Kita mempunyai dua populasi binom dengan parameter untuk peristiwa yang sam masing-masing Π1 dan Π2. Dari populasi ini secara independen masing-masing diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dari populasi kesatu dan n2 dari populasi kedua. Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan dari sampel-sampel itu adalah p1 = x1/n1 dan p2/n2 dengan x1 dan x2 menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan yang didapat dalam sampel kesatu dan kedua. Akan ditentukan interval taksiran untuk ( ). Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan n1 dan n2 cukup besar. Rumus yang digunakan untuk interval kepercayaan 100 γ % selisih ( ) adalah:

Dengan q1 = 1 - p1 , q2 = 1 – p2 dan Z1/2γ didapat dari daftar normal baku dengan peluang 1/2γ.

NextBack

•Pendugaan Rasio Dua ragamJika s12 dan s22 merupakan ragam contoh acak bebas berukuran n1 dan n2 yang masing-masingnya dipilih dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% bagi rasio dua ragam populasi normal tersebut adalah:

Fa/2 (v1,v2) dan Fa/2 (v1,v2) merupakan nilai sebaran f dengan derajat bebas.

v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 - 1 sebelah kanannya terdapat luas a/2

Back Next