Top Banner
1 INTEGRAL TAK TENTU
26

INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

Mar 03, 2019

Download

Documents

votuong
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

1

INTEGRAL TAK TENTU

Page 2: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

2

Rumus umum integral

f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)

a dan b = batas pengintegralan

a = batas bawah

b = batas atas

dx = faktor pengintegral

F = hasil integral dari f(x)

=lambang integral

b

a

F(x)f (x) dx

Page 3: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

3

Integral tentu b

a

dx f(x) bilangan

Perbedaan integral tentu dan tak tentu

Integral tak tentu fungsib

a

dx f(x)

Page 4: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

4

Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu

t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke

dalam waduk pada waktu t.

)V(t)V(t dt (t)V' 12

2t

1t

perubahan banyaknya air dalam

waduk diantara t1 dan t2

Penerapan Integral dalam Ilmu Sains

Page 5: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

5

2t

1t

dtdt

d[C][C](t2)-[C](t1)

Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi

kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan

d[C]/dt

perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2

Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri

ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier

adalah (x)=m’(x)

b

a

m(a)m(b)dx ρ(x)

massa dari ruas batang yg terletak

diantara x=a dan x=b

Page 6: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

6

Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka

)n(t)n(t dt dt

dn12

2t

1t

pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2

Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga

)v(t)v(t dt a(t) 12

2t

1t

perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2

Page 7: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

7

RUMUS DASAR & SIFAT

n 1n n 1 n

x x x x

kxkx kx kx

d x1. x n x x dx n 1

dx n 1

d 1 12. lnx dx lnx C

dx x x

d3. e e e dx e C

dx

d e4. e ke e dx C

dx k

x

x a a dx C

ln a

(kf )(x)dx k f (x)dx

f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx

Page 8: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

8

x4 dx = ????

r 1 r g(x)

g(x) dx Cr 1

g(x) = xr = 4

r 1

r

5

r

xC

4 1 5

4+1

g(x)g(x) dx C

1

x C =

Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan

r suatu bilangan rasional bukan -1, maka

Contoh :

Page 9: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

9

INTEGRAL SUBSTITUSI

Integral substitusi yaitu menggantikan suatu

variabel dg variabel baru dalam operasi

pengintegralan

Aturan substitusi

Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu

pada I, maka

f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx

Teknik pengintegralan

u du

Page 10: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

10

1. Hitunglah dx 12x

Page 11: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

11

1. Hitunglah dx 12x

u=2x+1

du=2 dx

dx=1/2 du

C1)(2x3

1

Cu3

1C

3/2

u

2

1

duu2

1

2

duudx 12x

3/2

3/23/2

1/2

Page 12: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

12

INTEGRAL PARSIAL

Bila integral substitusi GAGAL integral parsial

Integral parsial : suatu metode yg didasarkan

pd pengintegralan rumus

turunan hasilkali dari dua fungsi

Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka

Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x)

dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh

u(x) v(x) = u(x) v’(x) dx + v(x) u’(x) dx

Page 13: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

13

atau u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) - v(x) u’(x) dx

krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan

menjadi:Pengintegralan Parsial Tak Tentu

b

a

b

a

b

a

dx (x)u'v(x)v(x) u(x)dx (x)v' u(x)

Pengintegralan Parsial Tentu

b

a

b

a

b

a

du vv udv u

u dv = u v - v du

Page 14: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

14

Gambar diagram u dv=uv-vdu

Page 15: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

15

1. Tentukan lnx dx

Page 16: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

16

1. Tentukan lnx dx

u = ln x

du = 1/x dx

dv = dx

v = x

x

x ln x x C

1ln x dx x lnx x dx

x

ln x dx

Page 17: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

17

INTEGRAL TRIGONOMETRI

2

2

sin x dx = - cos x + C

cos x dx = sin x + C

sec x dx = tan x + C

co sec x dx = -cotan x + C

tan x sec x dx = sec x + C

cotan x cosec x dx = -cosec x + C

Page 18: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

18

INTEGRAL TRIGONOMETRI

Strategi untuk menghitung sinmx cosnx dx

1.Jika pangkat kosinusbil.ganjil (n=2k+1),

simpan satu faktor kosinus dan gunakan

cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa

dalam sinus

sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx

= sinmx (1-sin2x )k cos x dx

kemudian substitusikan u=sinx

du=cosx dx

Page 19: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

19

2. Jika pangkat sinusbil.ganjil (m=2k+1),

simpan satu faktor sinus dan gunakan

sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa

dalam kosinus

sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx

= (1-cos2x)k cosnx sin x dx

kemudian substitusikan u = cosx

du= -sin x dx

NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus

adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)

Page 20: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

20

3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah

bilangan genap, gunakan persamaan sudut-

paruh

sin2x = ½ (1-cos 2x)

cos2x = ½ (1+cos2x)

sinx cosx = ½ sin 2x

Page 21: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

21

1. Tentukan cos3x dx

Page 22: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

22

1. Tentukan cos3x dx

untuk mempermudah dijabarkan menjadi:

cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x

cos3x = cos2x . cos x dx

= (1-sin2x) cos x dx

misal :

u = sin x

du= cos x dx

cos3x = (1-u2) du

= u - 1/3 u3 + C

= sin x – 1/3 sin3x + C

Page 23: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

23

Strategi untuk menghitung tanmx secnx dx

1.Jika pangkat secan bil.genap (n=2k),

simpan satu faktor sec2x dan gunakan

sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg

tersisa dalam tan x

tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx

= tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx

kemudian substitusikan u = tan x

du=sec2 x dx

Page 24: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

24

2. Jika pangkat tangenbil.ganjil (m=2k+1),

simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan

tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa

dalam sec x

tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx

= (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx

kemudian substitusikan u = sec x

du=tan x sec x dx

Page 25: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

25

dxx secx tan Hitunglah 46

Page 26: INTEGRAL TAK TENTU - shintarosalia.lecture.ub.ac.idshintarosalia.lecture.ub.ac.id/files/2012/09/Kalkulus_materi2.pdf3 Integral tentu ³ b a f(x) dx bilangan Perbedaan integral tentu

26

dxx secx tan Hitunglah 46

dxx sec x)tan(1x tan

dxx secx secx tandxx secx tan

226

22646

ingat, sec2x = 1 + tan2x

misal u=tan x

du = sec2x dx

Cxtanxtan

duuu

du u u

du )u(1 udxx secx tan

9917

71

9917

71

86

2646