Gaya Terdistribusi Revisi

GAYA TERDISTRIBUSI

Oleh:Krisna StyadiAris Giyanto Indra Jonatan WWinda Pertiwi SDito StyokoWidiyanto

Sampai saat ini kita menganggap bahwa gaya tarik bumi pada suatu benda tegar dinyatakan sebagai gaya tunggal W yg bekerja pada benda tersebut, hal ini dilakukan untuk memudahkan dalam perhitungan.

TAHU KAH KAMU ?????

Faktanya setiap gaya yang bekerja pada suatu benda, maka gaya tersebut akan terdistribusi pada suatu luas sentuh terbatas bagaimanapun kecilnya.

• Untuk menghitung gaya yang bekerja tersebut maka kita harus menjumlahkan pengaruh gaya yang tersebar pada seluruh daerah.

b

JENIS GAYA TERDISTRIBUSI

DISTRIBUSI GARISBila gaya terdistribusi sepanjang garis, seperti pada beban vertikal menerus yang digantung pada kabel maka intensitas ᵚ dari beban dinyatakan sebagai gaya per satuan panjang garis (N/m) atau (lb/ft).

Gaya terdistribusi pada satu luas, seperti tekanan hidrolik air pada bagian dalam bendungan. Intensitas dinyatakan sebagai gaya persatuan luas (N/m2) atau pascal (pa)

Untuk intensitas yang bekerja pada fluida dikenal dengan sebutan tekanan, sedang pada benda padat dikenal tekanan atau tegangan

DISTRIBUSI LUAS

Gaya yang terdistribusi pada volume suatu benda dikenal sebagai gaya benda. Contoh paling umum adalah tarikan gravitasi yang dialami oleh benda. Intensitas gaya grafitasi adalah berat jenis (pg) dimana p adalah kerapatan (massa per satuan volume) dan g adalah percepatan akibat gravitasi. Satuanya (kg/m3) (m/s2) atau N/m3.

DISTRIBUSI VOLUME

1 2 3 4

PUSAT GRAFITASI BENDA BERDIMENSI DUA

Kita membagi plat horinsontal yang rata menjadi n bagian.

Kita beri nama tiap potongan tadi secara berurutan menjadi benda 1,2,3,4… dst.

1 2 3 4

X

Y

X1 X2 X3 X4

Y1

ΔW4ΔW3ΔW2ΔW1

Koordinat elemen 1 dinyatakan x1 dan y1, demikian juga elemen 2 dinyatakan x2 dan y2 dan seterusnya.

Gaya yang ditimbulakan oleh bumi Δw1, Δw2 dan seterusnya.

1 2 3 4

X

Y

X1 X2 X3 X4

ΔW4ΔW3ΔW2ΔW1

W

Jadi resultanya adalah gaya tunggal yang berarah sama besar W dari gaya yang diperoleh dengan menjumlahkan besar berat elementer.

W = Δw1 + Δw2 + Δw3 + Δw4 + … + Δwn.

1 2 3 4

XX1 X2 X3 X4

ΔW4ΔW3ΔW2ΔW1

y1

Untuk memperoleh ȳ dan ẍ dari titik G yang merupakan titik kerja resultan W, kita jumlah moment dari tiap-tiap element terhadap sumbu y dan x.

Σ My ẍW = x1.ΔW1 + x2.ΔW2 + … + xn.ΔWn

Σ Mx ȳW = y1.ΔW1 + y2.ΔW2 + … + yn.ΔWn

W=ʃdW ẍW=ʃxdW ȳW=ʃydW

TITIK BERAT DAN GARIS• Dari kasus di atas besar ΔW dari berat suatu

element dapat dinyatakan sebagai:• ΔW = ϒ t ΔA dimana:• ϒ = berat spesifik (berat/satuan volume)

diperoleh dari ρ.g (g=9,18) (kg/m3)(m/s2) yaitu N/m3

• t = tebal pelat (m)• ΔA = luas element (m2)• Maka dapat disimpulkan: W=ϒ.t.A

ẍA = ʃ x dA ȳA = ʃ y dA

Dengan mensubtitusikan W dan ΔW dalam persamaan awal maka kita peroleh:

Σmy : ẍA = x1 ΔA1 + x2 ΔA2 + … + xn ΔAnΣmx : ȳA = y1 ΔA1 + y2 ΔA2 + … + yn Δan

Jika kita memperbanyak jumlah luas element A secara serentak memperkecil element luas tersebut kita peroleh:

• Persamaan ini mendefinisikan ẍ dan ȳ dari pusat grafitasi plat homogen. Titik koordinat ini dikenal sebagai titik berat C dari bidang yang luasnya A.

• Persamaan ini hanya berlaku untuk pelat yang HOMOGEN.

• Lalu bagaimana jika kita harus menghitung benda yang tidak homogen?

ẍA = ʃ x dA ȳA = ʃ y dA

• Dengan cara yang sama kita akan memperoleh bahwa ΔW = ϒa ΔL.

• ϒ = berat spesifik bahan• a = luas penampang kawat• ΔL = panjang element

ẍL = ʃ x dL ȳL = ʃ y dL

MOMENT PERTAMA DARI BIDANG GARIS

• Dari persamaan sebelumnya kita memperoleh nilai ʃ x dA, nilai ini dikenal sebagai moment pertama dari bidang A terhadap sumbu Y dan diberi notasi Qy.

• Demikian pula ʃ y dA, dikenal sebagai moment pertama dari bidang A terhadap sumbu X dan diberi notasi Qx. Sehingga kita dapat:

Qy = ʃ x dA Qx = ʃ y dA

Qy = ẍA Qx = ȳA

Dari hal di atas maka kita dapat menyatakan bahwa moment pertama dari bidang A dapat dinyatakan sebagai perkalian luas dengan koordinat dari titik beratnya.Ini juga berlaku untuk moment pertama pada garis.

JIKA TITIK BERAT SUATU BIDANG TERLETAK PADA SUMBU KOORDINAT,MAKA MOMENT PERTAMA BIDANG TERHADAP SUMBU TERSEBUT = 0

Bidang simetris• Dikatakan simetris jika satu sisi

dari suatu benda dapat bertemu tepat persis terhadap satu sisi lainya.

• Garis tengah yang membagi sama besar tersebut disebut sebagai garis sumbu.

• Jika bidang A atau garis L memiliki garis sumbu maka moment pertamanya terhadap sumbu tersebut = 0 dan titik beratnya berada pada sumbu itu

Lebih jauh kita perhatikan bahwa jika suatu bidang atau garis memiliki 2 sumbu simetri maka titik berat C terletak pada perpotongan 2 sumbu simetri tersebut.

Sifat ini membuat kita akan lebih mudah menentukan letak titik berat bidang yang berbentuk teratur seperti lingkaran, elips, bujur sangkar dan lain sebagainya.Suatu bidang A disebut simetri terhadap titik berat C jika setiap elemen bidang dA dengan koordinat x,y memiliki padanan elemen bidang dA’ dengan koordinat -x,-y, sehingga titik berat berada pada titik perpotonganya.

• Perlu diperhatikan bahwa tidak semua bentuk yang memiliki pusat simetri memiliki sumbu simetri, sedang suatu bentuk yang memiliki 2 sumbu simetri tidak selalu memiliki pusat simetri.

• Namun jika suatu bentuk memiliki 2 sumbu simetri yang saling tegak lurus maka perpotongan sumbu-sumbu ini akan merupakan pusat simetri.

Bidang segitiga

Seperti di atas dijelaskan absis X dari titik grafitasi G dapat ditentukan dari absis x1, x2, dst, dari pusat grafitasi berbagai bagian dengan menyatakan momen berat seluruh plat terhadap sumbu y sama dengan jumlah moment berat berbagai bagian terhadap sumbu yang sama. Demikian juga untuk absis Y.

ΣMy: X(W1+W2+…+Wn) = x1W1+x2W2+…+xnWn.ΣMx: Y(W1+W2+…+Wn) = y1W1+y2W2+…+ynWn.

XΣW = ΣxW YΣW = ΣyW

• Jika plat di atas homogen dan tebalnya seragam pusat grafitasi berhimpit dengan titik berat C dari bidang tersebut. Absis X dan Y dapat ditentukan dengan menyatakan moment pertama Qy dan Qx seperti cara di atas.

Titik berat bidang komposit.

AyAYQx

AxAXQy

Contoh soal

JawabUntuk menyelesaikan soal disamping terlebih dahulu kita memecah benda tersebut menjadi beberapa bagian lalu menjumlahkan sebuah segitiga, sebuah setengah lingkaran, sebuah persegi dan menguranginya dengan sebuah lingkaran.

Tentukan:-moment pertama terhadap Sumbu x dan y-kedudukan titik beratnya.

Lalu masing-masing benda kita tentukan titik beratnya dengan menggunakan bantuan sumbu-sumbu koordinat.

33

33

mm107.757

mm102.506

y

x

Q

Q

AyAYQx

AxAXQy

23

33

mm1013.828

mm107.757

A

AxX

mm 8.54X

23

33

mm1013.828

mm102.506

A

AyY

mm 6.36Y

LETAK TITIK BERATDengan memasukan hasil tabel diatas dalam rumus yang telah kita dapatkan tadi maka kita peroleh hasil sbb:

PENETUAN TITIK BERAT DENGAN INTRGRASI

Titik berat bidang yang dibatsi oleh kurva analitis biasanya ditentukan dengan menghitung integral, jika elemen bidang dA berupa bujur sangkar kecil berisi dx dan dy penentuan masing2 integral ini membutuhkan integrasi rangkap dalam x dan y. koordinat titik berat diperoleh dengan menyatakan moment pertama seluruh bidang terhadap sumbu koordinat = jumlah moment yang bersangkutan dari elemen bidang. Tanda Xel dan Yel sebagai koordinat titik berat elemen dA.

dAydydxydAyAyQx

dAxdydxxdAxAxQy

el

el

Koordinat titik berat elemen bidang harus dinyatakan dalam koordinat suatu titik yang terletak pada kurva yg membatasi bidang yang sedang ditinjau. Demikian juga element bidang dA harus dinyatakan dalam koordinat titik dan diferensialnya.

ydxy

dAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

2

dxxay

dAyAy

dxxaxa

dAxAx

el

el

2

drr

dAyAy

drr

dAxAx

el

el

2

2

2

1sin

3

2

2

1cos

3

2

Titik berat garis yang didefinisikan melalui persamaan

aljabar bisa dihitung dengan mencari integral dalam

persamaan

ȲL = ʃ y dL ẌL = ʃ x dL

Elemen dL harus diganti dengan salah satu persamaan

berikut menyesuaikan jenis persamaan yang dipakai.

𝒅𝑳=√𝟏+¿¿ 𝒅𝑳=√𝟏+¿¿ 𝒅𝑳=√𝟏+¿¿

Contoh soal

Ditanya:Tentukan titik beratnya

SOLUTION:

Subtitusi X=a dan Y=b.

2121

22

22

2

yb

axorx

a

by

a

bkakb

xky

• Cari luas totalnya.

3

30

3

20

22

ab

x

a

bdxx

a

bdxy

dAA

aa

1052

2

1

2

44

2

0

5

4

2

0

22

2

2

0

4

2

0

22

abx

a

b

dxxa

bdxy

ydAyQ

bax

a

b

dxxa

bxdxxydAxQ

a

a

elx

a

a

ely

10

42

1

22

2

0

2321

2121

2

0

22

0

22

abdyy

b

aay

dyyb

aaydyxaydAyQ

badyy

b

aa

dyxa

dyxaxa

dAxQ

b

elx

b

b

ely

• Hasil yang sama dapat kita peroleh dengan meninjau element horisontal. Moment pertama bidangnya adalah:

Untuk memperoleh x dan y kita subtitusi ke persamaanya

43

2baabx

QAx y

ax

4

3

103

2ababy

QAy x

by10

3

TEOREMA PAPPUS-GULDINUS

• Dirumuskan Geometer Yunani Pappus abad 3M. Lalu dinyatakan lagi oleh matematikawan Swiss Guldinus atau Guldin.

• Suatu permukaan putar ialah permukaan yang dapat dibentuk dengan memutar kurva terhadap suatu sumbu tetap.

TEOREMA 1• Luas suatu permukaan putar sama dengan

panjang kurva pembentuk dikalikan dengan jarak yang ditempuh oleh titik berat kurva ketika permukaan itu dibentuk.

• Catatan kurva pembentuk tidak boleh memotong sumbu putarnya.

• dL dari garis L diputar terhadap sumbu X. terbentuk bidang dA = 2πy dL. Maka seluruh bidang yg dibentuk L adalah:

LyA 2

TEOREMA 2• Volume benda putar = luas bidang pembentuk

dikalikan jarak yg ditempuh titik berat ketika membentuk benda tersebut. (catatan sama di atas).

• Volume dV yg dibentuk elemen dA = 2πy dA. Jadi volume yg dibentuk A adalah V= ʃ 2πy dA. Karena ʃ y dA = ȲA maka kita peroleh:

AyV 2

Contoh soal

• Diketahui diameter luar kerekan adalah 0,8 m dengan penampang seperti di gambar. Tentukan massa dan berat rim (pinggiran) dengan mengetahui bahwa kerekan tersebut terbuat dari baja dengan kerapatan 7,85 X 103 kg/m3.

Volume rim dapat dicari dengan teotrema 2. luas penampang akan lebih mudah diperoleh jika kita perhatikan bahwa penampang terdiri dari persegi empat (I) dengan luas positif dan persegi empat (II) dengan luas negatif.

3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7Vm kg 0.60m

2sm 81.9kg 0.60mgW N 589W

Beban terdistribusi pada balok

• Beban terdistribusi dapat dinyatakan w (N/m). Besar gaya yg beraksi pada elemen balok dX adalah dW = w dx, dimana w dx = luas dA.

AdAdxwWL

0

AxdAxAOP

dWxWOP

L

0

Beban terpusat w menyatakan resultan beban terdistribusi yg diberikan harus ekuivalen dengan pembebanan. Titik P beban terpusat yg ekuivalen dengan W didapat dengan menyatakan momen W terhadap titik O = jumlah momen beban elementer dW terhadap O

Jadi satu beban terdistribusi dapat diganti dengan beban terpusat.

Besar beban tunggal ini sama dengan luas di bawah kurva beban dan garis aksinya melali titik berat bidang itu.

Namun perlu diperhatikan bahwa beban terpusat tersebut ekuivalen dengan beban yg diberikan hanya sejauh gaya luarnya saja.

Gaya ini bisa dipakai untuk menentukan reaksi, tetapi tidak bisa untuk menghitung gaya dalam dan defleksi.

Contoh soal

• Sebuah batang balok menumpu beban terdistribusi seperti gambar. Tentukan beban terpusatnya yg ekuivalen dan reaksi pada tumpuan.

• The line of action of the concentrated load passes through the centroid of the area under the curve.

kN 18

mkN 63 X m5.3X

SOLUTION:

• The magnitude of the concentrated load is equal to the total load or the area under the curve.

kN 0.18F

Pusat grafitasi benda 3 dimensi

• Pusat grafitasi G

jWjW

jWrjWr

jWrjWr

G

G

dWrWrdWW G

• Untuk menentukan koordinatnya dipakai:,

zdWWzydWWyxdWWx

zdVVzydVVyxdVVx

dVdWVW dan

• Untuk benda homogen,

Contoh soal

• Tentukan letak pusat grafitasi elemen berikut, jika kedua lubang berdiameter 1 inch.

34 in .2865in 08.3 VVxX

34 in .2865in 5.047 VVyY

34 in .2865in .6181 VVzZ

in. 577.0X

in. 577.0Y

in. 577.0Z