BAB I PENGERTIAN DASAR SISTEM PENGATURAN 1.1 Pendahuluan Tentang Pendekatan Sistem Suatu “sistem” dapat dipandang sebagai gugusan elemen- elemen yang saling berhubungan dan terorganisir ke arah suatu sasaran tertentu atau gugus sasaran. Dalam problem-problem interdisipliner yang kompleks, "pendekatan sistem" dapat menyediakan alat bantu bagi penyelesaian masalah dengan metode dan peralatan logis yang memungkinkannya untuk mengidentifikasikan komponen-komponen (subsistem) yang saling berinteraksi untuk mencapai beberapa sasaran tertentu. Pengetahuan-pengetahuan ini memungkinkan seseorang untuk mengambil pilih-an-pilihan rasional di antara alternatif- alternatif yang tersedia dalam problem-problem yang kritis dan trade-off. Tiga macam kondisi yang menjadi prasyarat agar supaya aplikasi pen-dekatan sistem dapat memberikan hasil yang memuaskan adalah: (1). sasaran sistem didefinisikan secara jelas dan dapat dikenali, meskipun ka-dangkala tidak dapat dikuantifikasikan. (2). proses pengambilan keputusan dalam sistem riil dilakukan dengan cara sen-tralisasi yang logis (3). skala perencanaannya jangka panjang. 1
192
Embed
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I PENGERTIAN DASAR SISTEM PENGATURAN
1.1 Pendahuluan Tentang Pendekatan Sistem
Suatu “sistem” dapat dipandang sebagai gugusan elemen-elemen yang saling
berhubungan dan terorganisir ke arah suatu sasaran tertentu atau gugus sasaran. Dalam
problem-problem interdisipliner yang kompleks, "pendekatan sistem" dapat menyediakan
alat bantu bagi penyelesaian masalah dengan metode dan peralatan logis yang
memungkinkannya untuk mengidentifikasikan komponen-komponen (subsistem) yang
saling berinteraksi untuk mencapai beberapa sasaran tertentu. Pengetahuan-pengetahuan
ini memungkinkan seseorang untuk mengambil pilih-an-pilihan rasional di antara
alternatif-alternatif yang tersedia dalam problem-problem yang kritis dan trade-off.
Tiga macam kondisi yang menjadi prasyarat agar supaya aplikasi pen-dekatan
sistem dapat memberikan hasil yang memuaskan adalah:
(1). sasaran sistem didefinisikan secara jelas dan dapat dikenali, meskipun ka-dangkala
tidak dapat dikuantifikasikan.
(2). proses pengambilan keputusan dalam sistem riil dilakukan dengan cara sen-tralisasi
yang logis
(3). skala perencanaannya jangka panjang.
1.2. Prosedur
Pada hakekatnya pengembangan sistem merupakan suatu proses pengam bilan
keputusan degan menggunakan fungsi-struktur, outcomes, evaluasi, dan keputusan. Tahap-
tahap pokok dalam pendekatan sistem ini adalah: (i) evaluasi kelayakan, (ii) pemodelan
abstrak, (iii) disain implementasi, (iv) implementasi sistem, dan (v) operasi sistem.
Seperti yang lazim diikuti, prosedur dari proses tersebut diawali dengan gugus
"kebutuhan" yang harus dipenuhi, menuju kepada suatu sistem operasional yang mampu
memenuhi kebutuhan. Proses-proses tersebut diikuti dengan suatu evaluasi untuk
menentukan apakah outcome dari suatu tahapan memuaskan atau tidak. Proses tersebut
pada kenyataannya bersifat interaktif.
1
1.3. Alat Bantu
Suatu alat bantu yang sangat penting ialah model abstrak yang perilaku esensialnya
mencerminkan perilaku dunia nyata (realita) yang diwakilinya. Model digunakan dalam
banyak cara, dalam mendisain dan mengelola sistem sebagai fungsi analisis. Analisis ini
didefinisikan sebagai determinasi output model, dengan menggunakan input dan struktur
model yang telah diketahui.
Suatu model matematik, terutama model komputer, dapat dengan cepat
menganalisis dan menghitung output dari berbagai alternatif yang sangat penting dalam
proses kreatif pengelolaan sistem dan disain sistem. Pada kenyataannya kebanyakan model
abstrak ini mempunyai struktur internal yang terdiri atas simbol-simbol mate-matik yang
harus dipahami arti dan maknanya. Suatu model disebut analitik apabila model tersebut
mempunyai penyelesaian umum pada berbagai kisaran input sistem dan nilai-nilai
parameter sistem. Model simulasi merupakan model yang menghitung alur-waktu dari
peubah-peubah model untuk seperangkat tertentu input model dan nilai parameter model.
Karena seringkali tidak mungkin untuk menyelesaikan model analitik bagi sistem yang
kompleks, maka model-model simulasi (yang lebih mudah diselesaikan) banyak
digunakan dalam mengkaji dan menganalisis sistem dinamik yang kompleks.
1.4 Simulasi Sistem1.4.1 Operasi
Bagian yang sangat penting dalam analisis sistem adalah penggunaan komputer.
Kemampuan komputasionalnya sangat mempermudah dalam pengo-lahan sejumlah besar
peubah dan interaksi- interaksinya. Simulasi komputer lazimnya berarti bahwa kita mem
punyai suatu program komputer atau model-sistem lainnya dimana kita dapat mencoba
berbagai disain sistem dan strategi pengelolaannya. Dengan menggunakan komputer,
aplikasi simulasi menjadi sangat luas terutama oleh para menejer dan pengambil keputusan
akhir. Teknik simulasi yang dikenal sebagai penciptaan peubah random Montecarlo,
banyak digunakan dalam bidang bisnis dan pertanian.
2
Dalam mengimplementasikan suatu model sistem pada kompu ter maka para
pengguna mempunyai pilihan bahasa pemrograman seperti BASICS, Fortran, atau bahasa
simulasi khusus.
1.4.2 Metodologi
Karena matematika telah dipilih sebagai suatu bahasa dasar, dan karena simulasi
seringkali menjadi alat bantu kita, maka akan diperlukan tahap-tahapan proses untuk
menjabarkan model grafis menjadi model matematika:
(1). Mengisolasikan komponen atau subsistem. Seringkali subsistem-subsistem atau
komponen-komponen tersebut secara fisik berbeda dengan jelas.
(2). Menetapkan peubah-peubah input U(t) untuk setiap sub- sistem. Input stimuli ini akan
menyebabkan perubahan perilaku subsistem. Termasuk di sini adalah input-input
pengelolaan yang dapat digunakan untuk memperbaiki keragaan sistem yang sedang
dikaji.
(3). Menetapkan peubah-peubah internal atau keubah-peubah keadaan X(t). Pada dasarnya
ini merupakan faktor-faktor dalam subsistem yang diperlukan untuk men-cerminkan
sejarah masa lalu dari perilaku subsistem.
(4). Menetapkan peubah-peubah output Y(t). Kuantitas-kuantitas respon yang
menghubungkan subsistem dengan subsistem lain yang merupakan ukuran penting
dari keragaan sistem. Output atau respon seperti ini dapat berfungsi sebagai stimuli
atau input bagi subsistem lain.
(5). Dengan cara observasi, eksperimen atau teori, menentukan hubungan matematika di
antara U(t), X(t), dan Y(t). Dalam suatu model statis, hubungan-hubungan ini
merupakan fungsi aljabar. Kalau melibatkan feno mena laju, penundaan atau
simpanan, maka akan dihasilkan persamaan-persamaan diferensial atau integral, dan
subsistem yang dinamik.
(6). Menjelaskan peubah-peubah input lingkungan eksogenous dalam bentuk matematika.
Ini akan merupakan peubah-peubah stimulus bagi keseluruhan sistem yang sedang
dimodel.
(7). Memperhitungkan interaksi-interaksi di antara subsistem-subsistem dengan metode
agregasi seperti diagram kotak (block diagram), teori jaringan, dan grafik-grafik
linear.
3
(8). Verifikasi model dengan serangkaian uji dan inspeksi. Hal ini biasanya melibatkan
serangkaian revisi dan perbaikan model.
(9). Aplikasi model dalam problematik perencanaan atau pengelolaan dalam dunia nyata.
Sistem Pengaturan adalah Suatu sistem dengan acuan masukan yang dikehendaki
dapat konstan atau berubah perlahan dengan berjalannya waktu untuk menjaga keluaran
sebenarnya berada pada nilai yang diinginkan
Komponen Sistem Pengaturan :
Masukan : Tujuan yang di capai dalam sistem pengaturan
Komponen : Bagian dari sistem pengaturan yang saling berinteraksi
Proses : Operasi yang dikontrol
Keluaran : keadaan sebenarnya hasil dari suatu proses pada saat itu.
Gangguan
Masukan Keluaran
Gambar 1.1. Diagram Blok Sistem Pengaturan
Kontroler : Bagian dari sistem pengaturan yang bertugas sebagai pengatur atau
penguat sinyal kesalahan menuju aktuator untuk mengatur plant sesuai
yang diinginkan
Aktuator : Suatu peralatan yang bertugas untuk melakukan operasi tertentu
Plant : Objek fisik yang diatur
Sensor : Suatu alat yang bertugas untuk mengamati kondisi yang terjadi pada
keluaran kemudian dihubungkan pada masukan
4
Kontroler
Sensor
PlantAktuator+
-
Gangguan : Suatu sinyal yang cenderung mempunyai pengaruh yang merugikan pada
harga keluaran sistem.
Contoh :
1. Saklar listrik :
Gambar 1.2. Sistem saklar listrik
Diagram Blok Saklar Listrik
Lampu “On” Lampu “On”
Gambar 3. Diagram blok sistem saklar listrik
Saklar listrik berfungsi untuk mengatur aliran listrik
Masukan : Mematikan atau menghidupkan lampu
Keluaran : Listrik yang mengalir atau tak mengalir (dua keadaan)
2. Sistem Pengaturan Level Air
air
5
Kontroler (h)
Saklar Lampu
h’ Gambar 1.3 : Sistem pengaturan level air
Diagram blok sistem pengaturan level air
h yg.diinginkan h’ terukur
+
-Gambar 1.4. Diagram blok sistem pengaturan level air
Klasifikasi Sistem Kontrol :
1. Sistem Pengaturan Motor Servo (Servomekanis) adalah : Sistem Pengaturan berumpan
balik yang keluarannya berupa kecepatan, percepatan, dan posisi mekanik
2. Sistem Pengaturan Proses : Sistem regular automatik dengan keluaran seperti
temperatur, tekanan, aliran, tinggi muka cairan
Contoh aplikasi sistem Pengaturan di industri
1. Sistem kontrol gaya pegangan tangan robot :
Titik pengatur
Gaya pegangan
Umpan balik gaya
Umpan balik luncurGambar 1.5. Sistem kontrol gaya pegangan tangan robot
6
Kontroler Kran air
Bak Air
Pelampung
Mikrokomputer
MotorSteper
Gambar 1.5 menunjukkan diagram skematik untuk sistem kontrol gaya pegangan yangf
menggunakan alat alat perasa gaya dan alat perasa luncur. Jika gaya pegangan terlalu kecil,
tangan robot akan melepas objek mekanika tersebut, dan jika terlalu besar, maka tangan
tersebut mungkin menghancurkan objeknya. Pada awal bekerja gaya pegangan dipreset
pada tingkat sedang kemudian ditingkatkan pegangannya setelah menyentuh objeknya .
Fungsi tangan robot ini untuk mengambil dan mengangkat objek dengan gaya pegangan
yang telah di preset . Jika terjadi slip pada saat mengangkat, akan diketahui oleh pihak
perasa luncukdan sinyal akan dikirim kembali ke kontoler dan kemudian meningkatkan
gaya pegangannya.
2. Sistem kontrol suhu ruang penumpang mobil
matahari suhu ruangan
Suhu yang dikehendaki Suhu ruang penumpang
Gambar 1.6. Sistem kontrol suhu ruang penumpang mobil
Suhu ruang penumpang mobil berbeda cukup besar tergantung pada tempat dimana
suhu diukur. Daripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan
nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan penghembus ditempat dimana
penumpang biasanya merasakan suhu. Suhu udara dari sedotan penghembus adalah
petunjuk suhu ruang penumpang dan ditinjau sebagai keluaran sistem.
Kontroler menerima sinyal masukan, sinyal keluaran dan sinyal dari sensor sumber
gangguan . Kontroler mengirimkan sinyal kontrol optimal ke alat pengatur udara (air
conditioner) untuk mengontrol jumlah udara penyejuk sedemikian rupa sehingga suhu
ruang penumpang sama dengan suhu yang dikehendaki.
Masalah yang perlu di diskusikan di dalam kelas :
7
Sensor
Sensor panas radiasi
Pengatur Udaya
Sensor
Kontroler Ruang penumpang
- Apakah masukan dan keluaran dari sistem pengaturan merupakan masukan dan
keluaran dari proses plant ? jelaskan!
- Bilamana pada sistem pengaturan saklar lampu, pada lampunya terjadi gangguan
misalnya mati, apakah sistem pengaturan bisa berjalan dengan baik? Jelaskan!
- Bagaimana dengan sistem pengaturan suhu ruangan dalam mobil ?
Penggolongan Sistem Pengaturan
Sistem Pengaturan digolongkan dalam dua katagori yaitu : Sistem lintasan terbuka dan
sistem lintasan tertutup.
Sistem Lintasan Terbuka adalah : Suatu sistem yang tindakan pengendaliannya bebas dari
keluarannya. Jadi untuk tiap masukan acuan
berhubungan dengan kondisi operasi tertentu, ketetapan
dari sistem tergantung pada kalibrasi
Sistem Lintasan Tertutup adalah : suatu sistem yang tindakan pengendaliannya tergantung
pada keluarannya.
Perbandingan sistem lintasan terbuka dengan sistem lintasan tertutup
Pada sistem lintasan terbuka :
- tidak dapat melaksanakan tugas seperti yang diharapkan
- dapat digunakan hanya jika hubungan masukan dan keluaran diketahui dan tidak
terdapat gangguan internal maupun eksternal
- pada lintasan terbuka tidak menggunakan rangkaian umpan balik artinya kurang peka
terhadap gangguan, jadi komponen-komponen yang dipakai relatif lebih murah
- dari segi kestabilan lebih mudah dibuat karena kestabilan bukan merupakan persoalan
yang utama
Pada lintasan tertutup :
- relatif lebih peka terhadap gangguan dari eksternal maupun dari internal
- komponen-komponen yang digunakan relatif lebih mahal
8
- Kestabilan merupakan persoalan utama dan cenderung terjadi kesalahan akibat koreksi
yang berlebih dapat menimbulkan osilasi pada amplitudo tetap maupun berubah
Contoh pada sistem saklar listrik (gambar 2) juga disebut sebagai sistem lintasan terbuka
karena dari cirinya tanpa adanya umpan balik yang bekerja pada diagram tersebut Sangat
berbeda pada sistem pengaturan level air (gambar 4), adanya umpan balik yang bekerja
pada diagram tersebut membuat tinggi air yang diharapkan bak air akan selalu tetap
walaupun terjadi gangguan misalnya pada bak air terjadi kebocoran.
Tugas diskusi kelompok :
Apakah sistem lintasan terbuka bisa dijadikan sistem yang lintasan tertutup seperti pada
sistem saklar listrik?
Perhatikan gambar berikut :
Sensor (foto sel)
AC 220V
Gambar diatas menunjukkan sistem pengaturan intensitas cahaya ruangan dimana cahaya
dipertahankan pada intensitas tertentu bilamana terjadi gangguan serperti gelap diluar
ruangan maka lampu akan menyala untuk mempertahankan cahaya pada ruangan tersebut.
Berdasarkan pada teori yang sudah dijelaskan diatas apakah sistem tersebut tergolong
dalam sistem lintasan terbuka atau tertutup ? jelaskan !
Tugas mandiri (PR) :
Buatlah satu contoh sistem pengaturan, kemudian jelaskan bagaimana cara kerjanya
tentukan input sistem dan output sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem lintasan
terbuka atau tertutup jelaskan.
9
Ruangan
Lampu
BAB IIPENGANTAR MATEMATIKA
2.1 Konsep Variabel Kompleks
2.1.1 Variabel Kompleks
Suatu variabel kompleks s mempunyai dua komponen : komponen nyata s dan komponen
khayal w. Secara grafis komponen nyata s dinyatakan dengan sumbu s pada arah
horisontal dan komponen khayal diukur sepanjang sumbu vertikal j pada bidang
kompleks s. Gambar 2-1 menggambarkan bidang kompleks s yang pada titik sembarang s
= s1 ditentukan oleh koordinal = 1 dan = 1 atau secara sederhana s1 = 1 + j 1
2.1.2 Fungsi Variabel Kompleks
Fungsi G(s) dikatakan merupakan fungsi variabel kompleks s, jika untuk setiap nilai s
terdapat satu atau lebih nilai G(s). Karena s mempunyai bagian nyata dan khayal, fungsi
G(s) juga dinyatakan dengan bagian nyata dan khayal, yaitu :
G(s) = Re G(s) + j Im G(s) …………………………………………….(2-1)
Dengan Re G(s) menyatakan bagian nyata dan Im G(s) menyatakan bagian khayal dari
G(s) . Pemetaan bilanagn dari bidang G(s) ke bidang s juga merupakan nilai tunggal atau
disebut pemetaan satu-satu. Contoh fungsi pemetaan yang bukan merupakan pemetaan
satu- satu;
…………………………………………………………(2-2)
10
Untuk setiap nilai s, hanya terdapat satu nilai unik G(s), tetapi pemetaan sebaliknya tidak
demikian misalnya titik G(s) = dipetakan pada dua titik pada bidang s, yaitu s = 0 dan s =
-1
Gambar 2.1 bidang Kompleks s
Gambar 2-2 Pemetaan nilai tunggal daribidang s ke bidang G(s)
2.1.3 Fungsi Analitik
Suatu fungsi G(s) dari variabel kompleks s disebut fungsi analitik dalam daerah s
jika fungsi tersebut dan turunannya berada pada daerah tesebut. Misalnya fungsi yang
diberikan oleh persamaan 2-2 analitis pada setiap titik bidang s kecuali pada titik s = 0 dan
11
Bidang s
s = -1. Pada kedua titik ini nilai fungsi tidak berhingga, sebagai contoh lain fugsi G(s) = s +
2 analitis pada setiap titik bidang s.
2.1.4 Kesingularan dan Pole dari Fungsi
Kesingularan dari suatu fungsi adalah titik-titik pada bidang s yang fungsi atau
turunannya tidak ada. Pole merupakan bentuk yang paling umum dari kesingularan dan
mempunyai peran yang sangat penting dalam pembahasan teori kendali klasik. Pengertian
pole adalah penyebut dari persamaan G(s) sehingga ketika s = si fungsi G(s) menjadi tak
terhingga .
Contoh :
……………………………………………………….. (2-3)
Mempunyai pole orde dua pada s = -3 dan pole-pole tunggal pada s = 0 dan s = -1. Dapat
juga dikatakan bahwa fungsi G(s) analitis pada bidang s kecuali pada pole-pole tersebut.
2.1.4 Zero dari suatu Fungsi
Pengertian Zero dari suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai suatu berikut:
Pembilang dari persamaan G(s) sehingga ketika s = si fungsi G(s) menjadi nol . seperti
pada persamaan 2-3, zero pada s = -2
2.2 Transformasi Laplace
Overview :
• Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem
mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung
pada masukannya
• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika
semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).
• Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk
• Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk
menghasilkan solusi dalam domain s.
• Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse
transformasi Laplace
Definisi :
Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika
tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.
A. Fungsi Step
F(t) = 0 untuk t < 0
= A untuk t > 0
=
=
B. Fungsi Pulse
F(t) = 0 untuk t < 0 & t >T
= A untuk 0 t T
13
A
0t
A
tT
Fungsi Unit Step : f(t) = 1 (t) F(s) = 1/s
C. Fungsi Impulse
untuk 0 < t < to
= 0 untuk t < 0 & to < t
= A
Fungsi Unit-Impulse : f(t) = (t)
F(s) = 1
D. Fungsi Ramp
F(t) = 0 untuk t < 014
= At untuk t 0
E. Fungsi Eksponensiil
F(t) = o untuk t < 0
= A untuk t 0
F(s)
F. Fungsi Sinus
f(t) = A sin t
15
A
t0
G. Fungsi Cosinus
f(t) = A cos t
F(s) = A.
TEOREMA-TEOREMA TRANSFORMASI LAPLACE
1. Teorema Translasi
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka L [f (t - )] =
Bukti :
L [ f ( t - ) ]
16
2. Teorema Perkalian Dengan
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka : L [ .f(t) ] = F ( s + )
Bukti :
L [ .f(t) ] =
3. Teorema Diferensiasi
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka : L [ ] = sF(s) – f(0)
Dimana f(0) adalah harga f(t) untuk t=0
L [ ] = s2F(s) - sf(0) – fI(0)
L [ ] = s3F(s) – s2f(0) – sfI(0) – fii(0)
Bukti :
L [ ] =
17
4. Teorema Integrasi
Bila F(s) = L [ f(t) ],
Maka : L [ ] =
Dimana f-1(0) adalah untuk t = 0
Bukti :
L [ ]
L [ ] =
5. Teorema Harga Awal Dan Harga Akhir
A.
B.
Bukti :
A.
B.
18
karena
Tabel Transformasi Laplace
Penyelesaian Transformasi Laplace dengan MATLAB
L = LAPLACE(F,t) makes L a function of t instead of the default s: LAPLACE(F,t) <=> L(t) = int(F(x)*exp(-t*x),0,inf). L = LAPLACE(F,w,z) makes L a function of z instead of the default s (integration with respect to w). LAPLACE(F,w,z) <=> L(z) = int(F(w)*exp(-z*w),0,inf). Examples: syms a s t w x laplace(t^5) returns 120/s^6 laplace(exp(a*s)) returns 1/(t-a) laplace(sin(w*x),t) returns w/(t^2+w^2) laplace(cos(x*w),w,t) returns t/(t^2+x^2) laplace(x^sym(3/2),t) returns 3/4*pi^(1/2)/t^(5/2) laplace(diff(sym('F(t)'))) returns laplace(F(t),t,s)*s-F(0)
Contoh :>> syms a s t w >> x = cos(w*t);>> laplace(cos(w*t))ans =s/(s^2+w^2)
INVERS LAPLACE
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk
mendapatkan solusi dalam domain t.
Ekspansi Pecahan Parsial:
20
23
)1(5)]()2[(
5)2(5)]()1[(
25
)2)(1(5)]([
2
2
2
1
2
0
sssssYsC
sssssYsB
ssssssYA
s
s
s
)2)(1(5
)2()1()(
2
sssss
sC
sB
sAsY
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
)2(23
)1(5
25)(
ssssY
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
tt eety 2
235
25)(
Dengan t≥0
• Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:
Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks
21
)()()(
sDsNsF
Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).
Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama
))...()(()()(
21 NsssssssNsF
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
)(...
)()()(
2
2
1
1
N
N
ssK
ssK
ssKsF
• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Ekspansi Pecahan Parsial: dengan software MatLab
22
Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):
]...[]...[
01
01
aaadenbbbnum
nn
mm
Ekspansi pecahan parsialnya adalah
]...[]...[
01
01
aaadenbbbnum
nn
mm
)()(
)(...
)2()2(
)1()1(
)()(
sknps
nrps
rps
rsDsN
Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya
Perintah
>>[r,p,k]=residue(num,den)
Contoh :
SOAL LATIHAN
1. F(s) = f(t) = … ?
2. F(s) = f(t) = … ?
3. f(t) = A cos (t + ) F(s)= … ?
4. f(t) = 0 untuk t < 0 & t > 2T
-A untuk 0 t < T F(s) = … ?
A untuk T t 2T
5.
F(s) = … ?
23
32 )1(2
)1(0
)1(1
)()(
ssssDsN
1. Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi
transfer berikut:
Solusi dengan MatLab:>>num=[1 2 3];>>den=[1 3 3 1];>>[r,p,k]=residue(num,den)
r = 1.0000 0.0000 2.0000
p = -1.0000 -1.0000 -1.0000
k = []
13332
)()(
23
2
sss
sssDsN
Ekspansi pecahan parsialnya:
T 2T t
A
Penyelesaian Persamaan Differensial
Contoh :
1. Selesaikan persamaan differensial berikut :
Transformasi laplace dari persamaan differential diatas menghasilkan :
Untuk mencari tanggapan implus maka masukan x(t) = (t).
y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 3(t) + 2’(t)
dengan persamaan karakteristik:
m2 + 3m +2 =0
dan y(t) tidak mengandung komponen (t) (tidak terdapat ’’(t) diruas kanan) maka dapat
diasumsikan:
y(t)= A1e-t u(t)+ A2e-2t u(t)+0(t)
atau:
y’(t)= -A1e-t u(t) -2A2e-2t u(t)+(A1+A2)(t)
maka dengan mengevaluasi komponen ’(t) didapatkan :
(A1+A2)(t) = 2(t)
A1+A2 = 2 (1)
Dengan mengevaluasi koefisien (t) didapatkan:
3(A1+A2)(t) -A1e-tt=0(t) -2A2e-2tt=0(t) = 3(t)
3(A1+A2) - A1 - 2A2 = 3
2A1+A2 = 3 (2)
Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) didapat A1=1 dan A2 = 1
Dengan demikian tanggapan impuls sistem:
h(t) = e-t u(t) + e-2t u(t)
2.4. Konvolusi KontinyuKeluaran sistem dengan tanggapan impuls h(t) dan masukan x(t) dapat direpresentasikan
sebagai:
(2.4)
atau dapat juga dinyatakan:
30
Kedua rumusan diatas dikenal sebagai integral konvolusi. Untuk dua fungsi sembarang x(t)
dan h(t) maka integral konvolusi r(t) dapat dinyatakan sebagai:
r(t) = x(t) * h(t)
Konvolusi kontinyu mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
a) Komutatif
x(t)*y(t) = y(t)*x(t)
rxy(t) = ryx(t)
b) Distributif
x(t)*[y(t) z(t)] = [x(t)*y(t)] [x(t)*z(t)]
rxy(t) = ryx(t) rxz(t)
c) Asosiatif
x(t)*[y(t)*z(t)] = [x(t)*y(t)]*z(t)
Untuk memperjelas penggunaan integral konvolusi disajikan contoh sebagai berikut:
Contoh soal 2.5:
Dua buah isyarat mempunyai rumusan sebagai berikut:
x(t) = 1 0<t<1
0, t lainnya
dan,
h(t) = 1 1<t<2
0, t lainnya
Carilah sinyal r(t) yang merupakan hasil konvolusi dua isyarat tersebut.
Penyelesaian:
Untuk mencari nilai konvolusi kedua isyarat kontinyu digunakan:
r(t) = x(t) * h(t)
Pada rumus diatas dapat dilihat bahwa untuk mencari nilai r(t) diperlukan sinyal x(p) dan
sinyal h(t-p).
31
x(t) = 1 0<t<1
0, t lainnya
maka,
x(p) = 1 0<p<1
0, p lainnya
sedangkan h(t-p) dapat dicari sebagai berikut:
h(t-p) = 1 1<t-p<2
0, t-p lainnya
yang dibutuhkan adalah fungsi h dalam p maka:
h(t-p) = 1 -2+t<p<-1+t
0, p lainnya
Untuk mempermudah diilustrasikan sebagai berikut:
Gambar 2.2 Sinyal x(p), h(p) dan h(t-p)
Pada gambar diatas sinyal h(t-p) adalah sinyal h(-p) yang tergeser sejauh t. Dari rumusan
integral konvolusi dapat dilihat bahwa sinyal h(-p) dijalankan dari -∞ sampai +∞. Nilai
integral konvolusi dapat dibagi menjadi beberapa kasus penggal waktu t yaitu:
Pada saat t<1
Pada saat 1<t<2
Pada saat 2<t<3
Pada saat t>3
Untuk memperjelas keempat kasus ini x(p) dan h(t-p) digambarkan dalam satu sumbu y(p).
32
1
x(p)
p
1
-1 1
h(p)
p
1
2-1 1
h(t-p)
p
1
t-1t-2
1
h(t-p)
p
1
t-1t-2
y(p)
x(p)
(a)
1
h(t-p)
p
1
t-1t-2
y(p)
x(p)
(b)
1 p
1h(t-p)
t-1t-2
y(p)
x(p)
(c)
1 p
1h(t-p)
t-1t-2
y(p)
x(p)
(d)
Gambar 2.3 (a) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t<1(b) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 1<t<2(c) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 2<t<3(d) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t>3
Hasil konvolusi r(t) pada tiap penggal waktu tersebut adalah sebagai berikut
a) Pada saat t<1
Pada periode ini sinyal h(t-p) belum sampai ke titik awal x(p) maka:
r(t) = 0
b) Pada saat 1<t<2
Pada saat 1<t<2 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar 2.2 (b) adalah 0
dengan batas atas t-1.
r(t) = t-1
c) Pada saat 2<t<3
Pada saat 2<t<3 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar 2.2 (c) adalah t-2
dengan batas atas 1.
33
r(t) = 1-(t-2)
= 3-t
d) Pada saat t<3
Pada waktu ini h(t-p) sudah meninggalkan batas akhir x(p) sehingga:
r(t) = 0
Dengan demikian hasil konvolusi secara keseluruhan adalah sebagai berikut:
t-1 1<t<2
r(t) = 3-t 2<t<3
0, t lainnya
Gambar 2.4 Sinyal r(t) hasil konvolusi x(t) dan h(t)
BAB IIIMODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK
3.1. Ruang Lingkup
Konsep dan teknik analisis sistem semula dikembangkan oleh para ahli militer
untuk keperluan mengeksplorasi dan mengkaji keseluruhan implikasi yang diakibatkan
oleh alternatif-alternatif strategi militer. Pendekatan ini merupakan suatu strategi penelitian
yang luas dan sistematik untuk menyelesaikan suatu problem penelitian yang kom-pleks.
Obyek penelitian biasanya merupakan suatu sistem dengan kerumitan-kerumitan yang
34
1 t
1 3-t
32
r(t)
t-1
sangat kompleks sehingga memerlukan pengabstraksian. Dalam hubungan inilah dikenal
istilah "model dan pemodelan".
Istilah pemodelan adalah terjemahan bebas dari istilah "modelling". Untuk
menghindari berbagai pengertian atau penafsiran yang berbeda-beda, maka istilah
"pemodel-an" dapat diartikan sebagai suatu rangkaian aktivitas pem-buatan model.
Sebagai landasan untuk lebih memahami pengertian pemodelan maka diperlukan suatu
penelaahan tentang "model" secara spesifik ditinjau dari pendekatan sistem.
Dalam konteks terminologi penelitian operasional (operation research), secara
umum model didefinisikan sebagai suatu perwakilan atau abstraksi dari suatu obyek atau
situasi aktual. Model melukiskan hubungan-hubungan langsung dan tidak langsung serta
kaitan timbal-balik dalam terminologi sebab akibat. Oleh karena suatu model adalah
abstraksi dari realita, maka pada wujudnya lebih sederhana dibandingkan dengan realita
yang diwakilinya . Model dapat disebut lengkap apabila dapat mewakili berbagai aspek
dari realita yang sedang dikaji.
Salah satu syarat pokok untuk mengembangkan model adalah menemukan peubah-
peubah apa yang penting dan tepat. Penemuan peubah-peubah ini sangat erat hubungannya
dengan pengkajian hubungan-hubungan yang terdapat di antara peubah-peubah. Teknik
kuantitatif seperti persamaan re-gresi dan simulasi digunakan untuk mempelajari
keterkaitan antar peubah dalam sebuah model.
Memang dimungkinkan untuk dapat merancang-bangun dengan baik berbagai
model sistem tanpa matematik, dan /atau mengetahui matematika tanpa analisis sistem.
Namun demikian, perumusan mate-matika yang terpilih dapat mempermudah pengkajian
sistem, yang pada umumnya merupakan suatu kompleksitas. Sifat universalitas dari
matematik dan notasi-notasinya akan memperlancar komunikasi dan transfer metode yang
dikembangkan di suatu negara atau bidang ilmu tertentu ke bidang lainnya.
Kebanyakan para pengguna analisis sistem menjumpai kesukaran untuk
mengimplementasikan notasi-notasi matematika ke dalam format konsepsi disiplin ilmunya
. Mereka kemudian memilih alternatif pembuatan model konsepsi (conceptual model)
yang sifatnya informal karena terasa lebih mudah. Bagaimanapun juga, para ahli sistem
berpendapat bahwa keuntungan lebih besar dibandingkan dengan biaya yang diperlukan
dalam megkaji permasalahan penelitian secara matematis. Hal ini disebabkan adanya daya
guna yang berlipat ganda pada proses rancang bangun dan analisis dalam bentuk bahasa
35
matematika yang sangat penting dalam teori ekonomi, keteknikan, ilmu alam hingga ilmu-
ilmu sosial. Meskipun teknik-tekniknya sangat beragam dan filosofinya masih dipandang
kontraversi namun ide dasarnya adalah sederhana yaitu menjabarkan keterkaitan-
keterkaitan yang ada dalam dunia nyata menjadi operasi-operasi matematis.
3.2. Jenis-Jenis Model
Pengelompokkan model akan mempermudah upaya pemahaman akan makna dan
kepentingannya. Model dapat dikatagorikan menurut jenis, dimensi, fungsi, tujuan, pokok
kajian, atau derajat keabstrakannya. Kategori umum yang sangat praktis adalah jenis
model yang pada dasarnya dapat dikelompokkan menjadi (i) ikonik, (ii) analog, dan (iii)
simbolik.
3.2.1. Model Ikonik (Model Fisik)
Model ikonik pada hakekatnya merupakan perwakilan fisik dari beberapa hal, baik
dalam bentuk ideal maupun dalam skala yang berbeda. Model ikonik ini mempunyai
karakteristik yang sama dengan hal yang diwakilinya, dan terutama amat sesuai untuk
menerangkan kejadian pada waktu yang spesifik. Model ikonik dapat berdimensi dua
(foto, peta, cetak-biru) atau tiga dimensi (prototipe mesin, alat, dan lainnya). Apabila
model berdimensi lebih dari tiga tidak mungkin lagi dikonstruksi secara fisik sehingga
diperlukan kategori model simbolik.
3.2.2. Model Analog (Model Diagramatik)
Model analog dapat digunakan untuk mewakili situasi dinamik, yaitu keadaan yang
berubah menurut waktu. Model ini lebih sering digunakan daripada model ikonik karena
kemampuannya untuk mengetengahkan karakteristik dari kejadian yang dikaji. Model
analog sangat sesuai dengan penjabaran hubungan kuantitatif antara sifat dari berbagai
komponen. Dengan melalui transformasi sifat menjadi analognya, maka kemampuan untuk
membuat perubahan dapat ditingkatkan. Contoh dari model analog ini adalah kurva
permintaan, kurva distribusi frekuensi pada statistik, dan diagram alir. Model analog
36
digunakan karena kesederhanaannya namun efektif pada situasi yang khas, seperti pada
proses pengendalian mutu dalam industri (operating characteristic curve).
3.2.3. Model Simbolik (Model Matematik)
Pada hakekatnya, ilmu sistem memusatkan perhatian pada model simbolik sebagai
perwakilan dari realita yang dikaji. Format model simbolik dapat berupa bentuk angka,
simbol dan rumus. Jenis model simbolik yang umum dipakai adalah suatu persamaan
(equation).
Bentuk persamaan adalah tepat, singkat dan mudah dimengerti. Simbol persamaan
tidak saja mudah dimanipulasi didbandingkan dengan kata-kata, namun juga lebih cepat
dapat ditanggap maksudnya. Suatu persamaan adalah bahasa yang universal pada
penelitian operasional dan ilmu sistem, dimana di dalamnya digunakan suatu logika
simbolis.
Dalam mempelajari ilmu sistem diperlukan suatu pengertian yang mendasar
tentang simbol-simbol matematika; karena kalau tidak demikian akan menambah
kompleksitas dari konsep pengkajian itu sendiri. Bagaimanapun juga sebagaimana
mempelajari suatu hal maka kunci dari kelancaran dan pemahamannya adalah frekuensi
latihan aplikasinya. Dengan demikian diharapkan para pengguna dapat secara efisien
menangkap arti dari setiap notasi matematis yang disajikan. Misalnya , notasi ai dapat
diartikan faktor peubah a, dan Aij dapat digambarkan sebagai Tabel matriks peubah A
dengan baris i dan kolom j.
3.3. Karakteristik Model Matematika
Proses pemodelan mencakup pemilihan karakteristik dari perwakilan abstrak yang
paling tepat bagi situasi yang sedang dikaji . Pada umumnya model matematika dapat
diklasifikasikan menjadi dua bagian, yaitu model statik dan model dinamik. Model statik
memberikan informasi tentang peubah-peubah model hanya pada titik tunggal dari waktu.
Sedangkan model dinamik mampu menelusuri jalur waktu dari peubah-peubah model.
Model dinamik lebih sulit dan mahal pembuatannya, namun mempunyai kekuatan yang
lebih hebat untuk analisis dunia nyata.
37
Klasifikasi lain tergantung apakah model abstrak tersebut meng-gunakan
pandangan mikro atau makro. Model mikro bertujuan untuk mempernyatakan suatu unit
individu yang ada pada dunia nyata, sebagai contoh sebuah mobil pada aliran transportasi
atau seorang pembeli pada antrian pasar. Pada model makro, unit individu kehilangan
identitasnya karena peubah model secara khas dikaitkan dengan agregat dari unit sistem.
Contoh dari pandangan makro adalah peubah pada aliran listrik, kecepatan aliran mobil
pada jalan raya dan aliran bahan dan pelayanan pada struktur ekonomi.
Ditinjau dari cara klasifikasinya maka model abstrak dapat dikelompokkan
menjadi: (i) mikro-statik, (ii) makro-statik, (iii) mikro-dinamis, dan (iv) makro-dinamis.
Penggunaan model- model ini tergantung pada tujuan pengkajian sistem dan terlihat jelas
pada formulasi permasalahan pada tahap evaluasi kelayakan.
Sifat model juga tergantung pada teknik pemodelan yang digunakan. Model yang
mendasarkan pada teknik peluang dan memperhitungkan adanya ketidak pastian
(uncertainty) disebut model probabilistik atau model stokastik. Pada ilmu sistem model
ini sering digunakan karena masalah yang dikaji pada umumnya megandung keputusan
yang mengandung ketidak-menentuan. Lawan dari model ini adalah model kuantitatif
yang tidak mempertimbangkan peluang kejadian, dikenal sebagai model deterministik.
Contohnya adalah model pada "program linear". Model ini memusatkan penelaahannya
pada faktor-faktor kritis yang diasumsikan mempunyai nilai yang eksak dan tertentu pada
waktu yang spesifik. Sedangkan model probabilistik biasanya mengkaji ulang data atau
informasi yang terdahulu untuk menduga peluang kejadian tersebut pada keadaan sekarang
atau yang akan datang dengan asumsi terdapat relevansi pada jalur waktu.
Dalam hal-hal tertentu, sebuah model dibuat hanya untuk semacam deskripsi
matematik dari kondisi dunia nyata. Model ini disebut model deskriptif dan banyak
dipakai untuk mempermudah penelaahan suatu permasalahan. Model ini dapat
diselesaikan secara eksak serta mampu mengevaluasi hasilnya dari berbagai pilihan data
input. Apabila model digunakan untuk memperbandingkan antar alternatif, maka model
disebut model optimalisasi. Solusi dari model ini merupakan nilai optimum yang
tergantung pada kriteria input yang digunakan. Sebagai teladan adalah "Program Dinamik
dan Goal Programming"; sedangkan model deskriptif yang hanya memper-nyatakan
pilihan peubah adalah persamaan regresi multi-variate.
38
Apabila sistem telah diekspresikan dalam bentuk no-tasi matematika dan format
persamaan, maka timbullah keuntungan yang berasal dari kapasitas manipulatif dari
matematik. Seorang analis dapat memasukkan nilai-nilai yang berbeda-beda ke dalam
model matematika dan kemudian mempelajari perilaku sistem tersebut. Pada pengkajian
ma-salah-masalah tertentu, uji sensitifitas dari sistem dilakukan dengan pengubahan
peubah-peubah sistem itu sendiri.
Bahasa simbolik juga sangat membantu dalam komunikasi karena pernyataannya
yang singkat dan jelas dibandingkan dengan deskripsi lisan. Penggunaan format
matematika membuat penjelasan lebih komprehensif dan seringkali mampu mengung-
kapkan hubungan-hubungan yang tidak dapattercermin pada deskripsi lisan dari suatu
sistem. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pemodelan sistem (System Modelling)
adalah pembentukan rangkaian logika untuk menggambarkan karakteristik sistem tersebut
dalam format matematis. Oleh karena itu, proses ini sering disebut juga pemodelan
abstrak (abstract modelling) karena hasilnya adalah gugus persamaan-persamaan yang
saling berkaitan secara fungsional. Pada beberapa jenis sistem, proses pemodelan abstrak
ini lebih mudah pengerjaannya, seperti model biofisik dan keteknikan.
3.4. Tahapan Dalam Pemodelan
Para ahli penelitian operasional dan ilmu sistem te-lah mem-berikan konsepsi dan
teknik pemodelan sistem. Para ahli ini menya rankan untuk mengawali pemodelan dengan
penguraian seluruh komponen yang akan mempengaruhi efektivitas dari operasi sistem.
Setelah daftar komponen tersebut lengkap, langkah selanjutnya adalah penyaringan
komponen mana yang akan dipakai dalam pengkajian tersebut. Hal ini umumnya sulit
karena adanya interaksi antar peubah yang seringkali menyulitkan isolasi suatu peubah.
Peubah yang di-pandang tidak penting ternyata bisa saja mempengaruhi hasil studi setelah
proses pengkajian selesai. Untuk menghindarkan hal ini, diper lukan percobaan pengujian
data guna memilih komponen-komponen yang kritis. Setelah itu dibentuk gugus
persamaan yang dapat dievaluasi dengan merubah-rubah komponen tertentu dalam batas-
batas yang diperkenankan. Salah satu contoh pemodelan seperti ini adalah Program Linear
(Linear Programming) dan Program Dinamik (Dynamic Programming).
Dalam konteks pendekatan sistem, tahap-tahap pemodel-annya lebih kompleks
namun relatif terlalu beragam, baik ditinjau dari jenis sistem ataupun tingkat kecanggihan
39
model. Manetsch dan Park (1984) mengembangkan tahap pemodelan abstrak ini sebagai
bagian dari pendekatan sistem.
Pemodelan abstrak menerima input berupa alternatif sistem yang layak. Proses ini
membentuk dan mengimplementasikan model-model matematika yang dimanfaatkan
untuk merancang program terpilih yang akan dipraktekkan di dunia nyata pada tahap beri-
kutnya. Output utama dari tahap ini adalah deskripsi terinci dari keputusan yang diambil
berupa perencanaan, pengendalian atau kebijakan lainnya.
3.4.1. Tahap Seleksi Konsep
Lazimnya langkah awal dari pemodelan abstrak adalah melakukan seleksi alternatif
hasil dari tahap evaluasi kelayakan. Seleksi ini dilakukan untuk menetukan alternatif-
alternatif mana yang bermanfaat dan bernilai cukup besar untuk dilakukan pemodelan
abstraknya. Hal ini erat kaitannya dengan biaya dan penampakan dari sistem yang
dihasilkan. Interaksi dengan para pengambil keputusan serta pihak lain yang amat terlihat
pada sistem sangat diperlukan dalam tahap seleksi ini.
3.4.2. Tahap Pemodelan
Sebagai langkah awal dari pemodelan adalah menetapkan jenis model abstrak yang
akan digunakan, sejalan dengan tujuan dan karakteristik sistem. Setelah itu, aktivitas
pemodelan terpusat pada pem bentukan model abstrak yang realistik. Dalam hal ini ada
dua cara pendekatan untuk membentuk suatu model abstrak, yaitu:
a. Pendekatan Kotak Hitam (Black box)
Metode ini digunakan untuk melakukan identifikasi model sistem dari data yang
menggambarkan perilaku masa lalu dari sistem (past behavior of the existing system).
Melalui berbagai teknik statistik dan matematik, maka model yang paling cocok (fit)
dengan data operasional dapat diturunkan. Sebagai contoh adalah model ekonometrik pada
pengkajian ilmu-ilmu sosial. Metoda ini tidak banyak berguna pada perancangan sistem
yang kenyataannya belum ada, dimana tujuan sistem masih berupa konsep.
b. Pendekatan Struktural
40
Metode ini dimulai dengan mempelajari secara teliti struktur sistem untuk
menentukan komponen basis sistem serta keterkaitannya. Melalui pemodelan karakteristik
dari komponen sistem serta kendala-kendala yang disebabkan oleh adanya keterkaitan
antara komponen, maka model sitem keseluruhan dapat disusun secara berantai.
Pendekatan struktural ini banyak digunakan dalam rancang-bangun dan pengendalian
sistem fisik dan non fisik.
Dalam beberapa kasus tertentu, kedua pendekatan ini dipakai secara bersama-sama,
misalnya pembuatan model pengendalian industri dimana karakteristik setiap unit industri
dianggap kotak hitam . Dengan demikian penggunaan dua pendekatan tersebut dapat
memberikan informasi lebih baik serta menghasilkan model yang lebih efektif dari pada
memakai hanya salah satu pendekatan saja. Tahap permodelan ini mencakup juga
penelaahan secara teliti tentang :
1. asumsi model
2. konsestensi internal pada struktur model
3. data input untuk pendugaan parameter
4. hubungan fungsional antar peubah kondisi aktual
5. memperbandingkan model dengan kondisi aktual sejauh mungkin .
Hasil dari tahapan ini adalah deskripsi model abstrak yang telah melalui uji
permulaan taraf validitasnya.
3.4.3. Tahap Implementasi KomputerPemakaian komputer sebagai pengolah data, penyimpan data dan komunikasi
informasi tidak dapat diabaikan dalam pendekatan sistem ; model abstrak diwujudkan
dalam berbagai bentuk persamaan, diagram alir dan diagram blok. Tahap ini seolah-olah
membentuk model dari suatu model, yaitu tingkat abstraksi lain yang ditarik dari dunia
nyata. Hal yang penting di sini adalah memilih teknik dan bahasa komputer yang
digunakan untuk implementasi model. Masalah ini akan mempengaruhi :
1. Ketelitian dari hasil komputasi
2. Biaya operasi model
41
3. Kesesuaian dengan komputer yang tersedia
4. Efektifitas dari proses pengambilan keputusan yang akan meng-gunakan hasil
pemodelan tersebut.
Setelah program komputer dibuat dan format input /output telah dirancang secara
memadai, maka sampailah pada tahap pembuktian (verifikasi) bahwa model komputer
tersebut mampu melakukan simulasi dari model abstrak yang dikaji. Pengujian ini
mungkin berbeda dengan uji validitas model itu sendiri.
3.4.4. Tahap Validasi
Validasi model pada hakekatnya merupakan usaha untuk menyimpulkan apakah
model sistem tersebut di atas merupakan perwakilan yang sah dari realitas yang dikaji
sehingga dapat dihasilkan kesimpulan yang meyakinkan. Validasi merupakan proses
iteratif yang berupa pengujian berturut-turut sebagai proses penyempurnaan model .
Umumnya validasi dimulai dengan uji sederhana seperti pengamatan atas:
1. tanda aljabar (sign)
2. kepangkatan dari besaran (order of magnitude)
3. format respon (linear, eksponensial, logaritmik,
4. arah perubahan peubah apabila input atau parameter diganti-ganti
5. nilai batas peubah sesuai dengan nilai batas parameter sistem.
Setelah uji-uji tersebut, dilakukan pengamatan lanjutan sesuai dengan jenis model.
Apabila model mempernyatakan sistem yang sedang berlaku (existing system) maka
dipakai uji statistik untuk mengetahui kemampuan model dalam mereproduksi perilaku
masa-lalu dari sistem. Uji ini dapat menggunakan koefisien determinasi, pembuktian
hipotesis, dan sebagainya. Seringkali dijumpai kesulitan pada tahap ini karena kurangnya
data yang tersedia ataupun sempitnya waktu yang tersedia guna melakukan validasi. Pada
permasalahan yang kompleks dan mendesak, maka disarankan proses validasi parsial,
yaitu tidak dilakukan pengujian keseluruhan model sistem. Hal ini mengakibatkan
rekomendasi untuk pemakaian model yang terbatas (limited application) dan apabila perlu
menyarankan penyempurnaan model pada pengkajian selanjutnya.
42
Validitas model hanya bergantung pada bermacam teori dan asumsi yang
menentukan struktur dari format persamaan pada model serta nilai-nilai yang ditetapkan
pada parameter model. Umumnya disarankan untuk melakukan uji sensitivitas dari
koefisien model melalui iterasi simulasi pada model komputer. Di sini dipelajari dampak
perubahan koefisien model terhadap output sistem. Informasi yang didapat akan digunakan
untuk menentukan prioritas pengumpulan informasi lanjutan, koleksi data, perbaikan
estimasi dari koefisien penting dan penyempurnaan model itu sendiri. Usaha ini akan
berperan banyak dalam menyeimbangkan aktivitas perekayasaan model dan aktivitas
pengumpulan informasi, yang prinsipnya mencari efisien waktu, biaya dan tenaga untuk
studi sistem tersebut. Model yang digunakan untuk perancangan keputusan dan menen-
tukan kebijakan operasional akan mencakup sejumlah asumsi, misalnya asumsi tentang
karakteristik operasional dari komponen serta sifat alamiah dari lingkungan. Asumsi-
asumsi tersebut harus dimengerti betul dan dievaluasi bilamana model digunakan untuk
perancangan atau operasi. Manipulasi dari model dapat menuju pada modifikasi model
untuk mengurangi kesenjangan antara model dengan dunia nyata. Proses validasi ini
mempunyai pola berulang seperti metode ilmiah lainnya. Proses validasi seyogyanya
dilakukan kontinyu sampai kesimpulan bahwa model telah didukung dengan pembuktian
yang memadai melalui pengukuran dan observasi. Suatu model mungkin telah mencapai
status valid (absah) meskipun masih menghasilkan kekurang-beneran output. Di sini
model adalah absah karena konsistensinya, dimana hasilnya tidak bervariasi lagi.
Istilah verifikasi dan validasi sering digunakan secara sinonim dalam kaitannya
dengan model simulasi, meskipun masing- masing mempunyai aplikasi yang berbeda.
Secara literal "to verify" berarti menetapkan kebenaran atau kebaikan atau keabsahan,
sehingga verifikasi model berkenaan dengan penetapan apakah model merupakan
perwakilan yang benar dari suatu realita. Sementara itu, "validasi" tidak terlalu banyak
berhubungan dengan kebenaran suatu model, tetapi lebih berhubungan dengan apakah
model efektif atau sesuai untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Dengan demikian
suatu model divalidasi dalam hubungannya dengan tujuan penyusunannya, sedangkan
model diverifikasi dalam hubungannya dengan kebenaran mutlak.
3.4.5. Analisis Stabilitas
43
Sistem dinamik sudah sering diketahui mempunyai perilaku tidak stabil yang
bersifat destruktif untuk beberapa nilai parameter sistem. Analisis untuk identifikasi batas
kestabilan dari sistem diper-lukan agar parameter tidak diberi nilai yang bisa megarah
pada perilaku tidak stabil apabila terjadi perubahan struktur dan lingkungan sistem.
Perilaku tidak stabil ini dapat berupa fluktuasi random yang tidak dapat mempunyai pola
atau berupa nilai output yang eksplosif sehingga besarannya tidak realistik lagi. Analisis
stabilitas dapat menggunakan studi analitis berdasar teori stabilisasi, atau menggunakan
simulasi secara berulang-kali untuk mempelajari batasan stabilitas sistem.
3.4.6. Aplikasi Model
Para pengambil keputusan merupakan aktor utama dalam tahap ini, dimana model
dioperasikan untuk mempelajari secara mendalam kebijakan yang sedang dikaji . Mereka
berlaku sebagai pengarah dalam proses kreatif-interaktif ini, yang juga melibatkan para
analis sistem serta spesialis dari beragam bidang keilmuan. Apabila tidak terdapat kriteria
keputusan yang khas seperti maksimisasi atau minimisasi, proses interaktif tersebut dapat
menuju kepada suatu pengkajian normatif yang bertalian dengan trade-off antar peubah-
peubah sistem. Lebih jauh, dapat ditetapkan pula kebijakan untuk secara efisien menilai
kombinasi antar beberapa output sistem.
3.5. Dasar-Dasar Diagram Blok/KotakDiagram blok adalah suatu pernyataan gambar yang ringkas, dari gabungan sebab
dan akibat antara masukkan dan keluaran dari suatu system.
Blok/Kotak adalah : Biasanya berisikan uraian dan nama elemennya, atau simbul untuk
operasi matematis yang harus dilakukan pada masukkan unt7uk menghasilkan Keluaran
Tanda anak panah : Menyatakan arah informasi aliran isyarat atau unilateral. Sebagai
contoh sederhana diperlihatkan sbb:
44
ElementPengendali
input
d/dtX Y= dx/dt
output
BLOKinput output
Titik lepas Landas
X
X
X
XX
X
X
Tidak melihat arah
Ciri-ciri operasi penjumlahan dan pengurangan, agar dapat digambarkan secara khusus,
maka bentuk blok seperti distas diubah menjadi sebuah lingkaran kecil yang disebut
dengan titik penjumlahan, dengan tanda plus ( + ) dan atau minus ( - ), yang tetap sesuai
dengan anak-anak panah yang memasuki lingkaran. Sedangakan keluarannya ( Output )
adalah jumlah aljabar dari inputnya. Contoh :
Agar dapat menggunaka isyarat yang sama sebagai suatu mesukan oke lebih satu blok atau
titik penjumlahan digunakan sebuat titik lepas alandas. Hal ini menunjukkan isyarat
tersebut berjalan tanpa berubah sepanjang lintasan-lintasan yang berbeda ke beberapa
tujuan.
Contoh : Gambarkan diagram blok dari persamaan matematik sebagai berikut:
a). X2 = a1 (dx/dt ) disini ada dua operasi yang harus ditentukan yaitu a1 dan d/dt
a).
45
d/dt a1 X2
dx/dtX
2
2
dtd
dtdX1
X2
X3+
+
-
X
Y
X+YY
+
+X
Y
X+Y+ZY
+
+
ZX
Y
X-Y+
-
b).
Pada umumnya system pengendalian praktis terdiri dari banyak komponen. Maka untuk
menyederhanakan dalm menganalisa dipakai blok diagram. Dimana tiap-tiap komponen
digambarkan oleh sebuah kotak yang mempunyai input dan output, sedangkan didalamnya
dituliskan bentuk transferfungtion dari komponennya ( Ingat dalam fungsi S= F(s). dan
kemudian ditunjukkan arah alirannya : ada 2 bagian yang penting :
1. Hubungan iNput dan Output ( Transfer function )
2. Sensing ( Error detector ) suatu gambaran berupa lingkaran kecil dengan gambar
silang didalmnya, atau merupakan simbul (penjumlah dan atau pengurangan),
tergantung dari tandanya. Dengan demikian error detector menghasilkan sinyal,
yang merupakan perbedaan antra input dasar ( referent) dan sinyal Feedback dari
system control/pengaturan kea rah kendali system.
Bentuk Blok Diagram Sistem Tertutup ( Close lop System )
46
G(s)Y(s), C(s), V0(s)X(s), R(s), Vi(s)
+-
B(s)
R(s) E(s)+
-
G(s)
H(s)
R(s) E(s) C(s)
+ -
Dimana :
R(s) adalah Input Laplace transform
C(s) adalah Output Laplace transform
G(s) adalah Transfer function forword element
H(s) adalah TF. Feedback element
E(s) adalah Error sinyal
C(s)/R(s) adalah closed loop Transfer function
E(s)/ R(s) adalah Error Ratio
B(s)/ R(s) adalah Primaery feedback ratio
3.5.1 Penyederhanaan Diagram Blok
Dalam penyederhanaan diagram blok sangat penting untuk diperhatikan, sebab
blok-blok hanya dapat dihubungkan secara seri jika keluaran sutu blok tidak dipengaruhi
oleh blok-blok berikutnya. Tetapi apabila ada pengaruh pembebanan antar komponen
maka, perlu dilakukan penggabungan dari bebrapa komponen menjadi satu blok/kotak saja.
Untuk diagram blok yang yang melibatkan bebrapa loop berumpan balik maju,
maka selangkah demi selangkah dari komponnen-konponennya perlu diperhatikan, dalam
penyederhanaan diagram blok/kotak :
1. Hasil kali fungsi alih (transfer function )pada arah umpan maju harus tetap sama.
2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan loop harus tetap sama.
Suatu bentuk aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah memindahkan
titik cabang dan titik penjumlashan, lalu kemudian menyerhanakan umpan balik
didalamnya.
Contoh Soal :
Carilah fungsi alih ( Transfer function ) dari suatu system yang terdiri dari bentuk gambar
diagram blok/kotak system tertutup sbb:
R(s) = Input Frekuensi
C(s) = Sinyal Output
47
G(s)
H(s)
R(s) E(s) C(s)+ -
F(s)A(s)
G(s) = sebagai pengontrol
H(s) = TF. dari Feedback element
E(s) = Error sinyal
A(s) = TF. dari amplifier
F(s) = TF. dari filter
B(s) = Sinyal feedback
3.6.2 Dasar Sistem Reduksi Diagram Blok-Kotak
1. Bentuk dari Elemen bertinggkat :
Diagram asal Hasil Reduksi
48
G1(s) G2(s)R(s) C(s) G1(s) xG2(s) C(s)R(s)
2. Penambahan dan pengurangan
3. Percabangan
4. Starting Point
5. Sistem Loop
Soal :Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari
system, apabila R(s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah
1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.
2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.
Syarat Sudut:G(s)H(s) = 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, …. Ambil titik
test : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.
3. Tentukan asimtot Root Locus:
Banyaknya asimtot = n – m
n = banyaknya pole loop terbuka m=
banyaknya zero loop terbuka
1800
(2k 1)Sudut-sudut asimtot =
n mk=0, 1, 2, …
Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:
letak pole berhinggas a n
letak zero berhingga m
___________ Teknik Elektro ITB [EYS -
1998]hal 5 -7
4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: Untuk
Persamaan Karakteristik:
B(s) + KA(s) = 0,
Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:
dK B' (s) A(s) B(s) A
' (s)
0ds A
2 (s)
5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 180
0 – (jumlah
sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke polekompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero ke pole kompleks tsb).Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 180
0 – (jumlah sudut
vektor-vektor dari zero-zero lain ke zerokompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari pole- pole ke zero kompleks tsb).
6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):
Melalui Kriteria Routh Hurwitz.
Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = j
7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah- daerah selain
sumbu nyata dan asimtot.
8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat
magnitude. Sebalikya, bila letak pole- pole ditentukan (pada Root
Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis
atau secara analitis:
Secara grafis:
K perkalian panjang garis - garis dari titik s ke pole - pole perkalian panjang garis - garis dari titik s ke zero - zero
CONTOH :
Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan G(s)
s(sK
1)(s 2)
Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan
loop tertutup dominannya bernilai 0,5.
Solusi :
1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.j
Titik uji 2 Titik uji 1
-2 -1 0
Untuk titik uji 1 :
Syarat sudut :
s (s 1) (s 2) 00 00 0 0 0 0 (tak terpenuhi).
Untuk titik uji 2 :
Syarat sudut : s (s 1) (s 2) 1800 00 0 0 1800 (terpenuhi).
2. Penentuan asimtot Root Locus
Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3
Sudut asimtot =
1800
(2k 1)3
; (k 0,1, 2)
600 ; 1800
dan600
Titik potong asimtot pada sumbu nyata :
sp z (0
n m
1 2) 0 13 0
3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan : dK
0 ds
Persamaan karakteristik sistem adalah
s(sK
1 01)(s 2)
atau K (s 3
3s 2
2s) , sehingga:
dK (3s
2ds
6s 2) 0
Diperoleh s1
0,4226 (memenuhi) dan s 2
1,5774 (tak memenuhi)
4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.
s 3 1 2
s 2 3 K
s1 6 K3
s 0 K
Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus
dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s
j 2 .
Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = j
(pada
sumbu khayal).
5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root
Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.
6. Gambar Root Locus nya:
7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien
redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s
n j n 1
2 . Dengan
memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa cos . Untuk
0,5, maka 600 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-
pole dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:
K s(s )(s 2) s 0,3337 j 0,5780
1,0383
BEBERAPA CATATAN
Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus.
Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-
zero H(s)
Teknik Elektro ITB [EYS -1998]
hal 5 -14
Teknik Elektro ITB [EYS -1998]
hal 5 -15__________________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS -1998]
hal 5 -16
6.3. Root Locus Menggunakan Matlab
Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:
1 K num
0 den
num (s z1 )(s z 2 )(s z m )
1s m
(z z 2 z )s
m
1
z1 z 2 z m
m
nn
den (s p1 )(s
s (p1
p 2 )(s
p 2 p
p n )
)s n
1
p1 p
2
p n
Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep
Fungsi Alih):
rlocus(num, den)
Untuk konsep ruang waktu:
rlocus (A, B, C, D)
Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K
secara otomatis ditentukan.
Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka
perintah berikut ini dapat digunakan :
rlocus(num,den,K), atau
rlocus(A,B,C,D,K)
K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup
ingin dihitung.
___________
___________ Teknik Elektro ITB [EYS -
1998]hal 5 -16
Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan
menggunakan arguman berikut ini :
[r,K] = rlocus(num,den) [r,K] =
rlocus(num,den,K) [r,K] =
rlocus(A,B,C,D) [r,K] =
rlocus(A,B,C,D,K)
Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K. Perintah :
r=rlocus(num,den)
plot(r,'o') atau, plot(r,'x')
dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda
`o atau `x ,
Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis,
maka plot Root Locus berikut ini :
G(s)H(s)
K(s 1)
s(s 2)(s 3)
G(s)H(s)
10K(s 1)
s(s 2)(s 3)
G(s)H(s)
200K(s 1)
s(s 2)(s 3)
adalah sama, dengan : num = [ 0
0 1 1 ] den = [ 1 5 6 0
]
Contoh :
Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan satuan:
G(s)s(s
K(s 2
4)(s
2s6)(s 2
4)1,4s 1)
Solusi :
Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk
6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal untuk
menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti.
Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk
menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.
C(s)R(s) (s 3)(s2
K(s2s
2)2) K(s 2)
6.4 ANALISIS SISTEM KENDALI
Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstanSistem stabil kondisionalSistem fasa non-minimum
Ortogonalitas dan Locus dengan PenguatanKonstan
Root locus dan lokus denganpenguatan konstan merupakan pemetaan
konformal lokus G(s)H(s)= 1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| =
konstan dalam bidang G(s)H(s)
Sistem Stabil Kondisional
Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan64<K <195
Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah menjadi tak stabil.
Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop).
Stabil kondisional dapat dihindari melalui kompensasi yang sesuai (penambahan zero).
Sistem Fasa Non-Minimum(Pergeseran fasa bila diberi input sinus)
Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang- s.Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s.
Sehingga:= 1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, …
K (T s 1) 0 a 0s(Ts 1)
ROOT LOCUS DENGAN TRANSPORT LAG
Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis.
Elapse time: T = L/v detik, Sehingga : y(t) = x(t-T) Fungsi Alih:
Contoh:
Mengingat sudut kontribusi dari e-Ts adalah nol untuk =0, maka
sumbu nyata dari -1 hingga - merupakan bagian dari root
locus. Asumsikan suatu nilai 1 untuk , dan hitung
57.3o 1T. Pada titik -1 disumbu nyata negatif, gambar suatu garislurus
yangmembuat sudut 180o - 57.3o
1T terhadap sumbu nyata. Tentukan titik potong garis
ini dengan garis mendatar = 1. Titik potong P ini sebagaimana terlihat
pada gambar kiri memenuhi persamaan root locus, sehingga titik tersebut
berada pada root locus. Dengan mengulangi prosedure diatas, maka akan
diperoleh root locus seperti terlihat pada gambar kanan.
Perlu juga diingat bahwa bila s mendekati - , maka fungsi alih lup terbuka :
K e-Ts
s 1akan mendekati
-Ts
- ,
-Ts
karena
lim K e d ds [K e ]
KTe Ts
s - s 1 d/ds[s 1] s
Dengan demikian, s= - adalah suatu pole lup terbuka. Jadi root
locus bermula dari s = -1 atau s = - dan berakhir pada s = ,
sesuai dengan membesarnya K dari nol hingga tak hingga. Mengingat syarat
sudut fasa untuk root locus memiliki tak terhingga nilai (ingat k = 0, 1, 2, …),
maka akan ada tak terhingga root locus pula.
Untuk k = 1, maka syarat sudut berubah menjadi:
s 1 540057.30 wT (derajat)
3 - wT (radian)
Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1
Pendekatan Transport Lag
Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb kontinyu dan smooth:
Pendekatan Lain:
OUTLINE BAHAN AJAR SISTEM PENGATURAN
Nama Mata Kuliah : Sistem PengaturanKode Mata Kuliah/SKS : TKE 5410Pengasuh : Ir. I Nyoman Budiastra, MErg, MT
Pertemuan Minggu :
No.
Pokok Bahasan
Sub Pokok Bahasan Outline Bahan Ajar
1. Pengantar Sistem Pengaturan
- Konsep Sistem Pengaturan
- Sistem Lintasan terbuka
- Sistem Lintasan tertutup
Pengertian dasar Contoh aplikasi sistem
Pengaturan di indusri Pemahaman unjuk kerja
sistem lintasan terbuka dan lintasan tertutup
Perbandingan sistem Pengaturan lintasan terbuka dan tertutup.
Contoh-contoh dalam analisis tempat kedudukan akar-akar
12. Analisis Kestabilan Sistem Pengaturan
- Diagram Bode Diagram fasa pada diagram logaritmik
Analisis kestabilan pada diagram logatmik
DAFTAR ISI
BAB I............................................................................................................................1PENGERTIAN DASAR SISTEM PENGATURAN...................................................1
1.1 Pendahuluan Tentang Pendekatan Sistem......................................................11.2. Prosedur.............................................................................................................11.3. Alat Bantu..........................................................................................................21.4 Simulasi Sistem..................................................................................................21.4.1 Operasi.............................................................................................................21.4.2 Metodologi.......................................................................................................3
BAB II........................................................................................................................10PENGANTAR MATEMATIKA................................................................................10
2.1 Konsep Variabel Kompleks..............................................................................102.1.1 Variabel Kompleks........................................................................................102.1.2 Fungsi Variabel Kompleks............................................................................102.1.3 Fungsi Analitik..............................................................................................112.1.4 Kesingularan dan Pole dari Fungsi................................................................112.1.4 Zero dari suatu Fungsi...................................................................................122.2 Transformasi Laplace.......................................................................................122.3 Sistem Linier Tak Ubah Waktu........................................................................262.3.1. Pendahuluan..................................................................................................262.3.2. Persamaan Diferensial Sistem..................................................................272.3.3 Tanggapan Impuls....................................................................................30
BAB III.......................................................................................................................36MODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK........................................................36
3.1. Ruang Lingkup................................................................................................363.2. Jenis-Jenis Model.............................................................................................373.2.1. Model Ikonik (Model Fisik).........................................................................373.2.2. Model Analog (Model Diagramatik)............................................................383.2.3. Model Simbolik (Model Matematik)............................................................383.3. Karakteristik Model Matematika.....................................................................393.4. Tahapan Dalam Pemodelan.............................................................................403.4.1. Tahap Seleksi Konsep...................................................................................413.4.2. Tahap Pemodelan..........................................................................................413.4.4. Tahap Validasi..............................................................................................433.4.5. Analisis Stabilitas.........................................................................................453.4.6. Aplikasi Model.............................................................................................453.5.1 Penyederhanaan Diagram Blok.....................................................................483.6.2 Dasar Sistem Reduksi Diagram Blok-Kotak.................................................503.6. Diagram Aliran Sinyal....................................................................................543.7. Model Matematis untuk Sistem Fisik..............................................................603.7.1 Pendekatan Linier dari Sistem Fisis..............................................................623.7.2 Fungsi Transfer untuk Sistem Linier.............................................................65
BAB IV.......................................................................................................................75ANALISIS RESPON TRANSIEN.............................................................................75
4.2. Klasifikasi Respon Sistem...............................................................................754.3. Karakteristik Respon Waktu Sistem Orde I dan Sistem Orde II.....................764.4. Respon Transient dengan Matlab....................................................................86
BAB V........................................................................................................................90AKSI KONTROLER PID..........................................................................................90
BAB VI.......................................................................................................................99ANALISIS KESTABILAN........................................................................................99
Benjamin C. Kuo, (1995), Automatic Control Systems, Prentice Hall, USA
Dorf, Richard C,(1984), Modern Control System, Addison Wesley, CaliforniaOgata,(1997), Teknik Kontrol Automatik, Airlangga JakartaTarmukan,(1995), Teknik Pengaturan otomatis, Pusat pengembangan politeknik
BandungWidodo.R.J, (1996), Sistem Kontrol Dasar, Prenhallindo Jakarta