Top Banner
i Sudaryatno Sudirham Darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
35

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

Mar 06, 2019

Download

Documents

dinhnhan
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

i

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

Page 2: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

ii

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

Page 3: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

3

BAB 4

Mononom dan Polinom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k

adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini

beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5

10

)5(

735

4

3

222

231

=

=

−=

+−+=

y

xy

xy

xxxy

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu

pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi

berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat

satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan

fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai

fungsi genap, kita tuliskan

2kxy = (4.1)

Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan

mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya

akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier kxy = nilai k merupakan

kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah

positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar

kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x

jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k

makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.

memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.

Page 4: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam.

Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

Gb.4.1. Kurva fungsi 2kxy = dengan k positif.

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva

dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada

titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum

pada titik [0,0].

-100

-80

-60

-40

-20

0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y = −2x2

y = −10x2

y

x

Gb.4.2. Kurva fungsi 2kxy = dengan k negatif.

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;

kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva

sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x

dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh

dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan

mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2)()( axkby −=− (4.3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2

y = 3x2 y = 5x

2 y

Page 5: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

5

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,

a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =

10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi 2

1 10xy =

22 )2(10 −= xy

30)2(10 23 +−= xy

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.

Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x

sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y

sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah

berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan

membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat

dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k

positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4.

memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang

memiliki koefisien k sama besar.

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin

cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1.

Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin

tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat

dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika

pangkat makin besar.

0

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y1 = 10x2

y2 = 10(x−2)2

y3 = 10(x−2)2 + 30

Page 6: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien

sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika

koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang

sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi.

Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan

koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.

Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat

meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar

sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada

nilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang

makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin

kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah

seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

0

1

2

3

4

5

6

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y3 = 2x2

y2 = 3x4

y1 = 6x6 y

x

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0

1

2

3

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x

Page 7: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

7

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan

koefisien yang makin rendah pada mononom

berpangkat tinggi.

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.

Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada

nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat

rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh

peristiwa fisis.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi

waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

attv =)(

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2

2

1)( atts =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan

waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan

elektron pada waktu mencapai katoda adalah

atvk =

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

y = 3x4

y = 6x2

Page 8: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).

Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 2

2

1)( atts = , di mana s(t)

= l.

3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,

fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan

sentral adalah rje k=ψ dengan k adalah vektor bilangan gelombang

yang searah dengan rambatan gelombang. λ

π=

2k , λ : panjang

gelombang

Energi kinetik elektron sebagai

gelombang, Ek , adalah

ek

m

kE

2

22h

=

me massa electron, h suatu konstanta.

Ek dan k memiliki relasi mononomial

pangkat dua

(Dari Bab-8, ref. [4])

Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan

dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis kxy = .

Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.

memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.

Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia

bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin

tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.

]]]] anoda katoda

l

k

Ek

Page 9: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

9

Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam

“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang 11 ≤≤− x .

Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.

Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien

k, perpotongan kurva dengan garis kxy = bisa terjadi pada nilai x < 1.

4.2. Polinom Pangkat Dua

Fungsi polinom pangkat dua berbentuk

cbxaxy ++= 2 (4.4)

Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan

mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing

mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom

positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva

masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.

Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.

y

y1=2x2

x

y3=13

y2=15x

-150

0

150

-10 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2x y = 2x5

y = 2x3

Page 10: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan

bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di

sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.

(a)

(b)

(c)

Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2x2 , y2 = 15x, dan y3 = 13

y4 = 2x2+15x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13

y4=2x2+15x

−15/2

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri

−15/4

y1=2x2

y4=2x2+15x

x

y

y2=15x

-150

0

150

-10 0

x = −15/2

Page 11: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

11

Karena xy 152 = melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2

juga melalui titik [0,0]

maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva

xxyyy 152 2214 +=+= (4.5)

yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga

memotong sumbu-x di 2/15−=x karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan

2/15−=x ) memenuhi persamaan 0152 23 =+= xxy . Kurva ini

memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di 4/15−=x seperti

terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4

tebentuklah

13152 25 ++= xxy (4.6)

yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13

skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.

Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)

cbxaxy ++= 2

yang dapat kita tuliskan sebagai

a

acb

a

bxa

ca

b

a

bxacx

a

bxay

4

4

2

42

22

222

−−

+=

+−

+=+

+=

(4.7)

Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y

adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh

a

b

2−

kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh

−−

a

acb

4

42

.

Perhatikan Gb.4.8.

Page 12: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri

sejauh

–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah

sejauh –(b2−4ac)/4a.

Sumbu simetri terletak pada a

bx

2−= dan kurva memotong sumbu-x di

sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari

persamaan (4.7) kita dapatkan

04

4

2

22

=−

+=

a

acb

a

bxay →

a

acb

a

bxa

4

4

2

22 −=

+

→2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

−=

+ →

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

−±=

+

a

acb

a

bxx

2

4

2,

2

21−

±−= (4.8)

yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.

Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan

dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama

besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol

-50

0

0

y = ax2 +bx +c

x1 x2

}

y

x

y = ax2

−−

a

acb

4

42

a

b

2−

Page 13: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

13

0)4(04

4 22

=−⇒=−

− acba

acb (4.9)

Jika 0)4( 2 <− acb maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini

memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.

Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:

1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi bxaxy += 2 yang memotong sumbu-

x di x = 0 dan a

bx −= dan memiliki sumbu simetri di

a

bx

2−=

yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat

cbxaxy ++= 2 .

2. Nilai puncak fungsi cbxaxy ++= 2 adalah nilai puncak

bxaxy += 2 ditambah c yaitu ca

by +−=

4

2

atau a

acb

4

42 −

− .

3. Fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 memotong sumbu-x di

a

acb

a

bx

2

4

2

2

2,1−

±−=

Page 14: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga

Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan 3kxy = . Jika k positif, fungsi

ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x

negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva

fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y =−3x3

y = 2x3

y = 2x3

y =−3x3

y

x

Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx

3.

Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan

pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan

(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh

dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang

tergeser akan menjadi

baxky +−= 3)( (4.10)

dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.

Page 15: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

15

Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.

Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua,

terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang

berbentuk

dcxbxaxy +++= 23 (4.11)

Karena 3kxy = naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan

ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di

sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].

Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan 31 axy = dan b =19, c = −80, d

= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi dcxbxy ++= 22 seperti

terlihat pada Gb.4.11.a.

-600

-400

-200

0

200

400

600

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x3

y = 10(x−2)3

y = 10(x−2)3 + 100

y

Page 16: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2.

Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai

negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1

ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan

berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.

Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.

Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan

kurva y3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa

persamaan pangkat tiga 023 =+++ dcxbxax (dengan nilai koefisien

yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh

perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.

-2000

0

2000

-10

0 10

y

x

y1=

4x3 2008019 2

2 −−= xxy

-2000

0

2000

-10 0 10x

y

y1

y2

20080194 23

213

−−+=

+=

xxx

yyy

(a)

(b)

Page 17: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

17

Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,

penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini

menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.

Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini

fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang

terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif.

Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan

yang ke-tiga ini.

(a) a kurang positif

(b) a terlalu positif

Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2.

Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat

tajam. Pengurangan y2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+y2

Page 18: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

18 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak

memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di

sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita

bahas di sub-bab sebelumnya.

Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif

akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai

negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah

di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak

terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat

pada Gb.4.13.a.

(a)

(b)

Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.

Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi

perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a

-2000

0

-10 0

y3 = y1 + y2

y1

y2

15

-2000

0

2000

-10 0 15

y3 = y1 + y2

y1

y2

Page 19: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

19

makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva

berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada

Gb.4.13.b.

CATATA': Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga

dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien

a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi

kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.

4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞

sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom

kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita

mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan

polinom, 21 yyy ×= .

Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua 2kxy ==== simetris

terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah

fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang

berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap

untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi

cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.

Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga 3kxy ====

simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan

penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku

pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri

ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],

seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.

Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom

berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu

simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi

mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan

untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.

Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga

merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga

simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier

dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi

mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan

Page 20: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva

fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri

yang sejajar dengan sumbu-y.

Soal-Soal

1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan

sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

84 ; 123

; 75 ; 4

24

23

22

21

+−=−=

−==

xyxy

xyxy

2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan

antara kurva-kurva fungsi berikut ini

433221 dan ; dan ; dan yyyyyy

3. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan

sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

xxyxxyxxy 24 ; 123 ; 105 23

22

21 +−=−=−=

4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan

kurva-kurva fungsi berikut.

313221 dan ; dan ; dan yyyyyy

5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan

sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.

824 ; 2123 ; 7105 23

22

21 ++−=+−=−−= xxyxxyxxy

6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan

kurva-kurva fungsi berikut.

313221 dan ; dan ; dan yyyyyy

Page 21: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

21

BAB 5

Bangun Geometris

5.1. Persamaan Kurva

Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai

0),( =yxF (5.1)

Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi

persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi

persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak

pada kurva.

Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di

antaranya telah kita pelajari di bab pertama.

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka

kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva

funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,

kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

�ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata

dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan

terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang

berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.

Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak

memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini

telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan

pembahasan.

Contoh: 122 =+ xy . Jika kita cari nilai y kita dapatkan

21 xy −±=

Page 22: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

22 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di

bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita

membatasi x hanya pada rentang 11 ≤≤− x . Karena kurva ini

simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas

pada rentang 11 ≤≤− y .

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan

sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan

koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x

= 0.

Contoh: 122 =+ xy . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0]

dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan

S[0,−1].

Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan

mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak

akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak

memotong sumbu-x maupun sumbu-y.

Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva

menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis

tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan

asimptot dari kurva.

Contoh: 10)(222 +=− xxxy .

Persamaan ini memberikan )1(

102

+±=

xx

xy

Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini

berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu

agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif.

Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada

antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah

asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.

Page 23: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

23

Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).

Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai

x

x

xx

xy

/11

/10110 2

2

22

+=

+=

Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y

= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.

Soal-Soal:

Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu

koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:

xxy

1+= ; 12 += xy ;

1

1

2 +=

xy ;

12 −= xy ; 1

1

2 −=

xy .

5.2. Jarak Antara Dua Titik

Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

jarak antara keduanya adalah

22 )()(PQ qpqp yyxx −+−= (5.2)

Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat

kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan

melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.

-4

0

4

-4 0 4

y

Page 24: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

24 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Soal-Soal:

1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik

yang berjarak sama terhadap P dan Q.

2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan

persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang

sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.

5.3. Parabola

Kita telah melihat bentuk kurva

2kxy = (5.3)

yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.

Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak

antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak

di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,

seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,

dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak

parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.

Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.

Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.

xppyyxpyxp 2222222 2 )()PR(PQ ++−=+−=+−=

py )(PR +=

[0,0]

y

x

y=kx2

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,−p]

Page 25: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

25

Karena PQ = PR, maka

pyxppyy +=++− 222 2

22222 22 ppyyxppyy ++=++−

pyx 42 +=+

atau

p

xy

4

2

= yang berarti p

k4

1= atau

kp

4

1=

Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan

2

4

1x

py = (5.4)

dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].

Contoh: Persamaan parabola 25,0 xy = dapat kita tuliskan

22

5,04

1

2

1xxy

×==

dan parabola ini memiliki direktrik 5,0−=−= py dan

titik fokus di Q[0,(0,5)].

Soal-Soal:

Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:

842 =+ xy ; 482 =− yx ;

03422 =−−+ yxx ; 02 =++ yxy

5.4. Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.

Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y]

ke titik-asal adalah

22XO yx +=

Page 26: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

26 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka

ryx =+ 22

Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah

222 ryx =+ (5.5)

dengan r adalah jari-jari lingkaran.

Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat

melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di

P[a,b] mempunyai persamaan

222 )()( rbyax =−+− (5.6)

Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut

lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan 122 =+ yx .

Gb.5.3. Lingkaran

Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2

= 0,4 berpusat di

[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5

skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan

4,0)5,0()5,0( 22 =−+− yx

-1

0,5

1

-1 [0,0]

0,5

1 x

y

y1

Page 27: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

27

Soal-Soal:

Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu

koordinat lingkaran berikut

1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.

2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.

3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.

4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.

5.5. Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik

tertentu adalah konstan. Kedua

titik tertentu tersebut merupakan

dua titik fokus dari elips.

Perhatikan Gb.5.4. Misalkan

diketahui posisi dua titik P[−a,0]

dan Q(a,0]. Jarak antara titik

sembarang X[x,y] dengan kedua

titik tersebut masing-masing

adalah

Gb.5.4. Elips

22)(XP ycx ++= dan

22)(XQ ycx +−=

Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka

aycxycx 2)()( 2222 =+−+++

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di

kuadratkan, akan kita peroleh

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++

yang dapat disederhanakan menjadi

22)( ycxxa

ca +−=−

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

Page 28: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

28 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan

2222

2

22 22 yccxxx

a

ccxa ++−=+−

yang dapat disederhanakan menjadi

122

2

2

2

=−

+ca

y

a

x

Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir

ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi

selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c,

sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar

nyata; misalkan bca =− 22. Dengan demikian kita mendapatkan

persamaan elips

12

2

2

2

=+b

y

a

x (5.7)

Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong

dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi

panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu

pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita

mendapatkan persamaan lingkaran).

Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa

melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

qy

a

px (5.8)

dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran

sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan

15,0

)25,0(

1

)5,0(

2

22

=−

+− yx

Page 29: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

29

Gb.5.5. Elips tergeser.

Soal-Soal:

Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:

1) 3649 22 =+ xx ;

2) 14494 22 =+ yx ;

3) 14 22 =+ yx ;

4) 144)3(9)2(16 22 =++− yx

5.6. Hiperbola

Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya

antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola

dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di

atas.

Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan

Q(c,0].

Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-

masing adalah

22)(XP ycx ++= dan

22)(XQ ycx +−=

1

-1

0

-1 0 1 2x

y

Page 30: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

30 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].

Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka

aycxycx 2)()( 2222 =+−−++

Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di

kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan

22)()/( ycxaxac +−=−

Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh

122

2

2

2

=−

−ac

y

a

x

Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu

lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua

ruas kiri selalu positif, misalkan 222 bac =− . Dengan demikian kita

dapatkan persamaan

12

2

2

2

=−b

y

a

x (5.9)

Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

Page 31: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

31

Gb.5.7. Kurva hiperbola

Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan

sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak

memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada

bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.

Soal-Soal:

Gambarkan (skets) hiperbola berikut:

1) 1169

22

=−yx

; 2) 1169

22

=−xy

;

3) 1916

22

=−yx

; 4) 1169

22

−=−yx

5.4. Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus

kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan

berderajat dua adalah

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx (5.10)

Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan

pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======

+∞

−∞

X(x,y)

-c -a a c

y

x

Page 32: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

32 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

sehingga diperoleh persamaan (5.4) 2

4

1x

py = .

Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan

;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1

Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari

(5.10), di mana

bFEaDCBA −==−==== ;1 ; ;0

yang memberikan persamaan garis lurus baxy += . Namun dalam

kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi

persamaan berderajat satu.

Bentuk Ax2 dan Cy

2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah

sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun

bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah

kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.

5.5. Perputaran Sumbu Koordinat

Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola

sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini

sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam

bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]

dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong

sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di

P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.

Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]

Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a

aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

Page 33: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

33

Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua

ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh

22 )()( ayaxayx −+−=−+

Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan

22 axy = (5.11)

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva

persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II

dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.

Gb.5.9. Kurva 2xy = a

2.

Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola

sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki

sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran

jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.

Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai

perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.

Gb.5.10. Perputaran sumbu.

-5

0

5

-5 0

x’

y

x α β

y’ P[x,y]

P[x’,y’]

Q

Q’

O

Page 34: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

34 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat

dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau

P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan

)sin(OPPQ

)cos(OPOQ

β+α==

β+α==

y

x (5.12)

Sementara itu

β==

β==

sinOPPQ''

cosOPOQ''

y

x (5.13)

Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6)

βα+βα=β+α

βα−βα=β+α

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos( (5.14)

Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi

α+α=

α−α=

cos'sin'

sin'cos'

yxy

yxx (5.15)

Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.

Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada

Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga

2/1sincos =α=α . Oleh karena itu kita peroleh

2

'' yxx

−= dan

2

'' yxy

+=

Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan

222)'()'(

2

''

2

''2 ayx

yxyx=−=

Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)

sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah

sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o.

Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi

lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar

sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita

pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan

demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana

sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu

koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].

Page 35: Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol. ... pangkat tertinggi dari peubah bebas x. ... [0,0], kurva untuk k negatif

35

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan

dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika

di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,

ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.