Deret Harmonik Wono Setya Budhi October 16, 2014 Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 1 / 20
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Deret Harmonik
Wono Setya Budhi
October 16, 2014
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 1 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
2 Selanjutnya, buat barisan baru
H (n) =n
∑k=1
1
k
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuatdengan cara khusus).
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
2 Selanjutnya, buat barisan baru
H (n) =n
∑k=1
1
k
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuatdengan cara khusus).
3 Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini
1+1
2+
1
3+
1
4+
1
5+
1
6+
1
7+
1
8+
1
9+ . . .
≥ 1+1
2+
1
4+
1
4+
1
8+
1
8+
1
8+
1
8+
1
16+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Misalkan kita mempunyai barisan {fn}∞n=1 dengan fn = 1
n
2 Selanjutnya, buat barisan baru
H (n) =n
∑k=1
1
k
dengan n = 1, 2, 3, . . .. Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuatdengan cara khusus).
3 Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini
1+1
2+
1
3+
1
4+
1
5+
1
6+
1
7+
1
8+
1
9+ . . .
≥ 1+1
2+
1
4+
1
4+
1
8+
1
8+
1
8+
1
8+
1
16+ . . .
4 Saat ini kita akan melihat order dari cara deret ini membesar denganmembandingkan fungsi f (x) dengan
limx→∞
f (x) = ∞ dan limn→∞
[H (n)− f (n)] = c
dengan c konstanta.Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 2 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
% Kita akan melihat ukuran membesarnyaN=40H(1)=1for i=2:NH(i)=H(i-1)+1/i;endplot(H,’+r’)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 3 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 401
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 Pernah melihat fungsi seperti ini?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 4 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 401
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1 Fungsi dengan bentuk seperti di atas f (x) =√x , f (x) = ln x atau
f (x) = x r dengan 0 < r < 1.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 5 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 40−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
y = logx
y =√
x
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 6 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang”konstan” terhadap y = ln (x).
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang”konstan” terhadap y = ln (x).
2 Apakah ini benar?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang”konstan” terhadap y = ln (x).
2 Apakah ini benar?
3 Kita akan menguji dengan melihat barisan
C (n) = H (n)− ln n
c (n) = H (n)− ln (n+ 1)
dengan n sangat besar
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 7 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
x=linspace(1,40,40);plot(x,H(x)-log(x),’b’,’LineWidth’,2)text(’Interpreter’,’latex’,...
’String’,’$y=H(n)-\log n$’,...’Position’,[10 H(10)-log(10)],...’FontSize’,16)
plot(x,H(x)-log(x+1),’g’,’LineWidth’,2)text(’Interpreter’,’latex’,...
’String’,’$y=H(n)-\log (n+1)$’,...’Position’,[10 H(10)-log(10+1)],...’FontSize’,16)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 8 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y = H(n)− logn
y = H(n)− log(n + 1)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 9 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Karena C (n) = H (n)− log (n) monoton turun danc (n) = H (n)− log (n+ 1) monoton naik, dan
C (n) 6= c (n)
untuk setiap n, dugaan kita
limn→∞
H (n)− log (n)
ada
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 10 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1y=H(n)−log (n+1)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 11 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1y=H(n)−log (n+1)
2
c (5) = H (5)− ln (5+ 1)
= H (5)−∫ 5+1
1
1
xdx
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 11 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6y=H(n)−log n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 12 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1
1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6y=H(n)−log n
2
c (5) = H (5)− ln (5)
= H (5)−∫ 6
2
1
x − 1dx
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 12 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Perhatikan bahwa
C (n)− c (n) = H (n)− ln (n)− H (n) + ln (n+ 1)
= ln
(
1+1
n
)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 13 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Perhatikan bahwa
C (n)− c (n) = H (n)− ln (n)− H (n) + ln (n+ 1)
= ln
(
1+1
n
)
2 Jika n → ∞, limn→∞ ln(
1+ 1n
)
= 0, maka
limn→∞
{C (n)− c (n)} = 0 atau limn→∞
C (n) = limn→∞
c (n) = C
yang sudah diketemukan oleh Euler (1707-1783)
C = limn→∞
(
1+1
2+
1
3+ . . . +
1
n
)
− ln n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 13 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Apakah kita dapat mengenali sisa
1+1
2+
1
3+ . . . +
1
n− ln n
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 14 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
2 Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n)− H (n) jika n → ∞. Apakahanda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
2 Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n)− H (n) jika n → ∞. Apakahanda mengenalinya?
3 Selidiki juga dengan H(
2kn)
− H (n)
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bandingkan H (n) dengan√n, 3
√n, 4
√n, . . .
2 Selidiki apa yang terjadi dengan H (2n)− H (n) jika n → ∞. Apakahanda mengenalinya?
3 Selidiki juga dengan H(
2kn)
− H (n)
4 Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi denganH(
2kn)
. Tentu nilainya juga akan membesar. Bagaimana ukuranmembesarnya? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan sebagaiukuran.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 15 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2 Tentukan kemungkinan nilai m
njika J (m) = J (n) + 1?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2 Tentukan kemungkinan nilai m
njika J (m) = J (n) + 1?
3 Misalkan n bilangan terbesar sehingga J (n) = m, untuk
m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m). Hitung L(m+1)L(m)
. Carilah
suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari Hn
1 Hitung J (2n)− J (n) dengan n = 1, 2, . . . ,N dengan N cukup besar.Kesimpulan yang bisa diperoleh?
2 Tentukan kemungkinan nilai m
njika J (m) = J (n) + 1?
3 Misalkan n bilangan terbesar sehingga J (n) = m, untuk
m = 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m). Hitung L(m+1)L(m)
. Carilah
suatu kesimpulan mengenai hasil ini?
4 Tentukan order dari L (m) jika m membesar tanpa batas. Sekali lagi,tentukan order membesarnya H (n).
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 16 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bagaimana dengan deret
∞
∑n=1
(−1)n+1 1
n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bagaimana dengan deret
∞
∑n=1
(−1)n+1 1
n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
2 Bagaimana dengan deret
1+1
2− 1
3+
1
4+
1
5− 1
6+ . . .
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Bagaimana dengan deret
∞
∑n=1
(−1)n+1 1
n
Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya?
2 Bagaimana dengan deret
1+1
2− 1
3+
1
4+
1
5− 1
6+ . . .
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
3 Bagaimana dengan deret
1+1
3− 1
2+
1
5+
1
7− 1
4+ . . .
Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya?
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 17 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
3 Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+1√2+
1√3+ . . . +
1√n
divergen. Selidiki order divergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
3 Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
4 Ingat saat 1+ 12 +
13 +
14 + . . ., kita memperoleh f (x) = ln x .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 18 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+13√2+
13√3+ . . . +
13√n
divergen. Selidiki order konvergensinya.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+13√2+
13√3+ . . . +
13√n
divergen. Selidiki order konvergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Kita mengetahui bahwa deret
xn = 1+13√2+
13√3+ . . . +
13√n
divergen. Selidiki order konvergensinya.
2 Carilah an = f (n) sehingga yn = xn − an konvergen!
3 Kalau perlu carilah an lebih dari satu.
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 19 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Selidiki ke konvergenan
1+1
22+
1
32+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 20 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Selidiki ke konvergenan
1+1
22+
1
32+ . . .
2 Selidiki ke konvergenan
1+1
23+
1
33+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 20 / 20
Deret Harmonik
Deret Harmonik
1 Selidiki ke konvergenan
1+1
22+
1
32+ . . .
2 Selidiki ke konvergenan
1+1
23+
1
33+ . . .
3 Selidiki ke konvergenan
1+1
24+
1
34+ . . .
Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, 2014 20 / 20
Related Documents
