initial value problem indo ver

7/25/2019 initial value problem indo ver

1/55

BAB VI

PERSAMAAN DIFFERENSIAL: KASUS IVP

Kompetensi:

Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa:

1. Mampu mengidentifikasi berbagai bentuk persamaan differensial yang sering

ditemukan dalam bidang Teknik Kimia.

2. Mengenal berbagai metode penyelesaian persamaan differensial kasus !".

#. Mampu menyelesaikan problem persamaan differensial kasus !" dengan

metode yang sesuai.

$. Mampu menginterpretasikan hasil penyelesaian persamaan differensial kasus

!" untuk aplikasi bidang Teknik Kimia.

6.1. Pendah!an

"ersamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan

fungsi dari satu atau lebih %ariabel terikat terhadap satu atau lebih %ariabel bebas.

Selanjutnya jika dalam persamaan tersebut turunan fungsi itu hanya tergantungpada satu %ariabel bebas, maka disebut "ersamaan &ifferensial 'iasa ("&') dan

bila tergantung pada lebih dari satu %ariabel bebas disebut "ersamaan &ifferensial

"arsial ("&").

*=+

+

xyt

y

x

y

+ontoh:

1. ("ersamaan &ifferensial "arsial)

#2

2

2

=

+ xdx

dy

dx

yd

dx

dy

2. ("ersamaan &ifferensial 'iasa)

)()(-)(.....)()( 1)1(

1

)(

xFyxayxayxayxa nnnn =++++

rde suatu

persamaan differensial biasa adalah orde tertinggi dari turunan dalam persamaan


2/55

F(x , y ', y ' ', .. , y ( n))=0 . +ontoh nomor dua adalah persamaan differensial

biasa orde dua. "ersamaan differensial biasa orde n dikatakan linier bila dapat

dinyatakan dalam bentuk.

(/.1)

dengan

)( xa

1. 0ika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.

2. 0ika koefisien

)(),.....,(),(1

xaxaxan

konstan maka disebut persamaandifferensial linier dengan koefisien konstan. 0ika koefisiennya tidak konstan,

maka disebut persamaan differensial linier dengan koefisien %ariabel.

#. 0ika

)( =xF, maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika

)( xFdisebut tidak homogen.

"ersamaan differensial itu terbagi berdasarkan :

1. 'erdasarkan pangkat orde :

a. "ersamaan differensial biasa orde satu

kxydx

dy=+

(/.2)

"ersamaan differensial orde satu merupakan bentuk persamaan differensial yang

paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi

yang tidak diketahui. 0ika dalam persamaan tersebut %ariabel bebas dan %ariabel

tak bebasnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka

disebut persamaan differensial yang terpisah dan untuk menentukan selesaiannya

perlu diintegralkan. 0ika tidak demikian, maka disebut persamaan differensial tak

terpisah. Suatu persamaan differensial orde satu yang tak terpisah biasanya dapat

dengan mudah dijadikan persamaan differensial terpisah melalui penggantian

(substitusi) dari salah satu %ariabelnya.


3/55

b.

kxdt

dyy

dx

yd=+

2

2

"ersamaan differensial biasa orde dua

(/.#)

.

kxdx

dyb

dx

yda

dx

yd=

++

2

2

2

#

#

"ersamaan differensial biasa orde tiga

(/.$)

2. 'erdasarkan kondisi batas:

a. !" (Initial Value Problems), bila nilai %ariabel tak bebas atau turunannya

diketahui pada kondisi nilai mulamula.

b. '!" (Boundary Value Problems), bila nilai %ariabel tak bebas atau

turunannya diketahui lebih dari satu nilai %ariabel bebasnya.

6.". Pe#samaan Di$$e#ensia! Pa#sia! pada Kass IVP

Initial Value Problem(!") merupakan materi yang penting untuk dipelajari

oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar !" adalah masalah sementara yaitu,

%ariabel%ariabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu ontoh

permasalahan yang bisa diselesaikan dengan !" dalam bidang teknik kimia

adalah %ariasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reaktor bath.

&3 (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial

yang berisi turunan dari satu %ariabel independen, sementara itu "&3 berisi

turunan dari %ariabel independen yang lebih dari satu. "ada persamaan differensial

biasa (&3), hanya terdapat 1 %ariabel bebas. "enyelesaian persamaan

differensial biasa (&3) dapat dilakukan dengan $ metode yaitu :

Metode 3uler (34pliit)

MetodeRunge Kutta

Metode 3uler Modifikasi (mplisit)

Metode Trape5oidal

Initial Value Problem(!") terbagi # yaitu :


4/55

a. Single, First Order ODE

),( yxfdx

dy

="ersamaan untuk !" Single First Order ODE bisa ditulis

mengikuti bentuk:

(/.*)

dimana :

y (x0 )=y0 (/./)

Metode penyelesaian Single First Order ODEada # yaitu:


MetodeRunge Kutta

Metode 3uler Modifikasi (mplisit)

b. Systems of Coupled First Order ODE

"ersamaan untuk !" Systems of !ou"led First Order ODE bisa ditulismengikuti bentuk:

dy1

dx= f1(y1 , y2) (/.6)

dy2

dx= f2(y1 , y2) (/.7)

"ermasalahan yang lebih umum akan menjadi salah satu dimana f# danf$

juga fungsi dari %ariabel independen, 4 yaitu

dy1

dx= f1(x , y1 , y2) (/.8)

dy2

dx= f2(x , y1 , y2) (/.1)

Metode penyelesaian Systems of !ou"led First Order ODEada # yaitu:



5/55

MetodeRunge Kutta

Metode Trape5oidal

c. Initial Value Partial Diffrential Equations

+ontoh9ontoh permasalahan dalam bidang teknik yang diselesaikan

dengan !" :

a. ntuk menghitung panjang lintasan bisbol yang dilempar dari bidang tengah

lapangan bisbol ke %ome "late (lihat ;ambar /.1).


6/55

md

2x

dt2=k

dx

dt(dx

dt)2

+( dydt)2

md

2y

dt2=k

dy

dt(dx

dt)2

+( dydt)2

mag

dimana

x=0

y=8 ft

pada t ? dx

dt=V0cos

dy

dt=V0 sin

"erhatikan bahwa semua kondisi yang diketahui ditentukan pada satu kondisi

waktu (yaitu, t ? ) dan dengan demikian ini merupakan kondisi awal dari

masalah.

Trajetory of 'aseball

+enterfielder @ome "late


7/55

%am&a# 6.1. Aintasan 'isbol

leh karena itu, masalah ini adalah masalah nilai awal (!") karena semua

kondisi tertentu untuk satu nilai dari %ariabel independen (t) yaitu .

4? 4?2* ft

t? t?# se

y?/ y?1 ft

ntuk menemukan lintasan yang ook untuk kondisi batas akan mewakili

Boundary Value Problem('!").

b. &iasumsikan reaktor bath nonisotermal yang dioperasikan pada keadaan

adiabatik (tidak ada pertukaran panas diantara reaktor dengan lingkungan).

Beaktor dapat dilihat pada ;ambar /.2. &alam reaktor terdapat reaksi

ampuran airan dengan reaksi

< "

dimana r ? k+


8/55

dT

dt=

HR!k0CA VR VR CP

exp (ERT

)

"ersamaan ini kirakira mendekati persamaaan

dCA

dt =k0CA exp (

ERT

)

yang menjelaskan dimana konsentrasi < dan temperatur dalam sistem akan

berubah terhadap waktu. Seara umum, panas reaksi tidak akan berpengaruh

besar pada temperatur, sehingga persamaan

dCA

dt =k0CA exp (

ERT

) dan

dT

dt=

HR!k0 CA VR VR CP

exp (ERT

)bisa menjadi

dCA

dt ="1CA exp (

ERT

)

dCA

dt

="2CA exp (E

RT

)

dimana T?T dan +


9/55

6.'. Metode E(p!i)it E!e#

6.'.1. Unt* sat PDB

Metode 3kplisit 3uler disebut juga metoda integrasi nilai awal, dimana

kondisi awal(x0, y0) digunakan untuk menghitung slope y(4) pada saat 4 ? 4

dy

dx=f(x0 , y0)

kemudian diasumsikan bahwa slope dy /dx tetap konstan untuk jarak yang

keil

x , maka nilaiy (x0+ x) adalah

y (x0+ x)=y (x0 )+ xf(x0 , y 0)

Bekursi umum hubungan metode 34pliit 3uler adalah

y (xi+ x )=y (xi )+ x f[xi , y(xi)]

atau

y i+1=yi+ x f(xi , yi)

6.'.". Unt* Le&ih da#i 1 PDB

Metode 34pliit 3uler disajikan pada bagian terakhir dapat langsung

diperpanjang untuk solusi sistem n(&ou"led first order ODE)s. @al ini karena

masingmasing dyi>d4 bergantung seara umum pada semua nilai yi, masing

masing fi(4,y) dihitung sebelum nilai baru yi dihitung. leh karena itu, algoritma

ini

y1,#+1=y1, #+ x f1(x# , y #)

y2,#+1=y2, #+ x f2(x# , y #)

.


10/55

Indentifkasi soalMasukkan data awal yang ada kedalam tabel

Jika :

= F (x, y1, y2 , ....yn)= F (x, y1, y2 , ....yn)

= F (x, y1, y2 , ....yn)

etntukan !ange data

"ntuk meng#itung data selan$utnya, maka menggunakan :

%1, $&1 = y1,$ & 'x F($ , %1, $ , %2, $ ....... %n, $)

%2, $&1 = y2,$ & 'x F($ , %1, $ , %2, $ ....... %n, $)

%n, $&1 = yn,$ & 'x F($ , %1, $ , %2, $ ....... %n, $)

.

.

yn , #+1=yn , #+ x fn(x# , y #)

dimana yi? (y1,j, y2,j, ..., yn,j). Sebagai ontoh, yi,j adalah nilai yipada kej nilai 4

(yaitu bila kondisi awal yang ditentukan saat 4?, maka jke nilai 4 akan menjadi

jD4).

Karena metode ini didasarkan pada metode 3uler 34pliit, ini adalah

metode orde pertama. 'ergantung %ariabel (yi) yang paling epat berubah

biasanya menentukan apakah metode ini akan stabil untuk ukuran langkah yang

diberikan. ntuk ontoh pengantar pada bagian ini, konsentrasi berubah dengan

epat dengan waktu, kemudian akan menentukan ukuran langkah yang diperlukan

untuk stabilitas.

Mekanisme "enyelesaian Seara Eumberik dengan 34pliit 3uler adalah

sebagai berikut :

+ontoh soa!

&engan 1 "ersamaan &iferential biasa Metode e4pliit euler


11/55

Soa! 1 :

@itung nilai y pada 4 ? 1 dengan metode 3uler jika persamaannya

dy

dx=x2y

dimana y ? 1 pada saat 4 ?

"enyelesaian:

Aangkah 1. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy>d4 ? f(4,y)

maka

dy

dx=x2

y

Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk e4pliit euler

yi*# + yi* ,x f -xi yi.

maka

yi*# + yi* ,x xi$yi

Aangkah #. "ilih,x yang tepat lalu selesaikan


12/55

G4 y (4?1)

,1 1,#2

,* 1,#**8

,2 1,#682

,1 1,#76#

.2 .* .+ . .1 .12

1.2

1.-

1.-2

1.-*

1.-+

1.-

1.*

1.*2

x

y (x=1)

%am&a# 6.'. "erbandingan nilai analitis dengan nilai yang didapat dengan

metode 3uler

Soa! " :

Eilai


13/55

dnA

dt =10

0.1nA2

50+10 t

dimana n< ? pada saat t ?

;unakan metode e4pliit euler dan tentukan konsentrasi < (n


14/55

0adi, konsentrasi < (nliter

'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara n


15/55

g H(t)=0.5 () )24 f

&imana

f=0.0791 /1 /4

&an

= 4 (

& *+

dan

() )= 4(

& * +2

+atatan bahwa dan * adalah fluid density dan 2is&osity. Substitusikan

sehingga:

8(0.0791)(2

&2+

(

4(

& * +

)g H(t)=


16/55

i T H

0 2

1 2,//-+*

2 1 -,2

03 1 *,*1/

1+4 2 ,+*

+5 2 ,-

/16 - ,//

/7 - +,-++-

18 * +,+/+

* +,/*

/10 0,2-/+

111 0,*+**

2+12 + 0,++-2

2*13 + 0,-/2

/14 0 0,//*

*+15 0 ,1-*

/116 ,20-

1

17 ,-++/2

18 / ,*+*

1 / ,1*

2+20 1 ,+2

//21 1 ,+/0/

*22 11 ,0/+

1


17/55

! . .

! . .

! . .! . .

! . .

161 /,20*

0162 1 /,20*

0163 1 /,20*

0164 2 /,20*

0165 2 /,20*

0166 - /,20*

0167 - /,20*

1 2 - * + 0 /

/

/.2

/.*

/.+

/.

1

1.2

H

%am&a# 6.. ;rafik nilai @

Soa! - :

&engan lebih dari 1 "&' kasus !" metode euler :


18/55

Sebuah reaktor sistem bath non isothermal beroperasi seara adiabatik. &i

dalam reaktor berlangsung reaksi homogen fase air < 9" dengan keepatan reaksi

r ?K +a dan k ? k e4p (E

RT )

dengan :

+a ? Konsentrasi mol dan B ? ,721$. Tentukan berapa konsentrasi dan suhu

pada waktu sampai t?2* detik.

0awab :

Aangkah 1 :

Masukkan nilai +a, T pada saat t ? kedalam 2 persamaan diatas kedalam tabel

yang sudah tersedia

Aangkah 2 :

ntuk menari nilai +a dan T pada t ? 1, masukkan ke persamaan berikut

+a iH1? 1 H 1 L (,1L 1 e4p (1

0,8314100 ) )

T iH1 ? 1 H 1 L (,2L 1 e4p (1

0,8314100 ) )

i , +a ,

/ 1 1

1 1 ,811$/2 88,72282

" 2 ,7#671 88,//1*/

' # ,6*62*/ 88,*1$*1

- $ ,/82* 88,#7*

* ,/2817$ 88,2*7#6

6 / ,*6#*27 88,1$6/

0 6 ,*2272 88,$*/

7 ,$6/*/8 87,8*#1$

2 8 ,$#$$28 87,7/77/

1/ 1 ,#8/18 87,682$

11 11 ,#/18 87,6222

1" 12 ,#288/ 87,/*718

1' 1# ,#6 87,/1

1- 1$ ,26#$81 87,*$/87


20/55

1 1* ,2$8#2 87,$87/$

16 1/ ,226276 87,$*$*6

10 16 ,2622 87,$1$$

1 17 ,17778# 87,#6668

12 18 ,16222 87,#$$$

"/ 2 ,1*/876 87,#1#86

"1 21 ,1$#116 87,27/2#

"" 22 ,1#$62 87,2/8$

"' 2# ,1178$/ 87,2#678

"- 2$ ,17$#6 87,21/76

" 2* ,877*7 87,18662

Soa! :

&engan 2 "&' kasus !" e4pliit euler :

&iketahui persamaan differensial sebagai berikut:

dCA

dt ="1CAexp(ERT)

dTdt="2 CA exp(ERT)

&imana +


21/55

dy

dx=f(x , y)

maka

dy

dx=f(x , y )=

dCA

dt ="1 CA exp(ERT)

Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk 34pliit 3uler

y1,#+1=y1, #+ x f1(x# , y #)

maka

CAi+1=CA

i+ t "1CA

iexp(ER Ti)

Ti=Ti+t "2CAiexp(ERTi)

dimana T ? # K dan +liter

Aangkah #. "ilih Dt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas

ntuk Dt ? ,2

I t NA ,

1

2

.

.

.

2*

.

.

.

*

,2

,$

.

.

.

*

.

.

.

1

1

,8882/$

,887*28

.

.

.

,1*#/26

.

.

.

,2#/2

#

#,6#*7

#,1$61

.

.

.

#7,$/#627

.

.

.

#8,6/8#6/


22/55

0adi, konsentrasi < (+liter dan T ? #8,6/8#6/ K

'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara +


23/55

dimana

k1

=f(x , y )

k2=f(x+n x, y+n k1 x)

k3=f(x+m x , y+m k2 x)

k4= f(x++ x , y+m k3 x)

konfigurasi ini dipilih dengan tujuan untuk mendapatkan pendekatan slo"e y

terhadap G4 yang lebih baik. &engan menuliskan perluasan deret Taylor untuk k1,

k2, k#,dan k$ kemudian mensubtitusikannya ke persamaan (/.1/), akan diperoleh

persamaan yang bentuknya mirip dengan persamaan (/.1*). Kemudian, dengan

menyamakan koefisien yang %ariabelnya sama dan mengasumsikan nilai untuk n,

m, dan p, maka nilai a, b, , dan d dapat ditentukan.

'erikut ini adalah persamaan umumRunge Kutta(n? , m?1>2, dan p? 1)

yi+1=yi+ x

6(k1+2k2+2k3+k4)

dimana

k1=f(x i , yi)

x i+1

2 x , y i+

1

2k1 x

k2=f)

xi+1

2x , yi+

1

2k2 x

k3=f )

x i+ x , y i+k3 xk4=f )

6.-.". Unt* !e&ih da#i 1 PDB

&alam ara yang mirip dengan pengembangan metode 3uler 34pliit,

metodeRunge Kuttadapat diterapkan langsung ke solusi dari a set of &ou"led first


24/55

order ODE)s. Mempertimbangkan urutan metodeRunge Kuttakeempat disajikan

dalam bagian terakhir. Eilainilai k1ditentukan untuk masingmasing bergantung

%ariabel dan kemudian nilai ini digunakan untuk menghitung nilainilai k2, dan

sebagainya. Kemudian hubungan rekursi untuk metode Runge Kutta urutan

keempat diberikan sebagai :

y1,#+1=y1, #+ x

6 [k1, i , #+2k2, i , #+2k3, i , #+k4, i , # ]

dimana y,i,j adalah nilai ike bergantung %ariabel setelah langkahlangkah j dalam 4

dan

k1, i , #=fi(x , y1, # , y2,# , , yn , # )

k2,i , #= fi(x+ x

2, y1,#+

x

2k1,1,# , , yn , #+

x

2k1,n , #)

k3,i , #= fi(x+ x

2, y1,#+

x

2k2,1,# , , yn , #+

x

2k2,n , #)

k4, i , #=fi(x+x , y1,#+ x k3,1,# , , y n, #+x k3, n, #)

Metode ini adalah metode urutan keempat. "erilaku stabilitas metode ini

akan serupa dengan yang dari metode 3uler 34pliit.

ntegrator 34pliit dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menyesuaikan

ukuran langkah 4 selama proses integrasi. Sebagai ontoh, '4 dapat dipilih

sedemikian rupa sehingga perubahan relatif maksimal dalam setiap %ariabel

adalah " persen. &engan ara ini, ketika %ariabel%ariabel bergantung yang

berubah dengan epat, ukuran langkah keil dapat digunakan, dan ketika merekaberubah lebih epat, langkahlangkah lebih besar dapat diambil.

P yi

100 fi (x0 , y0 )

x=min i?1,2,...,n

"rosedur ini harus menghasilkan proses integrasi yang lebih efisien. Selain

itu, " biasanya harus antara 1 dan 2, sehingga memeriksa keakuratan

ditentukan lebih langsung.


25/55

Indentifkasi soalMasukkan data awal yang ada kedalam tabelJika :

= F (x, y1)

etntukan !ange data

"ntuk meng#itung data selan$utnya, maka menggunakan :

%, $&1 = yi & 'x3+ x (41 &242 & 24- & 4*)

entukan 41, 42, 4-, 4*

Mekanisme "enyelesaian Eumberik dengan Metode Bunge Kutta

Soa! 1 :

&engan 1 "&' kasus !" metode range kutta :

&iketahui persamaan differensial sebagai berikut:

dy

dx=x2y

&imana y ? 1, pada 4 ? . Tentukan nilai y pada saat 4 ? 1 dengan metode Bunge

KuttaN

"enyelesaian:

Aangkah 1. bah persamaan ke bentuk dy>d4 ? f(4,y)

dy

dx=x2y

Aangkah 2. bah persamaan tersebut ke bentukRunge Kutta

k1=f(x i , yi)

x i+1

2 x , y i+

1

2k1 x

k2=f)


26/55

x i+1

2 x , y i+

1

2k2 x

k3=f)

xi+ x, y i+k3 xk4=f )

maka

k1=02x 1=0

k2=(0+0.5x 0.1)2x1=0.0025

k3=(0+0.5x0.1 )2x (1+0.0025x0.5x 0.1)=0.0025

1

k4=(0+0.1)2x H.2*4.1) ? .1

Aangkah #. Tentukan nilai yiH1 dengan persamaan

yi+1=yi+ x

6(k1+2k2+2k3+k4)

Aangkah $. "ilih nilai G4 yang tepat, lalu selesaikan

ntuk G4 ? 1

i F O k 1 k2 k# k$

1 ,2* ,2* ,1#

1 ,1

1,##

#

,1

#

,22*1

8

,22*#

# ,$1#


27/55

2 ,2 1,2/6

,$1

6

,/268

2

,/27/

# ,87/

# ,#

1,8$

1

,871

$

,12$1/

$

,12$#/

7 ,1/#$#/

$ ,$

1,21*/

# ,1/#$*

,27*2

1

,2786

7 ,2//1*

* ,*

1,$2*$

6

,2//#

6

,#18#1

# ,#22 ,#7/7$$

/ ,/

1,6$/*

*

,#7/76

/

,$/221

*

,$/#7

/ ,*$8#7

6 ,6 1,12112/

,*$8#*

2

,/$/7

$

,/$77

$ ,6*8$$

7 ,7

1,17/8

*

,6*81

1

,77$#6

/

,7778

2 1,#26#7

8 ,8

1,26*/

8

1,#27

/

1,186#*

* 1,2$67 1,#8**$6

1 1

1,#8*/1

2

1,#8*/1

2

1,/1**8

/

1,/2662

2 1,77*/$*

0adi nilai y pada saat 4?1 adalah 1,#8*/12.

'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan 4

.2 .* .+ . 1 1.2

.2

.*

.+

.

1

1.2

1.*

1.+

x

y


28/55

%am&a# 6.0. @ubungan konsentrasi < (n


29/55

BungeKutta Method:

k1= f(x i , yi )= dnA

dt = 0.1nA

2

0.07525nA

k2= 0.1 ( nAi+0.5k1 t)

2

0.07525 (nAi+0.5 k1 t)

k3= 0.1(nAi+0.5 k2 t)

2

0.07525 (nAi+0.5k2 t)

k4= 0.1 (nA i+k3 t)

2

0.07525 ( nAi+k3 t)

nA i+1=nA i+ t

6(k12k22k3 k4)

t=1

% ti k1 k2 k3 k4 nA &'

ktt

0 ,01*56

,02*56

,02*56

,0--56

,1

1 1 ,0--56

,0*256

,0*256

,0256

,10

2-+2 2 ,0256

,0+156

,0+156

,00156

,111*

++1

3 - ,00156

,056 ,056

,0/56

,110220*

4 * ,0/56

,56 ,56 ,/56

,12-

05 ,/56

,1/56

,1/56

,2/56

,12

0-6 + ,2/56

,-56

,-56

,*56

,1-*+

2+27 0 ,*56

,56

,56

,+56

,1**

+*8 ,+56

,056

,056

,056

,1*+-

22-


30/55

/ ,056

,/056

,/056

,/056

,121

//

10 1 ,/056

,/1056

,/1056

,/2056

,1/02

11 11 ,/2056

,/-056

,/-056

,/*056

,1+*

1**12 12 ,/*056

,/056

,/056

,/+56

,1+//

1013 1- ,/+56

,/056

,/056

,/56

,10/

/214 1* ,/56

,//56

,//56

+,56

,11

015 1 +,56

+,1/56

+,1/56

+,2/56

,10

216 1+ +,2/56

+,-/56

+,-/56

+,56

,1/-/

-/17 10 +,56

+,+56 +,+56

+,0156

,1///

*-*18 1 +,0156

+,156

+,156

+,/256

,11+

-+1 1/ +,/256

+,1256

+,1256

+,11-56

,1112

*020 2 +,11-56

+,12-56

+,12-56

+,1-*56

,1111

+/21 21 +,1-*56

+,1*56

+,1*56

+,156

,112*-

1-22 22 +,156

+,1++56

+,1++56

+,10056

,11-*

*/23 2- +,10056

+,156

+,156

+,1/56

,11-++

2/24 2* +,1/56

+,2/56

+,2/56

+,2256

,11*2

25 2 +,2256

+,2-156

+,2-156

+,2*256

0*01140

177

;rafik :


31/55

1 1 2 2 -

.1

.1

.1

.1

.1.1

.1

Soa! ' :

&engan 2 "&' kasus !" metode Bunge Kutta

&iketahui:

dy1

dx=

10y1y2 exp (y1 /100)

1+x2

dy2

dx=y1y2 exp (y1/100)

1+x2

dimanay1=y2=0.5 at x=0

hitungy1 and

y2 at x=1.0 menggunakan metode BungeKutta.

Solution


32/55

k1,1=dy1

dx=

10y1y2 exp (y1/100)

1+x2

k1,2=dy2

dx=y1y2 exp (y1/100)

1+x2

k2,1=

10 (y1+0.5 x k1,1 ) (y2+0.5 x k 1,2 )exp ( (y1+0.5 x k 1,1 )100 )1+(x i+0.5 x )

2

k2,2=

(y1+0.5 x k 1,1 ) (y2+0.5 x k1,2 )exp( (y1+0.5 x k1,1 )100 )1+(xi+0.5 x)

2

k3,1=

10 (y1+0.5 x k2,1) (y2+0.5 x k2,2 )exp ((y1+0.5 x k 2,1 )100 )1+(xi+0.5 x)

2

k3,2=

(y1+0.5 x k 2,1 ) (y2+0.5 x k2,2 )exp( (y1+0.5 x k2,1 )100 )1+(xi+0.5 x)

2

k4,1=

10 (y1+ x k 3,1 ) (y2+ x k3,2 )exp( (y1+ x k 3,1)100 )1+(xi+ x )

2

k4,2=

(y1+x k 3,1 ) (y2+ x k3,2)exp( (y1+ x k3,1 )100 )1+(xi+ x )

2

yi+1,1=yi ,1+ x

6(k1,12k2,12k3,1k4,1)


33/55

yi+1,2=yi ,2+ x

6(k1,22k2,22k3,2k4,2)

i x y1 y2 #1*1 #1*2 #2*1 #2*2 #3*1 #3*2 #4*1 #4*2

0 1 1 1,1

1

6

1,1

1*,*

01

6

1,*

*

1+,2

1/

6

1,+2

2

22,-

20

6

2,2-

-1 ,1 2,+

-

,*

-

21,/

+2

6

2,1/

+

20,2

6

2,0

2,1

0/

6

2,1

-,+

+0

6

-,+

0

2,2 ,2

,0

-,

*

6

-,

2,+

*

6

2,/

/

2,0

1+

6

2,0

2

22,/

+

6

2,2/

03 ,- ,/

2

,2

2-,1

0

6

2,-1

/

1,

+

6

1,0

*

1,

00

6

1,

1,1

6

1,1

14 ,* /,0+

/

,12

11,1

2+

6

1,11

-

+,11

1

6

,+1

,2

6

,2

+

-,1

2

6

,-

15 , 1,*

/1

,*

0

*,*2

1

6

,**

2

2,-1

6

,2-

2

-,2*

2

6

,-2

*

1,-2

/

6

,1-

-6 ,+ 1,0

0-

,1

/

1,0

2

6

,10

,/1

0

6

,/

2

1,2*

+

6

,12

,

0

6

,

+7 ,0 1,

2

,

,+0

0

6

,+

,-

*

6

,-

,*/

0

6

,

,2*

6

,2

8 , 1,/

20

,

*

,2

6

,2

,10

1

6

,1

0

,21

1

6

,2

1

,11

+

6

,1

2 ,/ 1,/

*0

,

2

,12

6

,1

-

,

1

6

,

,/

+

6

,1

,

0

6

,

+10 1 1,/

,

1

,+

1

6

,

+

,*

6

,

*

,*

+

6

,

,-

6

,

-

;rafik :


34/55

.2 .* .+ . 1 1.2

1

2

-

*

+

Soa! - :

&engan lebih dari 1 "&' kasus +" Metode Bunge Kutta

"ersamaan differensial sebagai berikut:

dy1

dx=x y1y2

y3

dy2

dx=x2+y1

2+y22+y3

2

dy3

dx=(y1y2+y2y3+y1y3 )x

dimana y1? y2 ? y# ? 1 dan 4 ? .

Tentukan y1, y2, y#pada 4 ? ,# menggunakan $ urutan langkah metode

Runge Kuttadengan D4 ? ,1.

"enyelesaian:

Aangkah 1. bah persamaan differensial tersebut ke persamaan

dy

dx=f(x , y)

maka


35/55

dy1

dx=

x y1y2

y3

dy2

dx=x2+y1

2+y22+y3

2

dy3

dx=(y1y2+y2y3+y1y3 )x

Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentukRunge Kutta

k1, i , #=fi(x , y1, # , y2,# , , yn , # )

k2,i , #= fi(x+ x

2, y1,#+

x

2k1,1,# , , yn , #+

x

2k1,n , #)

k3,i , #= fi(x+ x

2, y1,#+

x

2k2,1,# , , yn , #+

x

2k2,n , #)

k4, i , #=fi(x+x , y1,#+ x k3,1,# , , y n, #+ x k3, n, #)

maka

k1,1=dy1

dx=

x y1y2

y3

k1,2=dy2

dx=x2+y1

2+y22+y3

2

k1,3=dy3

dx=(y1y2+y2y3+y1y 3 )x

k2,1=(x+ x2)(y1+

x

2k1,1)(y2+ x2 k1,2)

(y3+ x2 k1,3)

k2,2=(x+ x2)2

+(y1+ x2 k1,1)2

+(y2+ x2 k1,2)2

+(y3+ x2 k1,3)2


36/55

k2,3= (y1+ x2 k1,1)(y2+ x

2k1,2)+(y2+ x2 k1,2)(y3+

x

2k1,3)+(y1+ x2 k1,1)(y3+

x

2k1,3)[x+ x2]

k3,1=(x+ x2)(y1+

x

2k2,1)(y2+ x2 k2,2)

(y3+ x2 k2,3)

k3,2=(x+ x2)2

+(y1+ x2 k2,1)2

+(y2+ x2 k2,2)2

+(y3+ x2 k2,3)2

k3,3= (y1+ x2 k2,1)(y2+ x

2k2,2)+(y2+ x2 k2,2)(y3+

x

2k2,3)+(y1+ x2 k2,1)(y3+

x

2k2,3)[x+ x2]

k4,1=(x+ x )(y1+ x k3,1 ) (y2+ x k3,2)

(y3+ x k3,3 )

k4,2=(x+ x )2

+(y1+ x k3,1 )2

+ (y2+ x k3,2)2

+ (y3+ x k3,3 )2

k4,3=[ (y1+ x k3,1 ) (y2+ x k3,2 )+(y2+ x k3,2 )( y3+ x k3,3)+(y1+ x k3,1 ) (y3+ x k3,3 ) ][x+ x ]

Aangkah #. Tentukan nilai yiH1dengan persamaan

y1,#+1=y1, #+ x

6 [k1,i , #+2k2,i , #+2k3,i , #+k4,i , # ]

maka

y1i+1=y1+ x

6 [k1,1+2k2,1+2k3,1+k4,1 ]

y2i+1=y2+ x

6 [k1,2+2k2,2+2k3,2+k4,2]

y3i+1=y3+ x

6 [k1,3+2k2,3+2k3,3+k4,3 ]

Aangkah $. "ilih D4 yang tepat lalu selesaikan persamaan differensial tersebut


37/55

41 4" 4' d415d( d4"5d( d4'5d( * 11 *1" *1' *"1 *"" *"'

1 1 1 # # ,*6* #,#2* ,1/*

,1 1,/1 1,##67 1,16# ,1#2# #,7$/6 ,#6# ,1#2# #,7$/6 ,#6# ,22$$ $,$/2* ,/26/

,2 1,28 1,68*$ 1,72# ,#$1$ *,$8#/ ,877 ,#$1$ *,$8#/ ,877 ,$67* /,6217 1,$226

,# 1,667 2,$8/1 1,2#7 ,/**6 7,886 2,12/6 ,/**6 7,886 2,12/6 ,7*/$ 11,722 #,$#/

'erdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan 4

.1 .2 .--2

.

1

1.

2

2.

-

y1

y2

y-

x

y

0adi didapat nilai y1?1,667, y2?2,$8/1, dan y#?1,2#7 pada 4?,#.


38/55

6.. Metode ,#ape7oida!

Metode trape5oidal juga dapat digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan a set of &ou"led first order ODE)s. Seara umum, jika ada n(

&ou"led first order ODEPs, setiap langkah akan membutuhkan solusi dari

persamaan aljabar ditambah seperangkat nnonlinier. Menerapkan metode

trape5oidal ke sistem agar hasil of first order ODE)sdi persamaan berikut (yaitu,

satu untuk setiap &3)J

y1,#+1=y1,#+ x

2 [ f1(xi , yi )+ f1(xi+1, y#+1)]

y2,#+1=y2, #+ x

2 [f2(x i , yi )+ f2(xi+1 , y #+1) ]

yn , #+1=yn , #+ x

2 [ fn (xi , yi )+fn(x i+1 , y#+1)]

dimana

y#=(y1, # , y2, # ,, yn , # )

dan di mana yi,j adalah ike bergantung %ariabel setelah langkahlangkah j.

+ontoh soa!:

;unakan metode Trape5oidal untuk

dy1

dx=y1y2+1

dy2

dx=y1y21

dimana y1? y2 ? pada 4 ?

Tentukan y1dan y2pada 4 ? ,2 dengan D4 ? ,1.

"enyelesaian:

Aangkah 1. bah persamaan differensial tersebut ke persamaan

dy

dx=f(x , y)

11


39/55

maka

dy1

dx=y1y2+1

dy2

dx=y1y21

Aangkah 2. bah persamaan differensial tersebut ke bentuk Trape5oidal

y1,#+1=y1,#+ x

2 [ f1(xi , yi )+ f1(xi+1, y#+1)]

y2,#+1=y2, #+ x2

[f2(x i , yi )+ f2(xi+1 , y #+1) ]

yn , #+1=yn , #+ x

2 [ fn (xi , y i )+fn(x i+1, y#+1)]

dimana

y#=(y1, # , y2, # ,, yn , # )

makay1y2+1+y1,1y2,1+1

y1,1=y1+ x

2[ ]

y1y21+y1,1y2,11

y2,1=y2+ x

2[ ]

0 .0+1+y1,1y2,1+1

y1,1=0+0,1

2[ ]=0,05 [2+y1,1y2,1]=0,1+0,05y1,1y2,1

y1,1=0,1+0,05y1,1y2,1

y1,10,05y1,1y2,1=0,1

y1,1(10,05y2,1)=0,1

12


40/55

y1,1= 0,1

(10,05y2,1) ..............................................................................................

(1)

0.01+y1,1y2,11

y2,1=0+0,1

2[ ]=0,05 [y1,1y2,12 ]=0,05y1,1y2,10,1

y2,1=0,05y1,1y2,10,1

0,05y1,1y2,1y2,1=0,1

y2,1(0,05y 1,11)=0,1

y2,1= 0,1

(0,05y1,11) ..............................................................................................

(2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga menjadi

y1,1

= 0,1

(10,05 0,1

(0,05y1,11))y1,1=

0,1

(1 0,005(0,05y1,11))

(1 0,005(0,05y1,11))y1,1=0,1

y1,1 0,005y1,1

(0,05y1,11)=0,1

y1,1(0,05y1,11)0,005y1,1(0,05y1,11)

=0,1

y1,1(0,05y1,11)0,005y 1,1=0,1(0,05y1,11)

1-


41/55

0,05y1,1

2y1,10,005y1,1=0,005y1,10,1

0,05y1,1

2y1,10,005y1,10,005y1,1+0,1=0

0,05y1,1

21,01y1,1+0,1=0

y1,1=0,0995000125

Masukkan nilai y1,1ke persamaan (2) sehingga didapatkan y1,2

y2,1= 0,1

(0,0500,09950001251)

y2,1=1,004999875

Kemudian diari y1,2 dan y2,2

y1,1y2,1+1+y1,2y 2,2+1

y1,2=y1,1+ x

2[ ]

y1,1y2,11+y1,2y2,21

y2,2=y2,1+ x

2[ ]

0,0995000125 0(1,004999875 )+1+y1,2y2,2+1

y1,2=0,0995000125+0,1

2[ ]

y1,2=0,0995000125+0,1

2 [0,009999750012+1+y1,2y2,2+1 ]

y1,2=0,0995000125+0,1

2 [1,99000025+y1,2y2,2 ]

y1,2=0,0995000125+0,09500012499+0,05y1,2y2,2

y1,2=0,1945001375+0,05y1,2y2,2

y1,20,05y1,2y2,2=0,1945001375

1*


42/55

y1,2(10,05y 2,2)=0,1945001375

y1,2=0,1945001375

(10,05y2,2) .............................................................................................

.(#)

0,0995000125 0(1,004999875 )1+y1,2y2,21

y2,2=1,004999875+0,1

2[ ]

y2,2=1,004999875+0,1

2 [0,0099997500121+y1,2y2,21 ]

y2,2=1,004999875+0,1

2 [2,00999975+y1,2y2,2 ]

y2,2=1,0049998750,1004999875+0,05y1,2y2,2

y2,2=1,105499863+0,05y1,2y2,2

y2,2=1,105499863+0,05y1,2y2,2

y2,20,05y1,2y2,2=1,105499863

y2,2(10,05y1,2)=1,105499863

y2,2=1,105499863(10,05y1,2) .............................................................................................

($)

Substitusi persamaan ($) ke persamaan (#) sehingga menjadi

y1,2= 0,1945001375

(10,051,105499863(10,05y1,2))

y1,2= 0,1945001375

(10,05527499313(10,05y1,2) )

1


43/55

(10,05527499313(10,05y1,2) )y1,2=0,1945001375

y1,20,05527499313y1,2

(10,05y1,2) =0,1945001375

y1,2(10,05y1,2 )+0,05527499313y1,2(10,05y1,2)

=0,1945001375

y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,2

(10,05y1,2) =0,1945001375

y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,2=0,1945001375 (10,05y1,2)

y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,2=0,19450013750,009725006875y1,2

y1,20,05y1,22+0,05527499313y1,20,1945001375+0,009725006875y1,2=0

0,05y1,22+1,065y1,20,1945001375=0

y1,2=0,1842225683

Masukkan nilai y1,2ke persamaan ($) sehingga didapatkan y2,2

y2,2= 1,105499863

(10,05 00,1842225683 )

y2,2=1,115777432

6.6. Metode Imp!isit

Metode implisit 3uler dapat diturunkan dari perluasan deret Taylor sebagai

berikut

y (xi )=y (xi+ x ) x y'(x i+ x )+

x2

2y

' '(x i+ x )

&engan mengurangi G42dan orde yang lebih tinggi, maka persamaan menjadi

y (xi+x )=y (xi )+ x y'(xi+ x )

1+


44/55

Metode implisit lain yang umum digunakan adalah metode trape5oidal.

"ersamaan umumnya adalah

yi+1=yi+ x

2 [ f(xi , yi )+f(xi+1, yi+1)]

6.0. Kon8e#si PDB o#de &an4a* *e sistem o#de sat

"erhatikan &3 orde kedua dengan kondisi awal:

dy2

dx2+A (x )

dy

dx+1 (x )y+C(x )=0

(/.27)

dimana y(4) ? a dan

dy

dxxo=/ (/.28)

karena kedua kondisi yang ditentukan untuk nilai 4 yang sama, masalahnya adalah

sebuah !". Membuat substitusi berikut:

2=dy

dx (/.#)

kemudian turunan differensial menjadi

d2

dx+A (x )2+1 (x )y+C(x )=0

(/.#1)

kemudian kedua persamaan disusun kembali

d2

dx=A (x )21 (x )yC(x )

(+.-2)

dydx=2 (+.--)

dimana

5(4) ? b (/.#$)

y(4) ? a (/.#*)

sekarang orde kedua &3 telah diubah menjadi a set of t3o &ou"led first order

ODE)s yang dapat terintegrasi dengan menggunakan salah satu metode yang

dijelaskan sebelumnya.

10


45/55

Sekarang perhatikan masalah umum dari orde nke &3, !"J yaitu

F

[d

n

ydx

n, d

n1

ydx

n1, ,dydx, y , x

]=0 (/.#/)

&imana

dn1

y

dxn1=an1

dn2

y

dxn2=an2

. 4 ? 4

.

.

dy

dx=a1

y=a0

dalam rangka untuk mengubah masalah ini menjadi a set of &ou"led first order

ODE)smembuat, maka dibuat substitusi berikut:

21=dy

dx

22=d 21

dx=

d2y

dx2

.

.

.

2n1=d2n2

dx =

dn1

y

dxn1 (/.#6)

maka selama kamu dapat seara eksplisit memeahkan

dny /dxn dalam fungsi umum, masalah dapat diubah menjadi bentuk berikut

1


46/55

d2n1

dx =3(2n1 , 2n2 , , 21 , y , x)

d2n2

dx =2n1

.

.

.

d 21

dx=22

dy

dx=21

dimana

2n1=an1

2n2=an2

.

. 4 ? 4

.

21=a1

y=a0

sekarang masalah telah dikon%ersi ke dalam a set of n &ou"led first order ODE)smembentuk suatu !".

+ontoh soa!:

bah persamaan differensial orde # berikut ke Systems First Order ODE)s

y2d

3y

d x3+(1x3 )d

2y

d x2+y

dy

dx=0

dimana

y=1

1/


47/55

dy

dx=1

x=0

d2y

d x2=1

"enyelesaian:

"ersamaan nya dapat diubah menjadi:

d

3

yd x

3=

(x31 ) d2y

d x

2y

dy

dxy

2

gunakan substitusi:

21=dy

dx

22=d 21

dx=

d2y

d x2

23=d 22

dx=

d3y

d x3

sehingga menjadi

d 22

dx=

(x31 )2221yy

2

dengan

y=1

21=1 x=0

22=1

6.. Soa!9soa!

1+


48/55

1. Selesaikan kasus initial %alue problem (!") berikut dengan nilai 4 ? sampai

dengan 2.

dy

dx=yx21.2y

&imana y() ? 1

2. ;unakan metode 3uler dengan h ? .* dan .2* untuk menyelesaikan Soal 1 di

atas. "lotkan hasil pada grafik yang sama untuk membandingkan akurasi dari

kedua penyelesaian tersebutN

#. Selesaikan kasus initial %alue problem (!") berikut dengan nilai 4 ? sampai

dengan 1.

dy

dx=(1+x)y

&imana y() ? 1

$. Tinjaulah persamaan diferensial:

dy

dx ?y e4x

dengan: y () ? 1,0 &engan menggunakanste" si5e h ? ,1, tentukan nilai y

(,#) menggunakan:

a. Metode 3uler

b. Metode BungeKutta orde $

Tunjukkan semua langkah perhitungan yang


49/55

! ? ! (nt

nt0 ) ? ,* (0,01+na+2(0,01na)

0,02 ) ? ,6* 9 2* ngmol.detikJ I ? 1

liter>detikJ dan ! ? * liter

7. s) tergantung beda

tekanan pada ujungujung pipa (D"), sesuai persamaan: ? k DP dengan: k

tetapan. 'agaimanakah profil tinggi permukaan airan pada tangki < (4) dan

pada tangki ' (y) pada berbagai waktu (t)...U

8eda tekanan 9ada u$ung6u$ung 9i9a:

'P = PM PN = (Pud & g x) (Pud&gy)=g(xy)4e;e9atan ali!an ;ai!an:


51/55

e#ingga 9e!samaan diuba# men$adi

dx

dt = 6k '+2

'2 +g (2x4)

Keadaan batas: t ? J 4 ? h -Besarnya % da"at 7nda simulasi sendiri000:.

Misal, diambil: & ? 2 mJ &p ? ,2 mJ C ? 1 kg>m#J g ? 1 m>s2J k ? ,$

m#>kg

2. &ua buah tangki air tersambung seara seri dan saling berinteraksi. Keepatan

aliran keluar merupakan fungsi akar kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk

tangki 2 sebagai fungsi 42 . menit V1? *> 6 ft#>menit


52/55

r< (g) 2" (g)

dimana r ? ,1 +A.seMula 9 mula reaktor mengandung ,1 gmole < dan .1 gmole dari gas inert

pada %olum ,* A.

Tentukan %olum reaktor setelah 2* detik reaksi. Beaktor dijalankan pada

unsteadystate dengan persamaan mole balane pada komponen < di reaktor,

yielding :

d nA

dt =V(r )=

0,1nA2

V

dimana gas dapat diasumsikan sebagai gas ideal, maka :

V=Vo (nTnT0)=0,5(0,01+nA+2(0,01nA)

0,02 )! ? ,6* 9 2* n


53/55

dn1

dt=VR(r1r2r3)

dnC

dt =VR (r3)

tapi

Ci=ni

VR

dan

VR=(0 t+V0

&engan asumsi:

CA0=1gmo% /8

k=0,18 /gmo%0s

(0=108/s

V0=508

Substitusi nilai numerik sehingga menghasilkan

dnA

dt=10

0,1nA2

50+10 t+0,05n1

dn1

dt=

0,1nA20,05n1

2

50+10 t +0,05n1

dn1

dt=

0,05n12

50+10 t

dimana n


54/55

&iameter Tangki, &t ? * ft

A? # ft

&p? 1 inh

"ersamaan kesetimbangan neraa massa dalam sistem

d$Tota%

dt =

& 't2

4

dH

dt=((0()

&imana I berhubungan dengan @(t)

penurunan tekanan melalui pipa pembuangan nilainya sama dengan perbedaan

tekanan antara pembukaan ke garis debit dan tekanan atmosfer, yaitu

)24 f 8c /

gH( t)=1

2

dimana

f=0,0791 / 0,25

dan

= 4(&*+

dan

() )= 4(

& +2

C adalah densitas dan X adalah %iskositas, substitusi persamaan menjadi

g H(t)=8(0,0791)(28c

&2+( 4 (&*+ )

0,25

&engan menggunakan metode numerik maka I

(=14H4 /7

&engan @ dalam ft dan I dalam ;"M, maka

dH

dt

= 1

147

(5014H4

7)

1+0


55/55

&imana @ ? 2 pada t ? . @itung waktu yang dibutuhkan untuk menapai 8

le%el tangki pada keadaan unsteady statedengan menggunakan metodeRunge

Kutta.

1#. &iketahui persamaan differensial sebagai berikut:

dCA

dt ="1CAexp(ERT)

dT

dt="2 CA exp(ERT)

&imana +

initial value problem indo ver

Documents