informe simulaciones

Universidad de los Llanos. Rojas Germn, Amaya Diana. Simulaciones.

1

ResumenEn las finanzas, el modelo de Heston,

el nombre de Steven Heston, es un modelo

matemtico que describe la evolucin de la

volatilidad de un subyacente de los activos. Se trata

de una volatilidad estocstica modelo: un modelo de

este tipo supone que la volatilidad del activo no es

constante, ni siquiera determinista, sino que sigue un

proceso aleatorio.

Por otro lado tenemos el modelo poblacional, mide

es el cambio en la poblacin en un cierto plazo, y

puede ser cuantificado como el cambio en el nmero

de individuos en una poblacin por unidad de tiempo

para su medicin. El trmino crecimiento

demogrfico puede referirse tcnicamente a

cualquier especie, pero refiere casi siempre a seres

humanos, y es de uso frecuentemente informal para

el trmino demogrfico ms especfico tarifa del

crecimiento poblacional, y es de uso frecuente

referirse especficamente al crecimiento de la

poblacin del mundo.

ndice de Trminos Algoritmo, aprendizaje, Heston, modelo poblacional.

Abstract In finance, the Heston model, the name

of Steven Heston, is a mathematical model that

describes the evolution of the volatility of an

underlying asset. It is a stochastic volatility model: a

model of this type assumes that the asset volatility is

not constant, even deterministic, but follows a

random process.

On the other hand we have the population model,

measures the change in the population over time, and

can be quantified as the change in the number of

individuals in a population per unit time for

measurement. The term population growth can

technically refer to any species, but almost always

refers to humans, and is often used informally for the

more specific demographic term population growth

rate, and is often used to refer specifically to the

growth of the world population .

Key words Algorithm, learning, Heston,

population model.

I. INTRODUCCIN

Un modelo matemtico se define como una

descripcin desde el punto de vista de las

matemticas de un hecho o fenmeno del mundo

real, desde el tamao de la poblacin, hasta

fenmenos fsicos como la velocidad, aceleracin o

densidad. El objetivo del modelo matemtico es

entender ampliamente el fenmeno y tal vez predecir

su comportamiento en el futuro.

El proceso para elaborar un modelo matemtico es

el siguiente: Encontrar un problema del mundo real

Formular un modelo matemtico acerca del

problema, identificando variables (dependientes e

independientes) y estableciendo hiptesis lo

suficientemente simples para tratarse de manera

matemtica. Aplicar los conocimientos matemticos

que se posee para llegar a conclusiones matemticas.

Rojas Riveros Germn Camilo - 160002529. Amaya Rojas Diana Yesenia 160002502.

Universidad de los Llanos

Facultad de Ciencias Bsicas e ingeniera

[email protected]

[email protected]

Modelos matemticos Heston y Crecimiento

poblacional


2

Comparar los datos obtenidos como predicciones

con datos reales. Si los datos son diferentes, se

reinicia el proceso. Es importante mencionar que un

modelo matemtico no es completamente exacto con

problemas de la vida real, de hecho, se trata de una

idealizacin. Hay una gran cantidad de funciones que

representan relaciones observadas en el mundo real;

las cuales se analizarn en los prrafos siguientes,

tanto algebraicamente como grficamente.

Los dos modelos en los cuales nos enfocaremos son

el poblacional y el de Heston.

II. MODELO MATEMATICO PARA EL CRECIMIENTO POBLACIONAL

A. Modelo terico

Para el modelo de crecimiento poblacional,

implementamos dos mtodos matemticos, el

primero es un modelo bsico, el cual determina el

incremento de la poblacin a medida que avanza el

tiempo y est dado por la siguiente ecuacin:

xt= x*exp(((x-

(((alf)^2)/2))*t)+(alf*W(j))); (1)

Donde alf es la tasa de crecimiento de la poblacin,

x es la poblacin inicial y W(j) es un movimiento

browniano.

El segundo modelo matemtico fue generado para

analizar la influencia de las fluctuaciones de la

temperatura de almacenamiento sobre el

crecimiento de bacterias lcticas en emulsiones

crnicas cocidas. La ecuacin obtenida fue la

siguiente:

(2)

Donde A es el nmero mximo de la poblacin,

Lambda es el tiempo de latencia, niu es 1/lambda, te

es el tiempo y e = exp (1).

B. Modelo practico

Para implementar el primer modelo, hemos

generado el siguiente cdigo:

%GENERA MOVIMIENTOS BROWNIANOS ESTANDAR

UNIDIMENSIONAL randn(80,100); % genera el arreglo de

numeros aleatorios T = 1; N = 500; dt = T/N; dW = zeros(1,N); % se predefinen los

arreglos W = zeros(1,N); % para mayor rapidez en

el programa dW(1) = sqrt(dt)*randn; % primer valor

... W(1) = dW(1); % W(0) = 0 no esta

permitido en MATLAB for j = 2:N dW(j) = sqrt(dt)*randn; % incremento

general W(j) = W(j-1) + dW(j); end x=3; alf=2; t=0:0.01:3; xt= x*exp(((x-

(((alf)^2)/2))*t)+(alf*W(j))); media= mean (xt); disp(media); var=std(xt); disp(var); plot(t,xt,t,media,t,var) title('Crecimiento Poblacional') xlabel('tiempo','FontSize',9) ylabel('Poblacion','FontSize',9,'Rotation

',0) line(t, media, 'linestyle', 'o') line(t, var, 'linestyle', '*') legend('f(t)', 'media o','varianza *') grid on

Obtuvimos la siguiente grfica:

Fig.1. Crecimiento en das de la poblacin


3

Para el segundo modelo, el cdigo implementado

fue el siguiente:

A=30; lambda=2; umax=(1/lambda); t=0:0.1:90; xt=A*exp(-exp(

(((umax*exp(1))/A)*(lambda-t)) +1 )); media= mean (xt); disp(media); var=std(xt); disp(var); plot(t,xt,t,media,t,var) title('Crecimiento Poblacional') xlabel('tiempo','FontSize',9) ylabel('Poblacion','FontSize',9,'Rotation

',0) line(t, media, 'linestyle', 'o') line(t, var, 'linestyle', '*') legend('f(t)', 'media o','varianza *') grid on

Fig.2. crecimiento de las bacterias en 90 minutos

III. MODELO MATEMATICO HESTON

A. Modelo terico

A partir de las siguientes ecuaciones:

(3)

(4)

(5)

Aplicando el mtodo lineal y newton rapson

(algunos pasos en la referencia [3]), obtuvimos las

siguientes formulas:

(6)

(7)

(8)

Que son las que ingresaremos en nuestra

simulacin.

B. Modelo prctico

El cdigo implementado: %GENERA MOVIMIENTO BROWNIANO ESTANDAR

UNIDIMENSIONAL B1(t)->w1(j) randn(100,100); % genera el arreglo de

numeros aleatorios T1 = 1; N1 = 500; dt1 = T1/N1; dW1 = zeros(1,N1); % se predefinen los

arreglos W1 = zeros(1,N1); % para mayor rapidez en

el programa dW1(1) = sqrt(dt1)*randn; % primer valor

... W1(1) = dW1(1); % W(0) = 0 no esta

permitido en MATLAB for j = 2:N1 dW1(j) = sqrt(dt1)*randn; % incremento

general W1(j) = W1(j-1) + dW1(j); end media1= mean (W1); disp(media1); var1=std(W1); disp(var1); subplot(2,1,1) plot((0:dt1:T1),[0,W1],'r-

',(0:dt1:T1),media1,(0:dt1:T1),var1)

%grfica de W contra t title('MOVIMIENTO BROWNIANO ESTANDAR

UNIDIMENSIONAL W1 Y W2 '); xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('W1(t)','FontSize',12,'Rotation',0

) line((0:dt1:T1), media1, 'linestyle',

'o') line((0:dt1:T1), var1, 'linestyle', '-')


4

legend('f(t)', 'media o','varianza -')

grid on

%GENERA MOVIMIENTO BROWNIANO ESTANDAR

UNIDIMENSIONAL B2(t)-->w2(j) randn(80,80); % genera el arreglo de

numeros aleatorios T2 = 1; N2 = 500; dt2 = T2/N2; dW2 = zeros(1,N2); % se predefinen los

arreglos W2 = zeros(1,N2); % para mayor rapidez en

el programa dW2(1) = sqrt(dt2)*randn; % primer valor

... W2(1) = dW2(1); % W(0) = 0 no esta

permitido en MATLAB for j = 2:N2 dW2(j) = sqrt(dt2)*randn; % incremento

general W2(j) = W2(j-1) + dW2(j); end media2= mean (W2); disp(media2); var2=std(W2); disp(var2); subplot(2,1,2) plot((0:dt2:T2),[0,W2],(0:dt2:T2),media2,

(0:dt2:T2),var2) %grfica de W contra t line((0:dt2:T2), media2, 'linestyle',

'o') line((0:dt2:T2), var2, 'linestyle', '-') legend('f(t)', 'media o ','varianza -') xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('W2(t)','FontSize',12,'Rotation',0

)

grid on

%FUNCION V(t) volatilidad

T3 = 1; N3= 500; dt3 = T3/N3; S0 = 10; V0 = .01; r = 0; k = 2; theta =.01; sigma= .1; delT = .02; rho=

0.1; dv = zeros(1,N3); % se predefinen los

arreglos V = zeros(1,N3); % para mayor rapidez en

el programa dv(1) = V0 + k*(theta - V0)*delT +

sigma*sqrt(V0)* (rho*W1(j) + sqrt(1-

rho^2)*W2(j))*sqrt(delT); dv(1) =dv(1)*100; V(1)=dv(1); for j = 2:N3 dv(j) = 100*(V0 + k*(theta - V0)*delT +

sigma*sqrt(V0)* (rho* W1(j) + sqrt(1-

rho^2)*W2(j))*sqrt(delT));

V(j) = V(j-1) + dv(j); end media3= mean (dv); disp(media3); var3=std(dv); disp(var3);

h3 = figure; plot((0:dt3:T3),[0,dv],'b-

',(0:dt3:T3),media3,'b--

',(0:dt3:T3),var3,'b--') %grfica de V(t)

contra t legend('FUNCION DE VOLATILIDAD ') xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('V(t)','FontSize',12,'Rotation',0) grid on

h = figure; plot((0:dt3:T3),[0,dv],'b-

',(0:dt3:T3),media3,'b--

',(0:dt3:T3),var3,'b--') %grfica de V(t)

contra t title(' FUNCIONES PRECIO Y VOLATILIDAD

'); legend('V(t)->b', 'S(t)->r') xlabel('Tiempo','FontSize',12) ylabel('V(t) y

S(t)','FontSize',12,'Rotation',0) grid on

%FUNCION S(t) precio

T4 = 1; N4= 500; dt4 = T4/N4; ds=zeros(1,N4); S=zeros(1,N4); ds(1)=(S0 + r*S0*delT +

S0.*W1(j)*sqrt(delT)*sqrt(k)); S(1)=ds(1); for j=2:N4 ds(j) =(S0 + r*S0*delT +

S0.*W1(j)*sqrt(delT)*sqrt(k)); S(j)=S(j-1) + ds(j); end media4= mean (ds); disp(media4); var4=std(ds); disp(var4); hold on plot((0:dt4:T4),[0,ds],'r-

',(0:dt4:T4),media4,'r--

',(0:dt4:T4),var4,'r--') %grfica de S

contra t grid on

Obtuvimos los siguientes resultados:


5

Fig.3. Estos son los dos movimientos brownianos

que requerimos para nuestro modelo matemtico.

Fig.4. Este esta es la grfica de la funcin del

precio (rojo) Vs la de volatilidad (azul), donde vemos

que la volatilidad permite llevar los cambios

obtenidos por el precio del activo.

Fig.5. Funcin de volatilidad ampliada

IV. CONCLUSIONES

El modelo de crecimiento poblacional es uno de

los mtodos ms importantes, puesto que permiten

determinar el ndice poblacional y con ello tomar

medidas para evitar colisiones en un futuro.

El modelo de crecimiento poblacional es muy

usado en los laboratorios de biologa para determinar

el crecimiento de bacterias, y otros organismos.

Tambin nos puede indicar que tan bien esta una

poblacin dependiendo de la cantidad de nios,

jvenes, adultos y ancianos.

El modelo de Heston es muy bueno, permite

determinar el valor que tomara un activo en aos

futuros, con esto se pueden evitar prdidas y obtener

grandes beneficios econmicos.

El modelo Heston es usado en los bancos, en las

grandes compaas por grandes empresarios, es

importante conocerlo e implementarlo, puesto que

brinda confianza.

REFERENCIAS

[1] Senz Pea, Chaco. Modelo dinmico para el crecimiento de bacterias lcticas sobre emulsiones crnicas. 2004

[2] Guillermo, Abramson. la matemtica de los sistemas biolgicos. Agosto 2013.

[3] Nimalin, Moodley. The Heston Model. 2005. [4] Acinto, Marabel. estimacin de los parmetros del modelo de

heston. 2010. [5] Uriza, Myriam. estudio numrico del modelo de heston: mtodo

de diferencias finitas. 2013.

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