DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMALsrava_chrisdes.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files...adalah 83,33; rata-rata sampel ketiga adalah 85; sementara rata-rata populasinya adalah 88,5. Jika

Distribusi Probabilitas Normal & Distribusi Sampling - Srava Chrisdes Antoro 1 1

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL

&

DISTRIBUSI SAMPLING

Distribusi probabilitas normal:

𝑃 𝑥 =1

𝜎 2𝜋𝑒−

𝑋−𝜇 2

2𝜎2

dengan

𝜋 = 3,1416....

𝑒 = 2,7183....

𝜇 = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi

𝜎 = parameter, yang merupakan deviasi standar (simpangan baku) untuk

distribusi

Karakteristik dari distribusi probabilitas normal:

berbentuk lonceng, yaitu saat mean aritmetika, median, dan modus bernilai sama dan

terletak di tengah kurva distribusi; total luas daerah di bawah kurva adalah 1 mean-nya bersifat simetris, sehingga luas daerah di bawah kurva ke kiri dari mean

adalah 0,5 dan luas daerah di bawah kurva ke kanan dari mean adalah 0,5 lokasi dari distribusi normal ditentukan oleh mean (𝜇), sedangkan penyebaran data

ditentukan oleh deviasi standar (𝜎)

Secara grafik, karakteristik dari distribusi probabilitas normal adalah sebagai berikut.

Gambar 1. Karakteristik dari suatu distribusi probabilitas normal

Banyaknya distribusi normal tidak terbatas karena setiap sampel dari populasi bisa jadi akan

memiliki mean yang berbeda dan deviasi standar yang berbeda pula.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh gambar berikut dengan:

a. mean-nya sama dan deviasi standarnya berbeda,

b. mean-nya berbeda dan deviasi standarnya sama,

c. mean dan deviasi standarnya berbeda.


a.

b.

c.

Gambar 2. Contoh suatu distribusi probabilitas normal dengan beragam nilai 𝝁 dan 𝝈

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL STANDAR

Sembarang distribusi probabilitas normal dapat diubah menjadi distribusi probabilitas

normal standar. Distribusi probabilitas normal standar ini disebut juga distribusi 𝒛, karena

hasil standardisasi dari distribusi probabilitas normal menjadi distribusi probabilitas normal

standar disebut dengan nilai-𝑧, yaitu:


𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎 ↔ 𝑋 = 𝜇 + 𝑍𝜎

dengan 𝑋 = nilai observasi pada data

𝜇 = mean populasi

𝜎 = deviasi standar populasi

Distribusi 𝑧 atau distribusi probabilitas normal standar ini memiliki keunikan, yaitu mean

𝜇 = 0 dan deviasi standar 𝜎 = 1.

Setelah memiliki distribusi probabilitas normal standar yang didapat dari distribusi

probabilitas normal, maka daftar distribusi normal standar (tabel distribusi 𝑧) dapat

digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.

Berikut adalah sebagian kecil dari tabel distribusi 𝑧.

Gambar 3. Luas area di bawah kurva normal

Contoh 1

Pendapatan mingguan dari mandor terjadwal di industri kaca mengikuti distribusi probabilitas

normal dengan rata-rata $1000 dan deviasi standar $100. Berapakah 𝑧 hitung pada

pendapatan (sebut saja 𝑋) dari mandor yang menghasilkan $1100 per minggu? Bagaimana

pula 𝑧 hitung dari mandor yang menghasilkan $900 per minggunya?

Jawab:

Diketahui 𝜇 = 1000 dan 𝜎 = 100.

Untuk 𝑋 = $1100:

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎=

1100 − 1000

100= 1,00

Untuk 𝑋 = $900:

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎=

900 − 1000

100= −1,00

Nilai 𝑧 = 1,00 menunjukkan bahwa pendapatan mandor yang $1100 per minggunya adalah

satu deviasi standar di atas rata-rata, dan nilai 𝑧 = −1,00 menunjukkan bahwa pendapatan

mandor yang $900 per minggunya adalah satu deviasi standar di bawah rata-rata.


Selanjutnya, kita akan mempelajari bagaimana cara mencari luas di bawah kurva normal

(atau juga disebut probabilitas) dengan menggunakan distribusi probabilitas normal standar

(distribusi 𝑧). Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Tentukan 𝑃{𝑍 ≤ 1,63} !

Jawab:

𝑃{𝑍 ≤ 1,63} berarti bahwa probabilitas ini bergantung pada luas area di bawah kurva ke kiri

dari titik 𝑧 = 1,63.

Jadi, 𝑃{𝑍 ≤ 1,63} = 𝑃{−∞ < 𝑍 < 0} + 𝑃{0 ≤ 𝑍 ≤ 1,63}.

Untuk 𝑃{−∞ < 𝑍 < 0}, nilainya pasti sama dengan 0,5 (ingat kembali karakteristik

„simetris‟ dari distribusi probabilitas normal).

Sementara, untuk 𝑃{0 ≤ 𝑍 ≤ 1,63}, nilainya dapat dilihat dari tabel distribusi 𝑧 (atau

perhatikan kembali Gambar 3), nilainya sama dengan 0,4484.

Maka,

𝑃{𝑍 ≤ 1,63} = 𝑃{−∞ < 𝑍 < 0} + 𝑃{0 ≤ 𝑍 ≤ 1,63} = 0,5 + 0,4484 = 0,9484

Gambar 4. Luas area di bawah kurva normal standar pada Contoh 2

Nilai probabilitas 𝑃{0 ≤ 𝑍 ≤ 1,63} = 0,4484 ini menunjukkan bahwa probabilitas secara

acak terpilihnya suatu objek yang berada antara 𝑧 = 0 hingga 𝑧 = 1,63, atau antara 𝑥 = 𝜇

dan 𝑥 = 𝜇 + 1,63𝜎 adalah sebesar 0,4484.

Contoh 3

PT Work Electric memproduksi bola lampu yang dapat menyala dengan rata-rata selama 900

jam dan deviasi standarnya 50 jam. Hitunglah berapa probabilitas bola lampu yang

diproduksi dapat menyala selama 800 – 1000 jam!

Jawab:

Diketahui 𝜇 = 900 dan 𝜎 = 50.

Lalu, misalkan 𝑋1 = 800 dan 𝑋2 = 1000. Dengan menggunakan transformasi distribusi 𝑧,

didapatlah nilai-nilai 𝑧-nya:

𝑍1 =𝑋1 − 𝜇

𝜎=

800 − 900

50= −2

𝑍2 =𝑋2 − 𝜇

𝜎=

1000 − 900

50= 2

Jadi, probabilitas produksi bola lampu dapat menyala selama sekitar 800 – 1000 jam adalah:

𝑃{800 < 𝑋 < 1000} = 𝑃{−2 < 𝑍 < 2}

= 𝑃{−2 < 𝑍 < 0} + 𝑃{0 < 𝑍 < 2} (lihat tabel distribusi 𝑧)

= 0,4772 + 0,4772 = 0,9544


PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL

Ingat kembali, probability mass function (pmf) dari distribusi binomial:

( ) (1 )n x n x

xP x C p p

dengan

[ ]E X np

( ) (1 )Var X np p

Distribusi probabilitas normal dapat digunakan sebagai pengganti distribusi binomial pada

nilai n yang besar, karena jika n bertambah, distribusi binomial menjadi semakin mendekati

distribusi normal. Transformasi 𝑧-nya adalah sebagai berikut:

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎 ↔ 𝑍 =

𝑋 − 𝐸[𝑋]

𝑉𝑎𝑟 𝑥 ↔ 𝑍 =

𝑋 − 𝑛𝑝

𝑛𝑝 1 − 𝑝

“Kapan pendekatan normal terhadap binomial dapat dilakukan?”

Distribusi probabilitas normal merupakan pendekatan yang baik untuk distribusi probabilitas

binomial ketika 𝑛𝑝 1 − 𝑝 ≥ 10.

Namun, perlu diperhatikan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan diantara kedua

probabilitas tersebut. Distribusi probabilitas normal merupakan distribusi probabilitas

kontinu, sementara distribusi probabilitas binomial merupakan distribusi probabilitas diskret.

Oleh sebab itu, terdapat faktor koreksi kontinuitas.

Faktor koreksi kontinuitas adalah nilai 0,5 yang dikurangkan atau dijumlahkan

(bergantung pada pertanyaannya) pada nilai yang terpilih ketika distribusi probabilitas diskret

diperkirakan melalui distribusi probablitas kontinu.

Contoh 4

Sebuah koin dilempar 40 kali. Hitunglah probabilitas munculnya angka sebanyak 20 kali!

Lalu, gunakanlah pendekatan normal untuk menghitung probabilitas munculnya angka

sebanyak 20 kali!

Jawab:

Misalkan X adalah banyaknya angka yang muncul (“berhasil”) pada pelemparan suatu koin

sebanyak 40 kali. X merupakan variabel acak binomial dengan n = 40 dan p = ½. Yang

ditanyakan adalah { 20}P X .

>> Dengan menggunakan distribusi probabilitas binomial: 20 20

40 20 40 20

20

40! 1 1{ 20} (1 ) 1 0,1254

(40 20)! 20! 2 2P X C p p

>> Dengan menggunakan distribusi probabilitas normal:

Dalam hal ini, 20np ; (1 ) 10np p ; 1 20 0,5 19,5X ; 2 20 0,5 20,5X .

Dengan menggunakan transformasi distribusi 𝑧, didapatlah nilai-nilai 𝑧-nya:

11

19,5 200,16

(1 ) 10

X npZ

np p

; 2

2

20,5 200,16

(1 ) 10

X npZ

np p


{ 20}P X = {19,5 20,5}P X

= { 0,16 0,16}P Z

= { 0,16 0} {0 0,16}P Z P Z (lihat tabel distribusi 𝑧)

= 0,0636 + 0,0636

= 0,1272

“KESALAHAN” SAMPLING

Ilustrasi:

Rata-rata sampel diambil untuk mengestimasi rata-rata populasi. Namun, karena sampel

adalah bagian dari populasi, maka tentunya rata-rata sampel tidak akan benar-benar sama

dengan rata-rata populasi. Begitu pula dengan deviasi standar, pasti ada perbedaan atau

selisih antara deviasi standar sampel dengan deviasi standar populasi.

Perbedaan/selisih dari statistik suatu sampel dengan parameter dari populasinya disebut

kesalahan sampling.

Kesalahan sampling yang bernilai positif menunjukkan rata-rata sampel over-estimated untuk

rata-rata populasi, sedangkan kesalahan sampling yang bernilai negatif menunjukkan rata-rata

sampel under-estimated untuk rata-rata populasi.

Contoh 5

Berikut ini adalah daftar nama-nama mahasiswa yang mengambil mata kuliah Aljabar Linier

beserta nilai ujian mid mereka masing-masing.

a. Tentukan rata-rata nilai Aljabar Linier dari seluruh mahasiswa tersebut!

b. Ambil 3 macam sampel yang masing-masingnya terdiri dari 6 mahasiswa, kemudian

hitunglah rata-rata nilai dari masing-masing sampel! Bandingkanlah rata-rata nilai dari

masing-masing sampel dengan rata-rata nilai Aljabar Linier dari seluruh mahasiswa

dengan menghitung kesalahan samplingnya!

1 Rian Lie 100 16 Vivi Siddhartha 60

2 Justin Salim 100 17 Mega Velyana 100

3 Bambang Rizky 90 18 Mhd Rizal Srg 85

4 Nikko Haryanto 80 19 Luis Andy Gunawan 85

5 Riandy 85 20 Eddy Johan 100

6 Viyan Sunata 90 21 Maya 90

7 Stephen Lie 90 22 Deby Claudia Dinti 100

8 Ricky Meidianto 80 23 Steven Halim 95

9 Davin Joice Wijaya 100 24 Cinthia Amorita 85

10 Ardi Gus Dwiyono 90 25 Heri Ependy 90

11 Dani Saputra 95 26 Darmawan 75

12 Desfriyanto Taswin 100 27 M. Irvan Syahputra J 100

13 Daniel Leonardo 90 28 Willy 100

14 Rina Ambar Wisni 60 29 Luckyanto Lim 90

15 Febiyani 70 30 Kevin Stevandy 80


Jawab:

a. Rata-rata populasi: total seluruh nilai 2655

88,5banyak mahasiswa 30

b. Berikut adalah 3 (contoh) macam sampel yang terdiri dari 6 mahasiswa beserta dengan

kesalahan sampling dari masing-masing sampel:

Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai

Justin Salm 100 Nikko Haryanto 80 Viyan Sunata 90

Stephen Lie 90 Davin Joice Wijaya 100 Dani Saputra 95

Desfriyanto Taswin 100 Rina Ambar Wisni 60 Vivi Siddharta 60

Mega Velyana 100 Luis Andy Gunawan 85 Maya 90

Deby Claudia Dinti 100 Cinthia Amorita 85 Darmawan 75

M. Irvan Syahputra 100 Luckyanto Lim 90 Rian Life 100

RATA-RATA 98,33 RATA-RATA 83,33 RATA-RATA 85

Kes. Sampling 9,83 Kes. Sampling -5,17 Kes. Sampling -3,5

SAMPEL 1 SAMPEL 2 SAMPEL 3

Dari Contoh 5 di atas, jika sampel yang diambil terdiri dari 6 mahasiswa, maka banyaknya

macam sampel yang mungkin terjadi ada sebanyak:

30

6

30! 30!593.775

(30 6)! 6! 24! 6!C

macam sampel

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA SAMPEL

Perhatikan bahwa rata-rata sampel pada Contoh 1 berbeda-beda dari satu sampel ke sampel

selanjutnya. Rata-rata sampel pertama dari 6 mahasiswa adalah 98,33; rata-rata sampel kedua

adalah 83,33; rata-rata sampel ketiga adalah 85; sementara rata-rata populasinya adalah 88,5.

Jika kita menyusun rata-rata seluruh kemungkinan sampel dari 6 mahasiswa menjadi bentuk

distribusi probabilitas, hasilnya disebut dengan distribusi sampling rata-rata sampel.

Distribusi sampling rata-rata sampel merupakan suatu distribusi dari seluruh

kemungkinan rata-rata sampel dari ukuran sampel yang diketahui.

Contoh 6

Pabrik Tartus memiliki tujuh karyawan produksi. Pendapatan tiap jam dari setiap

karyawannya adalah sebagai berikut:

Karyawan Pendapatan per

Jam ($)

Joe 7

Sam 7

Sue 8

Bob 8

Jan 7

Art 8

Ted 9


P

R

O

B

A

B

I

L

I

T

A

S

a. Berapa rata-rata populasinya?

b. Buatlah distribusi sampling rata-rata sampel pada sampel berukuran 2?

c. Berapa rata-rata dari distribusi sampling?

Jawab:

a. total seluruh pendapatan 54

7,71banyak karyawan 7

b. Banyaknya macam sampel yang dapat dibentuk jika masing-masing sampel terdiri dari

2 karyawan adalah:

7

2

7! 7!21

(7 2)! 2! 5! 2!C

macam sampel

Maka, distribusi sampling rata-rata sampel pada sampel berukuran 2 adalah:

Rata-Rata Sampel Nomor Rata-Rata Probabilitas

7 3 3/21

7,5 9 9/21

8 6 6/21

8,5 3 3/21

21 1

c. Rata-rata distribusi sampling rata-rata sampel X diperoleh dengan menjumlahkan

beberapa rata-rata sampel dan membagi jumlahnya dengan banyaknya sampel.

7 7,5 7,5 7 ... 7,5 8 8,5 1627,71

21 21X

Gambar 5. Kurva distribusi sampling rata-rata sampel pada Contoh 6


Contoh 6 di atas mengilustrasikan hubungan erat antara distribusi populasi dengan distribusi

sampling rata-rata sampel:

1) Rata-rata dari rataan sampel sama persis dengan rata-rata populasi.

2) Sebaran distribusi sampling rata-rata sampel lebih kecil daripada distribusi populasi.

[Pada Contoh 6, sebaran nilai untuk distribusi populasi adalah 7 – 9, sedangkan

sebaran nilai untuk distribusi sampling rata-rata sampel adalah 7 – 8,5.]

3) Distribusi sampling rata-rata sampel cenderung berbentuk lonceng dan mendekati

distribusi probabilitas normal.

TEOREMA LIMIT TENGAH

Jika seluruh sampel suatu ukuran dari populasi apapun dipilih, maka distribusi sampling rata-

rata sampel mendekati distribusi normal. Pendekatan ini semakin baik jika sampel yang

dipilih semakin banyak.

Gambar 6. Hasil dari Teorema Limit Tengah pada beberapa populasi

Jika adalah rataan populasi dan adalah deviasi standar populasi, maka rataan dan

deviasi standar dari distribusi sampling rata-rata sampel adalah sebagai berikut:

X ;

Xn

dengan n adalah banyaknya pengamatan dari setiap sampel.


L A T I H A N S O A L

1. Hitunglah:

a. { 1,86 0}P Z c. {1,4 2,65}P Z

b. { 1,5 1,82}P Z d. { 1,96}P Z

2. Keluarga Kamp memiliki anak kembar, Rob dan Rachel. Rob dan Rachel keduanya

lulus dari universitas 2 tahun yang lalu, dan masing-masingnya sekarang memperoleh

$50000 per tahun. Rachel bekerja di industri eceran, di mana rata-rata gaji untuk

eksekutif dengan pengalaman kurang dari 5 tahun adalah $35000 dengan deviasi

standar $8000. Rob adalah seorang insinyur. Rata-rata gaji insinyur dengan pengalaman

kurang dari 5 tahun adalah $60000 dengan deviasi standar $5000. Hitunglah nilai 𝑧

untuk Rob dan Rachel, kemudian jelaskan maksudnya !

3. Suatu data yang berdistribusi normal memiliki rata-rata 50 dan deviasi standar 4.

a. Hitunglah probabilitas dari nilai antara 44 dan 55 !

b. Hitunglah probabilitas dari nilai yang lebih besar dari 55 !

c. Hitunglah probabilitas dari nilai antara 52 dan 55 !

4. Rata-rata berat bayi yang baru lahir 3750 gram dengan deviasi standar 325 gram. Jika

berat bayi diasumsikan berdistribusi normal, maka tentukan:

a. berapa probabilitas bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram ?

b. berapa banyak bayi yang beratnya antara 3500 – 4500 gram jika total bayinya ada

10000 ?

c. berapa banyak bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 4000 gram jika

total bayinya ada 10000 ?

d. berapa banyak bayi yang beratnya 4250 gram jika total bayinya ada 5000 ?

5. Studi yang diadakan oleh Taurus Health Club menyatakan bahwa 30% dari anggotanya

mengalami kegemukan. Jika anggota keseluruhan berjumlah 500 orang, maka:

a. berapa probabilitas bahwa 175 anggota atau lebih mengalami kegemukan ?

b. berapa probabilitas bahwa 140 anggota atau lebih mengalami kegemukan ?

6. Pada badan hukum Tybo dan Associates, terdapat enam orang partner. Berikut

merupakan rekanan dan jumlah kasus yang ditangani masing-masing di pengadilan

pada bulan lalu.

Rekanan Banyak Kasus

Ruud 3

Wu 6

Sass 3

Flores 3

Wilhelms 0

Schueller 1

a. Berapa banyak kemungkinan sampel berbeda yang berukuran 3 ?

b. Tulislah seluruh kemungkinan sampel berukuran 3, dan hitung rata-rata populasi

setiap sampel !

c. Hitunglah rata-rata dan deviasi standar dari distribusi sampling rata-rata sampel

yang berukuran 3 !

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMALsrava_chrisdes.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files...adalah 83,33; rata-rata sampel ketiga adalah 85; sementara rata-rata populasinya adalah 88,5. Jika

Documents