Masalahyangseringkitatemuidi sekitarkitaBerapavolumemaksimumdarikotakpersegipanjang yang luas permukaannya adalah 1500 cm2 dan panjangsisitotalnyaadalah200cm?
Lajuperubahansuhu
Kerja(Force)Seorang lakilaki berlari dengan gaya tertentumengelilingilingkaranberjarijari2 m. Berapa kerja yang dilakukan orang tersebut?
BABI TURUNANPARSIAL
1.1FungsiBeberapaVariabelKajianfungsiduavariabelataulebihdapatdilakukanmelalui: secaraverbal (melaluiuraiankatakata)
secaranumerik (melaluitabelnilai) secaraaljabar (melaluirumuseksplisit) secaravisual (melaluigrafik/kurvakontur)
FungsiDuaVariabel Motivasi1 SuhuTdisebuahtitikpadapermukaanbumipada sembarang waktu bergantung pada lintang x dan bujur y titik itu. Kita katakan dalam hal ini T adalahfungsidarixdany
T = f ( x, y )
Motivasi2 Volume V dari silinder (tabung) lingkaran bergantung kepada jarijari r dan tinggi h. Kita mempunyairumus.KitakatakanVfungsi V = r 2h darirdanh, dankitatuliskandengan
V ( r , h) = r h2
Definisi Suatu fungsi f dari dua variabel adalah suatu pengaitan pasangan terurut bilangan real (x,y) di dalamhimpunanDdgnsatubilanganreal . Himpunan D disebut daerah asal dari f f ( x, y ) dandaerahnilainyaadalah
{ f ( x, y ) ; ( x, y ) D}
Dinotasikanuntukmengekspresikan z = f ( x, y ) nilaif dititik(x,y). Variabel x dan y disebut variabel bebas dan z adalahvariabeltakbebas.
Fungsiduavariabeladalahfungsiygdaerahasalnya2 berupa himpunan bagian dari dan daerah nilai
berupahimpunanbagiandari. Jika fungsi f diberikan rumusnya dan daerah asal tidak disebutkan, maka daerah asal dari f dimaksudkan adalah himpunan semua pasangan (x,y)sehinggafadanilainya.
CONTOH1 Tentukandareahasalfungsiberikutdanhitung . f (3, 2)x + y +1 f ( x, y ) = (a) x 1
(b) x) f ( x, y ) = x ln( y 2
3
x y+1= + 0
2 1
-4
-2 -1 -2
2
4
Gambar1
3 2
y2=x1
-4
-2 -1 -2 -3
2
4
Gambar2
CONTO2 Didaerahdgncuacamusimdingin,indeksdinginangin (windchill index) I mendiskripsikan seberapa parah udara dingin. Indeks I adalah suhu subjektif yg bergantung kpd suhu sebenarnya T dan kecepatan anginv.Jadi NWS.
I = f (T , v)
Tabel 1 adalah nilai I yg dikompilasi oleh NOAA dan
TABEL1IndeksdinginanginsebagaifungsisuhudanlajuanginLajuAngin(km/jam) T 20 16 12 Suhusebenarnya(oC) 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20 v 6 20 16 12 8 4 0 -4 -8 12 16 20 10 18 14 9 5 0 -4 -8 -13 -17 -22 -26 20 16 11 5 0 -5 -10 -15 -21 -26 -31 -36 30 14 9 3 -3 -8 -14 -23 -25 -31 -37 -43 40 13 7 1 -5 -11 -17 -25 -29 -35 -41 -47 50 13 7 0 -6 -12 -18 -29 -31 -37 -43 -49 60 12 6 0 -7 -13 -19 -26 -31 -39 -45 -51 70 12 6 -1 -7 -14 -20 -27 -33 -40 -46 -52 80 12 5 -1 -8 -14 -21 -27 -34 -40 -47 -53 90 12 5 -1 -8 -14 -21 -27 -34 -40 -47 -53 100 12 5 -1 -8 -14 -21 -27 -34 -40 -47 -53
4o C DariTabel1,jikasuhudanlajuangin
, 40 km/jam maka secara subjektif udara terasa sedinginkirakira.Sehingga 11o C f (4, 40) = 11
CONTOH3 Penelitian Charles Cobb dan Paul Douglas (1928) menyimpulkan pertumbuhan ekonomi Amerika Serikat selama periode 1899 1922, bahwa hasil produksi dipengaruhi oleh banyaknya buruh yg terlibat dan banyaknya modal yg ditanamkan. Fungsi yg digunakan untuk memodelkan produksi berbentuk
P ( L, K ) = bL K 1
(1)
Padalahproduksitotal(nilaimonetersemuabarangyg dihasilkandalamsetahun), Ladalahbanyaknyaburuh(totalbanyaknyajammanusia ygdipekerjakansetahun) Kadalahbesarnyamodalygditanamkan(nilaimoneter semuakomponen,peralatan,danbangunan)
Dgn metode kuadrat terkecil dari data Tabel 2 diperolehfungsi
P( L, K ) = 1,01L0,75 K 0,25
(2)
Dari fungsi (2), maka produksi dalam tahun 1910 dan1920adalah P(147, 208) = 1,01(147)0,75 (208)0,25 161,90,75 0,25
P(194, 407) = 1,01(194) (407) 235,8 yg agak dekat ke nilai sebenarnya, yaitu 159 dan 231.
Fungsi produksi (1) dikenal dgn fungsi produksi CobbDouglas,dgndaerahasal
{( L.K ) ; L 0, K 0}
CONTOH4 Tentukandaerahasaldandaerahnilaidarig ( x, y ) = 9 x y2 2
3
x2+y2= 9
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
Gambar3
Grafik Perilaku fungsi dua variabel dapat dilihat visualisasi grafiknya. Definisi Jika f fungsi dua variabel dgn daerah asal D, maka grafikf adlhhimpunansemuatitikshg ( x, y , z ) R 3z = f ( x, y ) ( x, y ) D dan.
GrafikfungsiduavariabeladalahpermukaanSdgnpersamaan . z = f ( x, y ) 3y 2 1 0 20
SecaravisualgrafikSdarif sebagaigrafikygterletaktepat diatasataudibawahdaerah asalnyaDdibidangxy.Lihat
10 z
0
Gambar4.0 1 x 2 3
-1
Gambar4
CONTOH5f ( x, y ) = 6 3 x 2 y Sketsakangrafikfungsi.
0 0.5 1 2 1 20 y
6 4 2 x 0 3 z
1.5
Gambar5
CONTOH6g ( x, y ) = 9 x 2 y 2 Sketsakangrafikfungsi.
3 z 2 1 0 0 -2 0 x 2 -2 y 2
Gambar6
CONTOH7 Gunakan komputer untuk menggambarkan grafik fungsiproduksiCobbDouglas P( L, K ) = 1,01L0,75 K 0,25
300 200 P 100 0 0 100 L 200 300 0 100 200 K 300
Gambar7
CONTOH8 Tentukan daerah asal, dearah nilai dan sketsa dari grafikfungsi
h ( x, y ) = 4 x 2 + y 2
x -0.5 0 0.5 1
-1 -2 -1
y 0 1 2 4
3
2 1 0
z
Gambar8
KurvaKetinggianMetode ketiga, kajian fungsi adalah dgn peta kontur, tempat dimana titiktitik yg berketinggian sama digabungkan untuk membentukkurvakontur(conturcurve)ataukurvaketinggian(level curve).
DefinisiKurva ketinggian dari fungsi dua variabel f adalah kurvakurva dgn persamaanf (x,y) = kdengankkonstantadalamdaerahnilaif.
Lajuperubahansuhu
Sebagai contoh adalah fungsi suhu pada permukaan bumi (lihat awal kuliah), kurva ketinggian disebut isotermal dan menghubungkan lokasidgnsuhusama.
CONTOH9f ( x, y ) = 6 3 x 2 y Sketsakankurvaketinggianfungsi
untuknilai.12 k = 6, 0, 6,
Kurvakurvaketinggianadalah
6 3 x 2 y = k atau 3x + 2 y + (k 6) = 0Berupakeluargagarisdengankemiringan k=6 k=0 k=6 k=123 2y
3 x + 2 y 12 = 03x + 2 y 6 = 0 3x + 2 y = 0
x
3x + 2 y + 6 = 0k = 12 k = 6 k=0 k = -6
Gambar9
CONTOH10
g ( x, y ) = 9 x 2 y Sketsakankurvaketinggianfungsi 2untukk=0,1,2,3.y
k= 0 k=1 k=2
Kurvakurvaketinggianadalah atau x 2 + y 2 = 9 k 2 9 x2 y 2 = kx
k=3
Berupakeluargalingkaransepusatdi(0,0) danjarijarilihatGambar10. 9 k2
Gambar10
CONTOH11 Sketsakankurvaketinggiandarifungsih(x,y)= 4x2 + y2
10
Kurvaketinggianadalah atau 4x 2 + y 2 = k Untukk>0berupakeluargaelipsdengank setengahsumbudan. k 2 LihatGambar11.-5 0 5 10
5
x2 y 2 + =1 k 4 k
0
-5
-10 -10
Gambar11
