BUKU GLM SMP edisi 7 revisi.pdf

8/18/2019 BUKU GLM SMP edisi 7 revisi.pdf

1/177

Himpunan Mahasiswa Jurusan

Pendidikan Matematika

Universitas Pendidikan Ganesha

GEMA LOMBA

MATEMATIKA GLM)

UNTUK SMP EDISI 7


2/177


3/177

GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) UNTUK SMP EDISI 7 iii

TIM PENYUSUN BUKU

GEMA LOMBA MATEMATIKA UNTUK SMP EDISI

Editor : Dr. Gede Suweken, M.Sc.

Ketua : Putri Oktalinda MuttaqinaSekretaris : I Nengah Adi Mahendra

Bendahara : Ni Putu Amellia Artika

Koordinator : I Putu Hendra Setiawan

Anggota :

1.

Ni Wayan Karmila Putri

2. Made Arista Dewi

3. I Dewa Made Agus Ariawan

4.

Ni Putu Ayu Novia Dewi

5. Kadek Gede Doni Merta Marantika

6. Ni Putu Eka Sucipta Dewi

7. I Wayan Kumarayasa

8. I Made Adi Wira Nata Putra

9. Ni Ketut Indah Tiara

10.

Ni Luh Sinta Suryanti

11. A.A. Gede Surya Pujawan

12. Ni Wayan Dina Marziani

13.

Ni Kadek Rita Sri Utami

14. Ni Putu Mirnawati


4/177


5/177

GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) UNTUK SMP EDISI 7 v

Prakata

PRAKATA Buku ini disusun untuk memberikan gambaran yang nyata tentang Gema Lomba

Matematika yang diselenggarakan setiap tahun oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan

Pendidikan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Pendidikan Ganesha kepada seluruh

siswa SMP dan para guru. Dengan diterbitkannya buku ini diharapkan siswa dan guru yang

akan mengikuti Gema Lomba Matematika maupun lomba-lomba matematika lainnya dapat

mempersiapkan diri secara mantap.

Buku ini berjudul GEMA LOMBA MATEMATIKA yang terdiri atas:

A. Materi utama GLM dengan mengacu pada silabus Olimpiade Sains Nasional

B. Soal-soal Latihan

C. Soal dan Pembahasan

1. Gema Lomba Matematika SMP Tahun 2012

2. Gema Lomba Matematika SMP Tahun 2013

Penyusun menantikan kritik dan saran dari para pengguna untuk kesempurnaan buku ini pada

edisi mendatang. Dalam kesempatan ini, penyusun menyampaikan ucapan terima kasih

kepada Bapak Dr. Gede Suweken, M. Sc. selaku editor Buku GLM SMP dan HMJ

Pendidikan Matematika Undiksha yang telah memberikan dukungan dalam penyusunan buku

ini. Semoga dengan seizin Ida Sang Hyang Widhi Wasa, penyusun dapat menularkan ilmu

yang bermanfaat untuk generasi mendatang.

Singaraja, Desember 2013

Penyusun


6/177


7/177

GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) UNTUK SMP EDISI 7 vii

Daftar Isi

D FT R ISI

COVER……………………………………………………………………………… i

TIM PENYUSUN…………………………………………………………………… iiiPRAKATA…………………………………………………………………………... v

DAFTAR ISI………………………………………………………………………… vii

KUMPULAN MATERI DAN SOAL LATIHAN

BAB I. TEORI BILANGAN

1.1 Keterbagian…………………………………………………………………... 3

1.2 Bilangan Kuadrat…………………………………………………………….. 4

1.3

Teorema Eratosthenes………………………………………………………... 5

1.4 Kongruensi……………………………………………………………………5

1.5 FPB dan KPK ………………………………………………………………... 6

1.6

Teorema Dasar Aritmatika…………………………………………………... 8

1.7 Persamaan Diophantine……………………………………………………… 9

1.8 Induksi Matematika………………………………………………………….. 10

SOAL LATIHAN TEORI BILANGAN ……………………………………………. 13

PEMBAHASAN……………………………………………………………………... 14

BAB II. ALJABAR

2.1 Persamaan Polinom………………………………………………………….. 19

2.2 Ketaksamaan………………………………………………………………… 20

2.3

Nilai Mutlak………………………………………………………………….. 23

2.4 Barisan dan Deret Bilangan………………………………………………….. 24

2.5 Identitas Aljabar……………………………………………………………... 28

SOAL LATIHAN ALJABAR ……………………………………………………….. 31

PEMBAHASA N……………………………………………………………………... 32

BAB III. GEOMETRI

3.1 Sudut…………………………………………………………………………. 37

3.2

Segitiga………………………………………………………………………. 40

3.3 Kongruensi…………………………………………………………………… 43

3.4

Kesebangunan………………………………………………………………... 44


8/177

GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) UNTUK SMP EDISI 7viii

Daftar Isi

3.5 Lingkaran…………………………………………………………………….. 44

3.6 Trigonometri…………………………………………………………………. 47

SOAL LATIHAN GEOMETRI……………………………………………………... 51

PEMBAHASAN……………………………………………………………………... 54

BAB IV. KOMBINATORIKA

4.1 Prinsip Dasar Pendataan……………………………………………………... 61

4.2 Prinsip Penjumlahan…………………………………………………………. 61

4.3

Prinsip Perkalian……………………………………………………………... 62

4.4 Permutasi dan Kombinasi……………………………………………………. 63

4.5 Probabilitas…………………………………………………………………... 66

SOAL LATIHAN KOMBINATORIKA……………………………………………. 71

PEMBAHASAN…………………………………………………………………….. 72

SOAL DAN PEMBAHASAN GLM SMP TAHUN 2012

Soal Penyisihan GLM SMP 2012……………………………………………............. 79

Soal Final GLM SMP 2012…………………………………………………….......... 86

Soal Speed Test GLM SMP 2012…………………………………………………… 87

Solusi Penyisihan GLM SMP 2012………………………………………….............. 89

Solusi Final Test GLM SMP 2012…………………………………………………... 103

Solusi Speed Test GLM SMP 2012………………………………………………….. 107

SOAL DAN PEMBAHASAN GLM SMP TAHUN 2013

Soal Penyisihan GLM SMP 2013……………………………………………............. 115

Soal Final GLM SMP 2013…………………………………………………….......... 122

Soal Speed Test GLM SMP 2013…………………………………………………… 123

Solusi Penyisihan GLM SMP 2013………………………………………….............. 125

Solusi Final GLM SMP 2013…………………………………………………........... 142

Solusi Speed Test GLM SMP 2013………………………………………………….. 148

SOAL LATIHAN PILIHAN GANDA……………………………………………….157

SOAL LATIHAN ISIAN SINGKAT………………………………………………... 164

KUNCI JAWABAN SOAL LATIHAN…………………………………………….. 166

Sekilas Tentang Jurusan dan HMJ Pendidikan Matematika………………………… 167


9/177

KUMPULAN MATERI

DAN SOAL-SOAL LATIHAN


10/177


11/177

GEMA LOMBA MATEMATIKA (GLM) UNTUK SMP EDISI 7 3

Isilah Masa Mudamu dengan Prestasi dan Hal Positif

BAB I TEORI BILANGAN

1.1

KETERBAGIANDefinisi 1 Keterbagian

Suatu bilangan a disebut membagi b jika ada bilangan bulat lain c sehingga b = ac.

Kita juga akan menyebut bahwa a pembagi dari b atau b kelipatan dari a dan

ditulis a│b.

1.1.1 Sifat-Sifat Keterbagian

Untuk setiap bilangan bulat x, y, dan z. Berlaku sifat-sifat berikut :

a)

x | x (sifat refleksif),

b) Jika x | y dan y | z, maka x | z (sifat transisi),

c) Jika x | y dan y ≠ 0, maka |x| ≤ |y| ,

d) Jika x | y dan x | z, maka x | αy + βz untuk setiap bilangan bulat α dan β ,

e) Jika x | y dan x | y ± z, maka x | z ,

f) Jika x | y dan y | x, maka |x| = |y| ,

g) Untuk z ≠ 0, x | y jika dan hanya jika xz | yz.

1.1.2 Keterbagian oleh 2n

Suatu bilangan bulat habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut

habis dibagi 2n

1. Untuk n = 1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan

tersebut habis dibagi 2.

2.

Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari

bilangan tersebut habis dibagi 4.

3. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari

bilangan tersebut habis dibagi 8.

1.1.3 Keterbagian oleh 3, 9, 11

Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah .... 01221 aaaaaaa nnn

1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 atau dapat

dituliskan 0121 ... aaaaa nnn habis dibagi 3.

2.

Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 atau dapat

dituliskan 0121... aaaaa

nnn

habis dibagi 9.


12/177

KUMPULAN MATERI DAN SOAL-SOAL LATIHAN4

Disiplin adalah kunci kesuksesan

3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang ganti tanda angka-angkanya habis

dibagi 11 atau dapat dituliskan 021 ...aaaa nnn habis dibagi 11.

Contoh 1 : Suatu bilangan 6 digit X2014Y habis dibagi 72. Carilah nilai X dan Y, serta

tentukan bilangan tersebut.

Pembahasan :

72 merupakan KPK dari 8 dan 9. Agar X2014Y habis dibagi 72, maka haruslah X2014Y

habis dibagi 8 dan 9.

- Bilangan X2014Y habis dibagi 8 jika 14Y habis dibagi 8, maka nilai Y = 4.

- Bilangan X2014Y habis dibagi 9 jika X + 2 + 0 + 1 + 4 + Y habis dibagi 9. Karena

nilai Y=4, maka X + 2 + 0 + 1 + 4 + 4 = X + 11, agar habis dibagi 9, maka nilai yang

memenuhi X = 7.Jadi bilangan tersebut adalah 720144.

1.2 BILANGAN KUADRAT

Ada tiga hal penting yang perlu diketahui tentang bilangan kuadrat, yaitu :

1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, dan 9 2.

2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1

3. Jika p bilangan prima dan p|n2 maka p2|n2

Contoh 2 : Diketahui a2 - b2 = 71, dengan a dan b adalah bilangan asli. Tentukan semua

pasangan bilangan asli a dan b yang memenuhi persamaan tersebut.

Pembahasan:

Karena a dan b adalah bilangan asli, maka a > b > 0.

Kemudian, a2 - b2 = (a – b) (a + b), karena a > b > 0, maka 0 < a – b < a + b

a2 – b2 = 71

(a – b)(a + b) = 71

Faktor-faktor dari 71 adalah (71, 1) sehingga hanya ada satu kemungkinan yaitu

Metode Eleminasi

a + b = 71

a – b = 1

2b = 70

b = 35, maka a = 36

jadi pasangan (a , b) yang mungkin adalah (36 , 35)


13/177



1.3 TEOREMA ERATHOSTENES

Untuk setiap bilangan komposit n terdapat bilangan prima p sehingga n p dan n p .

Teorema tersebut mempunyai makna yang sama dengan pernyataan berikut “Jika tidak

ada bilangan prima p yang dapat membagi n dengan n p maka n merupakan bilangan

prima”.

Contoh 3 : Buktikan bahwa 347 merupakan bilangan prima!

Pembahasan :

Misalkan n = 347 dan p merupakan bilangan prima yang kurang dari akar n, maka

n p

347 p

Sehingga p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 yang kurang dari 347 .

Karena tidak ada nilai p yang dapat membagi 347 maka sesuai dengan teorema Erathotenes

347 merupakan bilangan prima.

1.4 KONGRUENSI

Definisi 2 Kekongruenan

Misalkan a, b, dan m bilangan bulat dengan m > 0. Bilangan a dikatakan kongruen

b modulo jika bam ditulis mba mod .

Jika a tidak kongruen dengan b modulo m, maka ditulis ≢ .

Kekongruenan mba mod dapat pula dituliskan dalam hubungan kmba dengan k

adalah bilangan bulat.

1.4.1 Sifat-sifat Kongruensi

1.

Sifat Refleksif

Jika p adalah suatu bilangan bulat maka m p p mod .

2. Sifat Simetris

Jika p dan q adalah bilangan-bilangan bulat sehingga mq p mod , maka

m pq mod .


14/177



3. Sifat Transitif

Jika p, q, dan r adalah bilangan-bilangan bulat sehingga mq p mod dan

mr q mod maka mr p mod .

Teorema 1 Misalkan a, b, c, d , dan m adalah bilangan bulat positif.

Jika mba mod dan c adalah sebarang bilangan bulat maka

1.

mcbca mod

2. mbcac mod

Jika mba mod dan md c mod , maka

1. md bca mod

2. mbd ac mod

Contoh 4 : 9mod321

Artinya 9 habis membagi 21 – 3 = 18, atau dapat juga dituliskan 92321

Contoh 5 : Misalkan 9mod321 dan 9mod110 , maka menurut Teorema

9mod4319mod131021 , dan

9mod32109mod131021

1.5 FPB DAN KPK

1.5.1 FPB

Suatu bilangan bulat positif d disebut factor persekutuan terbesar / FPB ( greatest

common divisor / GCD) bilangan a dan b jika :

1.

d habis membagi a dan b, jadi ad dan bd

2.

Untuk setiap bilangan e pembagi habis a dan b, maka d e

Kemudian, factor persekutuan terbesar d dari bilangan a dan b dinotasikan dengan

d baGCD , atau d ba FPB ,

Pengertian relative prima

Dua buah bilangan bulat a dan b disebut relative prima (saling prima) jika

1, baGCD .


15/177



Contoh 6 : 20100,20 GCD

555,25 GCD

110,9 GCD

Teorema 2 (Teorema Euclid)

Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m

dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient ) dan r

(remainder ), sedemikian sehingga r nqm dengan nr 0 .

Algoritma Euclid

Diberikan dua buah bilangan bulat a dan b dengan 0 ba , maka baGCD , dapat

dicari dengan mengulang algoritma pembagian.

11 r bqa br 10

212 r r qb 120 r r

3231 r r qr 230 r r

nnnn r r qr 12 nn r r 10

011 nnn r qr

Maka r n , sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol merupakan baGCD ,

Teorema 3

Apabila d adalah faktor persekutuan terbesar dari a dan b, maka ada bilangan bulat x

dan y sedemikian sehingga GCD(a,b) = d = ax + by

Contoh 7 : Tentukan gcd (6409, 42823) dan nilai x dan y yang memenuhi

GCD(6409, 42823) = 6409x + 42823y

Pembahasan:

42823 = 6.6409 + 4369

6409 = 1.4369 + 2040

4369 = 2.2040 + 2892040 = 7.289 + 17


16/177



289 = 17.17 + 0

Jadi gcd (6409, 42823) = 17

17 = 2040 – 7.289

17 = 2040 – 7(4369 – 2.2040)

17 = 2040 – 7.4369 + 14.2040

17 = 15.2040 – 7.4369

17 = 15(6409 – 1.4369) – 7.4369

17 = 15.6409 – 15.4369 – 7.4369

17 = 15.6409 – 22.4369

17 = 15.6409 – 22(42823 – 6.6409)

17 = 15.6409 – 22.42823 + 132.6409

17 = 147.6409 – 22.42823

Jadi, x = 147 dan y = -22

1.5.2 KPK

Suatu bilangan positif d disebut kelipatan persekutuan terbesar bilangan a dan b jika:

1. d habis dibagi a dan b, jadi a|d dan b|d

2. Untuk setiap bilangan e habis dibagi a dan b, maka d|e

Selanjutnya, kelipatan persekuatuan terkecil (least common divisor ) d dari bilangan a

dan b dinotasikan dengan KPK(a,b) = d atau LCM (a,b) = d

Teorema 4

Untuk sembarang bilangan m > 0 berlaku LCM(ma,mb) = m LCM(a,b)

Contoh 8 :

LCM (21,14) = LCM (7.3,7.2) = 7. LCM (3,2) = 7.6 = 42

LCM (18,45) = LCM (9.2,9.5) = 9. LCM (2,5) = 9.10 = 90

1.6 TEOREMA DASAR ARITMATIKA

Misalkan n p p p p ,...,, 321 adalah bilangan prima berbeda. Teorema ini menyatakan

bahwa setiap bilangan asli a > 1, dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian bilangan-

bilangan prima berpangkat, berbentuk:

nk

n

k k k p p p pa ....... 321 321

dimana: k i adalah bilangan cacah untuk setiap i ϵ N


17/177



Bentuk ini dikenal dengan bentuk faktorisasi prima dari bilangan asli a

Berdasarkan Teorema Dasar Aritmatika, jika:

nk

n

k k k p p p pa ....... 321 321 ; dan

nl

n

l l l p p p pb ....... 321 321

Maka GCD(a,b) didefinisikan sebagai:

),min(),min(

3

),min(

2

),min(

1 .......),(332211 nn l k

n

l k l k l k p p p pbaGCD

sedangkan

),(),(

3

),(

2

),(

1 .......),( 332211 nn l k maks

n

l k maksl k maksl k maks p p p pba LCM

Catatan:

Untuk suatu bilangan bulat k dan l , maka maks(k,l ) dan min(k,l ) didefinisikan sebagai:

maks(k, l ) = k ; dan min(k, l ) = l , untuk k >l maks(k, l ) = l ; dan min(k, l ) = k untuk k


18/177



Teorema 3 Persamaan Linear Diophantine + = mempunyai penyelesaian jika dan

hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari dan membagi .

Teorema 4 Jika ),( baGCDd dan ,0 x 0 y merupakan penyelesaian persamaan Diophantineax + by = c, maka penyelesaian umum persamaan tersebut adalah:

k d

b x x 0 dan k

d

a y y 0

dengan k bilangan bulat.

Contoh 10 : Tentukan penyelesaian umum persamaan diophaantine 738 x+ 621 y = 45

Pembahasan:

GCD (738,621) = 9. Karena 9|45 maka persamaan mempunyai penyelesaian.

Menentukan 9 sebagai kombinasi 738 dan 621.

9 = 117-3.36

= 117-3(621 – 5 x 117) = -3 x 621 + 16 x 117

= -3 x 621 + 16 ( 738 – 621 )

9 = 16 x 738 – 19 x 621

Kalikan kedua ruas dengan 5

45 = 80 x 738 – 45x 621

Sehingga didapat0

x = 80,0

y = -95

Penyelesaian umumnya adalah:

x = 80 +9

621 k = 80 + 69k

y = -95 -9

738 k = – 95 – 82k

1.8 INDUKSI MATEMATIKA

1.8.1 Prinsip Induksi Matematika Pertama

Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa “P(n) benar untuk setiap

n bilangan bulat positif “ terdiri dari tiga langkah:

1. Langkah basis : Tunjukkan bahwa P(1) benar.

2. Langkah induktif : Tunjukkan bahwa P(k ) → P(k + 1) benar untuk setiap k

bilanganbulat positif.

3. Konklusi : n P(n) bernilai benar


19/177



Contoh 11: Buktikan bahwa : 1 + 2 + … + n = 2

1nn, untuk setiap n bilangan bulat positif

Pembahasan :

Misalkan P(n): proposisi 1 + 2 + … + n = 2

1nn

1. Langkah basis:

Untuk n = 0 diperoleh peroleh 0 = 0. Jadi, P(0) benar.

2.

Langkah induktif:

Asumsikan bahwa P(k ) benar untuk semua k , yaitu

1 + 2 + … + n = 2

1nn

Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu

1 + 2 + … + k + (k + 1) = 2

111 k k

Dari 1 + 2 + … + k = 2

1k k , diperoleh

1 + 2 + … + k + (k + 1) = 2

1k k + (k + 1)

=

2

122 k k k

=

2

22 2 k k k

= 2

322

k k

= 2

21 k k

= 2

111 k k

3. Konklusi:

Jadi 1 + 2 + … + n = 2

1nn benar untuk setiap n N.

1.8.2 Prinsip Induksi Matematika Kedua

Terdapat bentuk lain dari induksi matematika yang sering dipergunakan dalam bukti.

Teknik ini dinamakan Induksi Kuat atau Prinsip kedua dari induksi matematika.


20/177



1. Langkah basis : Tunjukkan bahwa P(0) benar.

2. Langkah induktif : Tunjukkan bahwa jika P(0) dan P(1) dan … P(k ) benar, maka

P(k + 1) benar untuk setiap k N.

3. Konklusi : n P(n) bernilai benar

Contoh 12 : Tujukkan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan

sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

Pembahasan :

P(n): proposisi “setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil

kali bilangan- bilangan prima”.

1. Langkah Basis

P(2) benar, karena 2 adalah hasil kali dari satu bilangan prima, dirinya sendiri.

2.

Langkah Induktif

Asumsikan P( j) benar untuk semua bilangan bulat j, 1 < j ≤ k . Harus ditunjukkan

bahwa P(k + 1) juga benar.

Ada dua kasus yang mungkin:

- Jika (k + 1) bilangan prima, maka jelas P(k + 1) benar.

- Jika (k + 1) bilangan komposit, (k +1) dapat ditulis sebagai perkalian dua buah

bilangan bulat a dan b sehingga 2 ≤ a ≤ b < k + 1.

Oleh hipotesa induksi, a dan b keduanya dapat dituliskan sebagai hasil kali bilangan

prima. Jadi, k + 1 = a . b dapat ditulis sebagai hasil kali bilangan prima.

3.

Langkah Konklusi

“Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil kali

bilangan- bilangan prima”.


21/177



SOAL LATIHAN TEORI BILANGAN

1.

Didepan rumah Hendra bertuliskan bilangan ab129c. Ternyata bilangan tersebut habisdibagi oleh 16. Tentukan nilai dari c yang mungkin terjadi.

2.

Jika bilangan bulat x dan y dibagi 6, maka bersisa 3. Jika bilangan x – 3 y dibagi 6, maka

tentukanlah sisanya!

3. Diketahui sebuah bilangan kuadrat a0bcd , dengan b > a, c = a + 2, dan d = 2a + b + 1

dengan a, b, c, d merupakan bilangan asli. Tentukan bilangan kuadrat yang memenuhi

persamaan tersebut!

4.

Jika n menyatakan banyaknya angka nol terakhir dari 2000! Maka tentukan apakah nmerupakan bilangan prima atau tidak!

5. Diberikan sebuah bilangan 32008, tentukanlah dua digit terakhir dari bilangan tersebut!

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari 20 x2 + 11 y = 2014.

7. Buktikan bahwa : n3 + 2n adalah kelipatan 3, untuk setiap n bilangan bulat positif.

8. Buktikan bahwa 5n − 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1, 2, ....

9. Diketahui suatu bilangan 232 – 1 dapat dibagi oleh dua bilangan bulat dari 200 sampai

300. Tentukan kedua bilangan bulat tersebut!

10. Jika w, x, y, dan z adalah bilangan bulat positif yang dibagi oleh 13 berturut-turut bersisa

12, 9, 11, dan 7, maka 3w + 4 x – 3 y + 2 z dibagi oleh 13 akan bersisa…


22/177



PEMBAHASAN SOAL LATIHAN TEORI BILANGAN

1. Karena 16 | ab129c, maka 4 digit terakhirnya haruslah habis dibagi oleh 16. Jadi 129 c

harus habis dibagi 16.

c = 0 maka 1290 tidak habis dibagi 16






c = 6 maka 1296 habis dibagi 16




Jadi nilai c yang memenuhi hanyalah 6.

2. Karena x dan y dibagi 6 bersisa 3 maka x = 6m + 3 dan y = 6n + 3, sehingga

x – 3 y = 6m + 3 – 3(6n + 3)

x – 3 y = 6m + 3 – 18n – 9

x – 3 y = 6m – 18n – 6

x – 3 y = 6(m – 3n) – 6

x – 3 y = 6{(m – 3n) – 1}

Ini berarti x – 3 y habis dibagi oleh 6

Sehingga sisa pembagiannya adalah 0

3. Diketahui nilai dari b > a, dan pasti 0 < a < 9, maka nilai a dan b yang mungkin adalah

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

b = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Kemudian diketahui nilai c = a + 2, dan pasti 0 ≤ c ≤ 9 maka nilai a dan c yang mungkin

adalah

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

c = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9


23/177



Selanjutnya diketahui d = 2a + b + 1, dengan nilai d yang mungkin adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9

karena merupakan bilangan kuadrat, sehingga nilai a, b, c, dan d yang mungkin adalah

a = 1, 2

b = 2, 3, 4c = 3, 4

d = 5 (a = 1, b = 2)

= 6 (a = 1, b = 3)

= 9 (a = 2, b = 4)

Sehingga bilangan yang mungkin terjadi yaitu 10235, 10336, dan 20449

Bilangan 10235 jika dibagi 5 hasilnya adalah 2047, dan tidak bisa dibagi 5 lagi

sehingga bukan merupakan bilangan kuadrat

Bilangan 10336 memiliki faktor 25 17 19, sehingga bukan merupakan bilangan

kuadrat

Bilangan 20449 memiliki faktor 112 132, sehingga 20449 merupakan bilangan

kuadrat.

Jadi bilangan kuadrat yang dimaksud adalah 20449.

4. Angka satuan yang menghasilkan angka nol adalah kelipatan 5 yakni sebanyak

4005

2000

Angka puluhan yang menghasilkan angka nol sebanyak 8025

2000

Angka ratusan yang menghasilkan angka nol sebanyak 19316625

2000

125

2000

Jadi, n = 400 + 80 + 19 = 499

499 p

Sehingga p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, yang kurang dari 499 . Karena tidak ada nilai p

yang habis membagi 499 maka sesuai dengan teorema Erathotenes n = 499 merupakan

bilangan prima.

5.

Karena yang diinginkan adalah dua digit terakhir berarti maka haruslah mod 100

sehingga,

32008 = (35)400+8 (mod 100)

= 243400 . 38 (mod 100)


24/177



= (432)200 . 38 (mod 100)

= 1849200 . 38 (mod 100)

= (492)100 . 38 (mod 100)

= 2401100 . 38 (mod 100)

= 1100 . 38 (mod 100)

= 38 (mod 100)

= 1161 (mod 100)

= 61 (mod 100)

Jadi dua digit terakhir dari 32008 adalah 61

6. 20 x2 + 11 y = 2014

Misalkan x2 = a, sehingga menjadi 20 a + 11 y = 2014

GCD ( 20,11) = 1 Karena 1|2011 maka persamaan mempunyai penyelesaian. Dapat

dituliskan dengan:

1 = 9 – 4 x 2

1 = 9 – 4 ( 11 – 1 x 9 )

1 = 5 x 9 – 4 x 11

1 = 5 ( 20 – 1 x 11) – 4 x 11

1 = 5 x 20 – 9 x 11

Kedua ruas sama- sama dikalikan 2014 sehingga :

2014 = 5 ( 2014) 20 – 9 (2014) x 11

2014 = 10070 x 20 – 18126 x 11

Sehingga didapat a = 10070, y = -18126

Karena x2 = a maka :10070

100702

x

x

Jadi himpunan penyelesaiaanya adalah { x , y} = { 10070 , -18126}

7.

P (n) : proposisi “n3 + 2n adalah kelipatan 3, untuk setiap n bilangan bulat positif ”

Langkah Basis :

Untuk n = 1 akan diperoleh :

P (1) = 13 + 2(1) = 3 , kelipatan 3

Langkah Induksif :

Misalkan untuk n = k asumsikan P (k) = k 3 + 2k adalah kelipatan 3


25/177



Akan ditunjukkan bahwa P (k + 1) = (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

P (k + 1) = (k + 1)3 + 2(k + 1)

P (k + 1) = (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2

P (k + 1) = (k

3

+ 2k) + (3k

2

+ 3k + 3) P (k + 1) = (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1)

Karena k 3 + 2k adalah kelipatan 3 dan 3 (k 2 + k + 1) juga merupakan kelipatan 3, maka

P (k + 1) adalah kelipatan 3

Langkah Konklusif :

“n3 + 2n adalah kelipatan 3, untuk setiap n bilangan bulat positif ”

8.

P(n) : proposisi “5

n

–

1 habis dibagi 4 untuk n = 1, 2, …”

Langkah Basis :

Untuk n = 1, maka akan diperoleh :

P(1) = 51 – 1 = 5 – 1 = 4 habis dibagi 4

Langkah Induktif :

Asumsikan bahwa untuk n = k, P(k) = 5k – 1 habis dibagi 4, akan ditunjukkan untuk P(k

+ 1) juga habis dibagi 4.

P(k + 1) = (5) k + 1 – 1 = 5.5k – 1

P(k + 1) = (1 + 4).5k – 1

P(k + 1) = 5k + 4.5k – 1

P(k + 1) = (5k – 1) + 4.5k

Karena 5k – 1 habis dibagi 4 dan 4.5k juga habis dibagi 4, maka P(k + 1) habis dibagi 4

Langkah Konklusif :

“5n – 1 habis dibagi 4 untuk n = 1, 2, …”

9.

Untuk mencari kedua bilangan tersebut kita dapat menggunakan cara sebagai berikut.

121212 161632

12121212 881632

Dimana 257128 dan 255128 Jadi kedua bilangan tersebut adalah 255 dan 257.


26/177



10. Misalkan :

w = 13a + 12

x = 13b + 9

y = 13c + 11

z = 13d + 7

3w + 4 x – 3 y + 2 z = 3(13a + 12) + 4(13b + 9) – 3(13c + 11) + 2(13d + 7)

= 3.13a + 36 + 4.13b + 36 – 3.13c – 33 + 2.13d + 14

= 13(3a + 4b – 3c + 2d ) + 53

Karena 13(3a + 4b – 3c + 2d ) habis dibagi 13 dan yang diminta hanya sisanya maka

cukup diambil 53 saja, sehingga

53 = 13.4 + 1

Jadi sisa pembagian 3w + 4 x – 3 y + 2 z oleh 13 adalah 1


27/177



BAB II ALJABAR

2.1

PERSAMAAN POLINOMBentuk persamaan polinom berderajat n dalam variabel x adalah :

0... 011

1 a xa xa xa

n

n

n

n dengan an ≠ 0 (1)

Jika naaa ,...,, 10 bilangan-bilangan bulat dan 1 x merupakan akar-akar bulat persamaan

(1), maka 1 x merupakan faktor dari 0a . Jadi akar-akar bulat yang mungkin untuk

persamaan (1) adalah faktor-faktor dari 0a .

Persamaan polinom (1) dapat ditulis menjadi :

0... 0111

nn

n

n

nn

n

n

a

a x

a

a x

a

a x

a

a (2)

Jika n x x x ,...,, 21 merupakan akar-akar persamaan (2) maka persamaan (2) dapat ditulis

menjadi :

0...21 n x x x x x x

0...1......1 211

21

n

nn

nn x x x x x x x

Teorema 1 (Teorema Vieta)

Jika n x x x ,...,, 21 merupakan akar-akar dari suatu polinom berderajat n

0... 011

1 a xa xa xa

n

n

n

n dengan an ≠ 0, maka :

n

nn

a

a x x x x 1321 ...

n

nnn

a

a x x x x x x 214321 ...

n

nnnn

a

a x x x x x x x x x 312654321 ...

n

n

na

a x x x x 0321 1

Teorema 2 Jika 011

1 ... a xa xa xa x f n

n

n

n

dengan an ≠ 0 dibagi oleh k x ,

maka sisa pembagiannya sama dengan f (k ) atau S = f (k ), S merupakan sisadan k merupakan konstanta.


28/177



Teorema 3 Jika 011

1 ... a xa xa xa x f n

n

n

n

dengan an ≠ 0 dibagi oleh d cx

maka sisa pembagiannya sama dengan

c

d f atau S =

c

d f , S

merupakan sisa.

Teorema 4 Terdapat suatu polinom f ( x) berderajat n, d cx merupakan faktor dari f ( x)

jika hanya jika S =

c

d f = 0.

Contoh 1 Tentukan nilai m agar 2124 234 mx x x habis dibagi 2 x – 1!

Pembahasan :

2124)( 234 mx x x x f

maka)1(2dibagihabis)( x x f

02

1 (S)sisa

f

02

1

untuk

f

022

1

2

112

2

14

234

m

8)(dikali 0248

12

16

4 m

0162122 m

62 m

3 m

2.2 KETAKSAMAAN

2.2.1 Konsep Urutan dan Sifat-sifat Dasar dari Konsep Urutan

Sifat penting pada bilangan-bilangan real adalah adanya urutan sehingga dapat

membandingkan dua bilangan, apakah kedua bilangan tersebut sama atau tidak sama.

Sifat-sifat dari konsep urutan pada sistem bilangan real yaitu:


29/177



1. Setiap bilangan real a hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan:

a. a 0

b. a 0

c.

a 0

2. Setiap bilangan real a dan b hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan

a.

a b

b. a b

c. a b

3. Jika a 0 dan b 0 maka a + b 0

4. Jika a 0 dan b 0 atau a 0 dan b 0 maka ab 0

5.

Jika a b dan b c maka a c

6.

Jika a b maka cbca untuk setiap bilangan real c

7. Jika a b dan c d maka a + c b + d

8. Jika a b dan c > 0 maka ac bc

9.

Jika a b dan c


30/177



Pembahasan :

cbabcba 233222

0323222 cbcbaba

031)1()3(42

2222

cbbbba

02)1(34

3

2

22

2

cbbb

a

02)1()4(34

1

2

22

2

cbbb

a

1)1()2(

4

3

2

22

2

cbb

a

Bentuk di atas dipenuhi oleh :

,3

22

3

2,1

21

b

ba dan 111 c

Perhatikan :

.20111 cc Jadi, 1c .

3

22

3

22

3

22

3

2

bb

Nilai b yang mungkin adalah ,2,1 atau 3 .

Perhatikan : 12

1 ba

Untuk2

11

2

112

111 aab

1a

Untuk 201112 aab

1a

Untuk2

12

2

112

313 aab

1a atau 2a

Kemungkinan ),,( cba yang terbentuk adalah : )1,3,2(),1,3,1(),1,2,1(),1,1,1(

dan ),,( cba yang memenuhi pertidaksamaan hanya satu, yaitu : )1,2,1(


31/177



2.3 NILAI MUTLAK

Definisi 2.1 Nilai Mutlak

Nilai mutlak / nilai absolut dari x, dinyatakan dengan x , didefinisikan

sebagai

0,

0,

x x

x x x

2.3.1 Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. 0 x , untuk setiap bilangan real x

2. x x

3.

y x

y x , 0 y

4. aa

x x

5. 0, aa xaa x

6. 0, aa xaa x

7. 0, aa xataua xa x

8.

0, aa xataua xa x

9. Jika baabmaka Rba ,,

10. Jika baabmakabdan Rba 0,,

11. Jika babamaka Rba ,,

12.

Jika babamaka Rba ,,

13.

Jika babamaka Rba ,,

Contoh 3 Selesaikan pertidaksamaan berikut ini 312 x !

Pembahasan :

Sesuai dengan sifat 6 yaitu 0, aa xaa x maka

312 x

3123

x masing-masing ruas ditambah 1


32/177



422 x masing-masing ruas dikali2

1

21 x

Sehingga himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah

R x x x ,21

2.4 BARISAN DAN DERET BILANGAN

2.4.1 Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih dua suku yang berurutan

selalu tetap (konstan). Selisih yang besarnya tetap disebut beda.

Bentuk umum barisan aritmatika:

,3,2,, bababaa

Rumus suku ke-n barisan aritmatika :

bnaU n 1

a = suku awal

b = beda

Deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika:

nn U U U U S 321

Suku tengah suatu barisan aritmatika adalah nt U U U 12

1

Rumus jumlah n suku pertama dalam deret aritmatika :

bnanbnaanU U nS nn 122

11

2

1

2

11

Contoh 4 Tentukan jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 999 yang habis dibagi 5.

Pembahasan :

Barisan bilangan bulat dari 1 sampai 999 yang habis dibagi 5 adalah 5, 10, 15, … , 995.

Barisan tersebut merupakan barisan aritmatika dengan beda 5 dan suku awalnya 5, serta

995nU , sehingga

9951995 bnaU n

995515 n


33/177



99051 n

1991981 nn

9950050019910002

1999955199

2

1199 S

Jadi jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 999 yang habis dibagi 5 adalah 99500

2.4.2 Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan yang perbandingan di antara dua suku

yang berurutan tetap (konstan). Secara umum, barisan U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un

disebut barisan geometri jika )(1

rasior U

U

n

n

, dengan syarat r harus konstan.

Bentuk umum barisan geometri :

,,,, 32 ar ar ar a

Rumus suku ke-n barisan geometri :

1 nn ar U

a = suku awal

r = rasio

Deret geometri adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri yaitu

nU U U U 321 .

Rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri:

10,

1

1

r jika

r

r aS

n

n atau

1,1

1

r jika

r

r aS

n

n

dengan r ≠ 1

Rumus deret geometri konvergen tak berhingga dengan suku awal = a dan rasio = r adalah :

r

aS

1

Contoh 5 Suku kelima dan suku kesembilan suatu barisan geometri berturut-turut adalah

16 dan 256. Tentukan jumlah sembilan suku pertama barisan tersebut!

Pembahasan :

Barisan geometri dengan U5 = 16 dan U9 = 256

1616256

4

8

5

9

ar ar

U U


34/177



r 4 = 16

r = 2

U 5 = 16 a x 24 = 16

a

a

Jumlah Sembilan suku pertama :

S9 =

1

19

r

r a

=

12

121 9

= 5111512

2.4.3 Barisan Harmonis (Selaras)

Suatu barisan dikatakan barisan harmonis, jika kebalikan suku-suku barisan tersebut

merupakan barisan aritmatika.

Contoh : ,

4

1,

3

1,

2

1,1

2.4.4 Barisan Bilangan dengan Pola Tertentu

Untuk menentukan rumus suku ke-n dapat dicari dengan menghubungkan urutan

bilangan / suku ke-n dengan barisan bilangan asli.

1. Barisan bilangan segitiga

Barisan : 1, 3, 6, 10, …

Deret : 1 + 3 + 6 + 10 + …

Rumus suku ke-n : 12

1 nnU n

Jumlah n suku pertama : 216

1 nnnS n


35/177



2. Barisan bilangan persegi

3.

Barisan bilangan kubik

4. Barisan bilangan persegi panjang

5. Barisan bilangan balok

Barisan : 6, 24, 60, …

Deret : 6 + 24 + 60 + …

Rumus suku ke-n : 21 nnnU n


1 nnnnS n

Barisan : 2, 6, 12, …

Deret : 2 + 6 + 12 + …

Rumus suku ke-n : 1 nnU n


1 nnnS n

Barisan : 1 , 2 , 3 , 4 , …

Deret : 1

3

+ 2

3

+ 3

3

+ 4

3

+ … Rumus suku ke-n : 3nU n


12

1

nnS n

Barisan : 1, 4, 9, 16, …

Deret : 1 + 4 + 9 + 16 + …

Rumus suku ke-n : 2nU n


1 nnnS n


36/177



6. Barisan bilangan genap

7. Barisan bilangan ganjil

8. Barisan Fibonacci

Barisan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku

didepannya.

2.5 IDENTITAS ALJABAR

Untuk R y x , , terdapat beberapa sifat sebagai berikut.

1. baabba 2

2. baabba 2 , untuk a > b

3. 222 2 y xy x y x

4.

x y xy y x y xy y x x y x 333 3332233

5. 12321 nnnnnn y y x y x x y x y x ; Untuk setiap n bilangan bulat

positif

Barisan : 1, 1, 2, 3, 5, …

Deret : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + …

Rumus suku ke-n : 21 nnn U U U

Barisan : 1, 3, 5, 7, …

Deret : 1 + 3 + 5 + 7 + …

Rumus suku ke-n : 12 nU n

Jumlah n suku pertama : 2nS n

Barisan : 2, 4, 6, 8, …

Deret : 2 + 4 + 6 + 8 + …

Rumus suku ke-n : nU n 2

Jumlah n suku pertama : nnS n 2


37/177



6. 12321 nnnnnn y y x y x x y x y x ; Untuk setiap n bilangan bulat

positif ganjil

7.

222244 22 y xy x y xy x y x

8. Binomial Newton : Z nba

k

nba

n

k

k k nn

;0

9.

Z n y x xy y x y x y x nnnnnn ;1111

10. Z n

x x

x x

x x

x x

n

n

n

n

n

n

;11111

1

1

1


38/177


39/177



SO L L TIH N LJ B R

1.

Jika diketahui a merupakan salah satu akar bulat persamaan x

3

– 8 = 0, maka tentukannilai dari a4 + 3a !

2.

Jika a, b, c adalah akar-akar persamaan x3 – 2 x2 + 1 = 0, maka tentukan nilai dari

222

111

cba .

3. Tentukan sisa pembagian dari x7 – 32 oleh ( x2 – 4).

4. Suatu polinom jika dibagi oleh x – 1 akan bersisa 10, jika dibagi oleh x + 1 akan bersisa

– 2. Tentukan sisa pembagian dari polinom tersebut oleh x2 – 1.

5. Jika barisan berikut ini merupakan barisan bilangan asli berurutan yang dihilangkan

semua bilangan kelipatan tiga : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, … , maka suku ke-67

barisan tersebut adalah…

6. Jika 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, … adalah barisan yang terdiri dari semua bilangan asli yang

bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan pangkat tiga, maka bilangan 270 merupakan

suku ke…

7. Nilai jumlahan ini berikut adalah …

12 – 22 + 32 – 42 + … + 20132 – 20142

8. Jika diketahui 231

2

2 x

x maka nilai dari3

61

x

x adalah

9. Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi ( x + 1) ( x + 4) = | x|

10. Jika diketahui ...6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 x , maka tentukan nilai dari ...

9

1

7

1

5

1

3

1


40/177



PEMB H S N SO L L TIH N LJ B R

1. Diketahui persamaan x3 – 8 = 0 dan a merupakan salah satu akarnya, sehingga

x3 – 8 = ( x – 2) ( x2 + 2 x + 4) = 0

Untuk persamaan kuadrat x2 + 2 x + 4,

Karena D = 4 – 4.1.4 = 4 – 16 = -12, maka nilai a yang memenuhi hanya 2, sehingga

a4 + 3a = 24 + 3(2)

a4 + 3a = 16 + 6

a4 + 3a = 22

2. Diketahui persamaan x3 – 2 x2 + 1 = 0, dan akar – akarnya a, b, c sehingga

x3 – 2 x2 + 1 = 0 1 = 2 x2 – x3

1 = x2 (2 – x)

x x

21

2

Akibatnya :

cbacba

222111

222

cbacba

222111 222

1

26

111

222cba

426111

222 cba

Jadi nilai dari 4111

222

cba

3. Sisa pembagian suatu polinom berderajat lebih dari 2 oleh polinom berderajat 2 akan

memiliki sisa polinom berderajat 1, misalkan ax + b.

Factor dari ( x2 – 4) adalah ( x – 2) dan ( x + 2), sehingga

Jika x7 – 32 dibagi oleh ( x – 2) maka akan bersisa 27 – 32 = 96 = (2)a + b

Jika x7 – 32 dibagi oleh ( x + 2) maka akan bersisa ( – 2)7 – 32 = -160 = ( – 2)a + b

Sehingga didapat 2a + b = 96 dan ( – 2)a + b = – 160, akibatnya b = – 32 dan a = 64.

Jadi sisa pembagian x7

– 32 oleh ( x2

– 4) adalah 64 x –

32.


41/177



4. Diketahui sisa pembagian oleh x – 1 adalah 10 atau f (1) = 10, dan sisa pembagian oleh

x + 1 adalah – 2 atau f (-1) = – 2.

Faktor dari x2 – 1 adalah x – 1 dan x + 1, dan sisa pembagiannya adalah ax + b, sehingga

f (1) = 10 = a + bdan

f (-1) = – 2 = – a + b

Eleminasi kedua persamaan tersebut, didapatkan

a + b = 10

– a + b = – 2

2b = 8 b = 4

Substitusi b = 4 ke salah satu persamaan

a + b = 10 a = 6

Sehingga sisa pembagiannya adalah 6 x + 4

5. Barisan : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …

Dari angka 1 sampai 100, angka kelipatan 3 harus dihilangkan sebanyak 333

99 angka.

Sehingga angka 100 merupakan suku ke 100 – 33 = 67.

Jadi suku ke-67 dari barisan tersebut adalah 100.

6. Diketahui : 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, … merupakan barisan yang terdiri dari semua bilangan

asli yang bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan pangkat tiga.

Bilangan kuadrat dari 1 – 270 : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,

225, 256 totalnya ada 16

Bilangan pangkat tiga dari 1 – 270 : 1, 8, 27, 64, 125, 216 totalnya ada 6

Bilangan kuadrat yang juga merupakan bilangan pangkat 3 dari 1 – 270 : 1, 64 ada 2

Jadi bilangan 270 merupakan suku ke 270 – (16 + 6 – 2) = 270 – 20 = 250

7. 12 – 22 + 32 – 42 + … + 20132 – 20142

1 – 4 + 9 – 16 + 25 – 36 + 49 – 64 + … – 20142

– 3 – 7 – 11 – 15 – (2013 + 2014)

Ini merupakan sebuah Deret Aritmatika, dengan :

a = – 3


42/177



b = 437

n = 10072

2014

bnan

S n 122

411007322

10071007

S

4.100662

10071007

S

402462

1007

1007 S

202910520151007403021007

1007 S

8.

Perhatikan 25223211

2

2

2

x x

x x

Sehingga 51

x

x

x x x x x x 1

3

11

3

3

3

, sehingga

x x

x x

x x

x

x 13

111 3

3

3

3

6

Untuk 51

x

x , maka 110151255351

31 3

3

x x

x x

Untuk 51

x

x , maka 110151255351

31 3

3

x

x

x

x

Jadi nilai dari 1101

3

6

x

x

9. Untuk | x| = x , maka

x x x 41

x x x 452

02044 22 x x x


43/177



Sehingga nilai x = – 2

Untuk | x| = – x , maka

x x x 41

x x x 452

0462

x x

Dengan menggunakan konsep kuadrat sempurna kita peroleh

053 2 x

5353 2 x x , maka

853 x atau 253 x

Jadi nilai x yang memenuhi adalah – 2 dan 8

10.

Diketahui ...6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 x , sehingga

...

8

1

6

1

4

1

2

11...

9

1

7

1

5

1

3

1 x

...

4

1

3

1

2

11

2

11...

9

1

7

1

5

1

3

1 x

x x2

11...

9

1

7

1

5

1

3

1

12

1...

9

1

7

1

5

1

3

1 x

Jadi nilai dari ...9

1

7

1

5

1

3

1 adalah 1

2

1 x


44/177


45/177



BAB III GEOMETRI

3.1

SUDUTBesar sudut biasanya dilambangkan dengan huruf m yang diambil dari dari kata measure

atau u yang diambil dari kata ukuran. Contoh: besar sudut BAC ditulis m BAC .

3.1.1 Besar Sudut dalam Bangun Datar

1. Pada segitiga

Jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 1800 (α + β + γ = 1800)

a. Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Sebagai

akibatnya semua sudutnya juga sama besar, yaitu 60o.

b. Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua dari tiga sisinya sama panjang.

Segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.


46/177



c. Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya.

Besar semua sudutnya juga berbeda.

2.

Pada Persegi

Persegi adalah bangun datar memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah

sudut siku-siku dengan sisi-sisinya sama panjang.

3.

Pada Persegi Panjang

Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang memiliki empat buah sudut

yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.

4.

Pada Lingkaran

Besar sudut pada lingkaran adalah 3600.

1.1.2 Sifat – sifat Sudut

Garis M // Garis N, garis M dan garis N memotong garis K.

1.

Sudut yang bertolak belakang memiliki besar yang sama

2. Sudut dalam berseberangan memiliki besar yang sama


47/177



3. Sudut luar berseberangan memiliki besar yang sama

4.

Sudut yang sehadap memiliki besar yang sama

5. Sudut yang saling berpelurus (jumlahnya 1800)

dengan

dengan

dengan

dengan

dengan

dengan

dengan

dengan

Contoh 1 : Perhatikan gambar berikut ini

Tentukan nilai z

Pembahasan :

Perhatikan garis AB dan k sejajar dan memotong garis BC, sehingga ABC BCK = 400

4z + 600 + 400 = 1800

4z = 800 z = 200

Maka nilai z adalah 200

4z

400

600

A

B

C

k


48/177



3.2 SEGITIGA

Segitiga merupakan bentuk dasar di geometri. Dengan membuat membuat menjadi

beberapa segitiga, kita dapat menganalisa bentuk-bentuk geometri lainnya. Hal-hal yang

perlu diperhatikan dalam segitiga :

1. Sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam lainnya.

2.

Panjang satu sisi segitiga kurang dari jumlah dua panjang sisi lainnya.

3. Diberikan ∆ABC dan BD tegak lurus AC

Luas ∆ABC = ½ × BD × AC. Untuk

selanjutnya BD dinamakan tinggi ∆ABC

4.

Diberikan ∆ABC

Keliling ∆ABC = a + b + c

Luas ∆ABC = c sb sa s s ,

dimana21 s Keliling ∆ABC

5. Dua segitiga yang panjang alasnya sama maka perbandingan luas dua segitiga ini sama

dengan perbandingan tinggi-tingginya.

6. Dua segitiga yang panjang tingginya sama maka perbandingan luas dua segitiga ini sama

dengan perbandingan alas-alasnya.

7.

Diberikan ∆ABC dan ∆PQR. Segitiga ABC dan PQR dikatakan sebangun jika terdapat

korespondensi satu-satu anatara titik-titik A, B, C dengan P, Q, R sehingga sudut-sudut


49/177



yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang

sama,QR

BC

PR

AC

PQ

AB .

3.2.1 Garis Bagi, Garis Tinggi, Garis Berat

1. Garis Bagi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga

sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar.

2.

Garis Tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut segitiga

dan tegak lurus terhadap sisi yang ada di hadapan sudut segitiga tersebut. Garis RS

dan QT adalah garis tinggi.

3. Garis berat pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi

sisi dihapan sudut tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang. Garis CD, AE,

dan garis BF adalah garis berat.


50/177



Teorema 1 (Teorema Appolonius)

Jika D adalah titik tengah dari sisi BC pada ∆ABC, maka :

2222 2 BD AD AC AB

Teorema 2 (Teorema Phytagoras)

Jika a, b, dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku, dengan c sisi

miringnya maka a2 + b2 = c2

Teorema 3 (Teorema Menelaus)

Jika sebuah garis transversal memotong sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC di

titik-titik D, E, F, maka

Teorema 4 (Teorema De Ceva)

Jika titik-titik D, E, dan F terletak pada sisi-sisi BC, CA, dan AB pada ∆ABC

sedemikian sehingga garis-garis AD, BE, CF adalah konkuren melalui titik P,

maka :


51/177



Contoh 2 : Perhatikan gambar dibawah ini

Jika AD merupakan garis tinggi, BD = 8 cm, DC = 12 cm, dan luas segitiga ABC = 60 cm2,

maka luas segitiga ABD adalah … cm2.

Pembahasan :

Perhatikan bahwa segitiga ABC dan ABD keduanya mempunyai tinggi yang sama. Sehingga

perbandingan luas keduanya sama dengan perbandingan dari alas masing-masing segitiga.

Diketahui luas segitiga ABC = 60 cm2, maka

BD

BC

ABD Luas

ABC Luas

2460

128

8

ABC Luas BC

BD ABD Luas

Jadi Luas ∆ABD = 24 cm2

3.3 KONGRUENSI

Definisi 1 Dua segitiga disebut kongruens (sama dan sebangun) jika dua segitiga tersebut

mempunyai tiga pasang sisi yang sama dan pasang sudut yang bersesuaian juga

sama besar.

Dua segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR jika dan hanya jika,BC = QR AC = PR AB = PQ

m∠ A = m∠P m∠B = m∠Q m∠C = m∠R

Dalam hal ini kita menuliskan Δ ABC Δ PQR

Jadi syarat dua segitiga yang kongruen adalah:

1. Tiga Sisi (S - S - S)

Jika dua buah segitiga adalah kongruen maka ketiga sisi segitiga pertama sama panjang dengan ketiga sisi segitiga kedua (sisi-sisi seletak).


52/177



2. Dua Sisi dan Satu Sudut Apit (S - Sd - S)

Dua segitiga yang kongruen maka dua sisi segitiga pertama sama dengan dua sisi

segitiga kedua, dan sudut yang diapitnya sama besar.

3. Dua Sudut dan Satu Sisi (Sd - S - Sd)

Dua segitiga yang kongruen maka dua buah sudut dari segitiga pertama sama dengan

dua sudut pada segitiga kedua, dan sisi di antara kedua sudut tersebut sama panjang.

3.4 KESEBANGUNAN

Definisi 2 Dua segitiga ABC dan DEF dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang

bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Dalam hal ini

ditulis Δ ABC Δ DEF.

Jadi syarat dua segitiga yang sebangun adalah:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (S - S - S)

2. Sudut-sudut yang seletak sama besar (Sd-Sd-Sd)

3. Satu sudut sama besar dan kedua sisi yang mengapitnya sebanding (S-Sd-S)

3.5 LINGKARAN

Definisi 3 Lingkaran adalah himpunan titik yang berjarak sama terhadap suatu titik

teretentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran.

3.5.1 Sifat-Sifat Penting Lingkaran

1. Sudut keliling sama dengan setengah dari sudut pusat dihadapan busur yang sama.

Dari sifat ini, dapat dibuktikan bahwa:

a. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.

b.

Sudut keliling yang menghadap setengah lingkaran adalah 900.


53/177



c.

Jumlah sudut-sudut berhadapan pada segiempat talibusur adalah 1800.

2. Panjang garis singgung

Panjang garis singgung dapat dihitung menggunakan rumus Phytagoras.

3. Panjang ruas garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran sama dengan akar

dari kuadrat panjang sentral ditambah kuadrat dari jumlahan kedua jari-jari lingkaran

tersebut.

4.

Potongan garis dengan lingkaran

a. Titik potong di dalam lingkaran

PB

PC

PD

PA atau PD PC PB PA


54/177



b. Titik potong di luar lingkaran

PB

PD

PC

PA atau PD PC PB PA

3.5.1 Keliling dan Luas Lingkaran

Jika diketahui jari-jari suatu lingkaran adalah R, maka:

Keliling Lingkaran = R 2

Luas Lingkara =2

R

3.5.2 Juring

Panjang Busur AB = R

2360

0

Luas Juring = 20

360 R

3.5.3 Teorema-teorema Pada Lingkaran

Teorema-teorema pada lingkaran pada umumnya kebenarannya dibuktikan secarakesebangunan 2 segitiga.

1. Teorema Talibusur

Jika AA` dan BB` adalah talibusur-talibusur sebuah lingkaran berpotongan di titik P

di dalam lingkaran, maka: PAPA` = PBPB`

2. Teorema Secant

Jika AA` dan BB` adalah talibusur-talibusur sebuah lingkaran berpotongan di titik P

di luar lingkaran, maka: PAPA` = PBPB`


55/177



3. Teorema Secant-Tangent

Jika P adalah sebuah titik di luar lingkaran, garis singgung dari P menyinggung

lingkaran di titik T dan garis melalui P memotong lingkaran di A dan A`, maka:

PAPA` = PT2

.

3.6 TRIGONOMETRI

Diberikan sebuah segitiga ABC siku-siku di C dengan adalah sudut dalam segitiga

ABC pada titik sudut C sebagai berikut:

Misalkan x, y, dan z berturut-turut merupakan panjang garis BC , AC dan AB. Sehingga

perbandingan trigonometri untuk sudut pada segitiga siku-siku ABC didefinisikan sebagai

berikut:

z

x sin

x

z csc

z

y cos

y

z sec

y

x tan

x

y cot

3.6.1 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Khusus

Sudut khusus (istimewa) adalah suatu sudut dengan nilai perbandingan trigonometri

yang dapat ditentukan nilainya secara eksak tanpa menggunakan kalkulator. Sudut-sudut

khusus tersebut antara lain: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, dan seterusnya. Nilai perbandingan

trigonometri untuk sudut 30°, 45°, dan 60° dihitung dengan memperhatikan segitiga khusus

yakni segitiga sama sisi atau segitiga siku-siku sama kaki.

A

B

C

x

y

z

α


56/177



Perhatikan dua buah segitiga siku-siku di bawah ini.

Berdasarkan gambar tersebut maka didapatkan nilai perbandingan trigonometri sudut-

sudut khusus sebagai berikut:

Table Nilai Fungsi Trigonometri

30° 45° 60°

Sin2

1 2

2

1 3

2

1

Cos 32

1 22

1 2

1

Tan 33

1 1 3

3.6.2 Luas Segitiga

Perhatikan segitiga di bawah ini.

A B

AC

CD sin

sin AC CD

C

t

D


57/177



Luas segitiga ABC = CD AB2

1

Karena sin AC CD

Maka luas segitiga ABC = sin2

1

AC AB

Contoh : Perhatikan gambar dibawah ini.

A B

Berapa nilai dari cos ?

Pembahasan:

222 AC AB BC

22

10271027

10271027

14

14 BC

BC

AB cos

14

1027

14

522

14

52

14

7028

14

71072 102

14

7

C

1027

1027


58/177


59/177



SOAL LATIHAN GEOMETRI

1.

Perhatikan gambar berikut ini.

CAD dan CED saling berpelurus. Tentukan nilai dari x : y.

2.

Perhatikan gambar dibawah ini.

A C

Panjang BD = 8 cm, panjang BC = . . . cm

3. Diketahui ABCD adalah persegi dengan panjang rusuknya 10 cm. Jika m

EBF ABE m , hitunglah panjang AE .

4. ABCD adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya 4 cm. Titik E berada pada BD.

Sudut dibentuk DC dengan CE adalah 60°. Luas segitiga EBC adalah . . .

D

30° 45°

B


60/177



5. Seorang ibu berada di suatu tempat A di tepi jalan yang lurus. Ia ingin berbelanja di toko

C di seberang jalan. Toko B berada tepat di seberang A. Jarak A ke toko C adalah 28

m dan besar sudut BAC = 30°. Tetapi sebelum ke toko C, ia ingin mampir di toko B.

Jarak yang ditempuh adalah . . . m

6. Perhatikan gambar dibawah ini. Jika lingkaran yang besar mempunyai jari-jari 4 dan

lingkaran yang kecil mempunyai jari-jari 2, serta luas daerah yang tidak diarsir adalah

12

7luas lingkaran yang besar, maka besar RPQ yang kecil adalah…

7. Perhatikan gambar berikut ini

Persegi ABCD dengan panjang sisi 20 cm, titik

sudutnya menyinggung sebuah lingkaran.

Kemudian dari masing-masing sisi persegi tersebut

dibuat setengah lingkaran dengan diameter sisi

persegi tersebut. Jika π = 3,14 , maka luas daerah

yang diarsir adalah..

8.

Sebuah antena televisi berdiri tegak lurus dengan tanah. Dari titik B, C , dan D di tanah

ditarik kabel ke puncak antena. Perhatikan gambar berikut ini.

Panjang kawat yang menghubungkan puncak antena ke titik B, C ,

dan D sama panjang. Tentukan DO + CO + BO jika AO = 12 cm,

AD = 13 cm.


61/177



9. Sembilan lingkaran kongruen terletak di dalam persegi seperti gambar di bawah ini. Jika

Keliling sebuah lingkaran 12,56 cm. Jika π = 3,14 , maka hitunglah daerah yang di arsir!

10.

Perhatikan gambar berikut ini

ABCD merupakan sebuah persegi dengan panjang sisi 4

cm. E adalah titik tengah CD dan F adalah titik tengah

AD. Luas daerah EDFGH adalah


62/177



PEMBAHASAN SOAL LATIHAN GEOMETRI

1.

CADdan

CEDsaling berpelurus

m

CAD + m

CED= 180

o

Karena:

m CAD + m CED = 180o

m 180m CED DEB (berpelurus)

maka DEBCAD mm

DBE CBA mm (berimpit)

Pada gambar di atas dapat disimpulkan ABC ~ EBD berdasarkan sudut-sudut,

sehingga berlaku:

7

32

9

52 y x y x

ED

AC

EB

AB

y x y x 27183514

x y 48

x y 2

2 y

x

Jadi, x : y = 2 : 1.

2.

A C

Dari gambar tersebut diperoleh:

845cos

AB

BD

AB

82

2

1 AB

24 AB

D

B

45° 30°

8


63/177



24 AB AD

AC

AD30tan

AC 243

3

1

64 AC

AB AC BC

2464 264

3.

Perhatikan bahwa FBE ABE berdasarkan sisi-sudut-sudut yaitu

BFE BAE EBF EBA EB EB mm,mm, , sehingga

10 BF AB cm, EF AE

DB merupakan diagonal persegi ABCD, sehingga

m 902

1 EDF = 45o

m 4590 FED = 45o

Sehingga DFE merupakan segitiga sama kaki dengan FE DF . Didapat

AE FE DF .

DF = DB – FB = 10 2 cm – 10 cm = 10( 2 - 1) cm.

Jadi, panjang AE yaitu 10( 2 - 1) cm.

4.

ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 4 cm.

A BMisalkan CE = x

D C

E

60°

30°

x

4 cm


64/177



Luas 60sin

2

130sin

2

1CE CDCE BC BCD

32

14

2

1

2

14

2

144

2

1 x x

38 x x

13431

8

x

Luas 30sin2

1CE BC EBC

2

11344

2

1

134

5. Misal jarak A ke B = x dan jarak B ke C = y.

Jarak yang di tempuh = Jarak A ke B + Jarak B ke C

2830cos x

2830sin y

283

2

1 x

282

1 y

64 x 24 y

Sehingga jaraknya = 264 y x

30°

A

B C

x

y

28


65/177



6. Diketahui :

Jari-jari lingkaran besar = 4

Jari-jari lingkaran kecil = 2

Besar Lingkaran Luasdiarsir tidak Luas 12

7

Misalkan : x RPQ

, sehingga

diarsir tidak Luas Besar Lingkaran Luasdiarsir Luas

Besar Lingkaran Luas Besar Lingkaran Luasdiarsir Luas12

7

Besar Lingkaran Luasdiarsir Luas12

5

Kecil Lingkaran Luas x

Besar Lingkaran Luas x


Kecil Lingkaran Luasdiarsir Luas

360360

360

Besar Lingkaran Luas x


Kecil Lingkaran Luas Besar Lingkaran Luas

360

360

2

12

5

44360

22180

224412

5

x x

45

2

454

3

20 x x

4543

20 x

453

8 x

120158453

8 x

Jadi besar sudut0

120 RPQ

7. Diketahui : panjang sisi persegi ABCD = 20 cm dan π = 3,14


66/177



Perhatikan gambar

2202020 2222 BC AB AC ,

sehingga

cmr 2102

220

Persegi Luas Lingkaran Luasarsiran Luas 1

22 sr

22 2021014,3 22840062840020014,3

Perhatikan gambar berikut ini

102

2020 lingkaran setengahr AB

1572

10014,3

2

2

lingkaran setengan

lingkaran setengah

r

L

14 arsiran Luas Larsiran Luas lingkaran setengah

4002286282281574 arsiran Luas

Jadi luas yang diarsir adalah 400 cm2

8. Perhatikan BAOCAO DAO dan,,

AB AC AD

AO AO AO

m AOD = m AOC = m AOB = 90o

ODA sejenis dengan OCA sejenis dengan OBA yaitu sudut lancip.

Sehingga berdasarkan sisi-sisi-sudut-sudut sejenis, BAOCAO DAO dan,, merupakan

segitiga yang kongruen. Didapat DO = CO = BO.

DO = 5251441691213 2222 AO AD cm.


67/177



Jadi, DO + CO + BO = 5 cm + 5 cm + 5 cm = 15 cm.

9.

Perhatikan gambar

Diketahui : 56,12lingkaran K , dan π = 3,14

56,12lingkaran K

228,6

56,1256,1214,3256,122 r r r

Sehingga panjang rusuk persegi kecil = 2 . 2 = 4

Perhatikan gambar diatas

lingkaran persegiarsiran L L L 4

22 214,344

56,12164

44,34

76,13

Jadi Luas daerah yang diarsir adalah 13,76

10.

Diketahui : Persegi ABCD memiliki panjang sisi 4

cm

E titik tengah CD DE = CE = 2 cm

F titik tengah AD AF = DF = 2 cm

Segitiga BAF = Segitiga BCE (S-Sd-S)

Karena E titik tengah CD dan F titik tengah AD maka

garis BE dan BF membagi garis AC menjadi tiga bagian sama panjang CH = GH =


68/177



AG =3

1AC

Perhatikan segitiga siku-siku ABC :

23

4

243

1

3

1

2444

2222

AC GH BC AB AC

22242

1

2

1 AC BO

BGH BAF persegi EDFGH L L L L 2

BOGH AF AB BC AB

2

1

2

12

222

3

4

2

124

2

1244

3

16

3

824

3

88

3

8816

Jadi Luas daerah EDFGH adalah3

16


69/177



BAB IV KOMBINATORIKA

1.1 PRINSIP DASAR PENDATAAN

Untuk melakukan pendataan, sangat diperlukan ketelitian. Terkadang prinsip dasar ini

mempermudah kalian dalam menyelesaikan soal jika kalian tidak mengingat rumus

penyelesaian. Akan tetapi, perlu diperhatikan pula bahwa prinsip dasar pendataan, untuk

beberapa kasus tertentu, justru menyita waktu untuk mengerjakan soal.

Contoh 1 Di warung Ibu Emi tersedia menu yang terdiri dari 5 jenis makanan yaitu: Nasi

Goreng (G), Nasi Campur (N), Puyung Hai (P), Cap Cay (C), dan Sayur Hijau

(S), serta 4 jenis minuman berbeda yaitu: Es Teh (T), Es Buah (B), Es Jeruk

(J), dan Kopi (K). Tentukan banyaknya macam hidangan berbeda yang dapat

dibuat dari satu jenis makanan dan satu jenis minuman?

Pembahasan :

Masalah tersebut merupakan masalah diskrit yang dapat dipecahkan dengan metode

mendata, dimana kemungkinan yang dapat diambil yaitu: GT; GB; GJ; GK; NT; NB; NJ;

NK; PT; PB; PJ; PK; CP; CB; CJ; CK; ST; SB; SJ; SK. Sehingga terdapat 20 cara.

1.2 PRINSIP PENJUMLAHAN (RULE OF SUM)

Definisi 1 Prinsip Penjumlahan

Jika ada sebanyak m cara untuk memilih benda jenis A dan ada n cara untuk

memiliih benda jenis B, maka ada sebanyak n + m cara untuk memiih benda

jenis A atau benda jenis B dengan A B = .

Secara umum apabila dalam suatu pelaksanaan tugas diperoleh hal:

tugas A dilaksanakan dengan m1 cara

tugas B dilaksanakan dengan m2 cara

tugas ke k dilaksanakan dengan mk cara

Dengan syarat tugas yang diberikan harus saling asing (disjoint), mka seluruh tugas dapat

dilaksanakan dengan m1 + m2 +…+ mk .


70/177



Contoh 2 Dalam suatu kartu bridge yang lengkap yaitu berjumlah 52 lembar kartu.

Berapa banyak cara untuk mengambil sebuah kartu jantung dan sebuah kartu

laying-layang?

Pembahasan :

Kartu jantung dan kartu laying-layang merupakan himpunan yang saling asing sehingga

irisan keduanya adalah himpunan kosong ( ) , maka banyaknya cara untuk mendapatkan

salah satunya adalah Jumlah dari banyaknya cara pada masing-masing bagian. Untuk

mendapatkan jantung terdapat 13 cara, dan untuk mendapatkan kartu laying-layang terdapat

13 cara (karena kartu jantung dan laying-layang masing-masing ada 13).

Jadi untuk medapatkan sebuah kartu jantung atau sebuah kartu laying-layang adalah 13 + 13

= 26 cara.

1.3 PRINSIP PERKALIAN (RULE OF PRODUCT)

Definisi 2 Prinsip Perkalian

Jika ada m cara untuk memilih benda jenis A dan untuk setiap pilihan tersebut

ada n cara untuk memilih benda jenis B, maka total ada sebanyak m n cara

untuk memilih satu benda jenis A dan satu benda jenis B.

Secara umum apabila diberikan suatu langkah yang terdiri dari beberapa tugas,

misalkan sebanyak k tugas dengan ketentuan berikut:

Jika tugas I dilaksanakan dengan m1 cara

Jika tugas II dilaksanakan dengan m2 cara

Jika tugas ke k dilaksanakan dengan mk cara

Dengan pelaksanaan yang saling lepas antara tugas satu dengan tugas yang lain, maka

pasangan tugas dalam suatu langkah dapat dilaksanakan dengan m1m2 … mk

Contoh 3 Andi mempunyai 3 buah celana dan 4 buah baju. Berapa banyak cara Andi

untuk memilih celana dan baju yang akan dipakai?

Pembahasan :

Karena banyaknya celana ada 3 maka banyaknya cara untuk memilih celana ada 3 cara, dan

banyaknya baju ada 4 maka banyaknya cara untuk memilih baju ada 4 cara.

Sehingga banyaknya cara untuk memilih celana dan baju yang akan dipakai oleh Andi adalah

3 x 4 = 12 cara.


71/177



1.4 PERMUTASI DAN KOMBINASI

1.4.1 Permutasi

Definisi 3 Permutasi

Susunan dari n unsur berbeda adalah banyaknya susunan tentu sajamemperhatikan urutannya.

Misalkan terdapat n unsur yang berbeda dan akan dihitung banyaknya permutasi. Karena

tidak boleh ada pengulangan, maka unsur pertama memiliki n kemungkinan, unsur kedua

memiliki (n – 1) kemungkinan, unsur ketiga memiliki (n – 2) kemungkinan, dan seterusnya

hingga unsur ke-n memiliki 1 kemungkinan, sehingga banyaknya permutasi n unsur adalah:

nnnnnn 1232112321

Definisi 4 Faktorial

Jika n bilangan asli, tulisan n!, dibaca n factorial, mempunyai arti sebagai

berikut.

12321! nnnn

Dan 0! = 1 (didefinisikan).

Sehingga permutasi n unsur yang berbeda adalah sebanyak n!. Yang dinotasikan dengan

!, n P P P n

nnnnn

Contoh 4 Berapa banyaknya permutasi dari angka 1 sampai 6?

Pembahasan :

Angka 1 sampai 6 terdiri dari 6 unsur yang berbeda, sehingga banyak permutasinya adalah

720123456!66

6 P

Jenis-jenis Permutasi

1.

Permutasi k Unsur dari n Unsur yang Berbeda, k ≤ n

Misalkan terdapat n unsur yang berbeda, dan k ≤ n, maka permutasi k unsur dari n unsur

adalah banyaknya susunan terurut yang terdiri dari k unsur yang diambil dari n unsur

yang ada.

1221 k nk nnnn P nk

nnnk nk n 1221

nnnk nk nk n k n 1221321 321


72/177



k n

nnnk nk nk n

321

1221321

!!

k n

n

Jadi !!

,k n

n P P P

n

k k nk n

; dengan k ≤ n.

Contoh 5 Tentukan banyaknya permutasi dari 3 huruf yang diambil dari A, B, C, D, E !

Pembahasan :

Permutasi 3 huruf dari 5 huruf :

60345

!2

!2345

!35

!553

P

Jadi banyaknya permutasi dari 3 huruf yang diambil dari A, B, C, D, E adalah 60

2. Permutasi n Unsur dari n Unsur dengan Beberapa Unsur yang Sama

Misalkan terdapat n unsur dengan beberapa di antaranya sama, yaitu terdapat sebanyak

n1 unsur q1, sebanyak n2 unsur q2,..., sebanyak nk unsur qk , dengan n1+ n2+...+ nk = n.

M aka banyaknya susunan terurut yang terdiri dari n unsur dengan beberapa unsur yang

sama yaitu:

!!!

!

21

,,,21

k

n

nnn

nnn

n P

k

Contoh 6 Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat disusun dari kata

“MATEMATIKA”?

Pembahasan :

Terdapat 10 huruf dari kata MATEMATIKA yang terdiri dari 2 huruf M, 3 huruf A, 2 huruf

T, 1 huruf E, 1 huruf I, dan 1 huruf K. Sehingga banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat

adalah :

15120023578910

1111212312

12345678910

!1!1!1!2!3!2

!10101,1,1,2,3,2

P

3. Permutasi Siklis (Melingkar)

Banyaknya permutasi siklis (melingkar) dari n unsur yang berbeda yaitu banyaknya cara

n unsur yang berbeda disusun terurut secara melingkar,

!1!

nn

n P siklisn

8/18/2019 BUKU GLM SMP edisi 7 r

BUKU GLM SMP edisi 7 revisi.pdf

Documents