Top Banner
4. BENTUK INTEGRAL HUKUM DASAR 4.1. Pendekatan Sistem dan Volume Kontrol Bentuk integral dalam ilmu-ilmu rekayasa (engineering science) sangat penting karena sejumlah besaran dalam kerekayasaan berbentuk integral, misalnya: (i) debit merupakan bentuk integral kecepatan aliran terhadap luas bidang (penampang) alir, (ii) gaya merupakan integral kerapatan terhadap volume, dan masih banyak bentuk- bentuk integral lain. Agar persamaan integral dapat diselesaikan maka bentuk integral (integrand) haruslah diketahui lebih dulu atau tersedia informasi sehingga persamaan integral dapat disusun dan bentuk integral dapat diselesaikan. Jika integral tidak diketahui atau tidak dapat diketahui maka persamaan diferensial tidak dapat disusun dan diselesaikan. Besaran integral yang utama di dalam mekanika fluida terkandung oleh tiga hukum dasar yaitu masing-masing : (i) hukum konservasi (kekekalan massa), (ii) hukum pertama thermodinamika, dan (iii) hukum Newton II. Ketiga hukum dasar tersebut dinyatakan dalam bentuk suatu sistem, yaitu diartikan sebagai kumpulan partikel-partikel materi yang tetap. Sebagai contoh diambil suatu aliran fluida melalui suatu pipa pada saat t dan mengalir ke hilir pada waktu t + t perubahan bentuk sistem dari t ke t + t digambarkan dalam Gambar 4 .1. Sistem pada waktu t
33

DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Mar 21, 2019

Download

Documents

vucong
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

4. BENTUK INTEGRAL HUKUM DASAR

4.1. Pendekatan Sistem dan Volume KontrolBentuk integral dalam ilmu-ilmu rekayasa (engineering science) sangat penting karena

sejumlah besaran dalam kerekayasaan berbentuk integral, misalnya: (i) debit

merupakan bentuk integral kecepatan aliran terhadap luas bidang (penampang) alir, (ii)

gaya merupakan integral kerapatan terhadap volume, dan masih banyak bentuk-bentuk

integral lain.

Agar persamaan integral dapat diselesaikan maka bentuk integral (integrand) haruslah

diketahui lebih dulu atau tersedia informasi sehingga persamaan integral dapat disusun

dan bentuk integral dapat diselesaikan. Jika integral tidak diketahui atau tidak dapat

diketahui maka persamaan diferensial tidak dapat disusun dan diselesaikan.

Besaran integral yang utama di dalam mekanika fluida terkandung oleh tiga hukum

dasar yaitu masing-masing : (i) hukum konservasi (kekekalan massa), (ii) hukum

pertama thermodinamika, dan (iii) hukum Newton II.

Ketiga hukum dasar tersebut dinyatakan dalam bentuk suatu sistem, yaitu diartikan

sebagai kumpulan partikel-partikel materi yang tetap. Sebagai contoh diambil suatu

aliran fluida melalui suatu pipa pada saat t dan mengalir ke hilir pada waktu t + t

perubahan bentuk sistem dari t ke t + t digambarkan dalam Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Perubahan sistem dari (t) (t + t)

Sistem pada

waktu t

Sistem pada

waktu t + t

Page 2: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Contoh yang diberikan dalam Gambar 4.1 tadi batas-batas dari sistem bersifat tetap,

namun dalam beberapa hal fluida melalui sistem dengan batas tak jelas sehingga tidak

mungkin untuk menelusuri partikel-partikel massa fluida secara individu dan dibutuhkan

suatu alternatif pemecahan lain.

Di dalam analisis gerakan fluida dikenal dua pendekatan, yaitu masing-masing (i)

Lagrang (lagrangian approach), dan (ii) Euler (Euler approach).

Pendekatan Lagrang menekankan pada individu partikel yang telah diidentifikasi, sifat-

sifat thermodinamika (misal : , dan lain-lain) dan sifat-sifat aliran (R, V, a dan lain-

lain) adalah fungsi waktu hanya pada suatu partikel yang ditinjau, misalnya t = 0, dan

diikuti oleh partikel berikutnya. Apabila suatu partikel berkisar pada suatu lokasi (Xo, Yo,

Zo) dalam sistem koordinat bertalian, maka kecepatan dan percepatan dinyatakan

sebagai:

……………………………………. (1)

Dengan : R merupakan vektor jarak diukur dari suatu titik sebagai fungsi waktu t seperti

terlihat pada Gambar 4.2.

Disini R = R (Xo, Yo, Zo, t) adalah konstan dan menyatakan partikel yang

ditinjau. Apabila setiap partikel dalam suatu kurun tertentu, t maka deskripsi gerakan

fluida dapat terbentuk dengan lengkap.

Gambar 4.2. Lintasan suatu partikel

Pendekatan Euler lebih menekankan pada sifat-sifat fluida. Oleh sebab itu sifat-sifat

thermodinamika dan sifat-sifat aliran lebih dapat dinyatakan sebagai sifat kumpulan

1

Y

Waktu t = 0

(X0, Y0, Z0)Z

RoR

X

Page 3: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

partikel-partikel fluida, sehingga dalam pendekatan Euler ini sifat-sifat fluida dinyatakan

sebagai funsi dari tempat dan waktu, atau misalnya :

Kecepatan, V = f(x, y, z, t) ………………….. (2a)

Tekanan, = f(x, y, z, t) ………………….. (2b)

Peubah-peubah (variabel) x, y, z, t merupakan peubah bebas (independent variables),

sedangkan V, dan merupakan peubah tetap.

Arti matematis dari persamaan (2) adalah bahwa partikel yang terletak pada koordinat x,

y, z, t pada waktu t akan mempunyai kecepatan V dan tekanan .

Pendekatan Euler mempunyai keuntungan yaitu fungsi ruang dan waktu tertentu dan

jelas sehingga memberikan kerangka kerja yang rasional untuk melakukan penyelesaian

secara analitis misalnya, persamaan diferensial suatu peubah dapat disusun, kondisi

batas dapat ditetapkan sehingga analisis secara sepadan bahkan dengan menggunakan

metoda numerikpun dapat dilakukan.

Sesuai dengan takrif dalam pendekatan Euler, maka analisis aliran dengan memakai

pendekatan Euler ini membutuhkan suatu region tertentu (spesific region) dalam suatu

ruang yang ditinjau dan dinamakan volume kontrol. Volume kontrol ini dapat terbentuk

tetap maupun berubah-ubah, suatu contoh volume kontrol yang tetap adalah aliran

fluida melalui nozzle, sedangkan contoh kontrol yang berubah-ubah adalah misalnya

balon yang mengempis. Hal ini lebih dijelaskan dalam Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Beberapa contoh pengambilan volume kontrol.

2

Volume Kontrol

a. Nozzle b. Balon

mengempis

c. udara mengalir

disekitar benda

mengapung

Page 4: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Sebetulnya ketiga hukum dasar yang mengatur gerakan fluida merupakan pendekatan

Euler dimana kita dapat menentukan suatu “region” di dalam suatu ruang dengan aliran

fluida yang melewatinya. Untuk itu dibutuhkan persamaan transformasi yang merubah

pendekatan Lagrang ke pendekatan Euler.

4.2. Persamaan Transformasi Volume Kontrol4.2.1. Sifat Intensif dan EktensifSebelum sampai kepada persamaan transformasi dibutuhkan pengertian tentang sifat-

sifat fluida intensif dan ekstensif.

a. Sifat intensif : menyatakan sifat-sifat fuida yang tidak tergantung pada jumlah

materi dalam sistem, misal kecepatan fluida, kerapatan, suhu

dan koefisien kekentalan (coeficient of viscosity)

b. sifat ekstensif : sifat fluida yang tergantung pada jumlah materi dalam sistem,

misal energi, volume massa.

Sembarang sifat fluida ekstensif dapat diubah menjadi sifat intensif, yaitu dengan

membaginya dengan jumlah massanya. Biasanya sifat intensif yang berasal dari

perubahan bilangan ekstensif disebut mempunyai nama dengan tambahan kata spesifik

dibelakangnya, misalnya volume spesifik, energi spesifik dan lain-lain. Hal perubahan ini

berlaku untuk semua sifat-sifat fluida baik berbentuk skala maupun vektor.

Berdasarkan hubungan perubahan tersebut, sembarang sifat ekstensif B dapat

dinyatakan dengan sifat intensifnya, b dengan

……………………………… (3)

Tabel 4.1 menampilkan beberapa sifat fluida ekstensif yang penting beserta sifat

intensifnya.

3

Page 5: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Tabel 4.1. Sifat fluida ekstensif dan sifat intensif

Sifat Fluida Sifat Ekstensif, B Sifat intensif, b

Massa ms 1

Momentum linier ms V V

Momentum sudut ms (r x V) R x V

Energi kinetik

Sumber : Mironer, 1979

4.2.2. Penjabaran Persamaan transformasi volume kontrolDitinjau suatu sifat fluida ekstensif, B, dari massa fluida ms, dalam bentuk integral

massa, ms ini dituliskan sebagai :

………………………………….. (4)

Bentuk integral ini diberikan agar analisis terhadap perubahan ruang dapat dilakukan.

Dengan mengacu pada takrif dari sifat-sifat fluida ekstensif dan intensif di muka, maka

sifat ekstensif dari sistem dan volume kontrol, dapat dituliskan sebagai :

dan …………………….. (5)

Laju perubahan sifat ekstensif B, ini di dalam sistem yang ditinjau dituliskan sebagai :

……………………………. (6)

Bentuk diferensial d/dt dari persamaan (6) kadang-kadang dituliskan D/Dt yang

menggambarkan perubahan sifat-sifat partikel fluida yang ditinjau atau suatu sistem

terhadap waktu. Bentuk diferensial D/Dt disebut pula turunan materi (material

derivative). Secara matematis bentuk D/Dt tidak berbeda dengan d/dt, namun notasi

khusus diberikan dengan maksud bahwa penyelesaian menekankan terhadap partikel-

pertikel fluida yang sama.

Persamaan transformasi volume kontrol ini diterangkan sebagai berikut :

Dipandang suatu volume kontrol fluida tak berubah yang pada waktu t, berimpit dengan

sistemnya. Pada waktu t + t terjadi perubahan sistem seperti terlihat dalam Gambar

4.4.

4

Vdt

bdA

Page 6: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Gambar 4.4. Sistem dan volume kontrol tak berubah

Menurut Gambar 4.4, besaran B dalam persamaan (7) dinyatakan dengan :

Bsist (t + t) = BIII (t + t) + BII (t + t) …………………… (8) dan

Bsist (t) = BII (t) + BII (t) …………………………………… (9)

Berdasarkan persamaan (8) dan persamaan (9), persamaan (7) dapat dituliskan

sebagai:

……………… (10)

= ………. (11)

Bentuk yang pertama dari ruas kanan menyatakan perubahan sifat fluida B dalam

volume kontrol yang tak berubah dan dinyatakan sebagai :

, dan derivatif terhadap waktu dinyatakan sebagai …………... (12)

, dalam hal ini derivatif partikel digunakan karena hasil maupun b akan

merupakan fungsi dari waktu dan ruang.

Pada bentuk terakhir ruas kanan persamaan (11) diperoleh dari Gambar 4.4, bahwa :

………………………………. (13a)

5

Sistem pada

waktu t + t

Volume Kontrol dan

Sistem pada t

V

IIII

IIb

Vdt

bdA

a. volume elemen III

dv3 = - v. b.dA.t

a. volume elemen I

dv3 = - v. b.dA.t

Page 7: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

………………………………. (13b) dan

………………………………. (13c)

.................................................. (13d)

Sehingga,

.............................. (14)

dengan mk menyatakan permukaan kontrol. Persamaan (14) ini menyatakan jumlah

massa yang keluar masuk volume kontrol dengan membawa sifat ekstensif B. Dan

apabila persamaan (13) dan persamaan (14) dimasukkan ke dalam persamaan (11)

maka menjadi :

............................................. (15)

Persamaan (15) ini disebut dengan persamaan transformasi derivatif waktu sifat

ekstensif B dari variabel sistem ke variabel volume kontrol. Bentuk pertama dari

persamaan (15) ini menyatakan perubahan sifat ekstensif B dari material di dalam

volume kontrol, sedangkan bentuk ke-2 menyatakan perubahan B karena terjadi

transformasi massa melalui batas-batas volume kontrol.

4.3. Persamaan-persamaan dasar4.3.1. Kesinambungan (continuity)Kesinambungan diartikan sebagai hukum konservasi massa dan dikatakan bahwa :

“massa fluida dalam suatu sistem adalah tetap (konstan)”. Dalam simbol matematika

hukum konservasi massa ini dinyatakan sebagai :

0 ................................................................... (16)

Sesuai dengan Tabel 4.1 dan persamaan (15) maka apabila sifat ekstensif B = ms,

maka sifat intensif, b = 1 dan persamaan (15) dapat dituliskan sebagai :

6

Page 8: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

.................................................. (17)

Bentuk I dari persamaan (17) mendapatkan perubahan massa fluida di dalam volume

kontrol bertotal terhadap waktu dan bentuk ke II menyatakan bahwa laju pengumpulan

massa di dalam volume adalah perbedaan antara laju massa yang masuk dan keluar

volume kontrol.

Contoh :

Suatu tanki dengan diameter D = 1 m, tinggi h = 50 cm akan diisi oleh air dari pipa

dengan diameter dalam d = 7,5 mm. Air meninggalkan pipa dengan kecepatan tetap V =

2 m/detik. Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tanki sampai penuh.

Penyelesaian:

Gambar 4.5. Gambar contoh soal 1

Seperti tertera dalam Gambar 4.1, diambil volume kontrol tetap (tak berubah) mengikuti

bentuk tanki.

Dituliskan persamaan konservasi massa :

Dari Gambar 4.5 akumulasi massa di dalam volume kontrol adalah :

7

d

V = 2m/det

h

D

y(t)

Page 9: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Dan laju perubahan massanya dinyatakan sebagai :

Karena air merupakan fluida tak termampatkan (incompressible) maka kerapatan selalu

tetap dan dapat dikeluarkan dari bentuk integral. Sedangkan tinggi air di dalam tanki, Y

(t) merupakan fungsi waktu saja.

Maka bentuk persamaan differensial parsial dapat diubah menjadi persamaan

differensial biasa :

Dan bentuk ke dua persamaan kontinyuitas menjadi :

Tanda negatif menunjukkan aliran masuk ke dalam volume kontrol. Apbila disubtitusikan

kembali ke dalam persamaan kontinyuitas akan menjadi :

Harga konstanta C dapat dicari dengan memasukkan harga batas. Pada t = 0, y = 0 dan

pada t = T, y = h maka :

Bentuk volume kontrol dapat berbentuk tetap (finite) tetapi dapat berbentuk tak tetap

(infinitesmal). Kontrol volume tak tetap dipakai apabila variabel = variabel aliran berubah

secara kontinyu sebagai fungsi yang berubah menurut tempat (spasial).

Pada bentuk volume kontrol tak tetap dipakai deret Taylor untuk menentukan bentuk

variabel-variabel aliran. Dalam fungsi sembarang f (x), bentuk fungsi f (x+x) menurut

deret Taylor dinyatakan sebagai berikut :

8

Page 10: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

................................. (18)

Karena x mempunyai harga sangat kecil maka x2 dan peningkatan selanjutnya juga

sangat kecil sehingga bentuk perkaliannya juga mempunyai harga sangat kecil

mendekati nol.

Ditinjau suatu aliran satu arah dan satu dimensi ke sumbu x, dengan volume kontrol

berbentuk kubus mempunyai dimensi masing-masing y, z, dan dx.

Gambar 4.6. Volume kontrol aliran satu arah satu dimensi ke sumbu x

Berdasarkan Gambar 4.6, dari persamaan kontinyuitas maka dapat dituliskan : Massa

fluida di dalam volume kontrol pada sembarang waktu, adalah :

.......................................................... (19)

Perubahan massa per satuan waktu

............................................. (20)

Massa fluida yang masuk ke dalam volume kontrol adalah - VZy dan yang

meninggalkan volume kontrol adalah :

Dan massa netto yang masuk dan keluar volume kontrol dapat dituliskan sebagai :

................................... (21)

9

dxzyVx

xyV

Vyx

dx

Vk

ZX

Z

Y

Page 11: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

....................................................................... (22)

Dengan demikian apabila persamaan (20) dan (22) disubtitusikan ke dalam persamaan

kontinyuitas (pers.17) menjadi :

=0 .......................................................................... (23)

Dari persamaan (23) tersebut dapat diketahui tiga kondisi, yaitu :

a. aliran tunak (steady flow) : aliran tunak menyatakan bahwa karakteristik aliran

bebas terhadap waktu, atau . Dengan demikian persamaan (23) menjadi

………………………………………… (24)

dan dapat diintegrasikan menjadi :

V = konstanta ……………………………………… (25)

konstanta dalam persamaan (25) menyatakan laju aliran massa persatuan luas

yang sering disebut flux massa.

b. Aliran tak mampat (incompressible flow)

Pada aliran tak mampat mempunyai kerapatan yang tetap, dan

Azas ke takmampatan ini tidak akan mempengaruhi

perubahan kecepatan terhadap tempat dan waktu untuk aliran tak mampat,

persamaan (23) menjadi : dengan penyelesaian umum adalah

V = f(t) …………….. (26)

Persamaan (26) akan memberikan pengertian bahwa pada aliran tak mampat

pada satu waktu tertentu kecepatan akan sama di semua tempat dan pada

waktu lain kecepatan akan berubah meskipun tetap sama disetiap tempat.

c. Aliran tak mampat tunak (incompressibble steady flow)

Pada aliran tak mampat tunak, persamaan (23) akan berbentuk :

, dengan penyelesaian umum adalah : V = konstanta …………. (27)

Persamaan (27) akan memberikan pengertian bahwa kecepatan akan sama

pada setiap tempat dan waktu.

10

Page 12: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Pada beberapa rancang bangun kerekayasaan fluida, banyak sistem aliran yang

mempunyai penampang lintang berubah secara gradual seperti diterangkan dalam

Gambar 4.7.

Gambar 4.7. Profil kecepatan tipikal yang melalui penampang lintang berubah secara

gradual.

Gambar 4.7 menggambarkan aliran tiga arah dan tiga dimensi (aliran bergerak ke 3

arah, kecepatan berubah 3 arah). Persamaan aliran ini akan sukar untuk diselesaikan

karena membutuhkan analisis numerik dan pemrograman komputer.

Agar dapat diselesaikan maka aliran harus disederhanakan menjadi aliran satu arah

satu dimensi. Upaya penyederhanaan ini dilakukan dengan memakai dua pendekatan,

yaitu: (1) aliran dianggap bergerak satu arah saja, dengan memilih satu arah yang

dominan sedangkan dua arah lain yang mempunyai kecepatan lebih kecil; (ii) dianggap

bahwa aliran mempunyai profil kecepatan yang sama. Dua asumsi dalam aliran ini

digambarkan dalam Gambar 4.8. Aliran yang dilaksanakan ini disebut aliran satu arah

dan satu dimensi semu.

Gambar 4.8. Gambar profil kecepatan pada aliran satu arah satu dimensi semu

Untuk menjabarkan persamaan kontinyuitas pada tipe aliran satu arah satu dimensi

semu ini dapat dilakukan dengan melihat aliran pada volume kontrol seperti tergambar

pada Gambar 4.9.

11

Sumbu

lintasan aliran

Sumbu

lintasan aliran

VA A(x)

Vk

dx

Page 13: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Gambar 4.9. Aliran melalui volume kontrol pada lairan satu arah dan satu dimendi.

Dari Gambar 4.9,

Sehingga persamaan kontinuitas menjadi :

Untuk aliran steady maka :

………………………………. (28)

Contoh :

Minyak mengalir dari satu pipa vertikal menetes ke permukaan air. Minyak mengapung

di permukaan air dan membentuk lingkaran.

Tetapkanlah suatu persamaan kontinyuitas gerakan tetesan minyak di atas air.

Anggaplah gerakan minyak mempunyai kecepatan sama ke arah radial.

12

r

dr

cv

Page 14: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Ambillah suatu kontrol seperti tergambar dengan ketebalan noda minyak , volume

kontrol tak terhingga dr, jarak kontrol volume dari sumbu pipa r dan variabel waktu t,

gerakan minyak dianggap hanya kearah radial.

Massa di dalam volume kontrol adalah :

maka

Apabila r variabel bebas dan tidak tergantung pada waktu t maka massa adalah:

sedang massa yang masuk dan meninggalkan volume kontrol :

, maka persamaan kontinyuitas :

4.3.2. Persamaan Newton IIPersamaan Neewton II disebut juga persamaan momentum dan dinyatakan bahwa :

resultante gaya yang bekerja pada sistem adalah sama dengan laju perubahan

momentum sistem dan dituliskan sebagai :

....................................... (29)

Dengan memakai persamaan (15), b = v maka persamaan momentum dapat dituliskan:

............................. (30)

Dalam pemakaian persamaan Newton II, besarnya total gaya F meliputi seluruh gaya-

gaya yang bekerja pada volume kontrol termasuk gaya-gaya permukaan dan body

forces, yaitu gaya-gaya yang disebabkan oleh gravitasi dan bidang magnetic.

13

Page 15: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Gaya-gaya permukaan yang bekerja pada permukaan volume kontrol yang disebabkan

oleh interaksi fluida di luar kontrol pada fluida di dalam volume kontrol. Gaya-gaya

permukaan disebut pula tegangan (stress). Gaya permukaan yang searah dengan muka

volume kontrol disebut gaya geser (shear stress) sedangkan gaya yang bekerja tegak

lurus muka volume kontrol disebut gaya normal (normal stress).

4.3.3. Hukum Thermodinamika IHukum thermodinamika I disebut pula persamaan energi. Persamaan energi ini

dinyatakan sebagai :

“Laju transfer panas terhadap sistem dikurangi laju kerja yang dihasilkan sistem adalah

sama dengan perubahan energi di dalam sistem", dan dapat dituliskan dalam simbol

matematika sebagai :

.........................................…….. (31)

Dimana : Q = laju transfer panas

W = laju kerja (work)

t = enegi spseifik. Adalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal.

Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk

yang ditinjau dalam mekanika fluida.

= energi kinetis

gz = energi potensial

= energi internal

Dari persamaan (15) maka persamaan energi (persamaan 31) dapat dituliskan sebagai :

…………………………… (32)

4.4. Persamaan Aliran (Equation of Motion)4.4.1. Persamaan Euler Ditinjau satu aliran satu arah satu dimensi dalam keadaan tunak (steady). Volume

kontrol berbentuk silinder, dengan penampang lintang tegak lurus aliran dA, dan

panjang ds, mempunyai berat = W

14

Page 16: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Gambar 4.10. Volume kontrol pada aliran satu arah satu dimensi berbentuk silinder

dengan berbagai komponen gaya

Dari Gambar 4.10: komponen gaya yang bekerja pada volume kontrol adalah tekanan

dan beratnya sendiri (gaya-gaya kekentalan berbentuk tegangan geser diabaikan) :

Gaya tekan : p dA –(p + dp)dA = - dp dA

Gaya berat ke arah aliran : -g ds dA (dz/ds

Massa : dM= ds dA

Percepatan :

Hukum Newton II : F = m.a

................................................. (33)

Apabila persamaan (32) dibagi dA akan menghasilkan persamaan Euler satu dimensi :

.......................................................................

(34)

Untuk aliran tak mampat, persamaan (34) dibagi gn menghasilakan :

.......................................................... (35)

Untuk aliran dengan kerapatan seragam :

............................... (36)

15

P1

V1

ds

P

V+dV

P+dp

2 V2

P2

dz

dW=gdsdA z

datum

Page 17: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

4.4.2. Persamaan BernoulliUntuk aliran tunak satu dimensi dengan kerapatan seragam disepanjang aliran,

persamaan Euler satu dimensi (pers.36) dapat untuk menentukan persamaan gerakan

aliran dari dua tempat yang ditinjau dari Gambar 4.10, akan dicari persamaan aliran dari

titik 1 ke titik 2.

Persamaan (36) :

Diintergalkan menjadi :

Rumus = konstanta = H .............................................. (37)

Atau ............................................. (38)

Contoh Pemakaian Persamaan Bernoulli :Sebuah pipa mengeluarkan air dari suatu danau alam. Permukaan danau

terletak pada elevasi 90 m dari permukaan laut (dpl). Mulut pipa terletak pada elevasi 60

dpl, menghadap keatas dan membentuk sudut 30o, sehingga air terpancar bebas

membentuk suatu parabola. Apabila diameter pipa adalah 300 mm dan pada mulut pipa

berdiameter 105 mm.

Tentukanlah :

1. Kecepatan pancaran air pada puncak parabola

2. Tinggi tekan pipa berturut-turut pada elevasi 78 dpl dan 59 dpl.

Penyelesaian :

Ditinjau dari titik 1 ke titik 4, dipakai persamaan Bernoulli pada aliran :

16

5 V

EL.60

125 mm

EL.78

300mm

4

2

3

1

EL.59

EL.90

Page 18: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Maka V5 = V4 cos 30o = 21,0 m/det

Debit = 24,3 x =0,3 m/det

Ditinjau aliran dari titik (2) ke titik (4) :

Q2 = Q4

V2 A2 = V4A4

=11,1 m, dengan cara yang sama dapat pula diperoleh :

17

Page 19: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

5. ALIRAN LAMINAR DAN TURBULEN

Pada fluida nyata, kekentalan (viscosity) menimbulkan tahanan pada gerakan fluida

yang disebabkan oleh gaya gesek antar partikel fluida dan antara partikel fluida dengan

dinding pembatas. Agar terjadi aliran harus ada kerja untuk melawan gaya tahanan

tersebut dan dalam proses ini energi diubah menjadi kalor. Kekentalan juga

menyebabkan terjadinya dua regim aliran. Hal ini seringkali menyebabkan timbulnya

aliran yang sama sekali berbeda dari aliran yang ditimbulkan oleh fluida ideal. Efek

kekentalan pada profil kecepatan menyebabkan asumsi keseragamann distribusi

kecepatan menjadi tidak valid. Penurunan persamaan Euler pada analisis 2 dimensi

dapat mengikutsertakan tegangan geser fluida nyata disamping gaya normal dan

tekanan yang sudah diperhitungkan sebelumnya. Hasilnya akan merupakan persamaan

diferensial parsial non linier orde 2 yang disebut persamaan Navier-Stokes.

Penyelesaian persamaan ini dengan menggunakan penyelesaian analitik jarang

ditemukan. Oleh karena itu, seorang insinyur harus menggunakan hasil percobaan,

metode semi-empiris, dan simulasi numeris untuk menyelesaiakan persoalan ini. Hal ini

memerlukan pengertian tentang berbagai fenomena fisik pada aliran fluida antara lain

adanya laminaritas dan turbulensi.

Pada aliran laminar, agitasi gerakan bentuk fuida hanya merupakan kejadian dalam

skala molekular sehingga dalam skala makro dapat dikatakan molekul bebas hambatan.

Pada pengamatan dalam skala makroskopis, partikel-partikel ini ditahan oleh viskositas

sehingga bergerak secara paralel membentuk suatu lapisan aliran. Tegangan geser

antara lapisan-lapisan bergerak yang terbentuk dalam aliran laminar ditentukan atau

dicari dengan viskositas dan didefenisikan secara lengkap melalui suatu persamaan

diferensial.

................................................................ (1)

Dari persamaan di atas, tegangan merupakan produk dari viskositas dan gradien

kecepatan (lihat Gambar 5.11). Jika aliran laminar terganggu oleh kekasaran dinding

pipa atau gangguan yang lain, gangguan-gangguan tersebut diredam oleh faktor

viskositas sehingga aliran kembali menjadi teratur atau normal. Aliran laminar cukup

stabil untuk beberapa jenis gangguan tetapi sebaliknya dengan aliran turbulen. Pada

aliran turbulen, partikel-partikel fluida tidak membentuk lapisan tetapi bergerak dalam

bentuk aliran yang heterogen, meluncur saling mengejar di antara partikel-partikelnya

18

Page 20: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

dan beberapa diantaranya bertabrakan cukup parah atau tidak teratur yang terbentuk

dalam suatu aliran deras dan kontinyu pada suatu pencampuran fluida yang bergerak,

dengan skala yang lebih besar dan lebih hebat daripada skala molekul pada aliran

laminar.

Gambar 5.11. Lapisan aliran fluida pada aliran laminer

Gerakan acak dan berputar-putar yang teramati pada aliran turbulen menandakan

bahwa gaya inersia (yang berhubungan dengan percepatan selama gerak terjadi) dan

gaya viskos (yang dipengaruhi oleh viskositas), keduanya mungkin berpengaruh.

Saat aliran didominasi oleh gaya viskos, kemungkinan besar aliran yang terbentuk

adalah aliran laminar. Sebaliknya, aliran yang terbentuk akan turbulen jika aliran

didominasi oleh gaya inersianya. Karakteristik-karakteristik ini didemonstrasikan oleh

Reynolds dengan peralatan-peralatan seperti yang terlihat pada Gambar 5.12.

19

Lapisan fluida

Lapisan fluida

v

v + dv

dv

dy

Page 21: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Gambar 5.12. Skema percobaan Reynolds

Air bergerak mengalir dari tanki melalui pipa kaca bermuly lebar dan besarnya laju alir

dikendalikan oleh katup A. Sebuah pipa kecil atau tube B menghubungkan zat warna

dalam sebuah reservoir dengan mulut pipa kaca. Dengan kecepatan yang rendah dalam

pipa kaca, filamen tipis zat warna yang dikeluarkan dari tube atau pipa kecil tidak akan

berdifusi tetapi hanya membentuk suatu aliran tipis yang lurus dan sejajar dengan

sumbu pipa. Saat katup dibuka dan kecepatan yang lebih besar dijalankan maka filamen

zat warna menjadi bergelombang dan rusak, dan pada akhirnya berdifusi melalui air

yang mengalir di pipa. Reynold menemukan bahwa kecepatan rata-rata saat filamen zat

warna mulai rusak (disebut kecepatan kritis) bergantung pada derajat kediaman air

dalam tangki. Kecepatan kritis yang lebih besar akan diperoleh dengan ketenangan air

dalam tangki. Dia juga menemukan bahwa jika filamen zat warna telah berdifusi,

penurunan kecepatan akan menjadi sangat penting untuk mengembalikannya namun

hal tersebut hampir selalu terjadi pada kecepatan rata-rata yang sama.

Karena adanya pencampuran aliran yang terjadi pada aliran yang menyebabkan

terjadinya difusi zat warna dalam bentuk filamen, Reynolds menarik kesimpulan bahwa

pada kecepatan rendah, pencampuran tidak terjadi dan partikel-partikel fluida bergerak

secara paralel, saling berkejaran secara dekat namun tidak bercampur, inilah yang

disebut sebagai rezim aliran laminar. Sebaliknya pada kecepatan tinggi, filamen zat

warna terdifusi sepanjang pipa dan secara nyata saling bercampur diantara partikel-

20

air

zat warna C

B

A

Page 22: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

partikel fluida dan hal inilah yang disebut aliran turbulen. Aliran laminar dapat berubah

menjadi aliran turbulen pada kecepatan kritis di atas kecepatan kritis saat hal sebaliknya

(aliran turbulen menjadi aliran laminar) dapat terjadi. Kecepatan saat aliran laminer

berubah menjadi turbulen disebut sebagai kecepatan kritis atas (upper critical velocity)

dan kecepatan saat aliran turbulen berubah menjadi laminer disebut sebagai kecepatan

kritis rendah (lower critical velocity).

Bukti lain yang memperlihatkan adanya dua rezim aliran dapat diperoleh dari ilustrasi

sederhana pada Gambar 5.13. Di sini, perbedaan tekanan di antara dua titik sepanjang

pipa panjang dan lurus diukur dengan menggunakan manometer melalui beda tinggi (h)

yang berhubungan dengan kecepatan rata-rata v. Untuk nilai v yang rendah, plot antara

h dan v menghasilkan garis lurus (h ∞ V), namun pada nilai v yang lebih tinggi

menghasilkan hubungan h dan V seperti kurva parabolik (h ∞ v2 ) (lihat Gambar 5.13).

Gambar 5.13. Skema percobaan penentuan v kritis

Secara nyata, pada kasus pertama (v rendah) aliran adalah laminar dan pada kasus

kedua adalah aliran adalah turbulen. Di antara kedua rezim aliran, terdapat rezim

transisi seiring dengan perubahan kecepatan. Pada Gambar 5.13, seiring dengan

21

h

v

0

h

v

A

B

C

Garis lurus h v

Mendekati parabola h v2

V kritis bawah V kritis

atas

Page 23: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

naiknya v data mengikuti garis 0ABCD tetapi penurunan v akan menghasilkan data yang

mengikuti garis DCA0. Dari hasil ini dan juga melalui pengamatan Reynolds dapat

disimpulkan bahwa titik A dan B adalah titik bawah dan titik atas kecepatan kritis.

Akhirnya, Reynolds dapat mengeneralisir beberapa kesimpulannya yang diperoleh

melalui percobaan aliran zat warna melalui sebuah persamaan dengan memasukkan

suatu bilangan tak berdimensi R (Reynold number) seperti yang terlihat di bawah ini :

...................................................... (2)

Dimana v adalah kecepatan rata-rata dalam pipa, d adalah diameter pipa, ρ adalah

densitas fluida, dan μ adalah viskositas fluida. Reynold menemukan bahwa nilai kritis

bilangan reynold (R) tertentu dapat menentukan batas bawah dan atas kecepatan fluida

untuk semua jenis fluida dan ukuran pipa. Reynold menyimpulkan bahwa terdapat suatu

nilai Reynold yang menjadi batas antara aliran laminar dan turbulen untuk semua jenis

fluida yang mengalir dalam pipa. Batas atas dari aliran laminar tidak tentu dan

bergantung atau dipengaruhi oleh beberapa kondisi yaitu : (1) kondisi ketenangan atau

kediaman awal fluida, (2) bentuk dari jalur atau pintu masuk pipa, dan (3) kekasaran

pipa, dan ketiga nilai tersebut dibutuhkan dalam praktek. Berbeda dengan aliran laminar,

batas bawah terjadinya aliran turbulen ditentukan atau digambarkan oleh suatu bilangan

Reynold. Pada kondisi di bawah nilai R ini, semua aliran turbulen akan teredam oleh

viskositas sehingga membentuk aliran laminar. Dari hasil eksperimen yang dilakukan

diperoleh bawah batas bawah nilai R untuk aliran turbulen adalah sekitar 2100.

Konsep nilai kritis Reynold menggambarkan kedua rezim aliran merupakan suatu

cara yang sangat baik dalam menjelaskan secara singkat berbagai fenomena aliran.

Dengan mengaplikasikan konsep ini pada aliran dalam pipa silinder, para engineer

dapat meramalkan bahwa aliran bersifat laminar jika R < 2100 dan bersifat turbulen

untuk R ≥ 2100. Bagaimanapun juga, Reynold Number adalah suatu nilai yang sangat

dipengaruhi oleh batas-batas geometri.

Untuk aliran di antara dinding paralel (menggunakan kecepatan rata-rata v dan d

adalah jarak), Rc ≡ 1000 (sekitar/mendekati/diantara)

Untuk aliran pada suatu saluran terbuka lebar (menggunakan kecapatan rata-

rata v dan d adalah kedalaman air), Rc ≡ 500

Untuk aliran dalam bola (menggunakan pendekatan kecapatan v dan d adalah

diameter bola), Rc ≡ 1

22

Page 24: DAFTAR ISI · Web viewAdalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang

Sebaiknya, nilai bilangan Reynold ditentukan melalui hasil eksperimen dikarenakan sifat

turbulen yang cukup kompleks. Saat ini berbagai metode analitis dikembangkan untuk

keperluan tersebut.

Sebenarnya R merupakan ratio antara gaya inersia terhadap gaya viskos yang terdapat

dalam aliran. Saat R bernilai rendah, aliran didominasi oleh viskositas dan saat R

bernilai besar, sifat aliran didominasi oleh gaya inersia. Satu hal yang lebih penting ialah

sifat aliran laminar dan turbulen tidak hanya ditentukan oleh kecepatan aliran. Aliran

laminar (R kecil) dikenali melalui kecepatan rendah, skala kecil (pipa dengan diameter

kecil) dan merupakan aliran dengan nilai viskositas kinematik yang tinggi. Aliran turbulen

(R besar) dikenali melalui kecepatan alirannya yang tinggi pada skala yang lebih besar

dan merupakan fluida dengan nilai viskositas kinematik yang rendah.

23