1 Sistem Persamaan Linier
1
Sistem Persamaan Linier
2
Persamaan linier :
Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan
tidak terjadi perkalian antar variabelnya.
Contoh: (1) x + y + 2z = 9 PL
(2) 2x + y = 9 PL
(3) 2xy – z = 9 Bukan PL
Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing
nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi
persamaan tersebut.
Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas:
{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }
Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)
3
Misal :
atau
atau
terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus
berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama
429
5
0
tsx
sy
tz
5
4
sy
tx
02
9
stz
529
0
4
tsy
sz
tx
4
Sistem Persamaan Linier:
Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.
Contoh:
x + y = 3
3x – 5y = 1
Ruang Solusi:
berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus
memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut;
untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }
5
Solusi Sistem Persamaan Linier
a. Cara Biasa → Seperti SMA
a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali):
I. x + y = 3 3x + 3y = 9
3x – 5y = 1 3x – 5y = 1
8y = 8 y = 1
3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2
II. y = 3 – x
3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2
y = 3 – x y = 1
6
Interpretasi Geometrik:
Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.
g1: x + y = 3
g2: 3x – 5y = 1
Solusi: g1 dan g2 berpotongan di (2, 1)
Kemungkinan:
berpotongan di 1 titik tidak berpotongan berimpit
X+y = 5
X+y = 7
Var => sama
Konst => tidak
X+y = 5
2X+2y = 10
Kelipatan
7
Solusi Sistem Persamaan Linier
a. Cara Biasa → Seperti SMA
b. Eliminasi Gauss
c. Eliminasi Gauss - Jordan
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK
9
b. Eliminasi Gauss (ringkasan):
Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi
Linier Augmented Gauss Balik
OBE
10
Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar)
Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien
Sistem Persamaan Linier
Contoh : x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Matriks Augmented-nya : 1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
11
Operasi Baris Elementer (OBE)
(Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier
1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0
2. Menukar posisi dua baris
3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j
12
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
b. Eliminasi Gauss
c. x + y + 2z = 9 1 1 2 9
2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1
3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0
lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9
0 1 ? ?
0 0 1 ?
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)
(Elementary Row Operation - ERO)
ditulis
dalam
bentuk
matriks
augmented
13
O.B.E
sebuah baris dengan kostanta 0
sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain
Menukar dua buah baris
Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris)
Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Baris nol terletak paling bawah
1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya.
Dibawah 1 utama harus 0
14
15
16
17
Contoh :
Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris
Tereduksi)
Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan
pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Baris nol terletak paling bawah
1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama
baris diatasnya..
Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai
nol di tempat lain
Contoh :
5100
2610
7341
10000
01100
06210
1100
7010
4001
00000
31000
10210
18
Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E :
* + =
* + =
* + =
Substitusi Balik
271130
17720
9211[baris 1 -2] + baris 2
9
2
1
1
2
2
2
2
1
3
4
2
17
7
2
0
[baris 1 -3] + baris 3
9
2
1
1
3
3
3
3
0
5
6
3
27
11
3
0
baris 2 * 1/2
2/32/100
2/172/710
9211[baris 2 -3] + baris 3
2/17
2/7
1
0
3
3
3
3
27
11
3
0
2/3
2/1
0
0
baris 3 -2
31002
17
2
710
9211 z = 3
2
2/17)3(2/7
2/172
7
y
y
zy
1
9)3(22
92
x
x
zyx 3,2,1 zyx
19
x y z
1 1 2 9 Substitusi Balik:
0 2 -7 -17
0 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3
1 1 2 9
0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17
0 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2
1 1 2 9 x + y + 2z = 9
0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1
0 0 -½ -3/2
z
y
z
20
Bentuk eselon baris:
1. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka
entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama /
leading-1)
2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian
bawah matriks
3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke
kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas
Bentuk eselon baris tereduksi:
1, 2, 3, ditambah
4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama
harus di-0-kan
21
c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan):
Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi
Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung)
OBE
22
23
Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama)
x + y + 2z = 9 1 1 2 9
2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1
3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0
dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ?
0 1 0 ?
0 0 1 ?
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)
(Elementary Row Operation - ERO)
24
Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E
idem Gauss
disambung dengan :
* + =
* + =
* + =
3100
2/172/710
9211
baris 3
2
7 + baris 2
3
1
0
0
2/7
2/7
2/7
2/7
2/17
2/7
1
0
2
0
1
0
3100
2010
9211
baris 3 -2 + baris 1
3
1
0
0
2
2
2
2
9
2
1
1
3
0
1
1
3100
2010
3011 baris 2 -1 + baris 3
2
0
1
0
1
1
1
1
3
0
1
1
1
0
0
1
3100
2010
1001
3
2
1
z
y
x
25
CONTOH
In the left column below we solve a system of equations by operating on
the equations in the system, and in the right column we solve the same
system by operating on the rows of the augmented matrix.
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y -5z = 0
0563
1342
9211
Add -2 times the first equation
to the second to obtain Add -2 times the first row
to the second to obtain
x + y + 2z = 9
2y – 7z = -17
3x + 6y -5z = 0
0563
17720
9211
Add -3 times the first row
to the third to obtain
Add -3 times the first equation
to the third to obtain
x + y + 2z = 9
2y – 7z = -17
3y -11z = -27
271130
17720
9211
26
Multiply the second equation
by ½ to obtain
Multiply the second row by
½ to obtain
27113
2
17
2
7
92
zy
zy
zyx
2711302
17
2
710
9211
Add -3 times the second
equation to the third to obtain
Add -3 times the second
row to the third to obtain
2
3
2
1
2
17
2
7
92
z
zy
zyx
2
3
2
100
2
17
2
710
9211
Multiply the third equation by
-2 to obtain
Multiply the third row by -2
to obtain
3
2
17
2
7
92
z
zy
zyx
31002
17
2
710
9211
27
Add -1 times the second equation
to the first to obtain Add -1 times the second
row to the first to obtain
3
2
17
2
7
2
35
2
11
z
zy
zx
31002
17
2
710
2
35
2
1101
Add -11/2 times the third equation to
the first and 7/2 times the third
equation to the second to obtain
Add -11/2 times the third row to the
first and 7/2 times the third row to
the second to obtain
3
2
1
z
y
x
3100
2010
1001
The solution : x = 1, y = 2, z = 3
28
Halaman 11
Step 1. Locate the leftmost column that does not
consist entirely of zeros.
Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to
bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1.
156542
281261042
1270200
156542
281261042
1270200
Leftmost nonzero column
156542
1270200
281261042The first and second rows in the
preceding matrix were interchanged
29
Step 3 if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is
a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1
1 2 -5 3 6 14
0 0 -2 0 7 12
0 0 5 0 -17 -29
1 2 -5 3 6 14
0 0 -2 0 7 12
2 4 -5 6 -5 -1
step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all
entries below the leading 1 to zeros
step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1
applied to the submatrix that remains. Continue in this way until
the entire matrix is in row-echelon form
1 2 -5 3 6 14
0 0 -2 0 7 12
0 0 5 0 -17 -29
The first row of the
preceding
matrix was multiplied by ½
-2 times the first row
of the preceding matrix was
added to the third row
left most nonzero coloumn in the
submatrix
30
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0 -3,5 -6
0 0 5 0 -17 29
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0 -3,5 -6
0 0 5 0 -17 29
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0 -3,5 -6
0 0 0 0 0.5 1
The first row in the submatrix
was multiplied
by -1/2 to introduce a leading 1
-5 times the first row of the submatirx
was added to the second row of the submatrix
to introduce a zero below the leading 1
The top row in the submatrix was
covered, and we returned again
to the step 1
The first(and only) row in the submatrix
was multiplied by 2 to introduce a leading 1
•The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step
leftmost non zero coloumn
in the new submatrix
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0 -3,5 -6
0 0 0 0 1 2
31
Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable
multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the
leading 1’s
1 2 -5 3 0 2
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 1
1 2 -5 3 6 14
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
1 2 0 3 0 7
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
7/2 times the third row of the
preceding matrix was added
to the second row
-6 times the third row was
added
to the first row
5 times the second row was
added to the first row
The last matrix is in reduced row echelon form
32
Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu :
1. Mempunyai jawaban tunggal
2. Mempunyai banyak jawaban
3. Tidak mempunyai jawaban
Contoh :
Tentukan nilai a agar SPL berikut:
i. Mempunyai jawaban tunggal
ii. Mempunyai banyak jawaban
iii. Tidak mempunyai jawaban
x – 2y + 3z = 1
2x – 3y + 9z = 4
x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a
33
Penyelesaian :
Matriks Eselon SPL di atas adalah :
i. Mempunyai jawaban tunggal
a2 – 4 ≠ 0 a ≠ -2 dan a ≠ 2
ii. Mempunyai banyak jawaban
a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0 a = -2
iii. Tidak mempunyai jawaban
a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0 a = 2
aa 2400
2310
1321
2
34
Sistem Persamaan Linier Homogen :
1. Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di
kanan tanda “=“ adalah 0.
2. Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen:
Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada
Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 )
Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya
2 2 -1 0 1 0
-1 -1 2 -3 1 0
1 1 -2 0 -1 0
0 0 1 1 1 0
35
Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya
2 2 -1 0 1 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0 -1 -1 2 -3 1 0 1 1 -2 0 -1 0 0 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 3/2 -3 3/2 0
0 0 -3/2 0 -3/2 0
0 0 1 1 1 0
Brs-1 (1/2)
Brs-2 + brs-1
Brs-3 – brs-1
36
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 3/2 -3 3/2 0
0 0 -3/2 0 -3/2 0
0 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 3 0 0
Brs-2 (2/3)
Brs-3 (– 2/3)
Brs-3 – brs-2
Brs-4 – brs-2
37
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 3 0 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
Brs-3 (1/2)
Brs-4 (1/3)
Brs-4 – brs-3
38
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 -2 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 -1/2 0 1/2 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
baris-1 + (1/2) baris-2
39
1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
x1 + x2 + x5 = 0
x3 + x5 = 0
x4 = 0
x5 = s x3 + x5 = 0 x3 = – x5
x2 = t x1 + x2 + x5 = 0 x1 = – x2 – x5
Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) }
Catt => yang diumpamakan dahulu adalah index terbesar
40
Teorema:
Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel
lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak
berhingga banyak pemecahan.
Ditinjau dari matriksnya:
Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak
d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.
41
Contoh menggunakan Matlab
• Soal
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Buat matrix pada Matlab
42
Matlab Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1
Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2
43
Matlab Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1
Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3
44
Matlab Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2
Baris 2 = Baris 2 * 1/2
45
PR
• Contoh pada slide 3, coba tukar antara
baris pertama dengan baris 3, apakah
hasilnya tetap sama ? Jawab dengan
menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan)
x + y
+ 2z =
9
2x +
4y –
3z =
1
3x +
6y –
5z =
0
3x +
6y –
5z =
0
2x +
4y –
3z =
1
x + y
+ 2z =
9
46
PR
• Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL
yang seharusnya jawabannya sama, tapi
kenapa berbeda? Jawab dengan
menggunakan Gauss-Jordan (dengan
tangan)
x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1
1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0
1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0
x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1
0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0
0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0
47
PR kerjakan 2 saja
• 1.1 3.b, 4.c, 5.d, 11
• 1.2 6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17,
22