Definisi Turunan

8/17/2019 Definisi Turunan

1/25

Definisi Turunan

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnyafungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utamadari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac e!ton ( "#$% & "% ),

ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan ottfried ilhelm *eibni+ ( "#$# & ""# ), ahlimatematika bangsa erman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untukmenyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. -ntuk keperluan inidirancang teorematentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturanrantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi iners.Turunan dasar

/turan 0 aturan dalam turunan fungsi adalah 11. f(2), maka f'(2) 3 4

2. ika f(2) 3 2, maka f5(2) 3 "3. /turan pangkat 1 ika f(2) 3 2n, maka f5(2) 3 n 6 n & "

4. /turan kelipatan konstanta 1 (kf) (2) 3 k. f5(2)

5. /turan rantai 1 ( f o g ) (2) 3 f5 (g (2)). g5(2))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dua fungsi

7isalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f 8 g, f & g, fg, f9g, ( g (2) :4 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan 11. ( f 8 g )5 (2) 3 f5 (2) 8 g5 (2)

2. ( f & g )5 (2) 3 f5 (2) 0 g5 (2)

3. (fg)5 (2) 3 f5(2) g(2) 8 g5(2) f(2)

4. ((f)9g )5 (2) 3 (g(2) f' (2)0 f(2) g' (2))9((g(2)%)

Turunan fungsi trigonometri

1. d9d2 ( sin 2 ) 3 cos 2

2. d9d2 ( cos 2 ) 3 0 sin 2

3. d9d2 ( tan 2 ) 3 sec% 2

4. d9d2 ( cot 2 ) 3 0 csc% 2

5. d9d2 ( sec 2 ) 3 sec 2 tan 2

6. d9d2 ( csc 2 ) 3 0csc 2 cot 2

Turunan fungsi invers

(f0")(y) 3 "9(f' (2)), atau dy9d2 "9(d29dy)

Turunan Matematika adalah

7isalkan y adalah fungsi dari 2 atau y 3 f(2). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap 2dinotasikan dengan 1;umus Turunan dan contohikadengan < dan n konstanta real, maka 1

http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Fisikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Inggrishttp://id.wikipedia.org/wiki/Inggrishttp://id.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/wiki/Jermanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Mekanikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Sir_Isaac_Newtonhttp://id.wikipedia.org/wiki/Matematikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Fisikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Inggrishttp://id.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibnizhttp://id.wikipedia.org/wiki/Jermanhttp://id.wikipedia.org/wiki/Geometrihttp://id.wikipedia.org/wiki/Mekanikahttp://id.wikipedia.org/wiki/Limithttp://id.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi


2/25

ika y 3 < dengan

ika y 3 f(2) 8 g(2) maka

ika y 3 f(2).g(2) maka

Turunan Kedua

Turunan kedua y 3 f(2) terhadap 2 dinotasikan dengan . Turunan kedua diperoleh dengan

menurunkan turunan pertama.2 & y & $ 3 4

C. >2 & y & ? 3 4

=enyelesaian 1

y 3 %2> & ?2% & 2 8 # → 2 3 "

y5 3 #2% & "42 & "

y(") 3 %(")>0 ?(")% & " 8 #

3 % & ? & " 8 #

3 % → (",%)

y5 3 m 3 #2% & "42 & "

3 #(")%

& "4." & "3 0?

=gs 1 y & b 3 m (2 & ")

y & % 3 0? (2 & ")

y & % 3 0?2 8 "

?2 8 y 8> 3 4

a!aban 1 A

Turunan pertama fungsi D(2) 3 e0$28? adalah D5(2) 3 @

/. e0$


3/25

C. ( 0$28?) e0>28$

=enyelesaian 1

D (2) 3 e0$28?

D5(2) 3 0$e

0$28?

a!aban 1 A

Turunan pertama fungsi D(2) 3 p→4 p

/. & >

"42?9> ?2?9>

A. & % B. >?2?9> ?2"9>

>

"42"9>

=enyelesaian 1

f(2) 3 F

"42%9>

f5(2)3 F 2%9>

"4


4/25

?. ilai minimum fungsi f (2) 3 %2> 8 >2% 8 > dalam interal 0% G 2 G " adalah @

/. 0#

A. 0" B. # C. E

=enyelesaian 1

f (2) 3 %2> 8 >2% 8 > pada 0% G 2 G "

f5(2) 3 #2% 8 #2

Stasioner 1 #2% 8 #2 3 4

>2 (%28%) 3 4

>2 3 4 → 2 3 4 %28% 3 4 → 2 3 0"

f(0%) 3 % (0%)> 8 > (0%)% 8 >

3 0"# 8 "% 8 >

3 0"

f(") 3 % (")> 8 > (")% 8 >

3 % 8 > 8 >

3 E

a!aban 1 C


5/25

#. Biketahui f(2) 3 20") , maka f5(2) 3 @.

/. 0# 20") Sin (>20")

A. 0> 20") Sin (>20")

Sin (>20")

n 3 %

f5(2) 3 nun0" . u5

3 %. Sin (>20")

3 0# 20") Sin (>20")

a!aban 1 /

. Turunan pertama fungsi f(2) 3 e 8 In (%20") adalah f5(2) 3 @.

/. e

>28%

8 " 28%

& "%20" %20"

A. ?e>28% 8 " B. >e>28% 8 %

%20" %20"

C. >e>28% & %

%20"

=enyelesaian 1

f (2) 3 e>28% 8 In (%20")

f5(2) 3 >e>28% 8 %%20"

a!aban 1 B

E. Biketahui fungsi f(2) 3 %2% 8 $ , maka f5(2) 3 ...

H2/. >H2 & % H2 H2 0 " H2

6% %2%

A. ?H2 & % H2 B. ?H2 8 " H2

6% %2%

C. >H2 8 0$ H2


6/25

6%

=enyelesaian 1

f(2) 3 %2 8 $

H2 3 (%2 8 $) . 2 0

3 %2>9% 8 $20

f5(2) 3 >2 & %20>9%

3 >H2 & %

2H2

3 >H2 & % H2

6%

a!aban 1 /

F. Bitentukan kura dengan persamaan y 3 2> 8 p2% 8 J garis y 3 0E2 8 "% menyinggung kura di titikdengan absis %.nilai p 3 @

/. ? 8 %2% 8 2 & E2% & "#2 & E

3 2> & #2% & "?2 & E

f5(2) 3 >2% & "%2 & "?


7/25


8/25

3 0># . ilai maksimum dari f(2) 3 2> & #2% 8 F2 pada interal 0" G 2 G > adalah @.

/. "#

A. $ B. "

C. 4

=enyelesaian 1

f(2) 3 2> & #2% 8 F2

f5(2)3 >2% & "%2 8 F

stasioner 1 f5(2)

>2> & "%2 8 F

>(2% & $2 8 >)

(2 0") (2 0 >)

2 3 " , 2 3 >

f(0") 3 (0")> & #(0")% 8 F(0")

3 0" & # & F

3 0"# f($) 3 ($)> & #($)% 8 F.$

3 #$ & F# & >#

3 $

a!aban 1 A

"$. =ers. grs. Singgung kura y 3 " 0 H2 pada titik berabsis " adalah @

2% A. ?2 8 %y 8 ? 3 4 2 8 %y & > 3 4

C. >2 & %y & > 3 4

=enyelesaian 1

y 3 " 0 H2

2%

3 2 0% & 2

y53 0%2 0>& " 2 0

%

y53 m 3 0%(")0> & " (") 0

%


9/25

3 0% & 4,? 3%,?

y(") 3 "(")0% & (")

3 "0"3 4

=gs 1 y & 4 3 %,? (2 & ")

y & 4 3 %,?2 & %,? 2%

%y & 4 3 ?2 & ?

?2 8 %y & ? 3 4

a!aban 1 <

"?. Turunan pertama fungsi f(2) 3 (? & $2 ) adalah f5(2) 3@

/. 0"% 0" (? & $2 ) . $ Sin (? & $2 )

3 "%


10/25

3 #4 & "#2 8 %2P

*5 3 $2 & "#

2 3 $ M 4

*=N;S 7in 3 #4 & "#.$ 8 >%

3 %E a!aban 1 <

". Dungsi f(2) 3 2> & $2% 8 $2 8 # naik pada interal @

/. 0% L 2 L %9>

A. %9> L 2 L > B. 2 L %9> atau 2 M %

C. 2 L 0%9> atau 2 M %

=enyelesaian 1

f(2) 3 2Q 0 $2 8 $2 8 #

f5(2)3 >2P& E2 8 $

D naik 1 f5(2) M 4

>2 & E2 8 $ M 4

(>2 & % ) (2 & % ) M 4

>2 & % M 4 → 2M %9>

2 & % M 4 → 2 M %

2 L %9> atau 2 M %

a!aban 1 B

"E. ilai minimum fungsi f(2) 3 %2Q & #2P & $E2 8 ? dalam interal 0> G 2 G $ adalah . . .

/. 0"#4 "

f($) 3 %($)Q & #($)P & $E($) 8 ?

3 0"??

a!aban 1 A

"F. Turunan pertama fungsi f(2) 3 (2 8 %)Q untuk 2 3 0> adalah . . .


11/25

(" & >2)P

/. 4,4444%$ 2)P → 5 3 0#(" & >2)

f5(2) 3 u5 & u5

3 >(2 8%)P (" 0>2)P 8 #(28%)Q (" & >2) (" & >2 )

D5(0>) 3 >(0> 8%)P ("0(0>))P 8 #(0> 8%)Q (" & >(0>))

(" & >(0>))$

3 >."."44 & #."4

"4$

3 4,4%$

a!aban 1 B

%4. ika y 3 %2Q 8 2P & > , maka dy 3 . . .

d2/. %2P 8 % A. #2P 8 %2 B. 2P 8

2 C. #2 P8 %

=enyelesaian 1

y 3 %2Q 8 2P & >

dy 3 #2P 8 %2d2

a!aban 1 A

%".aris singgung yang menyinggung lengkungan y 3 2Q & %2 8 " di titik (",4) akan memotong garis

2 3> di titik . . .

/. (>,>) ,")

A. (>,%) B. (>,0")

C. ( >,0%)

=enyelesaian 1

y 3 2Q & %2 8 "


12/25

y5 3 m 3 >2P & %

3 >."P & % 3 "

=gs1 y & b 3 m (2 & ")

y & 4 3 " (2 & " ) y 3 2 & "

y(>)3 > & "

3 % → (>,%)

a!aban 1 A

%%. Bik. Kura y 3 2Q 8 %a2P 8 b. aris y 3 0F2 & % menyinggung kura di titik berabsis

" . ilai a 3 . . .

/. 0> B. >

C. E

=enyelesaian 1

y 3 2Q 8 %a2P 8 b

y53 >2P 8 $a2

Kura y 3 0F2 & %

y53 m 3 0F

> 8 $a 3 0F $a 3 0F & >

a 3 0>

a!aban 1 /

%>. Sebuah kusen jendela berbentuk seperti gambar keliling sama dengan k. supaya luasnya

maksimum nilai r adalah . . .

/. k


13/25

*51 k & $2 & R2

2 3 k

$ 8 R

embahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x

f '(x) = 3 (−sin x)

f '(x) = −3 sin x

Untuk x = π/2 diero!eh ni!ai f '(x)

f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (") = −3

Soal Nomor 3

#entukan turunan ertama dari $ = −% sin x

Pembahasan

$ = −% sin x

$' = −% cos x

Soal Nomor 4&iberikan $ = −2 cos x #entukan $'

Pembahasan

$ = −2 cos x

$' = −2 (−sin x)

$' = 2 sin x

Soal Nomor 5

#entukan $' dari $ = % sin x cos x

Pembahasan$ = % sin x cos x


14/25

$' = % (cos x) (−sin x)

$ ' = % cos x − sin x

Soal Nomor 6

#entukan turunan dari

$ = cos x − 3 sin x

Pembahasan

$ = cos x − 3 sin x

$' = (−sin x) − 3 (cos x)

$' = − sin x − cos x

Soal Nomor 7

#entukan turunan dari:

$ = sin (2x )

Pembahasan&engan a!ikasi turunan berantai maka untuk

$ = sin (2x )

$ ' = cos (2x ) ⋅ 2

↑

*ngka 2 diero!eh dari menurunkan 2x

$' = 2 cos (2x )

Soal Nomor 8

#entukan turunan dari $ = cos (3x −")

Pembahasan&engan a!ikasi turunan berantai maka untuk

$ = cos (3x − ")

$ ' = − sin (3x −") ⋅ 3

↑

*ngka 3 diero!eh dari menurunkan 3x − "

+asi! akhirn$a ada!ah

$' = − 3 sin (3x − ")

Soal Nomor 9

#entukan turunan dari:$ = sin2 (2x −")

Pembahasan

#urunan berantai:

$ = sin2 (2x −")

$' = 2 sin 2−" (2x −") ⋅ cos (2x −") ⋅ 2

$' = 2 sin (2x −") ⋅ cos (2x −") ⋅ 2

$' = % sin (2x −") cos (2x −")

Soal Nomor 10

&iketahui f(x) = sin3 (3 , 2x)#urunan ertama fungsi f ada!ah f ' maka f '(x) =


15/25

* - sin2 (3 , 2x) cos (3 , 2x)

. 3 sin2 (3 , 2x) cos (3 , 2x)

,2 sin2 (3 , 2x) cos (3 , 2x)

& ,- sin (3 , 2x) cos (- , %x)

0 , 3 sin (3 , 2x) sin (- , %x)

(1oa! 0btanas 2)

Pembahasan

f(x) = sin3 (3 , 2x)

#urunkan sin3 n$a

#urunkan sin (3 , 2x) n$a

#urunkan (3 , 2x) n$a

+asi!n$a dika!ikan semua seerti ini:

f(x) = sin3 (3 , 2x)

f ' (x) = 3 sin2

(3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2f ' (x) = −- sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

1amai sini sudah se!esai namun di i!ihan be!um ter!ihat diotak4atik !agi akai

bentuk sin 25 = 2 sin 5 cos 5

f ' (x) = −- sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 , 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 , 2x) ⋅ sin (3 − 2x)

67777777777777777777776

↓

sin 2 (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin 2(3 , 2x) ⋅ sin (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin (- , %x) sin (3 − 2x)

atau:

f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (- , %x)

Soal Nomor 11

&iketahui fungsi f(x) = sin2 (2x 3) dan turunan dari f ada!ah f 8 9aka f 8(x) =

* % sin (2x 3) cos (2x 3)

. 2 sin (2x 3) cos (2x 3)

sin (2x 3) cos (2x 3)& ,2 sin (2x 3) cos (2x 3)

0 ,% sin (2x 3) cos (2x 3)

(0btanas ";;


16/25

f '(x) = % sin (2x 3) ⋅ cos (2x 3)htt://matematikastud$centercom/ke!as4""4

sma/"""4turunan4fungsi4trigonometriix>>3n1e?"@AB

11. Turunan pertama dari f (x)=7cos(5–3x)adalah f ‘(x)= …..

A.35sin(5–3x)

B.−15sin(5–3x)

C.21sin(5–3x)

D.−21sin(5–3x)

E.−35sin(5–3x)

Jawa !

o in"at ! f (x)=a.cos(bx+c)makaf ′(x)=−ab.sin(bx+c)o ma#a!

f (x)f ′(x)===7cos(5−3x)−7.(−3).sin(5−3x)21sin(5−3x)

12. Ji#a f ‘(x)adalah turunan dari f (x)dan $i#a f (x)=(3x–

2)sin(2x+1)ma#a f ‘(x)adalah …

A.3cos(2x+1)

B.6cos(2x+1)

C.3sin(2x+1)+(6x–4)cos(2x+1)

D.(6x–4)sin(2x+1)+3cos(2x+1)

E.3sin(2x+1)+(3x–2)cos(2x+1)

Jawa !

o f (x)=(3x−2)sin(2x+1)#ita mi%al#an terleih dulu

u=3x−2v=sin(2x+1)makamakau′=3v′=2cos(2x+1)

o in"at rumu% turunan per#alian dua &un"%i !

f ′(x)===u′.v+v′.u3.sin(2x+1)+2cos(2x+1).

(3x−2)3sin(2x+1)+(6x−4)cos(2x+1)


17/25

13. Turunan pertama &un"%i f (x)=5sinxcosx adalah f ‘(x)= …

A.5sin2x

B.5cos2x

C.5sin2xcosx

D.5sinxcos2x

E.5sin2xcosx

Jawa !

o f (x)=5sinxcosx #ita mi%al#an terleih dulu

u=5sinxv=cosxmakamakau′=5cosxv′=−sinx

o in"at rumu% turunan

f ′(x)=====u′.v+v′.u5cosx.cosx+(−sinx).

(5sinx)5cos2x−5sin2x5(cos2x−sin2x)5.cos2x

eitttt%…..tapi 'ara (an" %atu ini leih %imple…#ita i%a pa#ai neh)'e#id*t…

o

in"at ahwain2x=2

sinx.cosx

o %ehin""a !

f (x)===5sinxcosx52.2.sinx.cosx52.sin2x

o ma#a !

f ′(x)==52.2.cos2x5cos2x

Den"an ha%il (an" %ama namun leih 'epat dalam pen"er$aann(a…%ilah#an pilih 'ara(an" leih di%u#ai…

14. Ji#a f (x)=sin2(2x+π6)) ma#a nilai dari f ′(0)= …..

A.23√

B.2

C.3√

D.123√

E.2√

Jawa !


18/25

o perlu diin"at ahwa !

f (x)==sin2(2x+π6)(sin(2x+π6))2

o nah) aru #ita mi%al#an u=sin(2x+π6)makau′=2cos(2x+π6)

o &un"%i men$adi f (x)=u2aru pa#ai aturan rantai f ′(x)=n.un−1.u′

f ′(x)f ′(0)======2.u.u

′2.sin(2x+π6).2cos(2x+π6)4.sin(2.0+π6).cos(2.0+π6)4.sin(

π6).cos(π6)4.12.123√3√

15. Turunan pertama dari f (x)=sin4(3−2x)adalah f ′(x)= ……

A.−8sin3(3−2x)cos(6−4x)

B.–8sin(3−2x)sin(6−4x)

C.−4sin3(3−2x)cos(3−2x)

D.−4sin2(3−2x)sin(6−4x)

E.−8sin(3−2x)sin(6−4x)

Jawa !

o pen"er$aann(a hampir %ama den"an %*al n*.4 #ita mi%al#an terleih dulu

u=sin(3−2x)makau′=−2.cos(3−2x)

o didapat f (x)=u4#ita pa#ai aturan rantai f ′(x)=n.un−1.u′ma#a !

f ′

(x

)===4.u3

.u′

4.sin3

(3−2x

).(−2)cos

(3−2x

)−8.sin3(3−2x).cos(3−2x)

up%….%aat #ita 'e# di pil"an tern(ata $awaan ter%eut tida# ada pilihann(a) %* lan$ut #ene+t %tep ….

o in"at ahwa2.sinx.cosx=sin2x

f ′(x)=====−8.sin3(3−2x).cos(3−2x)

−4.2.sin(3−2

x).cos(3−2

x).sin

2(3−2x)−4.

sin2(3−2

x).sin

2(3−2x)

−4.sin(6−4x).sin2(3−2x)−4sin2(3−2x)sin(3−4x)


19/25

C*nt*h ,*al!

1.Jawa!

2.Jawa!


20/25

&ua 9asa!ah 1atu #ema

9asa!ah $ang dimaksudkan meruakan masa!ah $ang te!ah ada seCak >aman i!muan besar Dunani*rchimedes $aitu masa!ah kemiringan garis singgung. 9asa!ah $ang kedua $aitu masa!ah $angmu!ai berkembang dari ercobaan4ercobaan @e!er dan !ainn$a untuk mendeskrisikan keceatansebuah benda $ang bergerak $aitu masa!ah kecepatan sesaat.

Gradien Garis SinggungEaris singgung ada!ah suatu titik $ang memotong suatu kurFa ada satu titik&engan menggunakan konse !imit $ang te!ah dibahas ada bab sebe!umn$a sekarang kita daatmemberikan definisi resmi tentang garis singgung

&efinisi Garis SinggungEaris singgung ada kurFa y = f(x) di titik P(c,f(c)) ada!ah garis $ang me!a!ui P dengan kemiringan

*sa!kan bahGa !imit ini ada dan bukan atau 4

#UHUI*I

2" &ua 9asa!ah dengan 1atu #emaGarisang Singgung Eagasan 0uc!ides tentang garis singgung sebaagai garis $angmen$entuh suatu kurFa han$a ada satu titik

Definisi: Garis SinggungGaris singgung ada kurFa y = f(x) di titik P(c, f(c) )ada!ah garis $ang me!a!ui Pdengan kemiringan *sa!kan bahGa !imit ada dan bukan J atau 4J

e!e"a#an $a#a%ra#a dan e!e"a#an Sesaa#Kecepatan rata-rata ada!ah Carak dari osisi ertama ke osisi kedau dibagi danganGaktu temuh

Defenisi: e!e"a#an Sesaa#?ika benda bergerak di seanCang garis koordinat dengan fungsi osisi f(t)maka kecepatan sesaat ada saat cada!ah = *sa!kan bahGa !imit ada dan bukan J atau 4J&a!am kasus f(t)= "-t2 keceatan sesaat ada t = " ada!ah v =

==

= (32 "-h) = 32


21/25

22 #urunanDefinisi &urunan&urunan fungsi f ada!ah fungsi !ain f’ (dibaca K f aksenL) $ang ni!ain$a adasebarang bi!angan c ada!ah c ada!ah

f(c)=*sa!kan bahGa !imit ada dan bukan J atau 4J

'on#oh: ?ika f(x) = "3x , -. cari!ah f’(4).Pen$e!esaian: f’(4) =

= = "3 ="3(en#u)%ben#u) Se#ara un#u) &urunan #idak ada $ang keramat tentangenggunaan huruf h da!am mendefinisikan f’(c) 9isa!kanerhatikan bahGa f’(x) =

=

=

&eorema *: e#erdiferensiasian +engim"li)asi)an on#inui#as?ika f’(c) ada maka f kontinu di c,ambang ,eibni- un#u) &urunan 9isa!kan sekarang bahGa Fariabe! tak4bebas y akan berua = f(x ) 4 f(x)&an hasi! bagi

23 *turan Pencarian #urunan*#uran ons#an#a dan Pang)a#&eorema *: *#uran .ungsi ons#an#a?ika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f(c) = M $akni D x (k) = Bukti f(x) = = = =

&eorema (: *#uran .ungsi Sa#uan?ika f(x) = x, maka f’(x) = "M $akni D x, (x) = "Bukti f’(x) = = = = "

&eorema ': *#uran Pang)a#?ika f(x)= x n dengan n bi!angan bu!at ositif maka f’(x)= nx n-! $akni D x (x n)= nx n-!

&eorema D: *#uran eli"a#an ons#an#a

?ika k suatu konstanta dan f suatu fungsi $ang terdiferensiasikan maka (kf)’(x) = k. f’(x) $akni


22/25

D x "k . f(x)# =k . D x f(x)&a!am kata4kata engga!i konstanta k daat dike!uarkan dari oerator D x

&eorema /: *#uran umlah?ika f dan g ada!ah fungsi4fungsi $ang terdiferensiasikan maka (f $ g)’(x) =f’(x)%

g’(x) $akni D x "f(x) % g(x)# = D x f(x) % D x g(x)&a!am kata4kata turunan &ari suatu 'umah a&aah 'umah &ari turunan-turunan.

&eorema .: *#uran Selisih?ika f dan g ada!ah fungsi $ang terdiferensiasikan maka ( f $ g)’(x) $g’(x) $akni D "f(x) $ g(x)# = D x f(x) $D x g(x)

&eorema G: *#uran asil ali?ika f dan g ada!ah fungsi4fungsi $ang terdiferensiasikan maka

(f . g)’(x) = f(x)g(x)Dakni D x "(x)g(x)# =f (x)D x g(x) % g(x)D x f()

2% #urunan Nungsi #rigonometrikita&eorema *:Nungsi f(x) =sin x &an g() = c*s x ke&uanya ter&iferensiasikan, &an D x (sinx) = c*s x D x (c*s x) = - sin x

'on#oh: ari!ah D x (+ sin x $ c*s x)Pen$e!esaian: D (+ sin x $ c*s x) = +D x (sin x) $ D x (c*s x) = + c*s x % sin x &eorema (:Untuk semua titik x dida!am daerah asa! fungsi D x tan x = sec x D x c*t x = - csc x D x sec x = sec c tan x D x csc x = - csc x

2 *turan Hantai&eorema *: *#uran $an#ai9isa!kan y = f(u) dan u = g(x). ?ika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikandi u = g(x), maka fungsi komosit f . g, $ang didefinisikan o!eh (f . g)(x) =

f(g(x)),ada!ah terdiferensiasikan di x dan (f . g)’(x) = f’(g(x))g’(x)Dakni D x (f(x)) = f’(g(x))g’(x)*tau

Penera"an *#uran $an#ai @ita mu!ai dengan contoh (2 x , % x ")-


23/25

'on#oh: ?ika y = (2 x , % x ")- cari!ah & x y = u/0 dan u = x $ 4x % !Nungsi sebe!ah !uar ada!ah f(u) = u/0 dan fungsi sebe!ah da!am ada!ah u = g(x) =x $ 4x %! ?adi D x y = D x f(g(x)

=f(u)g(x) =(/0u12 )(4x $ 4) =/0(x $ 4x % !)12 (4x $ 4)

2- #urunan #ingkat #inggi@arena turunan fungsi no! ada!ah no! maka turunan keemat dan semua turunanyang tingkat e3uh tinggi ( higher-*r&er) dari f akan no!

2O &iferensiasi m!isit

(ebera"a esu)aran 2ang &a) en#ara?ika sebuah ersamaan da!am x dan y menentukan fungsiy = f(x) dan Cika fingsi initerdiferensiasikan maka metode terdiferensiasi im!icit akan menghasi!kaneksresi $ang benar untuk &y&x. #etai erhatikan terdaat dau KCikaL besarda!am ern$ataan ini #inCau ersamaan % y = 1Dang menentukan fungsi4fungsi y = f(x) = x dan fungsi y = g(x) = x

'on#oh: ari!ah &y&x Cika x % 1y + = x % 2 Pen$e!esaian: x % 1y +) = &&x(x % 2)

x % !1y = !

&eorema *: *#uran Pang)a#9isa!kan r sebarang bi!angan rasiona! 9aka untuk x D x (xr) = rx r-!

?ika r daat ditu!iskan da!am suku terendah sebagai r = p5, di mana 5 ganCi!maka D x (x r )= rx r-! untuk semua x

2< QaCu $ang .erkaitan1ebagai ganti di ketahuin$a y secara eks!isit da!am t kita mengetahui hubungan$ang mengaitkan y dan Fariabe! x dan kita CCuga mengetahui sesuatu tentang&x&t@ita maasih teta mamu mencari &y&t , karena&y&t dan &x&t ada!ah lau%lau2ang beer)ai#an

2; &iferensia! dan *roksimasiDefinisi Diferensial9isa!kan $ =f(x) ada!ah fungsi terdeferensiasi dari Fariabe! bebas

x xada!ah ertambahan sbarang dari Fariabe!bebas x &x disebut diferensia! Fariabe! bebas x. y ada!ah erubahan sebenarn$a


24/25

da!am Fariabe! y ketika x berubah dari x ke x % x M $akni y % f(x % ) $ f(x). &y,&ise3ut &iferensia varia3e tak-3e3as y, didefenisikan o!eh &y = f6(x)&x.

(*( 3

*"li)asi &urunan

31 +a)simum dan +inimum&eorema * &eorema eberadaan +a)s%+in ?ika f kontinu ada interFa!tertutu RabS maka f mencaai ni!ai maksimum dan ni!ai minimum&eorema ( &eorema &i#i)ri#is 9isa!kan

f didefenisikan ada interFa! 7 $ang memuat titik c?ka f(c) ada!ah ni!ai ekstrimmaka c harus!ah berua suatu titik kritisM dngan kata !ain c ada!ah sa!ah satudari (i) titik uCungdari7M

(ii) titik stasioner dari fM $akni titik dimana fT(c) = Matau (iii) titik singu!ar dari fM $aknititik dimana fT(c) tidak

ada

3 emono#onan dan e!e)ungan&eorema * &eoremaemono#onan

9isa!kan f kontinu ada interFa! 7 dan terdiferensia! ada setia titik4da!am dari7

(i) ?ika f6(x) 8 0 untuk semua titik4da!am 7 maka f naikada 7 (ii) ?ika fT(x) untuksemua titik4da!am 7maka f turun ada 7.

&eorema ( &earema e!e)ungan9isa!kan f terdiferensiasikan dua ka!i ada interFa!terbuka 7. (i) Cika f’’(x) 8 0 untuksemua x da!am 7, maka f cekung keatasada 7. (ii) Cika f’’(x) 9 0 untuksemua x da!am 7 maka f cekung kebaGah ada 7.

33 0kstrim Qoka! dan 0kstrim ada nterFa! #erbuka&eorema * i &urunan Per#ama9isa!kan f ada interFa! terbuka (ab) $ang memuat sebuah titik kritisc (i) Cika f(Vx)W untuk semua x da!am (ac) danfV(x) untuk semua x da!am (cb)maka f(c ) ada!ah ni!ai maksimum !oca! f


25/25

(ii) Cika f(Vx) untuk semua x da!am (ac) dan fV(x)W untuk semua x da!am(cb)maka f(c ) ada!ah ni!ai minimum !oca!f (iii)Cika fV(x) bertanda sama ada kedua ihak c maka f(c) bukan ni!ai ekstrim !oca! f

&eorema ( i &urunan edua9isa!kan fV dan fL ada ada setia titik interFa! terbuku(ab) $ang memuat c danmisa!kan fV(c)=

(i) Cika fLc maka f(c) ada!ah ni!ai maksimum !oca!f (ii) Cika fLc W maka f(c)ada!ah ni!ai minimum !oca! f

3% #eorema Ii!ai Hataan untuk #urunan&eorema * &eorema Nilai $a#aan un#u) &urunan

?ika f kontinu ada interFa! tertutu (ab) dan terdiferensiasikan ada titikda!amn$a(ab) maka terdaat a!ing sedikit satu bi!angan c da!am (ab) dimana *tau secara setara f(b)4f(a)=fV(c)(b4a)

Definisi Turunan

Documents