4. BENTUK INTEGRAL HUKUM DASAR 4.1. Pendekatan Sistem dan Volume Kontrol Bentuk integral dalam ilmu-ilmu rekayasa (engineering science) sangat penting karena sejumlah besaran dalam kerekayasaan berbentuk integral, misalnya: (i) debit merupakan bentuk integral kecepatan aliran terhadap luas bidang (penampang) alir, (ii) gaya merupakan integral kerapatan terhadap volume, dan masih banyak bentuk- bentuk integral lain. Agar persamaan integral dapat diselesaikan maka bentuk integral (integrand) haruslah diketahui lebih dulu atau tersedia informasi sehingga persamaan integral dapat disusun dan bentuk integral dapat diselesaikan. Jika integral tidak diketahui atau tidak dapat diketahui maka persamaan diferensial tidak dapat disusun dan diselesaikan. Besaran integral yang utama di dalam mekanika fluida terkandung oleh tiga hukum dasar yaitu masing-masing : (i) hukum konservasi (kekekalan massa), (ii) hukum pertama thermodinamika, dan (iii) hukum Newton II. Ketiga hukum dasar tersebut dinyatakan dalam bentuk suatu sistem, yaitu diartikan sebagai kumpulan partikel-partikel materi yang tetap. Sebagai contoh diambil suatu aliran fluida melalui suatu pipa pada saat t dan mengalir ke hilir pada waktu t + t perubahan bentuk sistem dari t ke t + t digambarkan dalam Gambar 4 .1. Sistem pada waktu t
33
Embed
DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
4. BENTUK INTEGRAL HUKUM DASAR
4.1. Pendekatan Sistem dan Volume KontrolBentuk integral dalam ilmu-ilmu rekayasa (engineering science) sangat penting karena
sejumlah besaran dalam kerekayasaan berbentuk integral, misalnya: (i) debit
merupakan bentuk integral kecepatan aliran terhadap luas bidang (penampang) alir, (ii)
gaya merupakan integral kerapatan terhadap volume, dan masih banyak bentuk-bentuk
integral lain.
Agar persamaan integral dapat diselesaikan maka bentuk integral (integrand) haruslah
diketahui lebih dulu atau tersedia informasi sehingga persamaan integral dapat disusun
dan bentuk integral dapat diselesaikan. Jika integral tidak diketahui atau tidak dapat
diketahui maka persamaan diferensial tidak dapat disusun dan diselesaikan.
Besaran integral yang utama di dalam mekanika fluida terkandung oleh tiga hukum
dasar yaitu masing-masing : (i) hukum konservasi (kekekalan massa), (ii) hukum
pertama thermodinamika, dan (iii) hukum Newton II.
Ketiga hukum dasar tersebut dinyatakan dalam bentuk suatu sistem, yaitu diartikan
sebagai kumpulan partikel-partikel materi yang tetap. Sebagai contoh diambil suatu
aliran fluida melalui suatu pipa pada saat t dan mengalir ke hilir pada waktu t + t
perubahan bentuk sistem dari t ke t + t digambarkan dalam Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Perubahan sistem dari (t) (t + t)
Sistem pada
waktu t
Sistem pada
waktu t + t
Contoh yang diberikan dalam Gambar 4.1 tadi batas-batas dari sistem bersifat tetap,
namun dalam beberapa hal fluida melalui sistem dengan batas tak jelas sehingga tidak
mungkin untuk menelusuri partikel-partikel massa fluida secara individu dan dibutuhkan
suatu alternatif pemecahan lain.
Di dalam analisis gerakan fluida dikenal dua pendekatan, yaitu masing-masing (i)
Lagrang (lagrangian approach), dan (ii) Euler (Euler approach).
Pendekatan Lagrang menekankan pada individu partikel yang telah diidentifikasi, sifat-
sifat thermodinamika (misal : , dan lain-lain) dan sifat-sifat aliran (R, V, a dan lain-
lain) adalah fungsi waktu hanya pada suatu partikel yang ditinjau, misalnya t = 0, dan
diikuti oleh partikel berikutnya. Apabila suatu partikel berkisar pada suatu lokasi (Xo, Yo,
Zo) dalam sistem koordinat bertalian, maka kecepatan dan percepatan dinyatakan
sebagai:
……………………………………. (1)
Dengan : R merupakan vektor jarak diukur dari suatu titik sebagai fungsi waktu t seperti
terlihat pada Gambar 4.2.
Disini R = R (Xo, Yo, Zo, t) adalah konstan dan menyatakan partikel yang
ditinjau. Apabila setiap partikel dalam suatu kurun tertentu, t maka deskripsi gerakan
fluida dapat terbentuk dengan lengkap.
Gambar 4.2. Lintasan suatu partikel
Pendekatan Euler lebih menekankan pada sifat-sifat fluida. Oleh sebab itu sifat-sifat
thermodinamika dan sifat-sifat aliran lebih dapat dinyatakan sebagai sifat kumpulan
1
Y
Waktu t = 0
(X0, Y0, Z0)Z
RoR
X
partikel-partikel fluida, sehingga dalam pendekatan Euler ini sifat-sifat fluida dinyatakan
sebagai funsi dari tempat dan waktu, atau misalnya :
Kecepatan, V = f(x, y, z, t) ………………….. (2a)
Tekanan, = f(x, y, z, t) ………………….. (2b)
Peubah-peubah (variabel) x, y, z, t merupakan peubah bebas (independent variables),
sedangkan V, dan merupakan peubah tetap.
Arti matematis dari persamaan (2) adalah bahwa partikel yang terletak pada koordinat x,
y, z, t pada waktu t akan mempunyai kecepatan V dan tekanan .
Pendekatan Euler mempunyai keuntungan yaitu fungsi ruang dan waktu tertentu dan
jelas sehingga memberikan kerangka kerja yang rasional untuk melakukan penyelesaian
secara analitis misalnya, persamaan diferensial suatu peubah dapat disusun, kondisi
batas dapat ditetapkan sehingga analisis secara sepadan bahkan dengan menggunakan
metoda numerikpun dapat dilakukan.
Sesuai dengan takrif dalam pendekatan Euler, maka analisis aliran dengan memakai
pendekatan Euler ini membutuhkan suatu region tertentu (spesific region) dalam suatu
ruang yang ditinjau dan dinamakan volume kontrol. Volume kontrol ini dapat terbentuk
tetap maupun berubah-ubah, suatu contoh volume kontrol yang tetap adalah aliran
fluida melalui nozzle, sedangkan contoh kontrol yang berubah-ubah adalah misalnya
balon yang mengempis. Hal ini lebih dijelaskan dalam Gambar 4.3.
Gambar 4.3. Beberapa contoh pengambilan volume kontrol.
2
Volume Kontrol
a. Nozzle b. Balon
mengempis
c. udara mengalir
disekitar benda
mengapung
Sebetulnya ketiga hukum dasar yang mengatur gerakan fluida merupakan pendekatan
Euler dimana kita dapat menentukan suatu “region” di dalam suatu ruang dengan aliran
fluida yang melewatinya. Untuk itu dibutuhkan persamaan transformasi yang merubah
pendekatan Lagrang ke pendekatan Euler.
4.2. Persamaan Transformasi Volume Kontrol4.2.1. Sifat Intensif dan EktensifSebelum sampai kepada persamaan transformasi dibutuhkan pengertian tentang sifat-
sifat fluida intensif dan ekstensif.
a. Sifat intensif : menyatakan sifat-sifat fuida yang tidak tergantung pada jumlah
materi dalam sistem, misal kecepatan fluida, kerapatan, suhu
dan koefisien kekentalan (coeficient of viscosity)
b. sifat ekstensif : sifat fluida yang tergantung pada jumlah materi dalam sistem,
misal energi, volume massa.
Sembarang sifat fluida ekstensif dapat diubah menjadi sifat intensif, yaitu dengan
membaginya dengan jumlah massanya. Biasanya sifat intensif yang berasal dari
perubahan bilangan ekstensif disebut mempunyai nama dengan tambahan kata spesifik
dibelakangnya, misalnya volume spesifik, energi spesifik dan lain-lain. Hal perubahan ini
berlaku untuk semua sifat-sifat fluida baik berbentuk skala maupun vektor.
Berdasarkan hubungan perubahan tersebut, sembarang sifat ekstensif B dapat
dinyatakan dengan sifat intensifnya, b dengan
……………………………… (3)
Tabel 4.1 menampilkan beberapa sifat fluida ekstensif yang penting beserta sifat
intensifnya.
3
Tabel 4.1. Sifat fluida ekstensif dan sifat intensif
Sifat Fluida Sifat Ekstensif, B Sifat intensif, b
Massa ms 1
Momentum linier ms V V
Momentum sudut ms (r x V) R x V
Energi kinetik
Sumber : Mironer, 1979
4.2.2. Penjabaran Persamaan transformasi volume kontrolDitinjau suatu sifat fluida ekstensif, B, dari massa fluida ms, dalam bentuk integral
massa, ms ini dituliskan sebagai :
………………………………….. (4)
Bentuk integral ini diberikan agar analisis terhadap perubahan ruang dapat dilakukan.
Dengan mengacu pada takrif dari sifat-sifat fluida ekstensif dan intensif di muka, maka
sifat ekstensif dari sistem dan volume kontrol, dapat dituliskan sebagai :
dan …………………….. (5)
Laju perubahan sifat ekstensif B, ini di dalam sistem yang ditinjau dituliskan sebagai :
……………………………. (6)
Bentuk diferensial d/dt dari persamaan (6) kadang-kadang dituliskan D/Dt yang
menggambarkan perubahan sifat-sifat partikel fluida yang ditinjau atau suatu sistem
terhadap waktu. Bentuk diferensial D/Dt disebut pula turunan materi (material
derivative). Secara matematis bentuk D/Dt tidak berbeda dengan d/dt, namun notasi
khusus diberikan dengan maksud bahwa penyelesaian menekankan terhadap partikel-
pertikel fluida yang sama.
Persamaan transformasi volume kontrol ini diterangkan sebagai berikut :
Dipandang suatu volume kontrol fluida tak berubah yang pada waktu t, berimpit dengan
sistemnya. Pada waktu t + t terjadi perubahan sistem seperti terlihat dalam Gambar
4.4.
4
Vdt
bdA
Gambar 4.4. Sistem dan volume kontrol tak berubah
Menurut Gambar 4.4, besaran B dalam persamaan (7) dinyatakan dengan :