Top Banner
by.tuti & Kris by.tuti & Kris 1 Derivatif Parsial Derivatif Parsial ( ( Slide 2 Slide 2 ) ) Dosen Pengampu Dosen Pengampu Dra. Harmastuti M.Kom Dra. Harmastuti M.Kom
21

Derivatif Parsial ( Slide 2 )

Jan 16, 2016

Download

Documents

ASTRA

Derivatif Parsial ( Slide 2 ). Dosen Pengampu Dra. Harmastuti M.Kom. Pengantar. Dalam pertemuan ini akan dibahas - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 11

Derivatif ParsialDerivatif Parsial((Slide 2Slide 2))

Dosen PengampuDosen Pengampu

Dra. Harmastuti M.KomDra. Harmastuti M.Kom

Page 2: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 22

PengantarPengantar

Dalam pertemuan ini akan dibahas Dalam pertemuan ini akan dibahas

derivatif untuk fungsi dua perubah atau derivatif untuk fungsi dua perubah atau lebih dan aplikasinya. Untuk mempelajari lebih dan aplikasinya. Untuk mempelajari

materi ini diharapkan mahasiswa telah materi ini diharapkan mahasiswa telah mengambil matakuliah kalkulus 2 yang mengambil matakuliah kalkulus 2 yang

berkaitan dengan derivatif dan integral .berkaitan dengan derivatif dan integral .

Page 3: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 44

1.Derivatif Fungsi dua 1.Derivatif Fungsi dua PerubahPerubah

Derivatif Parsial.Derivatif Parsial.

Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :Karena x dan y independen maka :

(i ). x berubah-ubah sedangkan y (i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.tertentu.

(ii). y berubah - ubah sedangkan (ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentux tertentu..

Page 4: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 55

Derivatif Fungsi dua Derivatif Fungsi dua Perubah Perubah

Definisi 2.1Definisi 2.1

i)i). . Derivatif parsial terhadap perubah xDerivatif parsial terhadap perubah x

Jika x berubah-ubah dan y tertentu Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsimaka z merupakan fungsi

x , derivatif parsial z = x , derivatif parsial z = ff(x,y) terhadap x (x,y) terhadap x sbb : sbb :

x

)y,x()y,xx(lim)y,x(

0xx

fff

Page 5: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 66

Derivatif Fungsi dua Derivatif Fungsi dua Perubah Perubah

ii).ii). Derivatif parsial terhadap perubah yDerivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z

merupakan fungsimerupakan fungsi

y, derivatif parsial z = y, derivatif parsial z = ff(x,y) terhadap y sbb :(x,y) terhadap y sbb :

disebut derivatif parsial z = disebut derivatif parsial z = ff (x,y) (x,y) terhadap y.terhadap y.

y

)y,x(f)yy,x(f

0ylim)y,x(yf

y

z

Page 6: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 77

Menentukan nilai derivatif Menentukan nilai derivatif

Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan limitlimit

aa. . Tentukan derivatif parsial fungsi Tentukan derivatif parsial fungsi ff terhadap terhadap xx jika jika

ff(x,y) = x(x,y) = x22 + 2y + 2y

JawabJawab : : ff(x,y) = x(x,y) = x22 + 2y + 2y maka maka

)xx2(lim0x

x2

x

)y,x()y,xx(lim)y,x(

0xx

fff

x

)y2x()y2)xx((lim

22

0x

Page 7: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 88

Menentukan nilai derivatifMenentukan nilai derivatif

b. b. Tentukan derivatif parsial fungsi Tentukan derivatif parsial fungsi ff terhadap terhadap yy jika jika

ff(x,y) = x(x,y) = x22 + 2y + 2y

y

)y,x()yy,x(lim)y,x(

0Δyy

fff

y

)y2x())yy(2x(lim

22

0Δy

22lim0Δy

Page 8: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 99

Menentukan nilai derivatifMenentukan nilai derivatif

Contoh 2.2. Contoh 2.2. JikaJika z = ln (x z = ln (x22 + y + y22) tunjukkan ) tunjukkan bahwabahwa

Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu terlebih dahulu

Selanjutnya tentukan nilaiSelanjutnya tentukan nilai

y

zdan

x

z

2y

zy

x

zx

y

zy

x

zx

Page 9: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1010

Lanjutan Contoh 2.2.Lanjutan Contoh 2.2.

z = ln (xz = ln (x22 + y + y22) , derivatif parsial terhadap x ) , derivatif parsial terhadap x dan y dan y

dandan

maka :maka :

= = 2= = 2y

zy

x

zx

22

22

yx

x2

x

)yxln(

x

z

22

22

yx

y2

y

)yxln(

y

z

2222 yx

y2y

yx

x2x

Page 10: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1111

2. Dreivatif Parsial Tingkat n2. Dreivatif Parsial Tingkat n

Jika fungsi z = Jika fungsi z = ff(x,y) mempunyai derivatif (x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka maka

dandan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai mempunyai derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua. dua. Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb:Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb:

)y,x(x

zxf

)y,x(y

zyf

Page 11: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1212

Menentukan nilai derivatif parsial tingkat nMenentukan nilai derivatif parsial tingkat n

Contoh- 2.3.Contoh- 2.3. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk ff(x,y) = x(x,y) = x22y – 3xy + 2 xy – 3xy + 2 x22yy22

Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu ffxx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y(x,y) = 2xy – 3y +4 x y22

ffyy (x,y) = x(x,y) = x22 – 3x + 4 x – 3x + 4 x22y y Jadi derivatif parsial tingkat dua Jadi derivatif parsial tingkat dua

ffxxxx (x,y) = 2y + 4y(x,y) = 2y + 4y22

ffyyyy (x,y) = 4 x(x,y) = 4 x22

ffyxyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 dan dan

ffxyxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3

Page 12: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1313

3.Diferensial Total3.Diferensial Total

Tinjau kembali fungsiTinjau kembali fungsi z = z = ff(x,y) ; x dan y perubah bebas.(x,y) ; x dan y perubah bebas.

derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan ydan y

dan dan

dengan mengambil dx = dengan mengambil dx = x dan dy = x dan dy = y. y.

diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sbb :didefinisikan sbb :

),( yxfx

zx

)y,x(yfy

z

dyy

zdx

x

zdz

Page 13: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1414

Diferensial Total n variabelDiferensial Total n variabel

1. Jika z = 1. Jika z = ff( x( x11 , x , x22,…. x,…. xnn ) maka ) maka

dz = + + … + dz = + + … +

2. Jika 2. Jika ff(x(x11 , x , x22,…. x,…. xnn ) = c maka d ) = c maka dff = 0, = 0,

catatan xcatatan x11 , x , x22,…. x,…. xnn bukan merupakan variabel bukan merupakan variabel independent.independent.

11

dxx

f

22

dxxf

nn

dxxf

Page 14: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1515

Contoh soal diferensial totalContoh soal diferensial total

Contoh-2.4Contoh-2.4. Tentukan diferensial total untuk . Tentukan diferensial total untuk

r = sr = s22θ θ + 3 s + 3 sθθ22

Page 15: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1616

Contoh soal diferensial totalContoh soal diferensial total

Page 16: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1717

4. Aplikasi Derivatif Parsial4. Aplikasi Derivatif Parsial

Contoh Contoh 2.6. Diketahui R = R(E,C) = 2.6. Diketahui R = R(E,C) = Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan

yang dialami R dan tentukan nilai Ryang dialami R dan tentukan nilai R

Jawab :Jawab : Langkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan CLangkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan C

Langkah 2. Tulis rumus diferensial total Langkah 2. Tulis rumus diferensial total Langkah 3. Tentukan perubahan yang dialami RLangkah 3. Tentukan perubahan yang dialami R subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus )subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus )

Langkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan RLangkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan R

C

E

Page 17: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1818

Soal-soal LatihanSoal-soal Latihan1.Derivatif fungsi dua perubah 1.Derivatif fungsi dua perubah

Page 18: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1919

Soal-soal LatihanSoal-soal Latihan

2. Diferensial total dan Aplikasi dervatif 2. Diferensial total dan Aplikasi dervatif parsialparsialDiferensial total

1. Tentukan dF dan dG apabila

F(x,y) = x2y – 5x y2 +8y3 dan G(x,y) = x2yz – 5x y2z

2. Apabila z = x2y – 5x y2 +8y3 , x = 5; y = 4; dx = -0,2 ; dy = 0,1 tentukan nilai z

dengan memperhatikan factor kesalahan (dz).

Aplikasi derivatif parsiil

1. Diketahui segitiga yang kaki-kakinya 7,98 dan 6,01cm, dengan menggunakan

diferencial hitung panjang garis miring segitiga tersebut.

2. Diketahui R = R( R1 ,R2) = 21

21

RR

RR

Tentukan perubahan R jika untuk R1= 8 bertambah 0,2 dan R2 = 6 berkurang 0,1.

3. Diberikan kerucut dengan jari-jari alas 10 cm, jari-jari tersebut menyusut 0.3 cm

sedangkan tinggi kerucut 15 cm bertambah 0.2cm. Tentukan volume kerucut

setelah berubah.

Page 19: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2020

ResumeResume

Derivatif Parsial:Derivatif Parsial:

Diketahui z = f (x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

(i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.

(ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu.

Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x dan derivatifnya terhadap x

adalah

y

)y,x()y,xx(lim)y,x(

x

z0x

x

fff

disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap x.

Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y dan derivatifnya terhadap y

adalah

y

)y,x()yy,x(lim)y,x(

y

z0y

y

fff

disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y.

Page 20: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2121

ResumeResume

Derivatif TotalDerivatif Totalz = f(x,y) fungsi dengan dua perubah bebas x dan y, derivatif parsial fungsi

tersebut

)y,x(x

zxf

dan )y,x(

y

zyf

dengan mengambil dx = x , dy = y dan

jika x berubah-ubah sedangkan y tertentu maka z hanya merupakan fungsi x,

diferensial parsial, fungsi z terhadap x didefinisikan : dxz = dx)y,x(dxx

zx

f

jika y berubah-ubah sedangkan x tertentu maka z hanya merupakan fungsi y

diferensial parsial fungsi z terhadap y didefinisikan, dyz = dy)y,x(dyy

zyf

maka diferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah kedua diferensial tersebut,

yaitu

dz = dxx

z

+ dy

y

z

Page 21: Derivatif Parsial ( Slide 2 )

by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2222

Meteri pertemuan Meteri pertemuan selanjutnyaselanjutnya

Derivatif fungsi composit,Derivatif fungsi composit,

Derivatif parsial menggunakan Derivatif parsial menggunakan determinan Jacobi.determinan Jacobi.

Transformasi koordinat (Transformasi koordinat (mapping one to mapping one to

oneone ). ).