Estadistica para ingenieros y cientificos.pdf

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0 z

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7704 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .99983.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .99983.6 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999

TABLA A.2 Distribucin normal acumulativa (continuacin)

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Estadsticapara ingenieros

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Estadsticapara ingenieros

William NavidiColorado School of Mines

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOAMADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LOUIS SIDNEY TORONTO

TraduccinAna Elizabeth Garca Hernndez

Profesora de EstadsticaUniversidad Iberoamericana, Ciudad de Mxico

Revisin tcnicaNicols Gmez Castillo

Profesor de Matemticas Aplicadas(Probabilidad y Estadstica, Series de tiempo)

Universidad Iberoamericana, Ciudad de Mxico

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo Eduardo Roig VzquezEditora de desarrollo: Paula Montao GonzlezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

ESTADSTICA PARA INGENIEROS

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2006 respecto a la primera edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro Obregn C. P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN 970-10-5629-9

Traducido de la primera edicin de: STATISTICS FOR ENGINEERS AND SCIENTISTSCopyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.ISBN 0-07-255160-7

1234567890 09875432106

Impreso en Mxico Printed in Mexico

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Para Catherine, Sarah y Thomas

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ACERCA DEL AUTOR

William Navidi es profesor de Matemticas y Ciencias de la Computacin en la Escuela deMinas de Colorado. Obtuvo la licenciatura en Matemticas por el New College, la maestraen Matemticas por la Universidad Estatal de Michigan y el doctorado en Estadstica por laUniversidad de California, en Berkeley. El profesor Navidi ha escrito ms de 50 artculos deinvestigacin, tanto en teora estadstica como en una vasta gama de aplicaciones, entre stasse incluyen Redes Computacionales, Epidemiologa, Biologa Molecular, Ingeniera Qumicay Geofsica.

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Prefacio xvReconocimientos a revisores y colaboradores xixCaractersticas clave xxiii

1 Muestreo y estadstica descriptiva 1

2 Probabilidad 50

3 Propagacin de errores 157

4 Distribuciones comnmente usadas 192

5 Intervalos de confianza 300

6 Pruebas de hiptesis 368

7 Correlacin y regresin lineal simple 475

8 Regresin mltiple 556

9 Experimentos factoriales 623

10 Control estadstico de calidad 723

Apndice A: Tablas 763

Apndice B: Derivadas parciales 787

Apndice C: Bibliografa 789

Respuestas a los ejercicios impares 792ndice 859

CONTENIDO BREVE

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Prefacio xv Reconocimientos a revisores y colaboradores xixCaractersticas clave xxiii

Captulo 1Muestreo y estadstica descriptiva 1

Introduccin 11.1 Muestreo 31.2 Resumen estadstico 131.3 Resmenes grficos 25

Captulo 2Probabilidad 50

Introduccin 502.1 Ideas bsicas 502.2 Mtodos de conteo (opcional) 622.3 Probabilidad condicional

e independencia 692.4 Variables aleatorias 882.5 Funciones lineales de variables

aleatorias 1112.6 Variables aleatorias con distribucin

conjunta (opcional) 120Captulo 3Propagacin de errores 157

Introduccin 1573.1 Error de medicin 1573.2 Combinaciones lineales

de las mediciones 1633.3 Incertidumbres para funciones

de una medicin 173

3.4 Incertidumbres para funciones de varias mediciones 179

Captulo 4Distribuciones comnmente usadas 192

Introduccin 1924.1 Distribucin de Bernoulli 1924.2 La distribucin binomial 1954.3 La distribucin de Poisson 2064.4 Algunas otras distribuciones

discretas 2204.5 Distribucin normal 2314.6 Distribucin lognormal 2444.7 La distribucin exponencial 2504.8 Las distribuciones gamma

y de Weibull 2594.9 Grficas de probabilidad 2654.10 El teorema del lmite central 2704.11 Simulacin 281

Captulo 5Intervalos de confianza 300

Introduccin 3005.1 Intervalos de confianza para la

media poblacional con muestras grandes 301

5.2 Intervalos de confianza para proporciones 315

5.3 Intervalos de confianza para la media poblacional con muestras pequeas 321

5.4 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias 331

CONTENIDO

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xii Contenido

5.5 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones 335

5.6 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con pequeas muestras 339

5.7 Intervalos de confianza con datos apareados 346

5.8 Uso de simulacin para construir intervalos de confianza 351

Captulo 6 Pruebas de hiptesis 368

Introduccin 3686.1 Pruebas de hiptesis para la

media poblacional con muestras grandes 368

6.2 Concluir a partir de las pruebas de hiptesis 377

6.3 Pruebas de hiptesis para la proporcin poblacional 385

6.4 Pruebas de hiptesis para la media poblacional con muestras pequeas 390

6.5 Pruebas de hiptesis para la diferencia entre dos medias con muestras grandes 395

6.6 Pruebas de hiptesis para la diferencia entre dos proporciones 401

6.7 Pruebas de hiptesis para la diferencia entre dos medias con muestras pequeas 407

6.8 Pruebas de hiptesis con datos apareados 415

6.9 Pruebas de hiptesis con distribuciones libres 420

6.10 La prueba Ji cuadrada 4296.11 La prueba F para la igualdad

de varianzas 4396.12 Prueba de nivel fijo 443

6.13 Potencia 4496.14 Pruebas mltiples 4586.15 Uso de la simulacin para realizar

pruebas de hiptesis 462

Captulo 7Correlacin y regresin lineal simple 475

Introduccin 4757.1 Correlacin 4757.2 La recta de mnimos cuadrados 4927.3 Incertidumbres en los coeficientes

de mnimos cuadrados 5087.4 Comprobacin de supuestos y

transformacin de datos 527

Captulo 8Regresin mltiple 556

Introduccin 556 8.1 El modelo de regresin mltiple 5568.2 Confusin y colinealidad 5748.3 Seleccin de modelos 583

Captulo 9Experimentos factoriales 623

Introduccin 6239.1 Experimentos de un solo factor 6239.2 Comparaciones apareadas en los

experimentos de un solo factor 6469.3 Experimentos de dos factores 6599.4 Diseos de bloque completamente

aleatorios 6839.5 Experimentos factoriales 2p 693

Captulo 10Control estadstico de calidad 723

Introduccin 72310.1 Ideas bsicas 723

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Contenido xiii

10.2 Diagramas de control para variables 72610.3 Diagramas de control para atributos 74610.4 El diagrama CUSUM 75110.5 Capacidad del proceso 755

Apndice A: Tablas 763

Apndice B: Derivadas parciales 787

Apndice C: Bibliografa 789Respuestas a los ejercicios impares 792ndice 859

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MOTIVACINLa idea de realizar este libro surgi de plticas entre los profesores de estadstica e ingenierade la Escuela de Minas de Colorado respecto de nuestro curso de Introduccin a la estads-tica para ingenieros. Nuestros profesores de ingeniera pensaban que los estudiantes necesi-taban cubrir ampliamente el tema de propagacin del error, as como un mayor nfasis en lashabilidades en el ajuste de modelos. Los profesores de estadstica crean que los estudiantesnecesitaban estar ms conscientes de algunos puntos importantes en la prctica de la estads-tica, como la comprobacin de los supuestos del modelo y del uso de la simulacin.

Mi punto de vista es que un libro introductorio a la estadstica para ingenieros y cient-ficos debe ofrecer todos estos temas con cierta profundidad. Adems, debe ser lo suficiente-mente flexible para permitir diferentes elecciones del material que debe cubrirse, ya que haymuchas formas para disear un curso exitoso de introduccin a la estadstica. Finalmente, s-te debe proporcionar ejemplos que presenten ideas importantes en contextos reales. De acuer-do con lo anterior, el libro tiene las siguientes caractersticas:

El libro es flexible en su presentacin de probabilidad, ello permite a los profesores ele-gir la profundidad y extensin de la cobertura de este tema.

El libro contiene muchos ejemplos en contexto real y con conjuntos de datos actuales; loanterior motiva a los estudiantes y muestra la interrelacin entre la industria y la investi-gacin cientfica.

El libro contiene muchos ejemplos con resultados obtenidos mediante computadora yejercicios adecuados para resolverse con algn software estadstico.

El libro proporciona una extensa cobertura de la propagacin del error. El libro presenta una esplndida introduccin a los mtodos de simulacin y a la estima-

cin bootstrap, incluyendo aplicaciones para comprobar supuestos de normalidad, clcu-lo de probabilidades, estimacin del sesgo, clculo de intervalos de confianza y pruebasde hiptesis.

El libro proporciona una mayor cobertura en los procedimientos de diagnstico del mo-delo lineal que la que se encuentra en la mayora de los textos introductorios. sta inclu-ye material acerca del diagnstico de la grfica de los residuales, transformacin devariables y principios de seleccin de variables en los modelos multivariados.

El libro cubre los temas introductorios usuales, tales como estadstica descriptiva, proba-bilidad, intervalos de confianza, pruebas de hiptesis, regresin lineal, experimentos fac-toriales y control estadstico de calidad.

NIVEL MATEMTICOLa mayor parte del libro ser matemticamente accesible a todas las personas que hayan estu-diado un semestre de clculo. Las excepciones son la propagacin multivariada del error, que

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requiere derivadas parciales y las distribuciones de probabilidad conjunta, que requieren de in-tegracin mltiple. Estos temas se los puede saltar en una primera lectura, si as lo desea.

USO DE LA COMPUTADORAEn los ltimos 20 aos el desarrollo de computadoras rpidas y baratas ha revolucionado laprctica de la estadstica; efectivamente, sta es una de las razones principales del porqu losmtodos estadsticos han estado penetrando cada vez ms en el trabajo cientfico. Los cient-ficos y los ingenieros actuales no slo deben ser expertos en el manejo de paquetes de soft-ware, sino que tambin deben contar con la habilidad para concluir a partir de los resultadoscomputacionales y expresar estas conclusiones en palabras. De acuerdo con esto, el libro con-tiene ejercicios y ejemplos que requieren la interpretacin, as como la generacin de resulta-dos por computadora, especialmente en los captulos de modelos lineales y experimentosfactoriales.

La disponibilidad actual de computadoras y de paquetes computacionales estadsticostambin ha producido un importante beneficio en la educacin, al hacer accesibles los mto-dos de simulacin a los estudiantes de los cursos de introduccin. La simulacin hace que losprincipios fundamentales de la estadstica revivan. El material de simulacin que aqu se pre-senta est diseado para reforzar algunas ideas estadsticas bsicas e introducir a los estudian-tes en algunos de los usos de esta poderosa herramienta.

CONTENIDOEl captulo 1 cubre el muestreo y la estadstica descriptiva. La razn por la que los mtodosestadsticos funcionan es que las muestras, cuando se toman en forma adecuada, semejan a lapoblacin. Por consiguiente, el captulo 1 empieza con la descripcin de algunas formas detomar muestras vlidas. En la segunda parte del captulo se analiza la estadstica descriptiva.

El captulo 2 trata la probabilidad. Existe una gran discrepancia en las preferencias delos profesores acerca de qu tanto y tan profundamente se debe cubrir este tema. Por lo tan-to, se ha tratado de hacer este captulo lo ms flexible posible. Los resultados principales sededucen de axiomas, demostrando la mayora de ellos. Esto ltimo permitir a los profesoresestablecer un enfoque matemtico riguroso. Por otra parte, he intentado mostrar cada resulta-do con uno o dos ejemplos, en donde sea posible un contexto cientfico que est diseado pa-ra presentar la intuicin que se encuentra detrs del resultado. Por tanto, los profesores queprefieran un enfoque ms informal se pueden dedicar a los ejemplos ms que a las demostra-ciones.

En el captulo 3 se presenta el tema de la propagacin del error, que algunas veces sellama anlisis del error o, por los estadsticos, el mtodo delta. La cobertura es ms am-plia que en la mayora de los textos, pero el tema es tan importante que pens que era til. Lapresentacin est diseada para permitir que los profesores ajusten la cantidad de temas quedebe cubrir de acuerdo con las necesidades del curso.

En el captulo 4 se presentan muchas de las funciones de distribucin de probabilidadcomnmente usadas en la prctica. Tambin se tratan las grficas de probabilidad y el teore-ma del lmite central. En la ltima seccin se presentan los mtodos de simulacin para eva-luar los supuestos de normalidad, clculo de probabilidades y estimacin de sesgo.

Los captulos 5 y 6 tratan los intervalos de confianza y las pruebas de hiptesis, respec-tivamente. Se hace nfasis en el enfoque del P-valor para las pruebas de hiptesis, pero tam-

xvi Prefacio

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bin se presentan pruebas de nivel-fijo y el clculo de la potencia. El problema de pruebasmltiples se trata con cierta profundidad. Tambin se presentan mtodos de simulacin paracalcular intervalos de confianza y realizar pruebas de hiptesis.

En el captulo 7 se trata la correlacin y la regresin lineal simple. He trabajado ardua-mente para enfatizar que los modelos lineales slo son apropiados cuando la relacin entre lasvariables es lineal. Este punto es muy importante ya que con frecuencia ingenieros y cientfi-cos lo ignoran (sin mencionar a los estadsticos). No es difcil encontrar en la bibliografacientfica ajustes lineales y coeficientes de correlacin resumidos en grficas que presentanuna curvatura evidente o en las cuales la pendiente de la recta se ve afectada mediante algu-nos puntos influyentes. Por tanto, en este captulo se incluye una larga seccin para compro-bar los supuestos del modelo y la transformacin de variables.

En el captulo 8 se trata el tema de la regresin mltiple. Se hace un nfasis especial enlos mtodos de seleccin de modelo, ya que la seleccin de variables que se incluirn en elmodelo constituye un paso esencial en muchos anlisis de la vida real. Tambin el tema de laconfusin se trata cuidadosamente.

En el captulo 9 se analizan algunos diseos experimentales y los mtodos que comn-mente se aplican para analizar sus datos. Los mtodos de anlisis de varianza en uno y dossentidos junto con el diseo de bloques completamente aleatorios y los diseos factoriales 2pse tratan con amplitud.

En el captulo 10 se presenta el tema del control de calidad estadstico, se analizan losdiagramas CUSUM, la capacidad del proceso y se concluye con una breve descripcin de lacalidad con six-sigma.

MATERIAL RECOMENDADOEl libro contiene suficiente material para un curso de un ao. Si se requiriera un curso de unsemestre, hay varias opciones. En nuestro curso de tres horas en la Escuela de Minas de Co-lorado cubrimos el total de los primeros cuatro captulos, excepto las distribuciones conjun-tas, la exponencial, la gamma y de Weibull. Despus se cubren los temas de intervalos deconfianza y las pruebas de hiptesis en los captulos 5 y 6, tocando rpidamente los mtodosde dos muestras y los clculos de potencia y se omiten los mtodos de distribucin libre y laspruebas de Ji cuadrada y F. Terminamos cubriendo todo el material posible, que el tiempo res-tante permita, sobre correlacin y regresin lineal simple del captulo 7.

Se puede planear un curso con un sentido diferente que incluya ms material de proba-bilidad, invirtiendo ms tiempo en los mtodos de dos muestras y de potencia y reduciendola cobertura de la propagacin del error, simulacin o regresin. Hay muchas otras opciones;por ejemplo, se puede elegir incluir material de experimentos factoriales en lugar de algunosde los temas anteriores. En el manual del profesor que est disponible en el centro de apren-dizaje en lnea (Online Learning Center) en www.mhhe.com/navidi se puede encontrar unavariedad de enfoques y duracin de cursos.

AGRADECIMIENTOSEstoy en deuda con muchas de las personas que contribuyeron en cada etapa del desarrollo.Mis colegas de la divisin de ingeniera en la Escuela de Minas de Colorado fueron pacien-tes y generosos al ayudarme a evaluar los caminos en los que las ideas estadsticas interac-tan con la prctica de la ingeniera; Terry Parker merece mencin especial por esto. Otros

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xviii Prefacio

colegas, que impartieron clases y estudiantes que estudiaron en borradores del manuscrito en-contraron muchos errores y me hicieron sugerencias muy valiosas. En particular, BarbaraMoskal y Gus Greivel ensearon varias veces con el manuscrito en evolucin, lo que fue deayuda y apoyo durante todo el tiempo; asimismo, Melissa Laeser encontr muchos conjuntosde datos interesantes en fuentes publicadas. Mike Colagrosso, de la Escuela de Minas de Co-lorado, desarroll algunos applets excelentes, as como Chris Boisclair y el equipo en siste-mas de enlace. Jessica Kohlschmidt, de la Universidad Estatal de Ohio, desarroll diapositivasen PowerPoint para complementar el texto y Jackie Miller, tambin de la Universidad Estatalde Ohio, encontr muchos errores en todo el manuscrito e hizo valiosas sugerencias para me-jorarlo.

El personal de McGraw-Hill fue muy capaz y de gran apoyo. La gerente del proyecto,Peggy Selle, siempre fue paciente y cooperadora. La correctora del manuscrito, Lucy Mullins,tambin merece mi agradecimiento. La orientacin de los editores de desarrollo, Maja Lorko-vich, Kate Scheinman, Lisa Kalner-Williams y Debra Matteson, mejoraron considerablemen-te el producto final. Aprecio profundamente la paciencia y la fe de mi editora-patrocinadora,Suzanne Jeans, y de la editora, Betsy Jones, quienes finalmente lograron que se realizara es-te proyecto.

William Navidi

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Este texto refleja las contribuciones generosas de ms de un centenar de profesores de esta-dstica y de sus estudiantes, quienes, a travs de numerosas evaluaciones, encuestas y prue-bas en clase, nos ayudaron a comprender cmo cubrir sus necesidades y cmo mejorar cuandono lo logrbamos. Las ideas de estos profesores y sus estudiantes estn inmersas en todo ellibro, desde su contenido y organizacin hasta sus complementos.

El autor y el equipo del rea de ingeniera de McGraw-Hill estamos agradecidos conaqullos por sus atentos comentarios y contribuciones durante el desarrollo del texto, de suscomplementos y de los recursos multimedia.

RECONOCIMIENTOS A REVISORES Y COLABORADORES

Sabri Abou-WardUniversity of Toronto, CanadaJeff ArthurOregon State UniversityGeorgiana BakerUniversity of South CarolinaBarb BarnetUniversity of Wisconsin, PlattevilleSamantha BatesVirginia Polytechnic InstituteBeno BenhabibUniversity of Toronto, CanadaL. BernaardsUniversity of California, Los AngelesMary Besterfield-SaoreUniversity of PittsburghJ. D. BhattacharyyaIowa State UniversityAmy BiesterfeldUniversity of Colorado, BoulderRick BilonickCarnegie Mellon University

Peter BloomfieldNorth Carolina State UniversitySaul BlumenthalOhio State UniversityRobert J. BoikMontana State UniversityTamara BowcuttCalifornia State University at ChicoDonald BoydMontana State UniversityRaymond BrownDrexel UniversityRonald B. BucinellUnion CollegeKaren M. BursicUniversity of PittsburghJohn ButlerCalifornia Polytechnic State University,San Luis ObispoM. Jaya ChandraPennsylvania State UniversityHuann-Shen ChenMichigan Technological University

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xx Reconocimientos a revisores y colaboradores

Nicolas ChristouUniversity of California, Los AngelesDave ClarkKettering UniversityPeyton CookUniversity of TulsaWilliam CooperUniversity of MinnesotaCasey CreminsUniversity of MarylandDan DalthorpCornell UniversityValentin DeaconuUniversity of Nevada, RenoDarinka DentchevaStevens Institute of TechnologyArt DiazSan Jose State UniversityDon EdwardsUniversity of Toronto, CanadaJudith EkstrandSan Francisco State UniversityTimothy C. ElstonNorth Carolina State UniversityRandy EubankTexas A&M UniversityThomas Z. FahidyUniversity of Waterloo, CanadaNasser FardNortheastern UniversitySteve FromUniversity of Nebraska at OmahaGary GadburyUniversity of Missouri, RollaPierre GharghouriRyerson University, CanadaSampson GholstonUniversity of AlabamaRobert GilbertThe University of Texas at Austin

Dave GoldsmanGeorgia Institute of TechnologyPierre GoovaertsUniversity of MichiganCanan Bilen GreenNorth Dakota State UniversityTrevor HaleOhio UniversityJim HandleyMontana Tech of the University of MontanaJames HigginsKansas State UniversityDavid HoeppenerUniversity of UtahCarol OConnor HollomanUniversity of LouisvilleJoseph HorowitzUniversity of Massachusetts, AmherstWei-Min HuangLehigh UniversityNorma HubeleArizona State UniversityFloyd HummelPennsylvania State UniversityWafik IskanderWest Virginia UniversityRoger JohnsonSouth Dakota School of Mines and TechnologyScott JordanArkansas Tech UniversityKailash KapurUniversity of WashingtonDavid KenderWright State UniversityKim Wee KongMultimedia University, MalaysiaRavindra KhattreeOakland University

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Reconocimientos a revisores y colaboradores xxi

Vadim KhaymsStanford UniversityClaire KomivesSan Jose State UniversityThomas KoonBinghamton UniversityMilo KoretskyOregon State UniversityRoger KorusUniversity of IdahoTomasz KozubowskiUniversity of Nevada, RenoGary KretchikUniversity of Alaska, AnchorageHillel KuminUniversity of OklahomaSamuel LabiPurdue UniversityRobert LacherSouth Dakota State UniversityJohn LawsonBrigham Young UniversityStephen LeeUniversity of IdahoMarvin LentnerVirgina Polytechnic InstituteLiza LevinaUniversity of MichiganQuingchong John LiuOakland UniversityGraham LordPrinceton UniversityArthur LubinIllinois Institute of TechnologyZhen LuoPennsylvania State UniversityJames LynchUniversity of South CarolinaPeter MacDonaldMcMaster University, Canada

James ManevalBucknell University Munir MahmoodRochester Institute of TechnologyGlen MarotzUniversity of KansasTimothy MatisNew Mexico State UniversityLaura McSweeneyFairfield UniversityMegan MeeceUniversity of FloridaVivien MillerMississippi State UniversityBradley MingelsUniversity of Massachusetts, LowellSatya MishraUniversity of South AlabamaN. N. MurulidharNational Institute of Technology, IndiaSteve Ng Hoi-KowHong Kong Institute of Vocational Education, Hong KongZulkifli Mohd NopiahUniversiti Kebangsaan Malaysia, MalaysiaBob ODonnellOregon State UniversityNancy OlmsteadMilwaukee School of EngineeringK. P. PatilVeermeeta Jijabai Technological Institute, IndiaArunkumar PennathurUniversity of Texas at El PasoJoseph PetrucelliWorcester Polytechnic UniversityElizabeth PodlahaLouisiana State UniversityMichael PoreThe University of Texas at Austin

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xxii Reconocimientos a revisores y colaboradores

Jeffrey ProehlDartmouth CollegeJorge ProzziThe University of Texas at AustinD. RamachandranCalifornia State University at SacramentoAmelia ReganUniversity of California, IrvineLarry RingerTexas A&M UniversityIris V. RiveroTexas Tech UniversityTimothy RobinsonUniversity of WyomingDerrick RollinsIowa State UniversityAndrew RossLehigh UniversityManual RossettiUniversity of ArkansasV. A. SamaranayakeUniversity of Missouri, RollaDoug SchmuckerValaparaiso UniversityDavid SchradyNaval Postgraduate SchoolNeil SchwertmanCalifornia State University, ChicoNong ShangRensselaer Polytechnic InstituteGalit ShmueliCarnegie Mellon UniversityRuey-Lin SheuNational Cheng Kung University, TaiwanTony SmithUniversity of Pennsylvania

Jery StedingerCornell UniversityFrank E. StrattonSan Diego State UniversityJohn TingUniversity of Massachusetts, LowellGilberto UrrozUtah State UniversityMargot VigeantBucknell UniversityJoseph G. VoelkelRochester Institute of TechnologyNatascha VukasinovicUtah State UniversityAmy WaglerOklahoma State UniversityTse-Wei WangUniversity of Tennessee, KnoxvilleBill WardeOklahoma State UniversitySimon WashingtonUniversity of ArizonaDaniel WeinerBoston UniversityAlison WeirUniversity of Toronto at Mississauga, CanadaBruce WestermoSan Diego State UniversityGrant WillsonThe University of Texas at AustinJae YoonOld Dominion UniversityAli ZargarSan Jose State University

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Resumen del contenidoEste libro permite cubrir el material de una formaflexible ya que hay muchas maneras de disear uncurso exitoso de introduccin a la estadstica.

Cobertura flexible de probabilidaddirigida a las diferentes necesidades de los cur-sos. Permite el enfoque matemtico riguroso,los principales resultados son deducidos deaxiomas al proporcionar demostraciones en lamayora de ellos. Por otra parte, cada resultadose muestra con uno o dos ejemplos para moti-var intuitivamente la comprensin. Los profeso-res que prefieran un enfoque ms informalpueden, por tanto, dedicarse a los ejemplos enlugar de las demostraciones y omitir las seccio-nes opcionales.

Cobertura extensa de propagacin del error, algunas veces se llama anlisis de errores oel mtodo delta, se trata en un captulo ex-clusivo del tema. La cobertura es ms minuciosaque en la mayora de los textos. El formato esflexible con el propsito de que la cantidad delmaterial se adapte a las necesidades del curso.

Una slida introduccin a los mtodos de simulacin y a la estimacin bootstrapse presenta en las secciones finales de los captulos 4, 5 y 6.

Cobertura extensa de los procedimientos de diagnstico del modelo lineal en el captulo 7, se incluye una gran seccin dela comprobacin de supuestos del modelo y dela transformacin de variables. El captulo enfa-tiza que los modelos lineales slo son apropia-dos cuando la relacin entre las variables es li-neal. Este punto es el ms importante, ya quecon frecuencia se ignora en la prctica de inge-nieros y cientficos (sin mencionar a los estads-ticos).

Caractersticas clave

Captulo 1Muestreo y estadstica descriptiva 1Captulo 2Probabilidad 502.1 Ideas bsicas 502.2 Mtodos de conteo (opcional) 622.3 Probabilidad condicional e independencia 692.4 Variables aleatorias 882.5 Funciones lineales de variables aleatorias 1112.6 Variables aleatorias con distribucin conjunta (opcional) 120Captulo 3Propagacin de errores 1573.1 Error de medicin 1573.2 Combinaciones lineales de las mediciones 1633.3 Incertidumbres para funciones de una medicin 1733.4 Incertidumbres para funciones de varias mediciones 179Captulo 4Distribuciones comnmente usadas 1924.11 Simulacin 281

Uso de la simulacin para calcular una probabilidad Clculo de medias y varianzas Usos de la simulacin en anlisis de confiabilidad Uso de la simulacin para calcular sesgamiento La estimacin autosuficiente

Captulo 5Intervalos de confianza 3005.8 Uso de simulacin para construir intervalos de confianza 351

Intervalos de confianza usando estimacin bootstrap Uso de simulacin para evaluar intervalos de confianza

Captulo 6 Pruebas de hiptesis 3686.15 Uso de la simulacin para realizar pruebas de hiptesis 462

Pruebas de hiptesis con intervalos de confianza de estimacin bootstrap Pruebas aleatorias Uso de simulacin para calcular la potencia

Captulo 7Correlacin y regresin lineal simple 4757.4 Comprobacin de supuestos y transformacin de datos 527

La grfica de los residuos contra valores ajustados Transformacin de variables Determinacin de la transformacin que se aplicar Las transformaciones no siempre funcionan Las grficas de los residuales con slo pocos puntos pueden ser difciles de interpretar Puntos atpicos e influyentes Otros mtodos para transformar variables Pruebas de independencia y normalidad Modelos empricos y leyes fsicas

Captulo 8Regresin mltiple 556Captulo 9Experimentos factoriales 623Captulo 10Control estadstico de calidad 723

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El artculo Virgin Versus Recycled Wafers for Furnace Qualification: Is the ExpenseJustified? (V. Czitrom y J. Reece, en Statistical Case Studies for Industrial Process Impro-vement, ASA y SIAM, 1997:87-104) describe un proceso para el crecimiento de una capa del-gada de dixido de silicio sobre placas de silicio que se usan en la fabricacin de semicon-ductores. La tabla 1.6 presenta las mediciones del espesor, en angstroms (), de la capa dexido para 24 placas. Se hicieron nueve mediciones en cada placa. Las placas se fabricaronen dos corridas distintas, con 12 placas por cada corrida.

TABLA 1.6 Espesor de las capas de xido de silicio en placas de silicio

Las 12 placas en cada corrida eran de varios tipos y se procesaron en diferentes posi-ciones en el horno. El propsito en la recopilacin de datos fue determinar si el espesor de lacapa de xido se afectaba ya sea por el tipo de placa o por la posicin en el horno. Por tanto,ste fue un experimento factorial, con los factores, tipo de placa y posicin en el horno y co-mo resultado el espesor de la capa de xido. El experimento se dise de tal manera que nose supuso ninguna diferencia sistemtica entre las capas de una corrida a otra. El primer pa-so en el anlisis fue construir un diagrama de caja para los datos de cada corrida con el pro-psito de ayudar a determinar si esta condicin se satisfaca realmente y si ninguna de lasobservaciones se deba eliminar. Los resultados se presentan en la figura 1.17.

Placa Espesor (A)

Corrida 1 1 90.0 92.2 94.9 92.7 91.6 88.2 82.0 98.2 96.02 91.8 94.5 93.9 77.3 92.0 89.9 87.9 92.8 93.33 90.3 91.1 93.3 93.5 87.2 88.1 90.1 91.9 94.54 92.6 90.3 92.8 91.6 92.7 91.7 89.3 95.5 93.65 91.1 89.8 91.5 91.5 90.6 93.1 88.9 92.5 92.46 76.1 90.2 96.8 84.6 93.3 95.7 90.9 100.3 95.27 92.4 91.7 91.6 91.1 88.0 92.4 88.7 92.9 92.68 91.3 90.1 95.4 89.6 90.7 95.8 91.7 97.9 95.79 96.7 93.7 93.9 87.9 90.4 92.0 90.5 95.2 94.3

10 92.0 94.6 93.7 94.0 89.3 90.1 91.3 92.7 94.511 94.1 91.5 95.3 92.8 93.4 92.2 89.4 94.5 95.412 91.7 97.4 95.1 96.7 77.5 91.4 90.5 95.2 93.1

Corrida 2 1 93.0 99.9 93.6 89.0 93.6 90.9 89.8 92.4 93.02 91.4 90.6 92.2 91.9 92.4 87.6 88.9 90.9 92.83 91.9 91.8 92.8 96.4 93.8 86.5 92.7 90.9 92.84 90.6 91.3 94.9 88.3 87.9 92.2 90.7 91.3 93.65 93.1 91.8 94.6 88.9 90.0 97.9 92.1 91.6 98.46 90.8 91.5 91.5 91.5 94.0 91.0 92.1 91.8 94.07 88.0 91.8 90.5 90.4 90.3 91.5 89.4 93.2 93.98 88.3 96.0 92.8 93.7 89.6 89.6 90.2 95.3 93.09 94.2 92.2 95.8 92.5 91.0 91.4 92.8 93.6 91.0

10 101.5 103.1 103.2 103.5 96.1 102.5 102.0 106.7 105.411 92.8 90.8 92.2 91.7 89.0 88.5 87.5 93.8 91.412 92.1 93.4 94.0 94.7 90.8 92.1 91.2 92.3 91.1

Conjuntos de datosdel mundo realCon un enfoque fresco del tema, el autor usa da-tos del mundo real actuales para motivar a losestudiantes mostrando una conexin con la in-dustria y la investigacin.


TABLA SE22 Datos para el ejercicio 22

Con los datos de la tabla SE22 construya un modelo lineal para pronosticar la duracin y a partir de alguna o de todas lasvariables m, d, s1 y s2. Asegrese de considerar las transformaciones de las variables, as como las potencias de y las interac-ciones entre las variables independientes. Describa sus pasos para construir su modelo. Realice una grfica de residuos contravalores ajustados para comprobar que su modelo satisface los supuestos necesarios. Adems, observe que los datos se presen-tan en orden cronolgico, al leer hacia abajo en las columnas. Realice una grfica para determinar si se debe incluir al tiempocomo una variable independiente.

y m d s1 s2 y m d s1 s2 y m d s1 s2

8.82 6.4 30 1 0 4.31 5.3 6 0 0 5.74 5.6 15 0 04.08 5.2 7 0 0 28.27 6.6 31 1 0 5.13 6.9 128 1 0

15.90 6.9 105 1 0 17.94 6.9 33 0 0 3.20 5.1 13 0 06.04 5.8 15 0 0 3.60 5.4 6 0 0 7.29 5.2 19 1 00.15 4.9 16 1 0 7.98 5.3 12 1 0 0.02 6.2 68 1 05.06 6.2 75 1 0 16.23 6.2 13 0 0 7.03 5.4 10 0 00.01 6.6 119 0 1 3.67 6.6 85 1 0 2.17 5.1 45 0 14.13 5.1 10 1 0 6.44 5.2 21 0 0 4.27 5.2 18 1 00.02 5.3 22 0 1 10.45 5.3 11 0 1 2.25 4.8 14 0 12.14 4.5 12 0 1 8.32 5.5 22 1 0 3.10 5.5 15 0 04.41 5.2 17 0 0 5.43 5.2 49 0 1 6.18 5.2 13 0 0

17.19 5.9 9 0 0 4.78 5.5 1 0 0 4.56 5.5 1 0 05.14 5.5 10 1 0 2.82 5.5 20 0 1 0.94 5.0 6 0 10.05 4.9 14 1 0 3.51 5.7 22 0 0 2.85 4.6 21 1 0

20.00 5.8 16 1 0 13.92 5.8 34 1 0 4.21 4.7 20 1 012.04 6.1 31 0 0 3.96 6.1 44 0 0 1.93 5.7 39 1 00.87 5.0 65 1 0 6.91 5.4 16 0 0 1.56 5.0 44 1 00.62 4.8 11 1 0 5.63 5.3 6 1 0 5.03 5.1 2 1 08.10 5.4 12 1 0 0.10 5.2 21 1 0 0.51 4.9 14 1 01.30 5.8 34 1 0 5.10 4.8 16 1 0 13.14 5.6 5 1 0

11.92 5.6 5 0 0 16.52 5.5 15 1 0 8.16 5.5 12 1 03.93 5.7 65 1 0 19.84 5.7 50 1 0 10.04 5.1 28 1 02.00 5.4 27 0 1 1.65 5.4 27 1 0 0.79 5.4 35 0 00.43 5.4 31 0 1 1.75 5.4 30 0 1 0.02 5.4 32 1 0

14.22 6.5 20 0 1 6.37 6.5 90 1 0 0.10 6.5 61 0 10.06 6.5 72 0 1 2.78 4.9 8 0 0 5.43 5.2 9 0 01.48 5.2 27 0 0 2.14 5.2 22 0 0 0.81 4.6 9 0 03.27 5.1 12 0 0 0.92 5.2 29 0 0 0.73 5.2 22 0 06.36 5.2 14 0 0 3.18 4.8 15 0 0 11.18 5.0 8 0 00.18 5.0 19 0 0 1.20 5.0 19 0 0 2.54 4.5 6 0 00.31 4.5 12 0 0 4.37 4.7 5 0 0 1.55 4.7 13 0 11.90 4.7 12 0 0 1.02 5.0 14 0 0 0.01 4.5 17 0 00.29 4.7 5 1 0 0.71 4.8 4 1 0 0.21 4.8 5 0 16.26 6.3 9 1 0 4.27 6.3 9 0 1 0.04 4.5 3 1 03.44 5.4 4 1 0 3.25 5.4 4 0 1 0.01 4.5 1 1 02.32 5.4 5 1 0 0.90 4.7 4 1 0 1.19 4.7 3 1 01.49 5.0 4 1 0 0.37 5.0 4 0 1 2.66 5.4 1 1 02.85 5.4 1 0 1 21.07 6.4 78 0 1 7.47 6.4 104 0 00.01 6.4 86 0 1 0.04 6.4 105 0 1 30.45 6.6 51 1 09.34 6.6 116 0 1 15.30 6.6 82 0 1 12.78 6.6 65 1 0

10.47 6.6 117 0 0

22. El artculo Seismic Hazard in Greece Based on Different Strong Ground Motion Parameters (S. Koutrakis, G. Karakaisis ycols., en Journal of Earthquake Engineering, 2002:75-109) presenta un estudio de episodios ssmicos en Grecia durante 1978-1997. Es de inters la duracin de los fuertes movimientos de tierra, que es el tiempo en que la aceleracin de la tierra exce-de un valor especfico. En cada episodio las mediciones de la duracin de temblores fuertes de tierra se hicieron en una o msubicaciones. La tabla SE22 de la pgina 618 presenta cada uno de 121 temblores medidos, los datos con el tiempo de duraciny (en segundos) durante los cuales la aceleracin de la tierra excedi el doble de la aceleracin de la gravedad. La magnitud mdel sismo, la distancia d (en km) de la medicin desde el epicentro, y los dos indicadores del tipo de suelo s1 y s2, definidos dela siguiente manera: s1 1 si el suelo consta de depsitos aluviales blandos, s1 0 de otra manera, y s2 1 si el suelo cons-ta de rocas terciarias o ms viejas, s2 0 de otra manera. Los casos donde tanto s1 0 como s2 0 corresponden a condicio-nes intermedias del suelo. El artculo presenta mediciones repetidas en algunas ubicaciones que no se incluyen aqu.

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Resultados decomputadoraEl libro contiene ejercicios y ejem-plos que requieren la interpreta-cin y la generacin de resultadospor medio de computadora.


7. En un estudio de la funcin pulmonar de nios, el volumen de aire exhalado por la fuerza en un segundo se llama FEV1. (FEV1es el volumen de expiracin forzada en un segundo.) Se hicieron mediciones en un grupo de nios cada ao durante dos aos.Se ajust a un modelo lineal para pronosticar los FEV1 de estos aos como una funcin del FEV1 (en litros) del ltimo ao, elsexo del nio (0 masculino, 1 femenino), la estatura del nio (en m), y la presin atmosfrica ambiental (en mm). El si-guiente resultado de MINITAB presenta los resultados de ajuste del modelo

FEV1 0 1 ltimo FEV1 2 Sexo 3 Estatura 4 Presin

a) Pronostique el FEV1 para un nio con estatura de 1.4 m, si la medida se tom a presin de 730 mm y la medicin del lti-mo ao fue 2.113 L.

b) Si dos nias difieren en estatura por 5 cm, qu tanto esperara que sus mediciones de FEV1 difieran; los otros conceptossiguen igual?

c) Se estima que el trmino constante 0 es negativo, pero el FEV1 debe ser siempre positivo. Algo est errneo? Explique.d ) El responsable de este experimento quiere redisear el algoritmo que registra las mediciones electrnicamente con el fin de

ajustar la presin atmosfrica automticamente. Se fija un barmetro al dispositivo para registrar la presin. Utilice el re-sultado anterior de MINITAB para determinar cmo calcular un valor FEV1 ajustado como funcin del valor FEV1 medi-do y de la presin.

The regression equation isFEV1 = 0.219 + 0.779 Last FEV 0.108 Gender + 1.354 Height 0.00134 Pressure

Predictor Coef SE Coef T PConstant 0.21947 0.4503 0.49 0.627Last FEV 0.779 0.04909 15.87 0.000Gender 0.10827 0.0352 3.08 0.002Height 1.3536 0.2880 4.70 0.000Pressure 0.0013431 0.0004722 2.84 0.005

S = 0.22039 RSq = 93.5% RSq(adj) = 93.3%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F PRegression 4 111.31 27.826 572.89 0.000Residual Error 160 7.7716 0.048572Total 164 119.08

12. El siguiente resultado MINITAB presenta los resultados de una prueba de hiptesis para una media poblacional m.

a) Es sta una prueba de una cola o de dos colas?b) Cul es la hiptesis nula?c) Cul es el P-valor?d ) Utilice el resultado y una tabla adecuada para calcular el P-valor para la prueba de H0: m 73.6 contra H1: m 73.6 e) Utilice el resultado y una tabla adecuada para calcular un intervalo de confianza de 99% para m.

One-Sample Z: X

Test of mu = 73.5 vs not = 73.5The assumed standard deviation = 2.3634

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z PX 145 73.2461 2.3634 0.1963 (72.8614, 73.6308) 1.29 0.196

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CD-ROM con recursos para losestudiantesEmpaquetado gratis con cada libro nue-vo, este CD proporciona todos los conjun-tos de datos del texto, as como appletsbasados en el contenido del texto parareforzar un entendimiento visual de laestadstica.

Todos los conjuntos de datos sepueden descargar en diferentes for-matos: ASCII delimitado con comas ASCII delimitado con tabuladores MINITAB Excel SAS SPSS TI-89

Applets de Java, creados especfica-mente para los clculos de este curso,proporcionan ejercicios interactivosbasados en el contenido del texto, loque permite a los estudiantes modifi-car las variables y explorar escenariosde Qu sucede si?. Tambin se in-cluyen en la suite de applet los applets de simulacin, que refuer-zan la excelente cobertura de texto delos mtodos de simulacin. Los appletspermiten que los estudiantes vean losejemplos de simulacin del texto enaccin y que modifiquen los parme-tros para una mayor exploracin.

Una gua a la simulacin con MINI-TAB preparada por el autor donde sedescribe cmo se pueden implementaren MINITAB los ejemplos de simula-cin en el texto.

Herramientas y recursos, que inclu-ye un vnculo al centro de aprendizajedel libro, ofrece en lnea recursos parael profesor y el estudiante enwww.mhhe.com/navidi.

Complementos de aprendizaje para los estudiantes

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Materiales de apoyoEsta obra cuenta con interesantescomplementos que fortalecen los procesos deenseanza-aprendizaje, as como la evaluacinde stos. Mismos que se otorgan a profesoresque adopten este texto para sus cursos.

Para obtener ms informacin y conocer lapoltica de entrega de estos materiales,contacte a su representante de McGraw-Hill oenve un correo electrnico [email protected]

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TABLA A.2 Distribucin normal acumulativa (tabla z)

0z

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

3.6 .0002 .0002 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .0001 .00013.5 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .00023.4 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .00023.3 .0005 .0005 .0005 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .00033.2 .0007 .0007 .0006 .0006 .0006 .0006 .0006 .0005 .0005 .00053.1 .0010 .0009 .0009 .0009 .0008 .0008 .0008 .0008 .0007 .00073.0 .0013 .0013 .0013 .0012 .0012 .0011 .0011 .0011 .0010 .00102.9 .0019 .0018 .0018 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .00142.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .00192.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .00262.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .00362.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .00482.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .00642.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .00842.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .01102.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .01432.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .01831.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .02331.8 .0359 .0351 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .02941.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .03671.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .04551.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .05591.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0721 .0708 .0694 .06811.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .08231.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .09851.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .11701.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .13790.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .16110.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .18670.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .21480.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .24510.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .27760.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .31210.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .34830.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .38590.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .42470.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641

NAVIDI 2a y 3a de forros 2/10/06 11:07 PM Page 2

TABLA A.3 Puntos porcentuales superiores para la distribucin t de Student

a

0 t

A

v 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005

1 0.325 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.309 636.6192 0.289 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.327 31.5993 0.277 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.215 12.9244 0.271 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.6105 0.267 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.8696 0.265 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.9597 0.263 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.4088 0.262 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.0419 0.261 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781

10 0.260 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.58711 0.260 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.43712 0.259 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.31813 0.259 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.22114 0.258 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.14015 0.258 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.07316 0.258 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.01517 0.257 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.96518 0.257 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.92219 0.257 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.88320 0.257 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.85021 0.257 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.81922 0.256 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.79223 0.256 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.76824 0.256 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.74525 0.256 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.72526 0.256 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.70727 0.256 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.69028 0.256 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.67429 0.256 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.65930 0.256 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.64635 0.255 0.682 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.340 3.59140 0.255 0.681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.55160 0.254 0.679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460

120 0.254 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 3.373 0.253 0.674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291

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Captulo 1Muestreo y estadstica descriptiva

Introduccin

La recopilacin y el anlisis de datos son fundamentales en la ciencia e ingeniera. Al analizarlos datos recopilados en experimentos, los cientficos descubren los principios que gobiernanel mundo fsico y los ingenieros aprenden cmo disear nuevos productos y procesos impor-tantes. Una dificultad muy importante que se presenta con los datos cientficos es que stos seencuentran sujetos a variaciones aleatorias o incertidumbre. Es decir, cuando se repiten las me-diciones cientficas cada vez salen un poco diferentes. Lo anterior plantea un problema: c-mo se pueden obtener conclusiones de los resultados de un experimento cuando stos puedenser diferentes? Para analizar esta pregunta, es esencial contar con cierto conocimiento estads-tico. La estadstica se dedica a la recopilacin, el anlisis y la interpretacin de datos con in-certidumbre. Los mtodos de la estadstica permiten que los cientficos e ingenieros diseenexperimentos vlidos y obtengan conclusiones confiables a partir de datos obtenidos.

Aunque nuestro inters en este libro es tratar con las aplicaciones de la estadstica en laciencia y en la ingeniera, cabe mencionar que el anlisis y la interpretacin de datos son ca-da vez ms importantes en todos los aspectos de la vida moderna. Para bien o para mal, se es-tn recopilando enormes cantidades de datos con nuestras opiniones y estilos de vida, confines que van desde la creacin de campaas de mercadotecnia ms eficaces hasta el desarro-llo de polticas sociales diseadas para mejorar nuestro estilo de vida. Casi a diario, los artcu-los que se publican en los peridicos pretenden explicar las tendencias sociales o econmicasa travs del anlisis de datos. Por tanto, un conocimiento bsico de estadstica es necesario noslo para ser un cientfico o ingeniero eficiente, sino tambin para ser un miembro bien infor-mado de la sociedad.

La idea bsicaLa idea bsica que yace en todos los mtodos estadsticos de anlisis de datos es inferir respec-to de una poblacin por medio del estudio de una muestra relativamente pequea elegida de

1

NAVIDI Cap 01 2/10/06 10:25 PM Page 1

sta. Como ejemplo, considere una mquina que hace varillas de acero para su uso en dispo-sitivos pticos de almacenamiento. La especificacin del dimetro de las varillas es 0.45 0.02 cm. En la ltima hora, la mquina ha hecho mil varillas. El ingeniero que supervisa lacalidad quiere saber cuntas de estas varillas satisfacen la especificacin. No tiene tiempo pa-ra medir todas. En este contexto, toma una muestra aleatoria de 50 varillas, las mide y encuen-tra que 46 de stas (92%) satisfacen la especificacin del dimetro. De acuerdo con loanterior, no es probable que la muestra de 50 varillas represente perfectamente a la poblacinde mil. La proporcin de buenas varillas en la poblacin probablemente es un poco diferenteque la proporcin de la muestra de 92%. En este sentido, lo que el ingeniero debe conocer esla probabilidad de que esa diferencia sea grande. Por ejemplo, es admisible que los porcen-tajes de poblacin sean superiores a 95%? y de 98%? O menores de 90%?, o de 85%?

He aqu algunas preguntas especficas que el ingeniero podra responder con base en losdatos de la muestra:

1. El ingeniero necesita calcular la magnitud de la diferencia probable entre las proporcio-nes de la muestra y de la poblacin. Qu tan grande es una diferencia tpica para estaclase de muestra?

2. Asimismo, necesita llevar una bitcora con los porcentajes de varillas aceptables fabrica-das en la ltima hora. Despus de que ha observado que 92% de las varillas de la mues-tra estaba bien, indicar los porcentajes de las varillas aceptables en la poblacin comoun intervalo de la forma 92% x%, donde x es un nmero calculado para tener una con-fianza razonable de que los porcentajes reales de la poblacin estn en este intervalo.Cmo se debe calcular x?

3. Por ltimo, quiere estar muy seguro de que el porcentaje de varillas buenas es de al me-nos 90%; en otro caso detendr el proceso para recalibrarlo. Qu seguridad puede tenerde que al menos 90% de las mil varillas est bien?

Gran parte de este libro est dedicada a solucionar preguntas semejantes. La primera de stasrequiere del clculo de una desviacin estndar, que se analizar en los captulos 2 y 4. La se-gunda pregunta requiere de la construccin de un intervalo de confianza, ello se aprender enel captulo 5. La tercera invoca una prueba de hiptesis, que se estudiar en el captulo 6.

Los captulos restantes del libro cubren otros temas importantes. Por ejemplo, el inge-niero de nuestro ejemplo querr saber cmo est relacionada la fuerza de tensin con la can-tidad de carbono en las varillas de acero. Esta clase de problemas se puede tratar con losmtodos de correlacin y regresin, que se presentan en los captulos 7 y 8. Podra tambinser importante determinar cmo ajustar el proceso de fabricacin respecto de algunos facto-res, con el fin de producir resultados ptimos. Esto ltimo requiere del diseo de experimen-tos factoriales, que se analizarn en el captulo 9. Definitivamente, el ingeniero necesitardesarrollar un plan para controlar la calidad del producto que se fabrica en el proceso. En elcaptulo 10 se presenta el tema control de la calidad, donde los mtodos estadsticos se usanpara mantener la calidad en un contexto industrial.

Los temas que se han mencionado son mtodos que se dedican a obtener conclusionesa partir de datos. Estos mtodos constituyen el campo de la estadstica inferencial. Antes deque se analicen estos temas, se aprender ms acerca de los mtodos de recopilacin de da-tos y a resumir claramente la informacin bsica que contienen. stos son los temas de mues-treo y estadstica descriptiva, que se tratan en lo que resta de este captulo.

2 CAPTULO 1 Muestreo y estadstica descriptiva


1.1 Muestreo

Como se ha mencionado, los mtodos estadsticos estn basados en la idea de analizar unamuestra tomada de una poblacin. Para trabajar con esta idea, la muestra se debe elegir demanera adecuada. Por ejemplo, digamos que se quiere conocer la estatura de los estudiantesde la Escuela de Minas, de Colorado, al considerar una muestra de 100 estudiantes. Cmose deben elegir los 100 estudiantes que se mediran? Algunos mtodos son malos. Por ejem-plo, elegir a los estudiantes de las listas del ftbol americano y de los equipos de basquetboldara como resultado una muestra que indudablemente no representara la distribucin de es-tatura de la poblacin de estudiantes. Usted podra pensar que sera razonable usar algunamuestra convenientemente obtenida; por ejemplo, todos los estudiantes que viven en ciertarea o todos aquellos que se inscribieron en el curso de estadstica para la ingeniera. Despusde todo, no hay razn para pensar que la estatura de estos estudiantes debiera ser diferente dela estatura, en general, de los estudiantes. Sin embargo, muestras as no son ideales, porquepueden volverse engaosas en formas no previstas. Los mejores mtodos del muestreo impli-can el muestreo aleatorio. Hay muchos mtodos diferentes del muestreo aleatorio, el bsicoes el muestreo aleatorio simple.

Para entender la naturaleza de una muestra aleatoria simple, piense en una lotera. Ima-gine que se han vendido diez mil billetes y que se eligen cinco ganadores. Cul es la manerams justa de elegir a los ganadores? Es colocar todos los boletos en un recipiente, mezclarlosy extraer cinco de ellos uno tras otro. Los boletos premiados constituyen una muestra aleato-ria simple de la poblacin de diez mil billetes de la lotera. Cada boleto es igualmente proba-ble de ser uno de los cinco boletos extrados. Es importante indicar que cada conjunto decinco boletos que se puede formar del total tiene la misma probabilidad de ser el grupo quese extrae. Esta idea constituye la base de la definicin de una muestra aleatoria simple.

Debido a que una muestra aleatoria simple es similar a una lotera, con frecuencia sepuede tomar la muestra con el mismo mtodo que el que se usa en muchas loteras: con ungenerador de nmeros aleatorios de una computadora. Suponga que hay N elementos en lapoblacin y que se le asigna a cada elemento de la poblacin un entero entre 1 y N. Despusse genera una lista de enteros aleatorios entre 1 y N y se eligen los elementos correspondientesde la poblacin para que formen la muestra aleatoria simple, precisamente como en la lotera.

1.1 Muestreo 3

Resumen

Una poblacin representa la coleccin completa de elementos o resultados de lainformacin buscada.Una muestra constituye un subconjunto de una poblacin, que contiene elementoso resultados que realmente se observan.Una muestra aleatoria simple de tamao n es una muestra elegida por un mtodoen el que cada coleccin de n elementos de la poblacin tiene la mismaprobabilidad de formar la muestra, de la misma manera que en una lotera.


Una maestra de educacin fsica quiere estudiar los niveles de condicin fsica de los estu-diantes en su universidad. Hay 20 000 estudiantes inscritos y desea tomar una muestra de ta-mao 100 para hacerles una prueba de sus condiciones fsicas. Obtiene una lista de todos losestudiantes, numerada del 1 al 20 000. Usa un generador de nmeros aleatorios de la compu-tadora que genera 100 enteros aleatorios entre el total de nmeros y despus invita a los 100estudiantes, a quienes corresponden dichos nmeros, a que participen en el estudio. sta esuna muestra aleatoria simple?

SolucinS, sta es una muestra aleatoria simple. Observe que es similar a una lotera en la que cadaestudiante tiene un boleto y se sacan 100 de stos.

Una ingeniero que supervisa la calidad quiere inspeccionar rollos de papel tapiz para obtenerinformacin acerca de la tasa de fallas que tiene la imprenta. Decide tomar una muestra de 50rollos de la produccin de un da. Cada hora durante cinco horas, toma los diez ltimos rollosproducidos y cuenta el nmero de fallas de cada uno. sta es una muestra aleatoria simple?SolucinNo. No todo subconjunto de 50 rollos de papel tapiz tiene la misma probabilidad de pertene-cer a la muestra. Para formar una muestra aleatoria simple, la ingeniero necesitara asignar unnmero a cada rollo producido durante el da y despus generar nmeros aleatorios para de-terminar con qu rollos se forma la muestra.

En algunos casos, es difcil o imposible extraer una muestra de una manera realmentealeatoria. En esta situacin, lo mejor que se puede hacer es seleccionar los elementos de lamuestra por algn mtodo conveniente. Por ejemplo, imagine que un ingeniero civil acaba derecibir una remesa de mil bloques de hormign, que pesan aproximadamente 50 libras cadauno. Los bloques se han entregado en una gran pila. El ingeniero quiere investigar la fuerzade compresin de los bloques midiendo las fuerzas en una muestra de diez bloques. Para to-mar una muestra aleatoria simple se requerira sacar bloques del centro y de la parte inferiorde la pila, lo que puede ser muy difcil. Por esta razn, el ingeniero puede tomar una muestrasimplemente tomando diez bloques de la parte superior de la pila. Una muestra as se llamamuestra de conveniencia.

El problema con las muestras de conveniencia es que podran diferir sistemticamentede la poblacin en alguna forma. Por esta razn, tales muestras no se deben usar, excepto ensituaciones donde no es viable tomar una muestra aleatoria. Cuando se necesita tomar una


Definicin

Una muestra de conveniencia es una muestra que no se extrae por un mtodoaleatorio bien definido.

1.1Ejemplo

1.2Ejemplo


muestra de conveniencia, es importante pensar en todas las formas en las que aqulla podradiferir sistemticamente de la poblacin. Si es razonable pensar que no existe una diferenciasistmica importante, entonces puede ser aceptable tratar la muestra de conveniencia como sifuera una muestra aleatoria simple. Respecto de los bloques de hormign, si el ingeniero es-t seguro de que los bloques superiores en la pila no difieren sistemticamente en alguna for-ma importante del resto, entonces puede tratar la muestra de conveniencia como una muestraaleatoria simple. Sin embargo, si es posible que los bloques en diferentes lugares de la pilahayan sido hechos con diferentes cantidades de mezclas o que puedan tener diferentes tiem-pos de cocido o diferentes temperaturas, entonces una muestra de conveniencia podra dar re-sultados falsos.

Algunas personas piensan que una muestra aleatoria simple es garanta de que reflejaperfectamente a su poblacin. Esto no es cierto. Las muestras aleatorias simples siempre sondiferentes de sus poblaciones en algunos aspectos y en ocasiones podran ser considerable-mente diferentes. Dos muestras diferentes de la misma poblacin tambin sern diferentes en-tre s. Este fenmeno se conoce como variacin del muestreo. Esta ltima constituye una delas razones por la que los experimentos cientficos tienen resultados diferentes cuando se re-piten, aun cuando las condiciones parecen ser idnticas.

Un inspector de calidad prueba 40 pernos de una gran remesa y mide la longitud de cada uno.Descubre que 34 de ellos (85%) cubre la especificacin de longitud. Llega entonces a la con-clusin de que exactamente 85% de los pernos de la remesa satisfacen la especificacin. Porotra parte, el supervisor del inspector concluye que la proporcin de pernos buenos est cer-ca de 85% con cierta probabilidad, pero que no es exactamente igual. Cul es la conclusincorrecta?

SolucinDebido a la variacin del muestreo, las muestras aleatorias simples no reflejan a la poblacinperfectamente. Sin embargo, con frecuencia estn bastante cerca. Por tanto, resulta adecuadoinferir que la proporcin de pernos buenos en la remesa est cerca de la proporcin de mues-tra, que es de 85%, con cierta probabilidad. Sin embargo, no es probable que la proporcinde poblacin sea igual a 85 por ciento.

Continuando con el ejemplo 1.3, otra inspectora repite el estudio con una muestra aleatoriasimple diferente de 40 pernos. Descubre que 36 de ellos, 90%, son buenos. El primer inspec-tor afirma que ella debi haber cometido algn error, ya que sus resultados mostraban que85% y no 90% de los pernos son buenos. Tiene razn?

SolucinNo, l no tiene razn. Es la variacin del muestreo en accin. Dos muestras diferentes de lamisma poblacin sern diferentes entre s y de la poblacin.

Ya que las muestras aleatorias simples no reflejan a sus poblaciones perfectamente,por qu es importante que el muestreo sea aleatorio? La ventaja de una muestra aleatoriasimple es que no hay ningn mecanismo sistmico que la haga poco representativa. Las dife-

1.1 Muestreo 5

1.3Ejemplo

1.4Ejemplo


rencias entre la muestra y su poblacin son atribuibles completamente a la variacin aleato-ria. Debido a que la teora matemtica sobre la variacin aleatoria se comprende bien, se pue-den usar modelos matemticos para estudiar la relacin entre muestras aleatorias simples ysus poblaciones. En general, para una muestra que no fue seleccionada de forma aleatoria, noexiste una teora disponible que describa los mecanismos que causaron que la muestra difie-ra de su poblacin. Por tanto, con frecuencia las muestras que no fueron obtenidas aleatoria-mente son difciles de analizar de manera confiable.

En los ejemplos 1.1 a l.4, las poblaciones constaban de elementos fsicos reales: estu-diantes de una universidad, bloques de concreto de una pila, pernos de una remesa. Estas po-blaciones se denominan poblaciones tangibles. Este tipo de poblaciones son siempre finitas.Despus de que se muestrea un elemento, el tamao de poblacin disminuye en 1. En princi-pio, uno podra en algunos casos regresar el elemento muestreado a la poblacin, con oportu-nidad de muestrearlo nuevamente, pero esto rara vez se hace en la prctica.

En ingeniera es frecuente que los datos sean producto de mediciones realizadas duran-te un experimento cientfico, ms que por muestreo de una poblacin tangible. Tomando unejemplo simple, imagine que un ingeniero mide la longitud de una varilla cinco veces, hacien-do las mediciones en la forma ms cuidadosa posible con condiciones idnticas. No importaqu tan cuidadosamente se hayan hecho las mediciones, diferirn un poco una de otra, debi-do a la variacin en el proceso de medicin que no se puede controlar o predecir. Esto ltimoda como resultado que con frecuencia sea adecuado considerar estos datos como una mues-tra aleatoria simple de una poblacin. En estos casos, la poblacin consta de todos los valo-res que posiblemente pueden haber sido observados. Esta poblacin se denomina poblacinconceptual, ya que no consta de elementos reales.

El ejemplo 1.5 implica una poblacin conceptual.

Un gelogo pesa una roca varias veces en una balanza analtica. Cada vez, la balanza da unalectura ligeramente diferente. Bajo qu condiciones se pueden considerar estas lecturas co-mo una muestra aleatoria simple? Cul es la poblacin?

SolucinSi las caractersticas fsicas de la balanza permanecen iguales cada vez que se pesa, se puedeconsiderar que las mediciones se hacen bajo condiciones idnticas, entonces las lecturas sepueden considerar como una muestra aleatoria simple. La poblacin es conceptual. Consta detodas las lecturas que la balanza en principio podra producir.

Observe que en el ejemplo 1.5, son las caractersticas fsicas del proceso de medicinlas que determinan si los datos constituyen una muestra aleatoria simple. En general, cuandose decide si un conjunto de datos se puede considerar una muestra aleatoria simple, es muy


Una muestra aleatoria simple puede consistir de valores obtenidos en un proceso encondiciones experimentales idnticas. En este caso, la muestra proviene de una po-blacin que consta de todos los valores posibles que se han observado. A este tipode poblacin se le denomina poblacin conceptual.

1.5Ejemplo


til tener una comprensin del proceso que gener los datos. Algunas veces los mtodos es-tadsticos pueden ayudar, especialmente cuando la muestra es grande, pero el conocimientodel mecanismo que produjo los datos es ms importante.

Se ha diseado un nuevo proceso qumico que se supone tendr una produccin ms alta decierta sustancia qumica que durante el proceso anterior. Para investigar los resultados de es-te proceso, lo realizamos 50 veces y registramos los 50 resultados. Bajo qu condiciones se-ra razonable considerar lo anterior como una muestra aleatoria simple? Describa algunascondiciones bajo las cuales puede no resultar adecuado considerar esto ltimo como unamuestra aleatoria simple.

SolucinPara responder a esto, primero debemos especificar la poblacin. La poblacin es conceptualy consta del conjunto de todos los resultados que se obtienen de este proceso, as como de lasveces que se realiz. Lo que hemos llevado a cabo es un muestreo de los 50 primeros resulta-dos del proceso. Si y slo si estamos seguros de que los primeros 50 resultados se han gene-rado en condiciones idnticas y que no difieren en ninguna forma sistmica de los resultadosde futuras realizaciones, podremos tratarlos como una muestra aleatoria simple.

Sin embargo, sea cauteloso. Hay muchas condiciones por las que 50 resultados podrandejar de ser una muestra aleatoria simple. Por ejemplo, con procesos qumicos, algunas vecesse da el caso de que realizaciones con resultados altos son seguidas de realizaciones con re-sultados bajos y viceversa. A veces los resultados tienden a aumentar con el tiempo, confor-me los ingenieros de proceso aprenden por la experiencia cmo hacer funcionar el proceso demanera ms eficiente. En estos casos, los resultados no se han generado bajo las mismas con-diciones y no constituyen una muestra aleatoria simple.

El ejemplo 1.6 muestra nuevamente que un buen conocimiento de la naturaleza del pro-ceso en estudio es importante para determinar si los datos se pueden considerar como mues-tra aleatoria simple. Los mtodos estadsticos algunas veces se usan para mostrar que unconjunto de datos dado no representa necesariamente una muestra aleatoria simple. Por ejem-plo, a veces las condiciones experimentales cambian gradualmente con el tiempo. Un mtodosimple, pero efectivo para detectar esta condicin, es realizar una grfica con las observacio-nes en el orden en que se tomaron. Una muestra aleatoria simple no debe mostrar ningn pa-trn o tendencia obvia.

La figura 1.1 presenta las grficas de tres muestras en el orden en que se tomaron. Lagrfica de la figura 1.1a muestra un patrn oscilatorio. La grfica en la figura 1.1b muestrauna tendencia creciente. Ninguna de estas muestras se debe tratar como muestra aleatoria sim-ple. La grfica en la figura 1.1c no parece mostrar ningn patrn o tendencia obvia. Podra serapropiado tratar estos datos como una muestra aleatoria simple. Sin embargo, antes de tomaresa decisin, es an importante pensar acerca del proceso que produjo estos datos, ya que pue-de haber cuestiones que no son evidentes en la grfica (vase el ejemplo 1.7).

A veces la pregunta respecto de si un conjunto de datos es una muestra aleatoria sim-ple, depende de la poblacin en estudio. Se puede dar el caso para el cual una grfica puedaparecer buena, aun cuando los datos no sean una muestra aleatoria simple. En el ejemplo 1.7se da un caso.

1.1 Muestreo 7

1.6Ejemplo


Un nuevo proceso qumico se realiza diez veces cada maana durante cinco das consecuti-vos. Una grfica de los resultados en el orden en que aparecieron no presenta ningn patrno tendencia obvia. Si el nuevo proceso se pone en produccin, hacindolo funcionar diez ho-ras todos los das, desde las 7 a.m. hasta las 5 p.m. Es razonable considerar que los 50 resul-tados sean una muestra aleatoria simple? Qu ocurre si el proceso est siempre funcionandopor la maana?

SolucinDebido a que se intenta poner en funcionamiento el nuevo proceso tanto durante la maanacomo en la tarde, la poblacin consta de todos los resultados que alguna vez se observarn,incluyendo tanto las realizaciones por la maana como por la tarde. La muestra se toma slode la parte de la poblacin de los resultados matutinos; por tanto, no es una muestra aleatoriasimple. Hay muchas cosas que podran estar equivocadas si esto se usa como una muestraaleatoria simple. Por ejemplo, las temperaturas ambientales pueden ser diferentes entre la ma-ana y la tarde, ello podra afectar los resultados.

Si el proceso funcionara slo por la maana, entonces la poblacin constara slo de re-sultados matutinos. Debido a que la muestra no presenta ningn patrn o tendencia obvia,bien podra ser apropiado considerarla como muestra aleatoria simple.

IndependenciaSe dice que los elementos en una muestra son independientes si al conocer los valores de al-gunos de ellos no ayuda a predecir los valores de los otros. Con una poblacin finita y tangi-ble, los elementos en una muestra aleatoria simple no son estrictamente independientes, yaque cuando se extrae cada elemento, la poblacin cambia. Este cambio puede ser importantecuando la poblacin es pequea. Sin embargo, cuando la poblacin es muy grande, este cam-bio resulta insignificante y los elementos se pueden tratar como si fueran independientes.


100 20Nmero de medicin

30 40 50

a)


30 40 50

b)


30 40 50

c)

FIGURA 1.1 Tres grficas de valores observados contra el orden en que se hicieron. a) Los valores indican un patrn de-finido en el tiempo. Esta no es una muestra aleatoria simple. b) Los valores muestran una tendencia en el tiempo. Esta noes una muestra aleatoria simple. c) Los valores no muestran un patrn o tendencia. Puede ser adecuado tratar estos datos co-mo una muestra aleatoria simple.

1.7Ejemplo


Para ilustrar esta idea, imagine que se toma una muestra aleatoria simple de dos elemen-tos de la poblacin

Para la primera extraccin, los nmeros 0 y 1 son igualmente probables. Pero el valor del se-gundo elemento est evidentemente influido por el primero; si el primero es 0, es ms proba-ble que el segundo sea l y viceversa. Por tanto, los elementos de la muestra son dependientes.Ahora suponga que sacamos una muestra de tamao 2 de esta poblacin:

Nuevamente en la primera extraccin, los nmeros 0 y 1 son igualmente probables. Pero a di-ferencia del ejemplo anterior, tambin estos dos valores permanecen casi de la misma maneraen la segunda extraccin, sin que importe lo que sucede en la primera extraccin. Con pobla-ciones grandes, los elementos de la muestra son para todos los propsitos prcticos indepen-dientes.

Es razonable preguntarse qu tan grande debe ser una poblacin para que los elemen-tos en una muestra aleatoria simple se traten como independientes. Una regla general sealaque cuando se toma una muestra de una poblacin finita, los elementos se pueden tratar co-mo independientes en tanto la muestra consista de 5% o menos de la poblacin.

Curiosamente, es posible hacer que una poblacin se comporte como si fuera infinita-mente grande, reemplazando cada elemento despus de que se ha muestreado. Este mtodose denomina muestreo con reemplazo. Con este mtodo la poblacin es exactamente la mis-ma en cada extraccin y los elementos muestreados son realmente independientes.

Con una poblacin conceptual, se requiere que los elementos de la muestra se produz-can en condiciones experimentales idnticas. En particular, ningn valor de muestra puede in-fluir en las condiciones bajo las cuales se producen los otros. Por tanto, los elementos en unamuestra aleatoria simple de una poblacin conceptual se pueden tratar como independientes.Podemos pensar que una poblacin conceptual es infinita, o de manera equivalente que loselementos se muestrean con reemplazo.

1.1 Muestreo 9

0 0 1 1

0 'sUn milln 1 'sUn milln

Resumen

Los elementos en una muestra son independientes si el conocimiento de algunosde los valores de los elementos no ayuda a predecir los valores de los otros.Los elementos en una muestra aleatoria simple se pueden tratar como indepen-dientes en muchos casos que se encuentran en la prctica. Ocurre una excepcincuando la poblacin es finita y la muestra consiste de una parte importante (msde 5%) de la poblacin.


Otros mtodos de muestreoAdems del muestreo aleatorio simple, existen otros mtodos de muestreo que son tiles endiversas situaciones. En el muestreo ponderado a algunos elementos se les da una mayoroportunidad que a los otros para ser seleccionados, de la misma manera que en una lotera enla que algunas personas tienen ms boletos que otros. En el muestreo aleatorio estratifica-do, la poblacin se divide en subpoblaciones, llamadas estratos y se extrae una muestra aleato-ria simple de cada estrato. En el muestreo agrupado, los elementos se extraen de la poblacinen grupos o conglomerados. El muestreo agrupado es til cuando la poblacin es demasiadogrande y se encuentra extendida de tal forma que es posible tomar una muestra aleatoria sim-ple. Por ejemplo, muchos de los organismos del gobierno estadounidense usan muestreo agru-pado para muestrear a la poblacin de los Estados Unidos para medir factores sociolgicos,como ingresos y nmero de desempleados. Una buena fuente de informacin acerca de m-todos de muestreo es Cochran (1977).

El muestreo aleatorio simple no es el nico mtodo vlido de muestreo aleatorio. Peroes el ms importante y se le prestar la mayor parte de la atencin. Por el momento, a menosque se indique otra cosa, se considerar que los trminos muestra y muestreo aleatoriosignifican muestra aleatoria simple.

Tipos de experimentosHay muchas clases de experimentos que se pueden usar para generar datos. Describiremosbrevemente algunos de ellos. En un experimento de una-muestra, hay slo una poblacin deinters y se extrae nicamente una muestra de sta. Por ejemplo, imagine que se ha diseadoun proceso para producir polietileno que se usar para hacer tubos. En este contexto, un ex-perimento mediante el cual se producen algunas muestras de polietileno y se mide la fuerzade tensin de cada una constituye un experimento de una-muestra. Se considera que las fuer-zas medidas representan una muestra aleatoria simple de una poblacin conceptual de todaslas fuerzas posibles que se pueden observar en las muestras fabricadas por este proceso. Losexperimentos del tipo una-muestra se pueden usar para determinar si un proceso satisfacecierta norma; por ejemplo, si tienen la fuerza suficiente para una aplicacin dada.

En un experimento de muestras-mltiples, hay dos o ms poblaciones de inters y setoma una muestra de cada poblacin. Por ejemplo, si estn compitiendo algunos procesos pa-ra ser considerados en la fabricacin de polietileno y se miden las fuerzas de tensin en unamuestra de los elementos de cada proceso, se entiende que ste es un experimento de mues-tras-mltiples. A cada proceso le corresponde una poblacin distinta y a las mediciones he-chas sobre los elementos de un proceso dado se les considera una muestra aleatoria simple deesa poblacin. El propsito habitual de los experimentos de muestras-mltiples es hacer com-paraciones entre las poblaciones. En este ejemplo, el propsito podra ser que se determine elproceso que produce la mayor fuerza o que se determine si hay alguna diferencia en las fuer-zas en el polietileno que se produjo mediante los diferentes procesos.

En muchos experimentos de muestras-mltiples, las poblaciones se distinguen entre sal cambiar uno o ms factores que pueden afectar el resultado. A estos experimentos se lesllama experimentos factoriales. Por ejemplo, G. Fredrickson, en su tesis de maestra en laEscuela de Minas, de Colorado, midi la dureza ante el impacto de la muesca Charpy V paraun importante nmero de soldaduras. Cada soldadura estaba hecha de uno de dos tipos de me-



tales base y se haba medido su dureza a diferentes temperaturas. ste fue un experimento fac-torial con dos factores: el metal base y la temperatura. Los datos consistan de varias medi-ciones de la dureza hechas con combinaciones del metal base y la temperatura. En unexperimento factorial, cada combinacin de los factores para los cuales se recopilan datos de-fine una poblacin y se extrae una muestra aleatoria simple de cada poblacin. El propsitode un experimento factorial es determinar cmo afecta el resultado al cambiar los niveles delos factores. En su experimento, Fredrickson encontr que para cada tipo de metal base, la du-reza no es afectada por la temperatura a menos que esta ltima estuviese en un nivel muy ba-jo, debajo de 100C. Conforme la temperatura se reduca de 100C a 200C, la durezabajaba uniformemente.

Tipos de datosCuando se asigna una cantidad numrica a cada elemento de una muestra, al conjunto de va-lores resultante se le llama numrico o cuantitativo. En algunos casos, los elementos de lamuestra son puestos en categoras. Entonces los datos son categricos o cualitativos. En elejemplo 1.8 se presenta un caso.

En el artculo Hysteresis Behavior of CFT Column to H-Beam Connections with External T-Stiffeners and Penetrated Elements (C. Kang, K. Shin y colaboradores, Engineering Struc-tures, 2001:1194-1201) se reportaron los resultados de las pruebas de carga cclicas en unacolumna tubular llena de concreto (CFT) para conexiones soldadas de vigas-H. Se cargaronalgunos especmenes de prueba hasta que fallaron. Algunas fallas ocurrieron en la unin sol-dada; otras ocurrieron al doblarse la viga misma. Para cada muestra se registr la posicin dela falla, junto con el par de torsin aplicado en la falla [en kilonewton-metros (kN m)]. Losresultados para las primeras cinco muestras fueron los siguientes:

Par de torsin PosicinMuestra (kN . m) de la falla

1 165 Soldadura2 237 Viga3 222 Viga4 255 Viga5 194 Soldadura

Qu datos son numricos y cules categricos?SolucinLos pares de torsin, en la columna de en medio, son datos numricos. Las posiciones de lafalla, en la columna de la derecha, son datos categricos.

1.1 Muestreo 11

1.8Ejemplo


1. Cada uno de los siguientes procesos implica el muestreo deuna poblacin. Defina la poblacin y diga si es tangible oconceptual.

a) Se recibe una remesa de pernos de un distribuidor. Paraverificar si la remesa es aceptable respecto de la fuerzade corte, un ingeniero selecciona diez pernos, uno trasotro, del recipiente para probarlos.

b) La resistencia de cierto resistor se mide cinco veces conel mismo hmetro.

c) Un estudiante de posgrado que se especializa en cienciaambiental forma parte de un equipo de estudio que estevaluando el riesgo para la salud humana de cierto con-taminante presente en el agua de la llave en su pueblo.Una parte del proceso de evaluacin implica calcular lacantidad de tiempo que las personas que viven en esepueblo est en contacto con el agua de la llave. El estu-diante convence a los residentes del pueblo para que lle-ven una agenda mensual, detallando la cantidad detiempo que estn en contacto con el agua de la llave dacon da.

d) Se hacen ocho soldaduras con el mismo proceso y semide la fuerza en cada una.

e) Un ingeniero responsable del control de calidad tieneque calcular el porcentaje de piezas fabricadas defectuo-sas en determinado da. A las 2:30 de la tarde muestrealas ltimas 100 piezas fabricadas.

2. Si usted quisiera calcular la altura media de todos los estu-diantes en una universidad, cul de las siguientes estrate-gias de muestreo sera la mejor? Por qu? Observe queninguno de los mtodos son realmente muestras aleatoriassimples.

i) Medir la estatura de 50 estudiantes que se encuentran enel gimnasio durante el juego de basquetbol en la escuela.

ii) Medir la estatura de todos los especialistas en ingeniera. iii) Medir la estatura de los estudiantes, eligiendo el primer

nombre de cada pgina de la gua telefnica del campusuniversitario.

3. Verdadero o falso:

a) Una muestra aleatoria simple garantiza que refleja exac-tamente a la poblacin de la que se extrajo.

b) Una muestra aleatoria simple est libre de cualquier ten-dencia sistmica en diferir de la poblacin de la que seextrajo.

4. Una ingeniera de control de calidad extrae una muestraaleatoria simple de 50 anillos-O de un lote de varios miles. Mide el espesor de cada uno y descubre que 45 de ellos,

90%, cumple con cierta especificacin. Cul de los si-guientes enunciados es correcto?

i) La proporcin de anillos-O en el lote completo quecumple con la especificacin probablemente es igual a90 por ciento.

ii) La proporcin de anillos-O en el lote completo quecumple con la especificacin probablemente est cercade representar 90%, pero probablemente no es igual altotal.

5. Se ha usado durante mucho tiempo un proceso para la fabri-cacin de botellas de plstico y se sabe que 10% de stas seencuentra defectuoso. Se est probando un nuevo procesoque, se supone, reduce la proporcin de defectos. En unamuestra aleatoria simple de 100 botellas producidas con elnuevo proceso, diez estaban defectuosas.

a) Uno de los ingenieros sugiere que la prueba demuestraque el nuevo proceso no es mejor que el proceso ante-rior, ya que la proporcin de defectos es la misma. Essta una conclusin justificada? Explique.

b) Suponga que hubieran sido solamente nueve las botellasdefectuosas de la muestra de 100. Esto habra probadoque el nuevo proceso es mejor? Explique.

c) Qu resultado presenta pruebas ms evidentes de queel nuevo proceso es mejor: encontrar nueve botellas de-fectuosas en la muestra o encontrar dos botellas defec-tuosas en la muestra?

6. Con referencia al ejercicio 5. Verdadero o falso:a) Si la proporcin de defectos en la muestra es menor a

10%, es confiable concluir que el nuevo proceso es mejor.b) Si la proporcin de defectos en la muestra es slo ligera-

mente menor a 10%, la diferencia bien podra ser com-pletamente atribuible a la variacin del muestreo y no esconfiable concluir que el nuevo proceso es mejor.

c) Si la proporcin de defectos en la muestra es mucho me-nor a 10%, es muy poco probable que la diferencia seaatribuible completamente a la variacin del muestreo,por lo que es confiable llegar a la conclusin de que elnuevo proceso es mejor.

d) No importa qu tan pocos defectos aparezcan en lamuestra, el resultado bien podra ser completamenteatribuible a la variacin del muestreo, por lo que no esconfiable concluir que el nuevo proceso es mejor.

7. Para determinar si una muestra se debe tratar como unamuestra aleatoria simple, qu es ms importante: un buenconocimiento de la estadstica o un buen conocimiento delproceso que produce los datos?


Ejercicios para la seccin 1.1


1.2 Resumen estadstico

Con frecuencia una muestra constituye una larga lista de nmeros. Para ayudar a que las ca-ractersticas de una muestra sean evidentes, se calcula el resumen estadstico. Las dos cantida-des ms usadas en el resumen estadstico son la media de la muestra y la desviacinestndar de la muestra. La primera indica el centro de los datos y la segunda seala cmoestn distribuidos los datos.

Media muestralLa media muestral tambin se llama media aritmtica, o, simplemente, promedio. Repre-senta la suma de los nmeros en la muestra, dividido entre la cantidad total de nmeros que hay.

Observe que se acostumbra usar una letra con una barra encima de sta (por ejemplo X) pa-ra denotar la media de una muestra. Tambin observe que la media muestral tiene las mismasunidades que los valores de la muestra Xl, . . . , Xn.

Una muestra aleatoria simple de cinco hombres se elige de entre una gran poblacin de hom-bres y se mide su estatura. Las cinco cifras de estatura (en pulgadas) son 65.51, 72.30, 68.31,67.05 y 70.68. Encuentre la media muestral.

SolucinUsamos la ecuacin (1.1). La media muestral es

Desviacin estndarHe aqu dos series de datos: 28, 29, 30, 31, 32 y 10, 20, 30, 40, 50. Ambas tienen la mismamedia de 30. Pero obviamente difieren en una manera importante que no es captada por la me-dia: la segunda serie es mucho ms dispersa que la primera. La desviacin estndar es unacantidad que mide el grado de dispersin en una muestra.

Sea Xl, . . . , Xn una muestra. La idea bsica detrs de la desviacin estndar es que cuan-do la dispersin es grande, los valores de la muestra tendern a alejarse de su media, pero

1.2 Resumen estadstico 13

Definicin

Sea Xl, . . . , Xn una muestra. La media muestral es

(1.1)X =1n

ni=1

Xi

X = 15(65.51 + 72.30 + 68.31 + 67.05 + 70.68) = 68.77 pulgadas.

1.9Ejemplo


cuando la dispersin es pequea, los valores tendern a acercarse a su media. En este contex-to, el primer paso en el clculo de la desviacin estndar es calcular las distancias (tambinllamadas desviaciones) de cada valor de la muestra a la media de la muestra. Las desviacio-nes son (X1 X), . . . , (Xn X). Ahora algunas de estas desviaciones son positivas y otrasnegativas. Las desviaciones grandes, tanto negativas como positivas, son indicadores de ladispersin. Para hacer todas las desviaciones positivas se elevan al cuadrado, con lo que seobtienen las desviaciones al cuadrado (X1 X)2, . . . , (Xn X)2. A partir de las desviacio-nes al cuadrado se puede calcular una medida de la dispersin llamada la varianza muestral.sta constituye el promedio de las desviaciones al cuadrado, excepto que lo dividimos en-tre n 1 en lugar de n. Se acostumbra denotar a la varianza muestral con s2.

Mientras que la varianza muestral es una cantidad importante, tiene una seria desventajacomo una medida de la dispersin. Sus unidades no son las mismas que las unidades de los va-lores de la muestra; stas tienen unidades al cuadrado. Para obtener una medida de la dispersincuyas unidades sean las mismas que las de los valores de la muestra, simplemente se toma laraz cuadrada de la varianza. Esta cantidad se denomina desviacin estndar muestral. Seacostumbra denotar a la desviacin estndar muestral por la letra s (la raz cuadrada de s2).


Definicin

Sea Xl, . . . , Xn una muestra. La varianza muestral es la cantidad

(1.2)

Una frmula equivalente, que puede ser ms fcil de calcular, es

(1.3)

Definicin

Sea Xl, . . . , Xn una muestra. La des

Estadistica para ingenieros y cientificos.pdf

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