Top Banner
1.Asal-Usul Bilangan Pi (π) 2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π 3. Referensi FILSAFAT SAINS NILAI PI (π) Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 February 28, 2016 Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)
32

Bilangan Pi

Apr 12, 2017

Download

Science

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

FILSAFAT SAINSNILAI PI (π)

Rukmono Budi UtomoNIM.30115301

February 28, 2016

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 2: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

Barisan Fibonacci

1 1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)

2 2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

3 3. Referensi

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 3: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

Bilangan Pi (π)

Bilangan Pi atau dilambangkan dengan π merupakan sebuahbilangan tak berujung yang diperoleh dari rasio atau perbandinganantara keliling suatu lingkaran dengan diameternya.

π Bukan Bilangan Rasional

Bilangan π bukanlah bilangan rasional, hal ini dikarenakanbilangan π tidak dapat disajikan oleh suatu pembagian a

b dengan adan b bilangan bulat dan b sendiri tidak boleh sama dengan nol.

Ilustrasi perhatikan gambar berikut

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 4: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

Bilangan Pi (π)

Bilangan Pi atau dilambangkan dengan π merupakan sebuahbilangan tak berujung yang diperoleh dari rasio atau perbandinganantara keliling suatu lingkaran dengan diameternya.

π Bukan Bilangan Rasional

Bilangan π bukanlah bilangan rasional, hal ini dikarenakanbilangan π tidak dapat disajikan oleh suatu pembagian a

b dengan adan b bilangan bulat dan b sendiri tidak boleh sama dengan nol.

Ilustrasi perhatikan gambar berikut

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 5: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

lanjutan

Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuanpanjang (meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingilingkatan tersebut.

lanjutan

Gambar pada slide sebelumnya merupakan sebuah lingkarandengan diameter d dan keliling c . Nilai π merupakan rasio ataspembagian atas c dengan d atau π = c

d

suatu lingkaran yang memiliki diameter dua kali lipat dari padalingkaran lainnya, maka lingkaran tersebut juga akan memilikikeliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingga nilai π nya akanselalu sama.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 6: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

lanjutan

Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuanpanjang (meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingilingkatan tersebut.

lanjutan

Gambar pada slide sebelumnya merupakan sebuah lingkarandengan diameter d dan keliling c . Nilai π merupakan rasio ataspembagian atas c dengan d atau π = c

d

suatu lingkaran yang memiliki diameter dua kali lipat dari padalingkaran lainnya, maka lingkaran tersebut juga akan memilikikeliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingga nilai π nya akanselalu sama.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 7: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

lanjutan

Apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuanpanjang (meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingilingkatan tersebut.

lanjutan

Gambar pada slide sebelumnya merupakan sebuah lingkarandengan diameter d dan keliling c . Nilai π merupakan rasio ataspembagian atas c dengan d atau π = c

d

suatu lingkaran yang memiliki diameter dua kali lipat dari padalingkaran lainnya, maka lingkaran tersebut juga akan memilikikeliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingga nilai π nya akanselalu sama.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 8: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut bangsa Babilonia

Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwaorang-orang dari bangsa babilonia sudah mengenai suatu bilanganyang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa Babiloniamenetapkan nilai π = 3

Merasa bahwa nilai π = 3, maka pada tahun 1900-1600 SMbangsa babilonia menetapkan bilangan π = 3.125 atau 25

8

Pada tahun 1850 SM, bangsa mesir telah melakukanperhitungan luas lingkaran dengan menggunakan nilaiπ = 162

92≈ 3.1605

Sejak 150 SM, Bangsa india menetapkan bahwa bilanganπ =√

10 ≈ 3.1622

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 9: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut bangsa Babilonia

Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwaorang-orang dari bangsa babilonia sudah mengenai suatu bilanganyang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa Babiloniamenetapkan nilai π = 3

Merasa bahwa nilai π = 3, maka pada tahun 1900-1600 SMbangsa babilonia menetapkan bilangan π = 3.125 atau 25

8

Pada tahun 1850 SM, bangsa mesir telah melakukanperhitungan luas lingkaran dengan menggunakan nilaiπ = 162

92≈ 3.1605

Sejak 150 SM, Bangsa india menetapkan bahwa bilanganπ =√

10 ≈ 3.1622

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 10: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut bangsa Babilonia

Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwaorang-orang dari bangsa babilonia sudah mengenai suatu bilanganyang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa Babiloniamenetapkan nilai π = 3

Merasa bahwa nilai π = 3, maka pada tahun 1900-1600 SMbangsa babilonia menetapkan bilangan π = 3.125 atau 25

8

Pada tahun 1850 SM, bangsa mesir telah melakukanperhitungan luas lingkaran dengan menggunakan nilaiπ = 162

92≈ 3.1605

Sejak 150 SM, Bangsa india menetapkan bahwa bilanganπ =√

10 ≈ 3.1622

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 11: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut Archimides

Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya danmetode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan daricatatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM.

Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedessebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagaisuatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi.

Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkanpanjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagaiperimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehinggadihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223

71 < π < 227

Pendekatan nilai π = 227 yang sempat dikenal sebagai

konstanta Archimedes masih digunakan hingga sekarang

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 12: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut Archimides

Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya danmetode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan daricatatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM.

Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedessebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagaisuatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi.

Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkanpanjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagaiperimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehinggadihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223

71 < π < 227

Pendekatan nilai π = 227 yang sempat dikenal sebagai

konstanta Archimedes masih digunakan hingga sekarang

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 13: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut Archimides

Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya danmetode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan daricatatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM.

Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedessebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagaisuatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi.

Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkanpanjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagaiperimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehinggadihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223

71 < π < 227

Pendekatan nilai π = 227 yang sempat dikenal sebagai

konstanta Archimedes masih digunakan hingga sekarang

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 14: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π menurut Archimides

Defnisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya danmetode pendekatan yang lebih akurat dapat ditemukan daricatatan ilmuwan Yunani yakni Archimedes pada tahun 250 SM.

Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedessebagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagaisuatu polygon, yakni bentuk segi-banyak sama sisi.

Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkanpanjang sisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagaiperimeter dalam dan perimeter luar suatu lingkaran, sehinggadihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223

71 < π < 227

Pendekatan nilai π = 227 yang sempat dikenal sebagai

konstanta Archimedes masih digunakan hingga sekarang

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 15: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

ilustrasi nilai π Archimides

Arcimides bereksplorasi pada bidang polygon segi-96 . MenurutAechimides, semakin banyak segi yang dibuat dan mendekatibentuk lingkaran utuh, maka nilai π akan semakin akurat.

Figure: Nilai π dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligondalam dan luar lingkaran

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 16: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

ilustrasi nilai π Archimides

Arcimides bereksplorasi pada bidang polygon segi-96 . MenurutAechimides, semakin banyak segi yang dibuat dan mendekatibentuk lingkaran utuh, maka nilai π akan semakin akurat.

Figure: Nilai π dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligondalam dan luar lingkaran

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 17: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π dengan Poligon

Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun 1400-1700 Masehiyang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π,diantaranya :

Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilaiπ pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2228

Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3x217

Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit padatahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienbergermencapai 38 digit pada tahun 1630 adalah nilai terakuratyang didapatkan secara perhitungan manual menggunakanpendekatan poligon.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 18: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π dengan Poligon

Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun 1400-1700 Masehiyang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π,diantaranya :

Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilaiπ pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2228

Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3x217

Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit padatahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienbergermencapai 38 digit pada tahun 1630 adalah nilai terakuratyang didapatkan secara perhitungan manual menggunakanpendekatan poligon.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 19: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π dengan Poligon

Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun 1400-1700 Masehiyang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π,diantaranya :

Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilaiπ pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2228

Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3x217

Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit padatahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienbergermencapai 38 digit pada tahun 1630 adalah nilai terakuratyang didapatkan secara perhitungan manual menggunakanpendekatan poligon.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 20: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π dengan Poligon

Selain Archimides, banyak ilmuwan pada tahun 1400-1700 Masehiyang meneliti nilai pendekatan yang lebih akurat dari nilai π,diantaranya :

Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilaiπ pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3x2228

Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3x217

Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit padatahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienbergermencapai 38 digit pada tahun 1630 adalah nilai terakuratyang didapatkan secara perhitungan manual menggunakanpendekatan poligon.

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 21: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π Pada Abad ke 16 dan 17 dengan Deret

Beberapa Ilmuwan pada abad ke 16 dan 17 merumuskan beberapaderet sebagai usaha untuk memperoleh hampiran π yang lebihakurat, diantaranya

matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1593merumuskan suatu perkalian tak hingga

2

π=

√2

2

√2 +√

2

2

√2 +

√2√

2

2· · ·

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deretGregory-Leibniz untuk menghampiri bilanganπ

π

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 22: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π Pada Abad ke 16 dan 17 dengan Deret

Beberapa Ilmuwan pada abad ke 16 dan 17 merumuskan beberapaderet sebagai usaha untuk memperoleh hampiran π yang lebihakurat, diantaranya

matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1593merumuskan suatu perkalian tak hingga

2

π=

√2

2

√2 +√

2

2

√2 +

√2√

2

2· · ·

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deretGregory-Leibniz untuk menghampiri bilanganπ

π

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 23: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Penentuan nilai π Pada Abad ke 16 dan 17 dengan Deret

Beberapa Ilmuwan pada abad ke 16 dan 17 merumuskan beberapaderet sebagai usaha untuk memperoleh hampiran π yang lebihakurat, diantaranya

matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1593merumuskan suatu perkalian tak hingga

2

π=

√2

2

√2 +√

2

2

√2 +

√2√

2

2· · ·

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deretGregory-Leibniz untuk menghampiri bilanganπ

π

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 24: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

lanjutan

Gregory-Leibniz merumuskan Deret tak terhingga untukmenaksi nilai π yakni

π =4

1− 4

3+

4

5− 4

7+

4

9− · · ·+ · · ·

Nilakantha pada abad ke 15 memperkenalkan sebuah deretyang lebih cepat berkonvergen untuk menghampiri niai i π

π = 3 +4

(2) (3) (4)− 4

(4) (5) (6)+

4

(6) (7) (8)− · · ·+ · · ·

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 25: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

lanjutan

Gregory-Leibniz merumuskan Deret tak terhingga untukmenaksi nilai π yakni

π =4

1− 4

3+

4

5− 4

7+

4

9− · · ·+ · · ·

Nilakantha pada abad ke 15 memperkenalkan sebuah deretyang lebih cepat berkonvergen untuk menghampiri niai i π

π = 3 +4

(2) (3) (4)− 4

(4) (5) (6)+

4

(6) (7) (8)− · · ·+ · · ·

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 26: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Setelah Era pendekatan nilai π dengan Poligon seperti yangdilakukan Archimides dan Francois Viete pada tahun 1400-1700Masehi, pada awal abad ke 20, Banyak ilmuwan menggunakankomputer untuk mendapatkan hampiran dari π diantaranya:

Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan timnya di Universityof Tokyo memperoleh pendekatan π lebih dari 200 miliarangka desimal menggunakan super komputer HITACHISR8000/MPP

Pada Agustus 2009, Daisuke Takahashi menggunakan superkomputer T2K Open dan memperoleh pendekatan nilai πdalam 2.576.980.377.524 angka desimal

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 27: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Setelah Era pendekatan nilai π dengan Poligon seperti yangdilakukan Archimides dan Francois Viete pada tahun 1400-1700Masehi, pada awal abad ke 20, Banyak ilmuwan menggunakankomputer untuk mendapatkan hampiran dari π diantaranya:

Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan timnya di Universityof Tokyo memperoleh pendekatan π lebih dari 200 miliarangka desimal menggunakan super komputer HITACHISR8000/MPP

Pada Agustus 2009, Daisuke Takahashi menggunakan superkomputer T2K Open dan memperoleh pendekatan nilai πdalam 2.576.980.377.524 angka desimal

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 28: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Nilai π dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Setelah Era pendekatan nilai π dengan Poligon seperti yangdilakukan Archimides dan Francois Viete pada tahun 1400-1700Masehi, pada awal abad ke 20, Banyak ilmuwan menggunakankomputer untuk mendapatkan hampiran dari π diantaranya:

Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan timnya di Universityof Tokyo memperoleh pendekatan π lebih dari 200 miliarangka desimal menggunakan super komputer HITACHISR8000/MPP

Pada Agustus 2009, Daisuke Takahashi menggunakan superkomputer T2K Open dan memperoleh pendekatan nilai πdalam 2.576.980.377.524 angka desimal

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 29: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

lanjutan

Selain itu banyak ilmuwan lain berhasil merumuskan algoritmaderet kreatif untuk memperoleh pendekatan π, diantaranya:

(3).Pada akhir tahun 1800 dan awal 1900, matematikawanIndia Srinivasa Ramanujan deret untuk yang didasarkan padapersamaan modular nila yakni

1

π=

2√

2

9801

∞∑k=0

(4k)! (1103 + 26390k)

k!4(3964k

)Algoritma ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995oleh Simon Plouffe yang berbunyi

π =∞∑i=1

1

16i

(4

8i + 1− 2

8i + 4− 1

8i + 5− 1

8i + 6

)

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 30: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

lanjutan

Selain itu banyak ilmuwan lain berhasil merumuskan algoritmaderet kreatif untuk memperoleh pendekatan π, diantaranya:

(3).Pada akhir tahun 1800 dan awal 1900, matematikawanIndia Srinivasa Ramanujan deret untuk yang didasarkan padapersamaan modular nila yakni

1

π=

2√

2

9801

∞∑k=0

(4k)! (1103 + 26390k)

k!4(3964k

)

Algoritma ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995oleh Simon Plouffe yang berbunyi

π =∞∑i=1

1

16i

(4

8i + 1− 2

8i + 4− 1

8i + 5− 1

8i + 6

)

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 31: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

2.1. Sebelum Masehi-Awal Masehi2.2.Awal tahun 1400-1700 Masehi2.3 Abad 16 dan 172.4.Pembuktian dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

lanjutan

Selain itu banyak ilmuwan lain berhasil merumuskan algoritmaderet kreatif untuk memperoleh pendekatan π, diantaranya:

(3).Pada akhir tahun 1800 dan awal 1900, matematikawanIndia Srinivasa Ramanujan deret untuk yang didasarkan padapersamaan modular nila yakni

1

π=

2√

2

9801

∞∑k=0

(4k)! (1103 + 26390k)

k!4(3964k

)Algoritma ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995oleh Simon Plouffe yang berbunyi

π =∞∑i=1

1

16i

(4

8i + 1− 2

8i + 4− 1

8i + 5− 1

8i + 6

)Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)

Page 32: Bilangan Pi

1.Asal-Usul Bilangan Pi (π)2. Usha-Usaha Pendekatan Nilai π

3. Referensi

Referensi

http://heroe.staf.telkomuniversity.ac.id/?p=133

www.misteri nilai pi rumus luas dan keliling lingkaran

www.wikipedia/nilai pi

Rukmono Budi Utomo NIM.30115301 FILSAFAT SAINS NILAI PI (π)