DIKTAT KULIAH GRAFIKA KOMPUTER Oleh: Rully Soelaiman JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
DIKTAT KULIAH
GRAFIKA KOMPUTER
Oleh:
Rully Soelaiman
JURUSAN TEKNIK INFORMATIKAFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
KATA PENGANTAR
Grafika Komputer merupakan salah satu bidang ilmu komputer yang
menakjubkan, dan banyak digunakan untuk menyajikan secara visual berbagai
informasi dari berbagai disiplin ilmu yang lain. Penyajian informasi secara visual
menggunakan grafika komputer untuk tujuan pemodelan, analisis, dan sintesis
banyak dijumpai antara lain pada bidang kerekayasaan, arsitektur, kedokteran
dan yang berkaitan dengan entertainment.
Berbicara tentang grafika komputer tidak terlepas dari berbagai metode dan
algorithma yang diperlukan untuk membangkitkan gambar pada layar tampilan,
dan cara pemanipulasian gambar tersebut sesuai dengan kebutuhan pengguna.
Dengan selesainya buku ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada
semua pihak yang telah banyak membantu hingga terselesaikannya buku ini,
khususnya saudara Pramudyo Ananto yang dengan segenap perhatian dan
komitmennya telah menyunting dan memeriksa bab demi bab dari buku ini.
Sebagai akhir kata, penulis berharap agar buku ini dapat bermanfaat bagi para
pembaca sekalian. Tak lupa, segala kritik dan saran demi sempurnanya buku ini
sangat penulis harapkan.
Surabaya, Pebruari 1999
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman Judul … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..i
Kata Pengantar … … … … … … … … ...… … … … … … … … … .… … … … … … … … … … .ii
Daftar Isi … … ...… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .iii
Pendahuluan … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1
Bab 1 Metode Raster Scan … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4
Bab 2 Transformasi Dua Dimensi Dan Metode Parametrik … … … … … … … … … 24
Bab 3 Kurva … … ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..42
Bab 4 Penggambaran Obyek Geometrik Dengan OpenGL ...… … … … … … … … 56
Bab 5 Teknik Viewing Pada OpenGL … … … .… … … … … … … ...… … … … … … … 67
Bab 6 Pewarnaan Pada OpenGL … ..… … … … … … … … … … … .… … … … … … … 84
Bab 7 Pencahayaan Pada OpenGL … … … … … … … … … … … … ..… … … … … … .92
Bab 8 Tekstur Mapping .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .101
Bab 9 Pembentukan Kurva dan Permukaan dengan NURBS… … … … … … … .110
Bab 10 Obyek Majemuk dan Operator Boolean… … … … … … … … … … … … … . 147
Daftar Pustaka
PENDAHULUAN
Sekilas tentang Java
Java merupakan bahasa pemrograman terbaru yang handal. Salah satu
kelebihannya yang nyata adalah run time library yang memberikan platform yang
berdiri sendiri: karena kita dapat menggunakan source code yang sama pada
Windows, Solaris, Unix, Macintosh maupun yang lain. Selain itu Java memiliki
syntax yang serupa dengan bahasa C++, sehingga bagi programmer-
programmer yang sudah menguasai C++ tidak mengalami banyak kesulitan
untuk menguasai Java. Java juga merupakan bahasa yang benar-benar
berorientasi obyek, bahkan melebihi C++. Segala sesuatu dalam Java, kecuali
beberapa tipe data dasar adalah merupakan obyek.
Tetapi itu saja belum cukup. Perancang Java berpikir keras untuk
mengetahui mengapa program C++ banyak menghasilkan kesalahan. Kemudian
mereka menambahkan feature-feature di Java untuk mengurangi kesalahan
tersebut. Selain itu mereka mengurangi penempatan dan pembebasan memori
secara manual. Jadi Java secara otomatis mengumpulkan sampah (garbage
collected) sehingga kita tidak perlu kuatir dengan masalah memori. Multiple
heritance juga dikurangi, dan digantikan dengan interface yang menyediakan
fasilitas yang kita inginkan dari multiple inheritance tanpa harus mengatur
hirarkinya.
Seperti yang telah diutarakan di atas, syntax pada Java mirip dengan
syntax pada C++. Tetapi syntax pada Java tidak memerlukan file header, struct,
operator overloading dan yang lannya. Jika kita memilki kebiasaan membuat
program dengan menggunakan Visual Basic, kita tidak pernah menggunakan
pointer, sehingga sering dikatakan Visual Basic kurang luwes karena tidak dapat
mengmplementasikan dengan mudah beberapa struktur data yang memerlukan
pointer. Sedangkan jika kita sering membuat program dengan C++, kita sering
menggunakan pointer untuk mengakses string, array, obyek dan file.
Java memberikan solusi yang terbaik. Kita tidak lagi memerlukan pointer
untuk mengakses string dan array. Tetapi jika diperlukan, kita memiliki pointer
yang handal, misalnya untuk linked list. Selain itu Java memberikan keamanan
yang benar-benar terjamin, karena kita tidak akan pernah dapat mengakses
pointer yang rusak atau membuat kesalahan pada alokasi memori.
Untuk lebih jelasnya, segala sesuatu tentang Java dapat ditemukan pada
http://www.java.sun.com.
Pengenalan OpenGL
OpenGL adalah suatu perangkat lunak interface untuk hardware grafik.
Interface ini terdiri dari 120 perintah yang digunakan untuk membentuk obyek
dan operasi yang diperlukan untuk menghasilkan aplikasi tiga dimensi yang
interaktif. OpenGL dirancang sebagai interface yang tidak bergantung kepada
hardware dan efisien untuk diimplementasikan pada berbagai macam platform
hardware.
Perintah OpenGL menggunakan awalan gl dan inisial huruf kapital untuk
tiap-tiap kata dari nama perintah (contohnya glColor()). Sedangkan konstantanya
dimulai dari GL_, seluruhnya menggunakan huruf kapital dan garis hubung
bawah (underscore) untuk menghubungkan tiap-tiap kata (seperti
GL_COLOR_BUFFER_BIT).
Ada juga beberapa huruf yang ditambahkan pada perintah-perintah (seperti 3f
pada glColor3f()). Hal itu disebabkan oleh karena kita dapat mendefinisikan lebih dari
satu perintah, tergantung dari argumen yang kita berikan. Akhiran 3 menunjukkan ada 3
argumen yang diberikan, versi lain dari perintah tersebut membutuhkan 4 argumen.
Akhiran f menunjukkan tipe data dari argumennya, yaitu floating-point. Perintah OpenGL
menerima sebanyak 8 tipe data yang berbeda untuk argumennya (untuk selengkapnya
lihat tabel).
Akhiran Tipe data Tipe data C Tipe data OpenGL
b 8-bit integer signed char GLbyte
s 16-bit integer Short GLshort
i 32-bit integer Long GLint, GLsizei
f 32-bit floating point Float GLfloat, GLclampf
d 64-bit floating point Double GLdouble, GLclampd
ub 8-bit unsigned integer unsigned char GLubyte, GLboolean
us 16-bit unsigned integer unsigned short Glushort
ui 32- bit unsigned integer unsigned long GLuint,GLenum,GLbitfield
Tabel tipe data argumen
glVertex2I(1, 3);
glVertex2f(1.0, 3.0);
Dua perintah di atas adalah senilai, hanya saja yang pertama membentuk
koordinat vertex sebagai integer 32 bit, sedangkan yang kedua membentuknya
sebagai floating point.
Beberapa perintah OpenGL mempunyai huruf akhir v yang menunjukkan
bahwa argumennya adalah sebuah pointer ke vektor (atau array). Ada perintah-
perintah yang mempunyai versi vektor dan nonvektor, tetapi ada pula yang hanya
mempunyai versi nonvektor saja. Berikut ini contoh perintah yang mempunyai
versi vektor dan nonvektor:
glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);
float color_array[] = {1.0, 0.0, 0.0};
glColor3fv(color_array);
Untuk lebih jelasnya, segala sesuatu tentang OpenGL dapat ditemukan
pada http://www.hermetica.com/products/magician/index.html
METODE RASTER SCAN
Peralatan raster scan memerlukan prosedur khusus untuk menghasilkan
tampilan dan menggambar garis lurus atau kurva. Pada bab ini kita akan
mempelajari hal tersebut.
1.1 ALGORITMA PEMBANGKITAN GARIS
Karena tabung sinar katoda (CRT-Catoda Ray Tube) dapat dianggap
sebagai sebuah matrik dari piksel diskrit, hal itu memungkinkan kita untuk
menggambar garis lurus dari satu titik ke titik yang lain. Proses penentuan titik
mana yang akan dijadikan pilihan terbaik untuk garis yang diinginkan dikenal
sebagai rasterisasi. Pemilihan elemen raster untuk garis vertikal, horisontal, serta
45ο cukup mudah, sedangkan untuk garis dengan orientasi yang lain hal itu akan
menjadi lebih sulit.
Sebelum membicarakan algoritma pembangkitan garis, perlu kiranya kita
mengingat syarat-syarat umum dari algoritma pembangkitan garis. Adapun
syarat-syarat tersebut antara lain:
- garis yang ditampilkan harus lurus
- garis harus berawal dan berakhir pada titik yang tepat
- garis harus memiliki kerapatan yang konstan serta tidak bergantung pada
panjang dan orientasi
- garis harus digambar secara cepat
Gambar 2-1
Hanya untuk garis vertikal, horisontal, serta 45ο yang mempunyai tingkat
kecerahan konstan sepanjang garis. Sedangkan untuk orientasi lain rasterisasi
akan manghasilkan kecerahan yang tidak rata. Bahkan pada kasus khusus,
kecerahan tergantung pada orientasi, sebagai contoh, perhatikan bahwa spasi
???
?
efektif antar piksel untuk garis 45ο lebih besar dari garis vertikal dan horisontal.
Hal ini membuat garis vertikal dan horisontal akan tampak lebih cerah dari garis
45ο. Untuk membuat kecerahan yang sama sepanjang garis dengan berbagai
macam variasi panjang dan orientasi memerlukan perhitungan dengan akar
kuadrat. Hal ini akan memperlambat proses perhitungan. Cara mengatasi yang
biasa digunakan adalah dengan melakukan perhitungan hanya kurang lebih
sepanjang garis serta mereduksi perhitungan sampai seminimal mungkin dengan
menggunakan bilangan integer.
Sebagian besar algoritma menggunakan metode incremental untuk
menyederhanakan perhitungan. Salah satu contohnya adalah:
position = startstep = increment
1 if position - end < accuracy then 4if position > end then 2if position < end then 3
2 position = position – stepgo to 1
3 position = position + stepgo to 1
4 finish
1.2 DIGITAL DIFFERENTIAL ANALYZER
Suatu teknik untuk menghasilkan garis lurus adalah dengan
menggunakan persamaan diferensial untuk garis lurus:
dimana x1, y1 dan x2, y2 adalah titik awal dan akhir dari garis yang diinginkan dan
yi adalah nilai inisialisasi untuk setiap langkah sepanjang garis. Persamaan di
atas merepresentasikan sebuah hubungan perulangan untuk nilai y berturut-
turut sepanjang garis yang diinginkan. Hal itu dinamakan Digital Differential
xxx
yyyy
yyyxx
yy
x
y
konsdx
dy
ii
ii
∆−−
+=
∆+=−−
=∆∆
=
+
+
12
121
1
12
12
.
Analizer (DDA). Untuk DDA sederhana, antara ∆x atau ∆y, yang terbesar dipilih
sebagai unit raster.
Rutin digital differential analyzer (DDA) untuk rastersasi garis
Titik awal dan akhir adalah (x1, y1) dan (x2, y2) diasumsikan tidak sama.Sign mengembalikan nilai –1,0,1 sesuai nilai argumen apakah <0, =0 atau >0.
menghitung panjang garisif abs(x2- x1) >= abs(y2- y1) then
Length = abs(x2- x1)else
Length = abs(y2- y1)end if
memilih yang terbesar dari ∆x atau ∆y untuk unit raster∆x = (x2- x1)/Length∆y = (y2- y1)/Length
gunakan fungsi Sign agar algoritma berjalan di seluruh kuadranx = x1 + 0.5*Sign(∆x)y = y1 + 0.5*Sign(∆y)
loop utamai=1while(i<=length)
Plot(Integer(x), Integer(y))x = x + ∆xy = y + ∆yi = i + 1
end whilefinish
contoh1:Buat garis dari (0,0) ke (5,5) dengan menggunakan DDA.Inisialisasix1 = 0y1 = 0x2 = 5y2 = 5Length = 5∆x = 1∆y = 1x = 0.5y = 0.5
loop utamaI Plot X Y
0.5 0.51 (0,0)
1.5 1.52 (1,1)
2.5 2.53 (2,2)
3.5 3.54 (3,3)
4.5 4.55 (4,4)
5.5 5.5
Gambar 2-2
Hasilnya terlihat pada gambar 2-2. Perhatikan bahwa titik awal dan akhir
terlihat tepat dan piksel yang terpilih mempunyai jarak yang sama sepanjang
garis. Jika i diinisialisasi 0 sebagai pengganti 1, piksel di posisi (5,5) akan
diaktifkan. Hal ini akan menyebabkan hasil yang tidak diharapkan. Jika titik awal
berada di pojok kiri bawah, pengaktifan piksel pada posisi (5,5) akan
menghasilkan titik akhir yang tidak tepat (lihat gambar 2-2). Sebagai tambahan,
jika dua garis digambar secara berurutan, maka piksel pada posisi (5,5) akan
diaktifkan dua kali, pertama pada akhir dari garis yang pertama dan kedua pada
awal garis yang kedua. Hal ini menyebabkan piksel menjadi lebih terang
dan/atau piksel mempunyai warna yang salah.
Contoh2:Buat garis dari (0,0) ke (-8,-4) dengan menggunakan DDA.Inisialisasix1 = 0y1 = 0
1 54
3
3
2
2
1
00
54
x2 = -8y2 = -4Length = 8∆x = -1∆y = -0.5x = -0.5y = -0.5loop utamai Plot x Y
-0.5 0.51 (-1,-1)
-1.5 -1.02 (-2,-1)
-2.5 -1.53 (-3,-2)
-3.5 -2.04 (-4,-2)
-4.5 -2.55 (-5,-3)
-5.5 -3.06 (-6,-3)
-6.5 -3.57 (-7,-4)
-7.5 -4.08 (-8,-4)
-8.5 -4.5
Gambar 2-3
Meskipun hasil yang tampak dalam gambar 2-3 kelihatan bisa diterima,
pada garis dari (0,0) ke (-8,4) dan (8,-4) akan terlihat bahwa rasterisasi garis
condong ke salah satu bagian (dalam hal ini bawah) dari garis yang sebenarnya.
Selain itu titik tambahan terjadi pada akhir dari garis. Jadi garis menjadi
tergantung pada orientasi dan tidak sesuai dengan syarat umum di atas. Lebih
jauh, jika fungsi integer diasumsikan menggunakan fungsi floor (pembulatan ke
bawah), hasilnya akan berbeda lagi. Sehingga harus digunakan algoritma yang
-4-3-2-10
-4 -3 -2 -1 0-7 -6 -5-8
rumit dan lambat, atau akurasi dari posisi titik akhir disesuaikan. Dengan kata lain
algoritma ini kurang bagus karena harus dibentuk dengan menggunakan floating
point.
1.3 ALGORITMA BRESENHAM
Meskipun sebenarnya dibuat untuk plotter, algoritma Bresenham juga
cocok digunakan pada CRT. Algoritma tersebut mencari lokasi raster yang
optimal untuk merepresentasikan garis lurus. Untuk melaksanakan hal itu
algoritma ini selalu increment 1 unit baik x maupun y tergantung pada gradien
garisnya. Increment terhadap variabel yang lain dapat bernilai 0 atau1 tergantung
pada jarak antara lokasi aktual dengan lokasi piksel grid terdekat. Jarak ini
disebut sebagai error.
Gambar 2-4
Algoritma tersebut dirancang dengan bagus sehingga hanya tanda dari
kondisi error ini yang perlu diperiksa. Pada gambar 2-4 diperlihatkan sebuah
garis pada oktan pertama, yaitu garis dengan gradien antara 0 dan 1. Perhatikan
bahwa jika gradien dari garis yang melalui (0,0) lebih dari ½, maka pada saat x=1
garis dengan y=1 akan lebih dekat daripada garis dengan y=0. Sehingga titik
(1,1) lebih baik untuk dipilih daripada titik (1,0). Jika gradien kurang dari ½ maka
berlaku sebaliknya. Untuk gradien tepat ½ maka kita dapat memilih salah satu
dari keduanya. Dalam hal ini kita memilih (1,1).
?
?
(0,1)
(0,0) (1,0)
(1,1)y
x
Gambar 2-5
Tidak semua garis tepat berada di titik raster. Hal ini diperlihatkan pada
gambar 2-5 di mana sebuah garis dengan gradien 3/8 yang melalui titik raster
(0,0) dan secara berurutan melalui tiga titik. Juga diperlihatkan perhitungan error
dalam merepresentasikan garis dengan piksel diskrit. Karena yang diperlukan
hanya tanda dari kondisi error, maka nilai error diinisialisasi dengan -½. Sehingga
jika gradien dari garis lebih dari atau sama dengan ½, nilai dari kondisi error pada
titik raster satu unit berikutnya (1,0) dapat ditentukan dengan menjumlahkan
gradien dari garis pada nilai dari kondisi error, yaitu:
e = e + m
dimana m adalah gradien garis. Dalam hal ini karena e diinisialisasi -½, maka:
e = -½ + 3/8 = -1/8
karena e negatif, garis akan berada di bawah dari pertengahan piksel. Sehingga
piksel pada level horisontal yang sama dengan titik sebelumnya lebih baik dipilih
sehingga y tidak di-increment. Kemudian increment lagi kondisi error dengan
gradien sehingga menghasilkan:
e = -1/8 + 3/8 = ¼
pada titik raster berikutnya (2,0). Di sini e bernilai positif sehingga garis melalui
atas pertengahan titik. Elemen raster pada level vertikal yang lebih tinggi (2,1)
menjadi pilihan yang lebih baik. Sehingga y di-increment satu unit. Sebelum
melanjutkan pada titik berikutnya, kondisi error direinisialisasi terlebih dahulu. Hal
itu dilakukan dengan mengurangi error dengan 1. Jadi,
00 1 2 3
1
-0.5
1
-1
0.50
e = ¼ - 1 = -3/8
Karena e negatif, nilai y tidak di-increment. Hal-hal di atas menunjukkan bahwa
kondisi error merupakan penentu dari perubahan nilai y pada garis yang
diinginkan pada tiap-tiap elemen raster dimulai dari -½.
Algoritma Bresenham untuk rasterisasi garis pada oktan pertama
Titik awal dan akhir adalah (x1, y1) dan (x2, y2) diasumsikan tidak sama.x, y, ∆x, ∆y diasumsikan integer; e real
inisialisasi variabelx = x1
y = y1
∆x = x2 - x1
∆y = y2 - y1
e = ∆y /∆x – ½
loop utamafor i=1 to ∆x
Plot(x,y)while(e>=0)
y = y + 1e = e - 1
end whilex = x + 1e = e + ∆y /∆x
next ifinish
contoh:Buat garis dari (0,0) ke (5,5) dengan menggunakan algoritma Bresenham.Inisialisasix = 0y = 0∆x = 5∆y = 5e = 1 – ½ = ½loop utamai Plot e x y
½ 0 01 (0,0)
- ½ 0 1½ 1 1
2 (1,1)- ½ 1 2½ 2 2
3 (2,2)
- ½ 2 3½ 3 3
4 (3,3)- ½ 3 4½ 4 4
5 (4,4)- ½ 4 5½ 5 5
Gambar 2-6
Hasilnya ditunjukkan pada gambar 2-6. Perhatikan bahwa unit raster
pada (5,5) tidak diaktifkan. Unit raster ini dapat diaktifkan dengan merubah
looping for-next menjadi 0 ke ∆x. Unit raster pertama pada (0,0) dapat
dihilangkan dengan memindah statemen Plot ke posisi tepat sebelum next i.
1.4 ALGORITMA BRESENHAM INTEGER
Algoritma Bresenham di atas memerlukan penggunaan floating point
dalam perhitungannya. Hal ini tentu saja mengurangi kecepatan dari
pembangkitan garis tersebut. Untuk meningkatkan kecepatan tersebut digunakan
perhitungan dengan menggunakan bilangan integer. Karena yang penting
hanyalah tanda dari kondisi error, transformasi sederhana
ε = 2*e*∆x è e = ε /(2*∆x)
dari kondisi error pada algoritma sebelumnya menghasilkan algoritma integer.
1 543
2
2
1
00
3
54
Algoritma Bresenham Integer untuk oktan pertama
Titik awal dan akhir adalah (x1, y1) dan (x2, y2) diasumsikan tidak sama.Semua variabel diasumsikan integer
Inisialisasi variabelx = x1
y = y1
∆x = x2 – x1
∆y = y2 – y1
ε = 2*∆y -∆x è
loop utamafor i=1 to ∆x
Plot(x,y)while(ε>=0)
y = y + 1ε = ε – 2*∆x è
end whilex = x + 1ε = ε + 2*∆y è
next ifinish
1.5 ALGORITMA BRESENHAM UMUM
Implementasi algoritma Bresenham secara penuh memerlukan modifikasi
untuk garis yang berada pada oktan yang berbeda. Hal itu dilakukan dengan
mempertimbangkan kuadran di mana garis tersebut berada beserta
kemiringannya. Pada saat nilai absolute dari kemiringan garis lebih dari 1, y
dinaikkan 1 dan kondisi error digunakan untuk menentukan kapan x dinaikkan.
Kapan x atau y dinaikkan +1 tergantung dari kuadrannya (Lihat gambar 2-7).
x
xy
x
x
y
x
x
ye
∆∆−∆
=∆
−∆∆
=∆
−∆∆
=
*2
*2
*2
2
1
*2
2
1
ε
ε
xx
xx
ee
∆∆−
∆=
∆
−=
*2*2
*2*2
1εε
x
y
xx
x
yee
∆∆
+∆
=∆
∆∆
+=
*2
*2
*2*2
εε
Gambar 2-7
Algoritma Bresenham Integer untuk seluruh kuadran
Titik awal dan akhir adalah (x1, y1) dan (x2, y2) diasumsikan tidak sama.Semua variabel diasumsikan integerSign mengembalikan nilai –1,0,1 sesuai nilai argumen apakah <0, =0 atau >0.
inisialisasix = x1
y = y1
∆x = abs(x2- x1)∆y = abs(y2- y1)s1 = Sign(x2- x1)s2 = Sign(y2- y1)ε = 2*∆y – ∆x
menukar ∆x dan ∆y sesuai dengan kemiringan garisif ∆y > ∆x then
temp = ∆x∆x = ∆y∆y = tempinterchange = 1
elseinterchange = 0
end if
x = x + 1y = y + 1y = y+1
x = x + 1
x = x - 1
y = y - 1x = x - 1y = y - 1
x
y
x++
y++
x++
y++
x--
x--
y-- y--
loop utamafor i=1 to ∆x
Plot(x,y)while(ε>=0)
if interchange=1 thenx = x + s1
elsey = y + s2
end ifε = ε – 2*∆x
end whileif interchange=1 then
y = y + s2
elsex = x + s1
end ifε = ε + 2*∆y
next ifinish
Contoh:Buat garis dari (0,0) ke (-8,-4) dengan menggunakan algoritma bresenham.Inisialisasix = 0y = 0∆x = 8∆y = 4s1 = -1s2 = -1Interchange = 0ε = 0loop utamai Plot ε X Y
0 0 01 (0,0)
-16 0 -1-8 -1 -1
2 (-1,-1)0 -2 -1
3 (-2,-1)-16 -2 -2-8 -3 -2
4 (-3,-2)0 -4 -2
5 (-4,-2)-16 -4 -3-8 -5 -3
6 (-5,-3)
0 -6 -37 (-6,-3)
-16 -6 -4-8 -7 -4
8 (-7,-4)0 -8 -4
Gambar 2-8
1.6 PEMBANGKITAN LINGKARAN - ALGORITMA BRESENHAM
Selain rasterisasi garis lurus penting juga untuk mampelajari rasterisasi
fungsi yang lebih rumit, seperti lingkaran, elips, parabola, serta hiperbola. Pada
sub bab ini kita akan membahas algoritma pembangkitan lingkaran. Salah satu
algoritma yang paling mudah dan efisien adalah algoritma Bresenham. Untuk
memulai, perhatikan bahwa hanya satu oktan dari lingkaran yang perlu untuk
dibangkitkan. Bagian yang lain dapat dihasilkan dengan pencerminan secara
berturut-turut. Oktan kedua dapat dihasilkan dengan pencerminan oktan pertama
terhadap garis y=x untuk menghasilkan kuadran pertama. Hasil kuadran pertama
ini dicerminkan pada garis y=0 untuk menghasilkan kuadran yang kedua. Dan
akhirnya kombinasi dari hasil-hasil tersebut dicerminkan pada garis x=0 untuk
melengkapi lingkaran. Lihat gambar 2-9.
-4-3-2-10
-4 -3 -2 -1 0-7 -6 -5-8
Gambar 2-9
Untuk membuat lingkaran kita akan mempelajari algoritma Bresenham
untuk kuadran pertama. Perhatikan bahwa algoritma dimulai pada x=0, y=R, lalu
secara searah jarum jam y akan berkurang terhadap fungsi x pada kuadran
pertama (lihat gambar 2-10). Kita juga bisa memulai dari y=0, x=R, lalu secara
berlawanan arah jarum jam x akan berkurang terhadap fungsi y pada kuadran
pertama. Kali ini kita akan menggunakan cara yang pertama. Pusat lingkaran
serta titik awal dianggap tepat berada pada piksel.
Gambar 2-10
x
y
1
3
8
245
6 7
digenerate
oktan 1 dicerminkanthd grs y=x
kuadran 1 dicerminkanthd grs y (x=0)
separuh lingkarandicerminkan thd
grs x (y=0)
(0,R)
R
x
y
Pada pemilihan piksel berikutnya, hanya ada tiga kemungkinan piksel
yang akan menghasilkan lingkaran yang diinginkan. Ketiganya adalah vertikal ke
bawah (mV), horisontal ke kanan (mH), serta diagonal ke kanan bawah (mD).
Algoritma akan memilih piksel berikutnya yang memiliki jarak minimum dengan
lingkaran sebenarnya.
mH = |(xi + 1)2 + (yi)2 - R2|
mV = |(xi)2 + (yi - 1)2 - R2|
mD = |(xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2|
Gambar 2-11
Perhitungan dapat disederhanakan dengan memperhatikan bahwa hanya
ada lima kemungkinan tipe perpotongan dari lingkaran dan piksel grid seperti
yang terlihat pada gambar 2-12. Selisih antara kuadrat jarak dari pusat lingkaran
ke piksel diagonal (xi + 1, yi - 1) dan titik lingkaran sebenarnya adalah:
∆i = (xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2
Seperti pada algoritma Bresenham untuk pembangkitan garis, kita juga
hanya akan menggunakan tanda dari kondisi error agar hanya bilangan integer
saja yang digunakan.
(xi,yi) (xi+1,yi)
(xi,yi-1) (xi+1,yi-1)
mH
mDmV
Gambar 2-12
Jika ∆i<0, maka titik diagonal (xi + 1, yi - 1) berada di dalam lingkaran yang
sebenarnya, yakni kondisi 1 dan 2 pada gambar 2-12. Jadi kita harus memilih titik
mH atau mD. Untuk menentukannya, pada kondisi 1 kita memerlukan selisih
antara kuadrat jarak dari lingkaran sebenarnya ke titik mH dan kuadrat jarak dari
lingkaran sebenarnya ke titik mD, yaitu:
δ = |(xi + 1)2 + (yi)2 - R2| - |(xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2|
Jika δ<0, maka jarak antara lingkaran sebenarnya dengan piksel diagonal
(mD) lebih besar dari jarak antara lingkaran sebenarnya dengan piksel horisontal
(mH). Jadi jika δ<=0 pilihlah mH(xi + 1, yi), sedangkan jika δ>0 pilihlah mD(xi + 1, yi -
1).
Perhitungan di atas bisa disederhanakan dengan memperhatikan bahwa
pada kondisi 1 piksel diagonal selalu berada di dalam lingkaran sedangkan piksel
horisontal selalu berada di luar lingkaran, sehingga:
(xi + 1)2 + (yi)2 -R2 >= 0
(xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2 < 0
jadi,
δ = (xi + 1)2 + (yi)2 - R2 + (xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2
dengan manambahkan (yi - 1)2 dan mengurangi dengan (yi)2, maka akan
diperoleh:
(xi,yi) (xi+1,yi)
(xi,yi-1)(xi+1,yi-1)
mH
mDmV
(xi-1,yi-1)
(xi+1,yi+1)
2
3 5
1
4
δ = 2[(xi + 1)2 + (yi - 1)2 - R2] + 2yi - 1
dengan persamaan dari ∆i maka:
δ = 2(∆i + yi) - 1
yang menjadi jauh lebih sederhana.
Jika ∆i>0, maka titik diagonal (xi + 1, yi - 1) berada di luar lingkaran yang
sebenarnya, yakni kondisi 3 dan 4 pada gambar 2-12. Jadi kita harus memilih titik
mV atau mD. Untuk menentukannya, pada kondisi 3 kita memerlukan selisih
antara kuadrat jarak dari lingkaran sebenarnya ke titik mV dan kuadrat jarak dari
lingkaran sebenarnya ke titik mD, yaitu:
δ’ = |(xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2| - |(xi)2 + (yi - 1)2 - R2|
Jika δ’<0, maka jarak antara lingkaran sebenarnya dengan piksel vertikal
(mV) lebih besar dari jarak antara lingkaran sebenarnya dengan piksel diagonal
(mD). Jadi jika δ’<=0 pilihlah mD(xi + 1, yi - 1), sedangkan jika δ’>0 pilihlah mV(xi, yi
- 1).
Perhitungan di atas bisa disederhanakan dengan memperhatikan bahwa
pada kondisi 3 piksel diagonal selalu berada di luar lingkaran sedangkan piksel
horisontal selalu berada di dalam lingkaran, sehingga:
(xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2 >= 0
(xi)2 + (yi - 1)2 -R2 < 0
jadi,
δ’ = (xi + 1)2 + (yi - 1)2 -R2 + (xi)2 + (yi - 1)2 -R2
dengan manambahkan (xi + 1)2 dan mengurangi dengan (xi)2, maka akan
diperoleh:
δ’ = 2[(xi + 1)2 + (yi - 1)2 - R2] - 2xi - 1
dengan persamaan dari ∆i maka persamaan akan menjadi:
δ’ = 2(∆i - xi) - 1
Jika berada pada kondisi 2 kita tentu saja akan memilih piksel mH(xi + 1,
yi), dan jika berada pada kondisi 4 maka piksel mV(xi, yi - 1) yang akan kita pilih.
Sedangkan jika kita berada pada kondisi 5 maka piksel yang kita pilih adalah
mD(xi + 1, yi - 1).
Algoritma lingkaran Bresenham untuk kuadran pertama
Semua variabel diasumsikan integer
Inisialisasixi = 0yi = R∆i = 2(1-R)Limit = 01 Plot(xi,yi)
menentukan berada di kondisi 1 atau 2, 3 atau 4, atau 5if yi <= Limit then 4if ∆i < 0 then 2if ∆i > 0 then 3if ∆i = 0 then 20
menentukan berada di kondisi 1 atau 22 δ = 2∆i + 2yi - 1
if δ <= 0 then 10if δ > 0 then 20
menentukan berada di kondisi 3 atau 43 δ’ = 2∆i + 2xi - 1
if δ’ <= 0 then 20if δ’ > 0 then 30
melakukan perpindahan pikselpiksel mH
10 xi = xi + 1∆i = ∆i + 2xi + 1go to 1
piksel mD
20 xi = xi + 1yi = yi - 1∆i = ∆i + 2xi - 2yi + 1go to 1
piksel mV
30 yi = yi - 1∆i = ∆i - 2yi + 1go to 1
4. Finish
Contoh:Buat kuadran pertama lingkaran dengan jari-jari 8. Gunakan algoritmaBresenham.Inisialisasix = 0y = 0∆i = 2(1 - 8) = -14Limit = 0loop utama
Plot ∆i δ δ’ X y-14 0 8
(0,8)-11 -13 1 8
(1,8)-6 -7 2 8
(2,8)-12 3 3 7
(3,7)-3 -11 4 7
(4,7)-3 7 5 6
(5,6)1 5 6 5
(6,5)9 -11 7 4
(7,4)4 3 7 3
(7,3)18 -7 8 2
(8,2)17 19 8 1
(8,1)18 17 8 0
(8,0)
Hasilnya ditunjukkan pada gambar 2-13. Kuadran yang lain dapat kita
hasilkan dengan mudah menggunakan algoritma di atas.
Gambar 2-13
(0,0)
(0,8)
(8,0)x
y
TRANSFORMASI DUA DIMENSIDAN METODE PARAMETRIK
2.1 TRANSFORMASI DUA DIMENSI
Titik beserta garis yang menghubungkannya digunakan untuk
merepresentasikan obyek, sehingga kemampuan untuk mentransformasikannya
merupakan dasar dari grafika komputer. Untuk merepresentasikan sebuah
obyek, kita mungkin akan memerlukan operasi-operasi transformasi seperti
refleksi, rotasi, serta dilatasi.
2.1.1 TRANFORMASI TITIK
Perhatikan hasil dari perkalian dari matrik [x y] yang berisi koordinat
dari sebuah titik P dengan matrik transformasi 2x2:
Notasi di atas berarti bahwa koordinat awal x dan y ditransformasikan ke x’ dan
y’, di mana x’=(ax+cy) dan y’=(bx+dy). Jadi x’ dan y’ adalah koordinat
transformasi dari titik P.
Karena pada perhitungan matrik perkalian dengan matrik identitas
sama dengan perkalian dengan 1 pada perhitungan biasa, maka jika matrik P[x
y] dikalikan dengan matrik identitas hasilnya adalah tidak ada perubahan
koordinat dari titik P.
Jika d diberi nilai 1 dan b serta c diberi nilai 0, maka:
]''[])()([][ yxdycxbyaxdcba
yx =++=
]''[][1001
][ yxyxyx ==
]''[][100
][ yxyaxa
yx ==
Dimana karena x’=ax menghasilkan perubahan skala pada komponen x dari
vektor posisi. Hasil dari transformasi di atas terlihat pada gambar 2-1a. Sekarang
perhatikan notasi di bawah ini:
Notasi di atas menghasilkan perubahan skala pada koordinat x dan y
dari koordinat awal vektor P, seperti yang ditunjukkan gambar 2-1b. Jika a=d>1
maka akan terjadi perbesaran terhadap koordinat P, sedangkan jika 0<a=d<1
maka yang akan terjadi adalah sebaliknya.
Jika a dan/atau d bernilai negatif, akan terjadi refleksi terhadap sumbu
atau bidang. Untuk membuktikannya perhatikan notasi di bawah ini, dimana
b=c=0, d=1, sedangkan a=-1:
Dan terjadi refleksi terhadap sumbu y, seperti yang ditunjukkan pada
gambar 2-1c. Jika b=c=0, a=1, dan d=-1, maka terjadi refleksi terhadap sumbu x.
Jika b=c=0, dan a=d<0 refleksi terjadi terhadap titik awal. Hal ini ditunjukkan
pada gambar 2-1d dengan a=-1, d=-1. Perhatikan bahwa baik pada refleksi
maupun scaling dari koordinat hanya melibatkan diagonal primer dari matrik
transformasi.
Sekarang perhatikan efek dari diagonal sekunder. Jika kita memberi
nilai a=d=1, dan c=0, maka:
Perhatikan bahwa koordinat x dari titik P tidak berubah, sementara y’
tergantung secara linier terhadap koordinat awal. Hal ini disebut dengan efek
shear, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2-1e. Dan ketika a=d=1, b=0,
transformasi menghasilkan pergeseran sejajar sumbu y, seperti yang terlihat
pada gambar 2-1f.
]''[][0
0][ yxdyax
da
yx ==
]''[][1001
][ yxyxyx =−=
−
]''[])([10
1][ yxybxx
byx =+=
Gambar 2-1
2.1.2 ROTASI
Gambar 2-2
Perhatikan segitiga ABC yang ditunjukkan oleh gambar 2-2. Segitiga
tersebut dirotasikan 90ο dari posisi awal berlawanan arah dengan jarum jam
dengan matrik transformasi:
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
P P'
P
PP
PP
P'
P'
P'
P'P'
(a) (c)
(f)(d)
(e)
(b)
− 01
10
2 4 6 8
2
4
6
8
0x
y
Jika kita menggunakan matrik 3x2 yang berisi koordinat dari segitiga, maka:
Yang menghasilkan segitiga A’B’C’. Rotasi 180ο terhadap posisi awal akan
dihasilkan dengan menggunakan matrik transformasi:
Dan rotasi 270ο derajat terhadap posisi awal menggunakan matrik:
Tentu saja matrik identitas:
Akan menghasilkan rotasi 0ο atau 360ο terhadap posisi awal. Contoh-contoh di
atas menggambarkan rotasi tertentu terhadap posisi awal: 0ο, 90ο, 180ο, 270ο.
Bagaimana jika kita menginginkan rotasi terhadap posisi awal dengan sudut yang
berubah-ubah?
−−=
−
−
214131
0110
121413
−−
1001
−
0110
1001
Perhatikan gambar 2-3. Vektor posisi P dengan panjang r dan sudut φ terhadap
sumbu x dirotasikan dengan sudut θ ke P’.
Gambar 2-3Vektor posisi P dan P’ dituliskan sebagai:
Berdasarkan rumus matematika penjumlahan sudut dimana:
Diperoleh:
Dengan menggunakan definisi x dan y maka P’ dapat ditulis sebagai:
Sehingga x’ dan y’ dalam bentuk matrik diperoleh:
2.1.3 REFLEKSI
X
Y
||
||
------------------x'------------------
|||||
||||
-----------x----------
y'
y
P
P'
φθ
[ ] [ ]φφ sincos rryxP ==[ ] [ ])sin()cos(''' θφθφ ++== rryxP
θφθφθφθφθφθφ
cossinsincos)sin(cossincoscos)cos(
±=±±=±
[ ] [ ])cossinsin(cos)sinsincos(cos''' θφθφθφθφ +−== rryxP
[ ] [ ]θθθθ cossinsincos''' yxyxyxP +−==
− θθ
θθcossinsincos
Gambar 2-4Dua refleksi dari segitiga DEF ditunjukkan pada gambar 2-4. Sebuah
refleksi terhadap garis y=0 (sumbu x) diperoleh dengan menggunakan matrik:
Dalam hal ini titik-titik segitiga D’E’F’ diperoleh dari:
Sama seperti sumbu x, refleksi terhadap sumbu y diperoleh dengan matrik:
− 1001
−−−
=
−
263718
1001
263718
−
1001
E'' D''
F''
E'
D'
F'
E
D
F
X
Y
Sedangkan refleksi terhadap garis y=x terjadi untuk
Pada transformasi di atas, titik-titik D’’E’’F’’ diperoleh dari:
Seperti juga pada garis y=x, refleksi terhadap garis y=-x diperoleh dengan:
Masing-masing matrik refleksi di atas mempunyai determinan sama
dengan –1. Secara umum, jika determinan dari suatu matrik transformasi sama
dengan –1, maka transformasi akan menghasilkan suatu refleksi.
Jika dua refleksi terhadap garis dilakukan terhadap suatu posisi
tertentu, maka operasi tersebut akan menghasilkan/sama dengan sebuah rotasi
terhadap posisi tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini:
Segitiga ABC pertama direfleksikan terhadap sumbu x, kemudian direfleksikan
terhadap garis y=-x. hasilnya akan sama dengan apabila segitiga tersebut
dirotasikan dengan sudut 270ο.
0110
=
627381
0110
263718
−
−0110
Gambar 2-5Pertama refleksikan segitiga ABC terhadap sumbu x:
Kemudian refleksikan lagi segitiga tersebut terhadap garis y=-x:
Hasilnya akan sama dengan rotasi dengan sudut 270ο:
−−−
=
−
271535
1001
271535
F''
F'
F
X
Y
D
D''D'
E
E''
E'2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
−−−
=
−
−
−−−
725153
0110
271535
−−−
=
−
725153
0110
271535
2.1.4 SCALING
Seperti yang telah kita bicarakan dalam subbab transformasi titik di
atas, scaling ditentukan oleh nilai dari dua elemen diagonal primer matrik. Jika
matrik:
Digunakan sebagai operator pada titik-titik segitiga, perbesaran 2 kali dari
segitiga tersebut akan terjadi. Jika nilainya tidak sama akan terjadi distorsi,
seperti yang terlihat pada gambar 2-6.
Gambar 2-6Segitiga ABC ditransformasikan sehingga menghasilkan segitiga A’B’C’, dimana
terjadi scaling uniform. Sedangkan transformasi dengan menggunakan matrik:
Menghasilkan scaling nonuniform, yang tampak pada segitiga A’’B’’C’’. Secara
umum, jika matrik:
2002
B
X
Y
A
2 4 6 8 1210
2
4
6
8
C
B'
A'
C'
B''
A''
C''
3002
1
dcba
Dengan a=d, b=c=0, akan menghasilkan scaling uniform. Sedangkan jika a≠d,
b=c=0 akan menghasilkan scaling nonuniform. Untuk scaling uniform, jika a=d>1,
maka akan terjadi perbesaran. Sedangkan jika a=d<1 obyek akan diperkecil.
2.2 PARAMETRIK
Selain metode raster scan seperti yang telah dibahas pada bab pertama,
untuk menggambar suatu obyek kta dapat menggunakan metode yang lain, yaitu
metode parametrik. Pada subbab ini kita akan membahas algoritma
pembangkitan lingkaran dan elips dengan menggunakan metode parametrik.
2.2.1 LINGKARAN
Sebuah lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r direpresentasikan
oleh:
Gambar 2-7
Dimana θ adalah parameternya. Sebelumnya kita ingat bahwa meskipun jika
persamaan tersebut mengincrement θ akan menghasilkan output yang bagus,
akan tetapi hal tersebut tidak efisien karena memerlukan perhitungan fungsi
trigonometri berulang-ulang sehingga akan memperlambat pembangkitan
lingkaran.
πθθθ
20sincos
<=<===
ryrx
r
θr sin
r cos θ
θ
x
y
Perhatikan bahwa lingkaran berada dalam range parameter θ dari 0
sampai 2π dan asumsikan terdapat sejumlah titik-titik pada keliling lingkaran,
maka δ, parameter yang increment di antara titik-titik tersebut merupakan suatu
konstanta. Sehingga koordinat kartesius dari sembarang titik pada lingkaran yang
berpusat di (0,0) adalah:
Dimana θi adalah nilai dari parameter yang menghasilkan xi dan yi. Dengan
menggunakan rumus matematika penjumlahan sudut diperoleh:
Sesuai definisi x dan y dengan mengganti θ dengan θi:
Sehingga akan dihasilkan persamaan yang merepresentasikan rotasi dari titik xi
dan yi dengan sudut δ:
Karena δ konstan dan sama dengan 2π/(n-1) dimana n adalah jumlah
titik-titik dari lingkaran tersebut, nilai dari sin δ, dan cos δ hanya perlu dihitung
satu kali saja. Sehingga algoritma ini hanya memerlukan empat perkalian, satu
penjumlahan, serta satu pengurangan saja dalam setiap perulangannya. Tentu
saja hal ini sangat efisien dan akan mempercepat pembangkitan lingkaran.
2.2.2 ELIPS
Pada lingkaran, sejumlah titik yang berjarak sama menghasilkan
gambar yang bagus jika dihubungkan dengan garis lurus. Selain itu distribusi
titik-titik tersebut merata sehingga kita dapat menggunakan increment sudut yang
sama. Akan tetapi jika increment sudut tersebut kita gunakan untuk menggambar
)sin()cos(
1
1
δθδθ
+=+=
+
+
ii
ii
ryrx
)cossinsin(cos)sinsincos(cos
1
1
δθδθδθδθ
iii
iii
ryrx
+=−=
+
+
ii
ii
ryrx
θθ
sincos
==
δδδδ
cossinsincos
1
1
iii
iii
yxyyxx
+=−=
+
+
elips, maka akan diperoleh hasil yang tidak sesuai dengan apa yang kita
harapkan. Hal itu disebabkan oleh karena mendekati bagian ujung dari elips
lengkungan yang terjadi terlalu besar untuk direpresentasikan dengan titik yang
hanya sedikit.
Alternatif yang digunakan adalah dengan menggunakan increment
yang sama sepanjang keliling elips. Dengan jumlah increment yang cukup maka
akan diperoleh hasil yang lebih baik. Yang kita inginkan adalah sedikit increment
pada panjang garis keliling ketika mendekati bagian ujung dimana
lengkungannya besar dan banyak increment pada panjang garis keliling ketika
berada di bagian sisi dimana lengkungannya kecil.
Distribusi titik yang diinginkan dari sebuah elips dengan pusat (0,0),
sumbu mayor a dan sumbu minor b akan dihasilkan oleh persamaan:
x = a cos θ
y = b sin θ
Gambar 2-8
dimana θ adalah parameternya. Dengan mengubah nilai θ antara 0 sampai 2πakan memenuhi seluruh elips. Dengan memeriksa turunan dari x dan y:
dx = -a sin θ dθ
dy = b cos θ dθ
x
y
menunjukkan bahwa increment garis keliling yang diinginkan akan dihasilkan
secara otomatis. Ketika θ mendekati 0 atau π, yaitu mendekati pinggir, |dx| ≈ 0
dan |dy| ≈ bdθ. Ketika θ mendekati π/2 atau 3π/2 yaitu sepanjang sisi, |dx| ≈ adθ
dan |dy| ≈ 0. Jadi ketika mendekati ujung dimana lengkungannya besar,
dihasilkan jumlah titik yang lebih banyak. Sedangkan sepanjang sisi, dimana
lengkungannya kecil akan dihasilkan jumlah titik yang lebih sedikit. Nilai
perbandingan increment garis keliling di ujung dengan sisi adalah b/a. Lebih
jauh, perhatikan bahwa jika a=b maka akan dihasilkan increment garis keliling
yang sama dan akan menghasilkan sebuah lingkaran.
Sesuai dengan persamaan dari lingkaran, koordinat kartesius dari
sembarang titik pada elips yang berpusat di (0,0) adalah:
Dimana δ=2π/(n-1) adalah increment dalam θ, n adalah jumlah titik pada keliling
dan θi adalah nilai dari parameter yang menghasilkan xi dan yi. Dengan
menggunakan rumus matematika penjumlahan sudut diperoleh:
Sesuai definisi x dan y dengan mengganti θ dengan θi akan dihasilkan
persamaan:
Karena δ, a dan b adalah konstan, sekali lagi algoritma yang efisien
akan dihasilkan karena hanya memerlukan empat perkalian, satu penjumlahan,
serta satu pengurangan saja dalam setiap perulangannya.
)sin()cos(
1
1
δθδθ
+=+=
+
+
ii
ii
byax
)cossinsin(cos)sinsincos(cos
1
1
δθδθδθδθ
iii
iii
byax
+=−=
+
+
δδ
δδ
cossin
sincos
1
1
iii
iii
yxab
y
yba
xx
+
=
−=
+
+
2.3 IMPLEMENTASI
Salah satu contoh implementasi yang sederhana dan umum yang akan
kita bahas adalah menggambar lingkaran melalui tiga buah titik. Kita akan
menggambar lingkaran melalui suatu segitiga, yang pertama berada di luar
segitiga, sedangkan pada contoh yang kedua lingkaran tersebut berada di dalam
segitiga.
Gambar 2-9
Seperti yang terlihat pada gambar 2-9 titik-titiknya adalah P1(x1,y1),
P2(x2,y2) dan P3(x3,y3). Persamaannya adalah:
Pemecahannya adalah dengan mengurangi persamaan (a) dengan
persamaan (b) dan mengurangi persamaan (c) dengan persamaan (b). Secara
cRkyhx
bRkyhx
aRkyhx
1..........................................)()(
1..........................................)()(
1..........................................)()(
223
23
222
22
221
21
=−+−=−+−=−+−
P1
P3
P2
x
x''
x'
y
y''
y'
lebih khusus, pemecahannya adalah [(a)-(b)](x3-x2)-[(c)-(b)](x1-x2) dimana huruf
dalam kurung siku menunjuk pada persamaan 1. Hasilnya diperoleh untuk k:
Mirip dengan di atas, h dihitung dari [(a)-(b)] dan persamaan 2 menghasilkan:
R ditentukan dari salah satu persamaan 1.
Persamaan-persamaan tersebut menampakkan beberapa kesulitan.
Khususnya jika penyebut dari kedua persamaan tersebut sama dengan nol,
maka metode alternatif harus digunakan. Lebih jauh, kondisi untuk memeriksa
apakah jari-jarinya tak terbatas (tak terdefinisi) atau titik-titiknya berada pada satu
gari (kolinear) tidak dapat dilakukan dengan segera.
Kesulitan yang dihasilkan oleh persamaan untuk k dan h direduksi
dengan mentranslasikan titik P1 ke pusat sistem koordinat (0,0), sehingga
persamaannya menjadi:
Mengurangkan (a) dari (b) dan (c) menghasilkan 2 buah persamaan
linear. Solusinya adalah [(b)-(a)]x3’-[(c)-(a)]x2’, yang menghasilkan:
Translasikan kembali h’ dan k’ sehingga menghasilkan h dan k. cara ini
sekali lagi mempunyai kesulitan jika penyebut dari persamaan 5 dan 6 adalah
nol. Sebagai tambahan, kondisi dimana jari-jarinya tak terbatas (tak terdefinisi)
2..................)])(())([(2
))](()[())](()[(
21232321
2122
23
22
2323
22
21
22
21
xxyyxxyyxxyyxxxxyyxx
k−−−−−
−−+−−−−+−=
3........................)(2
)(2)()(
21
2122
21
22
21
xxyykyyxx
h−
−−−+−=
cRkyhx
bRkyhx
aRkh
4....................)''()''(
4....................)''()''(
4....................''
223
23
222
22
222
=−+−=−+−=+
7..................................................)''(
6..........................................'2
''2'''
5.............)''''(2
]'''')''(''['
2122
2
222
22
2332
2233
223223
khR
xkyyx
h
xyxyxyxyxxxx
k
+=
−+=
−−+−=
atau titik-titiknya segaris (kolinear) sekali lagi tidak dapat segera ditentukan.
Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan tersebut gunakan langkah-langkah yang
dijelaskan di bawah ini.
2.3.1 LINGKARAN LUAR SEGITIGA
Dalam menggambar lingkaran luar dari suatu segitiga ini, kita akan
menggunakan operasi-operasi transformasi yang telah kita pelajari di atas. Untuk
itu, perhatikan langkah-langkah berikut ini:
1. Translasikan salah satu titik dari segitiga ke pusat dari sistem koordinat (0,0).
Dengan matrik transformasi yang sama, translasikan pula titik-titik yang lain.
Lihat gambar 2-10.
2. Rotasikan segitiga tersebut sehingga titik yang lain berada pada sumbu x
positif, seperti yang tampak pula pada gambar 2-10.
Gambar 2-103. Cari titik pusat dan jari-jari lingkaran.
4. Rotasikan titik pusat dari lingkaran tersebut dengan sudut yang berlawanan
arah dari langkah nomor 2.
5. Translasikan kembali titik pusat lingkaran dengan arah yang berlawanan dari
langkah pertama sehingga diperoleh titik pusat lingkaran dari segitiga asal.
6. Gambarkan lingkaran yang diinginkan dengan pusat serta jari-jari yang telah
diketahui.
Pada gambar 2-10 diperlihatkan bahwa segitiga ABC telah mengalami
operasi translasi dan rotasi sehingga titik A berada di pusat sistem koordinat dan
titik B berada pada sumbu x positif sehingga persamaan lingkarannya adalah:
x
y
A
BC
A'/A''
B'C'
B''
C''
x2 + y2 = R2 (a)
(xB - x)2 + y2 = R2 (b)
(xC - x)2 + (yC - y)2 = R2 (c)
dengan mengurangi persamaan (a) oleh persamaan (b) akan didapatkan bahwa
x = x2/2 dan dengan mengurangi persamaan (a) oleh persamaan (c)
diperoleh y = ½ x3/y3 (x3 – x2) + ½ y3 sehingga berdasarkan persamaan (a) akan
diperoleh juga jari-jari lingkaran .
Perhatikan bahwa jika y3=0 maka y menjadi sangat besar (tak terdefinisi).
Bagaimanapun, hal itu hanya akan terjadi jika ketiga titik tersebut berada pada
satu garis, sehingga ketiga titik tersebut tidak membentuk segitiga dan tentu saja
tidak ada lingkaran yang bisa dibuat dengan melalui ketiga titik tersebut.
2.3.2 LINGKARAN DALAM SEGITIGA
Pada dasarnya langkah-langkah untuk membuat lingkaran dalam segitiga
adalah sama dengan langkah-langkah untuk membuat lingkaran luar segitiga.
Perbedaannya hanya terletak pada pencarian titik pusat dan jari-jari lingkaran.
Dari gambar 2-11 bisa didapatkan persamaan untuk mencari titik pusat dan jari-
jari dari lingkaran dalam segitiga.
Gambar 2-11
c - x + b – x = c
c + b – a = 2x
x
y
B
C
A
a
c
b(c-x)
(c-x)x
(b-x)
x
(b-x)
α
sehingga diperoleh x = (c+b-a)/2. Sedangkan untuk mencari y atau jari-jari yaitu:
tg α = yC /x
y = x tg ½ α
Apabila kita sudah mendapatkan pusat dan jari-jari maka titik pusat dapat kita
translasi dan rotasikan secara berlawanan arah dan lingkaran tersebut dapat kita
gambar.
KURVA
Kurva memegang peranan penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Dalam
bidang teknik perancangan dan manufaktur kurva diperlukan untuk berbagai macam
produk, seperti otomotif, lambung kapal, badan serta sayap pesawat terbang, bailng-
baling, sepatu, botol, bangunan, dan lain-lain. Pada baba ini kita akan mambahas
mengenai pembangkitan dua macam kurva, yaitu kurva Bezier dan kurva B-Spline.
3.1 KURVA BEZIER
Gambar 3-1
Bentuk dari kurva Bezier ditentukan oleh defining polygon seperti yang terlihat
pada gambar 3-1. Kurva Bezier P(t), dengan (L+1) titik dapat dinyatakan dengan:
dimana fungsi basis Bezier atau Bernstein adalah:
dengan Jn,i(t) adalah orde-n ke-i dari fungsi basis Bernstein. Disini n adalah derajat dari
fungsi basis Bernstein, nilainya adalah jumlah control point –1.
10
)()(0
,
≤≤
= ∑=
t
tJBtPn
i
ini
)!(!!
)1()(,
inin
in
ttin
tJ iniin
−=
−
= −
Gambar 3-2
Pada gambar 3-2 diperlihatkan hasil dari fungsi basis Bezier, masing-masing 3, 4, dan 5
titik.
Gambar 3-3
Adapun hal-hal yang menjadi persyaratan umum dari kurva Bezier antara lain
adalah:
1. Endpoint interpolation
Kurva Bezier tidak menginterpolasi semua control point, tetapi selalu
menginterpolasi titik awal dan akhir. Seperti yang terlihat pada gambar 3-3.
Bukti:
Untuk t=0 n=0 maka:
Untuk t=0 n≠0 maka:
∑=
=n
i
ini tJBtP0
, )()(
1
1)1(!!
0)01()!0(!0
!)0( 0,
=
=
−−
==
n
nin
nn
nntJ
Sehingga:
Untuk t=1 n=i maka:
Untuk t=1 n≠ i maka:
Sehingga:
0
0)01()!(!
!)0(,
=
−−
== − iinin
inin
tJ
1
10!0!
!
1)0()!(!
!
1)11()!(!
!)1(
0
,
=
=
−=
−−
==
−
−
nn
nnnn
innn
tJ
nn
iinin
0
,0 )0()0(B
JBP in
==
0
01)!(!
!
1)0()!(!
!
1)11()!(!
!)1(,
=−
=
−=
−−
==
−
−
innn
innn
innntJ
in
iinin
i
nni
in
BJB
BiJP
==
=)1(
)1()1(,
,
2. Affine invariance
Untuk mentransformasikan kurva, kita tidak perlu mentransformasikan seluruh
titik dari kurva, tetapi cukup hanya control point-nya saja.
Bukti:
• Dimisalkan titik P(t) akan ditransformasi ke titik baru P’(t) dengan matrik transformasi
N dan offset vektor tr menjadi:
• Ternyata untuk mentransformasi cukup dengan mentransformasi control point-nya
saja.
Gambar 3-43. Linier precision
Jika control point ditempatkan sebagai garis lurus maka kurva Bezier yang
dibangkitkan harus membentuk garis lurus juga (lihat gambar 3-4).
Gambar 3-5
4. Convex hull
Setiap titik pada kurva Bezier berada dalam convex hull dari defining
polygon seperti yang terlihat pada gambar 3-5.
trNtJB
trNtPtP
in
n
k
i +=
+=
∑=
)(
)()('
,
0
5. Variation determinishing
Kurva Bezier tidak akan berisolasi terhadap sembarang garis lebih
banyak dari defining polygon-nya. Pada gambar 3-6 kurva Bezier berisolasi
dengan garis pada tiga titik, sedangkan defining polygon-nya berisolasi pada
empat titik. Kurva akan berisolasi maksimum dengan satu garis sama dengan
isolasi dari defining polygon-nya yaitu jika kurvanya berupa garis lurus.
Gambar 3-6
3.2 KURVA B-SPLINE
Pembangkitan kurva Bezier mempunyai kelemahan yang diakibatkan oleh
sifat global dari fungsi basis Bernstein. Karena setiap titik dari kurva Bezier
merupakan hasil dari proses dari seluruh control point, maka perubahan dari satu
control point akan mempengaruhi seluruh kurva. Hal ini akan menyulitkan jika
kita akan melakukan perubahan secara lokal dalam satu kurva.
Gambar 3-7
Ada basis lain yang dinamakan basis B-Spline yang berisi basis Bernstein
dengan sifat khusus. Basis ini bersifat non-global, jadi setiap titik Bi berhubungan
dengan sebuah fungsi basis yang berbeda. Sehingga setiap titik mempengaruhi
bentuk kurva hanya pada daerah dengan nilai parameter dimana fungsi basisnya
tidak nol.
Dengan P(t) sebagai vektor posisi sepanjang kurva sebagai fungsi
dengan parameter t, kurva B-Spline diperoleh dari persamaan:
dimana Bi adalah vektor posisi dari n+1 titik defining polygon dan Ni,k adalah
fungsi basis B-Spline ternormalisasi.
Untuk fungsi basis B-Spline ternormalisasi dengan orde k (derajat k-1),
fungsi basis Ni,k(t) didefinisikan sebagai:
dan
Nilai dari xi adalah elemen dari knot vektor yang memenuhi persamaan xi≤xi+1.
Parameter t berada antara tmin dan tmax sepanjang kurva P(t).
12
)()(
maxmin
1
1
,
+≤≤≤≤
= ∑+
=
nkttt
tNBtPn
i
kii
otherwisextxif
tNii
i →
<≤→⟨=
+...........
11,
0)(1
)(
1
1,1
1
1,,
)()()()()(
++
−++
−+
−
−−+
−−=
iki
kiki
iki
kiiki
xxtNtx
xxtNxt
tN
Gambar 3-8
Pada dasarnya persyaratan umum dari kurva B-Spline hampir sama
dengan persyaratan dari kurva Bezier. Untuk kurva B-Spline dengan orde k
(derajat k-1) setiap titik dari kurva harus berada di dalam convex hull dari k titik
yang berdekatan. Kemudian seluruh titik dari kurva B-Spline harus berada di
dalam garungan dari seluruh convex hull yang dibentuk oleh k control point. Pada
gambar 3-8 diperlihatkan efek dari perbedaan nilai dari k. perhatikan bahwa pada
saat k=2 convex hull-nya adalah defining polygon itu sendiri. Disini kurva B-
Spline yang dihasilkan juga merupakan defining polygon itu sendiri.
Gambar 3-9
Gambar 3-10
Dengan menggunakan convex hull akan terlihat jika seluruh control point
adalah kolinear maka kurva B-Spline yang akan terbentuk merupakan garis lurus
pula untuk seluruh orde k. Jika terdapat l control point yang kolinear pada awal
atau akhir dari defining polygon yang non-kolinear, maka jumlah rentang kurva
kolinear yang terjadi adalah l-k+1 seperti yang terlihat pada gambar 3-9 dan 3-10
(k=3). Sedangkan jika control point yang kolinear tersebut berada pada bagian
tengah dari defining polygon, maka jumlah rentang kurva yang terjadi adalah l-
2k+3 (lihat gambar 3-11, k=3).
Gambar 3-11
Persamaan fungsi basis B-Spline menunjukkan bahwa pamilihan knot
vektor mempunyai pengaruh penting pada hasil dari kurva B-Spline. Persyaratan
dari knot vektor adalah memenuhi persamaan xi≤xi+1. Pada dasarnya ada tiga
macam knot vektor, yaitu uniform, open uniform, dan non-uniform. Pada subbab
ini kita akan membahas dua diantaranya, yaitu uniform dan open uniform.
3.2.1 UNIFORM
Pada knot vektor uniform, jarak dari setiap elemen knot vektor adalah
sama. Biasanya knot vektor uniform dimulai dari 0 sampai suatu nilai maksimum.
Contohnya adalah:
[0 1 2 3 4 5 6]
Untuk setiap order k, knot vektor uniform akan menghasilkan fungsi basis periodic
uniform dimana:
Ni,k(t) = Ni-1,k(t-1) = Ni+1,k(t+1)
Hasil dari fungsi basis dengan menggunakan knot vektor uniform terlihat pada gambar 3-
12:
Gambar 3-12
dimana knot vektornya adalah [0 1 2 3 4 5 6], jumlah control point (n+1) =
4, serta orde k=3.
Pada kurva B-Spline periodic uniform, penggambarannya dimulai pada
titik Ps = P(t=xk) dan berakhir di titik Pe = P(t=xn+1). Persamaannya dinyatakan
sebagai:
Hal ini menyebabkan adanya salah satu sifat dari kurva tidak terpenuhi yaitu
endpoint interpolation. Sebagai contoh untuk k=3, maka:
Sedangkan untuk k=4, maka:
Untuk itu diperlukan suatu cara dalam mengontrol titik-titik tersebut. Salah satu
caranya adalah dengan yang dinamakan multiple coincident vertices, yaitu
dengan menggandakan control point yang berada di awal dan akhir dari defining
polygon. Sebagai contoh, untuk k=3 dengan dua control point pada awal dan
akhir sehingga B1=B2 dan Bn=Bn+1 akan menghasilkan titik awal dan titik akhir
seperti di bawah ini:
Sedangkan untuk k=4, maka:
kn
BNBNBNk
P
BNBNBNk
P
k
i
k
i
k
i
nkikniknie
kkkkks
≥
+++−
=
+++−
=
∑ ∑ ∑= = =
++−+−
−
)...()!1(
1
)...()!1(
1
1 1 1
1,43,32,
1,22,11,
)(21
)(21
1
21
++=
+=
nne
s
BBP
BBP
)(61
)4(61
11
321
+− ++=
++=
nnne
s
BBBP
BBBP
111
1121
)2(21
)(21
)2(21)(
21
+++ ==+=
==+=
nnnne
s
BBBBP
BBBBP
Gambar 3-13
)5(61)(
61
)5(61)4(
61
1111
21321
+−+− +=++=
+=++=
nnnnne
s
BBBBBP
BBBBBP
Gambar 3-14
Pada gambar 3-13 dan 3-14 diperlihatkan efek dari multiple coincident
vertices. Pada gambar 3-13 terdapat sebuah kurva dengan k=3 dimana bagian
atas tanpa menggunakan multiple coincident vertices, sedangkan pada bagian
bawah akhir dari defining polygon kurva tersebut ditambah satu control point
sehingga ada dua control point yang berhimpit.
Sedangkan pada gambar 3-14 terlihat kurva dengan k=4 tanpa multiple
coincident vertices, dengan satu multiple coincident vertices dan yang paling
bawahdua multiple coincident vertices (perhatikan bahwa pada contoh ini
multiple coincident vertices hanya diberikan pada akhir kurva saja).
3.2.2 OPEN UNIFORM
Knot vektor open uniform mempunyai nilai elemen knot yang sama pada
awal dan akhir sejumlah orde k. Sedangkan elemen knot yang tengah
mempunyai jarak yang sama. Secara umum, persamaan knot vektor open
uniform adalah:
xi = 0 1≤i≤k
xi = i-k k+1≤i≤n+1
xi = n-k+2 n+2≤i≤n+k+1
salah satu contoh knot vektor open uniform adalah:
k=2 [0 0 1 2 3 4 4]
k=3 [0 0 0 1 2 3 3 3]
k=4 [0 0 0 0 1 2 2 2 2]
Hasil dari kurva B-Spline dengan knot vektor open uniform mempunyai sifat-sifat
yang hampir sama dengan kurva Bezier. Jika jumlah control point sama dengan
orde dari fungsi basis B-Spline dan knot vektor yang digunakan adalah open
uniform, maka kurva B-Spline yang dihasilkan adalah sama dengan kurva Bezier.
Pada kasus ini, knot vektor yang terjadi adalah k elemen dengan nilai 0 diikuti
dengan k elemen dengan nilai 1. Sebagai contoh, knot vektor open uniform dari
fungsi basis B-Spline dengan orde 4 adalah:
[0 0 0 0 1 1 1 1]
Hasil dari fungsi basis open uniform dengan knot vektor di atas, orde k=4 dan
jumlah control point (n+1)=4 adalah:
Gambar 3-15
Perhatikan bahwa hasil fungsi basis di atas sama dengan hasil dari fungsi basis
kurva Bezier yang terlihat pada gambar 3-2.
Sebagai tambahan, hasil dari fungsi basis B-Spline dengan knot vektor [0
0 0 1 2 2 2], orde k=3 dan jumlah control point (n+1) = 4 adalah seperti yang
terlihat pada gambar 3-15:
Gambar 3-15
PENGGAMBARAN OBYEK GEOMETRIKDENGAN OPENGL
4.1. Persiapan menggambar
Pada bagian ini diterangkan hal-hal yang menyangkut persiapan menggambar sepertimembersihkan window serta mengeset warna obyek yang akan digambar.
4.1.1. Membersihkan windowMenggambar di komputer tidak sama dengan menggambar di kertas dimana dimulai dari
kertas kosong berwarna putih dan kita tinggal menggambar apa yang kita inginkan. Padakomputer, memori menahan gambar terakhir yang kita gambarkan di komputer tersebut sehinggakita perlu membersihkannya dengan suatu warna background sebelum menggambar dengan yangbaru. Warna background yang dipakai tergantung pada aplikasi. Untuk pemroses kata, kitamungkin akan menggunakan warna putih, untuk game pesawat luar angkasa kita akanmenggunakan warna hitam, dan lain-lain. Sebagai contoh, perintah di bawah ini akanmembersihkan window menjadi hitam:
glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
Baris pertama dari perintah di atas mengeset warna background menjadi hitam, danperintah selanjutnya membersihkan seluruh window dengan warna yang aktif. Parameter padaperintah glClear() menunjukkan buffer mana yang akan dibersihkan. Dalam hal ini program hanyamembersihkan buffer warna tempat menyimpan gambar yang ditampilkan. Kita hanya perlumengeset warna background satu kali saja di awal program dan membersihkan buffer seseringyang kita perlukan.
4.1.2. Pembentukan warnaOpenGL akan menyimpan warna yang sedang aktif saat itu. Sebelum warna yang aktif
tersebut diganti, maka setiap obyek geometrik yang dibuat akan digambar dengan menggunakanwarna itu. Hal ini akan meningkatkan kinerja daripada tanpa mwnyimpan warna yang sedang aktiftersebut. Sebagai contoh baris perintah di bawah ini:
set_current_color(red);draw_object(A);draw_object(B);set_current_color(green);set_current_color(blue);draw_object(C);
akan menghasilkan obyek A dan B berwarna merah dan obyek C berwarna biru. Perintah padabaris keempat yang mengeset warna menjadi biru tidak berguna.
Untuk mengeset warna, gunakan perintah glColor3f(). Perintah tersebut menggunakantiga parameter yang kesemuanya merupakan angka floating-point yang besarnya antara 0.0 sampai1.0. Parameter tersebut merupakan komponen merah, hijau dan biru dari warna yang akandihasilkan. Sehingga mengisi dengan 0.0 secara keseluruhan akan menghasilkan warna hitam,mengisi 1.0 keseluruhan akan menghasilkan warna putih, dan 0.5 akan menghasilkan warna abu-abu. Kombinasi delapan warna dari perintah glColor() adalah:
glColor(0.0, 0.0, 0.0); hitamglColor(0.0, 0.0, 1.0); biruglColor(0.0, 1.0, 0.0); hijauglColor(0.0, 1.0, 1.0); cyanglColor(1.0, 0.0, 0.0); merahglColor(1.0, 0.0, 1.0); magentaglColor(1.0, 1.0, 0.0); kuningglColor(1.0, 1.0, 1.0); putih
4.2. Menggambar titik, garis, dan poligon
Sebuah titik direpresentasikan oleh himpunan angka floating-point yang
dinamakan vertex. Pada OpenGL vertex tersebut kesemuanya dianggap tiga
dimensi. Jika ditentukan oleh user sebagai vertex dua dimensi (hanya koordinat x
dan y) maka koordinat z akan dianggap nol oleh OpenGL. OpenGL bekerja
dalam koordinat homogen tiga dimensi sehingga untuk kalkulasi internal seluruh
vertex direpresentasikan dalam 4 koordinat floating-point (x, y, z, w). Jika w tidak
nol,
Dalam OpenGL, garis berarti segmen garis, bukan versi matematika yang dapat
diperpanjang sampai dengan tak terbatas pada kedua arahnya. Terdapat cara yang
mudah untuk membentuk gabungan dari beberapa segmen garis yang terhubung, baik
terbuka maupun tertutup. Suatu garis yang terdiri dari beberapa segmen garis yang
terhubung ditentukan oleh vertex-vertex dari titik tepi segmen garis tersebut.
Gambar 4-1. Segmen garis yang terhubung secara berurutan
Poligon adalah daerah tertutup yang dibentuk oleh beberapa segmen
garis. Secara umum, poligon bisa menjadi sangat kompleks, sehingga OpenGL
membuat beberapa batasan untuk pembentukan poligon primitif. Pertama, tepi
dari poligon tidak boleh berpotongan. Kedua, poligon harus berbesifat convex
(cembung), jadi tidak mempunyai lekukan. Untuk banyak aplikasi, kita akan
membutuhkan poligon nonconvex, poligon dengan lubang di dalamnya, atau
poligon-poligon rumit yang lain. Karena selurruh poligon tersebut dapat dibentuk
oleh gabungan poligon-poligon sederhana, rutin-rutin untuk membentuk obyek
yang rumit disediakan dalam GLU.
Gambar 4-2. Poligon valid dan invalid
Karena persegi panjang merupakan bangun yang sangat umum dalam
aplikasi grafik, OpenGL menyediakan perintah khusus untuk menggambar
persegi panjang yang terisi, yaitu glRect*(). Sebenarnya kita dapat menggambar
persegi panjang sebagai suatu poligon, tetapi akan lebih optimal jika kita
menggunakan glRect*(). Untuk menggambar persegi panjang kita memasukkan
titik-titik sudutnya (x1,y1) dan (x2,y2) sebagai parameter.
4.2.1. Pembentukan vertexDengan OpenGL, seluruh obyek geometrik digambarkan sebagai
himpunan dari vertex-vertex. Kita akan menggunakan perintah glVertex*() untuk
menentukan suatu vertex. Beberapa contoh penggunaan glVertex*() adalah:
glVertex2s(2, 3);
glVertex3d(0.0, 0.0, 3.1415926535898);
glVertex4f(2.3, 1.0, -2.2, 2.0);
GLdouble dvect[3] = {5.0, 9.0, 1992.0};
GLdouble dvect[3] = {5.0, 9.0, 1992.0};
glVertex3dv(dvect);
Contoh pertama memperlihatkan sebuah vertex koordinat tiga dimensi (2,
3, 0) (ingat bahwa jika tidak ditentukan, koordinat z akan dianggap nol).
Koordinat pada contoh kedua adalah (0.0, 0.0, 3.1415926535898) (angka
dengan tipe double). Contoh ketiga menunjukkan titik dengan koordinat tiga
dimensi (1.15, 0.5, -1.1) (intgat bahwa koordinat x, y dan z selalu dibagi dengan
koordinat w). Pada contoh terakhir, dvect adalah pointer yang menunjuk sebuah
array dari tiga angka dengan tipe double.
4.2.2. Penggambaran primitif geometrik
Sekarang kita telah mengetahui bagaimana membentuk vertex, tetapi kita juga
harus tahu bagaimana OpenGL membentuk himpunan titik-titik, sebuah garis atau sebuah
poligon dari vertex-vertex tersebut. Untuk melakukannya kita harus memberi batas tiap-
tiap himpunan vertex tersebut dengan perintah glBegin() dan glEnd(). Argumen yang
diisikan pada glBegin() menentukan bangun geometrik yang akan dibentuk oleh vertex-
vertex tersebut. Contoh:
glBegin(GL_POLYGON);
glVertex2f(0.0, 0.0);
glVertex2f(0.0, 3.0);
glVertex2f(3.0, 3.0);
glVertex2f(4.0, 1.5);
glVertex2f(3.0, 0.0);
glEnd();
Gambar 4-3. Poligon dan himpunan titik-titik
Jika kita menggunakan GL_POINTS, hasilnya adalah tampak pada gambar 4-3
(kanan). Argumen yang bisa dimasukkan pada perintah glBegin() ditunjukkan pada tabel
di bawah ini:
Nilai Keterangan
GL_POINTS Menggambar titik dari n vertex
GL_LINES Menggambar segmen garis berurutan secara terpisah.
Jika vertex berjumlah ganjil, maka segmen terakhir tidak
dihiraukan.
GL_LINE_STRI
P
Menggambar segmen garis dari vertex 1 ke vertex 2,
dari vertex 2 ke vertex 3, dst. Jadi ada n-1 segmen garis.
GL_LINE_LOO
P
Sama dengan GL_LINE_STRIP hanya saja vertex
terakhir dihubungkan denga vertex 1 sehingga membentuk loop.
GL_POLYGON Menggambar poligon dari n vertex (n>2).
GL_TRIANGLE
S
Menggambar segitiga (poligon tiga sisi) berurutan. Jika
jumlah vertex bukan merupan kelipatan 3 maka dua atau satu
vertex terakhir tidak dihiraukan.
GL_TRIANGLE
_STRIP
Menggambar serangkaian segitiga (poligon tiga sisi)
menggunakan vertex 0, vertex 1, vertex2, kemudian vertex 2,
vertex 1, vertex 3, kemudian vertex 2, vertex 3, vertex 4 dan
seterusnya
GL_TRIANGLE
_FAN
Sama dengan triangle strip hanya saja vertexnya adalah
0, 1, 2, lalu 0, 2, 3, lalu 0, 3, 4 dan seterusnya.
GL_QUADS Menggambar poligon empat sisi secara berurutan. Jika
jumlah vertex bukan merupakan kelipatan 4 maka tiga, dua atau
satu vertex terakhir tidak dihiraukan.
GL_QUAD_STR
IP
Menggambar serangkaian poligon empat sisi dimulai
dari vertex 0, 1, 3, 2, kemudian vertex 2, 3, 5, 4, lalu vertex 4, 5,
7, 6 dan seterusnya.
Tabel bangun geometrik sederhana
Gambar 4-4 Memperlihatkan contoh-contoh bangun geometrik yang ada pada
tabel di atas.
Gambar 4-4. Bangun geometri sederhana
Selain dengan glVertex*(), ada beberapa perintah yang bisa dimasukkan di antara
perintah glBegin() dan glEnd(). Perintah-perintah tersebut seperti yang diperlihatkan oleh
tabel di bawah ini:
Perintah Keterangan
GlVertex*() Mengeset koordinat vertex
GlColor*() Mengeset warna yang aktif
GlIndex*() Mengeset indeks warna yang aktif
GlNormal*() Mengeset koordinat vektor normal
GlEvalCoord*() Membuat koordinat
GlCallList(),glCa
llLists()
Mengeksekusi display list
GlTexCoord*() Mengeset koordinat tekstur
GlEdgeFlag*() Mengontrol penggambaran tepi
GlMaterial*() Mengeset properti material
Tabel perintah-perintah antara glBegin() dan glEnd()
4.3. Menampilkan titik, garis, dan poligon
4.3.1. Titik
Untuk mengontrol ukuran dari titik, gunakan perintah glPointSize() dan isikan
ukuran piksel sebagai argumen.
void glPointSize(GLfloat size);
Size harus lebih besar dari 0.0, defaultnya adalah 1.0.
Piksel-piksel pada layar yang digambar untuk berbagai macam ukuran
titik tergantung pada bagaimana antialiasing diset (antialiasing adalah teknik
untuk menghaluskan titik maupun garis yang mereka bentuk). Jika antialiasing
diset disable (default), maka ukuran dibulatkan dalam integer dan layar yang
dibatasi oleh bujursangkar dari piksel digambar. Jadi jika ukurannya 1.0 maka
bujursangkarnya satu piksel kali satu piksel, jika ukurannya 2.0 maka
bujursangkarnya dua piksel kali dua piksel, dan seterusnya.
Jika antialiasing diset enable, himpunan piksel berbentuk bundar
digambar dimana piksel-piksel yang terletak di tepi digambar dengan intensitas
yang lebih kecil. Hal itu bertujuan untuk memperhalus tampilan bagian tepi.
Sebagian besar implementasi OpenGL mendukung ukuran titik yang sangat besar. Padaimplementasi khusus, ukuran titik non-antialiasing mungkin dibatasi sebesar ukuranmaksimum titik antialiasing, dibulatkan ke integer terdekat. Kita bisa memperolehnya denganmenggunakan GL_POINT_SIZE_RANGE pada perintah glGetFloatv().
4.3.2. Garis
Dengan OpenGL kita dapat menentukan garis dengan berbagai macam ukuran dan digambardalam berbagai macam cara, dengan titik-titik, garis-garis maupun campuran antara titik-titikdan garis-garis.
void glLineWidth(Glfloat width);Width harus lebih besar dari 0.0, defaultnya adalah 1.0.
Penggambaran garis, seperti pada titik, dipengaruhi oleh bagaimana
antialiasing diset. Tanpa antialiasing, ukuran 1, 2 atau 3 akan digambar selebar
1, 2 atau 3 piksel. Jika antialiasing diset enable, memungkinkan ukuran lebar
garis dalam bentuk nonintegral, dan piksel-piksel pada bagian tepi digambar
dengan intensitas lebih kecil.
Sama dengan pada ukuran titik, pada implementasi khusus, ukuran titik non-antialiasingmungkin dibatasi sebesar ukuran maksimum titik antialiasing, dibulatkan ke integer terdekat.
Kita bisa memperolehnya dengan menggunakan GL_LINE_WIDTH_RANGE pada perintahglGetFloatv().Untuk menggambarkan garis dalam titik-titik atau garis putus-putus gunakan perintahglLineStipple() untuk mendefinisikan pola penggambaran garis tersebut dan kemudian kitabisa mengaktifkan (meng-enable) dengan glEnable().
void glLineStipple(Glint factor, Glushort pattern);Perintah tersebut mengeset pola penggambaran garis. Argumen pattern adalah rangkaian 0 danatau 1 sebanyak 16 bit. Nilai 1 menunjukkan penggambaran terjadi dan nilai 0 sebaliknya.Pola bisa diperbesar dengan factor yang mengalikan tiap-tiap sub-rangkaian.
Gambar 4-5. Pola penggambaran garis
Dengan pola 0x3F07 (yang jika dirubah dalam biner menjadi 0011111100000111), garis akandigambar dengan cara sebagai berikut: 3 piksel digambar, kemudian 5 piksel tidak, 6 pikseldigambar dan 2 piksel tidak (bit rendah digunakan terlebih dahulu). Pola tersebut bisadiperbesar dengan menggunakan factor, sehingga jika contoh di atas menggunakan factor 2,maka polanya menjadi: 6 piksel digambar, 10 piksel tidak, 12 piksel digambar dan 4 pikseltidak.
4.3.3. Poligon
Poligon biasanya digambar dengan cara mengisi seluruh piksel yang tertutup dalam suatubatas. Tetapi kita juga bisa menggambarnya sebagai poligon outline atau sebagai titik-titikpada vertex-vertex. Sebuah poligon terisi mungkin terisi dengan solid (padat) atau digambardengan pola tertentu.
Sebuah poligon mempunyai dua sisi, yaitu depan dan belakang, dan
mungkin dibangkitkan dengan cara berbeda tergantung sisi mana yang
menghadap lensa. Defaultnya kedua permukaan digambar dengan cara yang
sama. Untuk merubahnya, atau menggambar hanya outline atau vertex, gunakan
perintah glPolygonMode().
Perintah tersebut mengontrol mode penggambaran dari permukaan
depan dan belakang suatu poligon. Parameter face dapat diisi dengan
GL_FRONT, GL_BACK atau GL_FRONT_AND_BACK. Sedangkan parameter
mode dapat diisi GL_POINT, GL_LINE atau GL_FILL. Defaultnya kedua
permukaan digambar terisi.
Secara default, poligon digambar dengan pola yang solid, tetapi juga bisa
diisi dengan pola tertentu dengan perintah glPolygonStipple().
Perintah tersebut mendefinisikan pola penggambaran untuk poligon terisi. Argumen maskadalah pointer untuk bitmap 32x32 yang diterjemahkan sebagai 0 dan 1. Jika nilainya 1 makapiksel yang bersesuaian pada poligon digambar, sedangkan jika 0 tidak.
4.4. Vektor normal
Sebuah vektor normal (atau singkatnya normal) adalah vektor dari suatu
titik dengan arah tegak lurus dari permukaan. Untuk permukaan yang datar, satu
arah cukup untuk mewakili setiap titik di seluruh permukaan. Tetapi untuk
permukaan yang berbentuk kurva, arah normal mungkin berbeda untuk tiap-tiap
titik. Dengan OpenGL kita dapat menentukan sebuah normal untuk tiap-tiap
vertex. Beberapa vertex mungkin mempunyai normal yang sama, tetapi kita tidak
bisa menetapkan normal selain pada vertex yang bersangkutan.
Normal dari suatu obyek menentukan arah dari permukaan terhadap
ruang, khususnya arah relatif terhadap sumber cahaya. Vektor ini digunakan oleh
OpenGL untuk menentukan berapa banyak cahaya yang diterima obyek pada
tiap-tiap vetexnya.
Gunakan perintah glNormal*() untuk mengeset normal dari nilai yang
diberikan pada argumennya. Jika kita memanggil perintah glVertex*() setelah
perintah glNormal*() akan membentuk vertex seperti yang diberikan pada normal.
Sering, tiap-tiap vertex mempunyai normal yang berbeda sehingga
mengharuskan pemanggilan serangkaian perintah seperti di bawah ini:
glBegin(GL_POLYGON);
glNormal3fv(n0);
glVertex3fv(v0);
glNormal3fv(n1);
glVertex3fv(v1);
glNormal3fv(n2);
glVertex3fv(v2);
glNormal3fv(n3);
glVertex3fv(v3);
glEnd();
void glNormal3{b s i d f}(TYPEnx, TYPEny, TYPEnx);
void glNormal3{b s i d f}v(const TYPE *v);
Versi non-vektor (tanpa v) memerlukan 3 argumen yang menentukan
sebuah vektor (nx, ny, nz) untuk dijadikan bentuk normal. sebagai alternatif, kita
bisa menggukanan versi vektor (dengan v) dan memberikan sebuah array 3
elemen untuk menentukan normal yang diinginkan.
TEKNIK VIEWING PADA OPENGL
5.1. Perintah-perintah umum pada OpenGL
Pada bagian ini kita membahas beberapa perintah OpenGL yang berguna untuk
menentukan transformasi yang kita inginkan. Pertama kali kita harus menentukan matrik
yang hendak kita modifikasi, apakah matrik modelview ataukah matrik proyeksi. Kita
melakukannya dengan perintah glMatrixMode().
void glMatixMode(Glenum mode);
Perintah di atas digunakan untuk menentukan matrik yang akan
dimodifikasi, apakah matrik modelview, proyeksi ataukah matrik tekstur sesuai
dengan nilai yang dimasukkan sebagai argumen, yaitu GL_MODELVIEW, atau
GL_PROJECTION GL_TEXTURE.
Gunakan perintah glLoadIdentity() untuk meng-clear matrik yang sedang
aktif. Biasanya kita memanggilnya sebelum menentukan transformasi proyeksi
atau viewing, tetapi mungkin juga kita memanggilnya sebelum menentukan
transformasi modeling.
void glLoadIdentity(void);
Perintah tersebut mengubah matrik yang sedang aktif menjadi matrik
identitas 4x4. Jika kita menginginkan untuk menentukan suatu matrik tertentu
untuk menjadi matrik yang sedang aktif, gunakan perintah glLoadMatrix*().
Gunakan pula perintah glMultMatrix*() untuk mengalikan matrik yang sedang aktif
dengan matrik yang dipassingkan sebagai argumen. Argumen dari kedua
perintah tersebut adalah vektor dengan 16 nilai (m1, m2, … , m16).
void glLoadMatrix{f d}(const TYPE *m);
Perintah tersebut mengeset 16 nilai dari matrik yang sedang aktif dengan
nilai yang ditunjukkan oleh m.
void glLoadMatrix{f d}(const TYPE *m);
Perintah tersebut mengalikan 16 nilai yang ditunjukkan oleh m dengan
matrik yang sedang aktif dan hasilnya disimpan pada matrik yang sedang aktif.
5.2. Transformasi modeling
Transformasi modeling adalah transformasi untuk menentukan posisi dan orientasi darisebuah model. Sebagai contoh kita dapat malakukan rotasi, translasi, scaling atau gabungan dariketiganya.
Tiga rutin OpenGL untuk transformasi modeling adalah glTranslate*(), glRotate*() danglScale*(). Rutin-rutin tersebut mentransformasikan sebuah obyek dengan jalan menggeser,memutar, membesarkan ataupun mengecilkan obyek tersebut. Perintah-perintah tersebut samadengan jika kita membuat sebuah matrik translasi, rotasi maupum matrik scaling dan kemudianmemanggil perintah glMultMatrix*() dengan matrik tersebut sebagai argumen.
Gambar 5-1. Proses mentranslasikan obyek
glTranslate{f d}(TYPEx, TYPEy, TYPEz);Perintah tersebut mengalikan matrik yang sedang aktif dengan sebuah matrik yang
mentranslasikan obyek berdasarkan nilai x, y, z yang diberikan.
Gambar 5-2. Proses merotasikan obyek
glRotate{f d}(TYPEangle, TYPEx, TYPEy, TYPEz);Perintah tersebut mengalikan matrik yang sedang aktif dengan sebuah matrik yang
merotasikan obyek dengan arah yang berlawanan dengan arah jarum jam. Angle menyatakan sudutdari rotasi tersebut.
Gambar 5-3. Proses merefleksikan dan scaling terhadap obyek
glScale{f d}(TYPEx, TYPEy, TYPEz);Perintah tersebut mengalikan matrik yang sedang aktif dengan matrik sebuah yang
memperbesar, memperkecil atau merefleksikan obyek. Masing-masing koordinat x, y, z dari setiaptitik pada obyek dikalikan dengan argumen x, y, z. Perintah glScale*() merupakan satu-satunyaperintah transformasi modeling yang merubah ukuran dari obyek. Jika nilai yang dimasukkan lebihdari 1.0 maka obyek akan diperbesar, jika nilainya kurang dari 1.0 maka obyek akan diperkecildan jika nilainya negatif maka obyek akan direfleksikan (dicerminkan).
Berikut ini sebuah contoh dari penggunaan perintah-perintah dari transformasi modeling:
Gambar 5-4. Contoh proses transformasi modeling
glLoadIdentity();glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);draw_triangle();
glEnable(GL_LINE_STIPPLE);
glLineStipple(1, 0xF0F0);glLoadIdentity();glTranslate(-20.0, 0.0, 0.0);draw_triangle();
glLineStipple(1, 0xF00F);glLoadIdentity();glScale(1.5, 0.5, 1.0);draw_triangle();
glLineStipple(1, 0x8888);glLoadIdentity();glRotate(90.0, 0.0, 0.0, 1.0);draw_triangle();glDisable(GL_LINE_STIPPLE);
5.3. Transformasi viewing
Memanggil transformasi viewing dapat dianalogikan dengan
mendefinisikan dan meletakkan kamera pada posisinya. Sebelum mendefinisikan
transformasi viewing perlu untuk mengeset matrik yang sedang aktif dengan
memanggil perintah glLoadIdentity(). Langkah ini diperlukan mengingat hampir
semua perintah transformasi melakukan perkalian matrik yang sedang aktif
dengan suatu matrik dan hasil perkalian tersebut dijadikan matrik yang sedang
aktif. Jika matrik tersebut tidak di-clear maka kita akan melakukan operasi matrik
yang baru pada matrik sebelumnya.
Kita dapat menyelesaikan transformasi viewing dengan beberapa jalan,
seperti yang dijelaskan di bawah ini. Kita juga dapat memilih untuk menggunakan
letak dan orientasi default dari titik pandang, yang terletak di pusat koordinat dan
memandang ke arah sumbu z negatif.
- Gunakan salah satu dari perintah transformasi modeling (glTranslate*() atau
glRotate*()). Kita dapat membayangkan pengaruh dari transformasi ini
seperti menggerakkan posisi kamera.
- Gunakan rutin Utility Library gluLookAt() untuk mendefinisikan garis
pandang. Rutin ini mengandung perintah untuk rotasi dan translasi.
- Buat rutin sendiri yang mengandung perintah rotasi dan translasi.
Beberapa aplikasi mungkin membutuhkan rutin tersendiri yang
memungkinkan kita untuk menentukan transformasi viewing yang
sesuai.
Kita bisa menggeser titik pandang ke belakang (menjauhi obyek) yang sama
artinya dengan menggeser obyek ke depan (menjauhi titik pandang). Kita ingat bahwa
default dari depan adalah sumbu z negatif. Jika kita memutar titik pandang, maka depan
akan mempunyai arti yang berbeda. Jadi untuk membuat jarak 5 unit antara obyek dan
titik pandang dengan menggeser titik pandang adalah sebagai berikut:
glTranslate(0.0, 0.0, -5.0);
Gambar 5-5. Membuat jarak antara titik pandang dan obyek
Seringkali programmer membentuk scene di sekitar pusat sistem
koordinat atau di lokasi lain yang sesuai, kemudian mereka ingin melihatnya dari
titik yang berubah-ubah untuk mendapatkan hasil yang sesuai. Seperti namanya
rutin gluLookAt() dirancang untuk tujuan tersebut. Rutin tersebut memerlukan 3
set argumen yang menentukan letak titik pandang, mendefinisikan titik referensi
terhadap arah dari kamera dan menunjukkan dimana arah atas.
void gluLookAt(GLdouble eyex, GLdouble eyey,
GLdouble eyez, GLdouble centerx, GLdouble centery,
GLdouble centerz, GLdouble upx, GLdouble upy, GLdouble upz)
Perintah tersebut mendefinisikan matrik viewing dan mengalikannya
dengan matrik yang sedang aktif. Titik pandang yang diinginkan ditentukan oleh
eyex, eyey dan eyez. Argumen centerx, centery dan centerz menyatakan
sembarang titik sepanjang garis pandang tetapi biasanya ada beberapa titik di
tengah scene terlihat. Argumen upx, upy dan upz menunjukkan dimana arah
atas.
5.4. Transformasi proyeksi
Transformasi proyeksi menentukan bagaimana suatu obyek
diproyeksikan pada layar. Ada dua macam proyeksi yang ada pada OpenGL
yaitu perspektif dan ortografik.
5.3.1. Proyeksi perspektif
Proyeksi perspektif adalah seperti cara kita memandang sesuatu pada kehidupan sehari-hari. Proyeksi perspektif membuat obyek yang jauh akan kelihatan kecil, sebagai contoh ruas jalansemakin jauh akan tampak semakin menyempit. Jika kita ingin membuat gambar yang tampaknyata, maka kita harus memilih proyeksi perspektif ini. Metode ini banyak digunakan untukaplikasi animasi dan computer aided design (CAD).
Gambar 5-6. Volome viewing pada proyeksi perspektif dengan glFrustum()
Perintah glFrustum() menghitung matrik yang mengerjakan proyeksi perspektif danmengalikannya dengan matrik yang sedang aktif. Selengkapnya adalah:
void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble
top, GLdouble near, GLdouble far);Perintah tersebut membentuk sebuah matrik perspektif dan mengalikannya dengan matrik
yang sedang aktif. Volume viewing didefinisiskan oleh parameter (left, bottom, -near) dan (right,top, -near) menentukan koordinat (x, y, z) dari sudut kiri bawah dan kanan atas dari clipping planeyang dekat. Near dan far menunjukkan jarak dari titik pandang ke clipping plane yang dekat danjauh.
Meskipun secara konsep mudah dipahami, glFrustum() tidak sering digunakan. Sebagaipenggantinya, gunakan rutin dari Utility Library yaitu gluPerspective(). Rutin ini membentukvolume viewing yang sama dengan yang dibentuk oleh glFrustum() tetapi dengan cara lain.Selengkapnya adalah:
Gambar 5-7. Volume viewing pada proyeksi perspektif dengan gluPerspective()
gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdoublezFar);
Perintah tersebut membentuk sebuah matrik perspektif dan mengalikannya dengan matrikyang sedang aktif. Argumen fovy adalah sudut dari bidang pandang, nilainya antara 0.0 sampaidengan 180.0. Aspect adalah perbandingan antara lebar dan tinggi. Nilai zNear dan zFar adalahjarak antara titik pandang dan clipping plane sepanjang sumbu z negatif.
5.3.2. Proyeksi ortografik
Proyeksi ortografik menampilkan obyek pada layar tanpa dipengaruhi oleh
ukuran relatif dari obyek tersebut. Proyeksi ortografik digunakan pada aplikasi arsitektur
dan computer aided design. Perintah selengkapnya adalah sebagai berikut:
Gambar 5-8. Volume viewing pada proyeksi ortografik
void glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom,
GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);
Perintah tersebut membentuk matrik volume viewing ortografik dan
mengalikannya dengan matrik yang sedang aktif. Clipping plane dekat adalah segiempat
dengan sudut kiri bawah pada (left, bottom -near) dan sudut kanan atas pada (right, top, -
near). Sedangkan clipping plane jauh juga merupakan segiempat dengan sudut kiri bawah
pada (left, bottom -far) dan sudut kanan atas pada (right, top, -far).
5.5. Transformasi viewport
Kalau dianalogikan dengan kamera, transformasi viewport dapat disamakan
dengan bagian dimana ukuran dari foto ditentukan. Apakah kita menginginkan foto
seukuran dompet ataukah seukuran poster. Karena di komputer, viewport adalah daerah
persegi panjang pada window dimana gambar dibangkitkan.
Gambar 5-9. Segiempat viewport
Gambar 5-9 menunjukkan sebuah viewport yang menempati sebagian
besar layar. Viewport diukur dalam koordinat window yang merefleksikan posisi
pixel pada layar relatif terhadap sudut kiri bawah dari window. Default dari
viewport adalah diset pada seluruh pixel dari window yang dibuka.
Gambar 5-10. Mapping volume viewing pada viewport
void glViewport(Glint x, Glint y, Glsizei width, Glsizei height);
Perintah tersebut mendefinisikan piksel pada window dimana image
dipetakan. Parameter x dan y menentukan sudut kiri bawah viewport, sedangkan
width dan height merupakan ukuran viewport.
5.6. Clipping plane tambahan
Disamping enam clipping plane dari volume viewing (kiri, kanan, atas, bawah,
jauh, dekat) kita dapat mendefinisikan sampai dengan enam clipping plane tambahan
untuk membatasi lebih jauh volume viewing, seperti yang ditunjukkan pada gambar 5-11.
Hal ini berguna untuk menghilangkan sebagian dari obyek dalam scene. Sebagai contoh
jika kita ingin menampilkan potongan dari suatu obyek.
Gambar 5-11. Clipping plane tambahan
Masing-masing plane dibentuk oleh koefisien dari persamaan
Ax+By+Cz+D=0. Clipping plane secara otomatis ditransformasi dengan
transformasi modeling dan viewing.
void glClipPlane(Glenum plane, const GLdouble *equation);
Perintah tersebut membentuk clipping plane. Argumen equation
merupakan 4 titik koefisien dari persamaan Ax+By+Cz+D=0. Sedangkan
argumen plane adalah GL_CLIP_PLANEi dimana i adalah integer antara 0
sampai 5 untuk menentukan clipping plane yang didefinisikan.
Kita harus mengaktifkan (meng-enable) clipping plane tambahan yang
telah kita definisikan dengan perintah glEnable(GL_CLIP_PLANEi) dan men-
disable dengan perintah glDisable(GL_CLIP_PLANEi). Beberapa implementasi
mungkin memperbolehkan lebih dari 6 clipping plane. Kita dapat menggunakan
glGetIntegerv() dengan GL_MAX_CLIP_PLANES untuk mengetahui berapa
banyak clipping plane yang diperbolehkan.
Berikut ini sebuah contoh implementasi dari clipping plane, yaitu
wireframe dari sebuah sphere:
Gambar 5-12. Potongan dari wireframe sphere
void display(void)
{
GLdouble eqn = {0.0, 1.0, 0.0, 0.0};
GLdouble eqn2 = {1.0, 0.0, 0.0, 0.0};
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
glPushmatrix();
glTranslatef(0.0, 0.0, -5.0);
glClipPlane(GL_CLIP_PLANE0, eqn);
glEnable(GL_CLIP_PLANE0);
glClipPlane(GL_CLIP_PLANE1, eqn2);
glEnable(GL_CLIP_PLANE1);
glRotatef(90.0, 1.0, 0.0, 0.0);
auxWireSphere(1.0);
glPopMatrix();
glFlush();
}
void myinit(void)
{
glShadeModel(GL_FLAT);
}
void myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
glViewport(0, 0, w, h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(60.0, (GLfloat)w/(GLfloat)h, 1.0, 2.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}
int main(int argc, char** argv)
{
auxInitDisplayMode(AUX_SINGLE | AUX_RGBA);
auxInitPosition(0, 0, 500, 500);
auxInitWindow(argv[0]);
myinit();
auxReshapeFunc(myReshape);
auxMainLoop(display);
}
5.7. Transformasi komposisi
Bagian ini memperlihatkan bagaimana menggabungkan beberapa transformasi
untuk mencapai hasil yang diinginkan. Contohnya adalah suatu sistem tata surya dimana
obyek berotasi dan berevolusi. Program ini terdiri dari planet dan matahari yang digambar
dengan rutin sphere (auxSphere()). Untuk menulisnya kita memerlukan glRotate*() untuk
revolusi dan rotasi serta glTranslate*() untuk menggeser planet pada orbitnya.
Untuk menggambar sistem tata surya tersebut, pertama kali kita harus
mengeset transormasi proyeksi dan viewing. Untuk contoh ini digunakan
gluPerspective() dan gluLookAt().
Gambar 5-13. Planet dan matahari
static int year = 0, day = 0;
void dayAdd(void)
{
day = (day + 10) % 360;
}
void daySubstract(void)
{
day = (day - 10) % 360;
}
void yearAdd(void)
{
year = (year + 5) % 360;
}
void yearSubstract(void)
{
year = (year - 5) % 360;
}
void display(void)
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
glColor3f(1.0, 1.0, 1.0);
glPushMatrix();
auxWireSphere(1.0);
glRotatef((GLfloat) day, 0.0, 1.0, 0.0);
glTranslatef(2.0, 0.0, 0.0);
glRotatef((GLfloat) year, 0.0, 1.0, 0.0);
auxWireSphere(0.2);
glPopMatrix();
glFlush();
}
void myinit(void)
{
glShadeModel(GL_FLAT);
}
void myReshape(GLsizei w, GLsizei h)
{
glViewport(0, 0, w, h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(60.0, (GLfloat)w/(GLfloat)h, 1.0, 2.0);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(0.0, 0.0, -5.0);
}
int main(int argc, char** argv)
{
auxInitDisplayMode(AUX_SINGLE | AUX_RGBA);
auxInitPosition(0, 0, 500, 500);
auxInitWindow(argv[0]);
myinit();
auxKeyFunc(AUX_LEFT, yearAdd);
auxKeyFunc(AUX_RIGHT, yearSubstract);
auxKeyFunc(AUX_UP, dayAdd);
auxKeyFunc(AUX_DOWN, daySubstract);
auxReshapeFunc(myReshape);
auxMainLoop(display);
}
PEWARNAAN PADA OPENGL
6.1. Persepsi warna
Secara fisik, cahaya adalah susunan dari foton, partikel kecil dari cahaya yang melintaspada jalurnya serta bergetar pada frekuensinya masing-masing. Karakteristik dari foton dibentukoleh posisi, arah dan frekuensi/panjang gelombang/energinya. Foton dengan panjang gelombangantara 390 nm sampai dengan 720 nm merupakan spektrum yang terlihat, membentuk warnapelangi. Bagaimanapun juga, mata kita merasakan banyak warna yang tidak berada dalam pelangi,seperti putih, hitam, coklat, pink dan lain-lain. Bagaimana hal tersebut dapat terjadi?
Apa yang dilihat oleh mata kita sebenarnya adalah campuran dari foton dengan frekuensi yangberbeda-beda. Sumber cahaya ditentukan oleh distribusi dari frekuensi foton yang merekapancarkan. Cahaya putih ideal terdiri dari cahaya-cahaya dari seluruh frekuensi dengan jumlahyang sama.
Mata manusia merasakan warna ketika sel-sel pada retina yang bernama
cone tereksitasi setelah “ditembak” oleh foton. Tiga macam sel cone memberi
respon yang terbaik untuk tiga cahaya dengan panjang gelombang yang
berbeda, yaitu merah, hijau dan biru (orang yang menderita buta warna biasanya
kehilangan salah satu tipe dari sell cone di atas). Ketika campuran foton
memasuki mata, sel cone dalam retina mencatat derajat dari eksitasi
berdasarkan tipe masing-masing, dan jika campuran foton yang berbeda datang
sehingga menyebabkan eksitasi tiga tipe dari sel cone pada derajat yang sama,
warna tersebut tidak dapat dibedakan dari campuran yang pertama.
Karena masing-masing warna dicatat oleh mata sebagai level eksitasi
dari sel cone oleh foton yang datang, mata dapat merasakan warna yang tidak
berada dalam spektrum yang dihasilkan oleh prisma atau pelangi. Sebagai
contoh jika campuran dari foton merah dan biru dikirim sehingga sel cone merah
dan biru dalam retina tereksitasi, mata akan melihatnya sebagai magenta, yang
tidak ada dalam spektrum warna.
Monitor komputer mengemulasikan warna oleh partikel cahaya dengan
kombinasi cahaya RGB sesuai dengan proporsi sel cone dalam retina yang
tereksitasi. Hal itu dilakukan dengan melihat level eksitasi yang dihasilkan oleh
campuran foton yang dicoba untuk diemulasikan. Untuk menampilkan warna
tersebut, monitor mrngirimkan sejumlah cahaya RGB untuk merangsang sel cone
dalam mata kita. Monitor warna dapat mengirim proporsi RGB yang berbeda
pada tiap-tiap piksel dan mata akan melihat jutaan cahaya dengan warnanya
masing-masing.
6.2. Mode RGBA versus mode indeks warna
Pada layar komputer, hardware menyebabkan di setiap piksel dari layar
tersebut dipancarkan cahaya RGB dalam jumlah yang berbeda-beda, yang
disebut nilai RGB. Nilai ini biasanya dipaket bersama (kadang-kadang dengan
nilai keempat yang disebut dengan Alpha (A)), dan nilai dari paket tersebut
disebut dengan nilai RGB (atau RGBA). Informasi warna dari tiap-tiap piksel
dapat disimpan dalam mode RGBA, dimana nilaii RGBA disimpan untuk tiap-tiap
piksel, atau dengan mode indeks warna, dimana sebuah nilai (disebut indeks
warna) disimpan untuk tiap-tiap piksel. Setiap indeks warna ditunjukkan oleh
suatu nilai dalam tabel yang mendefinisikan nilai-nilai RGB. Tabel tersebut
disebut dengan peta warna.
Pada mode indeks warna atau RGB, suatu nilai tertentu dari data warna
disimpan pada tiap-tiap piksel. Nilai ini ditentukan oleh jumlah bitplane dalam
framebuffer. Sebuah bitplane berisi 1 bit dari data untuk tiap-tiap piksel. Jika ada
8 bitplane warna, maka terdapat 8 bit warna setiap piksel sehingga ada 28 = 256
warna berbeda yang bisa disimpan pada piksel.
Bitplane sering dibagi untuk menyimpan komponen RGB sehingga sistem
24 bitplane menyediakan 8 bit masing-masing untuk RGB, akan tetapi hal ini
tidak selalu benar. Untuk mengetahui jumlah bitplane yang tersedia dalam
sistem, kita bisa menggunakan perintah glGetIntegerv() dengan GL_RED_BITS,
GL_GREEN_BITS, GL_BLUE_BITS, dan GL_ALPHA_BITS sebagai parameter.
6.2.1. Mode RGBA
Pada mode RGBA, hardware menyimpan jumlah bitplane untuk tiap-tiap komponen RGBA.Nilai RGBA disimpan sebagai integer dan diskalakan dengan jumlah bit yang tersedia untukpenyimpanan. Sebagai contoh jika sistem menyediakan 8 bit untuk komponen R, maka integerantara 0-255 dapat disimpan, sehingga 0, 1, 2, ..., 255 pada bitplane dapat diartikan nilai Rsebesar 0/255 = 0.0, 1/255, 2/255, ..., 255/255 = 1.0. Tanpa memperhatikan jumlah bitplane, 0.0menghasilkan intensitas minimum dan 1.0 menghasilkan intensitas maksimum.
Gambar 6-1. Nilai RGB dari bitplane
Jumlah macam warna yang dapat ditampilkan pada tiap-tiap piksel tergantung jumlah bitplanedan kapasitas dari hardware untuk menginterpretasikan bitplane tersebut. Jumlah warna tidakdapat melebihi 2n, dimana n adalah jumlah bitplane sehingga mesin dengan 24 bitplane untukRGB dapat menampilkan lebih dari 16,77 juta macam warna.
6.2.2. Dithering
Beberapa hardware grafik menggunakan dithering untuk meningkatkan jumlah warna yangdapat ditampilkan dengan mengorbankan resolusi spatial. Dithering adalah teknik untukmenggunakan beberapa warna untuk membentuk efek warna lain. Untuk menggambarkanbagaimana proses dithering bekerja, anggaplah sistem kita hanya mempunyai 1 bit masing-masing untuk RGB. Jadi sistem tersebut hanya bisa menampilkan 8 warna, yaitu hitam, putih,merah, hijau, biru, kuning, cyan dan magenta. Untuk menampilkan warna pink pada suatudaerah, hardware dapat mengisi daerah tersebut dengan warna merah dan putih. Karena matakita cukup jauh dari layar sehingga tidak dapat membedakan tiap-tiap piksel,daerah tersebutakan tampak berwarna pink, rata-rata dari warna merah dan putih. Warna pink yang lebihmerah dapat dihasilkan dengan mengisi proporsi piksel yang lebih banyak dengan warnamerah, sedangkan warna pink yang lebih putih dapat dihasilkan dengan mengisi proporsipiksel lebih banyak dengan warna putih, dan seterusnya.Dengan cara ini, tidak ada piksel yang berwarna pink. Satu-satunya jalan untuk menghasilkanefek di atas adalah dilakukan pada suatu daerah yang terdiri dari berbagai piksel. Kita tidakbisa melakukan proses dithering pada satu piksel saja. Jika kita membentuk suatu nilai RGBuntuk suatu warna yang tidak tersedia dan mengisi suatu poligon, hardware mengisi pikselyang berada di dalam poligon dengan campuran dari warna-warna terdekat sehinggamenampilkan warna rata-rata untuk mata kita sesuai dengan warna yang kita inginkan.
Gambar 6-2. Dhitering hitam dan putih untuk menghasilkan abu-abu
Dengan 8 bit pada tiap-tiap RGB, kita bisa mendapatkan gambar berkualitas tinggi tanpaproses dithering. Tapi walaupun mesin kita mempunyai 24 bitplane bukan berarti prosesdithering tidak terjadi. Sebagai contoh, jika kita menggunakan mode double-buffer, bitplane
mungkin dibagi menjadi 2, masing-masing 12 sehingga hanya ada 4 bit pada tiap-tiap
komponen RGB. Tanpa dithering, 4 bit setiap komponen warna akan memberi hasil yangkurang memuaskan.
6.2.3. Mode indeks warna
Dengan mode indeks warna, OpenGL menggunakan peta warna yang mirip denganmenggunakan palet untuk mencampur cat pada saat melukis. Palet seorang pelukismenyediakan tempat untuk mencampur cat, dan mirip dengan hal tesebut, peta warnamenunjukkan dimana nilai RGB dicampur.
Gambar 6-3. Peta warna
Pelukis memilih sebuah warna dari palet warna dan melukis dengan
warna tersebut. Komputer menyimpan indeks warna dalam bitplane untuk tiap-
tiap piksel. Nilai bitplane tersebut menunjuk ke peta warna dan layar akan
diwarnai dengan nilai RGB dari peta warna.
Gambar 6-4. Menggunakan peta warna untuk mewarnai gambar
Pada mode indeks warna, jumlah warna yang tersedia terbatas oleh
ukuran peta warna dan jumlah bitplane yang tersedia. Ukuran peta warna
ditentukan oleh hardware yang digunakan. Biasanya berkisar antara 256(28)
sampai 4096(212). Ukuran peta warna merupakan pangkat dari 2 diindeks oleh
jumlah bitplane yang tersedia pada mode indeks warna. Jika ada 2n indeks pada
peta warna dan m bitplane yang tersedia, maka jumlah warna yang bisa
ditampung adalah kurang dari 2n dan 2m.
Dengan mode RGBA, tiap-tiap warna piksel tidak tergantung piksel lain.
Sedangkan pada mode indeks warna, tiap-tiap piksel dengan indeks yang sama
disimpan pada lokasi yang sama. Jika isi dari peta warna berubah, seluruh piksel
yang berindeks sama akan ikut berubah.
6.2.4. Memilih antara mode RGBA atau mode indeks warna
Kita mungkin lebih baik menggunakan mode indeks warna pada kasus-kasus di bawah ini:- Jika kita melanjutkan aplikasi yang sudah ada dan menggunakan
mode indeks warna.
- Jika kita hanya mempunyai bitplane dalam jumlah sedikit dan jika kita
hanya perlu warna kurang dari 2n.
- Jika kita mempunyai bitplane dalam jumlah terbatas, mode RGBA
mungkin akan menyebabkan proses shading yang kasar, sehingga
lebih baik memilih mode indeks warna.
- Mode indeks warna akan berguna untuk berbagai macam trik, seperti
animasi.
Secara umum gunakanlah mode RGBA, karena memberikan hasil yang lebih baik untuktexture mapping, lighting, shading, fog, antialiasing dan blending.
6.3. Penggunaan warna pada model shading
6.3.1. Pembentukan warna pada mode RGBAPada mode RGBA gunakan perintah glColor*() untuk memilih warna yang akan digunakan.
void glColor3{b s i f d ub us ui}(TYPEr, TYPEg, TYPEb);void glColor4{b s i f d ub us ui}(TYPEr, TYPEg, TYPEb, TYPEa);void glColor3{b s i f d ub us ui}v(const TYPE*v);void glColor4{b s i f d ub us ui}v(const TYPE*v);
Perintah di atas mempunyai 3 macam akhiran yang bervariasi sesuai dengan parameter yangditerima. Akhiran pertama adalah 3 atau 4, menunjukkan apakah kita memasukkan nilai alphadisamping nilai RGB. Jika nilai tersebut tidak dimasukkan, otomatis akan diset 1.0. Akhirankedua menunjukkan tipe data untuk parameter: byte, short, integer, float, double, unsignedbyte, unsigned short atau unsigned integer. Sedangkan akhiran ketiga adalah optional v yangmenunjukkan argumen tersebut adalah pointer pada suatu array sesuai dengan tipe datanya.
6.3.2. Pembentukan warna pada mode indeks warnaUntuk mode indeks warna gunakan perintah glIndex*() untuk memilih warna yang akan
digunakan:void glIndex{s i f d}(TYPE c);
void glIndex{s i f d}v(const TYPE *c);Akhiran pertama dari perintah di atas menunjukkan tipe data dari parameter: short, integer,float atau double. Akhiran kedua adalah optional v yang menunjukkan bahwa argumentersebut adalah nilai dari suatu array sesuai dengan tipe data yang diberikan (array tersebuthanya berisi 1 nilai).
6.3.3. Pembentukan model shadingSebuah garis atau poligon terisi dapat digambar dengan satu warna (flat shading) atau
dengan berbagai macam warna (smooth shading). Kita dapat menentukan teknik shadingsesuai dengan yang kita inginkan dengan perintah glShadeModel().
void glShadeModel(GLEnum mode);Parameter mode dapat diset GL_SMOOTH(default) atau GL_FLAT. Dengan flat shading,warna dari suatu vertex diduplikat ke seluruh vertex dari obyek tersebut. Sedangkan padasmooth shading, warna dari tiap-tiap vertex diperlakukan sendiri-sendiri. Untuk sebuah garis,warna-warna sepanjang segmen garis tersebut ditambahkan pada warna vertex. Sedangkanpada poligon, warna-warna dari interior poligon tersebut ditambahkan pada warna vertex.
Dengan smooth shading, titik-titik yang berdekatan mempunyai perbedaan nilai warnayang kecil. Pada mode RGBA hal ini kelihatan mirip sehingga perubahan warna dalampoligon tampak halus (bertahap sedikit demi sedikit). Pada mode indeks warna titik-titik yangberdekatan mungkin menunjuk pada lokasi yang berbeda pada tabel indeks warna, yangmungkin tidak mirip sama sekali.
Untuk mengatasi hal tersebut, kita harus membuat suatu jalur perubahan warna yanghalus diantara indeks-indeks dalam peta warna. Pemetaan warna pada peta warna dibentukmelalui sistem window. Untuk sementaara anggaplah kita mempunyai rutin auxSetOneColor()yang melakukan load satu indeks pada peta warna dengan nilai RGB. Argumen pertama dari
rutin ini adalah nilai RGB. Untuk melakukan load 32 indeks warna yang berdekatan (dariindeks 16 sampai 47) dengan sedikit perubahan dari warna kuning, kita mungkin akanmemanggil rutin auxSetOneColor() sebagai berikut:
for(i=0;i<32;i++) auxSetOneColor(16+i, 1.0*(i/32.0), 1.0*(i/32.0), 0.0);Dengan flat shading warna dari suatu vertex menentukan warna dari seluruh obyek tersebut.Untuk segmen garis, warnanya ditentukan oleh warna vertex kedua (vertex akhir).
PEWARNAAN PADA OPENGL
6.4. Persepsi warna
Secara fisik, cahaya adalah susunan dari foton, partikel kecil dari cahaya yang melintaspada jalurnya serta bergetar pada frekuensinya masing-masing. Karakteristik dari foton dibentukoleh posisi, arah dan frekuensi/panjang gelombang/energinya. Foton dengan panjang gelombangantara 390 nm sampai dengan 720 nm merupakan spektrum yang terlihat, membentuk warnapelangi. Bagaimanapun juga, mata kita merasakan banyak warna yang tidak berada dalam pelangi,seperti putih, hitam, coklat, pink dan lain-lain. Bagaimana hal tersebut dapat terjadi?
Apa yang dilihat oleh mata kita sebenarnya adalah campuran dari foton dengan frekuensi yangberbeda-beda. Sumber cahaya ditentukan oleh distribusi dari frekuensi foton yang merekapancarkan. Cahaya putih ideal terdiri dari cahaya-cahaya dari seluruh frekuensi dengan jumlahyang sama.
Mata manusia merasakan warna ketika sel-sel pada retina yang bernama
cone tereksitasi setelah “ditembak” oleh foton. Tiga macam sel cone memberi
respon yang terbaik untuk tiga cahaya dengan panjang gelombang yang
berbeda, yaitu merah, hijau dan biru (orang yang menderita buta warna biasanya
kehilangan salah satu tipe dari sell cone di atas). Ketika campuran foton
memasuki mata, sel cone dalam retina mencatat derajat dari eksitasi
berdasarkan tipe masing-masing, dan jika campuran foton yang berbeda datang
sehingga menyebabkan eksitasi tiga tipe dari sel cone pada derajat yang sama,
warna tersebut tidak dapat dibedakan dari campuran yang pertama.
Karena masing-masing warna dicatat oleh mata sebagai level eksitasi
dari sel cone oleh foton yang datang, mata dapat merasakan warna yang tidak
berada dalam spektrum yang dihasilkan oleh prisma atau pelangi. Sebagai
contoh jika campuran dari foton merah dan biru dikirim sehingga sel cone merah
dan biru dalam retina tereksitasi, mata akan melihatnya sebagai magenta, yang
tidak ada dalam spektrum warna.
Monitor komputer mengemulasikan warna oleh partikel cahaya dengan
kombinasi cahaya RGB sesuai dengan proporsi sel cone dalam retina yang
tereksitasi. Hal itu dilakukan dengan melihat level eksitasi yang dihasilkan oleh
campuran foton yang dicoba untuk diemulasikan. Untuk menampilkan warna
tersebut, monitor mrngirimkan sejumlah cahaya RGB untuk merangsang sel cone
dalam mata kita. Monitor warna dapat mengirim proporsi RGB yang berbeda
pada tiap-tiap piksel dan mata akan melihat jutaan cahaya dengan warnanya
masing-masing.
6.5. Mode RGBA versus mode indeks warna
Pada layar komputer, hardware menyebabkan di setiap piksel dari layar
tersebut dipancarkan cahaya RGB dalam jumlah yang berbeda-beda, yang
disebut nilai RGB. Nilai ini biasanya dipaket bersama (kadang-kadang dengan
nilai keempat yang disebut dengan Alpha (A)), dan nilai dari paket tersebut
disebut dengan nilai RGB (atau RGBA). Informasi warna dari tiap-tiap piksel
dapat disimpan dalam mode RGBA, dimana nilaii RGBA disimpan untuk tiap-tiap
piksel, atau dengan mode indeks warna, dimana sebuah nilai (disebut indeks
warna) disimpan untuk tiap-tiap piksel. Setiap indeks warna ditunjukkan oleh
suatu nilai dalam tabel yang mendefinisikan nilai-nilai RGB. Tabel tersebut
disebut dengan peta warna.
Pada mode indeks warna atau RGB, suatu nilai tertentu dari data warna
disimpan pada tiap-tiap piksel. Nilai ini ditentukan oleh jumlah bitplane dalam
framebuffer. Sebuah bitplane berisi 1 bit dari data untuk tiap-tiap piksel. Jika ada
8 bitplane warna, maka terdapat 8 bit warna setiap piksel sehingga ada 28 = 256
warna berbeda yang bisa disimpan pada piksel.
Bitplane sering dibagi untuk menyimpan komponen RGB sehingga sistem
24 bitplane menyediakan 8 bit masing-masing untuk RGB, akan tetapi hal ini
tidak selalu benar. Untuk mengetahui jumlah bitplane yang tersedia dalam
sistem, kita bisa menggunakan perintah glGetIntegerv() dengan GL_RED_BITS,
GL_GREEN_BITS, GL_BLUE_BITS, dan GL_ALPHA_BITS sebagai parameter.
6.2.5. Mode RGBA
Pada mode RGBA, hardware menyimpan jumlah bitplane untuk tiap-tiap komponen RGBA.Nilai RGBA disimpan sebagai integer dan diskalakan dengan jumlah bit yang tersedia untukpenyimpanan. Sebagai contoh jika sistem menyediakan 8 bit untuk komponen R, maka integerantara 0-255 dapat disimpan, sehingga 0, 1, 2, ..., 255 pada bitplane dapat diartikan nilai Rsebesar 0/255 = 0.0, 1/255, 2/255, ..., 255/255 = 1.0. Tanpa memperhatikan jumlah bitplane, 0.0menghasilkan intensitas minimum dan 1.0 menghasilkan intensitas maksimum.
Gambar 6-1. Nilai RGB dari bitplane
Jumlah macam warna yang dapat ditampilkan pada tiap-tiap piksel tergantung jumlah bitplanedan kapasitas dari hardware untuk menginterpretasikan bitplane tersebut. Jumlah warna tidakdapat melebihi 2n, dimana n adalah jumlah bitplane sehingga mesin dengan 24 bitplane untukRGB dapat menampilkan lebih dari 16,77 juta macam warna.
6.2.6. Dithering
Beberapa hardware grafik menggunakan dithering untuk meningkatkan jumlah warna yangdapat ditampilkan dengan mengorbankan resolusi spatial. Dithering adalah teknik untukmenggunakan beberapa warna untuk membentuk efek warna lain. Untuk menggambarkanbagaimana proses dithering bekerja, anggaplah sistem kita hanya mempunyai 1 bit masing-masing untuk RGB. Jadi sistem tersebut hanya bisa menampilkan 8 warna, yaitu hitam, putih,merah, hijau, biru, kuning, cyan dan magenta. Untuk menampilkan warna pink pada suatudaerah, hardware dapat mengisi daerah tersebut dengan warna merah dan putih. Karena matakita cukup jauh dari layar sehingga tidak dapat membedakan tiap-tiap piksel,daerah tersebutakan tampak berwarna pink, rata-rata dari warna merah dan putih. Warna pink yang lebihmerah dapat dihasilkan dengan mengisi proporsi piksel yang lebih banyak dengan warnamerah, sedangkan warna pink yang lebih putih dapat dihasilkan dengan mengisi proporsipiksel lebih banyak dengan warna putih, dan seterusnya.Dengan cara ini, tidak ada piksel yang berwarna pink. Satu-satunya jalan untuk menghasilkanefek di atas adalah dilakukan pada suatu daerah yang terdiri dari berbagai piksel. Kita tidakbisa melakukan proses dithering pada satu piksel saja. Jika kita membentuk suatu nilai RGBuntuk suatu warna yang tidak tersedia dan mengisi suatu poligon, hardware mengisi pikselyang berada di dalam poligon dengan campuran dari warna-warna terdekat sehinggamenampilkan warna rata-rata untuk mata kita sesuai dengan warna yang kita inginkan.
Gambar 6-2. Dhitering hitam dan putih untuk menghasilkan abu-abu
Dengan 8 bit pada tiap-tiap RGB, kita bisa mendapatkan gambar berkualitas tinggi tanpaproses dithering. Tapi walaupun mesin kita mempunyai 24 bitplane bukan berarti prosesdithering tidak terjadi. Sebagai contoh, jika kita menggunakan mode double-buffer, bitplane
mungkin dibagi menjadi 2, masing-masing 12 sehingga hanya ada 4 bit pada tiap-tiap
komponen RGB. Tanpa dithering, 4 bit setiap komponen warna akan memberi hasil yangkurang memuaskan.
6.2.7. Mode indeks warna
Dengan mode indeks warna, OpenGL menggunakan peta warna yang mirip denganmenggunakan palet untuk mencampur cat pada saat melukis. Palet seorang pelukismenyediakan tempat untuk mencampur cat, dan mirip dengan hal tesebut, peta warnamenunjukkan dimana nilai RGB dicampur.
Gambar 6-3. Peta warna
Pelukis memilih sebuah warna dari palet warna dan melukis dengan
warna tersebut. Komputer menyimpan indeks warna dalam bitplane untuk tiap-
tiap piksel. Nilai bitplane tersebut menunjuk ke peta warna dan layar akan
diwarnai dengan nilai RGB dari peta warna.
Gambar 6-4. Menggunakan peta warna untuk mewarnai gambar
Pada mode indeks warna, jumlah warna yang tersedia terbatas oleh
ukuran peta warna dan jumlah bitplane yang tersedia. Ukuran peta warna
ditentukan oleh hardware yang digunakan. Biasanya berkisar antara 256(28)
sampai 4096(212). Ukuran peta warna merupakan pangkat dari 2 diindeks oleh
jumlah bitplane yang tersedia pada mode indeks warna. Jika ada 2n indeks pada
peta warna dan m bitplane yang tersedia, maka jumlah warna yang bisa
ditampung adalah kurang dari 2n dan 2m.
Dengan mode RGBA, tiap-tiap warna piksel tidak tergantung piksel lain.
Sedangkan pada mode indeks warna, tiap-tiap piksel dengan indeks yang sama
disimpan pada lokasi yang sama. Jika isi dari peta warna berubah, seluruh piksel
yang berindeks sama akan ikut berubah.
6.2.8. Memilih antara mode RGBA atau mode indeks warna
Kita mungkin lebih baik menggunakan mode indeks warna pada kasus-kasus di bawah ini:- Jika kita melanjutkan aplikasi yang sudah ada dan menggunakan
mode indeks warna.
- Jika kita hanya mempunyai bitplane dalam jumlah sedikit dan jika kita
hanya perlu warna kurang dari 2n.
- Jika kita mempunyai bitplane dalam jumlah terbatas, mode RGBA
mungkin akan menyebabkan proses shading yang kasar, sehingga
lebih baik memilih mode indeks warna.
- Mode indeks warna akan berguna untuk berbagai macam trik, seperti
animasi.
Secara umum gunakanlah mode RGBA, karena memberikan hasil yang lebih baik untuktexture mapping, lighting, shading, fog, antialiasing dan blending.
6.6. Penggunaan warna pada model shading
6.3.4. Pembentukan warna pada mode RGBAPada mode RGBA gunakan perintah glColor*() untuk memilih warna yang akan digunakan.
void glColor3{b s i f d ub us ui}(TYPEr, TYPEg, TYPEb);void glColor4{b s i f d ub us ui}(TYPEr, TYPEg, TYPEb, TYPEa);void glColor3{b s i f d ub us ui}v(const TYPE*v);void glColor4{b s i f d ub us ui}v(const TYPE*v);
Perintah di atas mempunyai 3 macam akhiran yang bervariasi sesuai dengan parameter yangditerima. Akhiran pertama adalah 3 atau 4, menunjukkan apakah kita memasukkan nilai alphadisamping nilai RGB. Jika nilai tersebut tidak dimasukkan, otomatis akan diset 1.0. Akhirankedua menunjukkan tipe data untuk parameter: byte, short, integer, float, double, unsignedbyte, unsigned short atau unsigned integer. Sedangkan akhiran ketiga adalah optional v yangmenunjukkan argumen tersebut adalah pointer pada suatu array sesuai dengan tipe datanya.
6.3.5. Pembentukan warna pada mode indeks warnaUntuk mode indeks warna gunakan perintah glIndex*() untuk memilih warna yang akan
digunakan:void glIndex{s i f d}(TYPE c);
void glIndex{s i f d}v(const TYPE *c);Akhiran pertama dari perintah di atas menunjukkan tipe data dari parameter: short, integer,float atau double. Akhiran kedua adalah optional v yang menunjukkan bahwa argumentersebut adalah nilai dari suatu array sesuai dengan tipe data yang diberikan (array tersebuthanya berisi 1 nilai).
6.3.6. Pembentukan model shadingSebuah garis atau poligon terisi dapat digambar dengan satu warna (flat shading) atau
dengan berbagai macam warna (smooth shading). Kita dapat menentukan teknik shadingsesuai dengan yang kita inginkan dengan perintah glShadeModel().
void glShadeModel(GLEnum mode);Parameter mode dapat diset GL_SMOOTH(default) atau GL_FLAT. Dengan flat shading,warna dari suatu vertex diduplikat ke seluruh vertex dari obyek tersebut. Sedangkan padasmooth shading, warna dari tiap-tiap vertex diperlakukan sendiri-sendiri. Untuk sebuah garis,warna-warna sepanjang segmen garis tersebut ditambahkan pada warna vertex. Sedangkanpada poligon, warna-warna dari interior poligon tersebut ditambahkan pada warna vertex.
Dengan smooth shading, titik-titik yang berdekatan mempunyai perbedaan nilai warnayang kecil. Pada mode RGBA hal ini kelihatan mirip sehingga perubahan warna dalampoligon tampak halus (bertahap sedikit demi sedikit). Pada mode indeks warna titik-titik yangberdekatan mungkin menunjuk pada lokasi yang berbeda pada tabel indeks warna, yangmungkin tidak mirip sama sekali.
Untuk mengatasi hal tersebut, kita harus membuat suatu jalur perubahan warna yanghalus diantara indeks-indeks dalam peta warna. Pemetaan warna pada peta warna dibentukmelalui sistem window. Untuk sementaara anggaplah kita mempunyai rutin auxSetOneColor()yang melakukan load satu indeks pada peta warna dengan nilai RGB. Argumen pertama dari
rutin ini adalah nilai RGB. Untuk melakukan load 32 indeks warna yang berdekatan (dariindeks 16 sampai 47) dengan sedikit perubahan dari warna kuning, kita mungkin akanmemanggil rutin auxSetOneColor() sebagai berikut:
for(i=0;i<32;i++) auxSetOneColor(16+i, 1.0*(i/32.0), 1.0*(i/32.0), 0.0);Dengan flat shading warna dari suatu vertex menentukan warna dari seluruh obyek tersebut.Untuk segmen garis, warnanya ditentukan oleh warna vertex kedua (vertex akhir).
PENCAHAYAAN PADA OPENGL
Ketika kita melihat suatu permukaan, persepsi mata kita terhadap warna
tergantung dari distribusi energi foton yang tiba dan merangsang sel cone seperti
yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya. Foton-foton datang dari satu
ataupun kombinasi dari beberapa sumber cahaya dimana sebagian diserap dan
sebagian lagi dipantulkan oleh permukaan tersebut.
Model pencahayaan OpenGL terdiri dari 3 komponen sinar. Komponen-
komponen sinar tersebut antara lain:
- Ambient
Sinar yang datang ke permukaan obyek dari sembarang arah sebagai
akibat dari pantulan ruangan di sekeliling obyek sehingga tidak
mempunyai arah datang yang khusus.
- Diffuse
Sinar yang datang dari arah tertentu tetapi dipantulkan ke segala arah
oleh permukaan obyek. Jika sinar diarahkan langsung tanpa melalui
sudut tertentu maka obyek pada sisi dimana sinar menyorot akan
tampak lebih terang dari sisi yang lain.
- Specular
Sinar yang terarah, jadi datang dari arah tertentu dan terpantul ke
arah tertentu pula.
Warna material tergantung pada prosentase dari sinar RGB yang
dipantulkan. Contohnya sebuah bola yang berwarna merah memantulkan semua
sinar merah yang datang dan menyerap sinar hijau dan biru. Jika bola tersebut
diberi sinar putih (campuran dari warna RGB dalam jumlah yang sama), seluruh
sinar merah dipantulkan sehingga bola terlihat berwarna merah. Begitu pula jika
sinar yang diberikan berwarna merah. Jika sinar yang diberikan berwarna hijau,
maka bola tersebut akan tampak berwarna hitam karena seluruh sinar hijau akan
diserap sedangkan tidak ada sinar yang dipantulkan, karena tidak ada sinar
merah.
7.1. Pembentukan sumber cahaya
Sumber cahaya mempunyai sejumlah properti, seperti warna, posisi dan
arah. Perintah yang digunakan untuk membentuk properti tersebut adalah
glLight*(), yang membutuhkan 3 argumen. Argumen pertama menunjukkan
cahaya dimana propertinya ingin dibentuk, yang kedua adalah propertinya dan
yang terakhir adalah nilai yang diinginkan dari properti pada argumen kedua.
void glLight{i f}[v](Glenum light, Glenum pname, TYPEparam);
Perintah di atas digunakan untuk membentuk sumber cahaya yang bisa
merupakan GL_LIGHT0, GL_LIGHT1, … , GL_LIGHT7. Karakteristik dari cahaya
didefinisikan oleh pname yang berisi parameter-parameter (lihat tabel).
Sedangkan argumen param merupakan nilai untuk mengisi parameter kedua.
Nama parameter Nilai default Keterangan
GL_AMBIENT (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) Intensitas sinar ambient
GL_DIFFUSE (1.0, 1.0, 1.0, 1.0) Intensitas sinar diffuse
GL_SPECULAR (1.0, 1.0, 1.0, 1.0) Intensitas sinar specular
GL_POSITION (0.0, 0.0, 1.0, 0.0) Posisi sinar (x,y,z,w)
GL_SPOT_DIRECTION (0.0, 0.0, -1.0) Arah spotlight (x,y,z)
GL_SPOT_EXPONENT 0.0
GL_SPOT_CUTOFF 180.0
GL_CONSTANT_ATTENUATION 1.0
GL_LINEAR_ATTENUATION 0.0
GL_QUADRATIC_ATTENUATION 0.0
Tabel parameter dari glLight*()
Di bawah ini adalah salah satu contoh penggunaan perintah glLight*() untuk membentuksumber cahaya:
GLfloat light_ambient[] = {0.0, 0.0, 0.0, 1.0};
GLfloat light_diffuse[] = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
GLfloat light_specular[] = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
GLfloat light_position[] = {1.0, 1.0, 1.0, 0.0};
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, light_ambient);
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_DIFFUSE, light_diffuse);
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_SPECULAR, light_specular);
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, light_position);
Ada dua macam tipe dari sumber cahaya, yang pertama dinamakan sumber cahayadirectional. Sumber cahaya ini jaraknya sangat jauh (tak terbatas), salah satu contohnya adalahcahaya matahari. Tipe yang kedua adalah sumber cahaya positional. Disebut begitu karenaposisinya menentukan efek yang tampak, khususnya arah dari datangnya sinar. Contoh dari tipe iniadalah lampu belajar.
GLfloat light_position[] = {1.0, 1.0, 1.0, 0.0};glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION, light_position);
Seperti yang terlihat, kita memberikan sebuah vektor dengan 4 nilai (x, y, z, w) untukparameter GL_POSITION. Jika nilai terakhir (w) bernilai nol, maka cahaya yang terbentuk bertipedirectional dan nilai x, y, z menggambarkan arahnya. Jika w tidak nol maka tipe yang terbentukadalah positional dan nilai x, y, z membentuk lokasi dari sumber cahaya.
Kita dapat membentuk sumber cahaya positional seakan-akan seperti lampu sorot. Untukmembentuknya kita harus menentukan penyebaran cahaya yang dinginkan dengan jalan mengesetparameter GL_SPOT_CUTOFF. Sudut dari penyebaran cahaya tersebut adalah dua kali dari nilaiyang diisikan ke parameter GL_SPOT_CUTOFF.
7.2. Penentuan model cahaya
Model cahaya pada OpenGL mempunyai 3 komponen. Komponen-komponen tersebutadalah:
- Intensitas cahaya ambient global
- Posisi sudut pandang apakah bersifat lokal ataukah dianggap
mempunyai jarak yang sangat jauh.
- Apakah perhitungan cahaya dibuat berbeda antara permukaan depan
dan belakang obyek.
7.2.1. Cahaya ambient global
Setiap sumber cahaya dapat memberikan cahaya ambient ke scene.
Untuk membentuk intensitas RGBA dari cahaya ambient global, gunakan
parameter GL_LIGHT_MODEL_AMBIENT seperti di bawah ini:
GLfloat lmodel_ambient[] = {0.2, 0.2, 0.2, 1.0};
glLightModelfv(GL_LIGHT_MODEL_AMBIENT, lmodel_ambient);
Karena nilai di atas menghasilkan cahaya ambient berwarna putih dalam jumlah
kecil, maka walaupun kita tidak menambah sumber cahaya lain ke scene, kita masih
dapat melihat obyek dalam scene.
7.2.2. Sudut pandang
Letak dari sudut pandang mempengaruhi perhitungan untuk cahaya yang
dihasilkan oleh pantulan specular. Lebih khusus, intensitas cahaya pada suatu vertex
tergantung dari bentuk normal vertex tersebut, arah dari vertex ke sumber cahaya dan
arah dari vertex ke sudut pandang.
Dengan sudut pandang tak terbatas, arah antara sudut pandang dan setiap
vertex pada scene adalah konstan. Sudut pandang lokal cenderung memberi hasil yang
lebih realistis, tetapi karena arahnya harus selalu dihitung untuk tiap-tiap vertex
menyebabkan berkurangnya kinerja (lambat). Oleh karena itu sudut pandang tak terbatas
digunakan sebagai default.
7.2.3. Pencahayaan dua sisi
Perhitungan cahaya dibentuk untuk seluruh poligon, apakah permukaan depan
atau belakang. Karena kita biasa mengeset kondisi cahaya dengan permukaan depan
dari poligon, permukaan belakangnya tidak diberi cahaya dengan tepat.
Gambar 7-1. Sphere
Pada gambar 7-1 dimana obyeknya adalah sebuah sphere, hanya permukaan
depan saja yang terlihat. Jadi dalam hal ini tidak penting bagaimana tampilan dari
permukaan belakang. Jika sphere tersebut dipotong sehingga permukaan dalamnya
terlihat, mungkin kita perlu menyoroti permukaan dalam dari sphere tersebut dengan
cahaya yang telah kita definisikan. Kita dapat merubah model cahaya menjadi 2
permukaan, yaitu depan dan belakang dengan perintah di bawah ini:
glLightModeli(LIGHT_MODEL_TWO_SIDE, GL_TRUE);
7.2.4. Mengaktifkan cahaya
Pada OpenGL kita harus mengaktifkan cahaya secara eksplisit dengan
menggunakan perintah:
glEnable(GL_LIGHTING);
Sedangkan untuk membuat cahaya menjadi disable perinahnya adalah:
glEnable(GL_LIGHTING);
Kita juga harus mengaktifkan tiap-tiap sumber cahaya yang telah kita definisikan dengan
perintah yang sama, hanya saja parameternya adalah tia-tiap sumber cahaya seperti
GL_LIGHT0, GL_LIGHT1, … , GL_LIGHT7.
7.3. Pendefinisian properti material
Kita telah mengetahui bagaimana membentuk sumber cahaya beserta karakteristiknya danbagaimana mendefinisikan model cahaya yang kita inginkan. Pada bagian ini kita akan membahasbagaimana mendefinisikan properti material dari suatu obyek dalam scene. Perintah yangdigunakan adalah gl Material*().
void glMeterial{i f}[v]( Glenum face, Glenum pname,TYPE param);
Parameter face dapat diisi GL_FRONT, GL_BACK atau
GL_FRONT_AND_BACK untuk menunjukkan permukaan dari obyek tempat
material diterapkan. Sedangkan untuk mengisi parameter pname dapat dilihat
pada tabel di bawah ini:
Nama parameter Nilai default Keterangan
GL_AMBIENT (0.2, 0.2, 0.2, 1.0) Warna ambient dari material
GL_DIFFUSE (0.8, 0.8, 0.8, 1.0) Warna diffuse dari material
GL_AMBIENT_AND_DIFFUSE Warna ambient dan specular
dari material
GL_SPECULAR (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) Warna specular dari material
GL_SHININESS 0.0 Tingkat pancaran cahaya
specular
GL_EMISSION (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) Pemancaran warna dari
material
GL_COLOR_INDEXES (0, 1, 1) Indeks warna dari cahaya
ambient, diffuse dan specular
7.3.1. Refleksi diffuse dan ambient
Parameter GL_DIFFUSE dan GL_AMBIENT yang diset pada glMaterial*()mempengaruhi warna dari cahaya diffuse dan ambient yang dipantulkan oleh sebuah obyek.Pemantulan diffuse mempunyai pengaruh penting untuk menentukan warna yang kita lihat darisebuah obyek. Hal itu dipengaruhi oleh warna dari cahaya diffuse dan sudut jatuhnya cahaya
tersebut dengan garis normal (yang paling kuat adalah jika cahaya jatuh tegak lurus kepermukaan). Posisi sudut pandang tidak mempengaruhi pemantulan diffuse sama sekali.
Pemantulan ambient berpengaruh pada warna obyek secara keseluruhan. Karenapemantulan diffuse lebih terang pada bagian obyek yang disinari, pemantulan ambient tampakpada bagian obyek yang tidak disinari. Pemantulan ambient total dari sebuah obyek dipengaruhioleh cahaya ambient global dan cahaya ambient dari sumber cahaya. Seperti juga pemantulandiffuse, pemantulan ambient juga tidak dipengaruhi oleh letak sudut pandang.
Untuk obyek nyata, pemantulan ambient dan diffuse biasanya menggunakan warna yangsama sehingga OpenGL memberikan jalan untuk mengeset nilai yang sama untuk keduanya secaraserentak dengan menggunakan perintah glMaterial*(). Contoh:
GLfloat mat_amb_diff[] = {0.1, 0.5, 0.8, 1.0};glMaterialfv(GL_FRONT_AND_BACK, GL_AMBIENT_AND_DIFFUSE,
mat_amb_diff);
7.3.2. Refleksi specular
Pemantulan specular dari sebuah obyek menghasilkan sorotan. Tidak seperti pemantulanambient dan diffuse, pemantulan specular tergantung pada sudut pandang. Contohnya adalah jikakita memandang bola logam yang terkena sinar matahari. Jika kita menggerakkan kepala kita,maka sorotan yang dihasilkan oleh sinar matahari akan ikut bergerak.
OpenGL memungkinkan kita untuk mengeset warna RGBA dari sorotan
specular (dengan GL_SPECULAR) dan tingkat kecerahan dari sorotan specular
(dengan GL_SHININESS). Kita dapat mengisi GL_SHININESS dengan nilai
antara 0.0 sampai dengan 128.0. Contoh:
GLfloat mat_specular[] = {1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
GLfloat low_shininess[] = {5.0};
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SPECULAR, mat_specular);
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SHININESS, low_shininess);
7.3.3. Emisi
Dengan menggunakan warna RGBA untuk GL_EMISSION, kita dapat membuat
sebuah obyek terlihat memancarkan cahaya sesuai dengan warna yang kita set. Karena
sebagian besar obyek nyata tidak memancarkan cahaya, kita mungkin akan menggunakan
perintah ini kebanyakan untuk simulasi lampu atau sumber cahaya lain dalam scene.
Contoh:
GLfloat mat_emission[] = {0.3, 0.2, 0.2, 0.0};
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_EMISSION, mat_emission);
TEKSTUR MAPPING
8.1. Penentuan tekstur
Perintah glTexImage2D() mendefinisikan tekstur 2 dimensi. Perintah tersebutmemerlukan beberapa argumen yang diterangkan di bawah ini:
void glTexImage2D(Glenum target, Glint level, Glint components, Glsizeiwidth, Glsizei height, Glint border, Glenum format, GLenum type, const Glvoid*pixels);
Parameter target dimaksudkan untuk penggunaan kelak oleh OpenGL,
dalam hal ini harus diset GL_TEXTURE_2D. Parameter level digunakan jika kita
mempunyai berbagai resolusi dari tekstur. Jika hanya ada satu resolusi, maka
parameter ini diset nol.
Parameter berikutnya, components, adalah integer antara 1 sampai
dengan 4 yang menunjukkan komponen R, G, B dan A yang dipilih untuk
digunakan pada proses modulating dan blending. Nilai 1 memilih komponen R, 2
memilih komponen R dan A, 3 memilih komponen R, G dan B serta nilai 4
memilih komponen RGBA.
Parameter width dan height adalah ukuran dari image tekstur. Border
menunjukkan lebar garis tepi, biasanya berisi nol. Width dan height berukuran
2m+2b dimana m adalah integer dan b adalah nilai dari border.
Parameter format dan type menggambarkan format dan tipe data dari image
tekstur. Parameter format dapat diisi GL_COLOR_INDEX, GL_RGB, GL_RGBA,
GL_RED, GL_GREEN, GL_BLUE, GL_ALPHA, GL_LUMINANCE atau
GL_LUMINANCE_ALPHA. Sedangkan parameter type dapat diisi dengan GL_BYTE,
GL_UNSIGNED_BYTE, GL_SHORT, GL_UNSIGNED_SHORT, GL_INT,
GL_UNSIGNED_INT, GL_FLOAT atau GL_BITMAP. Terakhir, pixels berisi data
image tekstur.
8.1.1. MipmappingSeperti obyek yang lain, obyek bertekstur dapat ditampilkan dalam berbagai jarak
dengan titik pandang. Oleh karena itu jika obyek tersebut bergeser menjauhi titik
pandang, maka ukuran dari tekstur pun harus berkurang sesuai dengan ukuran dari
obyeknya. Untuk itu OpenGL harus memfilter tekstur map ke ukuran yang tepat untuk
dimapke obyek. Kita dapat menentukan serangkaian tekstur map dalam resolusi yang
lebih kecil yang disebut dengan mipmaps. Kemudian OpenGL menentukan tekstur mana
yang akan dimap ke obyek. Dengan pendekatan ini jika image dari obyek mengecil maka
ukuran dari tekstur map juga berkurang.
Gambar 8-1. mipmaps
Teknik ini disebut dengan mipmapping (mip adalah singkatan dari bahasa
latin multim in parvo yang artinya sesuatu yang banyak di tempat yang
kecil/sempit). Untuk menggunakan mipmapping, kita menyediakan semua ukuran
tekstur dalam pangkat dari 2 antara ukuran terbesar sampai dengan ukuran 1x1.
Sebagai contoh jika resolusi terbesarnya adalah 64x16, kita juga harus
menyediakan map untuk ukuran 32x8, 16x4, 8x2, 4x1, 2x2 dan 1x1.
Untuk menentukan tekstur ini, gunakan perintah glTexImage2D() sekali
tiap resolusi atau ukuran dari tekstur map, dengan nilai yang berbeda dari
parameter level, width, height dan image. Dimulai dari nol, level menunjukkan
tekstur mana yang dipilih. Seperti pada contoh di atas, tekstur dengan ukuran
64x16 dideklarasikan dengan level=0, 32x8 dengan level=1, dan seterusnya.
8.1.2. Mengontrol filtering
Tekstur map berbentuk bujursangkar atau persegipanjang, tetapi setelah dimap ke
poligon atau permukaan dan ditransformasi ke koordinat layar, sebuah teksel dari tekstur
jarang diwakili oleh sebuah piksel dari image pada layar. Tergantung dari transformasi
dan tekstur mapping yang digunakan, sebuah piksel pada layar dapat mewakili sebagian
dari teksel (magnification) atau sekumpulan teksel (minification) seperti pada gambar 8-2.
Jika mipmap perlu untuk dibesarkan (atau dikecilkan) magnifikasi (atau minifikasi)
diperlukan. Untuk menentukan magnifikasi atau minifikasi, gunakan perintah di bawah
ini:
Gambar 8-2. Magnifikasi dan minifikasi tekstur
glTexParameteri(GL_TEXTURE_2D,
GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GL_NEAREST);
glTexParameteri(GL_TEXTURE_2D, GL_TEXTURE_MIN_FILTER,GL_NEAREST);
Argumen pertama dari glTexParameter*() adalah GL_TEXTURE_2D atau
GL_TEXTURE_1D tergantung tekstur yang digunakan 2 dimensi ataukah 1 dimensi.
Argumen yang kedua adalah GL_TEXTURE_MAG_FILTER atau
GL_TEXTURE_MIN_FILTER untuk menentukan metode yang digunakan magnifikasi
ataukah minifikasi. Argumen ketiga menentukan metode filtering yang digunakan
(lengkapnya lihat tabel).
Parameter Nilai
GL_TEXTURE_MAG_FILTER GL_NEAREST, GL_LINEAR
GL_TEXTURE_MIN_FILTER GL_NEAREST, GL_LINEAR,
GL_NEAREST_MIPMAP_NEAREST,
GL_NEAREST_MIPMAP_LINEAR,
GL_LINEAR_MIPMAP_NEAREST,
GL_ LINEAR_MIPMAP_LINEAR,
Tabel metode filtering untuk magnifikasi dan minifikasi
Jika kita memilih GL_NEAREST, teksel dengan koordinat terdekat terhadap
pusat dari piksel digunakan untuk magnifikasi dan minifikasi. Jika GL_LINEAR yang
dipilih, maka rata-rata dari array terdekat 2x2 yang terdekat terhadap pusat dari piksel
digunakan untuk magnifikasi dan minifikasi.
Kita dapat memilih teksel terdekat dengan GL_NEAREST, atau dapat
pula menyisipkan nilai rata-rata dengan GL_LINER MIPMAP_NEAREST.
Menggunakan teksel terdekat akan lebih cepat tetapi memberi hasil yang kurang
memuaskan. Gunakan GL_NEAREST_MIPMAP_LINEAR atau
GL_LINEAR_MIPMAP_LINEAR untuk menyisipkan nilai teksel dari 2 mipmap
terbaik yang dipilih. GL_NEAREST_MIPMAP_LINEAR memilih teksel terdekat
dari 2 map dan menyisipkan rata-rata diantaranya. sedangkan
GL_LINEAR_MIPMAP_LINEAR menggunakan penyisipan untuk menghitung
nilai dari 2 map dan menyisipkan nilai baru diantara keduanya. Jadi
GL_LINEAR_MIPMAP_LINEAR memberikan hasil terbaik, tetapi memerlukan
waktu yang lebih banyak.
8.1.3. Tekstur 1 dimensi
Kadang-kadang tekstur 1 dimensi saja cukup bagi kita. Tekstur 1 dimensi
mempunyai sifat-sifat seperti pada tekstur 2 dimensi dengan height=1 dan tanpa
border atas dan bawah. Untuk menentukan tekstur 1 dimensi gunakan perintah di
bawah ini:
Void glTexImage1D(Glenum target, Glint level, Glint components,
Glsizei width, Glint border, Glenum format, GLenum type, const
Glvoid *pixels);
Semua parameter mempunyai arti yang sama dengan pada perintah
glTexImage2D() kecuali bahwa image sekarang merupakan array 1 dimensi.
8.2. Modulating dan blending
Pada seluruh contoh sejauh ini, nilai dari tekstur map telah digunakan sebagai
warna untuk mewarnai permukaan. Kita juga bisa menggunakan nilai dalam tekstur map
untuk mengatur warna dari permukaan yang diwarnai tanpa tekstur atau mencampur
warna dalam tekstur map dengan warna non-tekstur dari permukaan. Untuk itu gunakan
perintah di bawah ini:
void glTexEnv{i f}{v}(Glenum target, Glenum pname, TYPE
param);
Perintah tersebut mengeset fungsi tekstur. Parameter target harus diisi
GL_TEXTURE_ENV. Jika pname adalah GL_TEXTURE_ENV_MODE, param
bisa diisi GL_DECAL, GL_MODULATE atau GL_BLEND, untuk menentukan
bagaimana nilai tekstur dikombinasikan dengan nilai warna dari potongan yang
diproses. Pada mode decal dan dengan 3 komponen tekstur, warna tekstur
menggantikan warna potongan. Pada 2 mode yang lain, atau dengan 4
komponen tekstur, warna akhir adalah kombinasi dari nilai tekstur dan potongan.
Jika pname adalah GL_TEXTURE_ENV_COLOR, param adalah sebuah array
dari nilai floating point yang menunjukkan komponen RGBA.
Fungsi tekstur memilih komponen dari nilai tekstur dan warna yang akan
digunakan tanpa tekstur. Ketika kita menentukan tekstur map dengan
glTexImage*(), argumen ketiga adalah jumlah komponen RGBA yang dipilih
untuk tiap-tiap teksel. Jika yang dipilih 1 komponen maka dia adalah nilai
luminance (L). Jika 2 komponen, maka yang pertama adalah luminance dan yang
kedua adalah alpha (A). Tiga komponen akan membentuk warna RGB (C) dan 4
komponen akan menyediakan warna dalam RGBA. Komponen-komponen yang
digunakan oleh fungsi tekstur ditunjukkan dalam tabel di bawah ini:
Komponen Mode decal Mode modulate Mode blend
1 Tak terdefinisi C=LtCf, A=Af C=(1-Lt)Cf+LtCc,A=Af
2 Tak terdefinisi C=LtCf, A=AtAf C=(1-Lt)Cf+LtCc,A=AtAf
3 C=Ct, A=Af C=CtCf, A=Af Tak terdefinisi
4 C=(1t)Cf+AtCt, A=Af C=CtCf, A=AtAf Tak terdefinisi
Tabel fungsi decal, modulate dan blendDalam tabel tersebut, subscribe t menunjukkan nilai tekstur, f menunjukkan nilai
fragment (potongan), c menunjukkan nilai yang diberikan dengan GL_TEXTURE_ENV
COLOR dan tanpa subscribe berarti nilai akhir.
Kita menggunakan mode decal jika kita ingin menerapkan tekstur buram
untuk sebuah obyek. Sedangkan mode modulate kita gunakan untuk membuat
tekstur yang bereaksi terhadap cahaya.
8.3. Assignment koordinat pada suatu tekstur
Pada saat menggambar scene tekstur map, kita harus menyediakan koordinat
obyek dan koordinat tekstur. Koordinat tekstur bisa terdiri dari 1, 2, 3 atau 4 koordinat.
Koordinat tersebut biasanya ditunjukkan sebagai s, t, r dan q untuk membedakan dengan
koordinat obyek (x, y, z dan w). untuk tekstur 1 dimensi kita menggunakan koordinat s,
sedangkan untuk tekstur 2 dimensi kita gunakan koordinat s dan t. Untuk sementara
abaikan koordinat r. Koordinat q, seperti koordinat w pada koordinat obyek biasanya
diberi nilai 1 dan bisa digunakan untuk membuat koordinat homogen. Perintah untuk
mnentukan koordinat tekstur adalah glTexCoord*() yang mirip dengan glVertex*(),
glColor*() dan glNormal*(). Biasanya nilai koordinat tekstur berkisar antara 0 dan 1.
void glTexCoord{1 2 3 4}{s i f d}{v}(TYPE coords);
Perintah tersebut digunakan untuk mengeset koordinat tekstur (s, t, r dan
q). Jika diikuti dengan pemanggilan perintah glVertex*() maka pada vertex
tersebut diberikan koordinat tekstur yang sedang aktif. Dengan glTexCoord1*()
kita menentukan nilai s, sedangkan t dan r diset 0 dan q diset 1. Dengan
glTexCoord2*() kita menentukan nilai s dan t, sedangkan nilai r diset 0 dan q
diset 1. Dengan glTexCoord3*() kita menentukan nilai s, t dan r, sedangkan nilai
q diset 1. Dan untuk menentukan nilai dari semua koordinat kita gunakan
glTexCoord4*().
Gambar 8-3. Mengulang tekstur
Kita dapat memberikan koordinat tekstur diluar rang [0,1] dan mengulang
atau melakukan clamp dalam tekstur map. Dengan mengulang tekstur, jika kita
mempunyai bidang yang besar dengan koordinat tekstur antara 0.0 sampai
dengan 10.0 pada kedua arahnya, maka kita akan mendapatkan 100 kopi dari
tekstur tersebut dan diletakkan pada layar.
Gambar 8-4. Melakukan clamping pada tekstur
Kemungkinan yang lain adalah dengan melakukan clamp pada koordinat tekstur.
Sembarang nilai yang lebih besar dari 1.0 diset 1.0 dan yang kurang dari 0.0 diset 0.0.
Operasi clamping ini berguna untuk aplikasi dimana kita menginginkan sebuah kopi dari
tekstur ditampilkan pada permukaan. Jika koordinat tekstur permukaan antara 0.0 sampai
dengan 10.0 pada kedua arahnya, maka kopi dari tekstur akan ditampilkan di pojok
bawah.
Gambar 8-5. Mengulang sekaligus melakukan clamping pada tekstur
Kita juga bisa melakukan kombinasi dari keduanya, yaitu mengulang
sekaligus melakukan clamping. Untuk mengesetnya gunakan perintah
glTexParameter*(), yang selengkapnya adalah:
void glTexParameter{i f}{v}(Glenum target, Glenum pname, TYPE
param);
Perintah tersebut digunakan untuk mengontrol bagaimana tekstur
diterapkan pada potongan permukaan. Parameter target diisi GL_TEXTURE_2D
atau GL_TEXTURE_1D. Sedangkan nilai yang bisa diisikan pada parameter
pname dan param dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
Parameter Nilai
GL_TEXTURE_WRAP_S GL_CLAMP, GL_REPEAT
GL_ TEXTURE_WRAP_T GL_CLAMP, GL_REPEAT
GL_TEXTURE_MAG_FILTER GL_NEAREST, GL_LINEAR
GL_TEXTURE_MIN_FILTER GL_NEAREST, GL_LINEAR,
GL_NEAREST_MIPMAP_NEAREST,
GL_NEAREST_MIPMAP_LINEAR,
GL_LINEAR_MIPMAP_NEAREST,
GL_ LINEAR_MIPMAP_LINEAR,
GL_TEXTURE_BORDER_COLOR Sembarang nilai dalam [0,1]
DAFTAR KEPUSTAKAAN
1. David F. Rogers, Procedural Elements for Computer Graphics, McGraw-HillBook Company, Singapore, 1985.
2. David F. Rogers, Mathematical Elements for Computer Graphics, McGraw-Hill Book Company, Singapore, 1989.
3. Donald Hearn, M. Pauline Baker, Computer Graphics, Prentice-HallInternational, Inc., New Jersey, 1994.
4. Alan Watt, Mark Watt, Advanced Animation and Rendering Techniques -Theory and Practice, Addison-Wesley Publishing Company, 1992.
5. Jerry R. Jackson, Java by Example, Sun Microsystems, Inc., 1996
6. Francis S. Hill, Computer Graphics, Maxwell Macmillan International Editions,1990.
7. Jackie Neider, Tom Davis, OpenGL Programming Guide, Addison-WesleyPublishing Company, 1996
8. Michael E. Mortenson, Geometric Modeling, Wiley Computer Publishing, 1997.
Related Documents
