Top Banner
BAB I PENGERTIAN DASAR SISTEM PENGATURAN 1.1 Pendahuluan Tentang Pendekatan Sistem Suatu “sistem” dapat dipandang sebagai gugusan elemen- elemen yang saling berhubungan dan terorganisir ke arah suatu sasaran tertentu atau gugus sasaran. Dalam problem-problem interdisipliner yang kompleks, "pendekatan sistem" dapat menyediakan alat bantu bagi penyelesaian masalah dengan metode dan peralatan logis yang memungkinkannya untuk mengidentifikasikan komponen-komponen (subsistem) yang saling berinteraksi untuk mencapai beberapa sasaran tertentu. Pengetahuan-pengetahuan ini memungkinkan seseorang untuk mengambil pilih-an-pilihan rasional di antara alternatif- alternatif yang tersedia dalam problem-problem yang kritis dan trade-off. Tiga macam kondisi yang menjadi prasyarat agar supaya aplikasi pen-dekatan sistem dapat memberikan hasil yang memuaskan adalah: (1). sasaran sistem didefinisikan secara jelas dan dapat dikenali, meskipun ka-dangkala tidak dapat dikuantifikasikan. (2). proses pengambilan keputusan dalam sistem riil dilakukan dengan cara sen-tralisasi yang logis (3). skala perencanaannya jangka panjang. 1
192

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Mar 20, 2019

Download

Documents

vuongdan
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BAB I PENGERTIAN DASAR SISTEM PENGATURAN

1.1 Pendahuluan Tentang Pendekatan Sistem

Suatu “sistem” dapat dipandang sebagai gugusan elemen-elemen yang saling

berhubungan dan terorganisir ke arah suatu sasaran tertentu atau gugus sasaran. Dalam

problem-problem interdisipliner yang kompleks, "pendekatan sistem" dapat menyediakan

alat bantu bagi penyelesaian masalah dengan metode dan peralatan logis yang

memungkinkannya untuk mengidentifikasikan komponen-komponen (subsistem) yang

saling berinteraksi untuk mencapai beberapa sasaran tertentu. Pengetahuan-pengetahuan

ini memungkinkan seseorang untuk mengambil pilih-an-pilihan rasional di antara

alternatif-alternatif yang tersedia dalam problem-problem yang kritis dan trade-off.

Tiga macam kondisi yang menjadi prasyarat agar supaya aplikasi pen-dekatan

sistem dapat memberikan hasil yang memuaskan adalah:

(1). sasaran sistem didefinisikan secara jelas dan dapat dikenali, meskipun ka-dangkala

tidak dapat dikuantifikasikan.

(2). proses pengambilan keputusan dalam sistem riil dilakukan dengan cara sen-tralisasi

yang logis

(3). skala perencanaannya jangka panjang.

1.2. Prosedur

Pada hakekatnya pengembangan sistem merupakan suatu proses pengam bilan

keputusan degan menggunakan fungsi-struktur, outcomes, evaluasi, dan keputusan. Tahap-

tahap pokok dalam pendekatan sistem ini adalah: (i) evaluasi kelayakan, (ii) pemodelan

abstrak, (iii) disain implementasi, (iv) implementasi sistem, dan (v) operasi sistem.

Seperti yang lazim diikuti, prosedur dari proses tersebut diawali dengan gugus

"kebutuhan" yang harus dipenuhi, menuju kepada suatu sistem operasional yang mampu

memenuhi kebutuhan. Proses-proses tersebut diikuti dengan suatu evaluasi untuk

menentukan apakah outcome dari suatu tahapan memuaskan atau tidak. Proses tersebut

pada kenyataannya bersifat interaktif.

1

Page 2: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

1.3. Alat Bantu

Suatu alat bantu yang sangat penting ialah model abstrak yang perilaku esensialnya

mencerminkan perilaku dunia nyata (realita) yang diwakilinya. Model digunakan dalam

banyak cara, dalam mendisain dan mengelola sistem sebagai fungsi analisis. Analisis ini

didefinisikan sebagai determinasi output model, dengan menggunakan input dan struktur

model yang telah diketahui.

Suatu model matematik, terutama model komputer, dapat dengan cepat

menganalisis dan menghitung output dari berbagai alternatif yang sangat penting dalam

proses kreatif pengelolaan sistem dan disain sistem. Pada kenyataannya kebanyakan model

abstrak ini mempunyai struktur internal yang terdiri atas simbol-simbol mate-matik yang

harus dipahami arti dan maknanya. Suatu model disebut analitik apabila model tersebut

mempunyai penyelesaian umum pada berbagai kisaran input sistem dan nilai-nilai

parameter sistem. Model simulasi merupakan model yang menghitung alur-waktu dari

peubah-peubah model untuk seperangkat tertentu input model dan nilai parameter model.

Karena seringkali tidak mungkin untuk menyelesaikan model analitik bagi sistem yang

kompleks, maka model-model simulasi (yang lebih mudah diselesaikan) banyak

digunakan dalam mengkaji dan menganalisis sistem dinamik yang kompleks.

1.4 Simulasi Sistem1.4.1 Operasi

Bagian yang sangat penting dalam analisis sistem adalah penggunaan komputer.

Kemampuan komputasionalnya sangat mempermudah dalam pengo-lahan sejumlah besar

peubah dan interaksi- interaksinya. Simulasi komputer lazimnya berarti bahwa kita mem

punyai suatu program komputer atau model-sistem lainnya dimana kita dapat mencoba

berbagai disain sistem dan strategi pengelolaannya. Dengan menggunakan komputer,

aplikasi simulasi menjadi sangat luas terutama oleh para menejer dan pengambil keputusan

akhir. Teknik simulasi yang dikenal sebagai penciptaan peubah random Montecarlo,

banyak digunakan dalam bidang bisnis dan pertanian.

2

Page 3: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Dalam mengimplementasikan suatu model sistem pada kompu ter maka para

pengguna mempunyai pilihan bahasa pemrograman seperti BASICS, Fortran, atau bahasa

simulasi khusus.

1.4.2 Metodologi

Karena matematika telah dipilih sebagai suatu bahasa dasar, dan karena simulasi

seringkali menjadi alat bantu kita, maka akan diperlukan tahap-tahapan proses untuk

menjabarkan model grafis menjadi model matematika:

(1). Mengisolasikan komponen atau subsistem. Seringkali subsistem-subsistem atau

komponen-komponen tersebut secara fisik berbeda dengan jelas.

(2). Menetapkan peubah-peubah input U(t) untuk setiap sub- sistem. Input stimuli ini akan

menyebabkan perubahan perilaku subsistem. Termasuk di sini adalah input-input

pengelolaan yang dapat digunakan untuk memperbaiki keragaan sistem yang sedang

dikaji.

(3). Menetapkan peubah-peubah internal atau keubah-peubah keadaan X(t). Pada dasarnya

ini merupakan faktor-faktor dalam subsistem yang diperlukan untuk men-cerminkan

sejarah masa lalu dari perilaku subsistem.

(4). Menetapkan peubah-peubah output Y(t). Kuantitas-kuantitas respon yang

menghubungkan subsistem dengan subsistem lain yang merupakan ukuran penting

dari keragaan sistem. Output atau respon seperti ini dapat berfungsi sebagai stimuli

atau input bagi subsistem lain.

(5). Dengan cara observasi, eksperimen atau teori, menentukan hubungan matematika di

antara U(t), X(t), dan Y(t). Dalam suatu model statis, hubungan-hubungan ini

merupakan fungsi aljabar. Kalau melibatkan feno mena laju, penundaan atau

simpanan, maka akan dihasilkan persamaan-persamaan diferensial atau integral, dan

subsistem yang dinamik.

(6). Menjelaskan peubah-peubah input lingkungan eksogenous dalam bentuk matematika.

Ini akan merupakan peubah-peubah stimulus bagi keseluruhan sistem yang sedang

dimodel.

(7). Memperhitungkan interaksi-interaksi di antara subsistem-subsistem dengan metode

agregasi seperti diagram kotak (block diagram), teori jaringan, dan grafik-grafik

linear.

3

Page 4: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

(8). Verifikasi model dengan serangkaian uji dan inspeksi. Hal ini biasanya melibatkan

serangkaian revisi dan perbaikan model.

(9). Aplikasi model dalam problematik perencanaan atau pengelolaan dalam dunia nyata.

Sistem Pengaturan adalah Suatu sistem dengan acuan masukan yang dikehendaki

dapat konstan atau berubah perlahan dengan berjalannya waktu untuk menjaga keluaran

sebenarnya berada pada nilai yang diinginkan

Komponen Sistem Pengaturan :

Masukan : Tujuan yang di capai dalam sistem pengaturan

Komponen : Bagian dari sistem pengaturan yang saling berinteraksi

Proses : Operasi yang dikontrol

Keluaran : keadaan sebenarnya hasil dari suatu proses pada saat itu.

Gangguan

Masukan Keluaran

Gambar 1.1. Diagram Blok Sistem Pengaturan

Kontroler : Bagian dari sistem pengaturan yang bertugas sebagai pengatur atau

penguat sinyal kesalahan menuju aktuator untuk mengatur plant sesuai

yang diinginkan

Aktuator : Suatu peralatan yang bertugas untuk melakukan operasi tertentu

Plant : Objek fisik yang diatur

Sensor : Suatu alat yang bertugas untuk mengamati kondisi yang terjadi pada

keluaran kemudian dihubungkan pada masukan

4

Kontroler

Sensor

PlantAktuator+

-

Page 5: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Gangguan : Suatu sinyal yang cenderung mempunyai pengaruh yang merugikan pada

harga keluaran sistem.

Contoh :

1. Saklar listrik :

Gambar 1.2. Sistem saklar listrik

Diagram Blok Saklar Listrik

Lampu “On” Lampu “On”

Gambar 3. Diagram blok sistem saklar listrik

Saklar listrik berfungsi untuk mengatur aliran listrik

Masukan : Mematikan atau menghidupkan lampu

Keluaran : Listrik yang mengalir atau tak mengalir (dua keadaan)

2. Sistem Pengaturan Level Air

air

5

Kontroler (h)

Saklar Lampu

Page 6: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

h’ Gambar 1.3 : Sistem pengaturan level air

Diagram blok sistem pengaturan level air

h yg.diinginkan h’ terukur

+

-Gambar 1.4. Diagram blok sistem pengaturan level air

Klasifikasi Sistem Kontrol :

1. Sistem Pengaturan Motor Servo (Servomekanis) adalah : Sistem Pengaturan berumpan

balik yang keluarannya berupa kecepatan, percepatan, dan posisi mekanik

2. Sistem Pengaturan Proses : Sistem regular automatik dengan keluaran seperti

temperatur, tekanan, aliran, tinggi muka cairan

Contoh aplikasi sistem Pengaturan di industri

1. Sistem kontrol gaya pegangan tangan robot :

Titik pengatur

Gaya pegangan

Umpan balik gaya

Umpan balik luncurGambar 1.5. Sistem kontrol gaya pegangan tangan robot

6

Kontroler Kran air

Bak Air

Pelampung

Mikrokomputer

MotorSteper

Page 7: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Gambar 1.5 menunjukkan diagram skematik untuk sistem kontrol gaya pegangan yangf

menggunakan alat alat perasa gaya dan alat perasa luncur. Jika gaya pegangan terlalu kecil,

tangan robot akan melepas objek mekanika tersebut, dan jika terlalu besar, maka tangan

tersebut mungkin menghancurkan objeknya. Pada awal bekerja gaya pegangan dipreset

pada tingkat sedang kemudian ditingkatkan pegangannya setelah menyentuh objeknya .

Fungsi tangan robot ini untuk mengambil dan mengangkat objek dengan gaya pegangan

yang telah di preset . Jika terjadi slip pada saat mengangkat, akan diketahui oleh pihak

perasa luncukdan sinyal akan dikirim kembali ke kontoler dan kemudian meningkatkan

gaya pegangannya.

2. Sistem kontrol suhu ruang penumpang mobil

matahari suhu ruangan

Suhu yang dikehendaki Suhu ruang penumpang

Gambar 1.6. Sistem kontrol suhu ruang penumpang mobil

Suhu ruang penumpang mobil berbeda cukup besar tergantung pada tempat dimana

suhu diukur. Daripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan

nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan penghembus ditempat dimana

penumpang biasanya merasakan suhu. Suhu udara dari sedotan penghembus adalah

petunjuk suhu ruang penumpang dan ditinjau sebagai keluaran sistem.

Kontroler menerima sinyal masukan, sinyal keluaran dan sinyal dari sensor sumber

gangguan . Kontroler mengirimkan sinyal kontrol optimal ke alat pengatur udara (air

conditioner) untuk mengontrol jumlah udara penyejuk sedemikian rupa sehingga suhu

ruang penumpang sama dengan suhu yang dikehendaki.

Masalah yang perlu di diskusikan di dalam kelas :

7

Sensor

Sensor panas radiasi

Pengatur Udaya

Sensor

Kontroler Ruang penumpang

Page 8: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

- Apakah masukan dan keluaran dari sistem pengaturan merupakan masukan dan

keluaran dari proses plant ? jelaskan!

- Bilamana pada sistem pengaturan saklar lampu, pada lampunya terjadi gangguan

misalnya mati, apakah sistem pengaturan bisa berjalan dengan baik? Jelaskan!

- Bagaimana dengan sistem pengaturan suhu ruangan dalam mobil ?

Penggolongan Sistem Pengaturan

Sistem Pengaturan digolongkan dalam dua katagori yaitu : Sistem lintasan terbuka dan

sistem lintasan tertutup.

Sistem Lintasan Terbuka adalah : Suatu sistem yang tindakan pengendaliannya bebas dari

keluarannya. Jadi untuk tiap masukan acuan

berhubungan dengan kondisi operasi tertentu, ketetapan

dari sistem tergantung pada kalibrasi

Sistem Lintasan Tertutup adalah : suatu sistem yang tindakan pengendaliannya tergantung

pada keluarannya.

Perbandingan sistem lintasan terbuka dengan sistem lintasan tertutup

Pada sistem lintasan terbuka :

- tidak dapat melaksanakan tugas seperti yang diharapkan

- dapat digunakan hanya jika hubungan masukan dan keluaran diketahui dan tidak

terdapat gangguan internal maupun eksternal

- pada lintasan terbuka tidak menggunakan rangkaian umpan balik artinya kurang peka

terhadap gangguan, jadi komponen-komponen yang dipakai relatif lebih murah

- dari segi kestabilan lebih mudah dibuat karena kestabilan bukan merupakan persoalan

yang utama

Pada lintasan tertutup :

- relatif lebih peka terhadap gangguan dari eksternal maupun dari internal

- komponen-komponen yang digunakan relatif lebih mahal

8

Page 9: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

- Kestabilan merupakan persoalan utama dan cenderung terjadi kesalahan akibat koreksi

yang berlebih dapat menimbulkan osilasi pada amplitudo tetap maupun berubah

Contoh pada sistem saklar listrik (gambar 2) juga disebut sebagai sistem lintasan terbuka

karena dari cirinya tanpa adanya umpan balik yang bekerja pada diagram tersebut Sangat

berbeda pada sistem pengaturan level air (gambar 4), adanya umpan balik yang bekerja

pada diagram tersebut membuat tinggi air yang diharapkan bak air akan selalu tetap

walaupun terjadi gangguan misalnya pada bak air terjadi kebocoran.

Tugas diskusi kelompok :

Apakah sistem lintasan terbuka bisa dijadikan sistem yang lintasan tertutup seperti pada

sistem saklar listrik?

Perhatikan gambar berikut :

Sensor (foto sel)

AC 220V

Gambar diatas menunjukkan sistem pengaturan intensitas cahaya ruangan dimana cahaya

dipertahankan pada intensitas tertentu bilamana terjadi gangguan serperti gelap diluar

ruangan maka lampu akan menyala untuk mempertahankan cahaya pada ruangan tersebut.

Berdasarkan pada teori yang sudah dijelaskan diatas apakah sistem tersebut tergolong

dalam sistem lintasan terbuka atau tertutup ? jelaskan !

Tugas mandiri (PR) :

Buatlah satu contoh sistem pengaturan, kemudian jelaskan bagaimana cara kerjanya

tentukan input sistem dan output sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem lintasan

terbuka atau tertutup jelaskan.

9

Ruangan

Lampu

Page 10: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BAB IIPENGANTAR MATEMATIKA

2.1 Konsep Variabel Kompleks

2.1.1 Variabel Kompleks

Suatu variabel kompleks s mempunyai dua komponen : komponen nyata s dan komponen

khayal w. Secara grafis komponen nyata s dinyatakan dengan sumbu s pada arah

horisontal dan komponen khayal diukur sepanjang sumbu vertikal j pada bidang

kompleks s. Gambar 2-1 menggambarkan bidang kompleks s yang pada titik sembarang s

= s1 ditentukan oleh koordinal = 1 dan = 1 atau secara sederhana s1 = 1 + j 1

2.1.2 Fungsi Variabel Kompleks

Fungsi G(s) dikatakan merupakan fungsi variabel kompleks s, jika untuk setiap nilai s

terdapat satu atau lebih nilai G(s). Karena s mempunyai bagian nyata dan khayal, fungsi

G(s) juga dinyatakan dengan bagian nyata dan khayal, yaitu :

G(s) = Re G(s) + j Im G(s) …………………………………………….(2-1)

Dengan Re G(s) menyatakan bagian nyata dan Im G(s) menyatakan bagian khayal dari

G(s) . Pemetaan bilanagn dari bidang G(s) ke bidang s juga merupakan nilai tunggal atau

disebut pemetaan satu-satu. Contoh fungsi pemetaan yang bukan merupakan pemetaan

satu- satu;

…………………………………………………………(2-2)

10

Page 11: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Untuk setiap nilai s, hanya terdapat satu nilai unik G(s), tetapi pemetaan sebaliknya tidak

demikian misalnya titik G(s) = dipetakan pada dua titik pada bidang s, yaitu s = 0 dan s =

-1

Gambar 2.1 bidang Kompleks s

Gambar 2-2 Pemetaan nilai tunggal daribidang s ke bidang G(s)

2.1.3 Fungsi Analitik

Suatu fungsi G(s) dari variabel kompleks s disebut fungsi analitik dalam daerah s

jika fungsi tersebut dan turunannya berada pada daerah tesebut. Misalnya fungsi yang

diberikan oleh persamaan 2-2 analitis pada setiap titik bidang s kecuali pada titik s = 0 dan

11

Bidang s

Page 12: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

s = -1. Pada kedua titik ini nilai fungsi tidak berhingga, sebagai contoh lain fugsi G(s) = s +

2 analitis pada setiap titik bidang s.

2.1.4 Kesingularan dan Pole dari Fungsi

Kesingularan dari suatu fungsi adalah titik-titik pada bidang s yang fungsi atau

turunannya tidak ada. Pole merupakan bentuk yang paling umum dari kesingularan dan

mempunyai peran yang sangat penting dalam pembahasan teori kendali klasik. Pengertian

pole adalah penyebut dari persamaan G(s) sehingga ketika s = si fungsi G(s) menjadi tak

terhingga .

Contoh :

……………………………………………………….. (2-3)

Mempunyai pole orde dua pada s = -3 dan pole-pole tunggal pada s = 0 dan s = -1. Dapat

juga dikatakan bahwa fungsi G(s) analitis pada bidang s kecuali pada pole-pole tersebut.

2.1.4 Zero dari suatu Fungsi

Pengertian Zero dari suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai suatu berikut:

Pembilang dari persamaan G(s) sehingga ketika s = si fungsi G(s) menjadi nol . seperti

pada persamaan 2-3, zero pada s = -2

2.2 Transformasi Laplace

Overview :

• Persamaan Differensial yang diperoleh dari pemodelan matematik suatu sistem

mewakili proses dinamik dari sistem tersebut dimana responsenya akan bergantung

pada masukannya

• Solusi dari persamaan differensial terdiri dari solusi steady state (didapat jika

semua kondisi awal nol) dan solusi transien (mewakili pengaruh dari kondisi awal).

• Transformasi Laplace merupakan salah satu tools yang digunakan untuk

menyelesaikan persamaan differensial.12

Page 13: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

• Transformasi Laplace mengkonversikan persamaan differensial (dalam domain t)

kedalam persamaan aljabar dalam domain s.

• Memungkinkan memanipulasi persamaan aljabar dengan aturan sederhana untuk

menghasilkan solusi dalam domain s.

• Solusi dalam domain t dapat diperoleh dengan melakukan operasi inverse

transformasi Laplace

Definisi :

Fungsi f(t) haruslah real dan kontinyu sepanjang interval waktu yang akan dievaluasi, jika

tidak transformasi Laplace tidak dapat digunakan.

A. Fungsi Step

F(t) = 0 untuk t < 0

= A untuk t > 0

=

=

B. Fungsi Pulse

F(t) = 0 untuk t < 0 & t >T

= A untuk 0 t T

13

A

0t

A

tT

Page 14: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Fungsi Unit Step : f(t) = 1 (t) F(s) = 1/s

C. Fungsi Impulse

untuk 0 < t < to

= 0 untuk t < 0 & to < t

= A

Fungsi Unit-Impulse : f(t) = (t)

F(s) = 1

D. Fungsi Ramp

F(t) = 0 untuk t < 014

Page 15: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

= At untuk t 0

E. Fungsi Eksponensiil

F(t) = o untuk t < 0

= A untuk t 0

F(s)

F. Fungsi Sinus

f(t) = A sin t

15

A

t0

Page 16: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

G. Fungsi Cosinus

f(t) = A cos t

F(s) = A.

TEOREMA-TEOREMA TRANSFORMASI LAPLACE

1. Teorema Translasi

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka L [f (t - )] =

Bukti :

L [ f ( t - ) ]

16

Page 17: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

2. Teorema Perkalian Dengan

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka : L [ .f(t) ] = F ( s + )

Bukti :

L [ .f(t) ] =

3. Teorema Diferensiasi

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka : L [ ] = sF(s) – f(0)

Dimana f(0) adalah harga f(t) untuk t=0

L [ ] = s2F(s) - sf(0) – fI(0)

L [ ] = s3F(s) – s2f(0) – sfI(0) – fii(0)

Bukti :

L [ ] =

17

Page 18: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

4. Teorema Integrasi

Bila F(s) = L [ f(t) ],

Maka : L [ ] =

Dimana f-1(0) adalah untuk t = 0

Bukti :

L [ ]

L [ ] =

5. Teorema Harga Awal Dan Harga Akhir

A.

B.

Bukti :

A.

B.

18

Page 19: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

karena

Tabel Transformasi Laplace

Penyelesaian Transformasi Laplace dengan MATLAB

L = LAPLACE(F,t) makes L a function of t instead of the default s: LAPLACE(F,t) <=> L(t) = int(F(x)*exp(-t*x),0,inf). L = LAPLACE(F,w,z) makes L a function of z instead of the default s (integration with respect to w). LAPLACE(F,w,z) <=> L(z) = int(F(w)*exp(-z*w),0,inf). Examples: syms a s t w x laplace(t^5) returns 120/s^6 laplace(exp(a*s)) returns 1/(t-a) laplace(sin(w*x),t) returns w/(t^2+w^2) laplace(cos(x*w),w,t) returns t/(t^2+x^2) laplace(x^sym(3/2),t) returns 3/4*pi^(1/2)/t^(5/2) laplace(diff(sym('F(t)'))) returns laplace(F(t),t,s)*s-F(0)

Contoh :>> syms a s t w >> x = cos(w*t);>> laplace(cos(w*t))ans =s/(s^2+w^2)

INVERS LAPLACE

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

19

Page 20: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:Transformasi Laplace

1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.

2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.

3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk

mendapatkan solusi dalam domain t.

Ekspansi Pecahan Parsial:

20

23

)1(5)]()2[(

5)2(5)]()1[(

25

)2)(1(5)]([

2

2

2

1

2

0

sssssYsC

sssssYsB

ssssssYA

s

s

s

)2)(1(5

)2()1()(

2

sssss

sC

sB

sAsY

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

)2(23

)1(5

25)(

ssssY

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

tt eety 2

235

25)(

Dengan t≥0

• Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:

Page 21: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks

21

)()()(

sDsNsF

Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).

Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama

))...()(()()(

21 NsssssssNsF

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

)(...

)()()(

2

2

1

1

N

N

ssK

ssK

ssKsF

• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks

Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s

Page 22: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:

Ekspansi Pecahan Parsial: dengan software MatLab

22

Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):

]...[]...[

01

01

aaadenbbbnum

nn

mm

Ekspansi pecahan parsialnya adalah

]...[]...[

01

01

aaadenbbbnum

nn

mm

)()(

)(...

)2()2(

)1()1(

)()(

sknps

nrps

rps

rsDsN

Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya

Perintah

>>[r,p,k]=residue(num,den)

Page 23: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh :

SOAL LATIHAN

1. F(s) = f(t) = … ?

2. F(s) = f(t) = … ?

3. f(t) = A cos (t + ) F(s)= … ?

4. f(t) = 0 untuk t < 0 & t > 2T

-A untuk 0 t < T F(s) = … ?

A untuk T t 2T

5.

F(s) = … ?

23

32 )1(2

)1(0

)1(1

)()(

ssssDsN

1. Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi

transfer berikut:

Solusi dengan MatLab:>>num=[1 2 3];>>den=[1 3 3 1];>>[r,p,k]=residue(num,den)

r = 1.0000 0.0000 2.0000

p = -1.0000 -1.0000 -1.0000

k = []

13332

)()(

23

2

sss

sssDsN

Ekspansi pecahan parsialnya:

T 2T t

A

Page 24: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Penyelesaian Persamaan Differensial

Contoh :

1. Selesaikan persamaan differensial berikut :

Transformasi laplace dari persamaan differential diatas menghasilkan :

s2X(s) – sx(0) - (0) + 3(sX(s) – x(0)) + 6X(s) = 0

s2X(s) – 0 – 3 + 3 (sX(s) – 0) + 6X(s) = 0

X(s) (s2 + 3s + 6) = 3

X(s) =

Untuk mendapatkan x(t) :

X(s) =

=

=

=

x(t) =

2.3 Sistem Linier Tak Ubah Waktu

Sistem linier tak ubah waktu kausal. Pembahasan ini dilakukan dengan mempertimbangkan

banyaknya model linier yang digunakan dalam hampir semua bidang kerekayasaan. 24

Page 25: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Sistem linier mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

a) Sifat kehomogenan

Jika input u memberikan keluaran y maka input au akan menghasilkan keluaran ay.

b) Sifat superposisi

Jika input u1 and u2 menghasilkan output y1 and y2, dan untuk l input (u1+u2)

menghasilkan output (y1+y2).

2.3.1. Pendahuluan

Sistem dapat diartikan sebagai hubungan antara input dan output. Pada umumnya input

adalah sebab dan output adalah akibat. Beberapa contoh sistem yang umum kita kenal

adalah:

1) Sebuah rangkaian listrik dengan input tegangan dan / atau arus sumber sedangkan

outputnya yaitu tegangan dan / atau arus yang mengalir pada beberapa titik pada rangkaian

tersebut.

2) Sebuah sistem kanal komunikasi dengan input sebanding dengan sinyal yang

ditransmisi pada kanal tersebut sedangkan outputnya adalah sinyal yang sampai pada

ujung kanal.

3) Sebuah sistem biologi seperti mata manusia dengan input sinyal gambar yang masuk ke

retina mata dan outputnya adalah rangsangan syaraf yang selanjutnya diolah di otak untuk

pengambilan keputusan informasi apa yang masuk.

4) Sebuah manipulator robot dengan input n torsi yang diaplikasikan ke robot tersebut dan

output posisi akhir salah satu lengannya.

5) Proses manufaktur, dengan input bahan mentah yang dimasukkan dan outputnya berupa

jumlah barang yang diproduksinya.

6) Lebih spesifik lagi dalam bidang engineering sistem sering diartikan sebagai model

matematik yang mengubungkan antara masukan atau gaya luar dengan keluaran atau

tanggapan sistem. Sistem dapat diklasifikasikan dalam berbagai kategori.

a) Sistem kausal dan non kausal

Sistem kausal: y(t) = x(t) + 2x(t-1)

Sistem non kausal: y(t) = x(t+1) – x(t) + 3x(t-2)

Sistem kausal memberikan nilai keluaran terhadap masukan yang telah masuk pada sistem.

Semua sistem fisika yang nyata termasuk dalam sistem kausal. Sistem non kausal adalah

25

Page 26: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

sistem antisipatif yaitu sistem mampu memberi respon terhadap masukan yang akan

datang. Sistem non kausal sering ditemui dalam aplikasi elektrik modern seperti pada

sistem kendali adaptif.

b) Sistem bermemori dan tanpa memori

Sistem bermemori adalah sistem yang keluarannya merupakan fungsi dari masukan

sekarang dan masukan sebelumnya.

Sistem bermemori: y(t) = -4x(t-1) + 2x(t)

Sistem tanpa memori: y(t) = 2x(t)

2.3.2. Persamaan Diferensial Sistem

Penggambaran sistem waktu kontinyu, selalu berkaitan dengan bentuk representasi

matematik yang mengambarkan sistem tersebut dalam keseluruhan waktu. Dapat pula

secara sederhana dikatakan, bahwa suatu sistem disebut sebagai sistem waktu kontinyu jika

input dan output berupa sinyal waktu kontinyu. Sistem kontinyu dapat dinyatakan dalam

persamaan diferensial sistem. Dengan masukan adalah x(t) dan ouput y(t) maka sistem

linier tak ubah waktu dapat dinyatakan sebagai berikut:

any(n)(t) + an-1y(n-1) (t) + … + a1y’(t)+ a0y(t) = b0x(t) + b1x’(t) + … + an-1x(n-1)(t)+ anxn(t) (2.1)

Suku kanan persamaan tersebut sering digabungkan menjadi:

f(t) = b0x(t) + b1x’(t) + ….. + an-1x(n-1)(t)+ anxn(t)

dengan f(t) disebut fungsi pemaksa. Berikut contoh persamaan diferensial sistem:

Contoh soal 2.1:

Modelkan sistem berikut dalam persamaan Diferensial

Gambar 2.1 Rangkaian RLC untuk contoh 2.1

Penyelesaian:

Dengan hukum Kirchoff tegangan didapatkan:

26

R=2 L=1H

C=0,5 F2A/dt i(t) e(t)

Page 27: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

dengan mendiferensialkan kedua suku didapat:

keadaan awal untuk memecahkan persamaan ini adalah:

i(0+)=0

Untuk memecahkan persamaan diferensial disajikan teorema sebagai berikut:

Persamaan diferensial sistem: any(n)(t) + an-1y(n-1) (t) + ….. + a1y’(t)+ a0y(t) mempunyai keadaan

awal: y(0), y’(0),……,yn-1 maka tanggapan lengkap sistem:

y(t) = yho(t) + yf0(t)

dengan:

yho(t) = tanggapan homogen, alami, bebas, dan transient.

yf0(t) = tanggapan paksa, akhir, steady state.

Tanggapan homogen didapatkan dengan menyelesaikan persamaan sistem pada saat

masukan sama dengan nol f(t)=0. Tanggapan ini disebut tanggapan alami sistem

merupakan tanggapan sistem sebelum ada masukan. Tanggapan paksa didapatkan dengan

menerapkan masukan f(t) pada sistem.

Untuk lebih jelas, disajikan contoh berikut.

Contoh soal 2.2:

Selesaikan persamaan diferensial berikut jika diberikan kondisi awal y(0) = 1 dan y’(0) = 2

y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = e2t

Penyelesaian:

a) Langkah 1. Mencari y ho(t)

Persamaan homogen sistem adalah sebagai berikut:

y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 0

Dengan permisalan bahwa yho(t) = Aemt maka didapatkan :

d’’(Aemt)/dt2 + 3d’(Aemt)/dt +2(Aemt) = 0

Aemt(m2 + 3m + 2) = 0

Dari persamaan tersebut terlihat bahwa tidak ada nilai A (selain nol) dan nilai emt (kecuali

m = - ∞) yang membuat nilai suku kiri nol. Nilai A= 0 dan m = - ∞ tidak diinginkan untuk

menyelesaikan persamaan maka nilai m yang memenuhi persamaan diatas adalah:27

Page 28: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

(m2 + 3m + 2) = 0

sehingga m = -1 dan m =-2.

Dengan demikian solusi untuk yho(t) adalah:

yho(t) = A1e-t + A2e-2t

b) Langkah 2. Mencari y fo(t)

Menyelesaikan persamaan:

y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = e2t

Berdasarkan perkiraan keluaraan terhadap masukan yang ada dilakukan permisalan sebagai

berikut:

yfo(t) = Ae2t

Subsitusi ke dalam persamaan sistem menghasilkan:

(4A+6A+2A)e2t = e2t

dari persamaaan tersebut didapatkan :

(4A+6A+2A) = 1

A = 0,083

Dengan demikian :

yfo(t) = 0,083e2t

c) Langkah 3.

Dengan menggabungkan langkah 1 dan langkah 2 maka didapatkan tanggapan lengkap

sistem:

y(t) = A1e-t + A2e-2t + 0,083e2t

d) Langkah 4.

Langkah 4. menerapkan keadaan awal y(0) = 1 dan y’(0) = 2 pada tanggapan lengkap

sistem.

Dengan menerapkan y(0)=1 didapatkan:

y(0) = A1e-1*0 + A2e-2*0 + 0,083e2*0

1 = A1 + A2 + 0,083

A1 + A2 = 0,917

Dengan menerapkan y’(0) = 2 didapatkan:

d(y(t))/dt = d(A1e-t)/dt + d(A2e-2t)/dt + d(0,083e2t)/dt

dengan memasukan nilai keadaan awal:

2 = - A1 - 2A2 + 0,16628

Page 29: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

A1 + 2A2 = -1,834

Dengan eliminasi persamaan yang didapatkan dari keadaan 1 dan 2 didapatkan:

A2 = -2,751 dan A1 =3,668

Dengan demikian tanggapan lengkap sistem adalah:

y(t) = 3,668e-t – 2,751e-2t + 0,083e2t

2.3.3 Tanggapan Impuls

Tanggapan impuls h(t)n adalah tanggapan sistem jika mendapat masukan berupa sinyal

impuls. Suatu sistem linier tak ubah waktu:

any(n)(t) + an-1y(n-1) (t) + ….. + a1y’(t)+ a0y(t) = b0x(t) + b1x’(t) + ….. + bmxm(t)

mempunyai tanggapan impuls h(t) dengan rumusan berikut:

x(t) = (t) dan y(t)=0, -∞<t<0

h(t) = y(t)x(t)=(t) (2.3)

Contoh soal 2.4:

Tentukan tanggapan impuls sistem 2y’(t) + 3y(t) = 4 x(t).

Penyelesaian:

Untuk mencari tanggapan implus maka masukan x(t) = (t).

2y’(t) + 3y(t) = 4 (t)

Dengan h(t) = y(t)x(t)=(t) maka persamaan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

2h’(t) + 3h(t) = 4 (t) (1)

Dari penyelesaian persamaan diferensial yang telah dipelajari sebelumnya kita dapat

mengasumsikan penyelesaian untuk h(t):

h(t) = Ae-1,5tu(t) + 0(t)

diasumsikan 0(t) karena pada sistem orde satu ini masukan tidak mempunyai ’(t)

sehingga untuk t>0 (t)=0.

Dengan subsitusi asumsi ke persamaan (1) dihasilkan:

2d/dt[Ae-1,5tu(t)] + 3A e-1,5tu(t) = 4(t)

Dengan mempertimbangkan waktu t=0 didapatkan:

2Ae-1,5tt=0(t) = 4(t)

2A(t) = 4(t)

A=2

Dengan demikian:

29

Page 30: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

h(t) = 2 e-1,5tu(t)

Contoh soal 2.5:

Tentukan tanggapan impuls sistem y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 3x(t) + 2 x’(t).

Penyelesaian:

Untuk mencari tanggapan implus maka masukan x(t) = (t).

y’’(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 3(t) + 2’(t)

dengan persamaan karakteristik:

m2 + 3m +2 =0

dan y(t) tidak mengandung komponen (t) (tidak terdapat ’’(t) diruas kanan) maka dapat

diasumsikan:

y(t)= A1e-t u(t)+ A2e-2t u(t)+0(t)

atau:

y’(t)= -A1e-t u(t) -2A2e-2t u(t)+(A1+A2)(t)

maka dengan mengevaluasi komponen ’(t) didapatkan :

(A1+A2)(t) = 2(t)

A1+A2 = 2 (1)

Dengan mengevaluasi koefisien (t) didapatkan:

3(A1+A2)(t) -A1e-tt=0(t) -2A2e-2tt=0(t) = 3(t)

3(A1+A2) - A1 - 2A2 = 3

2A1+A2 = 3 (2)

Dengan menyelesaikan persamaan (1) dan (2) didapat A1=1 dan A2 = 1

Dengan demikian tanggapan impuls sistem:

h(t) = e-t u(t) + e-2t u(t)

2.4. Konvolusi KontinyuKeluaran sistem dengan tanggapan impuls h(t) dan masukan x(t) dapat direpresentasikan

sebagai:

(2.4)

atau dapat juga dinyatakan:

30

Page 31: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Kedua rumusan diatas dikenal sebagai integral konvolusi. Untuk dua fungsi sembarang x(t)

dan h(t) maka integral konvolusi r(t) dapat dinyatakan sebagai:

r(t) = x(t) * h(t)

Konvolusi kontinyu mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

a) Komutatif

x(t)*y(t) = y(t)*x(t)

rxy(t) = ryx(t)

b) Distributif

x(t)*[y(t) z(t)] = [x(t)*y(t)] [x(t)*z(t)]

rxy(t) = ryx(t) rxz(t)

c) Asosiatif

x(t)*[y(t)*z(t)] = [x(t)*y(t)]*z(t)

Untuk memperjelas penggunaan integral konvolusi disajikan contoh sebagai berikut:

Contoh soal 2.5:

Dua buah isyarat mempunyai rumusan sebagai berikut:

x(t) = 1 0<t<1

0, t lainnya

dan,

h(t) = 1 1<t<2

0, t lainnya

Carilah sinyal r(t) yang merupakan hasil konvolusi dua isyarat tersebut.

Penyelesaian:

Untuk mencari nilai konvolusi kedua isyarat kontinyu digunakan:

r(t) = x(t) * h(t)

Pada rumus diatas dapat dilihat bahwa untuk mencari nilai r(t) diperlukan sinyal x(p) dan

sinyal h(t-p).

31

Page 32: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

x(t) = 1 0<t<1

0, t lainnya

maka,

x(p) = 1 0<p<1

0, p lainnya

sedangkan h(t-p) dapat dicari sebagai berikut:

h(t-p) = 1 1<t-p<2

0, t-p lainnya

yang dibutuhkan adalah fungsi h dalam p maka:

h(t-p) = 1 -2+t<p<-1+t

0, p lainnya

Untuk mempermudah diilustrasikan sebagai berikut:

Gambar 2.2 Sinyal x(p), h(p) dan h(t-p)

Pada gambar diatas sinyal h(t-p) adalah sinyal h(-p) yang tergeser sejauh t. Dari rumusan

integral konvolusi dapat dilihat bahwa sinyal h(-p) dijalankan dari -∞ sampai +∞. Nilai

integral konvolusi dapat dibagi menjadi beberapa kasus penggal waktu t yaitu:

Pada saat t<1

Pada saat 1<t<2

Pada saat 2<t<3

Pada saat t>3

Untuk memperjelas keempat kasus ini x(p) dan h(t-p) digambarkan dalam satu sumbu y(p).

32

1

x(p)

p

1

-1 1

h(p)

p

1

2-1 1

h(t-p)

p

1

t-1t-2

1

h(t-p)

p

1

t-1t-2

y(p)

x(p)

(a)

1

h(t-p)

p

1

t-1t-2

y(p)

x(p)

(b)

1 p

1h(t-p)

t-1t-2

y(p)

x(p)

(c)

1 p

1h(t-p)

t-1t-2

y(p)

x(p)

(d)

Page 33: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Gambar 2.3 (a) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t<1(b) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 1<t<2(c) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat 2<t<3(d) Sinyal x(p) dan h(t-p) pada saat t>3

Hasil konvolusi r(t) pada tiap penggal waktu tersebut adalah sebagai berikut

a) Pada saat t<1

Pada periode ini sinyal h(t-p) belum sampai ke titik awal x(p) maka:

r(t) = 0

b) Pada saat 1<t<2

Pada saat 1<t<2 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar 2.2 (b) adalah 0

dengan batas atas t-1.

r(t) = t-1

c) Pada saat 2<t<3

Pada saat 2<t<3 batasan bawah integral konvolusi berdasar Gambar 2.2 (c) adalah t-2

dengan batas atas 1.

33

Page 34: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

r(t) = 1-(t-2)

= 3-t

d) Pada saat t<3

Pada waktu ini h(t-p) sudah meninggalkan batas akhir x(p) sehingga:

r(t) = 0

Dengan demikian hasil konvolusi secara keseluruhan adalah sebagai berikut:

t-1 1<t<2

r(t) = 3-t 2<t<3

0, t lainnya

Gambar 2.4 Sinyal r(t) hasil konvolusi x(t) dan h(t)

BAB IIIMODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK

3.1. Ruang Lingkup

Konsep dan teknik analisis sistem semula dikembangkan oleh para ahli militer

untuk keperluan mengeksplorasi dan mengkaji keseluruhan implikasi yang diakibatkan

oleh alternatif-alternatif strategi militer. Pendekatan ini merupakan suatu strategi penelitian

yang luas dan sistematik untuk menyelesaikan suatu problem penelitian yang kom-pleks.

Obyek penelitian biasanya merupakan suatu sistem dengan kerumitan-kerumitan yang

34

1 t

1 3-t

32

r(t)

t-1

Page 35: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

sangat kompleks sehingga memerlukan pengabstraksian. Dalam hubungan inilah dikenal

istilah "model dan pemodelan".

Istilah pemodelan adalah terjemahan bebas dari istilah "modelling". Untuk

menghindari berbagai pengertian atau penafsiran yang berbeda-beda, maka istilah

"pemodel-an" dapat diartikan sebagai suatu rangkaian aktivitas pem-buatan model.

Sebagai landasan untuk lebih memahami pengertian pemodelan maka diperlukan suatu

penelaahan tentang "model" secara spesifik ditinjau dari pendekatan sistem.

Dalam konteks terminologi penelitian operasional (operation research), secara

umum model didefinisikan sebagai suatu perwakilan atau abstraksi dari suatu obyek atau

situasi aktual. Model melukiskan hubungan-hubungan langsung dan tidak langsung serta

kaitan timbal-balik dalam terminologi sebab akibat. Oleh karena suatu model adalah

abstraksi dari realita, maka pada wujudnya lebih sederhana dibandingkan dengan realita

yang diwakilinya . Model dapat disebut lengkap apabila dapat mewakili berbagai aspek

dari realita yang sedang dikaji.

Salah satu syarat pokok untuk mengembangkan model adalah menemukan peubah-

peubah apa yang penting dan tepat. Penemuan peubah-peubah ini sangat erat hubungannya

dengan pengkajian hubungan-hubungan yang terdapat di antara peubah-peubah. Teknik

kuantitatif seperti persamaan re-gresi dan simulasi digunakan untuk mempelajari

keterkaitan antar peubah dalam sebuah model.

Memang dimungkinkan untuk dapat merancang-bangun dengan baik berbagai

model sistem tanpa matematik, dan /atau mengetahui matematika tanpa analisis sistem.

Namun demikian, perumusan mate-matika yang terpilih dapat mempermudah pengkajian

sistem, yang pada umumnya merupakan suatu kompleksitas. Sifat universalitas dari

matematik dan notasi-notasinya akan memperlancar komunikasi dan transfer metode yang

dikembangkan di suatu negara atau bidang ilmu tertentu ke bidang lainnya.

Kebanyakan para pengguna analisis sistem menjumpai kesukaran untuk

mengimplementasikan notasi-notasi matematika ke dalam format konsepsi disiplin ilmunya

. Mereka kemudian memilih alternatif pembuatan model konsepsi (conceptual model)

yang sifatnya informal karena terasa lebih mudah. Bagaimanapun juga, para ahli sistem

berpendapat bahwa keuntungan lebih besar dibandingkan dengan biaya yang diperlukan

dalam megkaji permasalahan penelitian secara matematis. Hal ini disebabkan adanya daya

guna yang berlipat ganda pada proses rancang bangun dan analisis dalam bentuk bahasa

35

Page 36: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

matematika yang sangat penting dalam teori ekonomi, keteknikan, ilmu alam hingga ilmu-

ilmu sosial. Meskipun teknik-tekniknya sangat beragam dan filosofinya masih dipandang

kontraversi namun ide dasarnya adalah sederhana yaitu menjabarkan keterkaitan-

keterkaitan yang ada dalam dunia nyata menjadi operasi-operasi matematis.

3.2. Jenis-Jenis Model

Pengelompokkan model akan mempermudah upaya pemahaman akan makna dan

kepentingannya. Model dapat dikatagorikan menurut jenis, dimensi, fungsi, tujuan, pokok

kajian, atau derajat keabstrakannya. Kategori umum yang sangat praktis adalah jenis

model yang pada dasarnya dapat dikelompokkan menjadi (i) ikonik, (ii) analog, dan (iii)

simbolik.

3.2.1. Model Ikonik (Model Fisik)

Model ikonik pada hakekatnya merupakan perwakilan fisik dari beberapa hal, baik

dalam bentuk ideal maupun dalam skala yang berbeda. Model ikonik ini mempunyai

karakteristik yang sama dengan hal yang diwakilinya, dan terutama amat sesuai untuk

menerangkan kejadian pada waktu yang spesifik. Model ikonik dapat berdimensi dua

(foto, peta, cetak-biru) atau tiga dimensi (prototipe mesin, alat, dan lainnya). Apabila

model berdimensi lebih dari tiga tidak mungkin lagi dikonstruksi secara fisik sehingga

diperlukan kategori model simbolik.

3.2.2. Model Analog (Model Diagramatik)

Model analog dapat digunakan untuk mewakili situasi dinamik, yaitu keadaan yang

berubah menurut waktu. Model ini lebih sering digunakan daripada model ikonik karena

kemampuannya untuk mengetengahkan karakteristik dari kejadian yang dikaji. Model

analog sangat sesuai dengan penjabaran hubungan kuantitatif antara sifat dari berbagai

komponen. Dengan melalui transformasi sifat menjadi analognya, maka kemampuan untuk

membuat perubahan dapat ditingkatkan. Contoh dari model analog ini adalah kurva

permintaan, kurva distribusi frekuensi pada statistik, dan diagram alir. Model analog

36

Page 37: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

digunakan karena kesederhanaannya namun efektif pada situasi yang khas, seperti pada

proses pengendalian mutu dalam industri (operating characteristic curve).

3.2.3. Model Simbolik (Model Matematik)

Pada hakekatnya, ilmu sistem memusatkan perhatian pada model simbolik sebagai

perwakilan dari realita yang dikaji. Format model simbolik dapat berupa bentuk angka,

simbol dan rumus. Jenis model simbolik yang umum dipakai adalah suatu persamaan

(equation).

Bentuk persamaan adalah tepat, singkat dan mudah dimengerti. Simbol persamaan

tidak saja mudah dimanipulasi didbandingkan dengan kata-kata, namun juga lebih cepat

dapat ditanggap maksudnya. Suatu persamaan adalah bahasa yang universal pada

penelitian operasional dan ilmu sistem, dimana di dalamnya digunakan suatu logika

simbolis.

Dalam mempelajari ilmu sistem diperlukan suatu pengertian yang mendasar

tentang simbol-simbol matematika; karena kalau tidak demikian akan menambah

kompleksitas dari konsep pengkajian itu sendiri. Bagaimanapun juga sebagaimana

mempelajari suatu hal maka kunci dari kelancaran dan pemahamannya adalah frekuensi

latihan aplikasinya. Dengan demikian diharapkan para pengguna dapat secara efisien

menangkap arti dari setiap notasi matematis yang disajikan. Misalnya , notasi ai dapat

diartikan faktor peubah a, dan Aij dapat digambarkan sebagai Tabel matriks peubah A

dengan baris i dan kolom j.

3.3. Karakteristik Model Matematika

Proses pemodelan mencakup pemilihan karakteristik dari perwakilan abstrak yang

paling tepat bagi situasi yang sedang dikaji . Pada umumnya model matematika dapat

diklasifikasikan menjadi dua bagian, yaitu model statik dan model dinamik. Model statik

memberikan informasi tentang peubah-peubah model hanya pada titik tunggal dari waktu.

Sedangkan model dinamik mampu menelusuri jalur waktu dari peubah-peubah model.

Model dinamik lebih sulit dan mahal pembuatannya, namun mempunyai kekuatan yang

lebih hebat untuk analisis dunia nyata.

37

Page 38: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Klasifikasi lain tergantung apakah model abstrak tersebut meng-gunakan

pandangan mikro atau makro. Model mikro bertujuan untuk mempernyatakan suatu unit

individu yang ada pada dunia nyata, sebagai contoh sebuah mobil pada aliran transportasi

atau seorang pembeli pada antrian pasar. Pada model makro, unit individu kehilangan

identitasnya karena peubah model secara khas dikaitkan dengan agregat dari unit sistem.

Contoh dari pandangan makro adalah peubah pada aliran listrik, kecepatan aliran mobil

pada jalan raya dan aliran bahan dan pelayanan pada struktur ekonomi.

Ditinjau dari cara klasifikasinya maka model abstrak dapat dikelompokkan

menjadi: (i) mikro-statik, (ii) makro-statik, (iii) mikro-dinamis, dan (iv) makro-dinamis.

Penggunaan model- model ini tergantung pada tujuan pengkajian sistem dan terlihat jelas

pada formulasi permasalahan pada tahap evaluasi kelayakan.

Sifat model juga tergantung pada teknik pemodelan yang digunakan. Model yang

mendasarkan pada teknik peluang dan memperhitungkan adanya ketidak pastian

(uncertainty) disebut model probabilistik atau model stokastik. Pada ilmu sistem model

ini sering digunakan karena masalah yang dikaji pada umumnya megandung keputusan

yang mengandung ketidak-menentuan. Lawan dari model ini adalah model kuantitatif

yang tidak mempertimbangkan peluang kejadian, dikenal sebagai model deterministik.

Contohnya adalah model pada "program linear". Model ini memusatkan penelaahannya

pada faktor-faktor kritis yang diasumsikan mempunyai nilai yang eksak dan tertentu pada

waktu yang spesifik. Sedangkan model probabilistik biasanya mengkaji ulang data atau

informasi yang terdahulu untuk menduga peluang kejadian tersebut pada keadaan sekarang

atau yang akan datang dengan asumsi terdapat relevansi pada jalur waktu.

Dalam hal-hal tertentu, sebuah model dibuat hanya untuk semacam deskripsi

matematik dari kondisi dunia nyata. Model ini disebut model deskriptif dan banyak

dipakai untuk mempermudah penelaahan suatu permasalahan. Model ini dapat

diselesaikan secara eksak serta mampu mengevaluasi hasilnya dari berbagai pilihan data

input. Apabila model digunakan untuk memperbandingkan antar alternatif, maka model

disebut model optimalisasi. Solusi dari model ini merupakan nilai optimum yang

tergantung pada kriteria input yang digunakan. Sebagai teladan adalah "Program Dinamik

dan Goal Programming"; sedangkan model deskriptif yang hanya memper-nyatakan

pilihan peubah adalah persamaan regresi multi-variate.

38

Page 39: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Apabila sistem telah diekspresikan dalam bentuk no-tasi matematika dan format

persamaan, maka timbullah keuntungan yang berasal dari kapasitas manipulatif dari

matematik. Seorang analis dapat memasukkan nilai-nilai yang berbeda-beda ke dalam

model matematika dan kemudian mempelajari perilaku sistem tersebut. Pada pengkajian

ma-salah-masalah tertentu, uji sensitifitas dari sistem dilakukan dengan pengubahan

peubah-peubah sistem itu sendiri.

Bahasa simbolik juga sangat membantu dalam komunikasi karena pernyataannya

yang singkat dan jelas dibandingkan dengan deskripsi lisan. Penggunaan format

matematika membuat penjelasan lebih komprehensif dan seringkali mampu mengung-

kapkan hubungan-hubungan yang tidak dapattercermin pada deskripsi lisan dari suatu

sistem. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pemodelan sistem (System Modelling)

adalah pembentukan rangkaian logika untuk menggambarkan karakteristik sistem tersebut

dalam format matematis. Oleh karena itu, proses ini sering disebut juga pemodelan

abstrak (abstract modelling) karena hasilnya adalah gugus persamaan-persamaan yang

saling berkaitan secara fungsional. Pada beberapa jenis sistem, proses pemodelan abstrak

ini lebih mudah pengerjaannya, seperti model biofisik dan keteknikan.

3.4. Tahapan Dalam Pemodelan

Para ahli penelitian operasional dan ilmu sistem te-lah mem-berikan konsepsi dan

teknik pemodelan sistem. Para ahli ini menya rankan untuk mengawali pemodelan dengan

penguraian seluruh komponen yang akan mempengaruhi efektivitas dari operasi sistem.

Setelah daftar komponen tersebut lengkap, langkah selanjutnya adalah penyaringan

komponen mana yang akan dipakai dalam pengkajian tersebut. Hal ini umumnya sulit

karena adanya interaksi antar peubah yang seringkali menyulitkan isolasi suatu peubah.

Peubah yang di-pandang tidak penting ternyata bisa saja mempengaruhi hasil studi setelah

proses pengkajian selesai. Untuk menghindarkan hal ini, diper lukan percobaan pengujian

data guna memilih komponen-komponen yang kritis. Setelah itu dibentuk gugus

persamaan yang dapat dievaluasi dengan merubah-rubah komponen tertentu dalam batas-

batas yang diperkenankan. Salah satu contoh pemodelan seperti ini adalah Program Linear

(Linear Programming) dan Program Dinamik (Dynamic Programming).

Dalam konteks pendekatan sistem, tahap-tahap pemodel-annya lebih kompleks

namun relatif terlalu beragam, baik ditinjau dari jenis sistem ataupun tingkat kecanggihan

39

Page 40: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

model. Manetsch dan Park (1984) mengembangkan tahap pemodelan abstrak ini sebagai

bagian dari pendekatan sistem.

Pemodelan abstrak menerima input berupa alternatif sistem yang layak. Proses ini

membentuk dan mengimplementasikan model-model matematika yang dimanfaatkan

untuk merancang program terpilih yang akan dipraktekkan di dunia nyata pada tahap beri-

kutnya. Output utama dari tahap ini adalah deskripsi terinci dari keputusan yang diambil

berupa perencanaan, pengendalian atau kebijakan lainnya.

3.4.1. Tahap Seleksi Konsep

Lazimnya langkah awal dari pemodelan abstrak adalah melakukan seleksi alternatif

hasil dari tahap evaluasi kelayakan. Seleksi ini dilakukan untuk menetukan alternatif-

alternatif mana yang bermanfaat dan bernilai cukup besar untuk dilakukan pemodelan

abstraknya. Hal ini erat kaitannya dengan biaya dan penampakan dari sistem yang

dihasilkan. Interaksi dengan para pengambil keputusan serta pihak lain yang amat terlihat

pada sistem sangat diperlukan dalam tahap seleksi ini.

3.4.2. Tahap Pemodelan

Sebagai langkah awal dari pemodelan adalah menetapkan jenis model abstrak yang

akan digunakan, sejalan dengan tujuan dan karakteristik sistem. Setelah itu, aktivitas

pemodelan terpusat pada pem bentukan model abstrak yang realistik. Dalam hal ini ada

dua cara pendekatan untuk membentuk suatu model abstrak, yaitu:

a. Pendekatan Kotak Hitam (Black box)

Metode ini digunakan untuk melakukan identifikasi model sistem dari data yang

menggambarkan perilaku masa lalu dari sistem (past behavior of the existing system).

Melalui berbagai teknik statistik dan matematik, maka model yang paling cocok (fit)

dengan data operasional dapat diturunkan. Sebagai contoh adalah model ekonometrik pada

pengkajian ilmu-ilmu sosial. Metoda ini tidak banyak berguna pada perancangan sistem

yang kenyataannya belum ada, dimana tujuan sistem masih berupa konsep.

b. Pendekatan Struktural

40

Page 41: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Metode ini dimulai dengan mempelajari secara teliti struktur sistem untuk

menentukan komponen basis sistem serta keterkaitannya. Melalui pemodelan karakteristik

dari komponen sistem serta kendala-kendala yang disebabkan oleh adanya keterkaitan

antara komponen, maka model sitem keseluruhan dapat disusun secara berantai.

Pendekatan struktural ini banyak digunakan dalam rancang-bangun dan pengendalian

sistem fisik dan non fisik.

Dalam beberapa kasus tertentu, kedua pendekatan ini dipakai secara bersama-sama,

misalnya pembuatan model pengendalian industri dimana karakteristik setiap unit industri

dianggap kotak hitam . Dengan demikian penggunaan dua pendekatan tersebut dapat

memberikan informasi lebih baik serta menghasilkan model yang lebih efektif dari pada

memakai hanya salah satu pendekatan saja. Tahap permodelan ini mencakup juga

penelaahan secara teliti tentang :

1. asumsi model

2. konsestensi internal pada struktur model

3. data input untuk pendugaan parameter

4. hubungan fungsional antar peubah kondisi aktual

5. memperbandingkan model dengan kondisi aktual sejauh mungkin .

Hasil dari tahapan ini adalah deskripsi model abstrak yang telah melalui uji

permulaan taraf validitasnya.

3.4.3. Tahap Implementasi KomputerPemakaian komputer sebagai pengolah data, penyimpan data dan komunikasi

informasi tidak dapat diabaikan dalam pendekatan sistem ; model abstrak diwujudkan

dalam berbagai bentuk persamaan, diagram alir dan diagram blok. Tahap ini seolah-olah

membentuk model dari suatu model, yaitu tingkat abstraksi lain yang ditarik dari dunia

nyata. Hal yang penting di sini adalah memilih teknik dan bahasa komputer yang

digunakan untuk implementasi model. Masalah ini akan mempengaruhi :

1. Ketelitian dari hasil komputasi

2. Biaya operasi model

41

Page 42: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

3. Kesesuaian dengan komputer yang tersedia

4. Efektifitas dari proses pengambilan keputusan yang akan meng-gunakan hasil

pemodelan tersebut.

Setelah program komputer dibuat dan format input /output telah dirancang secara

memadai, maka sampailah pada tahap pembuktian (verifikasi) bahwa model komputer

tersebut mampu melakukan simulasi dari model abstrak yang dikaji. Pengujian ini

mungkin berbeda dengan uji validitas model itu sendiri.

3.4.4. Tahap Validasi

Validasi model pada hakekatnya merupakan usaha untuk menyimpulkan apakah

model sistem tersebut di atas merupakan perwakilan yang sah dari realitas yang dikaji

sehingga dapat dihasilkan kesimpulan yang meyakinkan. Validasi merupakan proses

iteratif yang berupa pengujian berturut-turut sebagai proses penyempurnaan model .

Umumnya validasi dimulai dengan uji sederhana seperti pengamatan atas:

1. tanda aljabar (sign)

2. kepangkatan dari besaran (order of magnitude)

3. format respon (linear, eksponensial, logaritmik,

4. arah perubahan peubah apabila input atau parameter diganti-ganti

5. nilai batas peubah sesuai dengan nilai batas parameter sistem.

Setelah uji-uji tersebut, dilakukan pengamatan lanjutan sesuai dengan jenis model.

Apabila model mempernyatakan sistem yang sedang berlaku (existing system) maka

dipakai uji statistik untuk mengetahui kemampuan model dalam mereproduksi perilaku

masa-lalu dari sistem. Uji ini dapat menggunakan koefisien determinasi, pembuktian

hipotesis, dan sebagainya. Seringkali dijumpai kesulitan pada tahap ini karena kurangnya

data yang tersedia ataupun sempitnya waktu yang tersedia guna melakukan validasi. Pada

permasalahan yang kompleks dan mendesak, maka disarankan proses validasi parsial,

yaitu tidak dilakukan pengujian keseluruhan model sistem. Hal ini mengakibatkan

rekomendasi untuk pemakaian model yang terbatas (limited application) dan apabila perlu

menyarankan penyempurnaan model pada pengkajian selanjutnya.

42

Page 43: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Validitas model hanya bergantung pada bermacam teori dan asumsi yang

menentukan struktur dari format persamaan pada model serta nilai-nilai yang ditetapkan

pada parameter model. Umumnya disarankan untuk melakukan uji sensitivitas dari

koefisien model melalui iterasi simulasi pada model komputer. Di sini dipelajari dampak

perubahan koefisien model terhadap output sistem. Informasi yang didapat akan digunakan

untuk menentukan prioritas pengumpulan informasi lanjutan, koleksi data, perbaikan

estimasi dari koefisien penting dan penyempurnaan model itu sendiri. Usaha ini akan

berperan banyak dalam menyeimbangkan aktivitas perekayasaan model dan aktivitas

pengumpulan informasi, yang prinsipnya mencari efisien waktu, biaya dan tenaga untuk

studi sistem tersebut. Model yang digunakan untuk perancangan keputusan dan menen-

tukan kebijakan operasional akan mencakup sejumlah asumsi, misalnya asumsi tentang

karakteristik operasional dari komponen serta sifat alamiah dari lingkungan. Asumsi-

asumsi tersebut harus dimengerti betul dan dievaluasi bilamana model digunakan untuk

perancangan atau operasi. Manipulasi dari model dapat menuju pada modifikasi model

untuk mengurangi kesenjangan antara model dengan dunia nyata. Proses validasi ini

mempunyai pola berulang seperti metode ilmiah lainnya. Proses validasi seyogyanya

dilakukan kontinyu sampai kesimpulan bahwa model telah didukung dengan pembuktian

yang memadai melalui pengukuran dan observasi. Suatu model mungkin telah mencapai

status valid (absah) meskipun masih menghasilkan kekurang-beneran output. Di sini

model adalah absah karena konsistensinya, dimana hasilnya tidak bervariasi lagi.

Istilah verifikasi dan validasi sering digunakan secara sinonim dalam kaitannya

dengan model simulasi, meskipun masing- masing mempunyai aplikasi yang berbeda.

Secara literal "to verify" berarti menetapkan kebenaran atau kebaikan atau keabsahan,

sehingga verifikasi model berkenaan dengan penetapan apakah model merupakan

perwakilan yang benar dari suatu realita. Sementara itu, "validasi" tidak terlalu banyak

berhubungan dengan kebenaran suatu model, tetapi lebih berhubungan dengan apakah

model efektif atau sesuai untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Dengan demikian

suatu model divalidasi dalam hubungannya dengan tujuan penyusunannya, sedangkan

model diverifikasi dalam hubungannya dengan kebenaran mutlak.

3.4.5. Analisis Stabilitas

43

Page 44: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Sistem dinamik sudah sering diketahui mempunyai perilaku tidak stabil yang

bersifat destruktif untuk beberapa nilai parameter sistem. Analisis untuk identifikasi batas

kestabilan dari sistem diper-lukan agar parameter tidak diberi nilai yang bisa megarah

pada perilaku tidak stabil apabila terjadi perubahan struktur dan lingkungan sistem.

Perilaku tidak stabil ini dapat berupa fluktuasi random yang tidak dapat mempunyai pola

atau berupa nilai output yang eksplosif sehingga besarannya tidak realistik lagi. Analisis

stabilitas dapat menggunakan studi analitis berdasar teori stabilisasi, atau menggunakan

simulasi secara berulang-kali untuk mempelajari batasan stabilitas sistem.

3.4.6. Aplikasi Model

Para pengambil keputusan merupakan aktor utama dalam tahap ini, dimana model

dioperasikan untuk mempelajari secara mendalam kebijakan yang sedang dikaji . Mereka

berlaku sebagai pengarah dalam proses kreatif-interaktif ini, yang juga melibatkan para

analis sistem serta spesialis dari beragam bidang keilmuan. Apabila tidak terdapat kriteria

keputusan yang khas seperti maksimisasi atau minimisasi, proses interaktif tersebut dapat

menuju kepada suatu pengkajian normatif yang bertalian dengan trade-off antar peubah-

peubah sistem. Lebih jauh, dapat ditetapkan pula kebijakan untuk secara efisien menilai

kombinasi antar beberapa output sistem.

3.5. Dasar-Dasar Diagram Blok/KotakDiagram blok adalah suatu pernyataan gambar yang ringkas, dari gabungan sebab

dan akibat antara masukkan dan keluaran dari suatu system.

Blok/Kotak adalah : Biasanya berisikan uraian dan nama elemennya, atau simbul untuk

operasi matematis yang harus dilakukan pada masukkan unt7uk menghasilkan Keluaran

Tanda anak panah : Menyatakan arah informasi aliran isyarat atau unilateral. Sebagai

contoh sederhana diperlihatkan sbb:

44

ElementPengendali

input

d/dtX Y= dx/dt

output

BLOKinput output

Page 45: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Titik lepas Landas

X

X

X

XX

X

X

Tidak melihat arah

Ciri-ciri operasi penjumlahan dan pengurangan, agar dapat digambarkan secara khusus,

maka bentuk blok seperti distas diubah menjadi sebuah lingkaran kecil yang disebut

dengan titik penjumlahan, dengan tanda plus ( + ) dan atau minus ( - ), yang tetap sesuai

dengan anak-anak panah yang memasuki lingkaran. Sedangakan keluarannya ( Output )

adalah jumlah aljabar dari inputnya. Contoh :

Agar dapat menggunaka isyarat yang sama sebagai suatu mesukan oke lebih satu blok atau

titik penjumlahan digunakan sebuat titik lepas alandas. Hal ini menunjukkan isyarat

tersebut berjalan tanpa berubah sepanjang lintasan-lintasan yang berbeda ke beberapa

tujuan.

Contoh : Gambarkan diagram blok dari persamaan matematik sebagai berikut:

a). X2 = a1 (dx/dt ) disini ada dua operasi yang harus ditentukan yaitu a1 dan d/dt

a).

45

d/dt a1 X2

dx/dtX

2

2

dtd

dtdX1

X2

X3+

+

-

X

Y

X+YY

+

+X

Y

X+Y+ZY

+

+

ZX

Y

X-Y+

-

Page 46: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

b).

Pada umumnya system pengendalian praktis terdiri dari banyak komponen. Maka untuk

menyederhanakan dalm menganalisa dipakai blok diagram. Dimana tiap-tiap komponen

digambarkan oleh sebuah kotak yang mempunyai input dan output, sedangkan didalamnya

dituliskan bentuk transferfungtion dari komponennya ( Ingat dalam fungsi S= F(s). dan

kemudian ditunjukkan arah alirannya : ada 2 bagian yang penting :

1. Hubungan iNput dan Output ( Transfer function )

2. Sensing ( Error detector ) suatu gambaran berupa lingkaran kecil dengan gambar

silang didalmnya, atau merupakan simbul (penjumlah dan atau pengurangan),

tergantung dari tandanya. Dengan demikian error detector menghasilkan sinyal,

yang merupakan perbedaan antra input dasar ( referent) dan sinyal Feedback dari

system control/pengaturan kea rah kendali system.

Bentuk Blok Diagram Sistem Tertutup ( Close lop System )

46

G(s)Y(s), C(s), V0(s)X(s), R(s), Vi(s)

+-

B(s)

R(s) E(s)+

-

G(s)

H(s)

R(s) E(s) C(s)

+ -

Page 47: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Dimana :

R(s) adalah Input Laplace transform

C(s) adalah Output Laplace transform

G(s) adalah Transfer function forword element

H(s) adalah TF. Feedback element

E(s) adalah Error sinyal

C(s)/R(s) adalah closed loop Transfer function

E(s)/ R(s) adalah Error Ratio

B(s)/ R(s) adalah Primaery feedback ratio

3.5.1 Penyederhanaan Diagram Blok

Dalam penyederhanaan diagram blok sangat penting untuk diperhatikan, sebab

blok-blok hanya dapat dihubungkan secara seri jika keluaran sutu blok tidak dipengaruhi

oleh blok-blok berikutnya. Tetapi apabila ada pengaruh pembebanan antar komponen

maka, perlu dilakukan penggabungan dari bebrapa komponen menjadi satu blok/kotak saja.

Untuk diagram blok yang yang melibatkan bebrapa loop berumpan balik maju,

maka selangkah demi selangkah dari komponnen-konponennya perlu diperhatikan, dalam

penyederhanaan diagram blok/kotak :

1. Hasil kali fungsi alih (transfer function )pada arah umpan maju harus tetap sama.

2. Hasil kali fungsi alih pada pengelilingan loop harus tetap sama.

Suatu bentuk aturan umum untuk menyederhanakan diagram blok adalah memindahkan

titik cabang dan titik penjumlashan, lalu kemudian menyerhanakan umpan balik

didalamnya.

Contoh Soal :

Carilah fungsi alih ( Transfer function ) dari suatu system yang terdiri dari bentuk gambar

diagram blok/kotak system tertutup sbb:

R(s) = Input Frekuensi

C(s) = Sinyal Output

47

G(s)

H(s)

R(s) E(s) C(s)+ -

F(s)A(s)

Page 48: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

G(s) = sebagai pengontrol

H(s) = TF. dari Feedback element

E(s) = Error sinyal

A(s) = TF. dari amplifier

F(s) = TF. dari filter

B(s) = Sinyal feedback

3.6.2 Dasar Sistem Reduksi Diagram Blok-Kotak

1. Bentuk dari Elemen bertinggkat :

Diagram asal Hasil Reduksi

48

G1(s) G2(s)R(s) C(s) G1(s) xG2(s) C(s)R(s)

Page 49: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

2. Penambahan dan pengurangan

3. Percabangan

4. Starting Point

5. Sistem Loop

Soal :Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari

system, apabila R(s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah

demi selangkah (Step by step )

49

G(s)

H(s)

R(s) E(s) C(s)

+ -)()(1

)(sHsG

sGR(s) C(s)

B(s)

G(s)

R(s) C(s)

+ -B(s)

G(s)

R(s) C(s)+

-

G(s)

R(s)

G1(s)R(s) C(s)+

+/-

G2(s)R(s)G1(s) +/-G2(s) C(s)R(s)

R(s) G(s)

C(s)-

B(s)

R(s) G(s)

C(s)-

B(s)

1/G(s)

Page 50: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Soal 2 :

50

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

H1(s)

H2(s)

-

+ -+C(s)

R(s)

G1(s)xG2(s)xG3(s)

1+H1(s)xG1(s)xG2(s) + H2(s)xG2(s)xG3(s)

C(s)R(s)

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

H1(s)

H2(s)

-

+ C(s)R(s)

-

1/G1(s)

G1(s)xG2(s)1+H1(s)xG1(s)xG2(s)

G3(s)

H2(s)/G1(s)

+ C(s)R(s)

-

G1(s)xG2(s)xG3(s) 1+H1(s)xG1(s)xG2(s) H2(s)xG1(s)xG2(s)xG3(s)1+ 1+H1(s)xG1(s)xG2(s)

C(s)R(s)

Page 51: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Ringkaslah diagram blok dibawah kedalam untai terbuka dan tentukan fungsi alih dari

system, apabila R(s) sebagai input dan C(s) sebagai output. Kerjakan dengan cara selangkah

demi selangkah ( Step by step )

51

G1(s) G(s) G4(s)

G2(s)

H1(s)

G3(s)

-

+

-

+C(s)R(s)

H2(s)

+

G 1(s) G (s) G 4(s)G 2(s)

H 1(s)

G 3(s)

-

+

-

+C (s)R (s)

G 1(s) G 4(s)G 2(s) +G 3(s)

H 1(s)

-

+R (s)

-

C(s)

R (s)

H 2(s)

+

H 2(s)

+

G 1(s) G 4(s) G 2(s) +G 3(s)

1+H1(s) ( (G2(s)+G3(s) )-

+R (s) C(s)

H 2(s)

G 1(s) XG 4(s)x (G 2(s) +G 3(s) )

1+H 1(s) (G 2(s) +G 3(s) )

G 1(s) XG 4(s) x(G 2(s) +G 3(s ))

1 + H 2(s) 1+H 1(s) (G 2(s) +G 3(s ))

C(s)

Page 52: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

52

).(..)(1.).(.

)(3)(20(4)(1)(2)(3)(2)(1

)(3)(2)(4)(1

ssssSsSS

ssss

GGGGHGGHGGGG

R(s) C(s)

Page 53: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

3.6. Diagram Aliran Sinyal

Dalam penggambaran (Representasi) diagram kotak atau blok adalah “Sangat Baik”

dalam menimbulkan suatu system control, dapat juga sebagai pengganti metode ini yaitu

Dagram Aliran Sinyal atau dapat juga disebut Grafik Aliran Sinyal

Adapun yang disebut grafik aliran sinyal adalah suatu pernyataan gambar dari

persamaan-persamaan serempak yang menguraikan sebuah system secara grafis

memperagakan suatu bentuk transmisi isyarat melalui system seperti yang dilakukan pada

diagram Blok. Tetapi Grafik ini lebih mudah digambarkan atau lebih mudah dimanipulasi

daripada diagram blok atau kotak.

Maka untuk diagram aliran sinyal pada system control dikonstruksi pemakaian

Gain, sehingga akanm menghasilkan semua transfer function. Suatu diagram aliran sinyal

pada sebuah system adalah merupakan jaringan yang terdiri dari titik hubung yang disebut

dengan “Node”(simpul) dan ruas garis lurus yang disebut dengan “Cabang”. Simpul-

simpul itu dihubungkan oleh cabang yang arahnya telah ditentukan.

Contoh: Suatu bentuk sederhana dari grafik aliran sinyal

Jadi Xi = Aij . Xj

Variable- variable Xi dan Xj dapat merupakan fungsi-fungsi dari waktu, frekuensi

komplek atau sembarang besaran lainnya, dapat juga keduanya merupakan tetapan-tetapan

variable dalam pengertian matematis.

Sedangkan Aij adalah merupakan sebuah operator matematik yang meletakkan Xj ke

dalam Xi, dan hal tersebut merupakan bentuk dari “Fungsi transmisi”

Adapun konstruksi diagram aliran sinyal meliputi urutan penyebab-penyebab dan pengarah

dari hubungannya.

53

Xj Xi

Cabang

Aij

Page 54: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

X2 tidak ada hubungan dengan yang lain

Misalkan: Bentuk dari diagram aliran sinyal C(s) = G(s) . R(s)

Maka diagram aliran sinyalnya adalah

R G C

Biasanya : C(s), G(s), R(s) dapat ditulis dengan cara menghilangkan tanda (s)

Sehingga dapat ditulis C, G dan R saja

Contoh :

Tinjau bentuk persamaan dibawah ini dari sekumpulan Error persamaan dan transfer

fungtion (TF)

a). X1 = R – H1 . X3

b). X2 = G1 . X1 – H2 . C

c). X3 = G2 . X2

d). C = G3 . X3

Dimana, X1, X2, X3 adalah merupakan node konstruksi diagram, maka diagram aliran

sinyalnya adalah:

54

CabangNodeNode

Page 55: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

RX1

X2 X3C

-H1

G21

RX1 X2 X3

1

- H1C

RX1 X2 X3 C1

-H2

G1

RX X2

X3

C

-H1

G2 G31C

-H2

1G1

Keterrangan:

Persamaan a). Dinyatakan bahwa sinyal X1 tergantung atas sinyal R dan X3, Sinyal X3

adalah dikalikan dengan Gain -H1 yang masuk kedalam node X1 Gain -H1 adalah

dinyatakan pada cabang X3 ke X1 Untuk tiga (3) persamaa yang lain dapat diterangakan

seperti diatas, Sehingga untuk memudahkan penggambaran aliran sinyal kita tetapkan

menurut dasar-dasar sebagai berikut:

1. Simpul-simpul (node) direpresentasikan/digambarkan sebagai variable disistem dan

disusun menurut rangkaian [penyebab effect dari system.

2. Sepanjang perjalanan sinyal pada cabang ditentukan arahnya

3. Sinyal yang dikirim sepanjang cabang dikalikan dengan gain dari cabang itu

4. Banyaknya variable yang dikemukakan oleh suatu node/simpul adalah sama dengan

jumlah sinyal yang masuk

5. Banyaknya variable yang dikemukakan oleh suatu node ditransmisikan atau dikirim

pada semua cabang meninggalkan simpul

6. Jalan maju adalah jalan node input ke node output tanpa melalui node yang lain

7. Jalan feedback tak menyinggung atau loop yang tidak mempunyai node bersama55

Page 56: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

8. Jalan feedback adalah permulaan jalan dan ahkir jalan dalam node yang sama

9. Gain dari suatu jalan adalah sama dengan hasil dari semua gain pada jalan itu.

Tinjaulah bentuk persamaan sebagai berikut:

X2 = a1.2 . X1 + a3.2 .X3 + a4.2 .X4+ a5.2 . X5

X3 = a23 .X2

X4 = a34 . X3+ a44 . X4

X5 = a35 . X3 + a45. X4

Dimana X1 adalah sebagai input sinyal

X2 adalah sebagai outpuy sinyal

Rumus Penguatan Masson’s

Adapun untuk menentukan hubungan antara variable masukkan dan variable keluaran

dalam grafik aliran sinyal, maka “Rumus Penguatan Masson’s” dapat di[pergunakan, sebab

dapat dipakai dalam penyelesaian bentuk-bentuk kasus praktis. Dimana transmisi antara

simpul masukkan dan simpul keluaran adalah merupakan penguatan keseluruhan, atau

transmisi keseluruhan antara dua buag simpul.

Dimana :

P = Semua gain, biasanya ditulis C(s)/R(s)

Pk= Penguatan atau transmisi lintasan maju ke “k”

∆ = Determinan grafik

Jumlah dari semua penguatan loop yang berbeda

56

kkkkkk P

PP

..1.

Page 57: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Jumlah hasil kali penguatan dari semua, kombinasi yang mungkin dari dua

loop yang tidak bersentuhan.

Jumlah hasil kali penguatan dari semua kombinasi yang mungkin dari

tiga loop yang tidak bersentuhan.

∆k = Kofactor dari determinan lintasan maju ke “k” dengan menghilangkan loop-loop

yang menyentuh lintasan maju ke “k”

Contoh : Tinjaulah system pada gambar diagram blok seperti dibawah, cari fungsi alih

loop tertutup C(s)/R(s). Selesaikan dengan rumus penguatan Masso’n

Penyelesaian:

Jumlah Loop : 3 # Ada satu lintasan maju

K = 1 P1 = G1 . G2 . G3

L1 = G1. G2 . H1

57

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

- H2

H1(s)

H2(s)

+

+

+

-

-+C(s)R(s)

R(s) C(s)G1 G2 G3

+ H1

- 1

1 1X1 X2

X3

X4

C)

X1 X2 X3 X4

G1(s) G(s) G3(s)G2(s)

H1(s)

H2(s)

+

+

+

-

-+C(s)R(s) X1 X2 X3 X4

Page 58: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

L2 = - G2 . G3 . H2

L3 = - G1 . G2 . G3

# ∆ = 1 – ( L1 + L2 + L3 )

= 1 - G1. G2 . H1 + G2 . G3 . H2 + G1 . G2 . G3

Maka kofaktor (∆1) dari determinan lintasan maju yang menghubungkan simpul masukkan

dan keluaran diperoleh dengan menghilangkan loop-loop yang menyentuh lintasan, karena

“P1” menyentuh semu loop maka ( ∆1= 1 )

# Untuk mencari Loop Yang tidak berhubungan adalah:

Jumlah Loop : 3 # Ada satu lintasan maju

K = 1 P1 = G1 . G2 . G3

L1 = - G1. H1

L2 = - G2 . H2

L3 = - G3 . H3

58

G1(s) G3(s)G2(s)

- H2

H1(s)

H2(s)

+

+ --

-

+

C(s)R(s)

R(s) C(s)G1 G2 G3

- H1

1 1X1

X2

X3 X4

X1 X2 X3 X4

H3(s)

X5

1

- H3

Page 59: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

# ∆ = 1 – ( L1 + L2 + L3 ) + (L1 x L3 )

= 1 – (G1.H1 + G2 .H2 + G3.H3) + (G1. G3.H1.H3)

Maka kofaktor (∆1) dari determinan lintasan maju yang menghubungkan simpul masukkan

dan keluaran diperoleh dengan menghilangkan loop-loop yang menyentuh lintasan, karena

“P1” menyentuh semua loop maka ( ∆1= 1 )

3.7. Model Matematis untuk Sistem Fisik

Untuk memahami sistem kendali yang ruwet, terlebih dahulu mendapat-kan model

matematisnya, yang bersifat kwantitatif. Hal ini dikarenakan oleh hubungan antara variabel

sistem dan model matematis pada sistem kendali keadaannya dapat berbentuk dinamis,

berubah-ubah. Persamaan yang sering digunakan adalah persamaan deferensial, dan dibuat

linier agar penyelesaian nya lebih mudah dengan menggunakan tranformasi laplace. Dalam

prakteknya sistem yang begitu ruwet maka diperlukan asumsi mengenai cara kerja sistem

tersebut.Oleh karena itu, diperlukan pertimbangan suatu sistem fisis dengan membuat

asumsi (pengandaian) dan melinierkan sistem tersebut. Akhirnya dalam penyelesaian

memanfaatkan beberapa peralatan matematis.

Sebagai contoh: Sistem sederhana yang terdiri dari massa pegas dan peredam seperti

gambar di bawah:

59

yGesekan

f

r(t)Gaya

MassaM

Gambar 3.1. Sistem massa-pegas-peredam

Page 60: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Gambar di atas melukiskan oleh hukum Newton kedua untuk gerakan, maka

persamaan dapat dituliskan sebagai berikut:

K adalah tetapan pegas untuk pegas ideal dan f adalah tetapan gesek. Persamaan di atas

berbentuk persamaan diferensial kedua dengan koefisien yang tetap. Penyelesaian

persamaan diferensial yang melukiskan proses tersebut diperoleh dengan cara klasik,

seperti penggunaan faktor integral dan metoda koefisien tak tentu. Sebagai contoh, bila

massa tersebut mula-mula disimpangkan sejarak y(t)=y(0) kemudian dilepas, maka

tanggapan dinamik untuk sistem tersebut adalah kurang teredam (underdamped) yang

diperoleh persamaan sebagai berikut:

y(t)=K1 e-t sin (t + )

Dengan cara lain, suatu rangkaian listrik RLC seperti gambar di bawah dengan

menggunakan hukum Kirchoff, dapat persamaan ditulis sebagai berikut:

Untuk penyelesaian rangkaian RLC di atas mirip dengan sistem mekanik pegas yaitu

sumber mengalirkan arus yang tetap r(t)=I, maka tegangannya diperoleh

v(t)=K e-t cos (t + )

60

d2y(t) dy(t)M + f + Ky(t) = r(t) dt2 dt

v(t) dv(t) 1 + C + intg v(t) dt = r(t) R dt L

R L CR(t)Sumber

Arus

V(t)

Gambar 3.2. Rangkaian Listrik Paraleh RLC

Page 61: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Lengkung tegangan yang merupakan ciri khas suatu rangkaian RLC yang kurang

teredam seperti gambar di bawah:

3.7.1 Pendekatan Linier dari Sistem Fisis

Kebanyakan sistem-sitem fisis bersifat linier dalam batasan harga variabel yang

akhirnya akan tidak linier jika nilai dari batasan dilewati. Sebagai contoh, jika sistem massa

pegas hanya bersifat linier selama massa mengalami simpangan kecil y(t), tetapi bila y(t)

terus menerus bertambah, pegas akan terlalu terentang dan putus. Hal ini, persoalan

kelinieran dari batasan (range) penggunaannya harus diperhitungkan untuk tiap sistem.

Suatu sistem dapat didefinisikan sebagi linier ditinjau dari tanggapan dan

penguatannya. Untuk rangkaian listrik, sebagai penguatannya adalah arus listrik masukkan

r(t), sedangkan sebagai respon adalah tegangan v(t). Jadi kelinieran dari sistem tergantung

dari penguatan x(t) dan respon y(t). Jika sistem pada kondisi awalnya dikuatkan x1(t) maka

akan memberikan respon y2(t), dan jika sistem adalah linier diberikan penguat x1(t)+x2(t)

dan respon yang diterjadi y1(t)+y2(t), hal ini disebut prinsip superposisi.

Untuk sistem yang dicirikan oleh hubungan y=x2 tidaklah linier karena sifat

superposisi dan sifat kebersamaan. Sistem yang digambarkan oleh persamaan y=mx + b

dikatakan tidak linier, tetapi sistem ini dapat dianggap linier sekitar titik kerja x0, y0 untuk

perubahan kecil x dan y. bila x=x0+x, y=y0+ y kita dapatkan

y=mx + b

atau

y0+ y = mx0 + mx + b

61

0

TeganganV(t)

e-t

Waktu (t)

2()

Gambar 3.3. Kurva tegangan dr Rangk. RLC yang kurang teredam

Page 62: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

karena y = m x memenuhi syarat maka sistem dikatakan linier.

Contoh. Perhatikan osilator bandul seperti gambar di bawah menghasilkan torsi pada massa

sebesar:

g adalah tetapan gaya tarik bumi, keseimbangan terjadi bila massa 0 = 00 hubungan tak

linier antara T dan ditunjukkan secara grafis turunan pertama yang dihitung pada titik

keseimbangan kelihatan hampir linier.

62

Page 63: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Pendekatan dapat dilakukan ketentuan sebegai berikut:

Transformasi LaplaceUntuk memperoleh pendekatan linier penggunaan transformasi laplace pada sistem

fisik menyederhanakan persamaan deferensial yang dimaksudkan mempermudah dalam

penyelesaian persoalan yang rumit. Penyelesaian respon waktu (fungsi waktu) didapatkan

pada tahapan sebagai berikut:

1. Persamaan diferensial;

2. Transformasi Laplace untuk persamaan diferensial;

3. Menyelesaikan persamaan aljabar yang didapatkan.

Pembahasan singkat keberadaan transformasi Laplace yang sering dijumpai dalam

menggambarkan penurunannya, sebagai contoh:

f(t) = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga f(t)=0 untuk t<0;

s = variabel komplek;

= simbul operator yang menunjukkan bahwa besaran yang ditrans- formasikan

dengan integral Laplace;

F(s) = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga f(t)=0 untuk t<0;

Selanjutnya transformasi laplace dari f(t)

[f(t)] = F(s) = ∫ e-st dt[f(t)] = ∫ f(t) e-st dt

63

- 4 4

- -/2

/2

T

Panjang L

Massa M

Gambar 3.4. Bandul mekanik

Page 64: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh:

1. Fungsi exponensial

f(t) = 0 untuk t<0

= A e-t untuk t 0A dan adalah konstanta. Transformasi Laplace dari f(t) diperoleh sebagai berikut:

[f(t)] = ∫ A e-t e-st dt[f(t)] = A ∫ e-(+s)t dt

A=

S +

Terlihat bahwa fungsi eksponensial menghasilkan satu pole pada bidang kompleks.

Dalam melakukan integrasi ini dianggap bagian nyata dari s lebih besar dari -.

3.7.2 Fungsi Transfer untuk Sistem Linier

Fungsi transfer suatu sistem linier didefinisikan sebagai hasil bagi transformasi

laplace dari variabel keluaran dengan masukan dengan seluruh syarat mula (initial

Condition) dianggap sama dengan nol. Fungsi transfer hanya dapat didefinisikan untuk

sistem linier dan stasioner (berparameter tetap).

Fungsi transfer waktu suatu jaringan RC seperti gambar di bawah dengan

menggunakan hukum Kirchoff akan menghasilkan persamaan sebagai berikut:

Dengan menyelesaikan dua persamaan di atas maka diperoleh:

64

RCV1 V2

Gambar 3.5. Rangk. Listrik RC tanpa beban

Page 65: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Maka fungsi transfer diperoleh sebagai perbandingan V2(s)/V1(s)

adalah tetapan waktu pada jaringan.

Jika diamati rangkaian tersebut di atas merupakan suatu pembagi tegangan:

Contoh: 1. Jika V1(s) sebagai masukkan diberi fungsi denyut (t)=1 maka V2(s) diperoleh:

dengan menggunakan transformasi Laplace diperoleh:

Jika V1(s) sebagai masukkan diberi fungsi Step u (t)=1/s maka V2(s) diperoleh:

dengan menggunakan transformasi Laplace diperoleh:

2. Suatu rangkaian RLC di bawah ini yang terdiri dari suatu induktansi L(henry) tahanan R

(Ohm), dan kapasitansi C (farad) dengan mengguna-kan hukum Kirchoff pada sistem

kita peroleh persamaan:

65

V2(s) Z2(s) = Z1(s)= R; Z2(s)= 1/CsV1(s) Z1(s) + Z2(s)

CRL V2V1

Gambar 3.6. Rangk. Listrik Seri RLC

Page 66: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

dengan mencari Transformasi Laplace dari persamaan di atas, dan menganggap syarat

awal nol maka

Jika V1 dianggap sebagai masukan dan V2 sebagai keluaran, maka fungsi alih dari sistem

diperoleh:

Persamaan di atas dari penyebut akan diperoleh dua akar nyata jika R2>4LC, satu akar

nyata jika R2=4LC dan imajiner R2<4LC

3. Tinjau sistem pada gamabar 7, V1 adalah masukan dan V2 keluaran, pada rangkaian

tingkat dua (R2C2) akan berpengaruh pembebanan pada tingkat pertama (R1C1).

66

R1

C1V1 V2

Gambar 3.7. Rangk. Listrik RC dg beban

C2

R2

i1 I2

Page 67: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Dengan mengeliminasi I1(s) dan I2(s) dari persamaan di atas kita peroleh bahwa fungsi

alih antara V1(s) dan V2(s) adalah

Bentuk R1C2s pada penyebut dari fungsi alih menyatakan interaksi dua rangkaian RC

sederhana, jika (R1C1+ R2C2+ R1C2)2 > 4 R1C1R2C2 maka dua akar dari persamaan adalah

nyata

67

Page 68: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh

1.

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1/S maka diperoleh persamaan:

Dengan menggunakan persamaan Laplace diperoleh

68

VoVi

Gambar 3.8. Rangk. Listrik Seri RC

R1

R2

C

Page 69: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

2.

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1/S2 maka diperoleh persamaan

Jika merupakan variabel kuadrat maka pers. Laplace

Dengan menggunakan persamaan Laplace diperoleh

69

VoVi

Gambar 3.9. Rangk. Listrik Seri LC

L1

L2

C

Page 70: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

3.

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1/S maka diperoleh persamaan

Jika B>4ac akan diperoleh

Dengan menggunakan persamaan Laplace diperoleh

4.

70

VoVi

Gambar 3.10. Rangk. Listrik Seri RLC

R LC1

C2

Page 71: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1/S maka diperoleh persamaan

Dengan menggunakan persamaan Laplace diperoleh

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1/S2 maka diperoleh persamaan

Dengan menggunakan persamaan Laplace diperoleh

71

VoVi

Gambar 3.11. Rangk. Listrik Seri RLC

R

L

C

Page 72: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

5.

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1 maka diperoleh persamaan

Dengan menggunakan persamaan Laplace diperoleh

72

VoVi

Gambar 3.12. Rangk. Listrik Seri RLC

L

C

R2

R1

Page 73: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

6.

Jika sumber (Vi ) diberi sinyal 1 maka diperoleh persamaan

73

VoVi

Gambar 3.13. Rangk. Listrik Seri RLC

R

L

C

L

Page 74: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BAB IVANALISIS RESPON TRANSIEN

4.1. Karakteristik Respon

Adalah ciri-ciri khusus perilaku dinamik (spesifikasi performansi) Tanggapan (respon)

output sistem yang muncul akibat diberikannya suatu sinyal masukan tertentu yang khas

bentuknya (disebut sebagai sinyal uji).

4.2. Klasifikasi Respon Sistem

Berdasarkan sinyal bentuk sinyal uji yang digunakan, karakteristik respon sistem dapat

diklasifikasikan atas dua macam, yaitu: Karakteristik Respon Waktu (Time Respons),

adalah karakteristik respon yang spesifikasi performansinya didasarkan pada pengamatan

bentuk respon output sistem terhadap berubahnya waktu. Secara umum spesifikasi

performansi respon

waktu dapat dibagi atas dua tahapan pengamatan, yaitu; Spesifikasi Respon

Transient,adalah spesifikasi responsistem yang diamati mulai saat terjadinya perubahan

sinyalinput/gangguan/beban sampai respon masuk dalamkeadaan steady state. Tolok ukur

yang digunakan untukmengukur kualitas respon transient ini antara lain; rise time,delay

time, peak time, settling time, dan %overshoot.Spesifikasi Respon Steady State, adalah

spesifikasirespon sistem yang diamati mulai saat respon masuk dalam keadaan steady state

sampai waktu tak terbatas (dalampraktek waktu pengamatan dilakukan saat TS £ t £

5TS).Tolok ukur yang digunakan untuk mengukur kualitas responsteady state ini antara

lain; %eror steady state baik untukeror posisi, erorkecepatan maupun eror percepatan.

Karakteristik Respon Frekuensi (Frequency Respons), adalah karakteristik respon yang

spesifikasi performansinya didasarkanpengamatan magnitude dan sudut fase dari

penguatan/gain(output/input) sistem untuk masukan sinyal sinus (A sin wt), padarentang

frekuensi w = 0 s/d w = ¥. Tolok ukur yang digunakan untukmengukur kualitas respon

frekuensi ini antara lain; Frequency GainCross Over, Frequency Phase Cross Over,

Frequency Cut-Off(filter), Frequency Band-Width (filter), Gain Margin, Phase

Margin,Slew-Rate Gain dan lain-lain.

74

Page 75: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

4.3. Karakteristik Respon Waktu Sistem Orde I dan Sistem Orde II

Respon output sistem orde I dan orde II, untuk masukan fungsi Impulsa,step, ramp dan

kuadratik memiliki bentuk yang khas sehingga mudahdiukur kualitas responnya

(menggunakan tolok ukur yang ada). Padasistem orde tinggi umumnya memiliki bentuk

respon yang kompleks atautidak memiliki bentuk respon yang khas, sehingga ukuran

kualitas sulit ditentukan.Meskipun demikian, untuk sistem orde tinggi yang ada dalam

praktek(sistem yang ada di industri), umumnya memiliki respon menyerupai ataudapat

didekati dengan respon orde I dan II. Untuk sistem yang demikiandapatlah dipandang

sebagai sistem orde I atau II, sehingga ukuran kualitas sistem dapat diukur dengan tolok

ukur yang ada.

4.3.1. Karakteristik Respon Impulsa (Impuls Respon)

Adalah karakteristik sistem yang didapatkan dari spesifikasi respon output terhadap

masukan impulsa.

Respon Impulsa sistem orde I

Suatu sistem orde I, dapat digambarkan sebagai berikut:

Transfer Function (TF) sistem dapat dituliskan sebagai:

Untuk masukan x(t) = Ad(t) atau X(s) = A, maka respon output sistem dapat dituliskan dan

digambarkan sebagai berikut:

75

Page 76: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

R

espon Impulsa sistem orde II

Suatu sistem orde II, dapat digambarkan sebagai berikut: Transfer Function (TF) sistem

dapat dituliskan sebagai:

Untuk masukan x(t) = Ad(t) atau X(s) = A, maka respon output sistem dapat dituliskan dan

digambarkan sebagai berikut:

5.2.2. Karakteristik Respon Step (Step Respon)

Adalah karakteristik sistem yang didapatkan dari spesifikasi respon output terhadap

masukan Step.

76

Page 77: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

a. Respon Step Sistem Orde I

Suatu sistem orde I, dapat digambarkan sebagai berikut:Transfer Function (TF) sistem

dapat dituliskan sebagai:

Untuk masukan x(t) = Am(t) atau X(s) =A/S, maka output sistem dalam fungsi s dapat

dituliskan sebagai berikut:

Dengan demikian respon y(t) dapat dituliskan dan digambarkan sebagai berikut:

a.1. Spesifikasi Respon Step Sistem Orde I

Spesifikasi respon step sistem orde I dapat dinyatakan dalam duamacam spesifikasi yaitu:

spesifikasi respon transient (0 £ t £ 5Ts)dan spesifikasi respon steady state (t <= 5Ts) yang

di ukur melalui %eror posisi pada keadaan tunak (steady state). Secara umum respon step

sistem orde I dapat di gambarkan sebagai berikut:

77

Page 78: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

a.2. Spesifikasi Respon Transient Sistem Orde I

Terdapat beberapa macam ukuran kualitas respon transient yang lazim digunakan, a.l.:

Time Constan (t) : Ukuran waktu yang menyatakan kecepatan respon, yang di ukur mulai t

= 0 s/d respon mencapai 63,2% (e-1x100%) dari respon steady state.

Rise Time (TR) : Ukuran waktu yang menyatakan keberadaan suatu respon, yang di ukur

mulai respon 5% s/d 95% dari respon steady state (dapat pula 10% s/d 90%). TR = t Ln 19

(5%–95%), atau TR = t Ln 9 (10%-

90%)

Settling Time (TS): Ukuran waktu yang menyatakan respon telah masuk ±5% atau ±2%

atau ±0,5% dari respon steady state. Ts(± 5%) = 3t ; Ts(± 2%) = 4t atau Ts(± 0,5%)= 5t

Delay Time (TD) : Ukuran waktu yang menyatakan faktor keterlambatan respon output

terhadap input, di ukur mulai t = 0 s/d respon mencapai 50% dari respon steady state.TD =

t Ln2Td

a.3. Spesifikasi Respon Steady State Sistem Orde I

Spesifikasi respon steady state di ukur melalui %eror posisi pada

b.

Respon Step Sistem Orde II

Suatu sistem orde II, dapat digambarkan sebagai berikut:Transfer Function (TF) sistem

dapat dituliskan sebagai:

78

Page 79: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Untuk masukan x(t) = Am(t) atau X(s) =A/S, maka output sistem dalam fungsi s dapat

dituliskan sebagai berikut:

Ta

mpak bahwa sifat dua akar karakteristik sistem s2 dan s3tergantung pada harga x, di

mana;Ø jika x>1 kedua akar berharga real dan berbeda, disebut sebagai sistem over-

damped;Ø jika x=1 kedua akar berharga real dan sama, disebutsebagai sistem critically-

damped;Ø jika x<1 kedua akar merupakan konjugasi kompleks,Disebut sebagai sistem

under-damped;

X(s) Y(s)

b.1. Respon Step Sistem Orde II Over-Damped (x>1)

Dengan menggunakan teknik pecahan partial serta inversi transformasi Laplace, y(t) dapat

dituliskan sebagai:

Dengan demikian y(t) dapat digambarkan seperti gambar berikut:

79

Page 80: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

1

Kesimpulan,

Tampak bahwa respon sistem menyerupai respon sistemorde satu, oleh karena itu

spesifikasi respon sistem yang Digunakan adalah spesifikasi respon sistem orde satu.Ø

Sistem orde dua dengan koefisien redaman x > 1, dapat Didekati dengan model orde I,

dengan gain over-all K Sama dengan sistem semula dan time constant t* adalahwaktu yang

dicapai respon pada 63,2% dari keadaan steady state. Model pendekatan tersebut disebut

sebagai

Model Reduksi.

Pengembangan dari pengertian di atas, tiap sistem ordetinggi yang memiliki respon

menyerupai atau dapatdidekati dengan respon sistem orde I, model sistem dapat direduksi

menjadi model orde I.

b.2. Respon Step Sistem Orde II Critically-Damped (x=1)

Dengan menggunakan teknik pecahan partial serta inversitransformasi Laplace, y(t) dapat

dituliskan sebagai:

Dengan demikian y(t) dapat digambarkan seperti gambar berikut:

80

Page 81: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Kesimpulan,

Ø Tampak bahwa respon sistem menyerupai respon sistemorde satu, oleh karena itu sama

seperti kesimpulan sebelumnya, sistem orde dua dengan koefesien redaman

x = 1, dapat didekati dengan model reduksi orde I, seperti berikut :

b.3. Respon Step Sistem Orde II Under-Damped (x<1)

Dengan menggunakan teknik pecahan partial serta inversi transformasi Laplace, y(t) dapat

dituliskan dan digambarkan sebagai berikut :

b.

4. Spesifikasi Respon Step Sistem Orde II81

Page 82: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Seperti juga pada sistem orde I, spesifikasi respon step sistem orde II dapat dinyatakan

dalam dua macam spesifikasi yaitu: spesifikasi respon transient dan spesifikasi respon

steady state. Secara umum respon step sistem orde II dapat di gambarkan sebagai berikut:

b.5. Spesifikasi Respon Transient Sistem Orde II

Terdapat beberapa macam ukuran kualitas respon transient yanglazim digunakan, a.l.:

Time Constan (t) : Ukuran waktu yang di ukur melalui responfungsi selubung yaitu mulai t

= 0 s/d responmencapai 63,2% (e-1x100%) dari responsteady state.

Rise Time (TR) : Ukuran waktu yang di ukur mulai respon mulai t= 0 s/d respon

memotong sumbu steady state yang pertama.

Settling Time (TS): Ukuran waktu yang menyatakan respon telah

masuk ± 5% atau ± 2% atau ± 0,5% dari respon steady state.

Delay Time (TD) : Ukuran waktu yang menyatakan faktor

keterlambatan respon output terhadap input, di ukur mulai t = 0 s/d respon mencapai 50%

dari respon steady state.

82

Page 83: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Overshoot (MP) : Nilai relatif yang menyatakan perbandingan harga maksimum respon

yang melampaui harga steady state dibanding dengan nilai

steady state.

Time Peak (TP) : Ukuran waktu diukur mulai t = 0 s/d respon mencapai puncak yang

pertama kali (paling besar).

b.6. Spesifikasi Respon Steady State Sistem Orde II

Seperti juga pada sistem orde I, pada sistem orde II spesifikasi respon steady state di ukur

melalui %eror posisi pada keadaan tunak :

Karakteristik Respon Waktu Sistem Orde Tinggi

Respon output sistem orde tinggi umumnya memiliki bentuk respon yang kompleks atau

tidak memiliki bentuk respon yang khas, sehingga ukuran kualitas sulit ditentukan.

Meskipun demikian, untuk sistem orde tinggi yang ada dalam praktek (sistem yang ada di

industri), umumnya memiliki respon menyerupai atau dapat didekati dengan respon orde I

dan II. Untuk sistem yang demikian dapatlah dipandang sebagai sistem orde I atau II,

sehingga ukuran kualitas sistem dapat diukur dengan tolok ukur yang ada sebagai mana

dilakukan pada sistem orde I dan orde II.

83

Page 84: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

4.3 Analisa Transient Sistem Menggunakan Matlab

84

Page 85: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

PERCOBAAN I

1.Judul : Analisa Transient Sistem Dengan Menggunakan Matlab

2. Tujuan

(a)Mempelajari penggunaan Matlab untuk melihat response transient dari suatu sistem

(b)Mempelajari dan melihat kinerja transient dari suatu sistem

3. Prinsip Dasar

3.1. Matlab

Matlab adalah suatu program untuk menyelesaikan perhitungan-perhitungan ilmiah

maupun teknik secara numerik. Matlab dibuat oleh Math Work Inc, dan disediakan

dalam berbagai versi untuk berbagai jenis komputer, baik dalam versi DOS, Window,

Unix, dan sebagainya. Selain itu, matlab juga dikendalikan oleh comand-comand

tertentu sehingga dapat diprogram dengan menggunakan teknik-teknik khusus yang

berbasis matrik untuk menyelesaikan suatu persoalan. Olehkarenanya program

didalam matlab tidak sesulit dan serumit program bahasa lainnya, dan solusinya

mirip/sesuai dengan yang dikerjakan secara matematis.

Matlab menyediakan beberapa tool box, salah satunya adalah control system tool box.

Dalam control system tool box ini terdapat lebih dari 40 fungsi untuk menganalisis

teknik control, dan dalam praktikum ini akan digunakan fungsi-fungsi tersebut untuk

melihat response transient suatu sistem.

Karena matlab merupakan teknik pemograman yang berbasis matrik, maka penulisan

datanya dalam bentuk matrik yang dinyatakan dalam tanda [ ]. Untuk vektor baris,

bilangan-bilangannya dipisahkan dengan tanda blank atau koma, sedangkan untuk

vektor kolom, bilangan-bilangannya dipisahkan dengan titik koma.

Contoh :

Penulisan vektor baris :

X=[1 3 4 5] atau X=[1,3,4,5]

Hasilnya adalah :

X=

1 3 4 5

Penulisan vektor kolom :

85

Page 86: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

X=[1;3;4;5]

Hasilnya adalah :

X=

1

3

4

5

Penulisan matrik 3x3 :

X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

Hasilnya adalah :

X=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

4.4. Respon Transient dengan Matlab

Suatu sistem yang mendapat masukan, akan mengalami keadaan transient

(peralihan) sebelum mencapai keadaan setimbang yang baru. Pada saat keadaan transient

tersebut, maka sistem berada dalam keadaan yang perlu diwaspadai, karena sistem tersebut

akan mudah jatuh ke keadaan tidak-stabil. Karena itu, keadaan transient merupakan

fenomena yang secara serius diperhatikan bagi pengamat dan perancang sistem kontrol,

apapun jenis sistemnya.Dengan mengamati keadaan transient, maka akan dapat diketahui

duahal,yaitu:

1.Karakteristik sistem atau kinerja peralihan (system performance)

2.Dapat merancang kontroler yang sesuai dengan keadaan peralihan tersebut, apabila

kriteria-kriteria perancangannya dinyatakan dengan jelas secara kwantitatif.

Untuk melihat tanggapan peralihan (response transient) dari suatu sistem, umumnya jenis

masukan (input) yang diberikan kepada sistem ada 2, yaitu :

1. Masukan Tangga Satuan (Unit Step Function)

(t) = 1 (t >0)86

Page 87: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

= 0 (t yang lain)

2. Masukan Impulse Satuan (Unit Impulse Function)

= 0 ( t yang lain)

4.4.1. Sistem Orde Satu

Persamaan matematika dari rangkaian listrik pada gambar 1.1 setelah di laplacekan dengan

semua kondisi awal sama dengan nol adalah :

Untuk melihat transient response dari sistem orde satu tersebut dengan menggunakan

matlab jika input-nya (Vi) adalah unit step function, dapat digunakan program matlab

sebagai berikut :

num= 1;

den=[0.02 1];

grid

step(num,den)

xlabel(‘t-det’)

ylabel(‘Vo(t)’)

title(‘unit-step response of H(S)=1/0.02S+1’)

Untuk melihat transient response dari sistem orde satu tersebut dengan menggunakan

matlab jika input-nya (Vi) adalah unit impulse function, dapat digunakan program matlab

sebagai berikut :

num= 1;

den=[0.02 1];

grid

impulse(num,den)

xlabel(‘t-det’)

ylabel(‘Vo(t)’)

title(‘unit-impulse response of H(S)=1/0.02S+1’)

4.4.2. Sistem Orde 2

Jika suatu sistem orde dua mempunyai fungsi alih sebagai berikut:

87

Page 88: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Maka untuk melihat transient response dari sistem orde dua tersebut dengan input unit step

function, dapat digunakan program matlab. Penulisan program untuk melihat response

transientnya dalam matlab adalah sebagai berikut :

num=[25];

den=[1 6 25];

t=0:0.02:2;

c=step(num,den,t);

plot(t,c)

Xlabel(‘t-det’)

Ylabel(‘c(t)’)

Grid

Title(‘unit-step response of H(s)=25/s^2+6s+25’)

Sedangkan jika inputnya adalah unit-impulse function, maka program matlab yang

digunakan sama dengan program matlab diatas, hanya inputnya saja yang digantikan

menjadi :

step(num,den)

Hasil response transient dari sistem orde dua untuk input unit-impulse function adalah

seperti pada gambar 1.5.

4.4.5 KinerjaPeralihan

Untuk mengetahui ukuran kinerja peralihan dari suatu sistem dengan input unit-step

function, maka perlu memperhatikan hal-hal berikut ( response-nya terlihat pada gambar

6.6 ) :

Waktu tunda (Delay time), td

Waktu yang diperlukan oleh response untuk mencapai ½ dari tanggapan akhir

Waktu naik (Rise time), tr

Waktu yang diperlukan oleh response untuk naik dari 10-90 %,5-95 %,

atau 0-100 %.

Waktu puncak (peak time), tp

Waktu yang diperlukan oleh response untuk mencapai puncak lewatan pertama kali

88

Page 89: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

(Persen) lewatan maksimum, Mp

harga puncak maksimum dari response yang diukur dari satu. Bila keadaan tunak tidak

sama dengan satu, maka biasanya digunakan persen lewatan maksimum, dengan rumus:

Besarnya % lewatan maksimum secara langsung menunjukkan kestabilan relatif dari suatu

sistem.

Ukuran kinerja peralihan dari sistem orde 2 dengan transient response seperti pada gambar

1.4 adalah sebagai berikut :

- Peak time : 0.791

- Delay time : 0.273

- Settling time : 1.19

- Rise time : 0.371

- Persen overshoot : 9.47 %

4. Alat-alat yang dibutuhkan

Personal Computer : 1

Software Matlab : 1

89

Page 90: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BAB V.AKSI KONTROLER PID

In this tutorial, we will consider the following unity feedback system:

The three-term controllerThe transfer function of the PID controller looks like the following:

where Kp is the proportional gain, Ki is the integral gain, and Kd is the derivative gain.

First, let's take a look at the effect of a PID controller on the closed-loop system using the

schematic above. To begin, the variable e is the tracking error or the difference between the

desired reference value (r) and the actual output (y). The controller takes this error signal

and computes both its derivative and its integral. The signal which is sent to the actuator

(u) is now equal to the proportional gain (Kp) times the magnitude of the error plus the

integral gain (Ki) times the integral of the error plus the derivative gain (Kd) times the

derivative of the error.

Generally speaking, for an open-loop transfer function which has the canonical second-

order form of:

90

Page 91: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

a large Kp will have the effect of reducing the rise time and will reduce (but never

eliminate) the steady-state error. Integral control (Ki) will have the effect of eliminating the

steady-state error, but it will make the transient response worse. If integral control is to be

used, a small Ki should always be tried first. Derivative control will have the effect of

increasing the stability of the system, reducing the overshoot, and improving the transient

response. The effects on the closed-loop response of adding to the controller terms Kp, Ki

and Kd are listed in table form below.

CL RESPONSE RISE TIME OVERSHOOT SETTLING TIME S-S ERROR

Kp Decreases Increases No Change Decreases

Ki Decreases Increases Increases Eliminates

Kd No Change Decreases Decreases No Change

Note that these correlations are not exactly accurate, because Kp, Ki, Kd are related to each

other. Changing one of these variables can change the effect of the other two. For this

reason, the table should only be used as a reference when you are determining the values

for Ki, Kp and Kd by trial & error.

Open-loop step response

Many PID controllers are designed by the trial & error selection of the variables Kp, Ki,

and Kd. There are some rules of thumb that you can consult to determine good values to

start from; see your controls book for some explanations of these recommendations.

Suppose we have a second-order plant transfer function:

Let's first view the open-loop step response. To model this system into Matlab, create a

new m-file and add in the following code:

num=1;91

Page 92: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

den=[1 10 20];

step(num,den)

The DC gain of the plant transfer function is 1/20, so 0.05 is the final value of the output

for a unit step input. This corresponds to a steady-state error of 0.95, quite large indeed.

Furthermore, the rise time is about one second, and the settling time is about 1.5 seconds.

Most likely, this response will not be adequate. Therefore, we need to add some control.

Proportional control

From the chart above we see that Kp will help us to reduce the steady-state error. Let's first

add a proportional controller into the system, by changing your m-file to look like the

following: num=1;

den=[1 10 20];

Kp=10;

[numCL,denCL]=cloop(Kp*num,den, -1);

t=0:0.01:2;

step(numCL, denCL,t)

The cloop command in Matlab is used to convert the open loop transfer function into a

closed-loop one. Since the cloop command only accepts one transfer function, the plant

and controller transfer functions have to be multiplied together before the loop is closed. It

should also be noted that it is not a good idea to use proportional control to reduce the

steady-state error, because you will never be able to eliminate the error completely. This

fact will become evident below. If you rerun your m-file, you should get the following plot:

92

Page 93: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Now, the rise time has been reduced and the steady-state error is smaller, if we use a

greater Kp, the rise time and steady-state error will become even smaller. Change the Kp

value in the m-file:

Kp=500;

Rerun the m-file and you should get the following plot:

This time we see that the rise time is now about 0.1 second and the steady-state error is

much smaller. But the overshoot has gotten very large. From this example we see a large

proportional gain will reduce the steady-state error but at the same time, worsen the

transient response. If we want a small overshoot and a small steady-state error, a

proportional gain alone is not enough.

93

Page 94: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

PD control

The rise time is now probably satisfactory (rise time is about 0.1 second). Now let's add a

derivative controller to the system to see if the overshoot can be reduced. Add another

variable, Kd, to the m-file, set it equal to 10 and rerun the m-file:

Kp=500;

Kd=10;

numc=[Kd Kp];

[numCL, denCL]=cloop(conv(num,numc),den);

step(numCL, denCL,t)

The overshoot is much less then before. It is now only twenty percent instead of almost

forty-five percent. We can now try to improve that even more. Try increasing Kd to 100,

you will see the overshoot eliminated completely.

94

Page 95: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

We now have a system with a fast rise time and no overshoot. Unfortunately, there is still

about a 5 percent steady-state error. It would seem that a PD controller is not satisfactory

for this system. Let's try a PI controller instead.

PI control

As we have seen, proportional control will reduce the steady-state error, but at the cost of a

larger overshoot. Furthermore, proportional gain will never completely eliminate the

steady-state error. For that we need to try integral control. Let's implement a PI controller

and start with a small Ki. Go back to the m-file and change it so it looks like the following

(note the t input is removed from the step command so more of the response can be seen):

Kp=500;

Ki=1;

Kd=0;

numc=[Kd Kp Ki];

denc=[1 0];

[numCL, denCL]=cloop(conv(num,numc),conv(den,denc));

step(numCL, denCL)

95

Page 96: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

The Ki controller really slows down the response. The settling time becomes more than

500 seconds. To reduce the settling time, we can increase Ki, but by doing this, the

transient response will get worse (e.g. large overshoot). Try Ki=10, by changing the Ki

variable. The plot can be see better if an axis command is added after the step response.

Your m-file should now look like the following:

Kp=500;Ki=10;Kd=0;

numc=[Kd Kp Ki];denc=[1 0];[numCL, denCL]=cloop(conv(num,numc),conv(den,denc));step(numCL, denCL)axis([0 100 0 1.5])

Now we have a large overshoot again, while the settling time is still long. To reduce both

settling time and overshoot, a PI controller by itself is not enough.96

Page 97: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

PID control

From the two controllers above, we see that if we want a fast response, small overshoot,

and no steady-state error, neither a PI nor a PD controller will suffice. Let's implement both

controllers and design a PID controller to see if combining the two controllers will yield

the desired response. Recalling that our PD controller gave us a pretty good response,

except for a little steady-state error. Let's start from there, and add a small Ki (1). Change

your m-file to the following to implement the PID controller and plot the closed-loop

response:

KP=500;

KI=1;

KD=100;

numc=[KD KP KI];

denc=[1 0];

[numCL, denCL]=cloop(conv(num,numc),conv(den,denc));

step(numCL, denCL)

The settling time is still very long. Increase Ki to 100.

97

Page 98: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

The settling time is much shorter, but still not small enough. Increase Ki to 500 and change

the step command to step(numCL, denCL,t):

Now the settling time reduces to only 1.5 seconds. This is probably an acceptable response

for this system. To design a PID controller, the general rule is to add proportional control to

get the desired rise time, add derivative control to get the desired overshoot, and then add

integral control (if needed) to eliminate the steady-state error. You may have to go back

and readjust all three variables to fine-tune the response.

98

Page 99: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BAB VIANALISIS KESTABILAN

Kestabilan suatu system ditentukan oleh inputnya. Adapun system yang stabil

adalah system yang tetap dalam keadaan diam bila tidak dirangsang oleh sumber dari luar.

Maka untuk mengetahui kestabilan pada suatu system diperlukan suatu syarat agar system

manjadi stabil dengan cara antara lain:

6.1 Stabilitas Routh-Hurwitz

Dalam hal ini memberikan jaawaban atas pearsoalan stabilitas dengan jalan meninjau

persamaan karakteristik system yang dimaksud. Adapun persamaan ini adalah besaran

Laplace, ditulis dalam bentuk persamaan karakteristik.

Dengan kata lain, untuk persamaan tingkat (derajad) “n” akan diperoleh :

q(s) = an. Sn-an ( Jumlah seluruh akar ) Sn-1

+ an ( Jumlah hasil kali 2 akar ) Sn-2

- an ( Jumlah perkalian 3 akar ) Sn-3

+……+ an ( perkalian seluruh akar )

Tolok ukur Routh-Hurwitz adalah syarat yang perlu dan cukup untuk mendapatkan

stabilitas dari system linear. Adapun cara lainnya dikembangkan dengan menggunakan

Determina, tetapi dapat menggunakan persamaan deret yang lebih mudah dan paraktis.

Maka didalam penyesunan dan menderetkan koefisien persamaan karakteristik didasari

bentuk persamaan sebagai berikut:

Dimana an,………a0, merupakan bilangan konstan dan nyata, kemudian dari persamaan

diatas dibuat bentuk deret Routh, kemudian dari kedua lajur teratas saja yang ditentukan

langsung.

99

Page 100: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Bentuk Deret routh

Contoh : 1. Suatu persamaan karakteristik apakah menyatakan system yang stabil ?

q(s)= S3 + 4 S2 + 8S + 12 = 0

Penyelesaian :

100

L

0

1

3

2

1

2

.

.

S

S

S

S

S

S

n

n

n

.

.

.1

1

1

Cbaa

n

n

.

.

.2

2

3

2

Cbaa

n

n

.

.

.3

3

5

4

Cbaa

n

n

7

6

n

n

aa

1

31512

1

21311

1

5412

1

3211

..

..

..

..

bbaab

C

bbaab

C

aaaaa

b

aaaaa

b

nn

nn

n

nnnn

n

nnnn

dapat dihitung sampai S pangkat nol, 0…..1 maka koefisiennya didapat

S3 1 8 0

S2 4 12 0

S 5 0

S0 12

Karena tidak ada perubahan tanda dalam kolom pertama, maka system tersebut Stabil

125

605

04125

5420

412184

xx

xx

Page 101: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh : 2

Jadi tidak ada perubahan tanda pada kolom Pertama, maka system stabil.

6.2 Root Locus

Pendahuluan

Dasar Root Locus

Plot Root Locus

Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus

Kasus Khusus

Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus

Root Locus untuk Sistem dengan Transport Lag

101

1 11 18

2 18 0

2 18

0 00

1

2

3

4

S

S

S

S

S

2

'

...

,........

.......

Spersamaan

dianbilSkoefisientmenentukanuntuk

tentutidak

01818112)( 234 SSSSsq

0

1

2

S

S

S

1842

018

Page 102: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

6.2.1 Pendahuluan

Karakteristik tanggapan transient system loop tertutup dapat ditentukan dari

lokasi pole-pole (loop tertutupnya).

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah.

Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.

Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih sehingga pole-

pole terletak ditempat yang diinginkan.

Desain system kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak

diinginkan melalui pole-zero cancellation.

Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih

dengan K sebagai variabel. (Alternatif: gunakan MATLAB ?!)

W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan

orde tinggi : metoda Root Locus.

Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K =

0 sampai K = tak hingga.

Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadapperubahan

K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.

102

Page 103: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Persamaan Karakteristik: s2

+ 2s + K =0Akar-akar Persamaan Karakteristik :

2 4 4 Ks 2 1 1 K

K s1 s20 0 -21 -1 -12 -1+j1 -1+j1

10 -1+j3 -1+j3101 -1+j10 -1+j10

103

Page 104: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

• Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu nyata.

• Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk K=0) dan berakhir di

zero-zero G(s)H(s) (untuk K ) termasuk zero-zero pada titik

takhingga.

• Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena

Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka

mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat

dipenuhi.

• Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk

memperoleh hasil secara cepat.

• Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur

masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya

1 parameter pada satu saat.

• Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu

parameter (K) terhadap letak pole-pole.

• Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat

memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun

MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat.

• Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur

nilai K melalui Root Locus.

Page 105: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

6.2.2 Plot Root Locus

Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0Atau:

Sehingga:G(s)H(s) = -1,

G(s)H(s) = 180o(2k+1); (syarat sudut)k = 0, 1, 2, ….

| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)

Page 106: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan
Page 107: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

___________

6.2.3 Prosedur Penggambaran Root Locus

1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.

2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

Syarat Sudut:G(s)H(s) = 1800(2k+1); k = 0, 1, 2, …. Ambil titik

test : bila jumlah total pole dan zero dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

Banyaknya asimtot = n – m

n = banyaknya pole loop terbuka m=

banyaknya zero loop terbuka

1800

(2k 1)Sudut-sudut asimtot =

n mk=0, 1, 2, …

Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

letak pole berhinggas a n

letak zero berhingga m

Page 108: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

___________ Teknik Elektro ITB [EYS -

1998]hal 5 -7

4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: Untuk

Persamaan Karakteristik:

B(s) + KA(s) = 0,

Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:

dK B' (s) A(s) B(s) A

' (s)

0ds A

2 (s)

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 180

0 – (jumlah

sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke polekompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero ke pole kompleks tsb).Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 180

0 – (jumlah sudut

vektor-vektor dari zero-zero lain ke zerokompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari pole- pole ke zero kompleks tsb).

Page 109: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

Melalui Kriteria Routh Hurwitz.

Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = j

7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah- daerah selain

sumbu nyata dan asimtot.

8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat

magnitude. Sebalikya, bila letak pole- pole ditentukan (pada Root

Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis

atau secara analitis:

Secara grafis:

K perkalian panjang garis - garis dari titik s ke pole - pole perkalian panjang garis - garis dari titik s ke zero - zero

CONTOH :

Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan G(s)

s(sK

1)(s 2)

Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan

loop tertutup dominannya bernilai 0,5.

Solusi :

1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.j

Titik uji 2 Titik uji 1

-2 -1 0

Page 110: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Untuk titik uji 1 :

Syarat sudut :

s (s 1) (s 2) 00 00 0 0 0 0 (tak terpenuhi).

Untuk titik uji 2 :

Syarat sudut : s (s 1) (s 2) 1800 00 0 0 1800 (terpenuhi).

2. Penentuan asimtot Root Locus

Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3

Sudut asimtot =

1800

(2k 1)3

; (k 0,1, 2)

600 ; 1800

dan600

Titik potong asimtot pada sumbu nyata :

sp z (0

n m

1 2) 0 13 0

3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan : dK

0 ds

Persamaan karakteristik sistem adalah

Page 111: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

s(sK

1 01)(s 2)

atau K (s 3

3s 2

2s) , sehingga:

dK (3s

2ds

6s 2) 0

Diperoleh s1

0,4226 (memenuhi) dan s 2

1,5774 (tak memenuhi)

4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.

s 3 1 2

s 2 3 K

s1 6 K3

s 0 K

Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus

dengan sumbu khayal ini terjadi pada : s

j 2 .

Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = j

(pada

sumbu khayal).

5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root

Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.

Page 112: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

6. Gambar Root Locus nya:

7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien

redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan s

n j n 1

2 . Dengan

memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa cos . Untuk

0,5, maka 600 . Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-

pole dominan tersebut adalah : s = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:

K s(s )(s 2) s 0,3337 j 0,5780

1,0383

Page 113: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BEBERAPA CATATAN

Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Locus.

Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-

zero H(s)

Page 114: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan
Page 115: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Teknik Elektro ITB [EYS -1998]

hal 5 -14

Page 116: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Teknik Elektro ITB [EYS -1998]

hal 5 -15__________________________________________________________________________

Page 117: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Teknik Elektro ITB [EYS -1998]

hal 5 -16

6.3. Root Locus Menggunakan Matlab

Root Locus = persamaan karakteristiknya, dalam MATLAB:

1 K num

0 den

num (s z1 )(s z 2 )(s z m )

Page 118: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

1s m

(z z 2 z )s

m

1

z1 z 2 z m

Page 119: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

m

nn

den (s p1 )(s

s (p1

p 2 )(s

p 2 p

p n )

)s n

1

p1 p

2

p n

Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep

Fungsi Alih):

rlocus(num, den)

Untuk konsep ruang waktu:

rlocus (A, B, C, D)

Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K

secara otomatis ditentukan.

Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka

perintah berikut ini dapat digunakan :

rlocus(num,den,K), atau

rlocus(A,B,C,D,K)

K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole lup tertutup

ingin dihitung.

___________

Page 120: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

___________ Teknik Elektro ITB [EYS -

1998]hal 5 -16

Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan

menggunakan arguman berikut ini :

[r,K] = rlocus(num,den) [r,K] =

rlocus(num,den,K) [r,K] =

rlocus(A,B,C,D) [r,K] =

rlocus(A,B,C,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K. Perintah :

r=rlocus(num,den)

plot(r,'o') atau, plot(r,'x')

dapat digunakan untuk menggambar Root Locus dengan tanda

`o atau `x ,

Mengingat vektor penguatan ditentukan secara otomatis,

maka plot Root Locus berikut ini :

G(s)H(s)

K(s 1)

s(s 2)(s 3)

G(s)H(s)

10K(s 1)

s(s 2)(s 3)

G(s)H(s)

200K(s 1)

s(s 2)(s 3)

adalah sama, dengan : num = [ 0

0 1 1 ] den = [ 1 5 6 0

]

Page 121: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh :

Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali balikan satuan:

G(s)s(s

K(s 2

4)(s

2s6)(s 2

4)1,4s 1)

Solusi :

Perintah konvolusi dapat digunakan untuk memperoleh bentuk

polinomial.

Definisikan :

a s(s 4) s 2

b s 64s : a

: b[1 4 0]

[1 6]

c s 2 1.4s 1 : c [1 1.4 1]

Selanjutnya gunakan perintah :

d = conv(a,b);

e = conv(c,d)

Hasil yang diperoleh e = [1 11.4 39 43.6 24 0]

Page 122: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Program MATLAB nya:

%------Root-Locus -------

num = [0 0 0 1 2 4];den = [1 11.4 39 43.6 24 0];rlocus(num,den)

Warning:Divide by zerov = [-10 10 -10 10]; axis(v)gridtitle(‘Root-Locus Plot of G(s) = K(s^2 + 2s +4)/[s(s + 4)(s +6)(s^2 + 1.4s + 1)]’)

Page 123: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Kasus Khusus

Parameter K bukan penguatan loop terbuka.

Umpanbalik positif.

Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka.

Page 124: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan
Page 125: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Umpan balik Positif.

Modifikasi Aturan

2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root Locus.

k 3600

3. Sudut-sudut asimtot = n m; k=0, 1, 2, …

4. Sudut datang dan sudut pergi : 1800

diganti dengan 00

.

Page 126: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh:

Gambarkan Root Locus untuk sistem umpan-balik positif G(s)H(s).

Solusi:

1. Plot pole-pole lup terbuka (s = -1 + j1, s = -1 - j1, s = -3) dan zero (s = -2)

pada bidang kompleks. Dengan naiknya nilai K dari 0 hingga , pole-pole

lup tertutup akan bergerak dari pole-pole lup terbuka dan berakhir pada

zero-zero lup terbuka (baik zero berhingga maupun tak berhingga),

sebagaimana terjadi pada sistem umpan-balik negatif.

2. Tentukan root locus pada sumbu nyata . Root locus akan berada pada

penggal

garis antara -2 dan + dan antara -3 dan - .

3. Tentukan asimtot-asimtot root locus. Sudut-sudut asimtot = k. 3600 / (3 - 1)

= 1800. (Kedua asimtot terletak pada sumbu nyata.)

4. Tentukan titik-titik pencar dan masuk.

K = [(s + 3)(s2 + 2s + 2)]/(s + 2).

dK/ds = 0, diperoleh: 2s3 + 11 s2 + 20 s + 10 = 0, atau

2(s + 0,8)(s + 2,35 + j0,77)( s + 2,35 - j0,77), sehingga titik masuk s = -0,8

5. Tentukan sudut berangkat root locus dari pole-pole kompleks. Untuk pole pada s

= -1 + j1, sudut berangkatnya adalah: = 0 - 270 - 900 + 450 = -720

6. Tentukan titik-titk uji disekitar sumbu imajiner dan titik asal untuk

Page 127: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

menggambarkan root locus pada daerah ini secara lebih teliti.

Page 128: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk

menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.

C(s)R(s) (s 3)(s2

K(s2s

2)2) K(s 2)

Page 129: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan
Page 130: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

6.4 ANALISIS SISTEM KENDALI

Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstanSistem stabil kondisionalSistem fasa non-minimum

Ortogonalitas dan Locus dengan PenguatanKonstan

Root locus dan lokus denganpenguatan konstan merupakan pemetaan

konformal lokus G(s)H(s)= 1800(2k+1) dan |G(s)H(s)| =

konstan dalam bidang G(s)H(s)

Page 131: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Sistem Stabil Kondisional

Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan64<K <195

Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah menjadi tak stabil.

Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop).

Stabil kondisional dapat dihindari melalui kompensasi yang sesuai (penambahan zero).

Page 132: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Sistem Fasa Non-Minimum(Pergeseran fasa bila diberi input sinus)

Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang- s.Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s.

Sehingga:= 1800 (2k+1); k= 0, 1, 2, …

K (T s 1) 0 a 0s(Ts 1)

Page 133: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

ROOT LOCUS DENGAN TRANSPORT LAG

Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis.

Elapse time: T = L/v detik, Sehingga : y(t) = x(t-T) Fungsi Alih:

Page 134: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Contoh:

Page 135: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Mengingat sudut kontribusi dari e-Ts adalah nol untuk =0, maka

sumbu nyata dari -1 hingga - merupakan bagian dari root

locus. Asumsikan suatu nilai 1 untuk , dan hitung

57.3o 1T. Pada titik -1 disumbu nyata negatif, gambar suatu garislurus

yangmembuat sudut 180o - 57.3o

1T terhadap sumbu nyata. Tentukan titik potong garis

ini dengan garis mendatar = 1. Titik potong P ini sebagaimana terlihat

pada gambar kiri memenuhi persamaan root locus, sehingga titik tersebut

berada pada root locus. Dengan mengulangi prosedure diatas, maka akan

diperoleh root locus seperti terlihat pada gambar kanan.

Perlu juga diingat bahwa bila s mendekati - , maka fungsi alih lup terbuka :

K e-Ts

s 1akan mendekati

-Ts

- ,

-Ts

karena

lim K e d ds [K e ]

KTe Ts

s - s 1 d/ds[s 1] s

Dengan demikian, s= - adalah suatu pole lup terbuka. Jadi root

locus bermula dari s = -1 atau s = - dan berakhir pada s = ,

sesuai dengan membesarnya K dari nol hingga tak hingga. Mengingat syarat

sudut fasa untuk root locus memiliki tak terhingga nilai (ingat k = 0, 1, 2, …),

maka akan ada tak terhingga root locus pula.

Page 136: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Untuk k = 1, maka syarat sudut berubah menjadi:

s 1 540057.30 wT (derajat)

3 - wT (radian)

Page 137: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1

Page 138: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Pendekatan Transport Lag

Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb kontinyu dan smooth:

Pendekatan Lain:

Page 139: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

OUTLINE BAHAN AJAR SISTEM PENGATURAN

Nama Mata Kuliah : Sistem PengaturanKode Mata Kuliah/SKS : TKE 5410Pengasuh : Ir. I Nyoman Budiastra, MErg, MT

Pertemuan Minggu :

No.

Pokok Bahasan

Sub Pokok Bahasan Outline Bahan Ajar

1. Pengantar Sistem Pengaturan

- Konsep Sistem Pengaturan

- Sistem Lintasan terbuka

- Sistem Lintasan tertutup

Pengertian dasar Contoh aplikasi sistem

Pengaturan di indusri Pemahaman unjuk kerja

sistem lintasan terbuka dan lintasan tertutup

Perbandingan sistem Pengaturan lintasan terbuka dan tertutup.

2. Pengantar Sistem Pengaturan

- Transformasi Laplace- Laplace Balik- Penyelesaian

Persamaan PD- Transfer Function

Aplikasi transformasi laplace

Sifat-sifat transformasi laplace

Metode pecah parsial pada laplace balik

Latihan penyelesaian persamaan PD

Pengertian transfer function Aturan penulisan transfer

function

.3. Model

Matematika Sistem Fisik

- Pengantar Model Matematika

- Diagram Blok- Reduksi Diagram

Blok

Pengertian model Sistem linear dan time

invariant Persamaan transfer function

diagram blok Penyusunan diagram blok Metode penyederhanaan

diagram blok

.4. Model

Matematika Sistem Fisik

- Grafik Aliran Sinyal- Pendekatan ruang

Keadaan - Prinsip Dasar Sistem

Pengaturan

Pengertian Sifat-sifat grafik aliran sinyal Sistem linear dan time

invariant Grafik Aliran Sinyal dalam

Page 140: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Sistem Kontrol Pengertian Metode Ruang

Keadaan Analisis dan Disain Sistem

Pengaturan Pendekatan Disain Sistem

Kontrol

.5. Model

Matematika Sistem Fisik

- Model Matematika Sistem Mekanik

- Model Matematika Sistem Listrik

- Model Matematika Sistem Elektronika

Model matematika sistem translasi

Model matematika sistem rotasi

Model matematika pada rangkaian RC

Model matematika pada motor DC

6. Analisis Respon Transien

- Pengantar Respon Transien

- Analisis Respon transien Sistem Orde Satu

- Analisis Respon transien Sistem Orde Dua

- Analisis Respon transien Sistem Orde Tinggi

Pengertian Sinyal Uji, Kestabilan relatif dan kestabilan mutlak

Respon tangga satuan sistem orde Satu

Kesalahan sistem orde Satu Respon tangga satuan sistem

orde Satu Pengaruh redaman terhadap

kestabilan sistem Penggolongan tanggapan

transien Tanggapan transien sistem

orde tinggi7. Analisis

Respon Transien

- Analisis Kesalahan Keadaan Tunak

- Analisis Respon Transien dengan Mathlab

Penggolongan sistem pengaturan

Kesalahan keadaan tunak Simulasi Mathlab

8. Aksi Kontrol Dasar dan Kontrol Automatik di Industri

- Pengantar Aksi Kontrol Dasar

- Mode Kontroller Dua posisi

- Mode Kontroller P, PI dan PID

Klasifikasi kontroller analog di industri

Kontroller automatik, aktuator, dan sensor

Kontroler beroperasi automatik

Aksi Kontroller dua posisi Aksi Kontroller proporsional Aksi Kontroller Proporsional

+ Integrator Aksi Kontroller Proporsional

+ Integrator + Difrensiator9. Aksi Kontrol

Dasar dan - Analisis aksi dasar

kontrol Simulasi Mathlab

Page 141: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Kontrol Automatik di Industri

10. Analisis Kestabilan Sistem Pengaturan

- Pengantar Kestabilan- Analisis Kestabilan

dengan metode Routh-Hurwitz

Analisis kestabilan pada bidang Kompleks

Kriteria kestabilan Routh Penerapan Kriteria Routh

untuk analisis sistem pengaturan

11. Analisis Kestabilan Sistem Pengaturan

- Pengantar Analisis Root Locus

- Contoh ilustrasi Root Locus

Metode tempat kedudukan akar

Diagram tempat kedudukan akar-akar

Contoh-contoh dalam analisis tempat kedudukan akar-akar

12. Analisis Kestabilan Sistem Pengaturan

- Diagram Bode Diagram fasa pada diagram logaritmik

Analisis kestabilan pada diagram logatmik

Page 142: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

DAFTAR ISI

Page 143: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

BAB I............................................................................................................................1PENGERTIAN DASAR SISTEM PENGATURAN...................................................1

1.1 Pendahuluan Tentang Pendekatan Sistem......................................................11.2. Prosedur.............................................................................................................11.3. Alat Bantu..........................................................................................................21.4 Simulasi Sistem..................................................................................................21.4.1 Operasi.............................................................................................................21.4.2 Metodologi.......................................................................................................3

BAB II........................................................................................................................10PENGANTAR MATEMATIKA................................................................................10

2.1 Konsep Variabel Kompleks..............................................................................102.1.1 Variabel Kompleks........................................................................................102.1.2 Fungsi Variabel Kompleks............................................................................102.1.3 Fungsi Analitik..............................................................................................112.1.4 Kesingularan dan Pole dari Fungsi................................................................112.1.4 Zero dari suatu Fungsi...................................................................................122.2 Transformasi Laplace.......................................................................................122.3 Sistem Linier Tak Ubah Waktu........................................................................262.3.1. Pendahuluan..................................................................................................262.3.2. Persamaan Diferensial Sistem..................................................................272.3.3 Tanggapan Impuls....................................................................................30

BAB III.......................................................................................................................36MODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK........................................................36

3.1. Ruang Lingkup................................................................................................363.2. Jenis-Jenis Model.............................................................................................373.2.1. Model Ikonik (Model Fisik).........................................................................373.2.2. Model Analog (Model Diagramatik)............................................................383.2.3. Model Simbolik (Model Matematik)............................................................383.3. Karakteristik Model Matematika.....................................................................393.4. Tahapan Dalam Pemodelan.............................................................................403.4.1. Tahap Seleksi Konsep...................................................................................413.4.2. Tahap Pemodelan..........................................................................................413.4.4. Tahap Validasi..............................................................................................433.4.5. Analisis Stabilitas.........................................................................................453.4.6. Aplikasi Model.............................................................................................453.5.1 Penyederhanaan Diagram Blok.....................................................................483.6.2 Dasar Sistem Reduksi Diagram Blok-Kotak.................................................503.6. Diagram Aliran Sinyal....................................................................................543.7. Model Matematis untuk Sistem Fisik..............................................................603.7.1 Pendekatan Linier dari Sistem Fisis..............................................................623.7.2 Fungsi Transfer untuk Sistem Linier.............................................................65

BAB IV.......................................................................................................................75ANALISIS RESPON TRANSIEN.............................................................................75

4.1. Karakteristik Respon....................................................................................75

Page 144: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

4.2. Klasifikasi Respon Sistem...............................................................................754.3. Karakteristik Respon Waktu Sistem Orde I dan Sistem Orde II.....................764.4. Respon Transient dengan Matlab....................................................................86

BAB V........................................................................................................................90AKSI KONTROLER PID..........................................................................................90

Open-loop step response.......................................................................................91Proportional control.............................................................................................92PD control..............................................................................................................94PI control...............................................................................................................95PID control............................................................................................................97

BAB VI.......................................................................................................................99ANALISIS KESTABILAN........................................................................................99

6.1 Stabilitas Routh-Hurwitz..................................................................................996.2 Root Locus......................................................................................................1016.2.1 Pendahuluan.................................................................................................1026.2.2 Plot Root Locus...........................................................................................105

DAFTAR PUSTAKA

Page 145: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan

Benjamin C. Kuo, (1995), Automatic Control Systems, Prentice Hall, USA

Dorf, Richard C,(1984), Modern Control System, Addison Wesley, CaliforniaOgata,(1997), Teknik Kontrol Automatik, Airlangga JakartaTarmukan,(1995), Teknik Pengaturan otomatis, Pusat pengembangan politeknik

BandungWidodo.R.J, (1996), Sistem Kontrol Dasar, Prenhallindo Jakarta

BUKU AJAR

MATA KULIAHSISTEM PENGATURAN

BUKU AJAR

MATA KULIAHSISTEM PENGATURAN

Page 146: GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN … · Web viewDaripada menggunakan banyak sensor untuk pengukuran suhu dan meratakan nilai yang diukur, adalah lebih ekonomis memasang sedotan