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fisica .. trbj

Date post:06-Jul-2018
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  • 8/17/2019 fisica .. trbj

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    Capitulo 5

    «Fuerzas distribuidas:

    centroides y centros de

    gravedad» Mónica Sarahí Raírez !ernal

     "#$%$'(

    ))S$$

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    INTRODUCCIÓN:

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     *a acción de la +ierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por

    un gran n,ero de pe-ue.as /uerzas distribuidas sobre todo el

    cuerpo0 por lo tanto la totalidad de dichas /uerzas pe-ue.as puede

    ser reeplazada por una sola /uerza e-uivalente 12 así podeos

    deterinar el centro de gravedad0 esto es0 el punto de aplicación de

    la resultante 10 para cuerpos de varias /oras3

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     "-uí podeos introducir dos conceptos relacionados con centro de

    gravedad de una placa o de un alabre: el concepto de centroide de

    un 4rea o de una línea y el concepto de prier oento de un 4rea

    o de una línea con respecto a un ee dado

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     ÁREAS Y LÍNEAS:

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    Centro de gravedad de un cuerpo

    bidiensional

     Centro de gravedad de un cuerpo bidiensional

    6ara obtener las coordenadas y de un punto0 donde debe aplicarse la resultante 10 los oentos de 1 con respecto a los y  y x  son iguales

    a la sua de los oentos correspondientes de los pesos

    eleentales0 esto es

      

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     Si se increenta el n,ero de eleentos en los cuales se ha

    dividido la placa y siult4neaente se disinuye el taa.o de cada

    eleento se obtiene

     7stas ecuaciones de/inen el peso 1 y las coordenadas del centro de

    gravedad 8 de una placa plana3

      

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    Centroides de 4reas y líneas3  7n el caso de una placa plana hoog9nea de espesor

    uni/ore0 la agnitud del peso de un eleento de la placa puede epresarse

     ;onde < peso especí/ico =peso por unidad de voluen> del

    aterial

    t< espesor de la placa

     < 4rea del eleento

      

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     Si se increenta el n,ero de eleentos en los cuales se divide el

    4rea " y siult4neaente se disinuye el taa.o de cada

    eleento0 es decir 

     7stas ecuaciones de/inen las coordenadas del centro de gravedad

    de una placa hoog9nea conocido tabi9n coo el centroide C del

    área A

     7n cabio si la placa no es hoog9nea0 estas ecuaciones no se pueden utilizar0 pero estas aun de/inen al centroide del 4rea3

      

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     7n el caso de un alabre hoog9neo de sección transversal uni/ore0

    la agnitud del peso de un eleento de alabre puede epresarse

    coo:

    ;onde < peso especí/ico del aterial

    a < 4rea de la sección transversal del alabre

     < longitud del eleento

      

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     7l centro de gravedad de un alabre coincide con el centroide C de

    la línea L -ue de/ine la /ora del alabre0 es decir

      

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    6rieros oentos de 4reas y líneas

     *a integral se le conoce coo el primer momento del área A

    con respecto al eje y  y se representa con Qy 2 de igual anera de/ine el primer momento de A con respecto al eje x  

    y se representa con Qx, es decir0

    ? bien pueden ser epresadas coo los productos del 4rea

    con las coordenadas de su centroide:

      

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     Se dice -ue un 4rea " es simétrica con respecto a un eje [email protected] si para

    todo punto 6 del 4rea eiste un punto [email protected] de esa isa 4rea tal -ue

    la línea [email protected] sea perpendicular a [email protected] y dicha línea est4 dividida en dos partes iguales por el ee en cuestión3

     7sta propiedad perite deterinar de inediato el centroide de

    4reas coo círculos0 elipses0 cuadrados0 rect4ngulos0 tri4ngulos

    e-uil4teros u otras /iguras si9tricas0 así coo el centroide de líneas

    -ue tienen la /ora de la circun/erencia de un círculo etc3

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     Se dice -ue un 4rea A es simétrica con respecto a un centro O si

    cada eleento de 4rea d" de coordenadas x  y y  eiste un eleento

    de 4rea d"@ de igual super/icie con coordenadas A y Ay0 por lo tanto

    B

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    6lacas y alabres copuestos

     na placa plana puede dividirse en rect4ngulos0 tri4ngulos u

    otras de las /oras counes3 *a abscisa de su centro de gravedad 8 puede deterinarse a partir de las abscisas 0 0

    D0 de los centros de gravedad de las di/erentes partes -ue

    constituyen la placa0 epresando -ue el oento del peso

    de toda la placa con respecto al ee y es igual a la sua de

    los oentos de los pesos de las di/erentes partes con respecto a ese iso ee0 es decir0

      

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     Si la placa es hoog9nea y de espesor uni/ore0 el centro de

    gravedad coincide con el centroide C de su 4rea3 *a abscisa del

    centroide del 4rea puede deterinarse observando -ue el prier

    oento del 4rea copuesta con respeto al ee y puede epresarse coo el producto de con el 4rea total y coo la sua de

    los prieros oentos de las 4reas eleentales con respecto al ee

    y

    *os prieros oentos de 4reas0 al igual -ue

    los oentos de las /uerzas0 pueden ser

    positivos o negativos

      

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    ;eterinación de centroides por integración

     7l centroide de una 4rea liitada por curvas analíticas

    =ecuaciones algebraicas> y se deterina evaluando las integrales

    Si el eleento de 4rea d" es un pe-ue.o rect4ngulo de lados

    d y dy0 la evaluación de cada una de estas integrales re-uiere

    de una integración doble con respecto a x  y y. tabi9n es necesaria una integración por coordenadas polares para las

    cuales d" es un eleento de lados dr y rdE3

      

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     7n la ayoría de los casos es posible deterinar las coordenadas

    del centroide de un 4rea con una sola integración3 7sto se logra

    seleccionando a d"0 es decir0

     Si el 4rea " no se conoce a,n0 esta tabi9n puede calcularse a

    partir de estos eleentos3 7l 4rea del eleento d" debe epresarse

    en t9rinos de las coordenadas de dicho punto y de los di/erenciales apropiados3

      

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     Cuando una línea est4 de/inida por una ecuación algebraica0 puede

    deterinarse su centroide al evaluar las integrales:

     7l di/erencial de longitud debe reeplazarse por una de las

    siguientes epresiones dependiendo de cu4l coordenada 0y o E se

    seleccione coo la variable independiente0 por lo tanto teneos0

      

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     6or lo tanto se tiene

    ;onde es la distancia recorrida por el centroide de *  +7?R7M" )): 7l voluen de un cuerpo de revolución es igual al 4rea

    generatriz ultiplicada por la distancia recorrida por el centroide del

    4rea al oento de generar el cuerpo

      

  • 8/17/2019 fisica .. trbj

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     6or lo tanto se tiene

    ;onde es la distancia recorrida por el centroide de "3

     *os teoreas de 6appus 8uldinus proporcionan una /ora sencilla

    de calcular las 4reas y las super/icies de revolución o vol,enes de

    cuerpos en revolución3

      

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    Cargas distribuidas en vigas

     na viga -ue soporta una carga distribuida2 puede estar

    constituida por el peso de los ateriales soportados directa e indirectaente por la vida o puede ser ocasionada por el

    viento o por una presión hidrost4tica3 *a carga distribuida

    puede representarse la carga 1 soportada por unidad de

    longitud3 *a agnitud de la /uerza eercida sobre un

    eleento de viga de longitud d es la carga total soporta es0

      

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     *a carga 1 es igual en agnitud al 4rea total " bao la curva de

    carga:

     7l punto de aplicación 6 de la carga concentrada e-uivalente 1 se

    obtiene epresando -ue el oento de 1 con respecto a un punto

    ? es igual a la sua de los 

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