KI2141 2010 SIK Part02 TehnikDanAplikasiTeoriKuantum

1. Tehnik dan Aplikasi Teori Kuantum

• Untuk mengetahui sifat bagi sebuah partikel, perlu dicari penyelesaian persamaan Schrodingernya.Terutama Penyelesaian bagi gerak partikel untuk gerak translasi, rotasi dan vibrasi.

• Energi bagi suatu partikel disimpan dalam bentuk gerak translasi, vibrasi dan rotasi ini. Ini yang menjadi dasar bagi kita untuk mencari penyelesaian fungsi gelombang yang sesuai dengan gerakan bagi persamaan Schrodingernya.

1.1. Gerak Translasi

• Persamaan Umum Schrodinger bagi partikel bebas adalah:

−ℏ

2md 2

ψ

dx2 =E ψ

• Atau dalam bentuk yang sederhana

H =E dengan H =−ℏ

2

2md 2

dx2

• Penyelesaian umum bagi persamaan Schrodinger tersebut adalah:

k=AeikxB e−ikx dengan E K=k2

ℏ2

2m

• Dan dengan hubungan

e±kx=cos x±i sin x

• Maka

ψk=A eikx+B e−ikx

=A(cos kx+ isin kx )+ B(cos kx−i sin kx)=(A+B)cos kx+( A−B)i sin kx

• Dengan melihat keadaan fisik yang sesungguhnya maka akan dapat ditentukan penyelesaian khususnya seperti pada kuliah terdahulu.

• Beberapa yang harus menjadi perhatian:

▫ Kondisi batas harus diperhatikan dalam mencari penyelesaian persamaan Schrodinger.

▫ Fungsi gelombang harus ternormalisasi

▫ Penyelesaian akan memberikan sifat kuantisasi.

▫ Terdapat sifat ortogonal bagi fungsi gelombang yang saling menghilangkan.

Rochliadi/KI2141-2010-SIK-Part02_TehnikDanAplikasiTeoriKuantum.odt/Page 1 of 25

-- For personal use only --

1.2. Gerak bagi suatu partikel dalam kotak 2 dimensi atau lebih..

•

• Bila partikel berada dalam suatu kotak dua dimensi dengan ukuran L1 pada arah x dan L2 pada arahy maka persamaan Schrodinger menjadi;

−ℏ2

2 m ∂2

∂ x2 ∂

2

∂ y 2 =E

• Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger 2 dimensi ini maka perlu dilakukan pemisahan variabel (Separation Variable).

1.3. Metoda Separasi

Persamaan fungsi gelombang klasik dan juga persamaan Schrodinger merupakan persamaan diferensial parsial. Untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger 2 atau 3 dimensi dilakukan dengan menggunakan metoda separasi.

Suatu persamaan u(x,t) dapat dipisahkan menjadi suatu persamaan dalam fungsi x, dan dalam fungsi t.

u (x ,t )=X ( x)T (t)

Misal untuk persamaan gelombang

∂2u x ,t

∂ x2 =1v2

∂2 u x , t

∂ t 2

Dengan mensubtitusi akan diperoleh

T t d 2 X x

dx2 =1v2 X x

d 2T t

dt 2

Bila dibagi u x ,t =X xT t akan diperoleh

1X x

d 2 X xdx2 =

1v2 T t

d 2T t dt 2

Terlihat bahwa bagian kiri Persamaan merupakan fungsi dari x saja dan sisi kanan merupakan fungsi darit. Karena kedua variabel merupakan variabel yang independent (bebas) kedua persamaan dapat divariasikan secara bebas. Keduanya bernilai sama bila pada setiap variasi x dan t dengan nilai persamaannya merupakan suatu konstanta K. Dengan cara ini maka dapat diperoleh


2


1X x

d 2 X xdx2 =K

Dan

1v2 T t

d 2 T t dt2 =K

Konstata K adalah konstanta separasi dan dapat ditentukan kemudian. Persamaan kemudian dapat ditulis ulang menjadi

d 2 X xdx2 −KX x=0

Dan

d 2 T t dt 2 −K v2T t =0

Persamaan dan dikenal sebagai persamaan diferensial biasa. Kedua persamaan adalah persamaan linear, dan koefisien yang terkait pada variabel merupakan suatu konstanta. Persamaan terakhir ini dapat diselesaikan dengan mudah.

Nilai K pada persamaan dan akan ditentukan. Saat ini tidak diketahui apakah bernilai positif, negatif atauNol.

Asumsi bila K=0Hasil integrasi persamaan dan akan memberikan

X x=a1 xb1

Dan T t =a2 tb2

a dan b adalah konstanta integrasi dan dapat dicari dengan memperhatikan kondisi batas, yaitu.u 0, t =X 0T t =0

Dan

u l , t =X l T t =0

Karena T t tidak bernilai nol dapat semua t, maka tentunya

X 0=0 dan X l =0

Untuk K0

d 2 ydx2 −k 2 y ( x)=0

d 2 y

dx2 =k 2 y x

Dengan k merupakan konstanta. Dan merupakan pangkat dua agar harga K selalu pasti > 0. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear dengan konstanta yang sisi kanannya bernilai nol memiliki solusi dalam bentuk y x =e x , dengan merupakan konstanta yang akan ditentukan kemudian. Dengan ini maka Persamaan menjadi


3


2−k 2 y x=0

Ini dapat dipenuhi bila 2 2( )kα − atau ( )y x bernilai nol. Karena ( ) 0y x = adalah penyelesaian

trivial maka 2−k 2=0 sehingga

kα = ±Jadi terdapat 2 buah solusi yaitu ( ) kxy x e= dan ( ) kxy x e−=Solusi umum persamaan akhirnya adalah

1 2( ) kx kxy x c e c e−= +

Untuk 0K <Dalam kasus ini maka α akan mempunyai nilai imaginer. Contoh jelasnya misal pada persamaan diferensial

2

2( ) 0

d yy x

dx+ =

Dengan 1K = − . Jika dipilih ( ) xy x eα= maka

2( 1) ( ) 0y xα + =Atau

iα = ±Penyelesaian umum bentuk ini adalah

1 2( ) ix ixy x c e c e−= +Dengan menggunakan Formula Euler, yaitu

cos sinie iθ θ θ± = ±Subsitusi dalam Persamaan memberikan hasil

1 2

1 2 1 2

3 4

( ) (cos sin ) (cos sin )

( )cos ) ( )sin

cos sin

y x c x i x c x i x

c c x ic ic x

c x c x

= + + −= + + + −= +

1.4. Penyelesaian Dengan Metoda Separasi

• Untuk fungsi yang di separasi dalam koordinat X dan Y maka fungsi gelombangnya menjadi.

( , ) ( ) ( )x y X x Y yψ =• Dengan subsitusi ini maka akan diperoleh,

2 2 2 2

2 22 2x y x y

d X d YE E E E E

m dx m dy− = − = = +h h


4


• Penyelesaian persamaan ini adalah (Dengan menggunakan metoda separasi),

1/2 1/2

1 21 2

1 1 2 2

2 2( ) sin ( ) sinn n

n x n xX x Y y

L L L L

π π = = ÷ ÷

• Karena X Yψ = dan x yE E E= + , maka

( )1 2

1 2, 1 21/2

1 21 2

2( , ) sin sin 0 ,0n n

n x n xx y x L y L

L LL L

π πψ

= ≤ ≤ ≤ ≤ ÷ ÷

1 2

21 2

, 2 21 2 8n n

n nE

L L m

= + ÷

h

• Hasil Plot kebolehjadian bagi penyelesaian persamaan Schrodinger untuk partikel dalam kotak 2

dimensi dalam Plot Peta Kontur Kebolehjadian; (a) 1 21, 1n n= = ; (b) 1 21, 2n n= = ; (c)

1 22, 1n n= = dan (d) 1 22, 2n n= =•

• Solusi untuk fungsi gelombang bagi partikel dalam kotak 3 dimensi jika dikerjakan dengan menggunakan metoda separasi akan di peroleh,

1 2 3

1/2

31 2, ,

1 2 3 1 2 3

1 2 3

8( , , ) sin sin sin

0 ,0 ,0

n n n

n xn x n xx y z

L L L L L L

x L y L z L

ππ πψ

= ÷ ÷ ÷ ÷

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤• Dan besar energinya adalah,

1 2 3

231 2

, , 2 2 21 2 3 8n n n

nn nE

L L L m

= + + ÷

h


5


1.5. Sifat Degenerasi

• Suatu sifat yang menarik terjadi apabila partikel tersebut diletakkan dalam kotak dengan ukuran

1L dan 2L yang sama,

1 2

1 2,

2( , ) sin sinn n

n x n xx y

L L L

π πψ = ÷ ÷ • Dan Energinya menjadi

( )1 2 3

22 2

, , 1 2 28n n nE n nmL

= + h

• Bagi fungsi gelombang yang degenerate maka konversi dari suatu fungsi ke fungsi lainnya dapat dilakukan dengan cara rotasi.,

•

1.6. Efek Tunneling

• Efek Tunneling terjadi saat dinding kotak tidak memiliki harga tak hingga (E<V) dan fungsi gelombang tidak mencapai nilai Nol pada dinding. Bila dinding tersebut sangat tipis makan fungsigelombang akan berosilasi dalam dinding dan kemudian berosilasi kembali keluar dari dinding.


6


•

• Persamaan fungsi gelombang Schrodinger dapat digunakan untuk menghitung kebolehjadian efek tunneling ini

• Bentuk persamaan fungsi gelombang adalah (dengan x<0, dan V=0)

1/2(2 )ikx ikxAe Be k meψ −= + =h

• Persamaan Schrodinger untuk daerah 0 x L≤ ≤ yang memiliki V konstan adalah

2 2

22

dV E

m dx

ψ ψ ψ− + =h

• Akan di amati partikel yang memiliki E V< sehingga sesuai dengan mekanika klasik partikel

akan memiliki energi yg tidak yg cukup besar untuk melewati rintangan, sehingga V E− akan bernilai positif.

• Penyelesaian umum untuk persamaan ini adalah

{ } 1/22 ( )x xC e De m V Eκ κψ κ−= + = −h

• Hal yang penting untuk di kenali adalah kedua eksponensial adalah merupakan fungsi yang real. Fungsi merupakan fungsi osilasi yang berlaku pada daerah dengan 0V = (Fungsi terosilasi

akan dapat diperoleh bila E V> . Untuk sisi sebelah kanan barrier ( )x L> yang besarnya

0V = fungsi gelombang menjadi

{ } 1/2' ' 2ikx ikxA e B e k mEψ −= + =h


7


• Fungsi gelombang yang lengkap adalah fungsi gelombang untuk partikel yang bergerak ke kanan, partikel yang dipantulkan, fungsi gelombang pada barrier yang amplitudonya berubah dan fungsi gelombang partikel yang berpropagasi setelah melewati barirer. Semua fungsi gelombang ini harus kontinue pada daerah-daerah batasnya. Yaitu pada 0x = dan x L= dan harus menjadi

catatan bahwa nilai 0e . Maka berlaku aturan batas.

' 'L L ikL ikLA B C D Ce De A e B eκ κ− −+ = + + = +• Kemiringan pada boundaries juga harus bersifat kontinu maka;

' 'L L ikL ikL

ikA ikB C D

Ce De ikA e ikB eκ κ

κ κκ κ − −

− = −− = −

• Terdapat 4 buah persamaan dan 6 konstanta yang tidak diketahui. Jika partikel bergerak dari kiri ke kanan, maka tidak akan ada partikel yang bergerak ke arah kiri pada daerah di sebelah kanan barrier. Dengan demikian maka harga ' 0B = .


8


• Keboleh jadian suatu partikel bergerak ke arah sumbu x positif pada sisi sebelah kiri dari barrier

akan proporsional dengan 2

A dan kebolehjadian partikel bergerak ke arah kanan dari barrier

adalah 2

'A . Rasio perbandingan kedua ini yang disebut kebolehjadian probabilitas.

( )12

116 (1 )

L Le eT

κ κ

ε ε

−− − = + −

• Dengan /E Vε = . Plot dari fungsi diatas dapat dilihat pada Gambar Berikut.

• Untuk barier yang lebar dan memiliki energi tinggi ( 1Lκ ? ) persamaan di atas memiliki bentuk yang lebih sederhana yaitu,

( ) 216 1 LT e κε ε −= −• Kebolehjadian transmisi berkurang secara eksponensial sejalan dengan bertambahnya ketebalan

barrier. Partikel dengan massa yang keci akan lebih mudah mengalami efek tunneling dibandingkan dengan partkel yang lebih besar.

• Tunneling sangat memiliki peran yang besar pada elektron dan muon, dibandingkan dengan partikel yang berat seperti proton.

•

•

•


9



10


1.7. Gerak Vibrasi

• Sebuah partikel akan mengalami gerakan harmonik bila partikel tersebut memiliki gaya balik (restoring force) yang besarnya setara dengan gerakan yang terkait dengan posisinya (displacement) yang besarnya adalah

F kx= −• Dengan k adalah konstanta gaya yang menunjukkan besarnya kekakuan dari pegas, makin besar

nilai k maka makin kaku pegas tersebut.

• Gaya berkaitan dengan energi potensial melalui hubungan dV

Fdx

= − sehingga besarnya

potensial yang terkait dengan gaya ini adalah

21

2V kx=

• Dengan demikian ungkapan persamaan Schrodinger bagi partikel yang mengalami gerak harmonikadalah

2 22

2

1

2 2

dkx E

m dx

ψ ψ ψ− + =h

• Bentuk potensial energi bagi osilator harmonik adalah

•

• Bagaimana hubungan antara k dengan bentuk kurva ?

1.8. Tingkat energi

• Syarat batas yang harus dipenuhi saat menyelesaikan persamaan Schrodinger bagi osilator

harmonik adalah 0 pada xψ = = ± ∞ , dengan syarat batas ini akan diperoleh bahwa tingkat

energi yang diperbolehkan adalah:1

( ) 0,1, 2,...2v

kE v v

mω ω = + = = ÷

h


11


•

• Pada energi potensial harmonik, selisih tiap tingkat energi adalah sama dan besarnya adalah ωh

dengan ( ) 1/2/k mω = . Pada keadaan energi terendahpun sebuah sistem dalam osilator

harmonik akan memiliki besar energi tertentu (tidak berharga nol).

1.9. Bentuk persamaan fungsi gelombang suatu partikel yang terperangkap dalam osilator harmonik.

• Persamaan gelombang yang merupakan penyelesaian dari suatu partikel dalam suatu osilator harmonik akan mengikuti bentuk,

polinomial dalam fungsi Gausian dengan bentuk lonceng( ) ( ) ( )xx Nψ = × ×• Bentuk persamaannya adalah;

2

1/42/2( ) ( ) y

v v v

xx N H y e y

mkψ α

α−

= = = ÷

h

• N adalah merupakan fungsi normalisasi, ( )vH y adalah suatu fugnsi polinomial Hermit yang

besarnya adalah;


12


•

• Polinomial hermit adalah merupakan penyelesaian untuk persamaan diferensial dengan bentuk

" '2 2 0v v vH y H v H− + =• Sifat dari polinomial hermit adalah

2

1/2

0 jika '' 2 ! jika 'v

y dy v vv v v v v

H H eπ

∞ − ≠=− ∞

= ⟨∫• Misal untuk 0v = bentuk persamaan fungsi gelombang adalah

2

2 2

/20 0

/20

( ) y

x

x N e

N e α

ψ −

−

=

=• Besarnya kerapatan-kebolehjadian untuk fungsi gelombang dengan 0v = adalah

2 22 2 /0 0( ) xx N e αψ −=


13


• Bentuk kurva ternormalisasi dan distribusi kebolehjadian untuk tingkat energi terendah dan tingkat tereksitasi yang pertama bagi osilator harmonik.

•Lima fungsi pertama yang ternormalisasi bagi persamaan fungsi gelombang osilator harmonik


14


•Distribusi kebolehjadian bagi 5 tingkat energi pertama dan keadaan tingkat energi ke 20. Terlihat bahwa kebolehjadian akan membesar pada daerah titik balik osilator harmonik.

• Beberapa catatan untuk fungsi gelombang osilator harmonik;

▫ Besarnya nilai fungsi Gausian akan dengan cepat menuju nol saat displacement bertambah, sehingga fungsi gelombang akan bernilai nol pada displacement yang jauh.

▫ Fungsi eksponen 2y adalah sebanding dengan 2 1/2( )x mk× , sehingga fungsi gelombang

akan semakin cepat bernilai nol bila massa semakin besar atau pegas semakin kaku.

▫ Bila v semakin besar, polinomial Hermit akan semakin besar pada displacement yang besar, sehingga fungsi gelombang makin besar sebelum bagian dari fungsi Gausian meredam fungsi gelombang. Akibatnya fungsi gelombang akan makin melebar dengan bertambahnya v .

1.10. Gerak Rotasi dua dimensi (partikel dalam cincin)

• Suatu partikel dengan massa m bergerak mengikuti suatu lingkaran dengan radius r pada suatu bidang-xy, akan memiliki energi total yang sama dengan energi kinetiknya, karena 0V = pada semua daerah gerak dari partikel.


15


• Besarnya momentum sudut bagi suatu partikel yang bergerak melingkat pada radius r di bidangxy adalah merupakan suatu vektor sebesar J .

• Untuk keadaan ini berlaku 2 / 2E p m= .

• Dari mekanika klasik, besarnya momentum sudut zJ adalah zJ pr= ± , sehingga energi dapat

diungkapkan sebagai 2 2/ 2zJ mr , karena 2mr adalah moment inersia, I , dari partikel yang

bergerak pada lintasannya, maka

2

2zJ

EI

=

• Karena z

rJ

λ= ± h

, dan dari hubungan de Broglie, /p h λ= , diperoleh bahwa momentum

sudut pada sumbu z adalah,

z

hrJ

λ= ±

• Persamaan tsb menunjukkan bahwa makin pendek panjang gelombang partikel yang bergerak maka makin besar pula momentum sudut yang dimiliki oleh partikel tersebut.

• Dubungan de Broglie ini juga memberikan impiklasi bahwa momentum sudut secara otomatis akan terkuantisasi. Terlihat bahwa bila aspek ini tidak terpenuhi maka fungsi gelombang akan ’musnah’ seperti yang tergambarkan pada gambar berikut. Panjang gelombang yang diizinkan akhirnya adalah

2

l

r

m

πλ = , dengan lm , merupakan bilangan kuantum sudut.


16


•

• Bila 0lm = maka ini berkaitan dengan λ = ∞ . Ini berarti suatu panjang gelombang yang tak

terhingga dan memiliki tinggi yang tetap pada semua harga φ . Akibatnya momentum sudut menjadi terbatas pada

2 2l l

z

m hr m hhrJ

rλ π π= ± = =

• Maka nilai lm yang diperbolehkan adalah,

0, 1, 2,....z l lJ m m= = ± ±h

• Nilai positif menunjukkan bahwa rotasi adalah clockwise seputar sumbu-z sedangkan nilai negatif adalah rotasi yang counter clock wise. Besarnya energi juga menjadi

2 22

2 2lz mJ

EI I

= = h

• Fungsi ternormalisasi untuk adalah

1/2( )

(2 )

l

l

im

m

e φ

ψ φπ

=


17



18


Insert info from page 299-300


19


1.11. Gerak rotasi 3 dimensi : partikel dalam bola

• Model bagi suatu partikel dengan massa m yang bergerak bebas pada suatu permukaan bola dengan jari jari sebesar r diperlukan agar rotasi suatu molekul dan keadaan elektron dalam atom dapat dipelajari.

• Syarat batas bagi fungsi gelombang dengan keadaan ini harus memiliki lintasan dalam gerak ke arah lateral maupun longitudinal selalu memenuhi kondisi batas secara siklis.

• Kondisi yang memenuhi syarat batas kondisi siklis. (Gambar 1)

Gambar 1. Fungsi gelombang bagi partikel yang bergerak pada permukaan suatu bola harus memenuhi 2 syarat batas, dan ini akan memunculkan 2 buah bilangan kuantum bagi keadaan momentum sudutnya.

• Fungsi gelombang bagi partikel yang bergerak pada permukaan suatu bola harus memenuhi 2 kondisi batas siklis. Hal ini akan mengakibatkan munculnya 2 buah bilangan kuantum untuk momentum sudut.

• Fungsi Hamiltonian bagi gerak pada 3 dimensi adalah:

2 2 2 22 2

2 2 2ˆ

2H V

m x y z

∂ ∂ ∂= − ∇ + ∇ = + +∂ ∂ ∂

h

• Simbol ∇ adalah simbol untuk jumlah dari 3 turunan orde dua dan dikenal sebagai LAPLACIAN, dibaca ’del kuadrat’ atau ’nabla kuadrat’.

• Bagi suatu partikel yang bergerak secara bebas pada permukaan suatu bola akan berlaku 0V = , sehingga partikel tersebut akan bergerak secara bebas. Selain itu besarnya r akan selalu tetap.

• Pada partikel yang bergerak bebas pada permukaan bola, fungsi gelombang akan merupakan fungsi dari colatitude, θ , dan azimuth, φ .

• Persamaan Schrodinger akhirnya adalah

22

2E

mψ ψ− ∇ =h

• Penyelesaian persamaan diferensial parsial dilakukan dengan menggunakan metoda separasi variabel. Dengan menganggap bahwa fungsi gelombang memiliki harga r yang tetap maka.


20


( , ) ( ) ( )ψ θ φ θ φ= Θ Φ

• Θ adalah fungsi dalam θ dan Φ adalah fungsi φ .

• Fungsi Laplacian bagi koordinat polar adalah

22 2

2 2

2 1

r r r r

∂ ∂∇ = + + Λ∂ ∂

• 2Λ adalah operator LEGENDRIAN

22

2 2

1 1sin

sin sinθ

θ φ θ θ θ∂ ∂ ∂Λ = +

∂ ∂ ∂

Gambar 2. Sistem koordinat polar, bagi suatu benda yang bergerak pada permukaan suatu bola maka posisi hanya ditentukan oleh colatitude, θ , dan azimuth, φ .

• Karena r bernilai konstant maka persamaan Schodinger menjadi,

22

1 2mE

rψ ψΛ = −

h

• Diketahui bahwa 2I mr= , maka

2 2 I Eψ ε ψ εΛ = − =h

• Untuk memerika apakah persamaan dapat dipisahkan maka dilakukan substitusi ψ = Θ Φ :

2

2 2

1 ( ) 1 ( )sin

sin sinθ ε

θ φ θ θ θ∂ Θ Φ ∂ ∂ Θ Φ+ = − Θ Φ

∂ ∂ ∂• Karena masing-masing fungsi Θ dan Φ merupakan suatu fungsi dengan 1 variabel, maka

persamaan diferensial partsial menjadi turunan yang lengkap:


21


2

2 2sin

sin sin

d d d

d d dθ ε

θ φ θ θ θΘ Φ Φ Θ+ = − Θ Φ

• Dengan pembagian oleh Θ Φ dan dikalikan dengan 2sin θ dan dilakukan penyusungan ulang akan diperoleh

22

2

1 sinsin sin 0

d d d

d d d

θ θ ε θφ θ θ

Φ Θ+ + =Φ Θ

• Suku sebelah kiri hanya tergantung pada φ dan suku sisanya hanya tergantung pada θ . Akibatnya persamaan dapat dipisahkan menjadi;

22 2 2

2

1 sindan sin sinl l

d d dm m

d d d

θ θ ε θφ θ θ

Φ Θ= − + =Φ Θ

• Syarat batas siklik akan memunculkan bilangan kuantum kedua, l , dan persamaan yang kedua

akan memunculkan bilalan kuantum ketiga, lm . Besarnya lm dibatasi oleh harga l . Keterkaitan

antara lm denganl mengikuti.

0,1, 2, 3,.... , 1,....,ll m l l l= = − −

• Nilai bilangan kuantum momentum orbital sudut, l , adalah positif, dan untuk setiap harga l akan

terdapat 2 1l + bilangan kuantum magetik, lm .

• Besarnya energi partikel tersebut adalah;

2

( 1) 0,1, 2,....2

E l l lI

= + =h


22



23


• Energi dari partikel yang berotasi secara klasik berkaitan dengan momentum sudut J yaitu2

2

JE

I= karena besarnya energi adalah terkuantisasi maka dapat di pastikan bahwa besarnya

momentum sudut juga akan terkuantisasi, secara;

{ } 1/2( 1) 0,1, 2,...besar momentum sudut l l l= + =h

• Momentum sudut dalam arah sumbu , 1, 2,....l lm m l l l= = − −h

Gambar 3. Orientasi momentum sudut yang diperbolehkan untuk l=2

Gambar 4. Representasi lain dari orientasi momentum sudut.


24



25


KI2141 2010 SIK Part02 TehnikDanAplikasiTeoriKuantum

Documents