INTEGRAL [Compatibility Mode]

INTEGRAL

Ol hOleh:Imam Awaluddin

1

PengertianPengertian Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunanPengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatu fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.Keterangan:

∫ : Tanda Integral f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)

dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.

2

Bent k Um m IntegralBentuk Umum Integral

dF(X) / dx = f (x) ; maka ∫ f(x) dx = F (X) + k

Contoh :Contoh :F(X) = 2X2 + 3X + 5dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3

∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + k3

Integral Tak Tent dan TertentIntegral Tak Tentu dan Tertentu• Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak• Jika nilai k tidak didefinisikan (tidak

ditentukan) berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).Integral Tak Tentu (Indefinite Integral).

(4 3)x dx+∫• Jika nilai k didefinisikan (tertentu atau

dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Definite Integral). 5

(4 3)x dx+∫42

(4 3)x dx+∫

ATURAN-ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan pangkatAturan pangkat1

1n

n xd k+

∫ 11

nx dx k nn

= + ≠ −+∫

Contoh: 4 1 5+4 1 5

4

4 1 5x xx dx k k

+

= + = ++∫

5

4 1 5+

Contoh at ran pangkatContoh aturan pangkat0 1 1+0 1 1

0 1 1x xdx k k x k

+

= + = + = ++∫ 0 1 1+

1 1 25 5+1 1 25 551 1 2x xx dx k k

+

= + = ++∫

6


Aturan log natural (aturan pangkat n = -1)Aturan log. natural (aturan pangkat n = -1)

1 ld k+∫ lndx x kx

= +∫Contoh: 3 3lndx x k= +∫ x∫

3 3ln( 1)dx x k+ +∫ 773ln( 1)

1dx x k

x= + +

+∫


Aturan pangkat dari suatu fungsi linearAturan pangkat dari suatu fungsi linear1( )( )

nn mx dmx d dx k

+++ = +∫ ( )

( 1)mx d dx k

m n+ = +

+∫

Contoh:1untuk n ≠ −

Contoh: 2 1

2 3( 1) 1( 1) ( 1)1(2 1) 3xx dx k x k

+++ = + = + +

+∫88

1(2 1) 3+∫

Contoh lainContoh lain

5 1 65 (3 2) (3 2)(3 2)

3(5 1) 18x xx dx k k

++ ++ = + = +

+∫ 3(5 1) 18+∫

5 1 4(4 2) (4 2)x x− + −

∫ 5 (4 2) (4 2)(4 2)4( 5 1) 16x xx dx k k− − −

− = + = +− + −∫

9


Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n = -1Aturan pangkat dari suatu fungsi linear n -1

1( ) dxmx d dx−+ =∫ ∫( )( )

ln( )mx dmx d

++

∫ ∫

Contoh:

ln( )mx d km+

= +Contoh:

1 ln(5 9)(5 9) dx xx dx k− −− = = +∫ ∫

101010

(5 9)(5 9) 5

x dx kx

+−∫ ∫


Aturan fungsi eksponensial dg basis eAturan fungsi eksponensial dg basis ex xe dx e k= +∫

( )( )

mx dmx d ed k

++

∫

∫Contoh:

( )mx de dx km

+ = +∫Contoh:

(4 10)(4 10)

xx ee dx k

++ = +∫

1111114∫


Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b

k 1x

x bb d k b∫ untuk 1ln

xb dx k bb

= + ≠∫Contoh:

2 2x x2 22ln 2 0,69315

x xx dx k k= + = +∫

121212

,


Aturan fungsi eksponensial dg basis bAturan fungsi eksponensial dg basis b( )

( ) untuk 1mx d

mx d bb dx k b+

+ = + ≠∫Contoh:

, untuk 1ln

b dx k bm b

= + ≠∫(3 5)

(3 5) 223ln 2

xx dx k

++ = +∫

(3 5) (3 5)3ln 2

2 2x x

k k+ +

= + = +1313133(0,69315) 2,07944

k k


Aturan fungsi logaritma naturalAturan fungsi logaritma natural

ln (ln 1)xdx x x k= − +∫( )[ln( ) 1]ln( ) mx d mx dmx d dx k+ + −

+ = +

∫

∫Contoh:

ln( )mx d dx km

+ +∫Contoh:

(6 2)[ln(6 2) 1]ln(6 2)6

x xx dx k+ + −+ = +∫

14141414

( )6∫

ATURAN ATURAN INTEGRASIATURAN-ATURAN INTEGRASI

Aturan substitusi

du∫ ∫( ) ( ) ( )duf u dx f u du F u k

dx= = +∫ ∫

dimana ( ),u g x

d d k b i i b d

=

∫ ∫dan du merupakan substitusi bg dx∫ ∫15

contohcontoh5(3 2)x dx+∫

misalkan

(3 2)x dx+∫(3 2)x u+ = 13du dx du→misalkan (3 2) ,x u+ = 3

3dx du

dx= → =

51⎛ ⎞ 55 5 1(3 2)

3 3ux dx u du du⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫5 6(3 2)

3 18u xdu k+

= +∫16

3 18∫

Contoh lain 22 ( 1)x x dx+∫Contoh lain 2 ( 1)x x dx+∫2( 1) 2du dudmisalkan 2( 1) , 2

2du dux u x dxdx x

+ = = ⇒ =

d22 ( 1) 2 ( )2dux x dx x u u du

x+ = =∫ ∫ ∫

2 2 2( 1)2 2u xu du k k+

= + = +∫4 2 4 2

2 21 1( 2 1) ( 2 )k k+ + + + +

∫

17

4 2 4 2( 2 1) ( 2 )2 2

x x k x x k= + + + = + +

Integral TertentIntegral Tertentu

Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.

Xa : Batas terendah dari integrasi;Xb : Batas tertinggi dari integrasi.bx

( ) ( ) ( ) ( )b

b

a

xxf x dx F x F b F a= = −∫

18ax

Integral TertentIntegral Tertentub

a∫f(x) Luas L ( ) ( ) ( ) ( )a

ba

f x dx F x F b F a= = = −∫

f(x)Luas L

x1 = a0 x2 = b

19

1x

2

contohcontoh55 3 55 3 52 3 3 3

11

33 5 13xx dx x= = = −∫

11 3125 1 124= − =

20

contohcontoh2 32

20

0

3 3ln( 1)1

dx xx

= ++∫

0 1

3ln(2 1) 3ln(0 1)

x +

= + − +3ln 3 3ln1= −3(1,09861) 03 29584

= −=

213, 29584=

Contoh lain3 6x dx∫Contoh lain 20 1

dxx +∫

2 du dumisalkan 2( 1) , 22

du dux u x dxdx x

+ = = ⇒ =3 3 36x du1 1

20 0 0

6 6 ( ) 321

x dudx x u u duxx

− −= =+∫ ∫ ∫

0 0 033 2

0 03ln 3ln | 1|u x= = +2 23ln | 3 1| 3ln | 0 1|= + − +

223ln10 3ln 0 6,90776= − =

Contoh bon sContoh bonus2 232 2

3 23

( 1)x dx+∫1.

3 20 ( 1)x +∫

22

24 xxe dx+∫2

1

4xe dx∫2.

23

C t h bContoh bonus1010

22 xe dx−∫3.4

0∫ 4

1/2 1/2( 3 )x x dx− +∫5.3

24 xe dx∫41

( )∫

0

4e dx∫4.

24

Penerapan IntegralPenerapan Integral

F i bi t t l (TC)Fungsi biaya total (TC)Fungsi penerimaan total (TR)Fungsi utilitas total (TU)Fungsi produksi total (TP)g p ( )Fungsi konsumsi (C) dan tabungan (S)In estasi dan pembent kan modalInvestasi dan pembentukan modalSurplus konsumen (SK) dan surplus

d ( )produsen (SP)25

∫ ∫TC MC dQ= ∫ TR MR dQ= ∫∫TU MU dQ= ∫ TP MP dX= ∫

C MPC dY= ∫ S MPS dY= ∫∫ ∫( ) ( )K t I t dt= ∫

26

∫

Contoh soalContoh soal

Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit biaya total 125; Tentukan Fungsi Biaya Total (TC)Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR = 5 – 3Q; Tentukan fungsi TR dan AR.Diketahui fungsi Produk marginal :Diketahui fungsi Produk marginal : MP = 9 + 16X – 3X2; Tentukan Fungsi Produksi Total (TP)Produksi Total (TP)

27


Dik h i K d k i i lDiketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal Propensity to Consume): MPC = 0,8

d K i d t d t N l; dan Konsumsi pada saat pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, ; Tentukan Fungsi konsumsi ( C)konsumsi ( C)Diketahui fungsi kecenderungan tabungan marginal (Marginal Propensity to Save) :marginal (Marginal Propensity to Save) : MPS = 0,3 – 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan Nol (S 0) Pendapatan ( Y 81); Tentukan Fungsi(S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan 28


Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi (TC) = 90 y p ( )diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC

29

Surplus Konsumen pdan Surplus Produsen

P

P0d

Surplus KonsumenS

Pe

E

DP0s

Surplus Produsen

30Qe Q0

S rpl s Kons men (SK CS)Surplus Konsumen (SK = CS)

Jika fs. Permintaan : P = f(Q)

( )eQSK f Q dQ P Q∫0 ( )d e eSK f Q dQ P Q= −∫

Jika fs. Permintaan : Q = f(P)

0dP

∫0 ( )

e

PdP

SK f P dP= ∫31

S rpl s Prod sen (SP PS)Surplus Produsen (SP = PS)

Jika fs. penawaran: P = f(Q)

( )eQS Q f Q dQ∫0 ( )eQ

e e sSP P Q f Q dQ= − ∫Jika fs. penawaran: Q = f(P)

P

∫0

( )e

s

PsP

SP f P dP= ∫3232

ContohContohDiketahui fungsi permintaan:Diketahui fungsi permintaan:

Q = 60 – 4P P = 15 – 0,25QFungsi penawaran:

Q = – 30 + 5P P = 6 + 0,2QsQ QKeseimbangan pasar : QD = QS

30 + 5P = 60 4P 9P = 90– 30 + 5P = 60 – 4P 9P = 90Pe = 10, Qe = 20

33

Fungsi Permintaan: Q = 60 – 4P P = 15 – 0 25QFungsi Permintaan: Q = 60 – 4P P = 15 – 0,25QFungsi penawaran: Q = – 30 + 5P P = 6 + 0,2Qs

P

15

Surplus KonsumenS

10E

D6Surplus Produsen

3420 Q0 60

( )eQSK f Q dQ P Q= −∫Cara I

0( )d e eSK f Q dQ P Q= −∫Cara I

20

0(15 0, 25 ) (10)(20)SK Q dQ= − −∫

202015 0,125 200Q Q⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

2{[12(20) 0,125(20 )] 0} 200250 200 50

= − − −= − =250 200 50= =

35

( )eQSP P Q f Q dQ∫Cara I

0( )e e sSP P Q f Q dQ= − ∫Cara I

20

0(10)(20) (6 0, 2 )SP Q dQ= − +∫

2020200 6 0, 2Q Q⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

2200 {[6(20) 0, 2(20 )] 0}200 160 40

= − + −= − =200 160 40= =

36

Cara II0 ( )dP

SK f P dP= ∫Cara II ( )e

dPSK f P dP= ∫

15

10(60 4 )SK P dP= −∫

[ ]15210

2 2

60 2P P= −2 2[60(15) 2(15 )] [60(10) 2(10 )]

[900 450] [600 200] 50= − − −= − − − =[900 450] [600 200] 50

37

Cara II ( )ePSP f P dP= ∫

10

Cara II0

( )s sPSP f P dP= ∫

10

610

( 30 5 )SP P dP= − +∫1026

2 2

30 2,5

[ 30(10) 2 5(10 )] [ 30(6) 2 5(6 )]

P P⎡ ⎤= − +⎣ ⎦2 2[ 30(10) 2,5(10 )] [ 30(6) 2,5(6 )]

[ 300 250] [ 180 90] 40= − + − − += − + − − + =[ ] [ ]

38


Fungsi permintaan: P = 16 – Q2,Fungsi penawaran : P = 4 + Q.g pCarilah surplus konsumen dan surplus

produsen.produsen.

39

Fungsi permintaan dan penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan:Qd = 11 – P dan Qs = 2P – 4.Tentukan besarnya surplus konsumen danTentukan besarnya surplus konsumen dan surplus produsennya.

40

Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollar pertahun) yaitu ( ) ( p ) yaliran yang tidak konstan. Apa yang terjadi dengan pembentukan modal selama interval waktu (1, 4), yaitu selama tahun kedua, ketiga, dan keempat.

41

S l t B l tihSelamat Berlatih

wassalam

42

INTEGRAL [Compatibility Mode]

Documents