KALKINTFS2P - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/INTERGRAL_LIPAT_DUA.pdf · KI Fs2P 003 Integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang y persegi panjang R d c 0 a b

001

Integral lipat dua pada daerah persegi panjang y Dxi y = f (x)

0 a ci b x

Luas D = 0

[ , ]( )

a bf x dx≥

Ú

Integral tunggal Integral dari fungsi kontinu y = f (x) pada selang tutup [a,b] didefinisikan sebagai

1[ , ] || || 0( ) ( ) lim ( )

b ni iia b a P

f x dx f x dx f c x=Æ

= = DÂÚ Ú ,

P = {a = x0, x1, º, xn = b} suatu partisi untuk [a,b], ci Œ [xi-1,xi], Dxi = xi - xi-1, dan

1|| || maks ii n

P x£ £

= D .

z z = f (x,y) y R x dA

0

Volum ( , )R

B f x y dA≥

=ÚÚ

y d c 0 a dA b x

Integral lipat dua Integral lipat dua dari fungsi kontinu z = f (x,y) pada persegi panjang tutup R = {(x,y) : a £ x £ b, c £ y £ d} didefinisikan sebagai

1|| || 0( , ) lim ( , )n

i i iiR Pf x y dA f c d A

=Æ= DÂÚÚ ,

P suatu jaring untuk R, (ci,di) Πkomp.jaring ke-i, DAi = Dxi Dyi, dan

1|| || maks ii n

P A£ £

= D .

Integral berulang Integral lipat dua ( , )R

f x y dAÚÚ

dihitung dengan menyatakannya sebagai

( , ) ( , ) ( , )b d d b

R a c c af x y dA f x y dydx f x y dxdy= =ÚÚ Ú Ú Ú Ú .

Kedua integral yang terakhir dikenal sebagai inte-gral berulang.

D

B

0 c d a

b

KI Fs2P 002

Contoh Hitunglah 2( 2 ) , {( , ): 1 2,1 3}R

x xy dA R x y x y- = - £ £ £ £ÚÚ .

( )32 3 22 2 2 21 1 1 1

2 22 2 21 1

( 2 ) ( 2 )

(3 9 ) (2 8 ) 6.

Rx xy dA x xy dy dx x y xy dx

x x x x dx x x dx

- -

- -

- = - = -

= - - + = - = -

ÚÚ Ú Ú ÚÚ Ú

Cara lain

( )( ) ( )

23 2 32 2 3 21 1 1 13 3

1 1

13

8 13 3

( 2 ) ( 2 )

4 3 1 6.

Rx xy dA x xy dxdy x x y dy

y y dy y dy

- -- = - = -

= - + + = - = -

ÚÚ Ú Ú Ú

Ú Ú

Contoh Hitunglah /2 sin

0 0sin( ) yI x y e dydx

p p= +Ú Ú .

Ubahlah urutannya dalam dx dy karena sinsin( ) yx y e dy+Ú sukar dihitung.

( )

( )

/2 /2sin sin0 0 0 0

/2 /2sin sin00 0

/2/2 sin sin0 0

sin( ) sin( ) ( )

cos( ) 2cos

2 (sin ) 2 2( 1) 3,4366.

y y

y y

y y

I x y e dydx e x y d x y dy

e x y dy e y dy

e d y e e

p p p p

p pp

pp

= + = + +

= - + = ◊

= = = - ª

Ú Ú Ú ÚÚ ÚÚ

Contoh Hitunglah 1 2 3 /0 1

.y xI x e dx dy-= Ú Ú

Ubahlah urutannya dalam dy dx karena 3 /y xx e dx-Ú sukar dihitung.

( )( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 1 2 13 / 3 / 2 /0 1 1 0 1 0

12 2 2 22 / 2 1/ 2 1/ 21 1 1 10

22 2 21/ 2 1/11 1 1

1 1 12

12

( 1)

1

0,5696

y x y x y x

y x x x

x x

yx

x x

I x e dx dy x e dy dx x e d dx

x e dx x e dx x e dx x dx

e d x dx e e e

e e

- - -

- - - -

-

= = =

= = - = -

= - - = - + = - + + -

= - - ª

Ú Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú

KI Fs2P 003

Integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang y persegi panjang R d c 0 a b x

y

fungsi y = b (x) fungsi y = a (x)

0 a x b x Daerah D Tipe 1

y d fungsi fungsi x = g ( y) x = d ( y) g ( y) d ( y) c

0 x Daerah D Tipe 2

Akan dihitung integral lipat dua dari fungsi kontinu z = f (x,y) pada dae-rah D. (gambar kiri) Daerah D dibatasi beberapa kurva kontinu dan dapat dibingkai oleh persegi panjang R = {(x,y) : a £ x £ b, c £ y £ d}. Daerah tipe-1 Proyeksi D terhadap sumbu x adalah selang tutup [a,b], batas bawahnya kurva kontinu y = a (x) dan batas atasnya kurva kontinu y = b (x), yaitu D = {(x,y) : a £ x £ b, a (x) £ y £ b (x)}. (gambar tengah) Integral berulang dari fungsi z = f (x,y) pada daerah D tipe-1 adalah

( )

( )( , ) ( , )

b x

D a xf x y dA f x y dydx

b

a=ÚÚ Ú Ú .

Daerah tipe-2 Proyeksi D terhadap sumbu y adalah selang tutup [c,d], batas bawahnya kurva kontinu x = g (y) dan batas atasnya kurva kontinu x = d (y), yaitu D = {(x,y) : c £ y £ d, g (y) £ x £ d (y)}. (gambar kanan) Integral berulang dari fungsi z = f (x,y) pada daerah D tipe-2 adalah

( )

( )( , ) ( , )

d x

D c xf x y dA f x y dxdy

d

g=ÚÚ Ú Ú .

Integral berulang pada daerah tipe-1 dapat diubah ke daerah tipe-2 de-ngan cara mencari invers batas daerahnya. Bentuk limit jumlah integral lipat dua pada daerah tipe-1 dan tipe-2

1|| || 0

( , ), ( , )( , ) lim ( , ) , ( , )

0 , ( , )n

i i iiD P

f x y x y Df x y dA F c d A F x y

x y R D=Æ

ŒÏ= D = Ì Œ -Ó

ÂÚÚ ,

P suatu jaring untuk R, (ci,di) Πkomp.jaring ke-i, DAi = Dxi Dyi, dan

1|| || maks ii n

P A£ £

= D .

D D

b (x)

a (x)

D y

KI Fs2P 004

Arti geometri integral lipat dua pada daerah bukan persegi panjang

z S: z = f (x,y), (x,y) ΠD bidang x tetap (//yoz) irisan S dengan bidang x tetap 0 d a y

a (x) b (x) daerah D x y bergerak x tetap

z S: z = f (x,y), (x,y) ΠD bidang y tetap (//xoz)

irisan S de- ngan bidang y tetap

0 d a y daerah D x y tetap x bergerak

Untuk bidang x tetap (a £ x £ b) yang memotong daerah D di a (x) dan b (x), luas irisannya adalah

( )

( )( ) ( , )

x

xL x f x y dy

b

a=Ú

Volum benda padatnya adalah ( )

( )( ) ( , )

b b x

a a xV L x dx f x y dydx

b

a= =Ú Ú Ú

Untuk bidang y tetap (c £ y £ d) yang memotong daerah D di g (x) dan d (y), luas irisannya adalah

( )

( )( ) ( , )

y

yL y f x y dx

d

g= Ú

Volum benda padatnya adalah ( )

( )( ) ( , )

d d y

c c yV L x dx f x y dxdy

d

g= =Ú Ú Ú

Integral lipat dua untuk menghitung luas daerah Untuk menghitung luas daerah D tipe-1 dan tipe-2 ambillah z = f (x,y) = 1, maka secara nu-merik volum benda yang dihasilkan sama dengan luas daerah D.

z bidang z = 1 0 c d a y b

x

Luas daerah tipe-1 D = {(x,y) : a £ x £ b, a (x) £ y £ b (x)}

adalah ( )

( )

b x

D a xdA dydx

b

a=ÚÚ Ú Ú .

Luas daerah tipe-2 D = {(x,y) : c £ y £ d, g (y) £ x £ d (y)}

adalah ( )

( )

d y

D c ydA dxdy

d

g=ÚÚ Ú Ú .

D

D

c

g ( y)

d ( y)

y

b

x

b

c

KI Fs2P 005

Contoh Gambarkan daerah pengintegralan 2

2 4 3 4 20 x

I x x y dydx= +Ú Ú ,

ubahlah urutan integralnya kemudian hitunglah I.

y

y = 4 3 y = x2 2 x = 0 x = y 0 1 2 x Daerah pengintegralan

Dari bentuk 2

2 4 3 4 20 x

I x x y dydx= +Ú Ú diperoleh ren-

tang x dari 0 sampai 2, batas atasnya garis y = 4, dan batas bawahnya parabol y = x2. Jadi daerah pengin-tegralan I adalah

D = {(x,y) : 0 £ x £ 2, x2 £ y £ 4},

yang diperlihatkan gambar di samping. Untuk mengubah urutan integralnya, proyeksi dae-rah D diubah dari ke sumbu x menjadi ke sumbu y. Hasilnya adalah rentang y dari 0 sampai 4, batas ki-rinya adalah sumbu y (garis x = 0), dan batas kanan-nya adalah invers fungsi y = x2.

Karena invers dari y = x2, 0 £ x £ 2 adalah x y= , 0 £ y £ 4, maka daerah D dapat ditulis dalam bentuk

D = {(x,y) : 0 £ y £ 4, 0 £ x £ y }.

Jadi perubahan urutan integral I adalah

2

2 4 43 4 2 3 4 20 0 0

y

xI x x y dydx x x y dxdy= + = +Ú Ú Ú Ú .

Integral I adalah

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

4 43 4 2 4 2 4 20 0 0 0

3/ 2 3/ 2 3/ 24 44 2 2 20 004 43 3 30 0

14

1 2 14 3 6

1 1 26 6 3

( )

2

2 2 2 2 1 10 2 2 1 .

y y

y

I x x y dxdy x y d x y dx

x y dy y y dy

y y dy y dy

= + = + +

Ê ˆ Ê ˆ= + = -Ë ¯ Ë ¯

= - = - = -

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú

Ú Ú

Catatan Dalam kasus ini integralnya lebih mudah dihitung dengan cara di atas karena fungsi primitif dari u(y) =

3 4 2x x y dy+Ú sukar ditentukan.

4

1

D

KI Fs2P 006

Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x2 + y2

= a2 dan tabung x2

+ z2 = a2.

z

x2 + y2

= a2

a x2 + z2

= a2 a y a x

z

2 2z a x= - a y a x2

+ y2 = a2

Benda B1 di oktan pertama Volum B = 8 kali volum B1

y

a 2 2y a x= - 0 a x

Daerah pengintegralan untuk benda B1

Pada gambar kiri diperlihatkan dua tabung yang beririsan dengan kedua sumbu berpotongan di titik asal (0,0,0). Irisan kedua tabung adalah ben-da B yang di oktan pertama diperlihatkan gambar kiri. Pada gambar tengah diperlihatkan irisan kedua tabung di oktan pertama. Benda B1 terletak di bawah permukaan tabung 2 2z a x= - dan di atas lingkaran x2

+ y2 = a2 di bidang xoy yang terletak di kuadran 1. Volum ta-

bung yang akan dicari sama dengan 8 kali volum benda B1. Pada gambar kanan diperlihatkan daerah pengintegralan untuk benda B1, yaitu daerah D di kuadran pertama yang dibatasi lingkaran x2

+ y2 = a2.

Daerah D dapat dituliskan dalam bentuk 2 2{( , ) : 0 , 0 }D x y x a y a x= £ £ £ £ -

Volum benda B yang dibatasi dua tabung adalah

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 21 0 0

2 2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 3 3 3 30 0

1 1 13 3 3

8 volum 8

8 8

8 8 8 5 .

a a x

a a x a

aa

V B a x dy dx

a x dy dx a x a x dx

a x dx a x x a a a

-

-

= = -

= - = - ◊ -

= - = - = - =

Ú Ú

Ú Ú Ú

Ú

0

B1

a

D

x

B

0

KI Fs2P 007

y 4 (2,4) 3 2 y = x2

y = x + 2 (-1,1)

-1 0 1 2 x

Ilustrasi Kurva y = x2 dan garis y = x + 2 yang ber-potongan di (-1,1) dan (2,4) membentuk daerah

2{( , ): 1 2, 2}D x y x x y x= - £ £ £ £ + Luas D adalah

( )2

2 2 2 21 1

22 31

81 1 1 1 12 3 3 2 3 2

( 2 )

2 2 4 2 4 .

x

D xL dA dydx x x dx

x x x

+

- -

-

= = = + -

= + - = + - - + - =

ÚÚ Ú Ú Ú

Contoh Gambarkan daerah D yang dibatasi kurva ,x y= garis y = x + 2, dan sumbu x. Nyatakan luas D sebagai integral lipat dua dalam dua cara kemudian hitunglah luas D.

y 4 (2,4) y = x + 2 3 x y= 2 x = y - 2 y = x2, x ≥ 0 -2 -1 0 1 2 x

Kurva x y= dan garis y = x + 2 berpotongan di titik (2,4) karena x ≥ 0. Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,4], batas kirinya garis x = y - 2, dan batas kanan-nya kurva .x y= Akibatnya,

{( , ):0 4, 2 }D x y y y x y= £ £ - £ £ dan luas D adalah

4

0 2

y

D yL dA dxdy

-= =ÚÚ Ú Ú .

Proyeksi D pada sumbu x adalah selang [-2,2] = [-2,0] » [0,2]. Dengan melihat batas atas dan batas bawahnya di setiap selang ini diperoleh

2{( , ): 2 0,0 2} {( , ):0 2, 2}D x y x y x x y x x y x= - £ £ £ £ - » £ £ £ £ - dan luas D adalah

2

0 2 2 2

2 0 0

x x

D xL dA dydx dydx

+ +

-= = +ÚÚ Ú Ú Ú Ú

Dengan integral lipat dua yang pertama, luas daerah D adalah

( ) ( )( )

4 4 4

0 2 0 0

420

2 1 1 13 2 3 3

( 2) 2

2 5 8 8 5 .

y

yL dxdy y y dy y y dy

y y y y

-= = - - = - +

= - + = - + =

Ú Ú Ú Ú

D 1

D 1

KI Fs2P 008

P(r,q ) r radius vektor

O q titik kutub sumbu kutub

y

( 2, 2 3)P - rP = 4 q -2 -1 0 1 2 x ttk-ktb sb-ktb

y

y P(r,q ) P(x,y) r q x 0 r cosq x

y

2 r = 2 sinq 1 x2

+ y2 = 2y

0 x y

r = c c parameter 0 x y q = k 0 x k parameter

Koordinat kutub Sistem koordinat kutub terdiri dari dua komponen, titik kutub O dan sumbu kutub berbentuk sinar dari O ke kanan. Dalam sistem ini titik 2PΠdiidentifikasi sebagai

P(r,q ), r = OP dan q = –(OP,sb-kutub). Radius vektor OP ≥ 0; q positif jika berlawanan ja-rum jam dan q negatif jika searah jarum jam.

Ilustrasi Jarak titik ( 2,2 3)P - ke O(0,0) ada-lah 4 dan q = –(OP,sb-kutub) = 2

3 ,n np p+ Π. Koordinat kutubnya:

2 43 34, , 4, ,( ) ( )P Pp p-

Kaitan koordinat kutub dengan kartesis P(r,q ) P(x,y)

2 2r x y= + x = r cos q q memenuhi y = r sin q cos , sin yx

r rq q= =

Fungsi dalam kordinat kutub Fungsi dengan pe-ubah bebas q dan peubah tak bebas r sehingga (r,q ) membentuk koordinat kutub dinamakan fungsi da-lam koordinat kutub, ditulis r = f (q ).

Ilustrasi Lingkaran x2 + y2

= 2y dalam koordinat kutub diperoleh dengan penggantian x = r cos q dan y = r sin q. Dari r2

= 2r sin q diperoleh persa-maan lingkarannya r = f (q ) = 2 sin q. Ilustrasi Aturan r = c, c parameter adalah kelu-arga lingkaran berpusat di (0,0) dan q = k, k pa-rameter adalah keluarga sinar berasal dari (0,0).

r sinq

KI Fs2P 009

Integral lipat dua dalam koordinat kutub y

q = b q = qi

q = qi-1 jaring kutub r = b r = ri r = ri-1 r = a 0 x

*i i i iA r r qD = D D

Dengan transformasi integral ke koordinat kutub (x,y) = (r cos q, r sin q ) diperoleh

*( , ) ( cos , sin ) ,

D Df x y dA f r r rdrdq q q=ÚÚ ÚÚ

D* = {(r,q ) : a £ q £ b, p(q ) £ r £ q(q )} Luas daerah

D* = {(r,q ) : a £ q £ b, p(q ) £ r £ q(q )} adalah

( )

* * ( ).

q

D D pdA rdrd rdrd

b q

a qq q= =ÚÚ ÚÚ Ú Ú

Buatlah jaring untuk koordinat kutub (lihat gambar) r konstan (lingkaran) dan q konstan (sinar). Pilihlah titik ( )*, *i i ir Aq ŒD dengan 1

12* ( )i i ir r r-= + .

Karena ( )2 21 1 1

12 2 ( )( ) *i

i i i i i i i i i i iA r r r r r r r rqp p q q- - -

DD = ◊ - = D + - = D D , maka da-

lam koordinat kutub berlaku dA = r dr dq.

Contoh Gambarkan daerah D di kuadran pertama yang terletak dalam lingkaran x2

+ y2 = 2x dan di luar lingkaran x2

+ y2 = 2y kemudian hitung-

lah luasnya dengan integral lipat dua sistem koordinat kutub. y

2 x2+ y2 = 2y

1 (1,1) daerah D -1 0 1 2 x -1 x2+ y2

= 2x y q = p /4 1 r = 2 cosq r = 2 sinq q = 0 0 daerah D 2 x

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), di-peroleh x2

+ y2 = 2x ¤ r2

= 2r cosq ¤ r = 2 cosq dan x2

+ y2 = 2y ¤ r2

= 2r sinq ¤ r = 2 sinq. Kedua lingkaran berpotongan di (0,0) dan (1,1), yang dalam koordinat kutub (0,q ) dan ( )1

42, p .

Luas 14{( , ):0 ,2sin 2cos }D r rq q p q q= £ £ £ £ ∫

( )

( )

2cos/4 2cos /4 20 2sin 0 2sin

/4 /42 20 0

/40

12

2(cos sin ) 2cos2

sin2 1.

L r drd r d

d d

qp q p

q qp p

p

q q

q q q q q

q

= =

= - =

= =

Ú Ú ÚÚ Ú

D DAi

Dri

Dq i

(ri*,qi*)

q = a

D

D

KI Fs2P 010

Contoh Jika daerah D terletak di dalam lingkaran x2 + y2

= 2y dan di luar

lingkaran x2 + y2

= 1, hitunglah I = 2 2

Dx y dA+ÚÚ .

y

2 r = 2 sinq q =5p/6 q =p/6 -1 1 x -1

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), di-peroleh x2

+ y2 = 2y ¤ r = 2 sinq dan x2

+ y2 = 1

¤ r = 1. Kedua lingkaran ini berpotongan di titik ( )1

61, p dan ( )561, p , sehingga daerah D adalah

{ }516 6( , ) : ,1 2sinD r rq p q p q= £ £ £ £ .

Gunakan 3 2 313sin (1 cos ) cos cos cos ,d d Cq q q q q q= - - = - +Ú Ú diperoleh

( )( )

( )

2sin5 /6 2sin 5 /62 2 3/6 1 /6 1

5 /65 /6 3 3/6 /6

13

81 13 3 3

51 1 23 6 6 9

(8sin 1) cos 8cos

3 4 3 3 4 3 2 3 2,766.

DI x y dA r r drd r d

d

qp q p

p ppp

p p

q q

q q q q q

p p p

= + = ◊ =

= - = - -

= - + - - + - = - ª

ÚÚ Ú Ú Ú

Ú

Contoh Hitunglah volum benda padat yang dibatasi tabung x2 + y2

= 4, bidang xoy, dan bidang y + z = 4.

z

y + z = 4 bidang datar x2+ y2

= 4 tabung tegak -2 2 y x y 2 -2 2 x -2

D = {(x,y) : 0 £ q £ 2p, 0 £ r £ 2}

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), di-peroleh

y + z = 4 ¤ z = 4 - r sinq dan daerah pengintegralannya adalah

D = {(x,y) : 0 £ q £ 2p, 0 £ r £ 2}

Volum benda padatnya adalah

( ) ( )( )

2 2

0 022 22 3

0 002

0

813 3

8 8 83 3 3

(4 sin )

2 sin 8 sin

8 cos 16 0 16 .

DV z dA r rdr d

r r d d

p

p p

p

q q

q q q q

q q p p

= = -

= - = -

= + = + - - =

ÚÚ Ú ÚÚ Ú

0

D

D

D

KI Fs2P 011

Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida z = x2

+ y2 dan bidang z = 4.

z

z = 4 -2 2 y x y 2 x2+ y2= 4 -2 2 x -2

Proyeksi B pada xoy adalah 2 2{( , ): 4}.D x y x y= + £

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), di-peroleh batas bawah B adalah z = x2

+ y2 ¤ z = r2, batas atas B adalah z = 4, dan daerah D adalah

{( , ):0 2 ,0 2}.D r rq q p= £ £ £ £ Volum benda padat B adalah

( )

2 22 2 20 0

22 2 23 2 40 0 0 02

0

14

4 ( ) (4 )

(4 ) 2

4 8 .

( )D

V x y dA r rdrd

r r drd r r d

d

p

p p

p

q

q q

q p

= - + = -

= - = -

= =

ÚÚ Ú ÚÚ Ú ÚÚ

Contoh Hitunglah volum benda padat B yang dibatasi paraboloida z = x2

+ y2 dan bidang z = 2y.

z bidang z = 2y benda padat B 0 2 y x y 2 x2

+ y2 = 2y

0 2 x -2

Proyeksi B pada xoy adalah daerah 2 2{( , ): 2 }.D x y x y y= + £

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), di-peroleh batas bawah B adalah z = x2

+ y2 ¤ z = r2, batas atas B adalah z = 2y ¤ z = 2r sinq, dan dae-rah D adalah {( , ):0 ,0 2sin }.D r rq q p q= £ £ £ £ Volum benda padat B adalah

( )( )

2 2

2sin 20 0

2sin3 4 40 00

0

2 1 43 4 3

3 34 1 1 4 13 8 2 8 3 8 2

2 ( )

(2 sin )

sin sin

cos2 cos4 .

( )D

V y x y dA

r r rdrd

r r d d

d

p q

qp p

p

q q

q q q q

q q q p p

= - +

= -

= - =

= - + = ◊ =

ÚÚÚ ÚÚ ÚÚ

D

B

0

2

D

0

B

D

D

KI Fs2P 012

Contoh Hitunglah 24 16 2 2 3/2

2 0( )

xI x y dydx

-= +Ú Ú .

y q = p /3 4 (2,2 3 )

216y x= - r = 4 x = 2 r = 2 secq

0 2 q = 0 4 x

Daerah pengintegralannya adalah 2( , ):2 4,0 16{ }D x y x y x= £ £ £ £ - .

Titik potong kurva 216y x= - dengan garis

x = 2 adalah 2,2 3( ) , yang dalam koordinat kutub adalah ( )1

34, p .

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), diperoleh x = 2 ¤ r cosq = 2 ¤ r = 2 sec q,

216y x= - ¤ x2 + y2

= 16, y ≥ 0 ¤ r2 = 16, 0 £ q £ p ¤ r = 4, 0 £ q £ p ,

dan sumbu x positif ¤ q = 0, sehingga dalam koordinat kutub 13{( , ) : 0 ,2sec 4}D r rq q p q= £ £ £ £ .

Dalam koordinat kutub: 2 2 3/2( , ) ( )f x y x y -= + ¤ 2 3/2 3( , ) ( )f r r rq - -= = . Integral lipat duanya adalah

( ) ( ) ( )

( ) ( )

24 16 /3 4 /3 42 2 3/2 3 22 0 0 2sec 0 2sec

4/3 /3 /310 0 02sec

/30

1 1 14 2sec 4

1 1 1 14 4 3 12

( )

2cos 1

2sin 3 (3 3 ).

xI x y dydx r rdrd r drd

r d d d

p p

q qp p p

qp

q

q q

q q q q

q q p p

- - -

-

= + = =

= - = - - = -

= - = - = -

Ú Ú Ú Ú Ú ÚÚ Ú Ú

Contoh Hitunglah 2 2( ) 2 2 2, {( , ): , 0.x y

DI e dA D x y x y a a- += = + £ >ÚÚ

y a x2

+ y2 = a2

-a a x

-a

Gunakan transformasi (x,y) = (r cos q, r sin q ), daerah D menjadi D = {(r,q ) | 0 £ q £ 2p, 0 £ r £ a}. Integralnya adalah

( )2 2

2 2 2

2 2 20 0 0 0

2 2

0 00

12

1 12 2

( )

(1 ) (1 ) .

a ar r

ar a a

I e rdrd e d r d

e d e d e

p p

p p

q q

q q p

- -

- - -

= =- -

=- = - = -

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú

D

D 0

KI Fs2P 013

Transformasi integral lipat dua ke koordinat kurvilinear Transformasi x = r cos q dan y = r sin q menghasilkan

*( , ) ( cos , sin )

D Df x y dA f r r rdrdq q q=ÚÚ ÚÚ ,

dengan D = {(r,q ) | a £ q £ b, p(q ) £ r £ q(q )}. Karena

2 2( , )( , )

cos sin(cos sin )

sin cos

x xx y rr y y

r

rr r

rq

qq

q qq q

q q

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂

-= = = + = ,

maka transformasi integral lipat dua ke koordinat kutub dapat ditulis ( , )( , )( , ) ( cos , sin )

D Dx yrf x y dA f r r dr dqq q q∂

∂=ÚÚ ÚÚ .

Secara umum, transformasi x = x(u,v) dan y = y(u,v) dari koordinat (x,y) ke koordinat (u,v) mengikuti pola terakhir sehingga kita mempunyai

( , )( , )( , ) ( , ) ( , ), ( , )( )

D D D

x yu vf x y dA f x y dxdy f x u v y u v dudv∂

∂= =ÚÚ ÚÚ ÚÚ ,

dengan D = {(u,v) : a £ u £ b, p(u ) £ v £ q(u )} dan ( , )( , )

x xx y u vu v y y

u v

∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂

= .

Pada transformasi ini ( , )( , )x yu v

∂∂ dikenal sebagai determinan Jacobi dan

(u,v) dinamakan koordinat kurvilinear. y u tetap v tetap y 0 x x

®Komponen jaring: r = r(u,v) = x(u,v) i + y(u,v) j.

®u tetap fi r(v) = x(v) i + y(v) j fi yxv v v

∂∂ ∂∂ ∂ ∂= +r i j.

®v tetap fi r(u) = x(u) i + y(u) j fi yxu u u

∂∂ ∂∂ ∂ ∂= +r i j .

®Dalam (u,v): dA = u v∂ ∂¥∂ ∂

r r du dv = ( , )( , )x yu v

∂∂ du dv.

Jika dari (u,v) ditransformasikan kembali ke (x,y), maka ( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

D Dx y u vu v x yf x y dx dy f x y dx dy∂ ∂

∂ ∂= ◊ÚÚ ÚÚ .

Akibatnya ( , ) ( , )( , ) ( , ) 1x y u vu v x y

∂ ∂∂ ∂◊ = , sehingga ( , ) ( , )

( , )( , ) 1x y u vx yu v

∂ ∂∂∂ = .

dA

KI Fs2P 014

Contoh Hitunglah luas daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh hiperbol xy = 1, hiperbol xy = 4, garis y = 2x, dan garis y = 1

2 x y 4 y = 2x 3

2 xy = 4 12y x=

1 0 1 2 3 4 x

Garis batas daerah D adalah 12

yx = dan 2y

x = .

Buatlah transformasi u = xy dan yxv= , maka

1 4u xy£ = £ dan 12 2y

xv£ = £ , sehingga da-lam (u,v) daerah pengintegralannya adalah

12{( , ) :1 4, 2}D u v u v= £ £ £ £ .

Determinan Jacobi transformasinya adalah ( , ) ( , ) 2 1

1( , ) 2( , ) 21 1 1x y u v y

yx y x vu v xx

y x∂ ∂∂∂ = = = =-

Luas daerah D adalah

( )11 22

4 2 4 42

1 1 1( , ) 1 1( , ) 2 2 ln (ln2) 3ln 2.

D Dx yu v vdA dudv dvdu v du du∂

∂= = = = =ÚÚ ÚÚ Ú Ú Ú Ú Contoh Jika daerah D di kuadran pertama dibatasi kurva hiperbol x2

- y2 = 1, x2

- y2 = 9, xy = 4, dan xy = 8, hitunglah 2 2( )

Dx y dA+ÚÚ .

y 5 xy = 8 x2

- y2 = 1

3 x2 - y2

= 9 1 0 1 2 3 4 5 x

Buatlah transformasi u = x2 - y2 dan v = xy, ma-

ka {( , ) :1 9,4 8}D u v u v= £ £ £ £ . Ubahlah f (x,y) = x2

+ y2 ke dalam u dan v. Dari (x2

+ y2)2 = (x2 - y2)2

+ 4(xy)2 = u2

+ 4v2 dipero-

leh 2 2 2 24 ,x y u v+ = + sehingga 2 2( , ) 4 .f u v u v= +

Determinan Jacobi transformasinya adalah

2 2 2 2( , ) 1 1( , )

( , )( , ) 2( ) 2 42 21 1x y u v

x yu v x y u vx yy x

∂ ∂∂∂ + +

-= = = = .

Jadi 2 2

9 8 9 82 2 2 21 4 1 4

1 122 4

( ) 4 16.D u v

x y dA u v dvdu dv du+

+ = + ◊ = =ÚÚ Ú Ú Ú Ú

D

xy = 1

xy = 4

D

KI Fs2P 015

Aplikasi integral lipat dua untuk pusat massa dan momen inersia y persegi panjang R d c 0 a b x

y

fungsi y = b (x) fungsi y = a (x) 0 a x b x

y d fungsi fungsi x = g ( y) x = d ( y) c 0 x

Diketahui keping datar D yang rapat massanya di setiap (x,y) ΠD adalah r (x,y), r kontinu pada D. Keping D dapat ditulis dalam dua bentuk,

D = {(x,y) : a £ x £ b, a (x) £ y £ b (x)}, a, b kontinu pada [a,b], D = {(x,y) : c £ y £ d, g (y) £ x £ d (y)}, g, d kontinu pada [c,d].

®massa keping D adalah ( , ) .D

M x y dAr=ÚÚ

®momen massa keping D terhadap sumbu x adalah ( , ) .x DM y x y dAr=ÚÚ

®momen massa keping D terhadap sumbu y adalah ( , ) .y DM x x y dAr=ÚÚ

®pusat massa keping D adalah titik ( , ),x y dengan yM

Mx = dan .xMMy =

®momen inersia keping D terhadap sumbu x adalah 2 ( , ) .x DI y x y dAr=ÚÚ

®momen inersia keping D terhadap sumbu y adalah 2 ( , ) .y DI x x y dAr=ÚÚ

®momen inersia keping D terhadap titik (0,0) adalah 0 .x yI I I= +

Ilustrasi Untuk keping {( , ):0 2, 2 }D x y x x y x= £ £ £ £ , jika rapat massa di setiap titik (x,y) Œ D adalah r (x,y) = 1 + xy, tentukan pusat massanya.

y y = 2x x = 2 y = x 0 x

2 2

0 0( , ) (1 ) 8.

x

DM x y dA xy dydxr= = + =ÚÚ Ú Ú

2 2

0 01415( , ) (1 ) 18 .

xx D

M y x y dA y xy dydxr= = + =ÚÚ Ú Ú 2 2

0 04

15( , ) (1 ) 12 .x

y DM x x y dA x xy dydxr= = + =ÚÚ Ú Ú

Pusat massa keping D adalah ( , ),x y 8151x = dan 11

302 .y =

D

pusat massa

D pusat massa

D pusat massa

D

KI Fs2P 016

Ilustrasi Untuk keping {( , ):0 2, 2 }D x y x x y x= £ £ £ £ , jika rapat massa di setiap titik (x,y) Œ D adalah r (x,y) = 1 + xy, tentukan momen inersia D terhadap sumbu x, sumbu y, dan titik (0,0).

y y = 2x x = 2 y = x 0 x

Momen inersia D terhadap sumbu x, y dan titik 0 adalah 2 22 20 0

13( , ) (1 ) 53 .

xx D

I y x y dA y xy dydxr= = + =ÚÚ Ú Ú 2 22 20 0

23( , ) (1 ) 18 .

xy D

I x x y dA x xy dydxr= = + =ÚÚ Ú Ú 2 2 2 2

0 0 01 23 3( )(1 ) 53 18 72

xx yI I I x y xy dydx= + = + + = + =Ú Ú .

Contoh Keping D terletak di kuadran pertama, dibatasi sumbu x, garis 3y x= , lingkaran x2

+ y2 = 1, dan lingkaran x2

+ y2 = 4. Jika rapat massa

di setiap (x,y) ΠD adalah jarak (x,y) ke (0,0), tentukan pusat massanya. y 2

3y x= 2 2 4x y+ =

1

2 2 1x y+ =

0 1 2 x

Buatlah transformasi ke koordinat kutub, batas D adalah sinar 1

3 3y xq p= ¤ = di kuadran I, sinar 0 sb-xq = ¤ positif, lingkaran r = 1 ¤ x2

+ y2 = 1,

dan lingkaran r = 2 ¤ x2 + y2

= 4. Jadi 1

3{( , ):0 ,1 2}D r rq q p= £ £ £ £ dan rapat massa di setiap (r,q ) Œ D adalah r (r,q ) = r.

Massa, momen massa terhadap sumbu x dan sumbu y keping D adalah

( )2/3 2 /3 2 /32 30 1 0 1 0 1

7 71 13 3 3 9( , ) .M r rdrd r drd r d

p p pr q q q q p p= = = = ◊ =Ú Ú Ú Ú Ú

( ) ( )

/3 2 /3 2 30 1 0 1

2/3 /3 /3400 01

15 15 15 714 4 4 8 8

( , ) ( sin ) ( , ) sin

sin sin cos 1 .

x DM y x y dA r r rdrd r drd

r d d

p p

p p p

r q r q q q q

q q q q q

= = =

= = = - = =

ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú

( ) ( )

/3 2 /3 2 30 1 0 1

2/3 /3 /3400 01

15 15 15 714 4 4 8 8

( , ) ( cos ) ( , ) cos

cos cos sin 3 1 3.

y DM x x y dA r r rdrd r drd

r d d

p p

p p p

r q r q q q q

q q q q q

= = =

= = = = =

ÚÚ Ú Ú Ú ÚÚ Ú

Pusat massa keping adalah ( , ),x y dengan 1,33yMMx = = dan 0,77.xM

My = =

D

D