TOPIK Notasi Leibniz Turunan Tingkat Tinggi Pendiferensialan
Implisit Laju yang Berkaitan Diferensial dan HampiranPERMASALAHAN
Bagaimana mendefinisikan turunan dengan notasi Leibniz? Bagaima
cara menghitung turunan ke-n dari suatu fungsi serta mencari solusi
dari masalah dengan menggunakan turunan tingkat tinggi ? Bagaimana
menghitung turunan fungsi implisit? Bagaimana memecahkan masalah
laju yang berkaitan dengan mengguanakan konsep turunan?
Bagaimana hubungan antara diferensial dan turunan?
Bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan hampiran
(aproksimasi) dengan menggunakan konsep turunan?
A. Notasi Leibniz
Notasi Leibniz merupakan salah satu notasi untuk turunan yang
paling awal digunakan di samping notasi aksen, dan notasi D. Notasi
ini sering digunakan terutama ketika hubungan antar dipandang
sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel
terikat. Dalam notasi Leibniz digunakan simbol dan untuk
melambangkan pertambahan "kecil tak hingga" (infinitesimal) dari x
dan y, sebagaimana x dan y untuk melambangkan pertambahan hingga
dari x dan y. Jika nilai suatu perubahan berubah dari x1 ke x2 maka
x2 x1 adalah perubahan dalam x dan biasanya dinyatakan oleh
Perhatikan bahwa tidak berarti kali . Jika x1 = 4,1 dan x2 =
5,7. Maka
=Jika x1 = c dan x2 = c + h, maka
= x2 x1 = c + h c = hBerikutnya andaikanlah bahwa y = f (x)
menentukan suatu fungsi. Jika x berubah dari x1 ke x2 maka y
berubah dari y1 = f (x1) ke y2 = f (x2). Jadi, berpadanan terhadap
pertambahan = x2 x1 dalam x, terdapat suatu pertambahan dalam y
yang diberikan oleh
Contoh 1Andaikan y = f (x) = 2 x2. Carilah ketika x berubah dari
0,4 ke 1,3
1. Lambang dy/dx untuk TurunanAndaikan bahwa peubah bebas
berubah dari x ke . Perubahan yang berpadanan dalam peubah tak
bebas y, akan berupa
dan perbandingan
QUOTE
menggambarkan kemiringan tali busur yang melalui, seperti yang
diperlihatkan pada gambar. Jika , kemiringan tali busur ini
mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan yang
terakhir ini Leibniz menggunakan Lambang dy/dx. Jadi,
Tetapi dy/dx merupakan lambang baku untuk turunan dengan
pengertian yang sama dengan Dx dan dibaca turunan terhadap x.
Contoh 2Cari dan sederhanakan untuk fungsi kemudian cari dengan
mencari limit .Penyelesaian
Contoh 3 Carilah dy/dx jika Penyelesaian
Contoh 4Carilah
Penyelesaian Menurut Aturan Hasil bagi
2. Aturan Rantai
Andaikan bahwa dan . Dalam notasi Leibniz, aturan rantainya
berbentuk sebagai berikut.
Bukti Sebagian dari Aturan RantaiDalam subbab sebelumnya kita
menyatakan bahwa Aturan Rantai seperti , . Dengan menggunakan
notasi Leibniz, Aturan Rantai menyatakan bahwa
BuktiKita andaikan bahwa dan , bahwa g terdiferensiasikan di x
dan bahwa f terdiferensiasikan di u = g(x). Bilamana x mengalami
pertambahan sebesar , terdapat pertambahan yang berpadanan dalam u
dan y yang diberikan oleh
Jadi,
Karena g terdiferensiasikan di x, maka g kontinu di x (Teorema
3.2A). Sehingga untuk mengakibatkan . Maka,
Contoh 5Carilah jika
PenyelesaianAnggaplah sebagai u = x2 5x, maka y = u10 dan
= 10u9 (2x 5)
= 10 (x2 5x) 9(2x 5)
Contoh 6 Carilah jika
Penyelesaian Misalkan , maka
Jika , , maka
Contoh 7 Carilah jika y = cos3 (x2 + 1)PenyelesaianIngat, cos3 x
berarti (cos x)3 kita dapat memisalkan y = u3, u = cos v dan v = x2
+ 1
EMBED Equation.3
B. Turunan Tingkat TinggiTurunan dari fungsi adalah suatu fungsi
yang dinamakan turunan pertama dari yaitu . Jika fungsi ini
dihitung lagi turunannya maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan
turunan kedua dari dan ditulis dengan lambang . Secara umum,
turunan ke n dari fungsi , ditulis , adalah suatu fungsi yang
diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi , n = 1, 2, 3,
. Rumus umum turunan
f (x) = xnf (x) = n. x n 1 Lambang turunan ke n dari fungsi
dapat ditulis dalam beberapa cara, yaitu sebagai
berikut.TurunanNotasi fNotasi yNotasi DNotasi Leibniz
Pertama
Kedua
Ketiga
Keempat
Kelima
.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.
Ke n
Contoh 8f(x) = 5x3 2x2 + 4x + 3
f (x) = 15x2 4x + 4
f (x) = 30x 4
f (x) = 30
f (x) = 0Karena hasil turunan keempat adalah nol, maka semua
turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol.
Contoh 9Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xn, n bilangan
asli.
Penyelesaian
. f(x) = xnf (x) = nxn-1f (x) = n(n 1)xn-2f (x) = n(n 1)(n 2)
xn-3
f (n) (x) = n(n 1)(n2)...(n (n 1)) xn n = n(n1)(n2)...3.2.1 =
n!Banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan turunan tingkat
tinggi, diantaranya adalah kecepatan, percepatan dan masalah benda
jatuh.1. Kecepatan dan PercepatanContoh 10
Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi
s nya memenuhi dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik.
Tentukan kecepatan benda saat t = 1 dan t = 6. Kapan kecepatannya
0? Tentukan pula percepatan benda tersebut.Penyelesaian
Misalkan adalah kecepatan pada saat t, maka
Jadi,
cm/detik
cm/detikKecepatan benda 0, maka .
Kecepatan benda 0 pada saat t = 3. Kecepatan benda positif jika
yaitu saat . Jika t = 0 dan t < 3 kecepatannya negatif, benda
bergerak ke kiri (mundur) ke arah berkurangnya s. Pada saat t = 3
kecepatan benda menjadi 0 kemudian saat kecepatannya positif (t
> 3) benda bergerak ke kanan ke arah bertambahnya s.Percepatan
adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu yang merupakan
turunan pertama dari kecepatan. Percepatan ini dinyatakan dengan
a.
Sehingga,
cm/detik2Ini berarti bahwa kecepatan benda bertambah dengan
suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/detik setiap detiknya.
Gambar 32. Masalah Benda JatuhSebuah benda dilempar ke atas atau
ke bawah dari suatu ketinggian awal s0 meter dengan kecepatan awal
v0 meter / detik dan jika s adalah tingginya di atas tanah dalam
meter setelah t detik, maka
Permukaan tanah Gambar 4Contoh 11Sebuah koin dilempar keatas
dari puncak sebuah gedung yang tingginya 160 kaki dengan kecepatan
awal 64 kaki/detik. a. Kapan koin mencapai ketinggian maksimum?b.
Berapa ketinggian maksimumnya?c. Kapan koin membentur tanah?d.
Dengan laju berapa koin membentur tanah?e. Berapa percepatan saat
t=2 ?PenyelesaianDiketahui s0 = 160 dan v0 = 64, jadi
a. Koin mencapai ketinggian maksimum pada saat kecepatannya 0
yaitu saat , yaitu
b. Ketinggian maksimumnya saat t = 2, yaitu
c. Koin akan membentur tanah saat s = 0
dengan rumus ABC diperoleh,
Nilai t yang memenuhi adalah yang positif. Jadi koin membentur
tanah pada detik.d. Pada saat , . Jadi koin membentur tanah pada
saat laju kaki / detik.e. Percepatan selalu 32 kaki/detik2. Ini
adalah percepatan gravitasi dekat permukaan laut.
Gambar 5C. Pendiferensialan ImplisitFungsi-fungsi yang telah
kita kita bahas diawal adalah fungsi-fungsi dengan rumus persamaan
y = f(x). Fungsi yang demikian disebut fungsi eksplisit Fungsi
eksplisit adalah fungsi yang antara peubah bebas dan peubah tak
bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi eksplisit
ditulis dan dinyatakan dalam bentuk , sedangkan fungsi implisit
adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak
bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Misalnya:
,
Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk .Perhatikan
grafik dari di bawah ini !
Gambar 6
Yang ingin dicari adalah kemiringan garis singgung yang melalui
titik (2, 1), dan titik tersebut terletak pada grafik.
Untuk menyelesaikan , yang harus dilakukan adalah
mendiferensialkan kedua ruas terhadap x.
Karena telah diperoleh , maka untuk mencari kemiringan pada
titik dimana koordinatnya diketahui adalah dengan cara sebagai
berikut
Jadi, kemiringannya adalah .
Contoh 12Carilah jika
PenyelesaianMetode 1. (Pendiferensialan Eksplisit)
Jadi dengan aturan hasil bagi diperoleh
.
Metode 2. (Pendiferensialan Implisit)
Kemudian substitusi y = sehingga diperoleh:
.
Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y =
f(x) dan fungsi ini terdeferensialkan, maka metode pendeferensialan
implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan benar untuk .
Perhatikan persamaan
Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu
tidak merupakan suatu fungsi.
Sebaliknya,
menentukan fungsi dan fungsi . Grafiknya dapat diperlihatkan
pada gambar 7 berikut.
Gambar 7
Fungsi ini keduanya terdiferensialkan pada . Perhatikan f .
kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan , maka
diperoleh
Perlakuan serupa terhadap g(x) diperoleh
Kita dapat memperoleh hasil yang sama dengan pendiferensialan
secara implisit dari . Ini menghasilkan
Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada
lingkaran dimana x = 3. Nilai-nilai yang berpadanan adalah 4 dan
-4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4) masing-masing diperoleh dengan
mensubstitusi ke dalam , maka diperoleh dan (lihat gambar 8).Gambar
8
Pada kondisi yang lain tunjukkan bahwa
menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang
didefinisikan oleh
Fungsi ini juga memenuhi, karena . Tetapi fungsi tersebut tidak
kontinu di x = 3, sehingga tidak mempunyai turunan (lihat gambar
9).
Gambar 9
Dalam contoh-contoh berikut, kita anggap bahwa persamaan yang
diberikan menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi
terdiferensialkan yang turunan-turunannya dapat dicari dengan
menerapkan pendiferensialan implisit.Contoh 13Cari jika serta cari
nyaPenyelesaian
Mencari turunan kedua terhadap x
Contoh 14Cari persamaan garis singgung pada kurva
di titik (1,0)
Penyelesaianuntuk lebih menyederhanakan, kita gunakan notasi y
untuk . Jika kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan
hasilnya, kita peroleh
dititik (1,0), , jadi gradiennya adalah -6
Maka persamaan garisnya menjadi
Bukti:
Karena r rasional, maka dapat dituliskan sebagai , dimana p dan
q adalah bilangan-bilangan bulat dengan q 0. Andaikan
Maka
dengan pendiferensialan implisit maka didapat,
Jadi,
Contoh 15Cari jika
a.
b.
Penyelesaiana.
b. Misalkan dan . Dengan menerapkan aturan rantai diperoleh
D. Laju Yang BerkaitanMatematika selalu dapat diterapkan dalam
kehidupan sehari-hari, seperti penerapan dalam Fisika, salah satu
penerapannya adalah tentang laju yang berkaitan. Jika didapatkan
peubah y yang bergantung kepada waktu t, maka jika diturunkan akan
menjadi dy/dt yang disebut laju sesaat perubahan. Dan bila y adalah
sebuah jarak, maka laju sesaat perubahan disebut sebagai kecepatan.
Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-hari
seperti laju air masuk ke dalam ember, membesarnya luas pencemaran
minyak, laju angin yang menerbangkan layang-layang dan laju
lainnya.
Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t, terdapat juga
peubah x dan kita juga mengetahui tentang dx/dt, maka kita bisa
mencari dy/dt karena dy/dt dan dx/dt keduanya berkaitan dan disebut
laju yang berkaitan. Berikut merupakan contoh soal mengenai
penerapan matematika dalam hal laju yang berkaitan.Contoh 16Sebuah
balon dilepas pada jarak 150 kaki dari seorang pengamat yang
berdiri di tanah. Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju
8 kaki/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon
bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50
kaki?PenyelesaianMisalkan t menyatakan banyaknya detik setelah
balon dilepas, h menyatakan ketinggian balon dan s menyatakan jarak
dari pengamat ( lihat Gambar 1). Variabel h dan s keduanya
tergantung pada t, tetapi alas segitiga (jarak dari pengamat ke
titik pelepasan ) tetap, tidak berubah dengan bertambahnya t.
Gambar 10Kita ketahui bahwa laju gerak balon terhadap t (detik)
adalah dh/dt = 8. Akan dicari laju jarak antara pengamat dan balon
pada waktu balon mencapai ketinggian 50 kaki.
Dengan memperhatikan ilustrasi di atas didapat variabel s dan h
berubah terhadap waktu. Kita bisa melihat hubungan antara variabel
tersebut dengan persamaan pythagoras
Jika kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai
aturan rantai kita peroleh
Hubungan ini berlaku untuk semua t > 0
Untuk mencari nilai s kita subsitusi nilai h = 50 ke persamaan
pythagoras :
Kita substitusikan nilai s, h dan dh/dt ke (i) sehingga
diperoleh :
Jadi pada saat h = 50, jarak antara balon dan pengamat bertambah
dengan kecepatan 2,53 kaki/detik.
Prosedur Sistematis Pemecahan Masalah Laju Berkaitan
Langkah 1.Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang
berlaku untuk semua t > 0. berilah pengenal besaran-besaran yang
nilainya tidak berubah bila t bertambah, dengan nilai-nilai
konstanta yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang
berubah sesuai waktu, dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari
gambar dengan peubah-peubah tersebut. Langkah 2.
Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan
tentang peubah-peubah. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan
terhadap t. Langkah 3.Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan
peubah-peubah yang berlaku untuk semua waktu t > 0, bukan hanya
pada saat beberapa saat tertentu. Langkah 4.
Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara
implisit terhadap t. Persamaan yang dihasilkan, memuat
turunan-turunan terhadap t, berlaku untuk semua t > 0. Langkah
5. Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua
data yang berlaku pada saat tertentu untuk mana jawab masalah
disyaratkan. Selesaikan turunan yang diinginkan.Contoh 17Seorang
anak menerbangkan layang-layang. Jika tinggi layang-layang 90 dm di
atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar
dengan laju 5 dm/detik, seberapa cepat anak tersebut mengulur
benang pada saat panjangnya 150 dm ? (Anggap benang membentuk
sebuah garis)Penyelesaian
Gambar 11 Langkah 1. Dimisalkan proyeksi jarak antara si anak
dengan layang-layang adalah x, tinggi layang-layang dari tanah
adalah y, panjang benang (yang dianggap lurus, walaupun dalam
kenyataan tidak lurus) dianggap z, dan t menyatakan banyaknya detik
saat mengulur benang, maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa
dikatakan bahwa bertambahnya jarak si anak dengan layang-layang,
yaitu dx/dt. Langkah 2. Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dm/s,
maka dx/dt = 5. Tinggi y = 90 dm dikatakan tinggi y tidak berubah
dari waktu ke waktu sehingga turunan dy/dt = 0. panjang benang saat
itu adalah z = 150 dm, yang dicari adalah kecepatan mengulur benang
yaitu dz/dt. Langkah 3. Menurut Teorema Pythagoras,
Langkah 4. Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t
dan memakai Aturan Rantai, maka diperoleh:
Langkah 5. Untuk semua t > 0, dx/dt = 5 dan dy/dt = 0, dy/dt
= 0 dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak
berubah, tetap 90 dm. Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm
maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-layang adalah dengan
memakai Pythagoras, maka
Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan
langkah 4, maka diperoleh :
Jadi, kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150
dm adalah 4 dm/detik.E. Diferensial dan Hampiran1. DiferensialKita
ingat kembali bahwa lambang turunan pertama dari y terhadap x,
Merupakan suatu lambang yang tunggal, dalam arti bukan hasil
bagi dari dan . Dalam hal ini dan belum diberi arti secara
terpisah.
Sebelum mendefinisikan dan , misalkan adalah suatu titik tetap
pada kurva . Dengan P sebagai titik asal, buatlah sumbu koordinat
baru dan yang sejajar dengan sumbu x dan y (Gambar 2(a)).
Dalam sistem koordinat baru ini, persamaan garis singgung pada
kurva di titik adalah , dengan gradien m sama dengan . Sehingga,
persamaan garis singgung pada kurva di titik dapat ditampilkan
dalam bentuk .
Pada Gambar 2(b), perhatikan bahwa di sekitar titik garis
singgungnya sangat dekat dengan kurva . Jadi, jika pada x diberikan
pertambahan sebesar , maka pertambahan y pada kurva adalah sebesar
, sedangkan pada garis singgungnya sebesar . Tetapi merupakan suatu
hampiran terhadap dan berupa kelipatan dari .
Gambar 12Perhatikan kembali definisi turunan fungsi f di x0
yaitu :
.
Bentuk ini dapat dituliskan sebagai :
,
.
Misalkan
,
Maka
, dengan
atau
, dengan.
Ini berarti bahwa merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk
.
Pada fungsi yang terdiferensialkan di titik x, diferensial dari
peubah bebas dan peubah tak bebasnya didefinisikan sebagai
berikut.
Catatan :
Dari bentuk diferensial dy diperoleh , ini berarti
bahwamempunyai dua makna, pertama sebagai turunan fungsi y terhadap
x, dan kedua sebagai hasil bagi dari dy terhadap dx.
Aturan untuk menentukan turunan dapat ditampilkan dalam bentuk
aturan untuk menentukan diferensial dengan cara mengalikan setiap
ruasnya dengan . Berikut ini adalah beberapa aturan untuk
menentukan diferensial suatu fungsi, yang dibandingkan dengan
aturan yang sama untuk turunan.Aturan TurunanAturan Diferensial
EMBED Equation.3
.
EMBED Equation.3
Contoh 18Cari dy jika (a) . (b) . (c)
Penyelesaian
Kita menghitung turunannya dan mengalikannya dengan dx(a)
(b)
(c)
1. Hampiran (Aproksimasi)
Gambar 20
Andaikan
QUOTE
seperti terlihat pada gambar. Bilamana x diberikan tambahan
QUOTE
, maka y menerima tambahan yang berpadanan QUOTE
, yang dapat dihampiri oleh QUOTE
. Jadi,
Contoh 19Tentukan nilai hampiran
QUOTE
dan QUOTE
dengan diferensial jika Penyelesaian
Pandang grafik dari
QUOTE
. Jika x berubah dari 4 ke 4,6 maka QUOTE
berubah dari QUOTE
ke
sedangkan di x = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai
Jadi
Untuk , x berubah dari 9 ke 8,2 maka berubah dari ke .
Sedangkan di x = 9 dan dx = 0,8 mempunyai nilai
Jadi
Gambar 21Contoh 20Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi
pertambahan luas sebuah gelembung sabun pada saat jari-jarinya
bertambah dari 3 cm menjadi 3,025 cm.
PenyelesaianLuas gelembung bola sabun diberikan oleh QUOTE
Kita boleh mengaproksimasi nilai sebenarnya, dengan diferensial
dA
EMBED Equation.3 Pada dan
QUOTE
2. Penaksiran Galat (Error)Berikut adalah masalah khas dalam
sains. Seorang peneliti mengukur variabel
tertentu yang bernilai dengan kesalahan yang mungkin
berukuran
QUOTE
. Nilai kemudian dipakai menghitung nilai untuk yang tergantung
pada . Nilai dipengaruhi oleh kesalahan dalam x. Prosedur standar
adalah menaksir kesalahan ini dengan menggunakan diferensial.
Contoh 21
Rusuk kubus diukur dengan panjang 11,4 cm dengan kemmungkinan
kesalahan QUOTE
cm. Hitung volume kubus dan berikan suatu tafsiran kesalahan
dalam nilai ini.PenyelesaianVolume kubus yang rusuknya adalah Jadi
Jika dan maka
QUOTE
Jadi, kita dapat melaporkan volume kubus sebagai cm3.Contoh
22Diketahui bahwa
QUOTE
. Jika t diukur sebagai Penyelesaian
QUOTE
Jadi,
-1
1
0,4 1,3
x
y = 2 x2
y
Gambar 1
Penyelesaian
EMBED Equation.DSMT4 = f (1,3) f (0,4)
= [2 (1,3)2] [2 (0,4)2]
= 1,53
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Gambar 2
EMBED Equation.3
0
5
10
-5
-10
s
t=3,
s=-10
v=0
t=1, s=-2, v=-8
t=0, s=8, v=--12
t=6, s=8, v=12
-10 -5 0 5 10
EMBED Equation.DSMT4
s0
v = v0, t = 0
s0
v = v0, t = 0
v=0, t=2, s =224 kaki
v=119,73 ; t= EMBED Equation.DSMT4 ; s =0
Catatan :
Untuk mencari turunan fungsi implisit dapat ditempuh cara
sebagai berikut:
turunkan setiap suku dari f(x, y) = 0 terhadap x
karena y adalah fungsi dari x, maka setiap menurunkan y harus
dikalikan dengan EMBED Equation.3 .
Setelah semua suku diturunkan, maka EMBED Equation.3 dapat
dihitung.
5
-5
5
-5
5
-5
Teorema A (Aturan pangkat)
Andaikan r bilangan rasional sebarang, Maka
EMBED Equation.3
balon
Titik pelepasan
pengamat
150
h
s
z =150 dm
Titik tangan si anak
y =90 dm
x
Kec. Angin 5 dm/detik
x
0
y
garis singgung
dx
dy
Definisi
Misalkan fungsi EMBED Equation.DSMT4 terdiferensialkan di x.
Diferensial dari peubah bebas x, ditulis QUOTE EMBED Equation.3
, didefinisikan sebagai suatu pertambahan sebarang dari x,
yaitu
EMBED Equation.3
Diferensial dari peubah tak bebas y, ditulis QUOTE EMBED
Equation.3 , didefinisikan sebagai
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
dy
y
0
x
EMBED Equation.3
y
0
1 2 3 4 4,6 5 6 7 88,2 9 10
x
1
2
3
130
_1476128176.unknown
_1476277001.unknown
_1476282679.unknown
_1476388130.unknown
_1476429220.unknown
_1476429509.unknown
_1476440365.unknown
_1476440845.unknown
_1476565666.unknown
_1476565742.unknown
_1476566567.unknown
_1476565647.unknown
_1476441016.unknown
_1476440467.unknown
_1476440717.unknown
_1476440420.unknown
_1476429719.unknown
_1476430055.unknown
_1476430073.unknown
_1476429905.unknown
_1476430035.unknown
_1476429860.unknown
_1476429618.unknown
_1476429680.unknown
_1476429571.unknown
_1476429419.unknown
_1476429466.unknown
_1476429489.unknown
_1476429444.unknown
_1476429371.unknown
_1476429410.unknown
_1476429348.unknown
_1476428664.unknown
_1476429138.unknown
_1476429170.unknown
_1476429216.unknown
_1476429188.unknown
_1476429200.unknown
_1476429154.unknown
_1476428978.unknown
_1476429007.unknown
_1476428965.unknown
_1476421857.unknown
_1476422195.unknown
_1476427439.unknown
_1476427593.unknown
_1476427592.unknown
_1476422481.unknown
_1476421868.unknown
_1476421761.unknown
_1476421827.unknown
_1476421749.unknown
_1476294846.unknown
_1476298666.unknown
_1476299525.unknown
_1476300190.unknown
_1476300801.unknown
_1476300895.unknown
_1476301399.unknown
_1476301438.unknown
_1476300960.unknown
_1476300832.unknown
_1476300383.unknown
_1476300055.unknown
_1476300161.unknown
_1476299820.unknown
_1476299682.unknown
_1476299279.unknown
_1476299472.unknown
_1476299179.unknown
_1476296902.unknown
_1476297300.unknown
_1476297661.unknown
_1476297243.unknown
_1476295784.unknown
_1476296876.unknown
_1476295777.unknown
_1476293039.unknown
_1476294509.unknown
_1476294586.unknown
_1476294811.unknown
_1476294758.unknown
_1476294524.unknown
_1476294562.unknown
_1476293252.unknown
_1476294420.unknown
_1476293208.unknown
_1476283201.unknown
_1476288725.unknown
_1476288812.unknown
_1476288320.unknown
_1476287301.unknown
_1476288272.unknown
_1476286056.unknown
_1476283133.unknown
_1476283159.unknown
_1476283130.unknown
_1476283065.unknown
_1476280064.unknown
_1476280882.unknown
_1476282251.unknown
_1476282319.unknown
_1476282349.unknown
_1476282294.unknown
_1476281676.unknown
_1476282244.unknown
_1476281658.unknown
_1476280457.unknown
_1476280798.unknown
_1476280842.unknown
_1476280719.unknown
_1476280323.unknown
_1476280408.unknown
_1476280220.unknown
_1476278604.unknown
_1476279042.unknown
_1476279656.unknown
_1476279316.unknown
_1476279402.unknown
_1476279279.unknown
_1476278702.unknown
_1476278294.unknown
_1476278473.unknown
_1476277667.unknown
_1476278259.unknown
_1476277791.unknown
_1476277360.unknown
_1476277580.unknown
_1476277240.unknown
_1476128193.unknown
_1476242366.unknown
_1476276884.unknown
_1476276905.unknown
_1476243839.unknown
_1476276751.unknown
_1476276811.unknown
_1476244518.unknown
_1476245904.unknown
_1476249350.unknown
_1476276693.unknown
_1476245995.unknown
_1476246195.unknown
_1476244777.unknown
_1476245660.unknown
_1476244722.unknown
_1476244477.unknown
_1476244495.unknown
_1476244428.unknown
_1476244082.unknown
_1476243627.unknown
_1476243732.unknown
_1476243786.unknown
_1476243697.unknown
_1476242390.unknown
_1476243099.unknown
_1476243554.unknown
_1476242547.unknown
_1476128207.unknown
_1476128218.unknown
_1476129358.unknown
_1476129390.unknown
_1476160603.unknown
_1476162371.unknown
_1476129402.unknown
_1476129377.unknown
_1476128223.unknown
_1476128234.unknown
_1476128236.unknown
_1476128237.unknown
_1476128239.unknown
_1476128235.unknown
_1476128232.unknown
_1476128233.unknown
_1476128224.unknown
_1476128221.unknown
_1476128222.unknown
_1476128219.unknown
_1476128220.unknown
_1476128214.unknown
_1476128216.unknown
_1476128217.unknown
_1476128215.unknown
_1476128209.unknown
_1476128211.unknown
_1476128213.unknown
_1476128212.unknown
_1476128210.unknown
_1476128208.unknown
_1476128203.unknown
_1476128205.unknown
_1476128206.unknown
_1476128204.unknown
_1476128200.unknown
_1476128201.unknown
_1476128199.unknown
_1476128184.unknown
_1476128189.unknown
_1476128191.unknown
_1476128192.unknown
_1476128190.unknown
_1476128187.unknown
_1476128188.unknown
_1476128186.unknown
_1476128180.unknown
_1476128182.unknown
_1476128183.unknown
_1476128181.unknown
_1476128178.unknown
_1476128179.unknown
_1476128177.unknown
_1476126926.unknown
_1476126947.unknown
_1476126956.unknown
_1476128169.unknown
_1476128173.unknown
_1476128174.unknown
_1476128170.unknown
_1476126958.unknown
_1476126959.unknown
_1476126957.unknown
_1476126951.unknown
_1476126954.unknown
_1476126955.unknown
_1476126953.unknown
_1476126949.unknown
_1476126950.unknown
_1476126948.unknown
_1476126937.unknown
_1476126943.unknown
_1476126945.unknown
_1476126946.unknown
_1476126944.unknown
_1476126939.unknown
_1476126941.unknown
_1476126942.unknown
_1476126940.unknown
_1476126938.unknown
_1476126930.unknown
_1476126935.unknown
_1476126936.unknown
_1476126934.unknown
_1476126929.unknown
_1476115614.unknown
_1476123034.unknown
_1476124323.unknown
_1476124471.unknown
_1476125153.unknown
_1476125276.unknown
_1476125318.unknown
_1476125358.unknown
_1476125235.unknown
_1476125092.unknown
_1476125138.unknown
_1476124535.unknown
_1476124377.unknown
_1476124464.unknown
_1476123811.unknown
_1476123832.unknown
_1476123905.unknown
_1476124141.unknown
_1476123831.unknown
_1476123275.unknown
_1476123794.unknown
_1476123120.unknown
_1476121788.unknown
_1476122061.unknown
_1476122202.unknown
_1476122599.unknown
_1476122194.unknown
_1476121973.unknown
_1476122052.unknown
_1476121959.unknown
_1476115645.unknown
_1476115818.unknown
_1476121520.unknown
_1476115652.unknown
_1476115634.unknown
_1476115640.unknown
_1476115627.unknown
_1476114848.unknown
_1476115001.unknown
_1476115018.unknown
_1476115042.unknown
_1476115054.unknown
_1476115031.unknown
_1476114884.unknown
_1476114909.unknown
_1476114919.unknown
_1476114980.unknown
_1476114899.unknown
_1476114866.unknown
_1476114022.unknown
_1476114151.unknown
_1476114802.unknown
_1476114810.unknown
_1476114829.unknown
_1476114782.unknown
_1476114793.unknown
_1476114772.unknown
_1476114095.unknown
_1476114005.unknown
_1476114016.unknown
_1476113955.unknown
_1476113999.unknown
_1394605680.unknown
_1394605756.unknown