Top Banner
PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY KALKULUS I MUG1A4 III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
28

III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Mar 02, 2019

Download

Documents

truongkien
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM

(PPDU) TELKOM UNIVERSITY

KALKULUS IMUG1A4

III. LIMIT DAN KEKONTINUAN

Page 2: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

11)(

2

xxxf

3.1 Limit Fungsi di Satu TitikPengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

21.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

Page 3: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Secara grafikDari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskansebagai berikut

211lim

2

1

xx

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

12

xx

Definisi (limit secara intuisi).Lxf

cx

)(limUntuk mengatakan bahwa berarti bahwa bilamana x dekat,

tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.

Page 4: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

2)2)(12(lim

2232lim

2

2

2

x

xxx

xxxx

512lim2

xx

33

39lim

39lim

99

xx

xx

xx

xx 9)3)(9(lim

9

x

xxx

853lim1

xx

Contoh1.

2.

63lim9

xx

3.

4. )/1sin(lim0

xx

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

x

)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

0

?

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

Page 5: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Lxfcx

)(lim 0, 0 | | | ( ) |x c f x L

Definisi Limit

jika

c

º

Untuk setiap 0

L

c

ºL

L

L

Terdapat sedemikian sehingga0

c

ºL

| |x c |)(| Lxfc c c

ºL

Page 6: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri(dari arah bilangan yang lebih kecil dari c) limit disebut limit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)limit disebut limit kanan,

c x

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

, maka tidak ada)(lim xfcx

Page 7: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

1,210,0,

)(2

2

xxxxxx

xf

)(lim0

xfx

Contoh

a. Hitung

d. Gambarkan grafik f(x)

c. Hitung

b. Hitung

1.

Page 8: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Jawaba. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x= 0

b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x = 1

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x = 2

2

0 00

0 0

lim ( ) lim 0lim ( ) 0

lim ( ) lim 0x x

xx x

f x xf x

f x x

1 12 1 1 1

1 1

lim ( ) lim 1lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim 2 3x x

x x xx x

f x xf x tidak ada karena f x f x

f x x

2

2 2lim ( ) lim 2 6x x

f x x

Page 9: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

d.

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1x

Grafik: parabola

di x=1 limit tidakada

22)( xxf

1

3

º

Page 10: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

1,1,3

)( 2 xcxxcx

xf

mempunyai limit di x=-1

Jawab:

Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka

1lim ( )

xf x

1lim 3 3

xcx c

1lim ( )

xf x

2

1lim 1

xx c c

Agar limit ada 3 + c = 1 - c

C = -1

1 1lim ( ) lim ( )

x xf x f x

Page 11: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

)(lim3

xfx

)(lim1

xfx

1lim ( )x

f x

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

f(-3)

f(-1)

f(1)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Soal Latihan

Page 12: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

1,21,1

)(2

2

xxxxx

xf

1lim ( )x

f x x

f x 1lim ( )

xf x

1lim ( )

xxxg 32)(

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

xg x

2lim ( )

22

)(

xx

xf

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

xf x

2lim ( )

B. 1. Diketahui :

a. Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung (bila ada) :

3. Diketahui , hitung (bila ada)

a. b. c.

a. b. c.

Page 13: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)(lim

)()(lim

Gbila

GL

xg

xf

xgxf

ax

ax

ax

nnax

nax

Lxfxf

)(lim)(lim

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f dan g ada serta berhingga)

maka

2.

3.

4. n

ax

n

axxfxf ))(lim())((lim

, n bilangan bulat positif

5. bila n genap dan L harus positif

1.

Page 14: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

222 )1(1

1sin)1()1(

xx

xx

)()()( xhxgxf

01

1sin)1(lim 2

1

xx

x

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

Lxgcx

)(lim

11sin)1(lim 2

1

xx

x

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

maka

Contoh : Hitung

Karena 1)1

1sin(1

x

dan 2 2

1 1lim ( 1) 0, lim( 1) 0x x

x x

maka

Page 15: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah atasi L g x

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hinggaa. Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

)(

)(lim

xgxf

ax

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahii L g x

( ) , jika 0 dan ( ) 0 dari arah bawahiii L g x atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Cttn :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif.g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.

Page 16: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

2

1lim 1 2 0

xx

11lim 2

2

1 xx

x

Contoh: Hitung

11lim

2

1

xx

xa.

2

21

1lim1x

xx

x

xx sinlim

b. c.

Jawaba. 021lim 2

1

x

x, g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karenax 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

11lim

2

1 xx

x

b. akan menuju 0 dari arah atas karenax -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapibilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadratkan pastilah lebih dari 1 sehingga bernilai positif

2, ( ) 1g x x

12 x

Sehingga

Page 17: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

0lim

xx

x

xx sinlim

c.

dan

f(x)=sinx

x

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arahbawah (arah nilai sin x negatif)

sehingga

Karena

Page 18: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Lxfx

)(lim

b. Limit di Tak Hinggaa. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

L

x

Contoh: Hitung

4252lim 2

2

xxx

x

Jawab:

)2()1(

lim2

2

42

522

x

xx

x xx

4252lim 2

2

xxx

x2

2

42

521lim

x

xxx

= 1/2

Page 19: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Lxfx

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

b.

L

x

Contoh: Hitung

4252lim 2

x

xx

Jawab: 2 2 2

2

22 2

2 5 52

2 42 4

( ) ( )2 5 0 0 0lim lim lim 0(2 ) 2 0 2( )2 4

xxx x x

xx x xxx x

xx

Page 20: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

2lim 3

xx x x

2

22

3lim 33x

x x xx x xx x x

Contoh: Hitung xxx

x

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

2 2

2

3lim3x

x x x

x x x

2

3lim3x

x

x x x

2

3

2 31

(1 )lim

(1 )x

xx x

x

x x

2

3

31

(1 )lim

1x

xx x

x

x x

22

3 3

3131

1 1 1 0 1lim lim21 0 0 11 11 1

x xx x

x xx x

x

x

Page 21: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Soal Latihan

limx

xx

3

33

limx x 2 2

3

4

)1(lim xxx

limx

x

x 1 2

11lim

2

xx

x

limx

x xx

2

1

.

Hitung:1.

2.

3.

4.

5.

6.

21

2 17. lim2x

xx x

2 2 58. lim2 5x

x xx

2

2 39. lim2x

xx x

Page 22: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Limit Fungsi Trigonometri1sinlim.1

0

xx

x

02. lim cos 1

xx

1tanlim.30

x

xx

Contoh:

0 4 00 0

0 2 0

sin4 sin4 sin4.4 lim .4 4 limsin4 44 4 4lim lim 2tan2 tan2 tan2tan2 2.2 lim .2 2 lim2 2 2

x xx x

x x

x x xxx x x xx x xx x

x x x

x 0 ekivalen dgn 4x 0

Page 23: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Soal Latihan

tt

t sin1coslim

2

0

ttt

t sec2sincotlim

0

tt

t 23tanlim

2

0

Hitung

1.

2.

3.

4.xx

x 2sintanlim

0

20

tanlim3x

xx x

5.

Page 24: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

Kekontinuan FungsiFungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

(ii)

(iii)

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan tidak kontinu di x=a

a

(i)

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

Page 25: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

a

(ii)

1L2L

Karena limit kiri (L1) tidak samadengan limit kanan (L2), maka f(x) tidak mempunyai limit di x = a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

(iii)

a

º

f(a) f(a) ada

)(lim xfaxL ada

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a

Page 26: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

(iv)

a

f(a)

f(a) ada

)(lim xfax

ada

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=a

Ketakkontinuan yang terhapuskan

Ketakkontinuan kasus (i) bisadihapus dengan caramendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsi

a

º

Page 27: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

Contoh:

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkanalasannya

24)(

2

xxxf

2,3

2,24

)(2

x

xxx

xfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

xfc.

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x = 2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu di x = 2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

22

2

2

x

xxx

xx

xxx

)2()(lim2

fxfx

-

- f(x) tidak kontinu di x=2

Page 28: III. LIMIT DAN KEKONTINUAN · limf(x) x c f x L f x L f ... Jika x , limit diatas adalah bentuk ( ) 22 2 3 lim x 3 x xx

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2()(lim2

fxfx

-

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x = 2