-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 1 dari 16
CURVE-FITTING dan INTERPOLASI Materi Kuliah:
Pengantar; Regresi Linier; Regresi Polinomial; Regresi Linier
Berganda Interpolasi Linier; Interpolasi Kuadrat; Interpolasi
Polinomial Newton & Lagrange
PENGANTAR Data-data yang bersifat diskrit dapat dibuat continuum
melalui proses curve-fitting. Curve-fitting merupakan proses
data-smoothing, yakni proses pendekatan terhadap kecenderungan
data-data dalam bentuk persamaan model matematika. Proses ini juga
dapat digunakan untuk keperluan interpolasi data. Misalkan tersedia
data-data y pada berbagai x (sejumlah n pasang), maka dapat dicari
suatu persamaan y = f(x) yang memberikan hubungan y dengan x yang
mendekati data. Proses ini disebut curve fitting.
x x1 X2 x3 ... ... xn-1 xny y1 Y2 y3 ... ... yn-1 yn
Secara garis besar, ada 2 kategori persamaan model matematika,
yakni:
1. Persamaan analitik, yang berbasiskan teori dan fenomena fisik
sistem yang teramati 2. Persamaan empirik, yang (lebih) berbasiskan
hubungan antara input dan output sistem yang
ditinjau
Langkah-langkah yang dapat ditempuh untuk menentukan persamaan
empirik adalah sebagai berikut: 1. Membuat grafik y versus x
berdasarkan data yang tersedia 2. Meramalkan bentuk persamaan yang
kira-kira sesuai (mengandung tetapan-tetapan yang
belum diketahui), berdasarkan grafik Misal: Persamaan linier: y
= a x ; y = a0 + a1 x Persamaan kuadrat: y = a0 + a1 x + a2 x2
Persamaan polinomial berorde-m: y = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + am-1
xm-1 + am xm Persamaan eksponensial: y = a ebx
3. Mengevaluasi nilai tetapan-tetapan tersebut berdasarkan data
yang ada regresi Secara garis besar, metode regresi ada 2 macam:
(a) regresi linier dan (b) regresi non-linier
4. Mengevaluasi kesesuaian persamaan empirik terhadap data.
Curve-fitting
Diplotkan pada grafik
x-y
x x
y y
y = f (x)
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 2 dari 16
Secara sederhana, persamaan empirik dianggap sesuai jika
error-nya kecil dan bentuk kurva berdasarkan persamaan empirik ini
mirip dengan bentuk kurva berdasarkan data. Jika persamaan empirik
tidak sesuai, maka harus dicoba bentuk persamaan yang lain.
Cara mengevaluasi nilai-nilai tetapan dalam persamaan empirik:
visual inspection, method of average, dan metode kuadrat terkecil
(least squares). Metode kuadrat terkecil merupakan metode yang
paling banyak digunakan. Pada metode ini, nilai-nilai tetapan
terbaik adalah yang memberikan jumlah kuadrat
kesalahan/penyimpangan (sum of squares of errors, SSE) yang
terkecil (minimum).
=
=n
idataterhitung yySSE
1
2)( MINIMUM
Untuk bentuk-bentuk persamaan tertentu, metode kudrat terkecil
dapat dilakukan secara analitik, tetapi untuk bentuk-bentuk yang
lain harus dilakukan secara numerik. Prinsipnya adalah minimasi SSE
terhadap variabel nilai-nilai tetapan dalam persamaan empirik.
Secara statistik, kesesuaian antara bentuk kurva dengan data
dapat dinyatakan dalam term koefisien korelasi (r) atau koefisien
determinasi (r2). Besarnya koefisien korelasi (r) adalah:
=
22
22
iiii
iiii
yynxxn
yxyxnr
dengan n menyatakan banyaknya data. Hubungan antara r dengan SSE
dapat dinyatakan sbb.:
t
t
SSSESr =2 dengan:
2
=
ny
yS iit
Kesesuaian yang sempurna ditunjukkan oleh besarnya: SSE = 0 dan
r = r2 = 1.
REGRESI LINIER DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL
Bentuk persamaan linier: (1) y = a x dan (2) y = a0 + a1 x
(1) Bentuk Persamaan: y = a x ... (1)
ingin dicari harga a (a biasa disebut sebagai slope) Untuk
pasangan data xi, yi, maka error-nya adalah:
)( dataterhitungiii yyyxaR == ... (2) sehingga nilai sum of
squares of errors-nya:
=
==n
iii afyxaSSE
1
2 )()( ... (3)
Harga a terbaik adalah yang memberikan SSE minimum. Harga SSE
akan minimum jika:
0)( =ad
SSEd ... (4)
sehingga: 0.)(2)(1
===
i
n
iii xyxaad
SSEd
0)()( 2 = iii yxxa atau: = 2)(
)(
i
ii
xyx
a ... (5)
CONTOH 1#:
Nitrous anhydride (N2O5) dapat terurai secara homogen menjadi
dinitrogen tetraoksida (N2O4) dan oksigen melalui reaksi: )()()(
2214252 gOgONgON
r + Berikut adalah data-data konsentrasi N2O5 (CA) vs waktu
untuk reaksi ini pada suhu 313,1 K:
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 3 dari 16
CA (gmol/liter) 0,1000 0,0892 0,0776 0,0705 0,0603 0,0542
0,0471Waktu (detik) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Dengan menganggap bahwa reaksi ini berorde-pertama terhadap
konsentrasi reaktannya: ACkr = , maka profil konsentrasi reaktan
yang terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai:
tkAA eCC
= 0 , dengan CA0 menyatakan konsentrasi reaktan mula-mula. Atau,
dapat juga dinyatakan dalam bentuk: tk
CC
A
A =0
ln ... (*)
Persamaan (*) merupakan bentuk persamaan linier (berorde satu,
garis lurus) yang mempunyai bentuk umum: y = a x, dan dapat
diplotkan sbb:
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
00 500 1000 1500 2000 2500 3000
t (detik)
ln (C
A/CA
0)
t 0
lnA
A
CC
x y x2 x y 0 0 0 0
500 -0,1143 250000 -57,14461000 -0,2536 1000000 -253,6031500
-0,3496 2250000 -524,3362000 -0,5058 4000000 -1011,682500 -0,6125
6250000 -1531,223000 -0,7529 9000000 -2258,69
22750000 -5636,67
2x yx k
xyx
a ==== 0002,02275000067,5636
2
Berdasarkan metode regresi linier terhadap data-data di atas,
diperoleh nilai tetapan (yakni tetapan kecepatan reaksi) k sebesar
0,0002 detik-1.
(2) Bentuk Persamaan: y = a0 + a1 x ... (6)
ingin dicari harga a0 dan a1 (a0 biasa disebut sebagai intercept
dan a1 sebagai slope) Dengan cara yang sama, untuk pasangan data
xi, yi, maka error-nya adalah:
)(10 dataterhitungiii yyyxaaR =+= ... (7) sehingga nilai sum of
squares of errors-nya:
=
=+=n
iii aafyxaaSSE
110
210 ),()( ... (8)
Harga SSE akan minimum jika: 0)(0
=
aSSE dan 0)(
1
=
aSSE ... (9, 10)
sehingga: 01.)(2)(1
100
=+=
=
n
iii yxaaa
SSE
=+ ii yxaan 10 ... (11) dan 0.)(2)(
110
1
=+=
=
n
iiii xyxaaa
SSE
=+ iiii yxxaxa 210 ... (12) Berdasarkan persamaan (11) dan (12),
maka harga a0 dan a1 dapat ditentukan. Misal, dengan menggunakan
Cramers rule, diperoleh:
=
ii iii i yx
yaa
xxxn
1
02
A x = b
Slope = -k = -0,0002
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 4 dari 16
maka:
==
= 22
2
2
2
10
ii
iiiii
ii
i
iii
ii
xxn
yxxxy
xxxn
xyxxy
a
==
= 22
2
21
ii
iiii
ii
i
iii
i
xxn
xyyxn
xxxn
yxxyn
a
(n menyatakan banyaknya data)
Nilai-nilai tetapan pada persamaan non-linier dapat ditentukan
melalui proses linierisasi. Berikut ini adalah contoh beberapa
bentuk persamaan dan hasil linierisasinya:
Bentuk Persamaan Awal
Bentuk Persamaan Hasil Linierisasi Ordinat Absis
Slope yang dihasilkan
Intercept yang dihasilkan
bxay += - y x a b xbeay = xbay += lnln ln y x b ln a
bxaxy += bxay
x += yx x a b
bxay += - y
x1 a b
bxay = xbay lnlnln += xbay logloglog +=ln y log y
ln x log x b
ln a log a
CONTOH 2#:
Berdasarkan data-data x-y berikut ini: x 1 2 3 4 5 y 0,5 1,7 3,4
5,7 8,4
tentukan harga-harga a dan b, jika trend data mengikuti model
bentuk pangkat: bxay = PENYELESAIAN:
Bentuk: bxay = dapat dilinierisasi menjadi bentuk: xbay
logloglog += x y log x log y (log x) 2 log x . log y 1 0,5 0
-0,3010 0 0 2 1,7 0,3010 0,2304 0,0906 0,0694 3 3,4 0,4771 0,5315
0,2276 0,2536 4 5,7 0,6021 0,7559 0,3625 0,4551 5 8,4 0,6990 0,9243
0,4886 0,6460
2,0792 2,1411 1,1693 1,4241 Persamaan (11) dan (12) diterapkan
untuk kasus ini, menjadi:
=
)log.(log
loglog)(loglog
log2 yx
yb
axxxn
atau:
=
4241,11411,2log
1693,10792,20792,25
ba
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 5 dari 16
Dengan menggunakan aturan Cramer, maka:
3002,05235,14574,0
1693,10792,20792,25
1693,14241,10792,21411,2
log ===a ; sehingga: a = 10-0,3002 = 0,5009
7517,15235,16688,2
1693,10792,20792,25
4241,10792,21411,25
===b
Jadi: a = 0,5009 dan b = 1,7517 Atau, jika secara langsung
memanfaatkan fasilitas TRENDLINE dalam EXCEL, diperoleh:
y = 0,5009x1,7517
R2 = 1
012
3456
789
0 1 2 3 4 5 6x
y
log y = 1,7517 log x - 0,3002R2 = 1
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
log x
log
y
REGRESI POLINOMIAL
Untuk persamaan kuadrat dengan bentuk: y = a0 + a1 x + a2 x2 ...
(13)
Dengan cara yang sama, untuk pasangan data xi, yi, maka nilai
sum of squares of errors-nya:
=
=++=n
iiii aaafyxaxaaSSE
1210
22210 ),,()( ... (14)
Harga SSE akan minimum jika: 0)(0
=
aSSE , 0)(
1
=
aSSE , dan 0)(
2
=
aSSE ... (15, 16, 17)
sehingga: 01.)(2)(1
2210
0
=++=
=
n
iiii yxaxaaa
SSE
=++ iii yxaxaan 2210 ... (18) 0.)(2)(
1
2210
1
=++=
=
n
iiiii xyxaxaaa
SSE
=++ iiiii yxxaxaxa 32210 ... (19) 0.)(2)(
1
22210
2
=++=
=
n
iiiii xyxaxaaa
SSE
=++ iiiii yxxaxaxa 2423120 ... (20) Persamaan (18), (19), dan
(20) selanjutnya dapat disusun dalam bentuk perkalian matriks,
sbb.:
=
ii
ii
i
iii
iii
ii
yxyx
y
aaa
xxxxxxxxn
22
1
0
432
32
2
A x = b
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 6 dari 16
Dengan demikian, harga a0, a1, dan a2 dapat ditentukan secara
simultan.
Dengan cara yang sama, secara umum, untuk persamaan polinomial
berorde-m dengan bentuk: y = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + am-1 xm-1 +
am xm ... (21)
dapat dihasilkan persamaan-persamaan berikut ini: =++++ imimii
yxaxaxaan "2210 =++++ + iimimiii yxxaxaxaxa 132210 " =++++ +
iimimiii yxxaxaxaxa 22423120 "
.......................................................................................................
.......................................................................................................
=++++ +++ imimmimmimimi yxxaxaxaxa "22110 atau, dapat disusun
dalam bentuk perkalian matriks, sbb.:
=
+++
+
+
im
i
ii
ii
i
mmm
im
im
im
i
miiii
miiii
miii
yx
yxyx
y
a
aaa
xxxx
xxxxxxxxxxxn
"""
""""""""
22
1
0
21
2432
132
2
A x = b Dengan demikian, harga-harga a0, a1, a2, .... am dapat
ditentukan secara simultan.
CONTOH 3#:
Berikut adalah data-data kapasitas panas gas, Cp (kal/gmol.K),
pada berbagai suhu, T (K): T 400 475 520 580 660 750 850 Cp 41,29
45,50 48,00 51,31 55,61 60,30 65,26
Jika Cp = f (T) didekati dengan persamaan polinomial berorde 3:
3
32
210 TaTaTaaCp +++= tentukanlah harga-harga a0, a1, a2, dan
a3!
PENYELESAIAN: Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, dapat
dihasilkan persamaan-persamaan berikut, yang disajikan dalam bentuk
perkalian matriks dan vektor:
=
CpTCpTCpT
Cp
aaaa
TTTTTTTTTTTTTTTn
3
2
3
2
1
0
6543
5432
432
32
A x = b Elemen-elemen matriks A dan vektor b dapat dihitung
dengan mudah, dan diperoleh hasil sbb.:
7 4235 2713025 1830387875 367,27 4235 2713025 1830387875
1,29E+12 230246,9
2713025 1830387875 1,29E+12 9,44E+14 152405037,5 1830387875
1,29E+12 9,44E+14 7,11E+17 1.06E+11
Matriks A Vektor b Dicoba diselesaikan dengan metode eliminasi
Gauss. Pertukarkan baris ke-1 dan ke-4 (maximum column
pivoting):
1830387875 1,29E+12 9,44E+14 7,11E+17 1,06E+11 4235 2713025
1830387875 1,29E+12 230246.9
2713025 1830387875 1,29E+12 9,44E+14 152405037,5 7 4235 2713025
1830387875 367,27
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 7 dari 16
Hasil eliminasi pertama: 1830387875 1,29E+12 9,44E+14 7,11E+17
1,06E+11
0 -273862,8 -354501579,5 -3,55E+11 -14506,8 0 -83071679,8
-1,09E+11 -1,10E+14 -4389064,1 0 -702,0 -898362,5 -889484632,8
-37,3
Pertukarkan baris ke-2 dan ke-3 (maximum column pivoting):
1830387875 1,29E+12 9,44E+14 7,11E+17 1,06E+11
0 -83071679,8 -1,09E+11 -1,10E+14 -4389064,1 0 -273862,8
-354501579,5 -3,55E+11 -14506,8 0 -702,0 -898362,5 -889484632,8
-37,3
Hasil eliminasi kedua: 1830387875 1,29E+12 9,44E+14 7,11E+17
1,06E+11
0 -83071679,8 -1,09E+11 -1,10E+14 -4389064,1 0 0 3968550,1
7516954861 -37,4 0 0 20519,8 38682348,6 -0,2
Hasil eliminasi ketiga: 1830387875 1,29E+12 9,44E+14 7,11E+17
1,06E+11
0 -83071679,8 -1,09E+11 -1,10E+14 -4389064,1 0 0 3968550,1
7516954861 -37,4 0 0 0 -184914,7 0,0019
Dengan substitusi balik, maka diperoleh hasil sbb.: a3 = -1,0214
E-08 a2 = 9,9231E-06 a1 = 0,0533499 a0 = 19,015164
Sebagai alternatif, jika menggunakan POLYMATH 5.1, diperoleh
hasil sbb.: POLYMATH Results 11-19-2006
Polynomial Regression Report Model: Cp = a0 + a1*T + a2*T^2 +
a3*T^3 Variable Value 95% confidence a0 19.015164 0.5282182 a1
0.0533499 0.0026952 a2 9.923E-06 4.448E-06 a3 -1.021E-08
2.376E-09
General Order of polynomial = 3 Regression including free
parameter Number of observations = 7
Statistics R^2 = 0.9999998 R^2adj = 0.9999997 Rmsd = 0.0011711
Variance = 2.24E-05
REGRESI LINIER BERGANDA (MULTIPLE LINEAR REGRESSION)
Regresi linier berganda diterapkan terhadap persamaan linier
multivariabel (dengan banyaknya variabel sejumlah m) yang mempunyai
bentuk umum:
y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am-1 xm-1 + am xm ... (22)
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, melalui penurunan
yang sama dengan kasus-kasus sebelumnya, maka dihasilkan
persamaan-persamaan berikut ini: =++++ yxaxaxaan mm"22110 =++++
yxxxaxxaxaxa mm 1121221110 " =++++ yxxxaxaxxaxa mm 2222212120 "
.......................................................................................................
=++++ yxxxaxxaxxaxa mmmmmmm "22110
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 8 dari 16
atau, dapat disusun dalam bentuk perkalian matriks, sbb.:
=
yx
yxyx
y
a
aaa
xxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxn
mmmmmmm
m
m
m
"""
""""""""
2
1
2
1
0
21
22
2122
1212
11
21
A x = b
Dengan demikian, harga-harga a0, a1, a2, .... am dapat
ditentukan secara simultan.
Catatan: Persamaan dalam bentuk perkalian berpangkat:
mmcba xxxxky "321= ... (23)
dapat dimanipulasi menjadi: mmxcxbxaky lnlnlnlnlnln 321 +++++= "
... (24) sehingga menjadi persamaan linier multivariabel seperti
bentuk di atas.
CONTOH 4#: Berikut adalah data-data percobaan kinetika sebuah
reaksi homogen ireversibel: PA r CA (gmol/liter) 1,00 0,923 1,15
0,87 1,05 0,75 0,55 0,65 Suhu (K) 373 395 365 400 405 388 410 380
Kecepatan reaksi (gmol/liter.detik) 1,508 2,936 1,293 3,242 4,566
1,899 2,780 1,255
Jika kecepatan reaksi dianggap mempunyai bentuk: nACTR
Ekr
= exp0 ... (**)
dan R = 1,987 kal/gmol.K, perkirakan harga-harga k0, E, dan n
berdasarkan data yang tersedia. (k0 faktor preeksponensial reaksi,
E energi aktivasi reaksi, dan n orde reaksi)
PENYELESAIAN: Bentuk persamaan non-linier (**) dapat
dilinierisasi menjadi:
ACnTREkr ln1lnln 0 +=
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, hasil-hasil
perhitungannya disajikan sbb.: Data x1 x2 y x1 x2 x12 x22 x1 y x2
y
1 0,002681 0 0,410784 0 7,1876E-06 0 0,001101 0 2 0,002532
-0,080126 1,077048 -0,000203 6,4092E-06 0,006420 0,002727 -0,086300
3 0,002740 0,139762 0,256965 0,000383 7,5061E-06 0,019533 0,000704
0,035914 4 0,002500 -0,139262 1,176190 -0,000348 6,2500E-06
0,019394 0,002940 -0,163799 5 0,002469 0,048790 1,518638 0,000120
6,0966E-06 0,002380 0,003750 0,074095 6 0,002577 -0,287682 0,641327
-0,000741 6,6426E-06 0,082761 0,001653 -0,184498 7 0,002439
-0,597837 1,022451 -0,001458 5,9488E-06 0,357409 0,002494 -0,611259
8 0,002632 -0,430783 0,227136 -0,001134 6,9252E-06 0,185574
0,000598 -0,097846 0,020569 -1,347138 6,330539 -0,003381 5,2966E-05
0,673472 0,015967 -1,033693
Dalam hal ini: y = ln r ; x1 = 1/T ; dan x2 = ln CA
Dalam bentuk perkalian matriks:
=
yxyx
y
aaa
xxxxxxxx
xxn
2
1
2
1
0
22122
212
11
21
=
033693,1015967,0330539,6
673472,0003381,0347138,1003381,010.2966,5020569,0347138,1020569,08
2
1
05
aaa
A x = b
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 9 dari 16
Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, augmented matrix-nya:
8 0,020569 -1,347138 6,330539
0,020569 5,2966E-05 -0,003381 0,015967 -1,347138 -0,003381
0,673472 -1,033693
Hasil eliminasi pertama: 8 0,020569 -1,347138 6,330539 0
7,8654E-08 8,2873E-05 -0,000310 0 8,2873E-05 0,446624 0,032320
Pertukarkan baris ke-2 dan ke-3 (maximum column pivoting): 8
0,020569 -1,347138 6,330539 0 8,2873E-05 0,446624 0,032320 0
7,8654E-08 8,2873E-05 -0,000310
Hasil eliminasi kedua: 8 0,020569 -1,347138 6,330539 0
8,2873E-05 0,446624 0,032320 0 0 -0,000341 -0,000341
Dengan substitusi balik, diperoleh: a2 = 0,9999 = n
a1 = -4998,5294 = RE
a0 = 13,8118 = ln k0
Jadi: k0 = 9,9627.105 detik-1; E = 9932,1 kal/gmol; dan n =
0,9999 1 Sebagai alternatif, jika menggunakan program EXCEL SOLVER,
diperoleh hasil sbb:
INTERPOLASI LINIER Interpolasi linier, yang merupakan bentuk
interpolasi paling sederhana, menggunakan dua titik data (data
points) untuk mengembangkan pendekatan linier terhadap fungsi yang
ditinjau. Tinjaulah 2 titik data (x1, f(x1)) dan (x2, f(x2)).
Ekspansi deret Taylor untuk f(x) di sekitar x1:
...)(''2
)()(')()()( 12
1111 +++= xfxxxfxxxfxf ... (25)
Hampir sama dengan hasil di atas
2
0 exp
rCRTEk
nA
2)^( rerror
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 10 dari 16
Dengan mengabaikan suku-suku setelah linear-term, dan
menggunakan pendekatan forward
difference untuk f(x1), yakni: 12
121
)()()('xx
xfxfxf ... (26)
Substitusi (26) ke (25) menghasilkan: )()()()()( 112
121 xxxx
xfxfxfxf += ... (27)
Persamaan (27) merupakan formula interpolasi linier untuk
mencari harga f(x), dengan x yang berada di antara x1 dan x2.
CONTOH 5#:
Berikut adalah data-data yang diambil dari tabel saturated
steam: Suhu (oF) Entalpi saturated steam (BTU/lb)
240 1160,6 260 1167,4
Dengan interpolasi linier, perkirakan besarnya entalpi saturated
steam pada 252oF!
PENYELESAIAN: Dengan menerapkan persamaan (27) ke dalam kasus
ini, maka:
)240(240260
6,11604,11676,1160)( += TTH
Pada T = 252oF: 7,1164)240252(240260
6,11604,11676,1160)( =+=TH BTU/lb
CONTOH 6#:
Perkirakanlah harga ln 2 dengan interpolasi linier! Gunakan 2
titik data: ln 1 = 0 dan ln 6 = 1,791759. Ulangi perhitungan,
tetapi lakukan dalam rentang ln 1 = 0 dan ln 4 = 1,386294.
PENYELESAIAN: Sebagai catatan, nilai yang sebenarnya: ln 2 =
0,6931472 Interpolasi pertama (pada rentang x = 1 dan x = 6):
3583519,0)1(16
0791759,10)12(16
1ln6ln1ln2ln =+=
+=
(Error terhadap nilai sebenarnya, %3,48%100.6931472,0
6931472,03583519,0 ==t ) Interpolasi kedua (pada rentang x = 1
dan x = 4):
4620981,0)1(14
0386294,10)12(14
1ln4ln1ln2ln =+=
+=
(Error terhadap nilai sebenarnya, %3,33%100.6931472,0
6931472,04620981,0 ==t ) Perhatikanlah bahwa interpolasi kedua
menghasilkan nilai yang lebih dekat kepada nilai sebenarnya. Dengan
demikian dapat disimpulkan bahwa interval yang lebih sempit
menghasilkan pendekatan yang lebih baik. Hal ini dapat dipertegas
dari visualisasi grafik di samping:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 1 2 3 4 5 6 7
y
Nilai sebenarnya
Hasil interpolasi linier
f (x) = ln x
x
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 11 dari 16
INTERPOLASI KUADRAT Interpolasi kuadrat (quadratic
interpolation) atau interpolasi orde-kedua menggunakan tiga titik
data. Strategi ini menggunakan pendekatan polinomial orde dua. Jika
tersedia tiga titik data, yakni: (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), dan
(x2, f (x2)), maka:
)()()()( 102010 xxxxbxxbbxf ++= ... (28) Persamaan (28)
merupakan cara lain penyajian persamaan polinomial orde dua,
karena:
)()()()( 102010 xxxxbxxbbxf ++= 1202102
220110)( xxbxxbxxbxbxbxbbxf +++=
atau: 2210)( xaxaaxf ++= (bentuk umum persamaan kuadrat) dengan:
1020100 xxbxbba += 120211 xbxbba = 22 ba = Prosedur sederhana untuk
menentukan koefisien-koefisien b0, b1, dan b2 dalam persamaan (28)
dikembangkan berdasarkan 3 titik data tersebut. Jika x = x0
disubstitusikan ke (28), maka:
)( 00 xfb = ... (29) Substitusikan (29) ke (28) dan dievaluasi
pada x = x1 menghasilkan:
)()()( 01101 xxbxfxf += atau:
01
011
)()(xx
xfxfb = ... (30)
Selanjutnya (29) dan (30) disubstitusikan ke (28), serta
dievaluasi pada x = x2, sehingga:
)()()()()()()( 120220201
0102 xxxxbxxxx
xfxfxfxf ++=
atau: 02
01
01
12
12
2
)()()()(
xxxx
xfxfxx
xfxf
b
= ... (31)
CONTOH 7#:
Perkirakanlah harga ln 2 dengan interpolasi kuadrat! Gunakan 3
titik data berikut: x0 = 1 f (x0) = 0 x1 = 4 f (x1) = 1,386294 x2 =
6 f (x2) = 1,791759
PENYELESAIAN: Dengan menerapkan persamaan (29): 00 =b Dengan
persamaan (30): 4620981,0
140386294,1
1 ==b
Dengan persamaan (31): 0518731,016
462091,046
386294,1791759,1
2 =
=b
Substitusikan nilai-nilai b0, b1, dan b2 ke (28) menghasilkan:
)4()1(0518731,0)1(4620981,00)( += xxxxf
Pada x = 2: 5658444,0)42()12(0518731,0)12(4620981,00)2( =+=f
Jadi, dengan interpolasi kuadrat, diperoleh: ln 2 =
0,5658444
(Error terhadap nilai sebenarnya, %4,18%100.6931472,0
6931472,05658444,0 ==t )
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 12 dari 16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 1 2 3 4 5 6 7
(Bandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh dengan
interpolasi linier, pada contoh sebelumnya, contoh #6...)
INTERPOLASI POLINOMIAL NEWTON
Berdasarkan penurunan untuk interpolasi kuadrat di atas,
pendekatan yang sama dapat dikembangkan untuk interpolasi
polinomial berorde m. Polinomial berorde m dapat dituliskan
sbb.:
)()()()()( 110010 +++= mm xxxxxxbxxbbxf "" ... (32) Untuk
polinomial berorde m, diperlukan sejumlah (m+1) titik data, yakni:
x0, x1, x2, ..., xm. Dengan menggunakan titik-titik data ini,
persamaan-persamaan berikut dapat digunakan untuk menghitung
koefisien-koefisien b0, b1, ..., bm:
)( 00 xfb = ... (33) [ ]011 , xxfb = ... (34) [ ]0122 ,, xxxfb =
... (35) # [ ]011 ,,,, xxxxfb mmm = ... (36)
Perhitungan di dalam kurung siku pada persamaan-persamaan (33),
(34), (35), dan (36) menggunakan beda-terbagi hingga (finite
divided-differences). Secara umum, first finite-divided difference
dinyatakan sbb.:
ji
jiji xx
xfxfxxf
=
)()(, ... (37) Second finite divided-difference, yang
menggambarkan perbedaan dua first finite-divided difference, secara
umum dinyatakan sbb.:
ki
kjji
kji xx
xxfxxfxxxf
=
,,,, ... (38)
Dan seterusnya, finite divided-difference ke-m dapat dinyatakan
sbb.:
[ ] [ ] [ ]0
02111011
,,,,,,,,,,xx
xxxfxxxfxxxxfm
mmmmmm
= ... (39)
Persamaan (37) (39) memperlihatkan perhitungan yang bersifat
rekursif, yang berarti bahwa finite-divided difference yang lebih
tinggi disusun dari finite-divided difference yang lebih rendah,
seperti tersaji dalam contoh skema berikut ini:
Nilai sebenarnya
Hasil interpolasi linier
f (x) = ln x
Hasil interpolasi kuadrat
x
y
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 13 dari 16
Finite divided-difference i xi f (xi) Pertama Kedua Ketiga 0 x0
f (x0) [ ]01, xxf [ ]012 ,, xxxf [ ]0123 ,,, xxxxf 1 x1 f (x1) [
]12 , xxf [ ]123 ,, xxxf 2 x2 f (x2) [ ]23, xxf 3 x3 f (x3)
Keterangan: x0, x1, x2, ..., xm tidak perlu dalam urutan
naik
CONTOH 8#: Ulangi contoh sebelumnya, perkirakanlah harga ln 2
dengan interpolasi polinomial Newton berorde-tiga (interpolasi
kubik)! Gunakan 1 titik data tambahan berikut:
x3 = 5; f (x3) = 1,6094379
PENYELESAIAN: Polinomial berorde-tiga (persamaan kubik) dapat
dituliskan sebagai:
)()()()()()()( 2103102010 xxxxxxbxxxxbxxbbxf +++= First
finite-divided difference untuk kasus ini: [ ] 101 46209813,014
0386294,1, bxxf == = [ ] 20273255,0
46386294,1791759,1, 12 =
=xxf
[ ] 18232160,065
791759,16094379,1, 23 ==xxf
Second finite-divided difference: [ ] 2012 051873116,016
46209813,020273255,0,, bxxxf === [ ] 020410950,045
20273255,018232160,0,, 123 ==xxxf
Third finite-divided difference: [ ] 30123 0078655415,015
)051873116,0(020410950,0,,, bxxxxf == = Harga-harga b0 (= f (x0)),
b1, b2, dan b3 selanjutnya disubstitusikan ke persamaan polinomial
berorde-tiga di atas, menghasilkan:
)4()1(051873116,0)1(46209813,00)( += xxxxf )6()4()1(0078655415,0
+ xxx
Jika dievaluasi pada x = 2:
)42()12(051873116,0)12(46209813,00)2( +=f
62876869,0)62()42()12(0078655415,0 =+
Jadi, dengan interpolasi polinomial Newton berorde-tiga,
diperoleh: ln 2 = 0,62876869
(Error terhadap nilai sebenarnya, %3,9%100.6931472,0
6931472,062876869,0 ==t )
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 14 dari 16
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 1 2 3 4 5 6 7
(Bandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh dengan
interpolasi linier maupun interpolasi kuadrat pada 2 contoh
sebelumnya, contoh 6# dan 7#)
INTERPOLASI POLINOMIAL LAGRANGE
Interpolasi polinomial Lagrange merupakan perumusan ulang dari
polinomial Newton yang tidak menggunakan metode finite-divided
difference. Secara umum, untuk sebuah polinomial berorde m:
=
=m
iii xfxLxf
0)(.)()( ... (40)
dengan: =
=
m
ijj ji
ji xx
xxxL
0
)( ... (41)
menunjukkan hasil kali dari (product of). Misal, untuk
polinomial berorde satu (linier): )()()( 1
01
00
10
1 xfxxxxxf
xxxxxf
+= ... (42)
Untuk polinomial berorde dua (kuadrat):
)()()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()( 21202
101
2101
200
2010
21 xfxxxx
xxxxxfxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxf
++
= ... (43)
Demikian seterusnya. Pada metode ini, untuk polinomial berorde
m, juga diperlukan sejumlah (m+1) titik data.
CONTOH 9#:
Gunakan interpolasi polinomial Lagrange orde pertama dan orde
kedua untuk menghitung harga ln 2, berdasarkan 3 titik data berikut
ini (sama dengan contoh sebelumnya):
x0 = 1 f (x0) = 0 x1 = 4 f (x1) = 1,386294 x2 = 6 f (x2) =
1,791759
PENYELESAIAN:
Formula interpolasi polinomial Lagrange orde pertama:
)()()( 101
00
10
1 xfxxxxxf
xxxxxf
+=
Pada x = 2: 4620981,0)386294,1(1412)0(
4142)2( =
+=f
Nilai sebenarnya
Hasil interpolasi kubik
f (x) = ln x
x
y
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 15 dari 16
Formula interpolasi polinomial Lagrange orde kedua:
)()()(
)()()()()(
)()()()()(
)()()( 21202
101
2101
200
2010
21 xfxxxx
xxxxxfxxxxxxxxxf
xxxxxxxxxf
++
=
Pada x = 2: )386294,1()64()14()62()12()0(
)61()41()62()42()2(
+=f
56584437,0)791759,1()46()16()42()12( =
+
(Perhatikanlah bahwa kedua hasil ini sangat dekat dengan hasil
yang dihitung dengan menggunakan metode interpolasi polinomial
Newton, pada contoh 6# dan 7#).
LATIHAN SOAL:
1. Jika Anda mempunyai pasangan data-data x dan y, bagaimana
cara Anda melinierisasikan bentuk-bentuk persamaan empirik berikut
ini untuk memperoleh harga-harga parameter a dan b?
(a)
+= xbax
yexp1
(b) xbexay x +=ln (c) ( ) 214 xabxy =
2. Jika tersedia sekumpulan data-data (x, y) berikut dan
diasumsikan bahwa: y = a0 + a1 x x 0,9 2,3 3,3 4,5 5,7 6,7y 1,1 1,6
2,6 3,2 4,0 5,0
tentukan besarnya a0 dan a1.
3. Lakukan curve-fitting untuk menentukan bentuk korelasi yang
terbaik dari data-data berikut ini: x 0 0,43 1,25 1,40 2,60 2,90
4,30y 9,4 7,1 5,35 4,20 2,60 1,95 1,15
4. Dengan mengasumsikan bahwa: xbeay = Berapakah nilai-nilai a
dan b, dengan linear regression, berdasarkan data-data di bawah
ini?
x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0y 3,3 3,5 3,7 3,9 4,0 4,3 4,5
5. Viskositas () air, dalam centi-Poise, yang diukur pada
berbagai suhu T, dalam oC, disajikan
dalam tabel berikut ini: T (oC) 10 20 30 40 50 60 70 (cP) 1,308
1,005 0,801 0,656 0,549 0,469 0,406
Dengan menggunakan multiple linear regression, tentukan
tetapan-tetapan yang bersesuaian
dengan persamaan model: 23211 TkTkk ++=
6. Persamaan Antoine dapat dituliskan sebagai: cT
baPo ++=log dengan Po [=] atm, T [=] Kelvin, serta a, b, dan c
menyatakan tetapan-tetapan Antoine. Tentukan tetapan-tetapan
Antoine untuk oksigen dari data-data berikut ini:
P (atm) 1 2 5 10 20 30 40 T (oC) -183,1 -176,0 -169,5 -153,2
-140,0 -130,7 -124,1
7. Jika diberikan data-data sbb.:
x 1 2 3 5 6 f (x) 4,75 4 5,25 19,75 36
-
dy/analisis numerik/curve-fitting dan
interpolasi/maret/2007/halaman 16 dari 16
(a) Hitunglah f (3,5) dengan interpolasi polinomial Newton orde
1 sampai 3. Pilihlah sendiri urutan titik-titik data yang
digunakan, supaya menghasilkan ketelitian yang baik.
(b) Ulangi bagian (a), tetapi menggunakan interpolasi polinomial
Lagrange orde 1 sampai 3. (c) Bandingkan hasil-hasilnya.
8. Berikut adalah data tekanan uap murni benzena pada berbagai
suhu: Suhu (oC) -1,6 7,6 15,4 26,1 42,2 60,6 Tekanan uap (mm Hg) 20
40 60 100 200 400
Perkirakan besarnya tekanan uap murni benzena pada 25oC
menggunakan: (a) Interpolasi linier (b) Interpolasi kuadrat (c)
Interpolasi kubik
9. Data berikut ini menunjukkan profil indeks bias larutan
sukrosa pada berbagai konsentrasi yang diukur pada suhu 20oC.
Persen sukrosa 10 15 20 25 30 35 Indeks bias 1,3479 1,3557
1,3639 1,3723 1,3811 1,3902
Perkirakan konsentrasi larutan sukrosa yang mempunyai indeks
bias sebesar 1,3606 dengan menggunakan:
(a) Interpolasi linier (b) Interpolasi kuadrat (c) Interpolasi
kubik
10. Sebuah reaksi heterogen mempunyai persamaan kecepatan reaksi
yang mengikuti model kinetika Langmuir-Hinshelwood:
21
)1( RRAAA
PKPKPkr ++=
Gunakan data-data berikut ini, yang diukur pada suhu 400 K,
untuk memperkirakan besarnya k1, KA, dan KR.
PA 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4PR 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6r x 105
3,4 3,6 3,7 3,9 4,0 4,1 4,2
Selamat Belajar...
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict >
/JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict >
/GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict >
/JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None
] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ]
/PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped
/False
/Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ]
/OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure true
/IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles
true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe)
(CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
/PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false
>> ]>> setdistillerparams> setpagedevice