I · Web viewTujuan Pembelajaran : Menjelaskan konsep fungsi, daerah definisi dan daerah nilai fungsi sesuai definisi. Membuat rumus operasi fungsi yang diminta dari fungsi yang diberikan.

BAB IIFungsi dan Grafik

II. FUNGSI DAN GRAFIK

Tujuan Pembelajaran :

1. Menjelaskan konsep fungsi, daerah definisi dan daerah nilai fungsi sesuai

definisi.

2. Membuat rumus operasi fungsi yang diminta dari fungsi yang diberikan.

3. Menjelaskan konsep komposisi fungsi, daerah definisi dan daerah nilai

fungsi komposit

4. Menjelaskan konsep dasar fungsi trigonometri, memahami serta dapat

menggunakan rumus kesamaan trigonometri

5. menjelaskan perbedaan beberapa fungsi berdasarkan bentuk umum fungsi

dan grafiknya sesuai definisi.

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita harus menghubungkan diantara

beberapa sifat yang kita tinjau. Sebagai contoh; jarak yang ditempuh suatu objek

bergantung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu, jumlah kelinci dalam

sebuah rantai makanan mangsa binatang buas bergantung pada jumlah serigala yang

ada. Suatu hubungan diantara besaran tersebut seringkali dinyatakan dengan fungsi.

II.1. Fungsi

Seperti hal nya himpunan konsep fungsi memegang peranan yang penting dan

digunakan secara ekstnsif dalam matematika. Secara umum fungsi adalah suatu

aturan yang menghubungkan unsure-unsur di dua himpunan, definisi formalnya

adalah sebagai berikut.

Definisi 2.1. (Fungsi sebagai pemetaan)

Misalkan A dan B adalah dua himpunan tak kosong. Suatu fungsi dari A ke B adalah

suatu aturan yang memasangkan setiap unsure di A dengan tepat satu unsure di B.

Bila fungsi ini dilambangkan dengan f, maka unsure y di B yang merupakan

pasangan unsure x di A di beri lambing y = f(x), jadi kita mempunyai fungsi

Matematika 117


f : A B, y = f(x). dalam kasus ini y = f(x) dinamakan persamaan fungsi f dengan x

sebagai variable bebas dan y sebagai variable tak bebas.

Selanjutnya himpunan A dinamakan daerah definisi (daerah asal / domain) dari

fungsi f, yang dinotasikan dengan Df yaitu himpunan elemen-elemen sehingga

fungsi f mempunyai nilai riil. Kemudian himpunan semua nilai-nilai y di B yang

mempunyai pasangan di A dinamakan daerah nilai (daerah hasil / range) dari

fungsi f yang dinotasikan dengan Rf , dengan kata lain domain dan range dapat di

tuliskan dalam bentuk : Jika f : A B, maka :

Df = A atau Df = {x | f(x) R} dan

Rf = {f(x) | x Df}

Contoh 2.1.1

Carilah daerah definisi dan daerah nilai untuk fungsi f(x) =

Penyelesaian.

Untuk menghindari pembagian dengan nol, maka kita mengeculikan 3 pada fungsi f.

sehingga domain dari fungsi f adalah Df = { x R | x 3}. Untuk menenrukan

range dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

Misalkan y = f(x), maka y = atau xy = 1 + 3, sehingga x = , y 0. Jadi

range dari f adalah Rf = {f(x) R | f(x) 0}.

Contoh 2.1.2.

Carilah daerah definisi dan daerah nilai untuk fungsi g(x) =

Penyelesaian.

Dalam hal ini kita membatasi x sedemikian sehingga 9 – x2 0, dengan tujuan

menghindari nilai-nilai tak riil. Untuk menentukan domain g dapat dilakukan dengan

cara sebagai berikut : 9 – x2 0, maka 9 x2, atau x2 9, sehingga

-3 x 3. Jadi domain dari g adalah Dg = {x R | -3 x 3} atau dalam

interval Dg = [-3, 3].

Sedang kan untuk mencari range dapat di konstruksi dari domain hingga mendapat

batas nilai untuk fungsi g(x) = yang dilakukan dengan cara berikut :

Matematika 118


-3 x 3, maka 0 x2 9, maka - 9 - x2 0 sehingga 0 9 - x2

9, maka 0 3. jadi range g adalah Rg = {g(x) R | 0 g(x) 3}.

II.2. Operasi Fungsi

Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah

bilangan a + b, demikian juga halnya dua buah fungsi baru f dan g, walaupun fungsi

bukanlah suatu bilangan. Operasi jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi pada dua

buah fungsi didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.1. (Operasi fungsi)

Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x D.

2. (f - g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x D.

3. (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x D.

4. (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x D dan k adalah konstanta.

5. , untuk setiap x D dan g(x) 0.

Jika domain f adalah Df dan domain g adalah Dg maka domain untuk operasi fungsi f

dan g diatas adalah Df Dg.

Contoh 2.2.1.

Jika f(x) = dan g(x) = , dengan masing-masing domain : Df = {x | x -1}

dan Dg = {x | x 0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi berikut :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x)

= + = , dengan Df + g = R – {-1, 0}

2. (f - g) (x) = f(x) - g(x)

= - = , dengan Df – g = R – {-1, 0}

3. (f . g) (x) = f(x) . g(x)

Matematika 119


= = , dengan Df . g = R – { -1, 0}

4.

= = , dengan Df / g = R – {-1}

5. (5. f) (x) = 5 . f(x)

= 5 = , dengan D5.f = R – {-1}.

Bila dua fungsi terdefinisi pada himpunan yang sama dan nilai fungsinya juga sama

pada himpunan itu, maka kedua fungsi tersebut kita katakana sama yang secara

matematis didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.2. (Fungsi yang sama)

Fungsi f dan g dikatakan sama (ditulis f g), jika Df = Dg dan f(x) = g(x), untuk

setiap x D.

Contoh 2.2.2.

Untuk fungsi f(x) = 1 dan fungsi g(x) = x / x, kedua fungsi ini tidak sama karena

tidak terdefinisi pada himpunan yang sama. Tetapi bila domainnya dibatasi pada

(0, ) maka f g pada (0, ).

Contoh 2.2.3.

Fungsi f(x) = c0s2 x dan g(x) = 1 – sin2x adalah sama, karena Df = Dg = R dan

f(x) = g(x), untuk setiap x D.

II.3. Komposisi Fungsi

Matematika 120


Definisi 2.3.1. (Fungsi g komposisi f)

Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Dg maka terdapat fungsi dari himpunan

bagian Df ke himpunan bagian Rg. fungsi ini dinamakan komposisi dari g dan f,

ditulis gof (bearti f dilanjutkan g) dengan persamaan yang ditentukan oleh

(g o f)(x) = g(f(x)). Domain g o f adalah : Dg o f = {x Df | f(x) Dg}. dan range nya

adalah : Rg o f = {g(x) Rg | x Rf}

Definisi 2.3.2. (Fungsi f komposisi g)

Jika fungsi f dan g memenuhi Rg Df maka terdapat fungsi dari himpunan

bagian Dg ke himpunan bagian Rf. fungsi ini dinamakan komposisi dari f dan g,

ditulis fog (bearti g dilanjutkan f) dengan persamaan yang ditentukan oleh

(f o g)(x) = f(g(x)). Domain f o g adalah : Df o g = {x Dg | g(x) Df}. dan range nya

adalah : Rf o g = {f(x) Rf | x Rg}.

Contoh 2.3.

Diketahui f(x) = dan g(x) = 1 + x2.

a. Perlihatkan bahwa fungsi g o f dan f o g terdefinisi

b. Tentukan persamaan fungsi g o f dan f o g

c. Tentukan domain dan range fungsi g o f dan f o g.

Penyelesaian,

a. f(x) = , maka Df = [-1, ) dan Rf = [0, )

g(x) = 1 + x2, maka Dg = R dan Rg = [1, )

karena Rf Dg = [0, ) R = [0, ) , maka g o f terdefinisi.

Dan karena Rg Df = [1, ) [-1, ) = [1, ) , maka f o g terdefinisi.

b. Persamaan fungsi :

(g o f)(x) = g(f(x)) = g( ) = 1 + ( )2 = 2 + x, dan

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 + x2) = = .

c. Domain dan range fungsi :

Matematika 121


fungsi g o f.

Dg o f, maka akan ditentukan x terhadap Rf Dg

0 < , maka 0 1 + x < , maka -1 x < ,

sehingga Dg o f = [-1, ]

Rg o f , maka akan ditentukan g(x) terhadap Rf

0 x < , maka 0 x2 < , maka 1 1 + x2 < , maka 1 g(x) < ,

sehingga Rg o f = [1, ).

fungsi f o g.

Df o g, maka akan ditentukan x terhadap Rg Df

1 1 + x2 < , maka 0 x2 < , maka 0 x < ,

sehingga Df o g = [0, ]

Rf o g , maka akan ditentukan f(x) terhadap Rg

1 x < , maka 2 1 + x < , maka < ,

maka f(x) < , sehingga Rf o g = [ , ).

II.4. Fungsi Trigonometri

Definisi trigonometri didasarkan pada kuantitas besaran panjang dan sudut dari

suatu segitiga siku-siku, namun disini kita akan lebih terlibat pada fungsi

trigonometri berdasarkan lingkaran satuan yang jika ditinjau domainnya adalah riil

bukan himpunan sudut-sudut.

Definisi 2.4.1. (Trigonometri dengan perbandingan sudut segitiga siku-siku)

Matematika 122


Diketahui segitiga ABC, dengan sudut BAC = , sisi tegak (proyektor) = BC, sisi

datar (proyeksi) = AB dan sisi miring (proyektum) = AC.

C

Proyektor Proyektum

B A

Proyeksi

Gambar 2.4.1.

Berdasarkan segitiga siku-siku tersebut, maka trigonomrti didefinisikan sebagai :

Perhatikan lingkaran satuan pada gambar 1.4.2. dengan persamaan x2 + y2 = 1,

berpusat di titik asal dan bejari-jari satu. Nyatakan koordinat (1, 0) dengan A dan t

sebarang bilangan positif, maka terdapat tept satu titik B(x, y) sehingga panjang

busur AB adalah t. y

B(x, y)

t

A(1, 0) x

Gambar 2.4.2.

Matematika 123


Karena keliling lingkaran adalah 2, sehingga jika t > 2 di perlukan lebih dari satu

putaran penuh untuk menelusuri t, jika t = 0 maka A = B, jika t < 0 maka kita juga

akan memperoleh satu titik unik B(x, y) sehingga muncul definisi sinus dan kosinus.

Definisi 2.4.2. (Sinus dsn kosinus)

Andaikan t menentukan titik B(x, y) pada keterangan gambar 1.4.2., maka

Sin t = y dan cos t = x.

Dari dua rumusan tersebut diperoleh empat rumus fungsi trigonometri lainnya

yaitu :

Tan t = Cotan t =

Sec t = Cosec t =

Definisi 2.4.3. (Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus)

Pada fungsi sinus dan kosinus berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

1. -1 sin t 1 dan -1 cos t 1

2. sin (t + 2) = sin t dan cos (t + 2) = cos t

3. sin (- t) = - sin t dan cos (- t) = cos t

4. sin = cos t dan cos = sin t

5. sin2 t + cos2 t = 1

Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus memberikan sifst-sifst fungsi trigonometri

lainnya, yaitu :

1. Tan (- t) = - tan t

2. 1 + tan2 t = sec2 t dan 1 + cotan2 t = cosec2 t

Matematika 124


Adapun grafik fungsi trigonometri diperlihatkan pada gambar 1.4.3. berikut :

y y

x x

(a).Grafik fungsi sinus (b). Grafik fungsi kosinus

Gambar 2.4.3.

y

x

(c). Grafik fungsi tangens

Gambar 2.4.3.

Definisi 2.4.4. (Rumus rangkap trigonometri)

Berikut ini diberikan rumus rangkap trigonometri yang mungkin banyak diperlukan

dalam materi matematika dan ilmu lainnya.

1. Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

2. Sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y

Matematika 125


3. Cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y

4. Cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y

5. Tan (x + y) =

6. Tan (x - y) =

7. Sin 2x = 2 sin x cos x

8. Cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x – 1 = 1 – 2 sin2 x

9. Sin x + sin y = 2 sin cos

10. Cos x + cos y = 2 cos cos

11. Sin x . sin y = [cos (x + y) – cos (x – y)]

12. Cos x . cos y = [cos (x + y) + cos (x – y)]

13. Sin x . cos y = [sin (x + y) + sin (x – y)]

II.5. Macam-macam Fungsi dan Grafiknya

II.5.1. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Dengan melihat sifat simetri suatu himpunan titik dapat di rancang konsep fungsi

genap dan fungsi ganjil yang di definisikan sebagai berikut.

Definisi 2.5.1. (Fungsi genap dan fungsi ganjil)

Fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap, jika f(- x) = f(x), untuk setiap x Df.

Dan fungsi y = f(x) dikatakan ganjil, jika f(- x) = - f(x), dalam hal ini daerah asal f

sekaligus memuat x dan – x.

Matematika 126


Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil adalah :

1. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y

2. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0, 0) atau ttitik asal.

Secara geometris sifat tersebut dapat dilihat pada gambar 1.5.1. berikut.

y y

y = f(x) f(-x)= - f(x)

x

x

(a). Grafik fungsi genap (b). Grafik fungsi ganjil

Gambar 1.5.1.

Contoh 2.5.1.

1. Fungsi f(x) = x2 adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x), x R

2. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi ganjil, karena f(-x) = sin (-x) = - sin x = -

f(x), untuk setiap x R.

3. Fungsi f(x) = x3 – x2 adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil, karena

terdapat x Df sehingga f(-x) = (-x)3 – (-x)2 = -x3 – x2 - f(x).

4. Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, karena f(-x) = 0 = f(x)

dan f(-x) = 0 = - f(x), untuk setiap x Df

5. Fungsi f(x) = - tidak dapat dikatakan sebagai fungsi genap maupun

fungsi ganjil Karen daerah asalnya tidak memuat x atau – x secar bersamaan

(bukan himpunan simetri).

II.5.2. Fungsi Konstanta

Bentuk fungsi konstanta adalah f(x) = k, k adalah konstanta, Df = R dan Rf = {k}.

Matematika 127


Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 1.5.2.

y

f(x) = k

x

Gambar 1.5.2.

II.5.3. Fungsi Identitas

Bentuk fungsi identitas adalah f(x) = x, Df = R dan Rf = R.

Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 1.5.3.

y

f(x) = x

x

Gambar 1.5.3.

II.5.4. Fungsi Linier

Bentuk fungsi linier adalah f(x) = ax + b, Df = R dan Rf =

Grafik fungsi linier adalah garis lurus, dalam kasus a = 0 fungsi linier menjadi

fungsi konstanta, disini a dinamakan gradient dari garis lurus sedangkan b

menyatakan ordinat titik potong garis lurus dengan sumbu y, yaitu b = f(0).

Grafik fungsi linier diperlihatkan pada gambar 1.5.4.

y f(x) = ax + b y f(x) = ax y

f(x) = ax + b

Matematika 128


- b/a x x -b/a x

a > 0 dan b > 0 a > o dan b = 0 -b a > 0 dan b < 0

Gambar 1.5.4.

II.5.5. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a 0, Df = R.

Pada bentuk kuadrat ini bilangan riil D = b2 – 4ac dinamakan diskriminan fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat dapat juga dituliskan dalam bentuk :

f(x) = a , a 0. dengan Rf =

grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, seperti diperlihatkan pada gambar 1.5.5.

y y y

-D/4a

x2 -b/2a x1 x -b/2a x -b/2a x

-D/4a

a > 0 dan D > 0 a > 0 dan D = 0 a > 0 dan D < 0

Gambar 1.5.5.

Dalam kasus D > 0 fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik berbeda dengan

absis : x1 = dan x2 =

Dengan memperhatikan bentuk x1 dan x2 maka diperoleh kesimpulan :

1. Jika a > 0, maka x1 > x2

2. Jika a < 0, maka x1 < x2

3. Untuk kasus D > 0, maka x1 = ; x2 =

RANGKUMAN FUNGSI DAN GRAFIK

1. Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, suatu fungsi dari A ke B

adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsure di A dengan tepat satu

unsur di B.

Matematika 129


2. Domain (daerah asal) dari fungsi f adalah himpunan elemen-elemen

sehingga fungsi f mempunyai nilai riil, sedangkan daerah nilai (range) dari

fungsi f adalah himpunan semua nilai-nilai di himpunan B yang mempunyai

pasangan di himpunan A.

3. Operasi fungsi : jika f dan g terdefinisi pada himpunan D,maka

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x), untuk setiap x D

b. (f – g)(x) = f(x) – g(x), untuk setiap x D

c. (f. g)(x) = f(x). g(x), untuk setiap x D

d. (k.f)(x) = k. f(x), untuk setiap x D

e. , untuk setiap x D

4. Rumus rangkap trigonometri

a. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

b. sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y

c. cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y

d. cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

e. tan (x + y) =

f. tan (x – y) =

g. sin 2x = 2 sin x cos x

h. cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x – 1 = 1 – 2 sin2 x.

i. sin x + sin y = 2 sin cos

j. cos x + cos y = 2 cos cos

k. sin x sin y = [cos (x + y) – cos (x – y)]

l. cos x cos y = [cos (x + y) + cos (x – y)]

m. sin x cos y = [sin (x + y) + sin (x – y)]

Matematika 130


SOAL-SOAL LATIHAN

Latihan 2.1.

Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut :

1. f(x) =

2. h(x) =

3. g(x) =

Matematika 131


4. s(x) =

5. t(x) =

Latihan 2.2

Tentukan hasil operasi f + g, f – g, f . g, f / g, dan g / f beserta domain dari fungsi

yang diberikan berikut ini.

1. f(x) = dan g(x) =

2. f(x) = x dan g(x) =

3. f(x) = dan g(x) =

4. f(x) = dan g(x) =

5. f(x) = dan g(x) = .

Latihan 2.3.

Untuk fungsi-fungsi yang diberikan :

a. Tentukan domain dan range dari f dan g

b. Selidiki apakah fungsi f o g dan g o f terdefinisi

c. Jika fungsi komposisi pada poin (b) terdefinisi, tentukan domain dan range

dari masing-masing fungsi komposisi tesebut.

Matematika 132


1. f(x) = 4x – x2 dan g(x) =

2. f(x) = dan g(x) =

3. f(x) = 1 – x2 dan g(x) = 1 + 2x

4. f(x) = dan g(x) =

5. f(x) = dan g(x) = 1- x2.

Latihan 2.4.

Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri periksalah (tunjuk kan) kebenaran

kesamaan berikut :

1. (1 + sin x) (1 – sin x) =

2. Sec x – sin x . tan x = cos x

3. = sin2 x

4.

5. (1 – cos2 x) (1 + cotan2 x) = 1

Latihan 2.5.

Untuk soal 1, 2 dan 3 selidiki apakah fungsi yang diberikan genap, ganjil atau bukan keduany.

1. f(x) = x3 + sin x

2. g(x) = 2x + 1

3. h(x) =

Untuk soal 4 dan 5 tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan genap atau ganjil dan gambarkan grafik fungsinya.

Matematika 133


4. s(x) =

5.

Matematika 134


Matematika 135


Matematika 136

I · Web viewTujuan Pembelajaran : Menjelaskan konsep fungsi, daerah definisi dan daerah nilai fungsi sesuai definisi. Membuat rumus operasi fungsi yang diminta dari fungsi yang diberikan.

Documents