Handout Matdas Pet

1

BAB I

SISTEM BILANGAN REAL DAN PERTIDAKSAMAAN

I.1 Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real merupakan sistem bilangan yang memuat seluruh bilangan

rasional maupun bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat

dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat dengan penyebutnya tidak nol. Dengan

demikian, semua bilangan bulat termasuk bilangan rasional. Bilangan irrasional adalah

bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat. Sebagai

contoh, 2 dan 5 merupakan bilangan irrasional. Dengan kata lain, sistem bilangan real

memuat semua bilangan yang terletak pada garis bilangan (seperti yang sudah kita kenal

sejak kita di sekolah dasar). Sistem bilangan real selanjutnya dinotasikan dengan simbol ℜ

dan notasi a∈ℜ menyatakan bahwa bilangan a merupakan bilangan real.

Seperti sudah kita ketahui, setiap dua bilangan real selalu dapat dijumlahkan dan

dikalikan dan hasilnya juga berupa bilangan real. Terhadap dua operasi ini, sistem bilangan

real mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

Untuk setiap , ,a b c∈ℜ berlaku sifat :

I. Terhadap operasi penjumlahan ”+”

1. ( ) ( )a b c a b c+ + = + + (sifat assosiatif )

2. a b b c+ = + (sifat komutatif)

3. 0 0a a a+ = + = ( 0 sebagai elemen netral terhadap operasi penjumlahan ”+”)

4. ( ) ( ) 0a a a a+ − = − + = ( a− merupakan invers penjumlahan a )

II. Terhadap operasi perkalian ”.”

1. ( . ). .( . )a b c a b c= (sifat assosiatif)

2. . .a b b a= (sifat komutatif)

3. .1 1.a a a= = ( 1 sebagai elemen netral terhadap operasi perkalian ”.”)

4. Jika 0a ≠ maka 1a

ada dan 1 1. . 1a aa a= = ( 1

a merupakan invers perkalian a )

III. Terhadap operasi penjumlahan ”+” dan perkalian ”.”

1. .( ) ( . ) ( . )a b c a b a c+ = + (sifat distributif kiri)

2. ( ). ( . ) ( . )a b c a c b c+ = + (sifat distributif kanan)

2

Selanjutnya, untuk memudahkan penulisan, .a b cukup ditulis dengan ab dan untuk

kesepakatan, operasi perkalian lebih kuat dibandingkan dengan operasi penjumlahan. Hal

ini berarti bahwa,

.( ) ( . ) ( . )a b c a b a c+ = +

mempunyai arti yang sama dengan

( )a b c ab ac+ = + .

Selain sifat-sifat di atas, juga perlu dikenalkan penulisan yang berlaku pada sistem

bilangan real.

1. suku

.........n

na a a= + +

2. 1.a ab b=

3. faktor

..........n

n

a a a=

Sifat-sifat lain yang berlaku di dalam sistem bilangan real :

I. 1. ( 1)a a− = −

2. ( ) ( )a b a b ab− = − = −

3. ( )( )a b ab− − = −

4. ( )a a− − =

II. 1. 0 0, untuk setiap 0aa= ≠

2. tidak terdefinisikan0a

3. 1, untuk setiap 0a aa= ≠

4. a c ad bcb d bd

++ = asalkan , 0b d ≠ .

5. . asalkan , 0a c ac b db d bd

= ≠

6. jika , 0 maka ac ab cbc b

≠ =

III. 1. m n m na a a +=

3

2. ( )m n mna a=

3. 1mma

a− =

IV. Jika dan 0 maka ac bc c a b= ≠ =

Relasi Urutan di dalam Sistem Bilangan Real dan Sifat-Sifatnya

Bilangan real dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok bilangan positif (>0),

negatif (<0) dan nol (0). Bilangan real a dikatakan kurang dari b ( a b< ) jika a b− negatif

atau dengan kata lain b a− positif.

NOTASI :

a b< : a kurang dari b ( b lebih dari a )

a b≤ : a kurang dari atau sama dengan b ( b lebih besar atau sama dengan a)

a b≥ : a lebih dari atau sama dengan b

Sifat relasi urutan :

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku :

1. Jika a b≤ maka a c b c+ ≤ +

2. Jika dan maka a b b c a c≤ ≤ ≤

3. a. Jika a b≤ dan 0c > maka ac bc≤

b. Jika a b≤ dan 0c < maka ac bc≥

4. a. Jika 0a > maka 1 0a>

b. Jika 0 a b< ≤ maka 1 1b a≤

5. Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu :

, atau a b a b a b< = >

6. Jika , 0a b ≥ maka

2 2a b a b a b≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Notasi:

Himpunan semua bilangan real antara a dan b ditulis dengan notasi :

{ | }x a x b∈ℜ < < atau ( , )a b

4

Himpunan semua bilangan real antara a dan b termasuk b ditulis dengan notasi :

{ | }x a x b∈ℜ < ≤ atau ( , ]a b

Himpunan semua bilangan real antara a dan b termasuk a ditulis dengan notasi :

{ | }x a x b∈ℜ ≤ < atau [ , )a b

Himpunan semua bilangan real antara a dan b termasuk a dan b ditulis dengan notasi :

{ | }x a x b∈ℜ ≤ ≤ atau [ , ]a b

Himpunan semua bilangan real yang lebih besar dari a ditulis dengan notasi :

{ | }x x a∈ℜ > atau ( , )a ∞

Himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a ditulis dengan notasi

{ | }x x a∈ℜ ≥ atau [ , )a ∞

Himpunan semua bilangan real yang lebih kecil dari a ditulis dengan notasi :

{ | }x x a∈ℜ < atau ( , )a−∞

Himpunan semua bilangan real yang lebih kecil atau sama dengan a ditulis dengan notasi :

{ | }x x a∈ℜ ≤ atau ( , ]a−∞

Himpunan yang tidak mempunyai anggota (disebut himpunan kosong) dinotasikan dengan

{ } atau ∅

Catatan :

Tanda ”∞ ” dibaca ”tak berhingga” (Bilangan ∞ tidak termasuk dalam bilangan real)

I.2 Pertidaksamaan

Berikut ini adalah contoh pertidaksamaan :

1. 2 5 9x + <

2. 23 1 3x x+ ≥ +

3. 3 3 1 7x< − + ≤

4. 12x x< +

5. 21

xx

<+

Secara umum pertidaksamaan memuat variabel ( , , ...x y z dan seterusnya ) dan tanda

, , atau≤ ≥ < > .

5

Penyelesaian pertidaksamaan

Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan adalah himpunan semua bilangan real yang

memenuhi pertidaksamaan. Penyelesaian pertidaksamaan dapat dicari dengan

menggunakan sifat-sifat bilangan real.

Contoh :

1. Penyelesaian dari pertidaksamaan 2 5 9x + <

2 5 92 5 ( 5) 9 ( 5)2 41 1.2 .42 2

2

xxx

x

x

+ <+ + − < + −<

<

<

Himpunan penyelesaian (HP) : { | 2}x x∈ℜ <

2. Penyelesaian dari pertidaksamaan 23 1 3x x+ ≥ +

2

2

2

2

2

3 1 33 1 33 1 33 1 3 3 33 2 0(3 2)( 1) 0

x xx x x xx xx xx xx x

+ ≥ +

+ − ≥ + −

− + ≥

− + − ≥ −

− − ≥+ − ≥

Perhatikan bahwa (3 2)( 1) 0x x+ − ≥ akan dipenuhi jika 3 2x + dan 1x − keduanya

bernilai 0≥ atau keduanya bernilai 0≤ .

Perhatikan pula bahwa 3 2x + akan bernilai nol jika 23

x = − . Jika 23

x > − maka 3 2x +

bernilai positif dan jika 23

x < − maka 3 2x + bernilai negatif.

Lebih lanjut, 1x − akan bernilai nol untuk 1x = . Jika 1x > maka 1x − bernilai positif

dan jika 1x < maka 1x − bernilai negatif.

Berdasarkan keterangan di atas kita dapat merangkum dalam garis bilangan sebagai

berikut :

6

Dari garis bilangan ketiga terlihat bahwa (3 2)( 1)x x+ + bernilai positif untuk nilai-nilai x

yang kurang dari 23

− ( 23

x < − ) atau untuk nilai-nilai x yang lebih dari 1 ( 1x > ). Untuk

23

x = − dan 1x = , (3 2)( 1)x x+ + bernilai 0. Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan

23 1 3x x+ ≥ + adalah :

HP = 2{ | atau 1}3

x x x∈ℜ ≤ − ≥

Penyelesaian pertidaksamaan 3, 4 dan 5 diserahkan kepada pembaca sebagai latihan !

I.3 Harga Mutlak

Harga mutlak dari bilangan real x (dinotasikan dengan |x| ) didefinisikan sebagai berikut :

2 jika 0| |

jika 0x x

x xx x

≥⎧= = ⎨− <⎩

Dari definisi terlihat bahwa nilai |x| menjalani nilai positif atau nol.

Sifat harga mutlak:

Jika 0a > maka :

a. | |x a a x a≤ ⇔ − ≤ ≤

b. | | ataux a x a x a≥ ⇔ ≤ − ≥

23−

1

23− 1

+ + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +

3 2x +

1x +

(3 2)( 1)x x+ + + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +

7

Latihan soal :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini :

1. 3 2 0x x x+ + ≤

2. 12 3

xx

<+

3. 2 5 01

xx+

>+

4. 2 3 6 54

x x+≤ −

5. | 6 | 9x + <

6. | 2 | | 5 2 |x x− > −

7. | 2 1|x x+ ≤

8

BAB II

FUNGSI

II.1 Sistem Koordinat

Sistem koordinat digunakan untuk menentukan posisi suatu titik di dalam ruang.

Pada pembahasan di dalam matematika dasar ini hanya dikhususkan pada ruang dimensi 2

dan sistem koordinat yang dipakai adalah sistem koordinat kartesius. Pada sistem koordinat

kartesius, terdapat dua sumbu (garis) acuan yaitu sumbu X (horisontal) dan sumbu Y

(vertikal) yang keduanya saling tegak lurus dan berpotongan di titik O sebagai titik origin.

Posisi suatu titik A dinyatakan dengan pasangan berurutan ( , )x y dengan | |x menyatakan

jarak titik A terhadap sumbu Y dan | |y menyatakan jarak titik A terhadap sumbu X. Titik

origin O dinyatakan dengan O(0,0). Sebarang titik di sumbu X dinyatakan dalam bentuk

( ,0)x dan sebarang titik di sumbu Y dinyatakan dalam bentuk (0, )y . Jika x bernilai

positif berarti titik A terletak di sebelah kanan sumbu Y dan jika x bernilai negatif maka

titik A terletak di sebelah kiri sumbu Y. Jika y bernilai positif berarti titik A terletak di

atas sumbu X dan jika y bernilai negatif berarti titik A terletak di bawah sumbu X. Posisi

di sebelah kanan sumbu Y dan di atas sumbu X disebut kuadaran I, posisi di sebelah kiri

sumbu Y dan di atas sumbu X disebut kuadran II, posisi di sebelah kiri sumbu Y dan di

bawah sumbu X disebut kuadaran III dan posisi di sebelah kanan sumbu Y dan di bawah

sumbu X disebut kuadaran IV. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut :

X titik O

kuadran I

kuadran III

kuadran II

kuadran IV

Y

9

II.2 Fungsi

Yang dimaksud dengan fungsi (pemetaan) f dari himpunan A ke himpunan B

adalah relasi yang mengawankan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota

B . Selanjutnya, fungsi f dari A ke B dinotasikan dengan

:f A B→ .

Himpunan A dan B berturut-turut disebut domain dan kodomain fungsi f .

Domain fungsi f dinotasikan dengan fD . Jika tidak ada pembatasan domain suatu

fungsi, maka domain dari fungsi tersebut adalah daerah terbesar di mana fungsi masih bisa

terdefinisikan.

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut daerah hasil

dari f (range fungsi f ) dan dinotasikan dengan fR . Jadi,

{ ( ) | }f fR f x x D= ∈

Untuk memperjelas keterangan di atas, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh :

1. Diberikan {1, 2,3}A = dan { , , }B a b c= . Relasi f dengan pengawanan sebagai

berikut :

merupakan fungsi. Daerah hasil f adalah { , }fR a c= . Mengapa ?

1

2

3

b

a

c

f

10

2. Diberikan {1, 2,3}A = dan { , , }B a b c= . Relasi f dengan pengawanan sebagai

berikut

bukan fungsi. Mengapa ?

3. Diberikan (0,5)A = dan B = ℜ . Relasi f dari A ke B dengan pengawanan

sebagai berikut : 2( ) 2x f x x→ =

merupakan fungsi. Daerah hasilnya adalah { | 0 50}fR x x= ∈ℜ < < . Mengapa ?

4. Diberikan (0,5)A = dan B = ℜ . Relasi f dari A ke B dengan pengawanan

sebagai berikut :

( )x f x→ sedemikian sehingga 2( ( ))f x x=

bukan merupakan fungsi. Mengapa ?

5. Pengawanan f dari himpunan A ke himpunan B dengan definisi

( ) 1x f x x→ = −

merupakan fungsi dengan domain { | 1}fD x x= ∈ℜ ≥ dan daerah hasil

{ | 0}fR x x= ∈ℜ ≥ . Mengapa ?

Fungsi injektif, fungsi surjektif dan fungsi bijektif

Diberikan fungsi :f A B→ .

1. Jika setiap anggota B mempunyai kawan di A maka f disebut fungsi surjektif

(onto).

1

2

3

b

a

c

f

11

2. Jika setiap anggota di daerah hasil f di B mempunyai kawan yang tunggal di A

maka f disebut fungsi injektif (1-1).

3. Jika setiap anggota B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi

bijektif (korespondensi 1-1).

Operasi Fungsi

Diberikan sebarang bilangan real k dan dua fungsi f dan g. Jumlahan f g+ , selisih f g− ,

hasil kali skalar k f , hasil kali .f g dan hasil bagi /f g berturut-turut didefinisikan

sebagai berikut :

1. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

2. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −

3. ( )( ) ( )k f x k f x=

4. ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x=

5. ( )( / )( )( )

f xf g xg x

= asalkan ( ) 0g x ≠

Domain masing-masing fungsi pada poin 1 sampai dengan poin 4 di atas sama dengan

irisan domain f dan domain g yaitu :

.f g f g kf f g f gD D D D D D+ −= = = = ∩

sedangkan

/ ( ) { | ( ) 0}f g f gD D D x g x= ∩ − =

Fungsi Invers

Diberikan fungsi :f A B→ yang merupakan fungsi bijektif. Fungsi invers dari f

(dinotasikan dengan 1f − ) adalah fungsi bijektif kebalikan f yang memetakan dari B ke A

atau 1 :f B A− → . Dengan kata lain, domain dari fungsi invers 1 :f B A− → adalah daerah

hasil (range) fungsi :f A B→ . Sebaliknya, domain fungsi :f A B→ adalah daerah hasil

(range) fungsi 1 :f B A− → .

Sebagai catatan, terkadang kita harus membatasi domain suatu fungsi agar fungsi

tersebut merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers.

12

Contoh : (Tentukan domain masing-masing fungsi sebagai latihan)

1. Fungsi :f ℜ→ℜ dengan 1( )2

xf x −= merupakan fungsi bijektif. Fungsi 1 :f − ℜ→ℜ

dengan 1( ) 2 1f x x− = + merupakan fungsi invers f .

2. Fungsi invers 2( )y f x x= = adalah fungsi 1( )y f x x−= =

3. Fungsi invers 1( )2 3xy f xx+

= =+

adalah fungsi 1 1 3( )1 2

xy f xy

− −= =

− +

4. Fungsi invers ( ) 2xy f x= = adalah fungsi 1 2( ) logy f x x−= =

5. Fungsi invers ( ) siny f x x= = adalah fungsi 1( ) arcsiny f x x−= =

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dari dua fungsi f dan g (dinotasikan dengan f g ) didefinisikan sebagai

berikut :

( )( ) ( ( ))f g x f g x=

dengan domain f g adalah { | ( ) }f g fD x g x D= ∈ℜ ∈ .

Contoh :

Diberikan fungsi f dengan ( )f x x= dan fungsi g dengan ( ) 2 1g x x= + . Komposisi

f g adalah ( )( ) ( ( )) ( ) 2 1f g x f g x g x x= = = + dengan

{ | ( ) 0}

{ | 2 1 0}{ | 2 1}

1{ | }2

f gD x g x

x xx x

x x

= ∈ℜ ≥

= ∈ℜ + ≥= ∈ℜ ≥ −

= ∈ℜ ≥ −

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi f dikomposisikan dengan fungsi inversnya yaitu 1f − maka diperoleh :

1 1( )( ) ( )( )f f x f f x x− −= =

Dengan kata lain 1 1f f f f− −= merupakan fungsi identitas yang memetakan x ke

dirinya sendiri.

13

II.3 Grafik Fungsi

Grafik fungsi f adalah kumpulan titik-titik ( , )x y dengan ( )y f x= untuk seluruh x

di dalam domain f. Jadi, grafik fungsi f adalah himpunan

{( , ( )) | }fx f x x D∈

Perhatikan bahwa titik ( , )x y berada di grafik fungsi f jika dan hanya jika ( )y f x= .

Contoh :

Titik (1,2) berada di grafik fungsi f dengan 2( ) 1y f x x= = + sebab 22 1 1= + . Sementara

titik (- 4,10) tidak berada di grafik fungsi f sebab 2( 4) 1 17 10− + = ≠ .

Secara visual, grafik fungsi f dapat dinyatakan sebagai berikut :

Macam-Macam Fungsi dan Grafiknya

I Fungsi polinomial (suku banyak)

Yang dimaksud dengan fungsi suku banyak berderajat n adalah fungsi dengan

bentuk : 2

0 1 2( ) ... , 0nn ny f x a a x a x a x a= = + + + + ≠

Jika 1n = maka fungsi suku banyak tersebut merupakan fungsi linear.

Jika 2n = maka fungsi suku banyak tersebut merupakan fungsi kuadrat.

Jika 3n = maka fungsi suku banyak tersebut merupakan fungsi pangkat tiga

1. Fungsi linear

Secara umum, fungsi linear mempunyai persamaan :

( )y f x mx c= = +

X

Y

( )y f x=

0x

0 0( )y f x= 0 0( , ( ))x f x

14

dan mempunyai grafik yang berupa garis lurus dengan kemiringan (gradien) m.

Dalam hal 0m = , fungsi linear menjadi berbentuk ( )y f x c= = dan disebut fungsi

konstan. Grafik fungsi konstan ini sejajar dengan sumbu X.

Jika diketahui suatu garis lurus mempunyai gradien m dan melalui titik 0 0( , )x y

maka persamaan fungsi linear garis tersebut adalah :

Garis lurus yang melalui dua titik 0 0( , )x y dan 1 1( , )x y mempunyai gradien :

Dengan demikian, dengan diketahuinya dua titik yang dilalui, persamaan suatu garis selalu

bisa dicari.

Jika diberikan dua garis 1l dan 2l dengan gradien berturut-turut 1m dan 2m maka:

1. 1l sejajar dengan 2l jika dan hanya jika 1 2m m=

2. 1l tegak lurus 2l jika dan hanya jika 1 2. 1m m = −

Contoh :

Grafik berikut adalah grafik fungsi: 32( ) 1, ( ) dan ( )y f x x y f x x y f x x= = + = = + = = −

3l

2l

1l

1 2 31 2

1 1,m m mm m

= = − = −

0 0( )y y m x x− = −

1 0 0 1

1 0 0 1

y y y ymx x x x− −

= =− −

15

-1 -0.5 0.5 1X

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

Y

2. Fungsi Kuadrat

Secara umum, fungsi kuadrat mempunyai persamaan : 2( ) , 0y f x ax bx c a= = + + ≠

dan grafik berupa parabola. Grafik fungsi kuadrat akan memotong sumbu X jika fungsi

kuadrat 2( )y f x ax bx c= = + + mempunyai akar atau terdapat nilai 1x dan 2x ( 1x dan 2x

boleh sama) sehingga 1 2( ) ( ) 0f x f x= = . Jika 1x dan 2x tersebut ada (real) maka 1x dan

2x disebut akar-akar (real) dari 2( )y f x ax bx c= = + + . Akar-akar tersebut dapat dicari

dengan cara memfaktorkan yaitu 2( )y f x ax bx c= = + + diubah menjadi berbentuk :

16

1 1 2 2( )( )a x b a x b+ +

Jadi, pemfaktoran 2( )y f x ax bx c= = + + ke bentuk 1 1 2 2( )( )a x b a x b+ + harus memenuhi :

1. 1 2a a a=

2. 1 2 2 1a b a b b+ =

3. 1 2b b c=

Selain dengan cara memfaktorkan, rumus ”ABC” juga bisa digunakan untuk mencari akar-

akar suatu persamaan kuadrat. Ingat kembali rumus ”ABC” berikut : 2

1,24

2b b acx

a− ± −

=

Dengan melihat rumus di atas, dapat dimengerti bahwa :

1. Jika 2 4 0b ac− = maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar (real) yang sama

sehingga grafik parabola menyinggung sumbu X di tepat satu titik 1 2x x= .

2. Jika 2 4 0b ac− > maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar (real) yang

berbeda sehingga grafik parabola memotong sumbu X di dua titik 1x dan 2x .

3. Jika 2 4 0b ac− < maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar (real) sehingga

grafik parabola tidak memotong sumbu X. Jadi, parabola berada di atas sumbu X

(fungsi f merupakan fungsi definit positif) atau di bawah sumbu X (fungsi f

merupakan fungsi definit negatif).

Perhatikan pula bahwa grafik parabola akan menghadap ke atas jika 0a > dan akan

menghadap ke bawah jika 0a < . Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut:

Contoh:

Grafik berikut adalah grafik fungsi: 2 2 2( ) 2 , ( ) 5 10 dan ( ) 10y f x x y f x x y f x x= = = = + = = −

17

-4 -2 2 4X

-10

10

20

30

40

50

60

Y

Grafik berikut adalah grafik fungsi: 2 2 2( ) 2 , ( ) 5 10 dan ( ) 10y f x x y f x x y f x x= = − = = − + = = − −

-4 -2 2 4X

-60

-40

-20

Y

3. Fungsi Pangkat Tiga

Secara umum, fungsi pangkat tiga mempunyai persamaan : 3 2( ) , 0y f x ax bx cx d a= = + + + ≠

Berikut adalah grafik fungsi 3 2( ) 2 1y f x x x= = + + dan 3( )y f x x= =

-2 -1 1 2X

-2

2

4

Y

18

II. Fungsi Pecah Rasional

Fungsi pecah rasional yang dibahas di sini adalah fungsi pecah rasional sederhana

dengan bentuk ( ) ax by f xcx d

+= =

+.

Grafik fungsi pecah rasional paling sederhana 1yx

= diperlihatkan pada gambar berikut :

-10 -5 5 10X

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Y

Grafik fungsi pecah rasional 2 31

xyx+

=−

diperlihatkan pada gambar berikut :

-10 -5 5 10X

-40

-20

20

40

Y

III. Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial secara umum mempunyai persamaan :

( ) , 0, 1xy f x a a a= = > ≠ .

Grafik fungsi eksponensial ( ) 2xy f x= = diperlihatkan pada gambar berikut:

19

-3 -2 -1 1 2 3X

2

4

6

8

Y

IV. Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma secara umum mempunyai persamaan :

( ) log , 0, 1ay f x x a a= = > ≠ .

Fungsi logaritma merupakan invers fungsi eksponensial. Ingat kembali bahwa logay x=

berarti yx a= .

Grafik fungsi logaritma 3( ) logy f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :

5 10 15 20 25X

-6

-4

-2

2

Y

V. Fungsi Trigonometri

Ingat kembali bahwa fungsi trigonometri menggambarkan perbandingan sisi-sisi

segitiga siku-siku (perhatikan gambar di bawah).

20

1. Fungsi sinus ( ) siny f x x= =

Perhatikan grafik fungsi ( ) siny f x x= = dan ( ) 2siny f x x= = berikut:

1 2 3 4 5 6X

-2

-1

1

2

Y

Di bawah ini adalah grafik fungsi ( ) siny f x x= = dan ( ) sin 2y f x x= =

1 2 3 4 5 6X

-1

-0.5

0.5

1

Y

X

Y

θ

x

y r

2 2 2

sin

cos

tan

r x yyrxryx

θ

θ

θ

= +

=

=

=

21

2. Fungsi cosinus ( ) cosy f x x= =

Grafik fungsi ( ) cosy f x x= = dan cos( )2

y x π= + diperlihatkan pada gambar berikut :

1 2 3 4 5 6X

-1

-0.5

0.5

1

Y

Berikut grafik fungsi ( ) cosy f x x= = dan cos( )y x= −

1 2 3 4 5 6X

-1

-0.5

0.5

1

Y

3. Fungsi tangen ( ) tany f x x= =

Grafik fungsi ( ) tany f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :

-3 -2 -1 1 2 3X

-40

-20

20

40

Y

22

Hubungan antar fungsi trigonometri : 2 21.sin cos 1x x+ =

2.sin 2 2sin cosx x x= 2 2

2

2

3.cos 2 cos sin2cos 11 2sin

x x xx

x

= −

= −

= −

14.seccos

xx

=

15.cossin

ec xx

=

16.cottan

g xx

=

2 27.1 tan secx x+ =

VI. Fungsi Siklometri

Fungsi siklometri merupakan fungsi invers fungsi trigonometri. Yang termasuk

fungsi siklometri di antaranya adalah :

1. Fungsi arcsin ( ) arcsin( )y f x x= = (berarti sinx y= )

Grafik fungsi ( ) arcsin( )y f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut

-1 -0.5 0.5 1X

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Y

23

2. Fungsi arccos ( ) arccos( )y f x x= = (berarti cosx y= )

Grafik fungsi ( ) arccos( )y f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :

-1 -0.5 0.5 1X

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Y

3. Fungsi arctan ( ) arctan( )y f x x= = (berarti tanx y= )

Grafik fungsi ( ) arctan( )y f x x= = diperlihatkan pada gambar berikut :

-3 -2 -1 1 2 3X

-1

-0.5

0.5

1

Y

24

BAB III

LIMIT DAN KEKONTINUAN

III.1. Limit

Jika diberikan fungsi ( ) 3y f x x= = maka untuk nilai-nilai x tertentu nilai

( ) 3y f x x= = dapat kita lihat pada tabel berikut :

x ( ) 3y f x x= =

0,80 2,4

0,85 2,55

0,9 2,7

0,95 2,85

0,99 2,97

0,9999 2,9997

1 3

1,0001 3,0003

1,001 3,003

Perhatikan bahwa untuk nilai x semakin dekat dengan 1, nilai 3x semakin dekat ke 3 atau

ditulis

1lim3 3x

x→

=

Perhatikan fungsi sin( ) xy f xx

= = dan grafiknya berikut ini :

-6 -4 -2 2 4 6X

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

25

Untuk 0x = nilai sin xx

tidak terdefinisi sebab 00

tidak terdefinisi. Akan tetapi untuk

nilai-nilai x yang dekat dengan 0, terlihat bahwa nilai sin xx

dekat dengan 1. Dalam hal ini

dikatakan bahwa nilai sin xx

dekat dengan 1 untuk nilai x yang dekat dengan 0 atau ditulis

0

sinlim 1x

xx→

= .

Secara umum, keadaan di mana jika nilai x yang dekat dengan c berakibat nilai

( )f x dekat dengan L ditulis dengan :

lim ( )x c

f x L→

= .

Secara matematis, lim ( )x c

f x L→

= jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan 0ε >

terdapat bilangan 0δ > sehingga untuk | |x c δ− < berakibat | ( ) |f x L ε− < .

Sifat-sifat limit:

Jika lim ( )x c

f x L→

= dan lim ( )x c

g x M→

= maka :

1. lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x L M→ → →

+ = + = +

2. lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c


− = − = −

3. lim ( ) lim ( )x c x c

k f x k f x kL→ →

= =

4. lim( ( ). ( )) lim ( ).lim ( ) .x c x c x c


= =

5. lim ( )( )lim , asalkan 0

( ) lim ( )x c

x cx c

f xf x L Mg x g x M

→

→→

= = ≠

6. ( )lim( ( )) lim ( ) , asalkan untuk 0, 0 n

n n

x c x cf x f x L n L

→ →= = < ≠

Limit kiri dan limit kanan.

Perhatikan gambar berikut :

26

-1 -0.5 0.5 1X

-1

-0.5

0.5

1

Y

Dari grafik fungsi | |( ) xy f xx

= = di atas terlihat bahwa untuk nilai x yang dekat

dengan 0 dan lebih dari 0 (ditulis 0x +→ ), nilai | |( ) xy f xx

= = sama dengan 1. Akan

tetapi untuk nilai x yang dekat dengan 0 dan kurang dari 0 (ditulis 0x −→ ) nilai

| |( ) xy f xx

= = sama dengan -1. Jadi limit kiri 0

lim ( ) 1x

f x+→

= tidak sama dengan limit kanan

0lim ( ) 1x

f x−→

= − . Dalam hal ini dikatakan bahwa 0

lim ( )x

f x→

tidak ada. Limit fungsi

0lim ( )x

f x→

juga dikatakan tidak ada jika nilai 0

lim ( ) ( )x

f x→

= ∞ −∞ .

Secara umum,

Metode menghitung limit

1. Limit fungsi berbentuk fungsi pecah rasional di x c→

Jika 0 1

0 1

...( )...

nn

mm

a a x a xy f xb b x b x+ + +

= =+ + +

maka

0 1 0 10 1

0 1 0 1

... ...lim , asalkan ... 0... ...

n nmn n

mm mx cm m

a a x a x a a c a c b b c b cb b x b x b b c b c→

+ + + + + += + + + ≠

+ + + + + +

Jika 0 1 ... 0mmb b c b c+ + + = (yang berarti 0 1 ... ( )( )m l

mb b x b x b x x c+ + + = − ) maka :

lim ( )x c

f x+→

disebut limit kanan di x c=

dan

lim ( )x c

f x−→

disebut limit kiri di x c=

Dalam hal lim ( ) lim ( )x c x c

f x f x L+ −→ →

= = maka dikatakan lim ( )x c

f x→

ada dan lim ( )x c

f x L→

=

27

a. Jika 0 1 ... 0nna a c a c+ + + = maka berarti 0 1 ... n

na a x a x+ + + dapat

difaktorkan menjadi

0 1 ... ( )( )n kna a x a x a x x c+ + + = −

untuk suatu polinomial ( )a x sehingga diperoleh :

0 1

0 1

... ( )( )( )... ( )( )

n kn

m lm

a a x a x a x x cy f xb b x b x b x x c+ + + −

= = =+ + + −

sehingga

0 1

0 1

... ( )lim... ( )

nn

mx cm

a a x a x a xb b x b x b x→

+ + +=

+ + +untuk k l= .

b. Jika 0 1 ... 0nna a c a c+ + + ≠ maka

0 1

0 1

...lim...

nn

mx cm

a a x a xb b x b x→

+ + += ±∞

+ + +

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini :

Contoh : 3 2 2 2

22 2 2

2x 4 2 (2 1)( 2) (2 1) 9lim lim lim3 10 ( 5)( 2) ( 5) 7x x x

x x x x xx x x x x→ → →

− + − + − += = =

+ − + − +.

Catatan : 2 2 ( )( )a b a b a b− = + − 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +

2. Limit fungsi berbentuk fungsi pecah rasional di x →∞

Perhatikan bahwa 1lim 0, bilangan positifnxn

x→∞= . Dengan mengingat fakta

tersebut dan dengan mengalikan 0 1

0 1

...( )...

nn

mm


= =+ + +

dengan 1/1/

k

k

xx

,

maks{ , }k m n= diperoleh :

Jika 0 1

0 1

...( )...

nn

mm


= =+ + +

maka

28

0 1

0 1

/ jika ...lim 0 jika ...

jika

n mnn

mxm

a b m na a x a x m nb b x b x

m n→∞

=⎧+ + + ⎪= >⎨+ + + ⎪∞ <⎩

Contoh : 2

2

2 2lim3 5 3x

xx x→∞

−=

− + +

Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsi 2

2

2( )3 5

xy f xx x

= =− + +

berikut :

-100 -50 50 100X

-0.85

-0.75

-0.7

-0.65

-0.6

-0.55

Y

3. Limit Fungsi Trigonometri

Berikut diberikan 2 limit trigonometri :

a. 0 0

sinlim lim 1sinx x

x xx x→ →

= =

b. 0 0

tanlim lim 1tanx x

x xx x→ →

= =

Perhatikan gambar fungsi ( )sin

xy f xx

= = berikut :

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75X

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

Y

29

Perhatikan pula gambar fungsi tan( ) xy f xx

= = dan ( )tan

xy f xx

= =

-3 -2 -1 1 2 3X

-20

-10

10

20

Y

dan

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5X

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

Dengan menggunakan dua limit tersebut, dapat kita hitung limit trigonometri yang lain.

Contoh :

0 0

0

0 0 0

sin 3 sin 3 3 21.lim lim . .tan 2 tan 2 3 2

sin 3 2 3lim . .3 tan 2 2

sin 3 2 3lim .lim .lim3 tan 2 2

3 31.1.2 2

x x

x

x x x

x x x xx x x x

x x xx x x

x x xx x x

→ →

→

→ → →

=

=

=

= =

30

2 2

2

2

2 2

2

2

02

2

02

2.lim limcos sin( )

limsin( ( ))

limsin( )

1

x x

x

x

x xx x

xx

xx

π π

π

π

π π

π

π

π

π

π

→ →

− →

− →

− −=

−−

=− −−

=− −

= −

4. Limit Bilangan Alam

Bilangan alam 2,71828...e ≈ dapat diperoleh dengan menggunakan limit berikut ini : 1

0lim(1 ) x

xx e

→+ =

Dengan melihat bentuk limit di atas, mudah dimengerti bahwa : 1

0

1

1

lim(1 )

lim(1 )

lim (1 )

x

xx

xx

xx

x

x e

e

e

−

→

→∞

−

→−∞

− =

+ =

− =

Perhatikan grafik fungsi 1

( ) (1 ) xy f x x= = + berikut ini :

2 4 6 8 10X

1.5

2.5

3

3.5

4

Y

Terlihat bahwa untuk nilai x yang dekat dengan 0 nilai 1

( ) (1 ) xy f x x= = + dekat ke

bilangan e.

Contoh : 2 2

2 2

12

2 2

.2

2 0

1.lim( 1) lim(1 ( 2))

lim (1 ( 2))

x x

x

x x

x

x x

x

− −

−

→ →

− →

− = + −

= + −

31

( )

1 12

1

.2 .2

2 0 02

0

2

misalkan : 2 maka

lim (1 ( 2)) lim(1 )

lim(1 )

x u

u

x u

u

x u

x u

u

e

−

− → →

→

− =

+ − = +

= +

=

Secara umum,

Pada contoh limit 2 2

2 2

2 2lim( 1) lim(1 ( 2))x x

x xx x− −

→ →− = + − di atas, kita dapat misalkan

( ) 2f x x= − dan 2( )2

g xx

=−

sehingga

2 2

2lim ( ) ( ) lim( 2). 22x x

f x g x xx→ →

= − =−

sehingga 2

2lim ( ) ( ) 2

2lim( 1) x x c

f x g x

xx e e− →

→− = = .

0

12.limx

x

ax→

−

Misalkan 1xa y− = maka 1xa y= + sehingga log(1 )ax y= + . Lebih lanjut, untuk 0x →

juga diperoleh : 01 1 0xy a a= − → − = . Jadi,

0 0 0

0

1 1lim lim limlog(1 ) log(1 )

11lim log(1 )

x

a ax y y

a

y

a yx y y

y

yy

→ → →

→

−= =

+ +

=+

Jika lim ( ) 0x c

f x→

= dan lim ( ) (atau - )x c

g x→

= ∞ ∞ maka :

( )lim ( ) ( )( )lim 1 ( ) x c

f x g xg x

x cf x e →

→+ =

32

1

1

0

0

0

1

lim log(1 )

1

log lim(1 )

1 log lnlog

1log(1 )lim

y

y

a

y

a

y

ea

a

y

y

y

a ae

yy

→

→

→

=+

=+

= = =

=+

Catatan :

Perhatikan bahwa jika perhintungan limit menghasilkan bentuk-bentuk (tak tentu) di

bawah ini, berhati-hatilah sebab:

Bentuk 00

tidak terdefinisi, tidak sama dengan 0.

Bentuk ∞∞

tidak sama dengan 1, tidak sama dengan ∞ .

Bentuk ∞−∞ tidak sama dengan 0.

Bentuk 1∞ tidak sama dengan 1.

Bentuk 0.∞ tidak sama dengan 0.

Bentuk 00 tidak sama dengan 0.

Bentuk 0∞ tidak sama dengan 1.

Limit dengan bentuk-bentuk tak tentu di atas lebih lanjut dibahas pada Bab V.

III.2. Kekontinuan

Gambar 1

-1 -0.5 0.5 1X

-1

-0.5

0.5

1

Y= » x »x

33

Pada gambar 1 terlihat grafik | |( ) xy f xx

= = tidak kontinu di 0x = . Dari gambar terlihat

0lim ( )x

f x→

tidak ada sebab limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Gambar 2 :

-6 -4 -2 2 4 6X

50

100

150

Y= » x − 2»x2

Pada gambar 2 terlihat grafik fungsi 2

| 2 |( ) xy f xx−

= = tidak di kontinu di 0x = . Terlihat

pula 2 20 0

| 2 | | 2 |lim limx x

x xx x+ −→ →

− −= = ∞ .

Gambar 3 :

-2 -1 1 2X

1

2

3

4

5

6

7

Y= x3 − 1x− 1

Grafik di atas adalah grafik fungsi 3 1( )

1xy f xx−

= =−

. Fungsi tersebut tidak kontinu di

1x = sebab untuk 1x = nilai 3 1( )

1xy f xx−

= =−

tidak terdefinisi meskipun

3 32

11 1

1 1lim lim lim( 1) 31 1 xx x

x x x xx x+ − →→ →

− −= = + + =

− −.

34

Jika untuk 1x = nilai fungsi 3 1( )

1xy f xx−

= =−

didefinisikan sama dengan 3a ≠ maka

3 1( )1

xy f xx−

= =−

tetap tidak kontinu di 1x = . Jika untuk 1x = nilai fungsi

3 1( )1

xy f xx−

= =−

didefinisikan sama dengan 3a = maka 3 1( )

1xy f xx−

= =−

menjadi

kontinu di 1x = .

Secara matematis, suatu fungsi ( )y f x= dikatakan kontinu di x c= jika :

Contoh :

Tentukan nilai a dan b sehingga fungsi 2 3 0

( ) 0 42 8 4

x xy f x ax b x

x x

⎧ + ≤⎪= = + < <⎨⎪− + ≥⎩

kontinu di setiap bilangan real (kontinu pada ℜ )

Perhatikan gambar fungsi dengan definisi di atas sebagai berikut :

-4 -2 2 4 6 8 10X

-10

-5

5

10

15

Y

Pada gambar terlihat bahwa untuk nilai 0x ≤ grafik fungsi berupa potongan parabola dan

selalu kontinu di setiap titik, untuk 4x ≥ , grafik fungsi berupa garis lurus dan jelas kontinu

di setiap titik. Untuk nilai 0 4x< < , fungsi didefinisikan sebagai fungsi linear yang jelas

1. lim ( )x c

f x→

ada

2. ( )f c ada

3. lim ( ) ( )x c

f x f c→

=

35

kontinu di setiap titik. sehingga fungsi akan kontinu di seluruh titik jika fungsi tersebut

kontinu di titik-titik 0x = dan 4x = .

Fungsi akan kontinu di 0x = jika 0

lim ( ) (0)x

f x f→

= dan ada. Perhatikan bahwa

2 2

0 0lim ( ) lim( 3) (0) 0 3 3x x

f x x f− −→ →

= + = = + =

dan

0 0lim ( ) lim ( ) .0x x

f x ax b a b b+ +→ →

= + = + =

sehingga agar 0

lim ( ) (0)x

f x f→

= maka haruslah 3b = .

Fungsi akan kontinu di 4x = jika 4

lim ( ) (4)x

f x f→

= dan ada. Perhatikan bahwa

4 4lim ( ) lim ( 2 8) (4) 2.4 8 0x x

f x x f+ +→ →

= − + = = − + =

dan

4 4lim ( ) lim ( ) 4x x

f x ax b a b− −→ →

= + = +

sehingga agar 4

lim ( ) (4)x

f x f→

= maka haruslah 4 0a b+ = . Tetapi karena 3b = maka

haruslah 4 3 0a + = atau 3 / 4a = − . Jadi persamaan fungsi untuk 0 4x< < adalah : 34( ) 3y f x x= = − +

sehingga grafik menjadi :

-4 -2 2 4 6 8 10X

-10

-5

5

10

Y

36

BAB IV

DERIVATIF DAN DIFERENSIAL

IV.1 Derivatif

Derivatif fungsi ( )y f x= di titik x c= dinotasikan dengan '( )f c didefinisikan sebagai :

0

( ) ( )'( ) limh

f c h f cf ch→

+ −= .


Terlihat bahwa : ( ) ( ) gradien garis f c h f c ABh

+ −= sehingga

0

( ) ( )'( ) limh

f c h f cf ch→

+ −=

menjadi gradien garis AB untuk A dekat dengan B. padahal jika A dekat dengan B maka

garis AB akan menjadi garis singgung kurva di titik c. Jadi,

0

( ) ( )'( ) limh

f c h f cf ch→

+ −= = gradien singgung kurva di titik x c=

Secara umum, derivatif fungsi ( )y f x= di sebarang titik x dinotasikan dan

didefinisikan sebagai:

Secara geometris, derivatif di atas merupakan gradien garis singgung kurva di sebarang

titik x .

c c+h

( )f c

( )f c h+

A

B

( )y f x=

0

( ) ( )'( ) ' limh

dy f x h f xf x ydx h→

+ −= = =

37

Contoh :

Derivatif fungsi ( ) 4 3y f x x= = + dapat dicari dengan menggunakan definisi

derivatif sebagai berikut :

0

0

0

0

( ) ( )'( ) ' lim

(4( ) 3) (4 3)lim

4 4 3 4 3lim

4lim 4

h

h

h

h

dy f x h f xf x ydx h

f x h xh

x h xh

hh

→

→

→

→

+ −= = =

+ + − +=

+ + − −=

= =

Derivatif fungsi 214( ) 1y f x x= = + di titik 1x = dapat dicari sebagai berikut :

1 01

2 21 14 4

0

2 2 21 14 4

0

2

0

0

0

( ) ( )'(1) ' lim

( (1 ) 1) ( .1 1)lim

(1 2.1. ) 1 .1 1lim

1 2lim41 2 (1 )lim41 1lim 2(1 )4 2

x hx

h

h

h

h

h

dy f x h f xf ydx h

f hh

h hh

h hh

h hh

h

= →=

→

→

→

→

→

+ −= = =

+ + − +=

+ + + − −=

+=

+=

= + =

Di atas sudah dijelaskan bahwa '(1) 1f = merupakan gradien garis singgung kurva 21

4( ) 1y f x x= = + di titik 1x = . Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi

214( ) 1y f x x= = + dan garis singgung kurva di titik 1x = .

-4 -2 2 4X

-1

1

2

3

4

5

Y

38

Sifat-Sifat Derivatif :

1. Jika ( ) , konstany f x k k= = maka ' '( ) 0dy y f xdx

= = =

2. Jika ( ) ny f x x= = maka 1' '( ) ndy y f x n xdx

−= = = untuk n bilangan rasional

3. Jika ( ) ( )y f x k u x= = maka ' '( ) '( )dy y f x k u xdx

= = =

4. Jika ( ) ( ) ( )y f x u x v x= = ± maka ' '( ) '( ) '( )dy y f x u x v xdx

= = = ±

5. Jika ( ) ( ). ( )y f x u x v x= = maka ' '( ) '( ). ( ) '( ). ( )dy y f x u x v x v x u xdx

= = = +

6. Jika ( )( )( )

u xy f xv x

= = maka 2

'( ). ( ) '( ). ( )' '( )( ( ))

dy u x v x v x u xy f xdx v x

−= = =

Aturan Rantai

Jika fungsi dan f g keduanya mempunyai turunan maka fungsi komposisi f g juga

mempunyai turunan dan turunannya adalah :

atau jika ( )y f u= dan ( )u g x= maka

Contoh :

Dengan menggunakan sifat-sifat derivatif dan aturan rantai akan dicari derivatif fungsi 3 7(3 3 7)y x x= − + . Perhatikan bahwa 3 7(3 3 7)y x x= − + dapat dinyatakan dalam bentuk

7( )y f u u= = dengan 3( ) 3 3 7u g x x x= = − + . Menurut aturan rantai dan sifat derivatif

diperoleh :

.dy dy dudx du dx

=

dengan

67dy df udu du

= =

( ) '( ) '( ( )). '( )f g x f g x g x=

.dy dy dudx du dx

=

39

dan

227 3du dg xdx dx

= = −

sehingga

6 2 3 6 2. 7 (27 3) 7(3 3 7) (27 3)dy dy du u x x x xdx du dx

= = − = − + −

Derivatif fungsi invers

Jika fungsi ( )y f x= mempunyai invers ( )x g y= dan ( )y f x= mempunyai derivatif pada

(a, b) maka ( )x g y= juga mempunyai derivatif pada (a, b) dan

1dydxdx dy

=

Rumus-rumus dasar derivatif :

1. Derivatif fungsi trigonometri

a. Jika ( ) siny f x x= = maka ' '( ) cosdy y f x xdx

= = =

b. Jika ( ) cosy f x x= = maka ' '( ) sindy y f x xdx

= = = −

c. Jika ( ) tany f x x= = maka 22

1' '( ) seccos

dy y f x xdx x

= = = =

d. Untuk fungsi-fungsi trigonometri yang lain derivatifnya diserahkan kepada

pembaca sebagai latihan (Petunjuk : gunakan sifat-sifat derivatif dan

hubungan antar fungsi trigonometri !)

2. Derivatif fungsi siklometri

a. ( ) arcsiny f x x= =

Jika ( ) arcsiny f x x= = maka ( ) sinx g y y= = . Derivatif fungsi

( ) sinx g y y= = adalah :

cosdx ydy

=

sehingga derivatif dari ( ) arcsiny f x x= = adalah

1 1cos

dydxdx ydy

= =

40

Perhatikan bahwa 1 1cos

dydxdx ydy

= = masih sebagai fungsi dari y .

Bagaimana mencari derivatif dydx

dalam fungsi x ? Perhatikan bahwa

( ) sinx g y y= = . Perhatikan pula gambar berikut:

Dari gambar terlihat bahwa :2

21cos 11

xy x−= = − sehingga

2

1 1 1cos 1

dydxdx y xdy

= = =−

Dengan cara yang sama seperti langkah di atas diperoleh :

b. ( ) arccosy f x x= = mempunyai derivatif : (buktikan !)

2

11

dydx x

−=

−

c. ( ) arctany f x x= = mempunyai derivatif : (buktikan !)

2

11

dydx x

=+

3. Derivatif fungsi eksponensial ( ) xy f x a= =

Jika ( ) xy f x a= = maka dydx

dapat dicari dengan menggunakan definisi derivatif :

y

x

1

21 x−

41

0

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

lim

1lim

1lim

ln

h

x h x

h

hx

h

hx

h

x

dy f x h f xf xdx h

a ahaa

h

aah

a a

→

+

→

→

→

+ −= =

−=

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

4. Derivatif fungsi logaritma ( ) logay f x x= =

Jika ( ) logay f x x= = maka ( ) yx g y a= = . Derivatif fungsi ( ) xx g y a= = adalah :

lnydx a ady

=

sehingga

1 1 1ln lny

dydxdx a a x ady

= = =

IV.2 Diferensial

Perhatikan kembali definisi derivatif! Jika ( )y f x= mempunyai derivatif maka

derivatifnya adalah :0

'( ) limx

yf xx→

= dengan ( ) ( )y f x x f x= + − (pada pembahasan

sebelumnya digunakan h sebagai ganti x ). Jadi, untuk x yang cukup kecil mendekati

nol (tetapi tidak sama dengan nol) diperoleh :

sehingga

sehingga

Besaran '( ).y f x x≈ inilah yang dinamakan diferensial y.

'( ) yf xx

≈

'( ).y f x x≈

( ) ( ) ( ) '( ).f x x f x y f x f x x+ ≈ + = +

42

Diferensial ini diaplikasikan dalam perhitungan di antaranya seperti pada contoh

berikut :

Contoh :

Hitunglah nilai pendekatan dari 4,001 .

Sebelumnya, perhatikan bahwa secara intuisi 4,001 pasti dekat dengan 4 2= . Berapa

kira-kira nilai 4,001

Jawab:

Pertama-tama bentuk fungsi 12( )y f x x x= = = . perhatikan pula bahwa 4,001 bisa kita

dekati dengan 4 dengan selisih 0,001x = . Ambil 4 0,001x x+ = + . Jadi dalam hal ini

4x = . Selanjutnya, tentukan derivatif dari 12( )y f x x x= = = yaitu

12

1 1' '( )2 2

y f x xx

−= = = ..................**)

Substitusikan 4x = ke **) diperoleh :

1 1 1' '( )42 2 4

y f xx

= = = =

sehingga diperoleh :

1'( ). .(0,001) 0,000254

y f x x≈ = =

Jadi,

4,001 4 2 0,00025 2,00025y≈ + = + =

43

BAB V

APLIKASI DERIVATIF

V.1 Derivatif Sebagai Gradien Garis Singgung Kurva

Pada awal Bab IV sudah disinggung bahwa derivatif suatu fungsi ( )y f x= di titik

x c= yaitu '( )f c dapat dipandang sebagai gradien garis singgung kurva di titik x c=

tersebut. Pada Bab II telah disinggung bahwa fungsi linear dengan gradien m dan melalui

titik 0 0( , )x y mempunyai persamaan :

0 0( )y y m x x− = − .

Garis singgung kurva ( )y f x= di titik x c= jelas melalui titik ( , ( ))c f c dan mempunyai

gradien '( )m f c= . Oleh karena itu garis singgung kurva ( )y f x= di titik

x c= mempunyai persamaan :

Contoh :

Garis singgung kurva ( ) siny f x x x= = − di titik 6

x π= mempunyai gradien

1 16 6 2 2'( ) cos( ) 1 3 1 1 3m f π π= = − = − = − +

dan melalui titik 16 6 6 6 2 6( ,sin ) ( , )π π π π π− = − sehingga persamaan garis singgung yang melalui

titik 16 2( , )π − adalah ;

1 12 2 6( 1 3)( )y x π+ = − + −

Berikut grafik fungsi ( ) siny f x x x= = − dan garis singgung kurva di titik 16 2( , )π −

-3 -2 -1 1 2 3X

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6Y

( ) '( )( )y f c f c x c− = −

44

Bagaimana cara mencari persamaan garis singgung jika diketahui garis

singgungnya melalui satu titik 1 1( , )x y yang berada di luar kurva?

Misalkan garis singgung kurva ( )y f x= menyinggung kurva di titik 0 0( , )x y maka berarti

garis singgung melalui titik 1 1( , )x y dan 0 0( , )x y . Akibatnya, gradien garis singgung

kurvanya adalah : (perhatikan kembali Bab II)

1 0

1 0

y ymx x−

=−

..............................1)

Di sisi lain, gradien garis singgung kurva di titik 0 0( , )x y dapat dicari dengan

menggunakan derivatif yaitu

0'( )m f x= ...............................2)

Dari persamaan 1) dan 2) di atas diperoleh :

1 00

1 0

'( )y y f xx x−

=−

.......................3)

Dengan menyelesaikan persamaan 3) dan mensubstitusi ke fungsi ( )y f x= kita akan

dapatkan semua titik 0 0( , )x y . Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut :

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung kurva 2( ) 1y f x x= = + yang melalui titik (0,0) .

Penyelesaian :

Terlebih dulu perhatikan bahwa titik 1 1( , ) (0,0)x y = tidak berada di kurva

2( ) 1y f x x= = + sebab

20 1 1 0+ = ≠

(Ingat kembali arti suatu titik berada di kurva ( )y f x= !). Selanjutnya, misalkan garis

singgung kurva tersebut menyinggung kurva di titik 0 0( , )x y maka kita peroleh gradien

garis singgung kurva

0 0

0 0

00

y ymx x

−= =

−

Karena gradien garis singgung kurva di titik 0x x= adalah 0

0 0'( ) 2 2x x

f x x x=

= = maka

haruslah

200 0 0

0

2 2y x y xx

= ⇔ = ..........................*)

45

Jadi, titik 0 0( , )x y akan berada sekaligus di kurva dan di garis singgung yang melalui titik

(0,0) jika 0 0( , )x y memenuhi 20 02y x= . Karena 0 0( , )x y berada di kurva 2( ) 1y f x x= = +

berarti diperoleh : 2 2

0 0 0 01 dan 2y x y x= + =

Jadi, 2 2 2

0 0 0

0 0

1 2 11 atau 1

x x xx x

+ = ⇔ =⇔ = = −

Untuk 0 1x = diperoleh 2 20 0 02 1 2y x x= = + = sehingga garis singgung melalui titik (1, 2)

dan mempunyai gradien 00 0

0

2 2 ( '( ) 2 2.1)1

ym f x xx

= = = = = = sehingga mempunyai

persamaan :

2 2( 1) 2y x y x− = − ⇔ =

Untuk 0 1x = − diperoleh 2 20 0 02 1 2y x x= = + = sehingga garis singgung melalui titik

( 1, 2)− dan mempunyai gradien 00 0

0

2 2 ( '( ) 2 2.( 1))1

ym f x xx

= = = − = = = −−

sehingga

mempunyai persamaan :

2 2( 1) 2y x y x− = − + ⇔ = −

Untuk semakin jelasnya perhatikan gambar grafik 2( ) 1y f x x= = + berikut garis

singgungnya di titik (1,2) dan (-1,2) :

-4 -2 2 4X

-5

5

10

15

Y

46

V.2 Aturan L’Hospital (untuk menyelesaikan limit dengan bentuk tak tentu)

Definisi (bentuk tak tentu)

Hasil bagi ( )( )

f xg x

disebut bentuk tak tentu tipe 00

atau ∞∞

di c jika

lim ( ) lim ( ) 0 (atau lim ( ) dan lim ( ) )x c x c x c x c

f x g x f x g x→ → → →

= = = ±∞ = ±∞

Contoh :

1. sin xx

mempunyai bentuk tak tentu tipe 00

di 0x =

2. 2 5 6

2x x

x− +−

mempunyai bentuk tak tentu tipe 00

di 2x =

3. 2 32

xx+−

mempunyai bentuk tak tentu tipe ∞∞

di x →∞

Bagaimana jika kita menemui bentuk-bentuk tak tentu tersebut ? Perhatikan metode

perhitungan limit dengan bentuk tak tentu 00

dan ∞∞

.

Contoh :

Perhatikan kembali contoh bentuk tak tentu di atas.

1.0 0

sin coslim lim 11x x

x xx→ →

= =

ATURAN L’HOSPITAL Jika

i. fungsi f dan g masing-masing mempunyai derivative pada interval terbuka yang memuat c kecuali mungkin di c

ii. '( ) 0g x ≠ untuk setiap x c≠

iii. ( )( )

f xg x

berbentuk tak tentu (tipe 00

atau ∞∞

)

maka ( ) '( )lim lim( ) '( )x c x c

f x f xg x g x→ →

=

47

2. 2

2 2

5 6 2 5lim lim 12 1x x

x x xx→ →

− + −= = −

−

3. 2 3 2lim lim 22 1x x

xx→∞ →∞

+= =

−

Aturan L’Hospital berlaku hanya untuk bentuk tak tentu tipe 00

dan ∞∞

. Bagaimana

untuk bentuk-bentuk tak tentu yang lain seperti :

Jika ditemui bentuk-bentuk tak tentu seperti di atas, ubahlah terlebih dulu bentuk-bentuk

tersebut menjadi berbentuk tak tentu tipe 00

atau ∞∞

. Bagaimana caranya ?

1. ( ). ( )f x g x berbentuk 0.∞

Ubah bentuk ( ). ( )f x g x menjadi 1( ). 1( )

f xg x

sehingga bentuk 0.∞ menjadi 00

atau ubah bentuk ( ). ( )f x g x menjadi 1( ). 1( )

g xf x

sehingga bentuk 0.∞ menjadi ∞∞

.

Contoh :

0lim cosx

x ec x→

( berbentuk 0.∞ ). Perhatikan :

0 0 0lim cos lim lim1 sincosx x x

x xx ec xxec x

→ → →= = . Limit dengan bentuk terakhir ini (

0lim

sinx

xx→

)

berbentuk 00

sehingga kita bisa gunakan aturan L’Hospital.

atau

10 0 0

cos coslim cos lim lim1x x x

ec x ec xx ec xxx−→ → →

= = . Limit dengan bentuk terakhir ini ( 10

coslimx

ec xx−→

)

berbentuk ∞∞


0 00. , , 0 , ,1 ,∞∞ ∞−∞ ∞

48

2. ( ) ( )f x g x− berbentuk ∞−∞ .

Contoh :

0

1 1limsinx x x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

(berbentuk ∞−∞ ). Perhatikan :

0 0

1 1 sinlim limsin sinx x

x xx x x x→ →

−⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

. Limit dengan bentuk terakhir ini (0

sinlimsinx

x xx x→

− ) berbentuk

00


Untuk bentuk tak tentu 0 00 , ,1 ,∞ ∞ , perhatikan tabel berikut :

Bentuk

tak tentu ( )( )g xf x

( )f x

( )g x

( )ln ( )

( ) ln ( )

g xf xg x f x=

00 0 0 0.∞

1∞ 1 ∞ .0∞ 0∞ ∞ 0 0.∞

Perhatikanlah bentuk pada kolom terakhir. Semua ( )ln ( ) ( ) ln ( )g xf x g x f x= berbentuk

0.∞ . Gunakanlah cara seperti pada poin 1 untuk menyelesaikannya. Perhatikan bahwa

hasil yang didapatkan adalah hasil untuk ( )ln ( ) ( ) ln ( )g xf x g x f x= . Misalkan ( )lim ln ( ) lim ( ) ln ( )g x

x c x cf x g x f x L

→ →= = maka berarti ( )lim ( )g x L

x cf x e

→= .

Contoh : 2

0lim x

xx

→ (berbentuk 00 ). Misalkan 2

0lim x

xy x

→= diperoleh :

2

02

0 0

ln ln lim

ln lim ln lim(2 ln )

x

xx

x x

y x

y x x x→

→ →

=

⇔ = =

Perhatikan bahwa :

0lim(2 ln )x

x x→

berbentuk 0.∞ sehingga 0

lim(2 ln )x

x x→

dapat diubah menjadi :

49

0 0

lnlim(2 ln ) 2 lim 1x x

xx xx

→ →= berbentuk ∞

∞. Gunakan aturan L’Hospital didapat

0 0 02

1ln2 lim 2lim lim( 2 ) 01 1x x x

x x xx x

→ → →= = − =

−. Jadi, 2

0 0ln lim ln lim(2 ln ) 0x

x xy x x x

→ →= = = sehingga

2 0

0lim 1x

xy x e

→= = =

Catatan :

Untuk satu soal limit, aturan L’Hospital bisa digunakan lebih dari satu kali (berulang)

asalkan kondisi sehingga aturan L’Hospital berlaku tetap dipenuhi.

V.3 Fungsi naik fungsi turun

Definisi : (fungsi naik fungsi turun)

1. Fungsi f dikatakan naik pada interval I jika untuk setiap 1 2x x< berlaku

1 2( ) ( )f x f x< .

2. Fungsi f dikatakan turun pada interval I jika untuk setiap 1 2x x< berlaku

1 2( ) ( )f x f x>

Bagaimana mencari daerah di mana fungsi f naik atau turun? Berikut satu dalil yang

berguna untuk mengetahui kapan fungsi naik atau turun.

Contoh :

1. Tentukan daerah di mana fungsi ( ) siny f x x x= = + naik dan fungsi

( ) siny f x x x= = + turun untuk 2 2xπ π− ≤ ≤ !

Penyelesaian:

Derivatif ( ) siny f x x x= = + adalah :

Jika fungsi ( )y f x= terdefinisi dan kontinu pada [ , ]a b dan mempunyai

derivatif pada ( , )a b maka :

1. Jika '( ) 0f x > untuk setiap ( , )x a b∈ maka f naik pada [ , ]a b .

2. Jika '( ) 0f x < untuk setiap ( , )x a b∈ maka f turun pada [ , ]a b .

50

' '( ) 1 cosy f x x= = + .

Perhatikan bahwa ' '( ) 1 cosy f x x= = + bernilai 0 hanya untuk x π= dan x π= − . Untuk x

yang lain dengan 2 2xπ π− ≤ ≤ , nilai ' '( ) 1 cosy f x x= = + selalu positif. Jadi, fungsi

( ) siny f x x x= = + selalu naik pada interval 2 2xπ π− ≤ ≤ .

Pada gambar berikut diperlihatkan grafik fungsi ( ) siny f x x x= = + (hitam) dan

grafik fungsi derivatif ' '( ) 1 cosy f x x= = + (putus-putus).

-6 -4 -2 2 4 6X

-6

-4

-2

2

4

6

Y

2. Tentukan daerah di mana fungsi 3 213( )y f x x x= = − naik dan fungsi

3 213( )y f x x x= = − turun!

Penyelesaian :

Derivatif 3 213( )y f x x x= = − adalah :

2' '( ) 2y f x x x= = −

Samakan 2' '( ) 2y f x x x= = − dengan 0 diperoleh : 20 2 0 ( 2) 0 atau 2x x x x x x= − ⇒ = − ⇒ = =

Perhatikan bahwa grafik 2' '( ) 2y f x x x= = − berupa parabola menghadap ke atas. Untuk x

di sebelah kanan 2 atau di sebelah kiri 0 grafik 2' '( ) 2y f x x x= = − berada di atas sumbu

X (nilai 2' '( ) 2y f x x x= = − positif) dan untuk nilai x yang berada di antara 0 dan 2 grafik 2' '( ) 2y f x x x= = − berada di bawah sumbu X (nilai 2' '( ) 2y f x x x= = − negatif). Jadi,

Untuk x di sebelah kanan 2 atau di sebelah kiri 0 grafik 3 213( )y f x x x= = − naik dan untuk

nilai x yang berada di antara 0 dan 2 grafik 3 213( )y f x x x= = − turun.

Pada gambar berikut diperlihatkan grafik fungsi 3 213( )y f x x x= = − (hitam) dan

grafik fungsi derivatif 2' '( ) 2y f x x x= = − (putus-putus).

51

-6 -4 -2 2 4 6X

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Y

Definisi (titik kritis) :

Titik ( , ( ))c f c disebut titik kritis jika '( ) 0f c = atau '( )f c tidak ada.

Contoh :

Diberikan fungsi 2( ) 2y f x x x= = − . Titik 2(1,1 2.1) (1, 1)− = − merupakan titik kritis sebab

1 1'(1) '( ) (2 2) 2.1 2 0

x xf f x x

= == = − = − = .

Tes derivatif (turunan) pertama

Diketahui fungsi f kontinu pada [ , ]a b dan ( , ( ))c f c , ( , )c a b∈ titik kritis f. Jika untuk

suatu 0δ >

1. '( ) 0f x > untuk c x cδ− < < dan '( ) 0f x < untuk c x c δ< < + maka ( , ( ))c f c

merupakan titik maksimum (lokal)

2. '( ) 0f x < untuk c x cδ− < < dan '( ) 0f x > untuk c x c δ< < + maka ( , ( ))c f c

merupakan titik minimum (lokal)

3. '( ) 0f x > ( atau '( ) 0f x < ) untuk c x cδ− < < dan '( ) 0f x > ( atau '( ) 0f x < ) untuk

c x c δ< < + maka ( , ( ))c f c merupakan bukan titik maksimum/minimum (lokal).

Titik maksimum/minimum lokal disebut titik ekstrem. Titik ekstrem suatu fungsi

dapat juga ditentukan dengan derivatif tingkat 2 fungsi tersebut.

Tes derivatif (turunan) kedua

Diketahui fungsi f mempunyai derivatif sampai tingkat 2 pada ( , )a b , ( , ( ))c f c , ( , )c a b∈

merupakan titik kritis f dan ''( )f c ada.

1. Jika ''( ) 0f c < maka ( , ( ))c f c merupakan titik maksimum lokal.

2. Jika ''( ) 0f c > maka ( , ( ))c f c merupakan titik minimum lokal.

52

Contoh :

Tentukan nilai ekstrem fungsi 3 2( ) 3y f x x x= = − + .

Penyelesaian :

Derivatif pertama dan kedua dari 3 2( ) 3y f x x x= = − + adalah : 2' '( ) 3 6y f x x x= = − + dan '' ''( ) 6 6y f x x= = − +

Samakan 2' '( ) 3 6y f x x x= = − + dengan 0 diperoleh : 23 6 0 3 ( 2) 0 0 atau 2x x x x x x− + = ⇒ − − = ⇒ = =

Selanjutnya, karena :

1. 0

''(0) ( 6 6) 6 0x

f x=

= − + = > maka f mencapai minimum lokal di 0x =

2. 2

''(2) ( 6 6) 6 0x

f x=

= − + = − < maka f mencapai maksimum lokal di 2x =

Perhatikan grafik fungsi 3 2( ) 3y f x x x= = − + berikut :

-6 -4 -2 2 4 6X

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

Y

V.4 Fungsi Cembung/Cekung ke Bawah

Definisi (Cembung/cekung ke Bawah) :

1. Fungsi f dikatakan cembung ke bawah pada interval [ , ]a b jika grafik f selalu

berada di atas garis singgungnya pada interval ( , )a b

2. Fungsi f dikatakan cekung ke bawah pada interval [ , ]a b jika grafik f selalu berada

di bawah garis singgungnya pada interval ( , )a b

53

Contoh fungsi cembung ke bawah :

3.5 4.5 5 5.5 6

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

Contoh fungsi cekung ke bawah :

3.5 4.5 5 5.5 6

-2

2

4

6

Bagaimana mencari daerah di mana suatu fungsi mempunyai grafik cembung/cekung ke

bawah ? Perhatikan dalil berikut :

Diketahui fungsi f kontinu pada [ , ]a b dan mempunyai derivatif

tingkat 2 pada interval ( , )a b

1. Jika ''( ) 0f x > untuk setiap ( , )x a b∈ maka f cembung ke

bawah pada [ , ]a b .

2. Jika ''( ) 0f x < untuk setiap ( , )x a b∈ maka f cekung ke

bawah pada [ , ]a b .

54

Contoh :

Perhatikan gambar fungsi 3 213( )y f x x x= = − dan derivatif keduanya '' ''( ) 2 2y f x x= = − .

Untuk nilai-nilai x di sebelah kiri 1, fungsi '' ''( ) 2 2y f x x= = − bernilai negatif dan di

sebelah kanan 1, fungsi '' ''( ) 2 2y f x x= = − bernilai positif. Grafik fungsi 3 21

3( )y f x x x= = − cekung ke bawah untuk nilai-nilai x di sebelah kiri 1 dan cembung ke

bawah untuk nilai-nilai x di sebelah kanan 1.

-10 -5 5 10X

-30

-20

-10

10

20

Y

Perhatikan gambar fungsi ( ) siny f x x= = dan derivatif keduanya '' ''( ) siny f x x= = − .

Untuk nilai-nilai x antara 0 dan π , fungsi '' ''( ) siny f x x= = − bernilai negatif dan di

antara π dan 2π , fungsi '' ''( ) siny f x x= = − bernilai positif. Grafik fungsi

( ) siny f x x= = cekung ke bawah untuk nilai-nilai x antara 0 dan π dan cembung ke

bawah untuk nilai-nilai x di antara π dan 2π .

1 2 3 4 5 6X

-1

-0.5

0.5

1

Y

Definisi (Titik Belok) :

Titik ( , ( ))c f c disebut titik belok jika di x c= terjadi perubahan grafik fungsi f dari

cembung ke cekung ke bawah atau sebaliknya.

55

V.5 Melukis Grafik Fungsi

Untuk melukis grafik suatu fungsi dengan akurat perlu diperhatikan beberapa hal sebagai

berikut :

1. Domain fungsi

2. Daerah di mana fungsi naik atau turun

3. Titik ekstrem dan jenisnya

4. Daerah di mana fungsi cembung atau cekung ke bawah

5. Titik belok (jika ada)

6. Asimtot-asimtot (dijelaskan di bawah ini)

7. Titik-titik bantu yang diperlukan

Definisi (Asimtot) :

Yang dimaksud dengan asimtot adalah garis yang hanya didekati oleh kurva dan tidak

pernah dipotong oleh kurva.

Macam-macam asimtot :

1. Asimtot tegak

Garis x a= disebut asimtot tegak jika x a→ berakibat lim ( )x a

f x→

= ±∞

2. Asimtot datar

Garis y b= disebut asimtot datar jika x →±∞ berakibat lim ( )x

f x b→±∞

=

3. Asimtot miring (jika ada)

Jika asimtot miringnya ada maka asimtot miringnya adalah garis y mx n= + dengan

( )limx

f xmx→±∞

= dan ( )lim ( )x

n f x mx→±∞

= −

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi 3 2( ) 6y f x x x= = − .

Penyelesaian :

1. Domain fungsi 3 2( ) 6y f x x x= = − adalah seluruh bilangan real atau fD =ℜ .

2. Derivatif pertama dan kedua 3 2( ) 6y f x x x= = − adalah : 2' '( ) 3 12y f x x x= = − dan '' ''( ) 6 12y f x x= = − .

56

Perhatikan bahwa nilai x yang memenuhi 2' '( ) 3 12 0y f x x x= = − = dapat dicari sebagai

berikut : 2' '( ) 3 12 0 3 ( 4) 0 0atau 4y f x x x x x x x= = − = ⇒ − = ⇒ = =

2' '( ) 3 12y f x x x= = − bernilai positif untuk 4x > atau 0x < dan 2' '( ) 3 12y f x x x= = − bernilai negatif untuk 0 4x< < . Jadi, grafik 3 2( ) 6y f x x x= = −

naik untuk 4x > atau 0x < dan grafik 3 2( ) 6y f x x x= = − untuk 0 4x< < .

3. Perhatikan bahwa di titik 0x = terjadi perubahan tanda (dari kiri ke kanan) untuk

2' '( ) 3 12y f x x x= = − dari positif ke negatif atau dari grafik naik terus turun. Jadi, titik

0x = adalah titik maksimum (lokal). Di titik 4x = terjadi perubahan tanda (dari kiri ke

kanan) untuk 2' '( ) 3 12y f x x x= = − dari negatif ke positif atau dari grafik turun terus

naik. Jadi, titik 0x = adalah titik minimum (lokal).

4. Karena '' ''( ) 6 12 0y f x x= = − > untuk 2x > dan '' ''( ) 6 12 0y f x x= = − < untuk 2x <

maka grafik f cembung ke bawah untuk 2x > dan cekung ke bawah untuk 2x < .

5. Karena pada titik 2x = ( ''(2) 0f = ) terjadi perubahan kurva dari cekung ke cembung ke

bawah berarti titik 2x = merupakan titik belok.

6. Asimtot tidak ada

7. Ambil titik bantu, misalnya :

0 (0) 0 diperoleh titik (0,0)x y f= ⇒ = = →

1 (1) 5 diperoleh titik (1, 5)x y f= ⇒ = = − → −

3 (3) 27 diperoleh titik (3, 27)x y f= ⇒ = = − → −

Dengan memperhatikan hal-hal di atas grafik fungsi 3 2( ) 6y f x x x= = − dapat digambar

sebagai berikut :

0

42'( ) 3 12f x x x= −

+ + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + +

57

-6 -4 -2 2 4 6X

-80

-60

-40

-20

Y

V.6 Terapan Masalah Ekstrem

Berikut contoh-contoh masalah ekstrem :

1. Seorang petani hendak memagari sebagian kebunnya yang salah satu sisi kebun

sudah berupa tembok permanen. Jika bahan pagar yang tersedia hanya cukup

untuk membuat pagar sepanjang 20 meter, tentukan ukuran pagar (lahan yang

dipagari berbentuk persegi empat) sehingga luas lahan dalam pagar maksimum !


2. Seorang peternak hendak membuat kurungan kelinci terbuka (tanpa alas dan tutup)

berbentuk segi empat. Jika bambu yang tersedia hanya cukup untuk membuat

tembok

agar luas maksimum ? x ?

y ?

58

kurungan dengan keliling 10 meter, tentukan ukuran kurungan agar banyaknya

kelinci yang bisa ditampung maksimum ! Perhatikan gambar berikut :

3. Diketahui dua bilangan x dan y. Jika jumlah bilangan pertama ditambah 3 kali

bilangan kedua harus 60, tentukan x dan dan y sehingga hasil kalinya maksimum !

4. Sebuah kaleng bervolume 1 liter hendak dibuat dari bahan logam. Tentukan ukuran

kaleng agar bahan yang digunakan minimum !

5. Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi miring 10 cm. Tentukan panjang

sisi-sisi siku-sikunya sehingga segitiga mempunyai luas yang maksimum.

Penyelesaian :

1. Pertama-tama, perhatikan bahwa pagar yang dibuat berbentuk huruf ”U” dengan

keliling 20 meter sehingga didapatkan :

202 20 ( 20 2 atau )2

yx y y x x −+ = = − =

Karena yang akan dimaksimumkan adalah luas maka bentuk fungsi luas (bisa

berupa fungsi ataux y ). 2( ) (20 2 ) 2 20L x xy x x x x= = − = − +

Derivatifkan ( )L x diperoleh :

'( ) 4 20 dan ''( ) 4L x x L x= − + = −

Samakan '( ) 4 20L x x= − + dengan 0 diperoleh :

'( ) 4 20 0 5L x x x= − + = ⇒ =

Karena ''( ) 4L x = − maka ''(5) 4 0L = − < . Jadi, ( )L x mencapai maksimum di 5x = dan

10y = dengan luas 250m .

x?

y?

59

Perhatikan grafik fungsi luas ( )L x dan '( )L x sebagai berikut :

2 4 6 8 10X

-20

-10

10

20

30

40

50

LHxL dan L'HxL

Penyelesaian nomor 2 dan seterusnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

60

BAB VI

DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN

Pada bab ini dibahas pendekatan suatu fungsi dengan fungsi suku banyak berderajat n.

Deret Taylor

Deret Taylor fungsi f di sekitar x = c adalah sungsi suku banyak :

2 3''( ) '''( ) ( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ...2! 3! !

nnf c f c f cf x f c f c x c x c x c x c

n= + − + − + − + + − +

Deret Mac Laurin

Deret MacLaurin merupakan kejadian khusus dari deret Taylor di mana c = 0. Jadi, deret

Taylor di sekitar 0x c= = disebut deret MacLaurin. Dengan demikian deret Mac Laurin

mempunyai bentuk sebagai berikut :

2 3''(0) '''(0) (0)( ) (0) '(0) ... ...2! 3! !

nnf f ff x f f x x x x

n= + + + + + +

Contoh :

1.Tentukan deret Taylor dari ( ) lny f x x= = di sekitar 1x = . Selanjutnya, dengan deret

tersebut hitunglah ln1,02

Penyelesaian :

2

43

11

( ) ln (1) ln1 01'( ) '(1) 1

1''( ) '''(1) 1

2.1'''( ) (1) 2.1

( 1) ( 1)!( ) (1) ( 1) ( 1)!n

n n nn

f x x f

f x fx

f x fx

f x fx

nf x f nx

−−

= = =

= =

−= = −

= =

− −= = − −

Jadi, deret Taylor fungsi ( ) lny f x x= = di sekitar 1x = adalah :

2 3

12 3 4

''(1) '''(1) (1)ln (1) '(1)( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1) ...2! 3! !

1 2.1 3.2.1 ( 1) ( 1)!0 1.( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ... ( 1) ...2! 3! 4! !

nn

nn

f f fx f f x x x xn

nx x x x xn

−

= + − + − + − + + − +

− − − −= + − + − + − + − + − +

61

Dengan deret di atas kita dapatkan :

2 3

2 3 4

1

2

''(1) '''(1)ln1,02 (1) '(1)(1,02 1) (1,02 1) (1,02 1) ...2! 3!

(1) (1,02 1) ...!

1 2.1 3.2.10 1.(1,02 1) (1,02 1) (1,02 1) (1,02 1) ...2! 3! 4!

( 1) ( 1)!(1,02 1) ...!1 2.10,02 (0,02)

2!

nn

nn

f ff f

fn

nn

−

= + − + − + − +

+ − +

− −= + − + − + − + −

− −+ − +

−= + +

13 43.2.1 ( 1) ( 1)!(0,02) (0,02) ... (0,02) ...

3! 4! !

nnn

n

−− − −+ + +

Dengan melihat contoh di atas, buktikan deret MacLaurin fungsi-fungsi berikut :

2 3 4 51 1 ...1

x x x xx

= + + + + +−

2 3 4 5

1 ...2! 3! 4! 5!

x x x x xe x= + + + + + +

3 5 7 9

sin ...3! 5! 7! 9!x x x xx x= − + − + +

Handout Matdas Pet

Documents