Top Banner
RESUME INDUKSI MATEMATIS
12

Induksi matematika kls xii

Jan 15, 2017

Download

Science

Medi Harja
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Induksi matematika kls xii

RESUME INDUKSI MATEMATIS

Page 2: Induksi matematika kls xii

Penjelasan Singkat Induksi Kuat

Page 3: Induksi matematika kls xii

PENJELASAN INDUKSI MATEMATIKA

DEFINISI

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi

matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-

pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.

Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa

semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya

sejumlah langkah terbatas.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar

untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah

dengan :

menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau P(1) adalah benar),

kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila P(k) benar)

menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau P(k + 1) benar).

PEMBAGIAM INDUKSI MATEMATIKA : Induksi Sederhana

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin

membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk

membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(1) benar, dan

2. Jika p(n)benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat positif n≥1,

Induksi yang DirampatkanMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan

bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n≥n_0. Untuk membuktikan ini, kita

hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(n_0) benar, dan

2. Jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n≥n_0,

3.

Page 4: Induksi matematika kls xii

Induksi KuatMisalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan

bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n≥n_0. Untuk membuktikan ini, kita

hanya perlu menunjukkan bahwa:

1. p(n_0) benar, dan

2. Jika p(n_0), p(n_0+1),…, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua

bilangan bulat n≥n_0

PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA

Salah satu metode pembuktian yang absah dalam matematika adalah Induksi Matematik.

Metode ini digunakan untuk memberikan teorema-teorema yang berlaku pada bilangan asli.

Sebagai contoh jika ada bentuk kesamaan sebagai berikut:

Apakah penyataan tersebut selalau benar untuk setiap bilangan asli n?

Cara pembuktian kesamaan tersebut dapat dilakukan dengan memandang ruas kiri sebagai

deret aritmatika sebagai berikut:

Pada ruas kiri : 1 + 2 + 3 + 4+ . . . + n

Suku pertama (a) : …….

Beda (b) : . . . . .

Jumlah n suku pertama (Sn) =

=

=

=

(Sama dengan ruas kanan)

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka kesamaan tersebut terbukti benar.

Selain cara tersebut, pembuktian dapat dilakukan dengan bukti formal yaitu dengan induksi

matematik.

Page 5: Induksi matematika kls xii

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik adalah:

1. Memisalkan suatu kesamaan yang diketahui sebagai suatu pernyataan atau

preposisi p(n) yang akan dibuktikan kebenarannya untuk setiap bilangan n.

2. Kemudian lanjutkan dengan:

Langkah i: Tujukkan pernyataan tersebut benar untuk n = 1 atau p(1) benar.

Langkah ii: Dimisalkan bahwa p(n) benar, tunjukkan bahwa p(n+1) benar.

Jika langkah i dan ii benar, dapat disimpulkan p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Pada pembuktian dengan induksi matematik, langkah i disebut basis (dasar) untuk

insuksi dan langkah ii disebut langkah induktif, yaitu suatu bentuk implikasi “jika p(n) benar

maka p(n+1) benar untuk setiap bilangan asli n”.

Contoh 1:Buktikan dengan induksi matematik bahwa:

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Dimisalkan p(n) :

i. Untuk n = 1, p(n) adalah 1 =

1 = 1 …… (benar)

ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya tunjukkan bahwa p(n+1), yaitu

benar

Hal ini ditunjukkan sebagai berikut:

Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benar.

Page 6: Induksi matematika kls xii

atau

benar untuk setiap bilangan asli n.

Contoh 2:Buktikan dengan induksi matematik bahwa:

Berlaku untuk setiap bilangan asli n.

Bukti:

Dimisalkan p(n) :

i. Untuk n = 1, p(n) adalah

…… (benar)

ii. Dimisalkan p(n) benar. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa p(n+1) benar, yaitu

Ini menunjukkan bahwa p(n+1) benar.

Karena i dan ii benar, maka terbukti p(n) benar

Atau

, benar untuk setiap bilangan asli n.

PEMBAHASAN SOAL-SOAL LATIHAN L 3.1, 3.2 & UK 3.1

Page 7: Induksi matematika kls xii
Page 8: Induksi matematika kls xii
Page 9: Induksi matematika kls xii
Page 10: Induksi matematika kls xii