Derivación para puntos no equidistantes

DERIVACIÓN PARA PUNTOS NO EQUIDISTANTES

Una manera de emplear datos irregularmente espaciados consiste en ajustar un polinomio de interpolación de Lagrange de segundo grado a cada conjunto de tres puntos adyacentes.

Recuerde que estos polinomios no requieren que los puntos estén igualmente espaciados.

Si se deriva analíticamente el polinomio de segundo grado se obtiene:

Donde x es el valor en el cual se quiere estimar la derivada.

Aunque esta ecuación es más complicada que las aproximaciones de la primera derivada tanto para la expansión de la serie de Taylor y al truncar su resultado al excluir los términos de la segunda derivada en adelante.

Exp. Serie de Taylor Truncamiento a la exp. Ser. Taylor

VENTAJAS:Sirve para estimar la derivada en cualquier punto dentro de un

intervalo determinado por los tres puntos.

Los puntos no tienen que estar igualmente espaciados.

La estimación de la derivada tiene la misma exactitud que la diferencia centrada

DIFERENCIA CENTRADARepresentación de las diferencias centradas de la primera derivada.

Si a nuestra ecuación para puntos no equidistantes

evaluamos en X=Xi obtenemos

EJERCICIO:Un gradiente de Temperatura puede medirse abajo del suelo. El flujo de

calor en la interfaz suelo-aire Puede calcularse mediante la ley de Fourier.Donde:q = flujo de calor (W/m2)k = coefi. de difusividad térmica en el suelo ( 3.5× 10–7 m2/s)≅r = densidad del suelo ( 1 800 kg/m3)≅C = calor específico del suelo ( 840 J/(kg · ºc))≅Observe que un valor positivo del flujo indica que el calor se transfiere del aire al suelo. Utilice diferenciación numérica para evaluar el gradiente en la interfaz Suelo-aire y emplee dicha estimación para determinar el flujo de calor bajo el suelo.