CN IF2152 Beberapa Distribusi Peluang Kontinu II

IF-ITB/CS/Agustus 2003IF2152 – Probabilitas dan Statistika

Page 1

Beberapa Distribusi Peluang Kontinu II

<Christine Suryadi>Departemen Teknik Informatika

Institut Teknologi Bandung


Page 2

Isi :

• Distribusi Gamma • Distribusi Eksponensial• Distribusi Khi-kuadrat

• Sampel Acak • Teori Pengambilan Sampel


Page 3

Distribusi Gamma

• Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika.

• Definisi 2 : Fungsi gamma didefinisikan oleh

untuk α > 0∫∞

−−=Γ0

1)( dxex xαα


Page 4

• Distribusi Gamma. Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma, dengan parameter α dan β, bila padatanya diberikan oleh

x > 0

= 0 untuk x lainnyabila α > 0 dan β > 0.

βαα αβ

/1

)(1)( xexxf −−

Γ=


Page 5

Teorema 2

• Rataan dan variansi distribusi gamma adalah µ=αβ dan σ2 = αβ2


Page 6

Distribusi Eksponensial

• Distribusi gamma dengan α = 1 disebut distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu tunggu atau teori antrian.

• Distribusi Eksponensial. Peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensialDengan parameter β, bila fungsi padatnya diberikan oleh

x > 0= 0 untuk x lainnya

dengan β > 0.

β

β/1)( xexf −=


Page 7

• Contoh : Misalkan suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dinyatakan oleh peubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter β= 5. Bila sebanyak lima komponen tersebut dipasang dalam sistim yang berlainan, berapakah peluang bahwa paling sedikit dua masih akan berfungsipada akhir tahun kedelapan?


Page 8

• Akibat 1 : Rataan dan variansi distribusi ekponensial adalah

µ=β dan σ2 = β2


Page 9

Distribusi Khi-kuadrat• Distribusi gamma khusus ke dua diperoleh bila α=ν/2,

β=2 dan ν bilangan bulat positif. Fungsi peluang padat seperti itu disebut Distribusi Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan ν .

• Distribusi Khi-kuadrat Peubah acak kuntinu X berdistribusi khi-kuadrat, dengan derajat kebebasan ν , bila fungsi padatnya diberikan oleh

x > 0= 0 untuk x lainnya

dengan ν bilangan bulat positif.

2/12/2/ )2/(2

1)( xexxf −−

Γ= ν

ν ν


Page 10

• Akibat 2 : Rataan dan variansi distribusi khi-kuadrat adalah

µ = ν dan σ2 = 2ν


Page 11

Sampel acak

• Populasi ( universum ): digunakan untuk menyatakan seluruh pengamatan tentang hal yang diselidiki berhingga atau tidak.

• Definisi 1 :Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian.

Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan ukuran populasi.


Page 12

• Contoh : Percobaan melantunkan dadu menghasilkan populasi yang ukurannya tak terhingga. Banyaknya kartu dalam kotak adalah populasi yang ukurannya terhingga.


Page 13

Teori pengambilan sampel• Tujuan utama pengambilan sampel acak ialah untuk

mendapatkan keterangan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui.

• Sebagai ganti dari mendata teliti untuk semua orang, maka dilakukan pengambilan sampel acak yang banyak dan kemudian dihitung proporsi pada sampel. Nilai kemudian dipakai untuk menarik kesimpulan mengenai proporsi sesungguhnya.

• Suatu nilai yang dihitung dari sampel disebut statistik. Karena banyak sampel acak yang mungkin diambil dari populasi yang sama maka statistik yang diperoleh akan berlainan dari sampel ke sampel. Karena itu statistik merupakan peubah acak.


Page 14

Definisi 2

• Suatu statistik merupakan peubah acak yang hanya tergantung pada sampel yang diamati.

• Suatu statistik biasanya dinyatakan dengan huruf biasa. Proporsi sampel biasanya dinyatakan dengan . Nilai peubah acak dinyatakan dengan . Memakai untuk menaksir p ( p ialah proporsi sesungguhnya ) sampai derajat ketelitian tertentu.

• Statistik yang paling sering digunakan ialah rataan, median dan modus.

P̂P̂ p̂ p̂


Page 15

Definisi 3

• Bila X1,X2, . . . , Xn menyatakan sampel acak ukuran n, maka rataan sampel dinyatakan oleh statistik

• Contoh : Hitunglah rataan sampel acak bila pengamatannya 20, 27 dan 25

n

X

X

n

ii∑

== 1


Page 16

Definisi 4

• Bila X1,X2, . . . , Xn menyatakan sampel acak ukuran n, diurutkan membesar menurut besarnya, maka median sampel ditentukan sebagai statistik

bila n ganjil

bila n genap

• Contoh : Carilah median sampel acak bila pengamatannya 8, 3, 9, 5, 6, 8,dan 5.

2/)1( += nXX

21)2/(2/ ++

= nn XXX


Page 17

Definisi 5

• Bila X1,X2, . . . , Xn tidak perlu semuanya berbeda, menyatakan suatu sampel acak ukuran n, maka modus M ialah harga sampel yang paling sering muncul atau pun yang frekuensinya paling tinggi. Modus mungkin tidak ada, dan kalau pun ada mungkin tidak tunggal.

• Contoh : Modus sampel acak yang pengamatannya 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, dan 8.


Page 18

Ichtisar• Rataan : mudah dihitung tetapi kelemahannya harga

yang diperoleh mungkin dipengaruhi oleh pengamatan yang ekstrem.

• Median : Mudah menghitungnya, tidak dipengaruhi oleh pengamatan ekstrem, mendekati sesungguhnya, tidak terlalu stabil dalam penentuan pusat populasi seperti rataan.

• Modus: Paling jarang dipakai, hanya berpengaruh pada jumlah data yang banyak, tidak memerlukan perhitungan.

• Pada statistik pengukuran yang terpenting adalah variansi dan rentangan.


Page 19

Definisi 6

• Rentangan sampel acak X1,X2, . . . , Xn , yang diurutkan membesar, didefinsikan sebagai statistik Xn - X1

• Contoh : Berapa rentangan himpunan pengamatan 10, 12, 12, 18, 19, 22, dan 24.


Page 20

Definisi 7

• Bila X1,X2, . . . , Xn , sampel acak ukuran n, maka variansi sampel didefinisikan sebagai statistik

1

)(1

2

2

−

−=∑=

n

XXS

n

ii


Page 21

Teorema 1• Bila S2 variansi sampel acak ukuran n, maka dapat

ditulis

• Nilai S2 yang dihitung untuk suatu sampel dinyatakan dengan s2 . Perhatikan bahwa pada dasarnya S2 ialah rata-rata kuadrat penyimpangan ( selisih ) pengamatan dari rataan.

• Contoh : Hitunglah variansi sampel bila pengamatannya 3, 4, 5, 6, 6, dan 7.

)1(

)(1

2

1

2

2

−

−=∑ ∑= =

nn

XXnS

n

i

n

iii


Page 22

• Definisi 8 : Distribusi peluang suatu statistik disebut distribusi sampel.

• Definisi 9 : Simpangan baku distribusi sampel suatu statistik disebut galat baku statistik tersebut.

CN IF2152 Beberapa Distribusi Peluang Kontinu II

Documents