III MENGHITUNG NILAI RATA-RATA

III MENGHITUNG NILAI RATA-RATA

A. Nilai Rata-rata1. Pengertian Nilai Rata-rata Adalah merupakan penjelasan kelompok yang didasarkan nilai rata-rata dari kelompok tersebut. Maka individu-individu yang mewakili kelompok itu diharapkan tidak terjadi penyimpangan yang ekstrem sehingga bisa mewakili ( representatif) dari kelompok atau populasi / obyek penelitian

Teknik statistik untuk menjelaskan nilai rata-rata pada kelompok ini disebut tendency central (gejala pusat) dapat menggunakan tekhnik yaitu modus, median, mean 2. Sifat Nilai Rata-rata

a. Modus : Digunakan bila peneliti ingin cepat memberikan penjelasan kepada kelompok dengan hanya mempunyai data yang

populer pada kelompok saja. Teknik ini kurang teliti karena merupakan penghitungan kasar.

b. Median : digunakan bila ada data yang ektrem dalam kelompok

c. Mean : digunakan bila dalam kelompok itu mempunyai data yang merata.

Namun demikian agar pembaca memberikan interpretasi sendiri maka ketiga tekhnik tersebut digunakan semua dan hasilnya juga disajikan semua

MENGHITUNG Data Modus, Median, Mean DATA TUNGGALModus

Merupakan tekhnik penjelasan kelompok yang dilaksanakan atas niai yang sedang populer ( yang sedang menjadi mode) atau yang sering muncul dalam kelompok tersebut.Contoh Data kualitatif:1. Kebanyakan pemuda Indonesia merokok2. Kebanyakan tentara berambut pendekContoh Data KuantitatifHasil pencatatan umur pegawai di kanor X adalah sbb ( dalam tahun). 20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35.

Tabel data sbb

UMUR PEGAWAI JUMLAH

19

20

35

45

51

56

57

60

1

2

1

5 ( Modus)

1

1

1

1

JUMLAH 13

Median

Merupakan salah satu tekhnik pejelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelmpok data yang telah disusun urutannya dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Mis kelompok umur sbb;

19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57,60. n ganjil

180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145, cm (TB )

Bila n genap maka nilai dibagi dua sehingga

166 +165 = 165,5 artinya tinggi badan rata-rata kelompok

2 itu = 165,5

Mean mrupakan pejelasan kelompok yang

didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut . Rata-rata ( mean ) dapat dihitung

dengan menjumlah data seluruh individu dalam kelompok itu kemudian dibagi n

sehingga rumus sbb.Mε = Σ X i nKet : Mε = Mean ( rata-rata ) Σ = Epselon ( jumlah )

Xi = Nilai x ke 1 sampai ke n n = jumlah individu / sampel/ respondenContoh : tinggi badan ( cm )

(90 +120+160+60+180+190+90+180+70+160) : 10 Mε = 1300 : 10 = 130. Mε harus mewakili individu artinya data jangan terjadi penyimpangan yang ektrem

• Contoh penyimpangan yang ekstrem:Peghasilan rata-rata dari 8 penduduk adalah sbb ( ribu )70, 90, 90, 190, 600, 1200, 1800, 2000 = 755 8ini tidak mewakili artinya 755 terlalu jauh dengan 70 ribu juga terlalu jauh dari 2000.

• Jika dihitung dengan tekhnik median

190 + 600 = 395 ribu rupiah artinya 395 lebih

2 dekat dengan 70 juga dengan 2000

Menghitung Data Bergolong

Contoh data hasil Test kemampuan managerial terhadap 100

pegawai di kantor X dengan distribusi sbb

DISTRIBUSI NILAI KEMAMPUAN MANAGERIAL 100 PEGAWAI DIKANTOR X

INTERVAL NILAI KEMAMPUAN

FREKUENSI / JUMLAH

21 - 30

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 - 100

2

6

18

30

20

10

8

8

jumlah 100

a. Modus ( data bergolong )

Rumus

MO = b+p ( bi )

bi + b2

MO = Modus

b = batas bawah klas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang klas interval

b1 = frekuensi pada klas modus (frekuensi pada klas interval

terbanyak) dikurangi frekuensi klas interval terdekat

sebelumnya

b2 = frekuensi klas modus dikurangi frekuensi klas interval

berikutnya

Hitungannya sbb ;

a. Klas modus adalah klas ke 4 , frekuensinya = ( f, 30 )

b. b = 51 – 0,5 = 50,5

c. b1 = 30 –18 = 12

d. b2 = 30 – 20 = 10 MO = 50,5 + 10( 12 ) = 55, 95

12 + 10

b. Menghitung Median

Rumus Md = b + p ( ½n –F )

f

Md = Median n = jumlah smpel/data

b. = batas bawah dimana median akan terletak

F = jumlah semua frekuensi sebelum klas median

f = frekuensi klas median

Cara menghitung

½ n : ½ x 100 = 50 klas median akan terletak pada interval ke 4 b : batas bawah adalah 51 – 0,5 = 50,05 p : panjang klas = 10 F : 2 + 6 + 18 = 26 f : frekuensi klas median = 30

Jadi Median = 50,05 + 10 ( 50 – 26 ) = 58,5 30

C.Menghitung Meana Rumus x = Σf N t n

Ket : x = rata-rata Σ = jumlah

f = frekuensi Nt = nilai tengah klas n = jml data

Contoh

Berat Badan Penderita TBC

no Berat Badan f Nt f Nt12345678

41 -- 4546 -- 5051 -- 5556 -- 6061 -- 6566 -- 7071 -- 7576 -- 80

44125752

4348535863687378

17219253116315476365156

jumlah 30 1.845

jadi x = 1845 = 61,5 kg 30

Rumus ( b) x = N t0 + i ( Σ f d ) nKet x = rata-rata

N t0 = nilai titik tengah n = jumlah pengamatan

d = kode I = interval klasLangkah-langkah1. Pilih satu titik klas sebagai titik nol yang diberi kode (d)2. Pemilihan titik tengah sebaiknya ditengah3. Untuk diatas titik nol diberi tanda negatif secara

berurutan sedangkan untuk titik dibawah titik nol diberi tanda positif

4. fd adalah hasil perkalian frekuensi dengan d

Rata-rata Menggunakan Kode

5. Hitung nilai tengah titik nol ( pertengahan nilai tengah pada klas tersebut )

6.Bagilah hasil pada point C dengan jumlah pengamatan dan kalikan dengan interval klas ( i ) kemudian

hasilnya ditambah dengan nilai tengah titik nol

Contoh rata-rata BB Px penyakit jantung di RS X 2008

no Berat Badan f d fd ket

1

2

3

4

5

6

7

8

41 -- 45

46 -- 50

51 -- 55

56 -- 60

61 -- 65

66 -- 70

71 -- 75

76 -- 80

4

4

1

2

5

7

5

2

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

-16

-12

-2

-2

0

+7

+10

+6

( d )

JML 30 Σ -9

X = 63 + 5 ( - 9/30 ) = 61,5 kg

RANGE ( RENTANG )

Rentang merupakan ukuran despersi ( penyimpangan )

yang paling sederhana karena hanya melibatkan 2 nilai

dalam distribusi . Yaitu nilai terbesar dan terkecil. Range

merupakan gambaran kasar tentang besarnya variasi

sehingga dengan range saja belum bisa mengetahui variasi

yang sebenarnya

Contoh :

1. Distribusi berat badan dengan range yang sama tetapi mean berbeda

2. Range berbeda tapi mean sama

Distribusi BB Mahasiswa Distribusi Nilai Ujian

no

Kelompok I

Kelompok II

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

40

43

49

60

60

64

65

65

66

70

40

41

40

40

43

45

50

52

55

70

582 474

no Kelompk I

Klmpok II

1

2

3

4

5

40

45

50

55

60

10

25

55

70

90

250 250

Ket tabel diatasBB Mhs nilai ujian

range 30 range 30 rata-rata 50 rata-rata 50rata-rata : 58,2 rata-rata ; 47,4 range 20 range 80

UKURAN KUARTIL

Data yang telah disusun menjadi suatu distribusi dibagi

mejadi 4 bagian yang sama atau disebut kuartil ( K ) Kuartil

I disebut K 1 merupkan 25 % dari seluruh distribusi. K 2

Merupkan 50% dan K 3 75 % dari bagian distribusi.

Kelebihan kuartil adalah ;

1. Kuartil menggunakan 50 % bagian tengah hingga tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

2. Posisi K1, K 2, K 3, dapat dihitung deviasi terhadap median

Selisih antara K3 --- K1 disebut rentang antar kuartil ( inter kuarti range ) yang sama dengan 50 % bagian tengah dari seluruh distribusi , sedangkan setengah antar kuartil disebut simpangan kuartil ( quartile Deviation ) Cara menghitung rentang kuartil & simpangan

Setelah data didistribusi tersusun, tentukan letak juga nilai dari K1 dan K3 berada, dengan meggunakan rumus I. Letak K3 = ¾( n + 1 ) K1 = ¼( n+1 )II Nilai = K3 atau K1 L + b ( S – L )

L = nilai sebelum K3 atau K1. S = nilai dimana K3 dan K1 berada b = kekurangan unit untuk mencapai K3 atau k 1

Tabel Rentang antar Kuartil

25% 25 %

K1 K2 K3

Contoh mengetahui rentang kuartil ( kolesterol ) data tunggal

150, 152, 160, 165, 167, 169, 171, 174, 175, 593

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 Menentukan Letak

K3 = ¾( 10 + 1 ) = 8,25 8 K1 = ¼( 10+1 ) 2,75 3

( berada antara 8 & 9 berada antara 2 & 3 )

2. Nilai K3 = 174 + 0,25 ( 175 – 174 )

= 174 + 0,25 x 1 174 + 0,25 = 174,25

Nilai K1 = 152 + 0,75 ( 160 – 152)

= 152 + 0,75 x8 152 +6 = 158

Jadi rentang kuartil adalah 174,25 – 158 = 16,25

Rentang Data Bergolong

Untuk menghitung data rentang kuartil pada data bergolong

Maka : Letak kuartil diubah menjadi jumlah unit :

Letak : ⅹ = ( K x n ) / 4. Nilai Kuartil = K k = L + i ( x – f kum )

fL = tepi bawah klas dimana kuartil beradai = interval klasf kum = frekuensi kumulatif sebelum

kuartilf = frekuensi dimana kuartil beradax = letak kuartil

Data kuartil bergolong ( frekuensi distribusi kumulatif penderita hepatitis )

no umur f f kum

1

2

3

4

5

6

7

10 -- 19

20 -- 29

30 -- 39

40 -- 49

50 -- 59

60 -- 69

70 -- 79

2

23

15

11

9

5

2

2

25

40

51

60

65

67

jml 67

Letak K 3 = ( 3 x 67 ) / 4 = 50,25 terletak antara kelas 5 –6Letak K 1= ( 1 x 67 ) / 4 = 16, 75 terletak antara kelas 1 –2

Nilai kuartil K3 = 49,5 + 10 ( 50,25 – 51 ) / 9 = 49,5 – 0,83 = 48,67

Nilai Kuartil K1= 19,5 + 10 ( 16,75 – 2 ) / 23 = 19,5 + 6,41 = 25,91

jadi rentang kuartil adalah 48,67 – 25, 91 = 22,76

Desil ( Decile )Bila data yang telah disusun menjadi distribusi dan dibagi

menjadi 10 bagian yang sama maka disebut decil.

Prinsip penghitungan sama dengan penghitungan untuk

Kuartil. Dengan menghitung desil kita akan mendapat

informasi yang lebih teliti dibanding kuartil.

Contoh Hasil pemeriksaan kolesterol darah 10 orang Px Hypertensi, sbb

150, 152, 160, 165, 167, 169, 171, 174, 175, dan 180 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Letak Dd = data ke d ( n+ 1 ) / 10

Letak data D itu bisa dihitung mulai dat no 2 s/d 9

letak D4 = 4 ( 10 + 1 ) /10 = 4,4 antara data 4 & 5

letakD9 = 9(10+1 ) /10 = 9,9 antara data 9 & 10

Rumus Nilai D = Dd =L + b( S - L )

L ; nilai sebelum Dd

S : Nilai dimana D berada

B : kekurangan unit untuk mencapai Dd

Nilai D4 adalah : 160+0,6(165-160) = 160 + 3 = 163

Nilai D9 adalah : 175 + 0,1 ( 180 – 175 ) = 175 + 0,5= 175,5

Rentang decil adalah 175,5 – 163 = 12,5

Persentil ( Percentile )Persentil adalah suatu distribusi dibagi mejadi 100 bagian yang sama, dengan demikian akan mendapatkan 99 bagian yang sama. Pada prinsipnya penghitungannya sama dengan decile dan kuartil. Dengan persentil akan mendapatkan hasil yang lebih cermat.Letak Pp = ( Pp ) ke p ( n+1 ) / 100Nilai Pp = L + b ( S - L )

L = Nilai sebelum Pp S = Nilai dimana Pp berada

b = kekurangan unit untuk mencapai Pp

Contoh pemeriksaan BB dari 15 orang penyakit jantung

45, 46, 47, 48, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 63, 65

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Bila seseorang pasien dikatakan mempunyai BB yang

Terletak pada percentile 30 % maka berapakah berat

badannya

Jawab : Letak P30 = 30 ( 15 + 1) / 100 = 4,8

berada pada data antara 4 & 5

Nilai P30 = 4,8 + 0,7 ( 50 – 48 )

= 4, 8 + 1,4 = 49,4