Top Banner
TOPIK - Notasi Leibniz - Turunan Tingkat Tinggi - Pendiferensialan Implisit - Laju yang Berkaitan - Diferensial dan Hampiran PERMASALAHAN - Bagaimana mendefinisikan turunan dengan notasi Leibniz? - Bagaima cara menghitung turunan ke-n dari suatu fungsi serta mencari solusi dari masalah dengan menggunakan turunan tingkat tinggi ? - Bagaimana menghitung turunan fungsi implisit? - Bagaimana memecahkan masalah laju yang berkaitan dengan mengguanakan konsep turunan? - Bagaimana hubungan antara diferensial dan turunan? - Bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan hampiran (aproksimasi) dengan menggunakan konsep turunan? 1
46

KALKULUS Edit Geogebra

Sep 15, 2015

Download

Documents

Wulan Darma

kalkulus diferensial dengan geogebra
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript

TOPIK Notasi Leibniz Turunan Tingkat Tinggi Pendiferensialan Implisit Laju yang Berkaitan Diferensial dan HampiranPERMASALAHAN Bagaimana mendefinisikan turunan dengan notasi Leibniz? Bagaima cara menghitung turunan ke-n dari suatu fungsi serta mencari solusi dari masalah dengan menggunakan turunan tingkat tinggi ? Bagaimana menghitung turunan fungsi implisit? Bagaimana memecahkan masalah laju yang berkaitan dengan mengguanakan konsep turunan?

Bagaimana hubungan antara diferensial dan turunan?

Bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan hampiran (aproksimasi) dengan menggunakan konsep turunan?

A. Notasi Leibniz

Notasi Leibniz merupakan salah satu notasi untuk turunan yang paling awal digunakan di samping notasi aksen, dan notasi D. Notasi ini sering digunakan terutama ketika hubungan antar dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Dalam notasi Leibniz digunakan simbol dan untuk melambangkan pertambahan "kecil tak hingga" (infinitesimal) dari x dan y, sebagaimana x dan y untuk melambangkan pertambahan hingga dari x dan y. Jika nilai suatu perubahan berubah dari x1 ke x2 maka x2 x1 adalah perubahan dalam x dan biasanya dinyatakan oleh

Perhatikan bahwa tidak berarti kali . Jika x1 = 4,1 dan x2 = 5,7. Maka

=Jika x1 = c dan x2 = c + h, maka

= x2 x1 = c + h c = hBerikutnya andaikanlah bahwa y = f (x) menentukan suatu fungsi. Jika x berubah dari x1 ke x2 maka y berubah dari y1 = f (x1) ke y2 = f (x2). Jadi, berpadanan terhadap pertambahan = x2 x1 dalam x, terdapat suatu pertambahan dalam y yang diberikan oleh

Contoh 1Andaikan y = f (x) = 2 x2. Carilah ketika x berubah dari 0,4 ke 1,3

1. Lambang dy/dx untuk TurunanAndaikan bahwa peubah bebas berubah dari x ke . Perubahan yang berpadanan dalam peubah tak bebas y, akan berupa

dan perbandingan

QUOTE

menggambarkan kemiringan tali busur yang melalui, seperti yang diperlihatkan pada gambar. Jika , kemiringan tali busur ini mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan yang terakhir ini Leibniz menggunakan Lambang dy/dx. Jadi,

Tetapi dy/dx merupakan lambang baku untuk turunan dengan pengertian yang sama dengan Dx dan dibaca turunan terhadap x.

Contoh 2Cari dan sederhanakan untuk fungsi kemudian cari dengan mencari limit .Penyelesaian

Contoh 3 Carilah dy/dx jika Penyelesaian

Contoh 4Carilah

Penyelesaian Menurut Aturan Hasil bagi

2. Aturan Rantai

Andaikan bahwa dan . Dalam notasi Leibniz, aturan rantainya berbentuk sebagai berikut.

Bukti Sebagian dari Aturan RantaiDalam subbab sebelumnya kita menyatakan bahwa Aturan Rantai seperti , . Dengan menggunakan notasi Leibniz, Aturan Rantai menyatakan bahwa

BuktiKita andaikan bahwa dan , bahwa g terdiferensiasikan di x dan bahwa f terdiferensiasikan di u = g(x). Bilamana x mengalami pertambahan sebesar , terdapat pertambahan yang berpadanan dalam u dan y yang diberikan oleh

Jadi,

Karena g terdiferensiasikan di x, maka g kontinu di x (Teorema 3.2A). Sehingga untuk mengakibatkan . Maka,

Contoh 5Carilah jika

PenyelesaianAnggaplah sebagai u = x2 5x, maka y = u10 dan

= 10u9 (2x 5)

= 10 (x2 5x) 9(2x 5)

Contoh 6 Carilah jika

Penyelesaian Misalkan , maka

Jika , , maka

Contoh 7 Carilah jika y = cos3 (x2 + 1)PenyelesaianIngat, cos3 x berarti (cos x)3 kita dapat memisalkan y = u3, u = cos v dan v = x2 + 1

EMBED Equation.3

B. Turunan Tingkat TinggiTurunan dari fungsi adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari yaitu . Jika fungsi ini dihitung lagi turunannya maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari dan ditulis dengan lambang . Secara umum, turunan ke n dari fungsi , ditulis , adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi , n = 1, 2, 3, . Rumus umum turunan

f (x) = xnf (x) = n. x n 1 Lambang turunan ke n dari fungsi dapat ditulis dalam beberapa cara, yaitu sebagai berikut.TurunanNotasi fNotasi yNotasi DNotasi Leibniz

Pertama

Kedua

Ketiga

Keempat

Kelima

.

.

..

.

..

.

..

.

..

.

.

Ke n

Contoh 8f(x) = 5x3 2x2 + 4x + 3

f (x) = 15x2 4x + 4

f (x) = 30x 4

f (x) = 30

f (x) = 0Karena hasil turunan keempat adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol.

Contoh 9Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xn, n bilangan asli.

Penyelesaian

. f(x) = xnf (x) = nxn-1f (x) = n(n 1)xn-2f (x) = n(n 1)(n 2) xn-3

f (n) (x) = n(n 1)(n2)...(n (n 1)) xn n = n(n1)(n2)...3.2.1 = n!Banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan turunan tingkat tinggi, diantaranya adalah kecepatan, percepatan dan masalah benda jatuh.1. Kecepatan dan PercepatanContoh 10

Sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisi s nya memenuhi dengan s diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 1 dan t = 6. Kapan kecepatannya 0? Tentukan pula percepatan benda tersebut.Penyelesaian

Misalkan adalah kecepatan pada saat t, maka

Jadi,

cm/detik

cm/detikKecepatan benda 0, maka .

Kecepatan benda 0 pada saat t = 3. Kecepatan benda positif jika yaitu saat . Jika t = 0 dan t < 3 kecepatannya negatif, benda bergerak ke kiri (mundur) ke arah berkurangnya s. Pada saat t = 3 kecepatan benda menjadi 0 kemudian saat kecepatannya positif (t > 3) benda bergerak ke kanan ke arah bertambahnya s.Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap waktu yang merupakan turunan pertama dari kecepatan. Percepatan ini dinyatakan dengan a.

Sehingga,

cm/detik2Ini berarti bahwa kecepatan benda bertambah dengan suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/detik setiap detiknya.

Gambar 32. Masalah Benda JatuhSebuah benda dilempar ke atas atau ke bawah dari suatu ketinggian awal s0 meter dengan kecepatan awal v0 meter / detik dan jika s adalah tingginya di atas tanah dalam meter setelah t detik, maka

Permukaan tanah Gambar 4Contoh 11Sebuah koin dilempar keatas dari puncak sebuah gedung yang tingginya 160 kaki dengan kecepatan awal 64 kaki/detik. a. Kapan koin mencapai ketinggian maksimum?b. Berapa ketinggian maksimumnya?c. Kapan koin membentur tanah?d. Dengan laju berapa koin membentur tanah?e. Berapa percepatan saat t=2 ?PenyelesaianDiketahui s0 = 160 dan v0 = 64, jadi

a. Koin mencapai ketinggian maksimum pada saat kecepatannya 0 yaitu saat , yaitu

b. Ketinggian maksimumnya saat t = 2, yaitu

c. Koin akan membentur tanah saat s = 0

dengan rumus ABC diperoleh,

Nilai t yang memenuhi adalah yang positif. Jadi koin membentur tanah pada detik.d. Pada saat , . Jadi koin membentur tanah pada saat laju kaki / detik.e. Percepatan selalu 32 kaki/detik2. Ini adalah percepatan gravitasi dekat permukaan laut.

Gambar 5C. Pendiferensialan ImplisitFungsi-fungsi yang telah kita kita bahas diawal adalah fungsi-fungsi dengan rumus persamaan y = f(x). Fungsi yang demikian disebut fungsi eksplisit Fungsi eksplisit adalah fungsi yang antara peubah bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi eksplisit ditulis dan dinyatakan dalam bentuk , sedangkan fungsi implisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Misalnya:

,

Secara umum fungsi implisit ditulis dalam bentuk .Perhatikan grafik dari di bawah ini !

Gambar 6

Yang ingin dicari adalah kemiringan garis singgung yang melalui titik (2, 1), dan titik tersebut terletak pada grafik.

Untuk menyelesaikan , yang harus dilakukan adalah mendiferensialkan kedua ruas terhadap x.

Karena telah diperoleh , maka untuk mencari kemiringan pada titik dimana koordinatnya diketahui adalah dengan cara sebagai berikut

Jadi, kemiringannya adalah .

Contoh 12Carilah jika

PenyelesaianMetode 1. (Pendiferensialan Eksplisit)

Jadi dengan aturan hasil bagi diperoleh

.

Metode 2. (Pendiferensialan Implisit)

Kemudian substitusi y = sehingga diperoleh:

.

Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan fungsi ini terdeferensialkan, maka metode pendeferensialan implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan benar untuk .

Perhatikan persamaan

Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu tidak merupakan suatu fungsi.

Sebaliknya,

menentukan fungsi dan fungsi . Grafiknya dapat diperlihatkan pada gambar 7 berikut.

Gambar 7

Fungsi ini keduanya terdiferensialkan pada . Perhatikan f .

kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan , maka diperoleh

Perlakuan serupa terhadap g(x) diperoleh

Kita dapat memperoleh hasil yang sama dengan pendiferensialan secara implisit dari . Ini menghasilkan

Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran dimana x = 3. Nilai-nilai yang berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4) masing-masing diperoleh dengan mensubstitusi ke dalam , maka diperoleh dan (lihat gambar 8).Gambar 8

Pada kondisi yang lain tunjukkan bahwa

menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang didefinisikan oleh

Fungsi ini juga memenuhi, karena . Tetapi fungsi tersebut tidak kontinu di x = 3, sehingga tidak mempunyai turunan (lihat gambar 9).

Gambar 9

Dalam contoh-contoh berikut, kita anggap bahwa persamaan yang diberikan menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferensialkan yang turunan-turunannya dapat dicari dengan menerapkan pendiferensialan implisit.Contoh 13Cari jika serta cari nyaPenyelesaian

Mencari turunan kedua terhadap x

Contoh 14Cari persamaan garis singgung pada kurva

di titik (1,0)

Penyelesaianuntuk lebih menyederhanakan, kita gunakan notasi y untuk . Jika kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

dititik (1,0), , jadi gradiennya adalah -6

Maka persamaan garisnya menjadi

Bukti:

Karena r rasional, maka dapat dituliskan sebagai , dimana p dan q adalah bilangan-bilangan bulat dengan q 0. Andaikan

Maka

dengan pendiferensialan implisit maka didapat,

Jadi,

Contoh 15Cari jika

a.

b.

Penyelesaiana.

b. Misalkan dan . Dengan menerapkan aturan rantai diperoleh

D. Laju Yang BerkaitanMatematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, seperti penerapan dalam Fisika, salah satu penerapannya adalah tentang laju yang berkaitan. Jika didapatkan peubah y yang bergantung kepada waktu t, maka jika diturunkan akan menjadi dy/dt yang disebut laju sesaat perubahan. Dan bila y adalah sebuah jarak, maka laju sesaat perubahan disebut sebagai kecepatan. Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita sehari-hari seperti laju air masuk ke dalam ember, membesarnya luas pencemaran minyak, laju angin yang menerbangkan layang-layang dan laju lainnya.

Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t, terdapat juga peubah x dan kita juga mengetahui tentang dx/dt, maka kita bisa mencari dy/dt karena dy/dt dan dx/dt keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan. Berikut merupakan contoh soal mengenai penerapan matematika dalam hal laju yang berkaitan.Contoh 16Sebuah balon dilepas pada jarak 150 kaki dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8 kaki/detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 kaki?PenyelesaianMisalkan t menyatakan banyaknya detik setelah balon dilepas, h menyatakan ketinggian balon dan s menyatakan jarak dari pengamat ( lihat Gambar 1). Variabel h dan s keduanya tergantung pada t, tetapi alas segitiga (jarak dari pengamat ke titik pelepasan ) tetap, tidak berubah dengan bertambahnya t.

Gambar 10Kita ketahui bahwa laju gerak balon terhadap t (detik) adalah dh/dt = 8. Akan dicari laju jarak antara pengamat dan balon pada waktu balon mencapai ketinggian 50 kaki.

Dengan memperhatikan ilustrasi di atas didapat variabel s dan h berubah terhadap waktu. Kita bisa melihat hubungan antara variabel tersebut dengan persamaan pythagoras

Jika kita diferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai aturan rantai kita peroleh

Hubungan ini berlaku untuk semua t > 0

Untuk mencari nilai s kita subsitusi nilai h = 50 ke persamaan pythagoras :

Kita substitusikan nilai s, h dan dh/dt ke (i) sehingga diperoleh :

Jadi pada saat h = 50, jarak antara balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,53 kaki/detik.

Prosedur Sistematis Pemecahan Masalah Laju Berkaitan

Langkah 1.Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t > 0. berilah pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah, dengan nilai-nilai konstanta yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai waktu, dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah tersebut. Langkah 2.

Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah-peubah. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t. Langkah 3.Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang berlaku untuk semua waktu t > 0, bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu. Langkah 4.

Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit terhadap t. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap t, berlaku untuk semua t > 0. Langkah 5. Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang berlaku pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan. Selesaikan turunan yang diinginkan.Contoh 17Seorang anak menerbangkan layang-layang. Jika tinggi layang-layang 90 dm di atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5 dm/detik, seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm ? (Anggap benang membentuk sebuah garis)Penyelesaian

Gambar 11 Langkah 1. Dimisalkan proyeksi jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x, tinggi layang-layang dari tanah adalah y, panjang benang (yang dianggap lurus, walaupun dalam kenyataan tidak lurus) dianggap z, dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur benang, maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya jarak si anak dengan layang-layang, yaitu dx/dt. Langkah 2. Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dm/s, maka dx/dt = 5. Tinggi y = 90 dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dy/dt = 0. panjang benang saat itu adalah z = 150 dm, yang dicari adalah kecepatan mengulur benang yaitu dz/dt. Langkah 3. Menurut Teorema Pythagoras,

Langkah 4. Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan Rantai, maka diperoleh:

Langkah 5. Untuk semua t > 0, dx/dt = 5 dan dy/dt = 0, dy/dt = 0 dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah, tetap 90 dm. Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layang-layang adalah dengan memakai Pythagoras, maka

Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4, maka diperoleh :

Jadi, kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dm/detik.E. Diferensial dan Hampiran1. DiferensialKita ingat kembali bahwa lambang turunan pertama dari y terhadap x,

Merupakan suatu lambang yang tunggal, dalam arti bukan hasil bagi dari dan . Dalam hal ini dan belum diberi arti secara terpisah.

Sebelum mendefinisikan dan , misalkan adalah suatu titik tetap pada kurva . Dengan P sebagai titik asal, buatlah sumbu koordinat baru dan yang sejajar dengan sumbu x dan y (Gambar 2(a)).

Dalam sistem koordinat baru ini, persamaan garis singgung pada kurva di titik adalah , dengan gradien m sama dengan . Sehingga, persamaan garis singgung pada kurva di titik dapat ditampilkan dalam bentuk .

Pada Gambar 2(b), perhatikan bahwa di sekitar titik garis singgungnya sangat dekat dengan kurva . Jadi, jika pada x diberikan pertambahan sebesar , maka pertambahan y pada kurva adalah sebesar , sedangkan pada garis singgungnya sebesar . Tetapi merupakan suatu hampiran terhadap dan berupa kelipatan dari .

Gambar 12Perhatikan kembali definisi turunan fungsi f di x0 yaitu :

.

Bentuk ini dapat dituliskan sebagai :

,

.

Misalkan

,

Maka

, dengan

atau

, dengan.

Ini berarti bahwa merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk .

Pada fungsi yang terdiferensialkan di titik x, diferensial dari peubah bebas dan peubah tak bebasnya didefinisikan sebagai berikut.

Catatan :

Dari bentuk diferensial dy diperoleh , ini berarti bahwamempunyai dua makna, pertama sebagai turunan fungsi y terhadap x, dan kedua sebagai hasil bagi dari dy terhadap dx.

Aturan untuk menentukan turunan dapat ditampilkan dalam bentuk aturan untuk menentukan diferensial dengan cara mengalikan setiap ruasnya dengan . Berikut ini adalah beberapa aturan untuk menentukan diferensial suatu fungsi, yang dibandingkan dengan aturan yang sama untuk turunan.Aturan TurunanAturan Diferensial

EMBED Equation.3

.

EMBED Equation.3

Contoh 18Cari dy jika (a) . (b) . (c)

Penyelesaian

Kita menghitung turunannya dan mengalikannya dengan dx(a)

(b)

(c)

1. Hampiran (Aproksimasi)

Gambar 20

Andaikan

QUOTE

seperti terlihat pada gambar. Bilamana x diberikan tambahan QUOTE

, maka y menerima tambahan yang berpadanan QUOTE

, yang dapat dihampiri oleh QUOTE

. Jadi,

Contoh 19Tentukan nilai hampiran

QUOTE

dan QUOTE

dengan diferensial jika Penyelesaian

Pandang grafik dari

QUOTE

. Jika x berubah dari 4 ke 4,6 maka QUOTE

berubah dari QUOTE

ke

sedangkan di x = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai

Jadi

Untuk , x berubah dari 9 ke 8,2 maka berubah dari ke .

Sedangkan di x = 9 dan dx = 0,8 mempunyai nilai

Jadi

Gambar 21Contoh 20Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi pertambahan luas sebuah gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm menjadi 3,025 cm.

PenyelesaianLuas gelembung bola sabun diberikan oleh QUOTE

Kita boleh mengaproksimasi nilai sebenarnya, dengan diferensial dA

EMBED Equation.3 Pada dan

QUOTE

2. Penaksiran Galat (Error)Berikut adalah masalah khas dalam sains. Seorang peneliti mengukur variabel

tertentu yang bernilai dengan kesalahan yang mungkin berukuran

QUOTE

. Nilai kemudian dipakai menghitung nilai untuk yang tergantung pada . Nilai dipengaruhi oleh kesalahan dalam x. Prosedur standar adalah menaksir kesalahan ini dengan menggunakan diferensial.

Contoh 21

Rusuk kubus diukur dengan panjang 11,4 cm dengan kemmungkinan kesalahan QUOTE

cm. Hitung volume kubus dan berikan suatu tafsiran kesalahan dalam nilai ini.PenyelesaianVolume kubus yang rusuknya adalah Jadi Jika dan maka

QUOTE

Jadi, kita dapat melaporkan volume kubus sebagai cm3.Contoh 22Diketahui bahwa

QUOTE

. Jika t diukur sebagai Penyelesaian

QUOTE

Jadi,

-1

1

0,4 1,3

x

y = 2 x2

y

Gambar 1

Penyelesaian

EMBED Equation.DSMT4 = f (1,3) f (0,4)

= [2 (1,3)2] [2 (0,4)2]

= 1,53

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Gambar 2

EMBED Equation.3

0

5

10

-5

-10

s

t=3,

s=-10

v=0

t=1, s=-2, v=-8

t=0, s=8, v=--12

t=6, s=8, v=12

-10 -5 0 5 10

EMBED Equation.DSMT4

s0

v = v0, t = 0

s0

v = v0, t = 0

v=0, t=2, s =224 kaki

v=119,73 ; t= EMBED Equation.DSMT4 ; s =0

Catatan :

Untuk mencari turunan fungsi implisit dapat ditempuh cara sebagai berikut:

turunkan setiap suku dari f(x, y) = 0 terhadap x

karena y adalah fungsi dari x, maka setiap menurunkan y harus dikalikan dengan EMBED Equation.3 .

Setelah semua suku diturunkan, maka EMBED Equation.3 dapat dihitung.

5

-5

5

-5

5

-5

Teorema A (Aturan pangkat)

Andaikan r bilangan rasional sebarang, Maka

EMBED Equation.3

balon

Titik pelepasan

pengamat

150

h

s

z =150 dm

Titik tangan si anak

y =90 dm

x

Kec. Angin 5 dm/detik

x

0

y

garis singgung

dx

dy

Definisi

Misalkan fungsi EMBED Equation.DSMT4 terdiferensialkan di x.

Diferensial dari peubah bebas x, ditulis QUOTE EMBED Equation.3 , didefinisikan sebagai suatu pertambahan sebarang dari x, yaitu

EMBED Equation.3

Diferensial dari peubah tak bebas y, ditulis QUOTE EMBED Equation.3 , didefinisikan sebagai

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

dy

y

0

x

EMBED Equation.3

y

0

1 2 3 4 4,6 5 6 7 88,2 9 10

x

1

2

3

130

_1476128176.unknown

_1476277001.unknown

_1476282679.unknown

_1476388130.unknown

_1476429220.unknown

_1476429509.unknown

_1476440365.unknown

_1476440845.unknown

_1476565666.unknown

_1476565742.unknown

_1476566567.unknown

_1476565647.unknown

_1476441016.unknown

_1476440467.unknown

_1476440717.unknown

_1476440420.unknown

_1476429719.unknown

_1476430055.unknown

_1476430073.unknown

_1476429905.unknown

_1476430035.unknown

_1476429860.unknown

_1476429618.unknown

_1476429680.unknown

_1476429571.unknown

_1476429419.unknown

_1476429466.unknown

_1476429489.unknown

_1476429444.unknown

_1476429371.unknown

_1476429410.unknown

_1476429348.unknown

_1476428664.unknown

_1476429138.unknown

_1476429170.unknown

_1476429216.unknown

_1476429188.unknown

_1476429200.unknown

_1476429154.unknown

_1476428978.unknown

_1476429007.unknown

_1476428965.unknown

_1476421857.unknown

_1476422195.unknown

_1476427439.unknown

_1476427593.unknown

_1476427592.unknown

_1476422481.unknown

_1476421868.unknown

_1476421761.unknown

_1476421827.unknown

_1476421749.unknown

_1476294846.unknown

_1476298666.unknown

_1476299525.unknown

_1476300190.unknown

_1476300801.unknown

_1476300895.unknown

_1476301399.unknown

_1476301438.unknown

_1476300960.unknown

_1476300832.unknown

_1476300383.unknown

_1476300055.unknown

_1476300161.unknown

_1476299820.unknown

_1476299682.unknown

_1476299279.unknown

_1476299472.unknown

_1476299179.unknown

_1476296902.unknown

_1476297300.unknown

_1476297661.unknown

_1476297243.unknown

_1476295784.unknown

_1476296876.unknown

_1476295777.unknown

_1476293039.unknown

_1476294509.unknown

_1476294586.unknown

_1476294811.unknown

_1476294758.unknown

_1476294524.unknown

_1476294562.unknown

_1476293252.unknown

_1476294420.unknown

_1476293208.unknown

_1476283201.unknown

_1476288725.unknown

_1476288812.unknown

_1476288320.unknown

_1476287301.unknown

_1476288272.unknown

_1476286056.unknown

_1476283133.unknown

_1476283159.unknown

_1476283130.unknown

_1476283065.unknown

_1476280064.unknown

_1476280882.unknown

_1476282251.unknown

_1476282319.unknown

_1476282349.unknown

_1476282294.unknown

_1476281676.unknown

_1476282244.unknown

_1476281658.unknown

_1476280457.unknown

_1476280798.unknown

_1476280842.unknown

_1476280719.unknown

_1476280323.unknown

_1476280408.unknown

_1476280220.unknown

_1476278604.unknown

_1476279042.unknown

_1476279656.unknown

_1476279316.unknown

_1476279402.unknown

_1476279279.unknown

_1476278702.unknown

_1476278294.unknown

_1476278473.unknown

_1476277667.unknown

_1476278259.unknown

_1476277791.unknown

_1476277360.unknown

_1476277580.unknown

_1476277240.unknown

_1476128193.unknown

_1476242366.unknown

_1476276884.unknown

_1476276905.unknown

_1476243839.unknown

_1476276751.unknown

_1476276811.unknown

_1476244518.unknown

_1476245904.unknown

_1476249350.unknown

_1476276693.unknown

_1476245995.unknown

_1476246195.unknown

_1476244777.unknown

_1476245660.unknown

_1476244722.unknown

_1476244477.unknown

_1476244495.unknown

_1476244428.unknown

_1476244082.unknown

_1476243627.unknown

_1476243732.unknown

_1476243786.unknown

_1476243697.unknown

_1476242390.unknown

_1476243099.unknown

_1476243554.unknown

_1476242547.unknown

_1476128207.unknown

_1476128218.unknown

_1476129358.unknown

_1476129390.unknown

_1476160603.unknown

_1476162371.unknown

_1476129402.unknown

_1476129377.unknown

_1476128223.unknown

_1476128234.unknown

_1476128236.unknown

_1476128237.unknown

_1476128239.unknown

_1476128235.unknown

_1476128232.unknown

_1476128233.unknown

_1476128224.unknown

_1476128221.unknown

_1476128222.unknown

_1476128219.unknown

_1476128220.unknown

_1476128214.unknown

_1476128216.unknown

_1476128217.unknown

_1476128215.unknown

_1476128209.unknown

_1476128211.unknown

_1476128213.unknown

_1476128212.unknown

_1476128210.unknown

_1476128208.unknown

_1476128203.unknown

_1476128205.unknown

_1476128206.unknown

_1476128204.unknown

_1476128200.unknown

_1476128201.unknown

_1476128199.unknown

_1476128184.unknown

_1476128189.unknown

_1476128191.unknown

_1476128192.unknown

_1476128190.unknown

_1476128187.unknown

_1476128188.unknown

_1476128186.unknown

_1476128180.unknown

_1476128182.unknown

_1476128183.unknown

_1476128181.unknown

_1476128178.unknown

_1476128179.unknown

_1476128177.unknown

_1476126926.unknown

_1476126947.unknown

_1476126956.unknown

_1476128169.unknown

_1476128173.unknown

_1476128174.unknown

_1476128170.unknown

_1476126958.unknown

_1476126959.unknown

_1476126957.unknown

_1476126951.unknown

_1476126954.unknown

_1476126955.unknown

_1476126953.unknown

_1476126949.unknown

_1476126950.unknown

_1476126948.unknown

_1476126937.unknown

_1476126943.unknown

_1476126945.unknown

_1476126946.unknown

_1476126944.unknown

_1476126939.unknown

_1476126941.unknown

_1476126942.unknown

_1476126940.unknown

_1476126938.unknown

_1476126930.unknown

_1476126935.unknown

_1476126936.unknown

_1476126934.unknown

_1476126929.unknown

_1476115614.unknown

_1476123034.unknown

_1476124323.unknown

_1476124471.unknown

_1476125153.unknown

_1476125276.unknown

_1476125318.unknown

_1476125358.unknown

_1476125235.unknown

_1476125092.unknown

_1476125138.unknown

_1476124535.unknown

_1476124377.unknown

_1476124464.unknown

_1476123811.unknown

_1476123832.unknown

_1476123905.unknown

_1476124141.unknown

_1476123831.unknown

_1476123275.unknown

_1476123794.unknown

_1476123120.unknown

_1476121788.unknown

_1476122061.unknown

_1476122202.unknown

_1476122599.unknown

_1476122194.unknown

_1476121973.unknown

_1476122052.unknown

_1476121959.unknown

_1476115645.unknown

_1476115818.unknown

_1476121520.unknown

_1476115652.unknown

_1476115634.unknown

_1476115640.unknown

_1476115627.unknown

_1476114848.unknown

_1476115001.unknown

_1476115018.unknown

_1476115042.unknown

_1476115054.unknown

_1476115031.unknown

_1476114884.unknown

_1476114909.unknown

_1476114919.unknown

_1476114980.unknown

_1476114899.unknown

_1476114866.unknown

_1476114022.unknown

_1476114151.unknown

_1476114802.unknown

_1476114810.unknown

_1476114829.unknown

_1476114782.unknown

_1476114793.unknown

_1476114772.unknown

_1476114095.unknown

_1476114005.unknown

_1476114016.unknown

_1476113955.unknown

_1476113999.unknown

_1394605680.unknown

_1394605756.unknown