Contoh: 1. a. b. Definisi - STMIK Akakom Yogyakarta · 2018. 9. 12. · 11 Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 11. Fungsi transenden Definisi: Fungsi transenden

1

2.1 Fungsi

Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.

Contoh: 1. a. b.

Definisi:Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi

FUNGSI & GRAFIKNYA

Daerah hasilDaerah asal

y = f(x) x

Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsiitu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:

Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205)Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.

f

22 5y x 2 9y x

A B

Notasi: f : A →B

2{( , ) / 2 5}f x y x

x 0 1 -1 2 -2 … 10

y 5 7 7 13 13 205

2

x

y

y = f(x)

Df

Wf

x

y

Soal:

Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian

tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.

a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1

Catatan:

1. Himpunan A, B є

2. Fungsi: y = f(x) ,

x peubah bebas

y peubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df }

5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }

Ada beberapa penyajian fungsi yaitu

a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.

b. Secara numerik : dengan tabel

c. Secara visual : dengan grafik

d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit

3

Contoh:

1. Secara verbal

Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).

Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.

Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai

satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan

sampai 5 ons.

2. Secara numerik

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)

0 < w ≤ 1 1.000

1< w ≤ 2 1.250

2 < w ≤ 3 1.500

3 < w ≤ 4 1.750

4 < w ≤ 5 2.000

3. Secara visual

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.

0 1 2 3 4 5

1.000

1.500

2.000

w

B

Ons

R

u

p

i

a

h

4

4. Secara aljabarBiaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.

1.000, jika 0 1

1.250, jika 1 2

( ) 1.500, jika 2 3

1.750, jika 3 4

2.000, jika 4 5

w

w

B w w

w

w

2.2 Jenis-jenis Fungsi

1. Fungsi linear

Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta

a = kemiringan garisb = perpotongan garis dengan sumbu-y

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf =

Grafik: y

x

b

y = ax + b

2. Polinomial

Bentuk umum:

y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0

dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,

n = derajat polinom ( an 0)

Daerah asal: Df =

5

Grafik:

Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c,

D = b2 - 4ac

x

y

ca < 0, D > 0

a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

y = P(x)y

c y = P(x)

y

c y = P(x)

x x

x

y

c

a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0

y = P(x)

y

cy = P(x)

y

c

y = P(x)

x x

Soal :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4

3. Fungsi pangkat

Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є

Daerah asal: Df =

Grafik:

yy = x

yy = x2

0 0xx

yy = x3

0x

6

4. Fungsi akar

Bentuk Umum:

Daerah asal dan daerah hasil:

Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap

Df = , Wf = , jika n ganjil

Grafik:

( ) , 2,3,4,...ny f x x n

y

0x

y

0x

2y x 3y x

Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

a. b. 1y x 2 2 2y x x

1y

x

1, 0y x

x

y

0 x

5. Fungsi kebalikan

Bentuk umum:

Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {0}, Wf = - {0}

Grafik:

7

6. Fungsi rasional

Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom

Daerah asal: Df = - { x | Q(x) = 0}

Contoh:

Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut

a. b.

( )

( )

P xy

Q x

1

1

xy

x

2

2

1

xy

x

7. Fungsi aljabar

Definisi:

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat

dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:

penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan

penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh:

a. b.

Catatan:

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi

balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

1 ( )

1

xf x

x

32

2( ) ( 2) 1

1

xf x x x

x

8

8. Fungsi trigonometri

8.1 Fungsi sinus

Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]

Grafik:

0-π

-1

1

x

y

y = sin x

8.2 Fungsi cosinus

Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]

Grafik:

0

-1

1

y

y = cos x

x

-2π 2ππ

-2π-π π

2π

8.3 Fungsi tangen

Bentuk umum:

Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є }

Daerah hasil: Wf =

sin( ) tan , dalam radian

cos

xy f x x x

x

9

Grafik:

0-

-1

1

x

y

y = tan x

8.4 Fungsi trigonometri lainnya

Bentuk umum: 1

( ) sec , dalam radiancos

1( ) cosec , dalam radian

sin

1(

a.

b.

c. ) cot , dalam radianta

n

y f x x xx

y f x x xx

y f x x xx

8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri

a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1

c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π)

e. tan x = tan (x + π)

-π π 2π-2π

10

x

y

0 1

1

y = ax , a > 1

x

y

0 1

1

y = ax , 0 < a < 1

10. Fungsi logaritma

Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf =

Grafik: y

0 1

1

y = loga x

x

9. Fungsi eksponensial

Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0, )

Grafik:

11

Contoh:

Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

11. Fungsi transenden

Definisi:

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.

Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri

invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

4

2

10

5 2 10 102

( ) 1 ( ) tan 2

6 ( ) 10 ( )

6

( ) log ( )2

log

1. 2.

3. 4.

5. 6.

( ) 2 7. . ( ) 82

x

f x x f x x

xf x f x

x

xf x x f x x

x

xf x t t f x x

x x

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)

Definisi:Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah

fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku

pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh:

0 ( ) | |

01.

x xf x x

x x

y

0 1

1

y = |x|

x-1

12

0 1

( ) 2 1 2

0

2.

2

x x

f x x x

x

y

0 1

y = f(x)

x2

3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil

atau sama dengan x.

f(x) = x

=

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

x

x

x

x

0 1 2 3

1

2

3

x

y

4

y = f(x)

Catatan:

1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak

2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: [Fungsi genap]

Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam

daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.

x

y

f(x)

-xx

y = f(x)

Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

13

Definisi: [Fungsi ganjil]

Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam

daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

x

y

f(x)

-xx

y = f(x)

-f(x)

Soal:

Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi

ganjil atau bukan kedua-duanya.

a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x

c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2

14. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika

f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika

f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

x1

y

f(x1)

x

y = f(x)

x2

f(x2)

Fungsi f naik

x1

y

f(x2)

x

y = f(x)

x2

f(x1)

Fungsi f turun

14

Soal:

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi

turun pada selang I.

a. f(x) = x2 I = [0, )

b. f(x) = sin x I = [ , 2]

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan

2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian

dan pembagian

3. Komposisi fungsi

Transformasi fungsi

a. Pergeseran (translasi)

Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:

1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x)

c

y

x

c

c

cy = f(x-c)y = f(x+c)

y = f(x) - c

y = f(x) + c

15

b. Peregangan (dilatasi)

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:

1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan

faktor c.

2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak

dengan faktor c.

3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar

dengan faktor c.

4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar

dengan faktor c.

2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

0 π 2π

-1

1

y

y = cos x

2

-2

y = 2 cos x

y = ½ cos x

x0 π 2π

-1

1

y

y = cos x

2

-2

x

y = cos ½ x

y = cos 2x

16

c. Pencerminan

Untuk memperoleh grafik:

1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x

2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y

y

x

y = f(x)

y = -f(x)

x

y = f(x)y = f(-x)

y

x-xx

f(x)f(x)

-f(x)

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan

sifat transformasi fungsi.

1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1

3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x

17

OPERASI FUNGSI ALJABAR

Definisi: [Aljabar fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan

Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg.

2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg.

3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg.

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}

Contoh:

Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika

2 ( ) ( )

( ) 1

1.

2 ). ( 1

f x x g x x

f x x g x x

Komposisi fungsi

Definisi: [Komposisi fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan

Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:

(f o g)(x) = f(g(x))

di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }

18

Soal :

Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

21.

2.

( ) ( )

1 ( ) ( ) 1

f x x g x x

f x g x xx

Dfg f WfWgDg

x

g(a)

f(g(x))

a

g(x)

f ° g

Polinomial (Suku Banyak)

Dengan syarat :

n ∈ bilangan cacah dan 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, ...,

disebut koefisien-koefisien suku banyak,

𝑎0 disebut suku tetap dan 𝑎𝑛≠0.

• NILAI SUKU BANYAK

Menentukan nilai suku banyak dapat

dilakukan dua cara, yaitu:

1. Cara Substitusi

2. Cara Horner

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk

Linear

Teorema

Sisa :

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR

1.Jika suatu suku banyak f(x)

dibagi oleh pembagi linear

berbentuk (x – k), maka sisanya

adalah s = f(k).

2.Jika suatu suku banyak f(x)

dibagi oleh pembagi linear

berbentuk (ax + b), maka

sisanya adalah s = abf

Bukt

i :f(x) = (x –

k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k –

k).H(k) + s f(k) = 0.H(k)

+ s f(k) = 0

+ s Sisa s = f(k)

(terbukti)

Contoh

soal :

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak

(3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2)

Jawa

b : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7

= 48 + 32 – 1 = 79

Jadi sisa suku banyak di atas

adalah 79

CARA

SUBSTITUSI

Teorema

Faktor

1.Suatu fungsi suku banyak f(x)

memiliki faktor (x – k) jika dan

hanya jika f(k) = 0.

2.Suatu fungsi suku banyak f(x)

memiliki faktor (ax + b) jika dan

hanya jika = 0 abf

ContohBuktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-

faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x –

18) !

Bukti

:f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

Bukti

:f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari

f(x)

• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)

maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)

= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah

faktor dari f(x)

Menyelesaikan Persamaan

Suku Banyak

Menentukan Faktor Linear dari

Suku BanyakJika f(x) = a0x

n + a1xn-1 + … + an-

1x + an dan (x – a) merupakan

faktor dari f(x), maka nilai a yang

mungkin adalah faktor-faktor

bulat dari an

Contoh

soal :Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 –

5x2 – 14x + 8) Jawa

b :

Nilai a yang mungkin adalah

±8, ±4, ±2, ±1Dengan cara trial and error, tentukan nilai a

yang mungkin dengan mensubstitusikan ke

dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 –

14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2)

merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain

dapat dilakukan dengan cara HORNER

sebagai berikut :

2 –

14–

5

8

x =

– 2 2

– 4 +

– 9

1

84

– 8

0 f(-2)

Sehing

ga :f(x) = (x –

k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x

+ 8 =2x3 – 5x2 – 14x

+ 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah

(x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x +

4) + 0 (x + 2).(2x –

1)(x – 4)

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku

Banyak oleh (x – k)

1. Cara bersusun

Contoh

soal :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 +

4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !

Jawab :

19x2 – 38x -

3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7(x – 2)

3x3

3x4 – 6x3 -

10x3 – x2 + 5x – 7

+ 10x2

10x3 – 20x2 -

19x2 + 5x – 7

+ 19x

19x2 – 38x-

43x – 7

+ 43

43x – 86-

79 sisa

Hasil bagi

pemb

agi

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2

+ 19x + 43 dan sisanya adalah

79

+

2. Cara

Bagan/Horner/Sintetis :Contoh soal :

Jawa

b :3 - 14 - 75

x = 2

3

6

10

20

19

38

43 79

86

Sisa

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 +

4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !

Koefisien Hasil Bagi

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43

dan sisanya adalah 79

1. Tentukan pembagian suku banyak f(x) =

4x4 – 5x2 + 3x – 1

dibagi (2x2 + x – 1) !

*SOAL-SOAL

LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

31

.adalah.... sisanya

)3(2x dibagi f(x)banyak suku 5.Jika 3)sisanya-(2x

dibagi jikadan 10 sisanya 1)(x dibagi f(x)banyak Suku 2.

2

x

SOAL-SOAL LATIHAN

32

.adalah....)23(xoleh P(x)pembagian

sisa 1. 2)sisanya-(xoleh dibagi jika23)dan -(12x

sisanya)1(xoleh dibagi P(x)banyak suku Suatu 3.

2

2

x

SOAL-SOAL LATIHAN

33

adalah.... 22oleh x P(x)pembagian sisa

2)-(x dibagi 643xP(x)banyak Suku 4.

2

23

x

kxx

SOAL-SOAL LATIHAN

34

.adalah.... )32(xoleh h(x)

pembagian sisa maka f(x).g(x)h(x) Jika 15. bersisa

3)-(x dibagi jikadan 9- bersisa 1)(x dibagi jika

g(x)banyak suku 4. bersisa 3)-(x dibagi jikadan

8 bersisa 1)(x dibagi jika f(x)banyak suku Diketahui 5.

2

x