Kompleksitas Waktu untuk Algoritma Rekursif ZK Abdurahman Baizal
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Kompleksitas Waktu
untuk Algoritma
Rekursif
ZK Abdurahman Baizal
Algoritma Rekursif
Bentuk rekursif :
suatu subrutin/fungsi/ prosedur yang
memanggil dirinya sendiri.
Bentuk dimana pemanggilan subrutin
terdapat dalam body subrutin
Dengan rekursi, program akan lebih mudah
dilihat
Bentuk rekursi bertujuan untuk :
menyederhanakan penulisan program
menggantikan bentuk iterasi
Syarat bentuk rekursif:
ada kondisi terminal (basis)
ada subroutine call yang melibatkan
parameter yang nilainya menuju kondisi
terminal (recurrence)
Menghitung kompleksitas bentuk
rekursif
Untuk bentuk rekursif, digunakan teknik
perhitungan kompleksitas dengan relasi
rekurens
Menghitung faktorial
Function Faktorial (input n : integer) → integer
{menghasilkan nilai n!, n tidak negatif}
Algoritma
If n=0 then
Return 1
Else
Return ( n*faktorial (n-1) )
Endif
Menghitung faktorial
Kompleksitas waktu :
untuk kasus basis, tidak ada operasi
perkalian → (0)
untuk kasus rekurens, kompleksitas waktu
diukur dari jumlah perkalian (1) ditambah
kompleksitas waktu untuk faktorial (n-1)
Menghitung faktorial
Jadi relasi rekurens :
0,1)1(
0,0
nnT
nnT
11 nTnT
22211 nTnT
33312 nTnT
= …..
= n + T(0)
= n + 0
Jadi T(n) = n → O(n)
Menghitung faktorial
Menara Hanoi
Legenda di Hanoi, tentang kisah pendeta
Budha bersama murid-muridnya.
Bagaimana memindahkan seluruh piringan (64 piringan)tersebut
ke sebuah tiang yang lain (dari A ke B); setiap kali hanya satu
piringan yang boleh dipindahkan, tetapi tidak boleh ada piringan
besar di atas piringan kecil. Ada tiang perantara C.
B A C
Kata pendeta, jika pemindahan
berhasil dilakukan, maka DUNIA
KIAMAT !!!
Procedure Hanoi (input n, A, B, C:integer)
Algoritma
If n=1 then
Write (‘Pindahkan piringan dari’,A,’ke’,B)
Else
Hanoi(n-1,A,C,B)
Writeln(‘Pindahkan piringan dari’,A,’ke’,B)
Hanoi(n-1,C,B,A)
Endif
Menara Hanoi
Relasi Rekurrens :
1,112
1,1
nnT
nnT
Menara Hanoi
121 nTnT
222122121 2 nTnT
32221321221 322 nTnT
= …….
122.......221 122 Tnn
1.2.....221 12 n
12 n
Menara Hanoi
Menara Hanoi
Jadi
n
n
OnT
nT
2
12
12 nnT
Menara Hanoi
= kira-kira 600 milyar tahun (???!!!)
1264 detik
= 10.446.744.073.709.551.615
adalah jumlah seluruh perpindahan piringan dari satu
tiang ke tiang lainnya.
Jika perpindahan 1 piringan butuh waktu 1 detik, maka
waktu yang dibutuhkan :
Persoalan Minimum &
Maksimum
procedure MinMaks2(input A : TabelInt, i, j : integer,
output min, maks : integer)
{ Mencari nilai maksimum dan minimum di dalam tabel A yang berukuran n elemen secara Divide and Conquer.
Masukan: tabel A yang sudah terdefinisi elemen-elemennya
Keluaran: nilai maksimum dan nilai minimum tabel
}
Deklarasi
min1, min2, maks1, maks2 : integer
Persoalan Minimum &
Maksimum
if i=j then { 1 elemen }
minAi
maksAi
else
if (i = j-1) then { 2 elemen }
if Ai < Aj then
maksAj
minAi
else
maksAi
minAj
endif
Persoalan Minimum &
Maksimum
else { lebih dari 2 elemen }
k(i+j) div 2 { bagidua tabel pada posisi k }
MinMaks2(A, i, k, min1, maks1)
MinMaks2(A, k+1, j, min2, maks2)
if min1 < min2 then
minmin1
else
minmin2
endif
if maks1<maks2 then
maksmaks2
else
maksmaks2
endif
Persoalan Minimum &
Maksimum
2,2)2/(2
2,1
1,0
)(
nnT
n
n
nT
Relasi rekurrens:
Persoalan Minimum &
Maksimum
Penyelesaian:
Asumsi: n = 2k, dengan k bilangan bulat positif,
maka
T(n) = 2T(n/2) + 2
= 2k – 1 T(2) +
1
1
2k
i
i
= 2k – 1 1 + 2k – 2
= ...
= 4 (2T(n/8) + 2) + 4 + 2 = 8T(n/8) + 8 + 4 + 2
= 2(2T(n/4) + 2) + 2 = 4T(n/4) + 4 + 2
Persoalan Minimum &
Maksimum
222 log1log 22
nn
= n/2 + n – 2
22
3 nnT
nOnT
Jadi
= 3n/2 – 2
Untuk mengetahui kompleksitas bentuk rekursif, maka
nT harus diubah dalam bentuk yang bukan rekursif
Bagaimana mengubah bentuk rekursif ke non rekursif ?
Ada dua macam cara untuk menyelesaikan masalah ini,
yaitu cara coba-coba dan dengan persamaan karakteristik :
1. Cara coba-coba (deret).
2. Metode dengan persamaan karakteristik
Cara coba-coba.
Cara ini dilakukan dengan menentukan pola
deret yang terbentuk (cara deret). Contoh
untuk cara ini telah ditunjukkan dalam
mencari kompleksitas waktu untuk beberapa
bentuk rekursif sebelumnya. Cara ini agak
sulit dan perlu pengalaman.
Cara coba-coba
Contoh :
321
2,1
nbnTnT
nanT
Cara coba-coba
babaabTTT 2213
babbaabTTT 232324
babbababTTT 45232435
bbababTTT 4523546
T(1) = T(2) = a
= 8a + 7b
→ Sulit untuk diformulasikan
Metode dengan persamaan
karakteristik
Bentuk Persamaan Linier Tak Homogen
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Perhatikan bentuk rekursifnya :
nfknTanTanTanT k ....21 21
nPtnf d
n
k
dd
d bnbnbnP ....1
10
→ polinomial dengan orde / derajat terbesar d
→ didapatkan nilai t dan d
Metode dengan persamaan
karakteristik
knTanTanTanT k ....21 21
nxnT
kn
k
nnn xaxaxax ...2
2
1
1
0...2
2
1
1 kn
k
nnn xaxaxax
2. Asumsi nf = 0
Misal
knx Persamaan di atas kemudian dibagi dengan
knx (ini jika adalah suku dengan orde terkecil), sehingga
didapatkan : 0...2
2
1
1
k
kkk axaxax
→ bentuk homogen
Metode dengan persamaan
karakteristik
3. Diperoleh persamaan karakteristik :
0...12
2
1
1 d
k
kkk txaxaxax
t dan d didapatkan dari langkah 1.
Metode dengan persamaan
karakteristik
4. Ada 2 macam kasus :
....332211 nnn
xcxcxcnT
,...,, 321 xxxKasus 1
Semua akar karakteristik berbeda
Solusi Umum:
,...,, 321 ccc adalah konstanta yang harus dicari
xxx ....21
nxncncnccnT ....3
4
2
321
Kasus 2
Semua akar karakteristik sama, yaitu
Solusi Umum:
Masalah faktorial
0,11
0,0
nnT
nnT
11 nTnT
1nf
0.11 nn
(i)
→ t = 1 d = 0
Masalah faktorial
1 nTnT
01 nTnT
01 nn xx1nx
(ii) persamaan homogen (kita anggap f(n)=0)
nxnT Misal , maka
Persamaan terakhir ini dibagi dengan
(suku dengan orde terkecil), didapatkan :
x – 1 = 0
Masalah faktorial
11 x 12 x
nnccnT 1.21
ncc 21
(iii) Persamaan karakteristik
(x – 1)(x – 1) = 0
Akar – akarnya adalah :
Akar sama, jadi termasuk kasus 2, sehingga solusi umum :
Masalah faktorial
00 T
1101 TT
10 cT
211 ccT
Dari relasi rekurens :
Dari solusi umum:
………(**)
………..(*)
Cari c1 dan c2 :
Masalah faktorial
01 c
121 cc
01 c 12 c
nccnT 21
nnT nOnT
Dari (*) dan (**) didapatkan persamaan :
Dari kedua persamaan terakhir ini diperoleh
dan
Dengan demikian diperoleh :
Jadi kompleksitas waktunya adalah dan
= n
Kasus Menara Hanoi
1,121
1,1
nnT
nnT
1nf
0.11 nn
Relasi rekurrens :
112 nTnT(i)
→ t = 1 d = 0
Kasus Menara Hanoi
nxnT
12 nTnT
012 nTnT
02 1 nn xx1nx
(ii) Persamaan homogen
Persamaan terakhir ini dibagi
didapatkan :
x – 2 = 0
Misal
(suku dengan orde terkecil),
Kasus Menara Hanoi
21 x 12 x
nn ccnT 12 21
212 cc n
(iii) Diperoleh persamaan karakteristik :
(x – 2)(x – 1) = 0
Dari persamaan karakterik diperoleh akar-akar :
→ akar-akar berbeda, sehingga termasuk dalam kasus 1,
sehingga solusi umum:
Kasus Menara Hanoi
32
11
T
T
21
21
42
21
ccT
ccT
Cari c1 dan c2 :
Dari relasi rekurrens : Dari Solusi umum:
……(**)………(*)
Dari (*) dan (**)
34
12
21
21
cc
ccc1 = 1 dan c2 = -1
Kasus Menara Hanoi
212 ccnT n
12 n
12 nnT
nOnT 2
Jadi
Jadi kompleksitas waktu :
Kompleksitas waktu Asimptotik:
Persoalan Minimum &
Maksimum
2,22
2,1
1,0
2 nT
n
n
nT
n
Relasi Rekurrens
22
222
mm TT
222 1 mT
22 2 nTnT(i)
mn 2Dimisalkan
2mf
021 mm
→ t = 1 d = 0
Persoalan Minimum &
Maksimum
1222 mm TT
0222 1 mm TT
02 1 mm xx
(ii) Persamaan homogen :
1mxPersamaan terakhir ini dibagi dengan
(suku dengan orde terkecil), didapatkan :
mm xT 2Misal
x – 2 = 0
Persoalan Minimum &
Maksimum
012 xx
21 x 12 x
mm ccmT 12 21
nn ccnT log
2
log
1
22
12
21 cnc
(iii) Diperoleh persamaan karakteristik :
Akar-akarnya :
Solusi umum :
mn 2Karena nm log2→
Persoalan Minimum &
Maksimum
Cari c1 dan c2 :
Dari relasi rekurrens :
2224 TT = 4……..(*)
2428 TT = 10
21
21
88
44
ccT
ccT
Dari solusi umum:
………..(**)
44 21 cc
108 21 cc
23
1 c
22 c
Dari (*) dan (**)
22
3
nnT
nOnT
Jadi kompleksitas waktu :
Kompleksitas waktu asimptotik
Bentuk Persamaan Linier Homogen
nfknTanTanTanT k ....21 21
knTanTanTanT k ....21 21
Bentuk Persaman Linier Homogen adalah :
Dengan
Jadi bentuk Persaman Linier Homogen adalah :
nf = 0
Barisan Fibonacci
Relasi rekurrens :
121
11
00
nnTnT
n
n
nT
nxnT
021 nnn xxx
(i) Persamaan rekursi :
21 nTnTnT =0
, makaMisal
Barisan Fibonacci2nxPersamaan terakhir ini dibagi , didapatkan :
12 xx = 0 → persamaan karakteristik
2
511
x
2
512
x
nn
ccnT
2
51
2
5121
(ii) Akar persamaan karakteristik adalah :
dan
→ akar-akar berbeda, sehingga termasuk dalam kasus 1,
sehingga solusi umum:
Barisan Fibonacci
(iii) Cari c1 dan c2 :
Dari relasi rekurrens dan solusi umum diperoleh :
12
51
2
511
02
51
2
510
1
2
1
1
0
2
0
1
ccT
ccT
5
1
Dari 2 persamaan terakhir ini, diperoleh
dan c2 =5
1c1 =
Deret Fibonacci
5
2
51
2
51nn
nT
(iv) Masukkan ke solusi umum kembali, sehingga didapatkan :
Contoh lain
Misal kita punya relasi rekurrens :
23921517
22
11
00
nnTnTnT
n
n
n
nT
Contoh lain
03319157 23 xxxxxx
3nxPersamaan terakhir ini dibagi
→ persamaan karakteristik
(suku dengan orde terkecil) didapatkan :
03921517 nTnTnTnT
09157 321 nnnn xxxx
(i) Persamaan rekursi :
Misal T(n) = xn, maka persamaan di atas menjadi :
Contoh lain
11 x 332 xx
nnn ncccnT 331 321
(ii) Akar persamaan karakteristik adalah :
→ tidak semua akar-akarnya sama (juga tidak semua berbeda)
jadi perpaduan antara kasus 1 dan kasus 2,
sehingga solusi umumnya adalah :
Contoh lain
2)3)(0(312
1)3)(0(311
0)3)(0(310
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
0
3
0
2
0
1
cccT
cccT
cccT
2189
133
0
321
321
21
ccc
ccc
cc
(iii) Cari c1 dan c2 dan c3:
Dari relasi rekurrens dan solusi umum diperoleh :
Disederhanakan menjadi :
11 c
3
1c2 = 1, dan c3 =
Contoh lain
nnn nnT 33
13111
1331 nn n
(iv) Masukkan ke solusi umum kembali,
sehingga didapatkan :
)3()( nnOnT
Teorema Master
Cara yang telah dibahas didepan adalah
bagaimana mencari T(n) untuk algoritma
rekursif, yang berlaku secara umum.
Khusus untuk strategi Divide & Conquer, kita
bisa juga mencari kompleksitas waktu
asimptotik (ingat! hanya kompleksitas waktu
asimptotik, bukan T(n) ) dengan
menggunakan teorema Master.
Teorema Master
nfb
naTnT
Teorema Master :
Untuk suatu general Divide and Conquer recurrence :
dnOnf Jika
0ddimana dalam persamaan general Divide
and Conquer recurrence di atas, maka
da
dd
dd
banO
bannO
banO
nTb log
log
(analogous results hold for the and notations, too)
Contoh :
Persoalan Minimum & Maksimum (procedure MinMax2)
2,22
2,1
1,0
2 nT
n
n
nT
n
→ salah satu contoh strategi divide and conquer.
dba nOnT
Dari relasi rekurens di atas, diperoleh a = 2, b = 2, d = 0.
atau
.
sehingga
2log2
nOnT →
Related Documents
