Bilangan-kompleks . Kulahh

1

ANALISA KOMPLEKS

1. Bilangan Kompleks

Bentuk umum bilangan kompleks yang digunakan pada persamaan (1)

berikut

z = a + ib (1)

dimana

- z : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk rectangular

- a : bilangan nyata

- b : bilangan khayal

Operasi-operasi pada bilangan kompleks sebagai berikut

o Penjumlahan

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z + z = a + ib a + ib a + a i b + b+ = + (2)

o Pengurangan

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z - z = a + ib a + ib a - a i b - b− = + (3)

o Perkalian

( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z = a + ib a + ib a a - b b i a b + a b= + (4)

o Pembagian

( )( )

( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 1 1 21

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

a + ib a a + b b a b - a bz = i

z a + ib a b a b= +

+ + (5)

Bilangan kompleks konjugat dinyatakan oleh persamaan (6) berikut

z = a - ib (6)

2. Bilangan Kompleks Dalam Koordinat Kutub, Akar dan Pangkat

Bentuk umum bilangan kompleks dalam koordinat kutub didefinisikan pada

persamaan (7) berikut

z = r θ = r cos θ + i r sin θ∠ (7)

dimana

- z : ekspresi bilangan kompleks dalam bentuk polar

- r : nilai mutlak atau modulus dari z

2

- θ : argument dari z ( radian atau derjat)

Nilai modulus r diperoleh dari persamaan (8) berikut

2 2r = z = a + b (8)

Nilai θ diperoleh dari persamaan (9) berikut

1 bθ = arg z = tan

a

− (9)

Dengan nilai utama pada persamaan (10) berikut

π < θ π≤ (10)

Operasi-operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (11)

s/d (14) berikut

o Perkalian

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2z z = r r cos θ + θ + i sin θ + θ (11)

o Pembagian

( ) ( )1 11 2 1 2

2 2

z r = cos θ - θ + i sin θ - θ

z r (12)

o Pangkat Bulat

( )n nz = r cos nθ + i sin nθ (13)

o Akar

n n θ + 2kπ θ + 2kπz r cos i sin

n n

= + (14)

Nilai n z yang diperoleh dengan mengambil nilai utama θ dan k = 0 .

3. Limit, Turunan dan Fungsi Kompleks

Bentuk umum fungsi kompleks pada persamaan (15) berikut

( ) ( ) ( )w = f z = u x,y + iv x,y (15)

Suatu fungsi ( )f z dikatakan mempuyai limit l untuk z mendekati titik 0z

dituliskan dalam bentuk persamaan (16) berikut

( )0z z

lim f z = l→ (16)

Turunan suatu fungsi kompleks ( )f z di titik 0z didefinisikan pada persamaan

(17) berikut

3

( ) ( ) ( )0

0 0'

0∆z z

f z + ∆z - f zf z lim = l

∆z→= (17)

Ada beberapa perintah Matlab yang digunakan untuk menghitung limit fungsi

kompleks adalah

limit(expr, x, a) limit(expr, a) limit(expr) limit(expr, x, a, 'left') limit(expr, x, a, 'right')

4. Fungsi Eksponensial

Bentuk umum fungsi eksponensial kompleks pada persamaan (18) berikut

( )z xe = e cosy + i sin y (18)

5. Fungsi Trigonometrik dan Fungsi Hiperbolik

Bentuk umum fungsi trigonometrik dalam bilangan kompleks pada

persamaan (19) s/d (24) berikut

( )iz -iz1cos z = e + e

2 (19)

( )iz -iz1sin z = e - e

2i (20)

Selain itu didefinisikan juga bentuk – bentuk fungsi trigonometrik yang lain pada


sin ztan z =

cos z (21)

cos zcot z =

sin z (22)

1sec z =

cos z (23)

1cos z =

sin z (24)

Bentuk umum fungsi Hiperbolik dalam bilangan kompleks pada persamaan (25)

s/d (26) berikut

( )z -z1cosh z = e + e

2 (25)

( )z -z1sinh z = e - e

2 (26)

4

Selain itu didefinisikan juga fungsi-fungsi hiperbolik lain pada persamaan (27) s/d

(30) berikut

sinh ztanh z =

cosh z (27)

cosh zcoth z =

sinh z (28)

1sech z =

cosh z (29)

1cosh z =

sinh z (30)

Selain itu fungsi-fungsi trigonometrik dan hiperbolik komplek saling berkaitan

dalam bentuk fungsi-fungsi pada persamaan (31) s/d (34) berikut

cosh iz = cos z

(31)

sinh iz = i sin z

(32)

cos iz = cosh z

(33)

sin iz = i sinh z

(34)

6. Logaritma dan Pangkat Umum

Bentuk umum logaritma bilangan kompleks pada persamaan (35) berikut

ln z = ln r + iθ (35)

Nilai utama dari dari ln z pada persamaan (36) berikut

ln z = ln z + i arg z

(36)

Sifat- sifat logaritma asli yang berlaku untuk logaritma kompleks pada persamaan

(37) s/d (39) berikut

( )1 2 1 2ln z z = ln z + ln z (37)

11 2

2

zln = ln z - ln z

z

(38)

( )( )' 1ln z =

z (39)

Pangkat umum bilangan kompleks pada persamaan (40) berikut

z z ln aa = e (40)

5

7. Integral Kompleks

Bentuk umum integral kompleks adalah

( ) ( ) ( )1

0

1 0f z dz = F z F z

z

z

−∫ (41)

8 Beberapa Fungsi Matlab Untuk Bilangan Kompleks

Beberapa fungsi Matlab yang digunakan dalam analisa kompleks

diantaranya

Tabel 1. Fungsi – Fungsi Analisa Kompleks

Fungsi Keterangan

abs(X) Harga mutlak bilangan kompleks

angle(Z) Sudut fase bilangan kompleks

complex(a,b) Membentuk bilangan kompleks dari bagian nyata dan khayal

conj(Z) Konjugate bilangan kompleks

real(Z) Bagian nyata bilangan kompleks

imag(Z) Bagian khayal bilangan kompleks

9. Contoh Soal dan Jawab

Contoh 1 : Dengan menggunakan Matlab, nyatakan bilangan kompleks pada


a. 1z =3 + i4 (42)

b. 2z =3 - i4 (43)

c. 3z = -3 + i4 (44)

d. 4z = -3 - i4 (45)

Jawab :

Adapun kode Matlab untuk penyelesaian persamaan (42) s/d (45) adalah

clc

clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(3,-4) Z3 = complex(-3,4) Z4 = complex(-3,-4) % Bentuk Polar disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_abs = abs(Z1) Z1_Sud = angle(Z1)

6

disp('Bilangan Kompleks Z1') Z2_abs = abs(Z2) Z2_Sud = angle(Z2) disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_abs = abs(Z3) Z3_Sud = angle(Z3) disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_abs = abs(Z4) Z4_Sud = angle(Z4)

Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 3.0000 - 4.0000i Z3 = -3.0000 + 4.0000i Z4 = -3.0000 - 4.0000i

Contoh 2 : Dengan menggunakan Matlab, jika 1z =3 + j4 dan 2z = 8 + j6 hitung

operasi aritmetik pada persamaan (46) s/d (49) berikut

a. a 1 2z = z + z (46)

b. b 1 2z = z - z (47)

c. c 1 2z = z z (48)

d. 1d

2

zz =

z (49)


clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) % Operasi Aritmetik disp('Penjumlahan Bilangan Kompleks') Za = Z1 + Z2 disp('Pengurangan Bilangan Kompleks') Zb = Z1 - Z2 disp('Perkalian Bilangan Kompleks') Zc = Z1*Z2 disp('Pembagian Bilangan Kompleks') Zd = Z1/Z2

7

Hasil program Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i Penjumlahan Bilangan Kompleks Za = 11.0000 +10.0000i Pengurangan Bilangan Kompleks Zb = -5.0000 - 2.0000i Perkalian Bilangan Kompleks Zc = 0 +50.0000i Pembagian Bilangan Kompleks Zd = 0.4800 + 0.1400i

Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (50) s/d (53) berikut

a. a 1 2z = z + z 11.0000 + i10.0000= (50)

b. b 1 2z = z - z 5.0000 i2.0000= − − (51)

c. c 1 2z = z z i50.0000= (52)

d. 1d

2

zz = 0.4800 i0.1400

z= +

(53)

Contoh 3 : Dengan menggunakan Matlab, jika 1z =3 + i4 , 2z = 8 + i6 dan

3z = 12 + i13 tentukan

a. 1z

(54)

b. 2z

(55)

c. 3z

(56)

d. ( )a 1 3z = re z + z (57)

e. ( )b 1 2z = im z - z (58)

f. ( )c 1 2z = re z z (59)

g. 1d

3

zz = im

z

(60)

8


clc clear all close all % Z1 = complex(3,4) Z2 = complex(8,6) Z3 = complex(12,13) % z1_a = conj(Z1) z2_a = conj(Z2) z3_a = conj(Z3) Za = real(Z1 + Z2) zb = imag(Z1 - Z2) zc = real(Z1*Z2) zd = imag(Z1/Z3)

Hasil program

Z1 = 3.0000 + 4.0000i Z2 = 8.0000 + 6.0000i Z3 = 12.0000 +13.0000i z1_a = 3.0000 - 4.0000i z2_a = 8.0000 - 6.0000i z3_a = 12.0000 -13.0000i Za = 11 zb = -2 zc = 0 zd = 0.0288


a. 1z 3.0000 - i4.0000=

(61)

b. 2z 8.0000 - i6.0000=

(62)

c. 3z 12.0000 i13.0000= −

(63)

9

d. ( )a 1 3z = re z + z 11.0000= (64)

e. ( )b 1 2z = im z - z 2.0000= − (65)

f. ( )c 1 2z = re z z 0.0000= (66)

g. 1d

3

zz = im 0.0288

z

=

(67)


persamaan (68) s/d (71) bentuk dalam bentuk kutub

a. 1z =1 + i4 (68)

b. 2z = 1 - i4 (69)

c. 3z = -1 + i4 (70)

d. 4z = -1 - i4 (71)


clc clear all close all % Z1 = complex(1,4) Z2 = complex(1,-4) Z3 = complex(-1,4) Z4 = complex(-1,-4) % Bilangan Kompleks Z1 disp('Bilangan Kompleks Z1 (Kutub)') z1_r = abs(Z1) z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z2 disp('Bilangan Kompleks Z2 (Kutub)') z2_r = abs(Z2) z2_sud_rad = angle(Z2) % Radian z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z3 disp('Bilangan Kompleks Z3 (Kutub)') z3_r = abs(Z3) z3_sud_rad = angle(Z3) % Radian z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % Derjat % Bilangan Kompleks Z4 disp('Bilangan Kompleks Z4 (Kutub)') z4_r = abs(Z4) z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat

10

Hasil program Z1 = 1.0000 + 4.0000i Z2 = 1.0000 - 4.0000i Z3 = -1.0000 + 4.0000i Z4 = -1.0000 - 4.0000i Bilangan Kompleks Z1 (Kutub) z1_r = 4.1231 z1_sud_rad = 1.3258 z1_sud_deg = 75.9638 Bilangan Kompleks Z2 (Kutub) z2_r = 4.1231 z2_sud_rad = -1.3258 z2_sud_deg = -75.9638 Bilangan Kompleks Z3 (Kutub) z3_r = 4.1231 z3_sud_rad = 1.8158 z3_sud_deg = 104.0362 Bilangan Kompleks Z4 (Kutub) z4_r = 4.1231 z4_sud_rad = -1.8158 z4_sud_deg = -104.0362


a. 0

1z =1 + i4 = 4.1231 1.3258 = 4.1231 75.9638∠ ∠ (72)

b. 0

2z =1 - i4 = 4.1231 1.3258 = 4.1231 75.9638∠− ∠−

(73)

c. 0

3z = -1 + i4 = 4.1231 1.8158 = 4.1231 104.0362∠ ∠

(74)

d. 0

4z = -1 - i4 = 4.1231 1.8158 = 4.1231 104.0362∠− ∠−

(75)

11


persamaan (76) s/d (79) bentuk dalam bentuk rectangular berikut

a. 0

1z = 4 90 ∠ (76)

b. 0

2z = 5 135∠ (77)

c. 0

3z = π 45∠ (78)

d. 0

4z = 50 120∠ (79)


clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((90/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((90/180)*pi); Z1 = complex(Z1_a,Z1_b) % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 5 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 4 * sin((135/180)*pi); Z2 = complex(Z2_a,Z2_b) % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3 = complex(Z3_a,Z3_b) % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 5 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 5 * sin((120/180)*pi); Z4 = complex(Z4_a,Z4_b) Hasil Program Bilangan Kompleks Z1 Z1 = 0.0000 + 4.0000i Bilangan Kompleks Z2 Z2 = -3.5355 + 2.8284i Bilangan Kompleks Z3 Z3 = 2.2214 + 2.2214i Bilangan Kompleks Z4 Z4 = -2.5000 + 4.3301i

12


a. 0

1z = 4 90 = 0.0000 + i4.0000∠ (80)

b. 0

2z = 5 135 -3.5355 + i2.8284∠ = (81)

c. 0

3z = π 45 2.2214 i2.2214∠ = + (82)

d. 0

4z = 50 120 2.5000 i4.3301∠ = − + (83)

Contoh 6 : Dengan menggunakan Matlab, hitung penjumlahan dan perkalian

bilangan kompleks pada persamaan (84) s/d (87) dalam bentuk kutub berikut

a. 0 0

1z = 4 75 + 5 135∠ ∠ (84)

b. 0 0

2z = 15 135 10 105∠ + ∠ (85)

c. 0 0

3z = π 45 0.5 75∠ − ∠ (86)

d. 0 0

4z = 50 120 25 60∠ − ∠ (87)


clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Z1') Z1_a = 4 * cos((75/180)*pi); Z1_b = 4 * sin((75/180)*pi); Z1_1 = complex(Z1_a,Z1_b); Z1_c = 15 * cos((135/180)*pi); Z1_d = 15 * sin((135/180)*pi); Z1_2 = complex(Z1_c,Z1_d); Z1 = Z1_1 + Z1_2; Z1_abs = abs(Z1) Z1_sud_rad = angle(Z1) % Radian Z1_sud_deg = (angle(Z1)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z2') Z2_a = 15 * cos((135/180)*pi); Z2_b = 15 * sin((135/180)*pi); Z2_1 = complex(Z2_a,Z2_b); Z2_c = 10 * cos((105/180)*pi); Z2_d = 10 * sin((105/180)*pi); Z2_2 = complex(Z2_c,Z2_d); Z2 = Z2_1 + Z2_2; Z2_abs = abs(Z2) Z2_sud_rad = angle(Z2) % Radian

13

Z2_sud_deg = (angle(Z2)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z3') Z3_a = pi * cos((45/180)*pi); Z3_b = pi * sin((45/180)*pi); Z3_1 = complex(Z3_a,Z3_b); Z3_c = 0.5 * cos((75/180)*pi); Z3_d = 0.5 * sin((75/180)*pi); Z3_2 = complex(Z3_c,Z3_d); Z3 = Z3_1 - Z3_2; Z3_abs = abs(Z3) Z3_sud_rad = angle(Z3) % Radian Z3_sud_deg = (angle(Z3)/pi)*180 % Derjat % disp('Bilangan Kompleks Z4') Z4_a = 50 * cos((120/180)*pi); Z4_b = 50 * sin((120/180)*pi); Z4_1 = complex(Z4_a,Z4_b); Z4_c = 25 * cos((60/180)*pi); Z4_d = 25 * sin((60/180)*pi); Z4_2 = complex(Z4_c,Z4_d); Z4 = Z4_1 - Z4_2; Z4_abs = abs(Z4) Z4_sud_rad = angle(Z4) % Radian Z4_sud_deg = (angle(Z4)/pi)*180 % Derjat

Hasil program Bilangan Kompleks Z1 Z1_abs = 17.3494 Z1_sud_rad = 2.1552 Z1_sud_deg = 123.4825 Bilangan Kompleks Z2 Z2_abs = 24.1828 Z2_sud_rad = 2.1479 Z2_sud_deg = 123.0675 Bilangan Kompleks Z3 Z3_abs = 2.7201 Z3_sud_rad = 0.6934 Z3_sud_deg = 39.7266 Bilangan Kompleks Z4

14

Z4_abs = 43.3013 Z4_sud_rad = 2.6180 Z4_sud_deg = 150


a. 0 0 0 '

1z = 4 75 + 5 135 17.3494 123 .3494∠ ∠ = ∠ (88)

b. 0 0 0 '

2z = 15 135 10 105 24.1828 123 .0675∠ + ∠ = ∠ (89)

c. 0 0 0 '

3z = π 45 0.5 75 2.7201 39 .7266∠ − ∠ = ∠ (90)

d. 0 0 0

4z = 50 120 25 60 43.3013 150∠ − ∠ = ∠ (91)

Contoh 7 : Dengan menggunakan Matlab, hitung perkalian dan pembagian

kompleks dalam bentuk kutub pada persamaan (92) s/d (95) berikut

a. ( )( )0 0

az = 10 37 4 322∠ ∠ (92)

b. ( )( )0 0

bz = π 137 0.5 22∠ ∠ (93)

c. ( )( )

0

c 0

3π 167z =

5 20

∠

∠ (94)

d. ( )( )

0

d 0

10 37z =

4 322

∠

∠ (95)


clc clear all close all % disp('Bilangan Kompleks Za') Z1_abs = 10.0000; Z1_sud = (37/180)*pi; Z2_abs = 4.0000; Z2_sud = (322/180)*pi; Za_abs = Z1_abs*Z2_abs Za_sud = ((Z1_sud + Z2_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zb') Z3_abs = pi; Z3_sud = (137/180)*pi; Z4_abs = 0.5000;

15

Z4_sud = (22/180)*pi; Zb_abs = Z3_abs*Z4_abs Zb_sud = ((Z3_sud + Z4_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zc') Z5_abs = (3*pi); Z5_sud = (167/180)*pi; Z6_abs = 5.0000; Z6_sud = (20/180)*pi; Zc_abs = Z5_abs/Z6_abs Zc_sud = ((Z5_sud - Z6_sud)/pi)*180 % derjat % disp('Bilangan Kompleks Zd') Z7_abs = 10.0000; Z7_sud = (37/180)*pi; Z8_abs = 4.0000; Z8_sud = (322/180)*pi; Zd_abs = Z7_abs/Z8_abs Zd_sud = ((Z7_sud - Z8_sud)/pi)*180 % derjat Hasil program Bilangan Kompleks Za Za_abs = 40 Za_sud = 359 Bilangan Kompleks Zb Zb_abs = 1.5708 Zb_sud = 159.0000 Bilangan Kompleks Zc Zc_abs = 1.8850 Zc_sud = 147 Bilangan Kompleks Zd Zd_abs = 2.5000 Zd_sud = -285


a. ( )( )0 0 0

az = 10 37 4 322 40 359∠ ∠ = ∠ (96)

b. ( )( )0 0

bz = π 137 0.5 22 1.5708 159.0000∠ ∠ = ∠ (97)

16

c. ( )( )

0

0

c 0

3π 167z = 1.8850 147

5 20

∠= ∠

∠ (98)

d. ( )( )

0

0

d 0

10 37z = 2.5000 285

4 322

∠= ∠−

∠ (99)

Contoh 8 : Dengan menggunakan Matlab, selesaikan operasi bilangan kompleks

pada persamaan (100) s/d (103) berikut

a. ( ) ( )2 z - 5 + i z + 8 + i = 0 (100)

b. ( )2 z - 3z + 3 + i = 0 (101)

c. 3 + i4 (102)

d. 8 2i (103)


clc clear all close all % Soal a p1 = [1 -(5 + i) (8+i)] roots(p1) % Soal b p2 = [ 1 -3 ( 3 + i)] roots(p2) % Soal c p3 = (3 + i*4)^0.5 % Soal d p3 = (i*2)^(1/8)

Hasil program

p1 =

1.0000 -5.0000 - 1.0000i 8.0000 + 1.0000i

ans =

3.0000 + 2.0000i

2.0000 - 1.0000i

p2 =

1.0000 -3.0000 3.0000 +

1.0000i

17

ans =

2.0000 - 1.0000i

1.0000 + 1.0000i

p3 =

2.0000 + 1.0000i

P4 =

1.0696 + 0.2127i

Hasil program menunjukkan bahwa

a. ( ) ( )2 z - 5 + i z + 8 + i = 0 (104)

diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (104) berikut

1 z = 3.0000 + i2.0000

(105)

2 z = 2.0000 - i

(106)

b. ( )2 z - 3z + 3 + i = 0 (107)

diperoleh nilai-nilai akar dari persamaan (108) berikut

1 z = 3.0000 + i2.0000

(109)

2 z = 2.0000 - i

(110)

c. 3 + i4 2.0000 i= + (111)

d. 8 2i 1.0696 i0.2127= + (112)

Contoh 9 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui 1 z = 3.0000 + i2.0000

dan 2 z = 2.0000 - i5.0000 . Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan

(113) s/d (116) berikut

a. ( )2

1 2z - 2z + 8 + i (113)

b. ( )2

1 22z - 3z + 3 + i = 0 (114)

c. 1 2z + z (115)

d. 31 2z z (116)


clc clear all

18

close all z1 = complex(3,2); z2 = complex(2,-5); % Soal a f_1 = z1^2 - 2*z2 + (8 + i) % Soal b f_2 = 2*z1^2 - 3*z2 + ( 3 + i) % Soal c f_3 = (z1 + z2)^0.5 % Soal d f_4 = (z1*z2)^(1/3)

Hasil program

f_1 =

9.0000 +23.0000i

f_2 =

7.0000 +40.0000i

f_3 =

2.3271 - 0.6446i

f_4 =

2.6338 - 0.5360i


a.

( )2

1 2z - 2z + 8 + i 9.0000 i23.0000= + (117)

b. ( )2

1 22z - 3z + 3 + i = 7.0000 + i40.0000 (118)

c. 1 2z + z 2.3271 i0.6446= − (119)

d. 31 2z z 2.6388 j0.5360= − (120)

Contoh 10 : Dengan menggunakan Matlab, jika diketahui

1 z = 2.0000 + i5.0000 (121)

2 z = i3.0000 . (122)

3 z = -4 + i2.0000

(123)

Selesaikan operasi bilangan kompleks pada persamaan (124) s/d (132) berikut

a. ( ) 2

1 1f z = 3z + z (124)

b. ( ) 2

2 2f z = 3z + z (125)

19

c. ( ) 2

3 3f z = 3z + z

(126)

d. ( ) 2

1

1f z =

2z (127)

e. ( ) 2

2

1f z =

2z (128)

f. ( ) 2

3

1f z =

2z (129)

g. ( ) ( )( )

1

1

z + 1f z =

z - 1 (130)

h. ( ) ( )( )

2

2

z + 1f z =

z - 1 (131)

i. ( ) ( )( )

3

3

z + 1f z =

z - 1 (132)


clc clear all close all % z1 = complex(2,5) z2 = complex(0,3) z3 = complex(-4,2) % soal a f_a = 3*z1^2 + z1 % soal b f_b = 3*z2^2 + z2 % soal c f_c = 3*z3^2 + z3 % soal d f_d = 1/2*z1^2 % soal e f_e = 1/2*z2^2 % soal f f_f = 1/2*z3^2 % soal g f_g = (z1 + 1)/(z1 - 1) % soal h f_h = (z2 + 1)/(z2 - 1) % soal i f_i = (z3 + 1)/(z3 - 1)

20

Hasil program

z1 = 2.0000 + 5.0000i z2 = 0 + 3.0000i z3 = -4.0000 + 2.0000i f_a = -61.0000 +65.0000i f_b = -27.0000 + 3.0000i f_c = 32.0000 -46.0000i f_d = -10.5000 +10.0000i f_e = -4.5000 f_f = 6.0000 - 8.0000i f_g = 1.0769 - 0.3846i f_h = 0.8000 - 0.6000i f_i = 0.6552 - 0.1379i


a. ( ) 2

1 1f z = 3z + z 61.0000 i65.0000= − + (133)

b. ( ) 2

2 2f z = 3z + z 27.0000 i3.0000= − + (134)

c. ( ) 2

3 3f z = 3z + z 32.0000 i46.0000= −

(135)

d. ( ) 2

1

1f z = 10.5000 i10.000

2z= − + (136)

e. ( ) 2

2

1f z = 4.5000

2z= − (137)

f. ( ) 2

3

1f z = 6.0000 i8.0000

2z= − (138)

g. ( ) ( )( )

1

1

z + 1f z = 1.0769 i0.3846

z - 1= − (139)

h. ( ) ( )( )

2

2

z + 1f z = 0.8000 i0.6000

z - 1= − (140)

21

i. ( ) ( )( )

3

3

z + 1f z = 0.6552 i0.1379

z - 1= − (141)

Contoh 11: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai turunan pada persamaan

(142) s/d (145) berikut

a. ( ) 3f z = 3z + 2z di z = 2i (142)

b. ( )4

1f z =

2z di z = 1 + i (143)

c. ( ) ( )22f z = z - i di

iz =

2 (144)

d. ( ) ( )z - if z =

2z di z = 2i (145)


clc clear all close all % syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = diff(f_a) f_a_2 = subs(f_a_1,-i) % soal b f_b = 1/(2*z^4) f_b_1 = diff(f_b) f_b_2 = subs(f_b_1,(i+1)) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = diff(f_c) f_c_2 = subs(f_c_1,(i/2)) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) f_d_1 = diff(f_d) f_d_2 = subs(f_d_1,2*i)

Hasil program f_a = 3*z^3 + 2*z f_a_1 = 9*z^2 + 2 f_a_2 = -7 f_b =

22

1/(2*z^4) f_b_1 = -2/z^5 f_b_2 = 0.2500 - 0.2500i f_c = (z^2 - i)^2 f_c_1 = 4*z*(z^2 - i) f_c_2 = 2.0000 - 0.5000i f_d = (z - i)/(2*z) f_d_1 = 1/(2*z) - (z - i)/(2*z^2) f_d_2 = 0 - 0.1250i


a. ( ) 3f 2i = 3z + 2z = -7 (146)

b. ( )4

1f 1 + i = 0.2500 j0.2500

2z= − (147)

c. ( )22i

f = z - i 2.0000 i0.50002

= −

(148)

d. ( ) ( )z - if 2i = 0.0000 i0.1250

2z= − (149)

Contoh 12 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan limit dari persamaan-


a. ( ) 3

z 2i z 2ilim f z = lim 3z + 2z→ →

(150)

b. ( )4z 1 2i z 1 2i

1lim f z = lim

2z→ + → + (151)

c. ( ) ( )22

z 1 z 1lim f z = lim z - i→ →

(152)

d. ( ) ( )z -1-4i z -1-4i

z - ilim f z = lim

2z→ → di z = 2i (153)


clc clear all close all %

23

syms z % soal a f_a = 3*z^3 + 2*z zo_a = complex(0,2) f_a_1 = limit(f_a,zo_a) % soal b f_b = 1/(2*z^4) zo_b = complex(1,2) f_b_1 = limit(f_b,zo_b) % soal c f_c = (z^2 - i)^2 zo_c = complex(1,0) f_c_1 = limit(f_c,zo_c) % soal d f_d = ( z - i)/(2*z) zo_d = complex(-1,-4) f_d_1 = limit(f_d,zo_d) Hasil program

f_a =

3*z^3 + 2*z

zo_a =

0 + 2.0000i

f_a_1 =

(-20)*i

f_b =

1/(2*z^4)

zo_b =

1.0000 + 2.0000i

f_b_1 =

(12*i)/625 - 7/1250

f_c =

(z^2 - i)^2

zo_c =

1

f_c_1 =

(-2)*i

f_d =

(z - i)/(2*z)

24

zo_d =

-1.0000 - 4.0000i

f_d_1 =

i/34 + 21/34


a. ( ) 3

z 2i z 2ilim f z = lim 3z + 2z = -20i→ →

(154)

b. ( )4z 1 2i z 1 2i

1 7 12lim f z = lim i

2z 1250 625→ + → +

−= + (155)

c. ( ) ( )22

z 1 z 1lim f z = lim z - i -2i→ →

= (156)

d. ( ) ( )z -1-4i z -1-4i

z - i 21 1lim f z = lim i

2z 34 34→ →= + (157)

Contoh 7.13: Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi


a. ( ) 3 + 2πif z = e (158)

b. ( ) -if z = e (159)

c. ( ) 3 4if z = e− − (160)

d. ( ) 3 4if z = e− + (161)


clc clear all close all % % soal a z_1 = complex(3,2*pi) f_a = exp(z_1) % soal b z_2 = complex(0,-1) f_b = exp(z_2) % soal c z_3 = complex(-3,-4) f_c = exp(z_3) % soal d z_4 = complex(-3,4) f_d = exp(z_4)

25

Hasil program z_1 = 3.0000 + 6.2832i f_a = 20.0855 - 0.0000i z_2 = 0 - 1.0000i f_b = 0.5403 - 0.8415i z_3 = -3.0000 - 4.0000i f_c = -0.0325 + 0.0377i z_4 = -3.0000 + 4.0000i f_d = -0.0325 - 0.0377i


a. ( ) 3 + 2πif z = e 20.0855 - i0.0000= (162)

b. ( ) -if z = e 0.5403 - i0.8415= (163)

c. ( ) 3 4if z = e 0.0325 i0.0377− − = − + (164)

d. ( ) 3 4if z = e 0.0325 i0.0377− + = − − (165)

Contoh 14 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi – fungsi


a. ( ) ( )3 + 2πif z = re e (166)

b. ( ) ( )-if z = re e (167)

c. ( ) ( )3 4if z = im e− − (168)

d. ( ) ( )3 4if z = im e− + (169)


clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,2*pi); f_a_1 = real(exp(z_1)) % soal b

26

z_2 = complex(0,-1); f_b_2 = real(exp(z_2)) % soal c z_3 = complex(-3,-4); f_b_3 = imag(exp(z_3)) % soal d z_4 = complex(-3,4); f_b_4 = imag(exp(z_4))

Hasil program f_a_1 = 20.0855 f_b_2 = 0.5403 f_b_3 = 0.0377 f_b_4 = -0.0377 Hasil program menunjukkan hasil pada persamaan (170) s/d (173) berikut

a. ( ) ( )3 + 2πif z = re e 20.0855= (170)

b. ( ) ( )-if z = re e 0.5403= (171)

c. ( ) ( )3 4if z = im e 0.0377− − = (172)

d. ( ) ( )3 4if z = im e 0.0377− + = − (173)



a. ( )cos 3 + i4 (174)

b. ( )cos 6 - i8 (175)

c. ( )sin 2i (176)

d. ( )sin 2 i3− − (177)


clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = cos(z_1)

27

% Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cos(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cos(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cos(z_4)

Hasil program f_1 = -27.0349 - 3.8512i f_2 = 1.4311e+003 -4.1646e+002i f_3 = 3.7622 f_4 = -4.1896 - 9.1092i


a. ( )cos 3 + i4 -27.0349 - i3.8512= (178)

b. ( )cos 6 - i8 1431.10000 i416.4600= − (179)

c. ( )sin i2 3.7622= (180)

d. ( )sin 2 i3 4.1896 i9.1092− − = − − (181)

Contoh 16 : Dengan menggunakan Matlab, tentukan nilai dari fungsi-fungsi pada


a. ( )cosh 3 + i4 (182)

b. ( )cosh 6 - i8 (183)

c. ( )sinh i2 (184)

d. ( )sinh 2 i3− − (185)


clc clear all close all % soal a z_1 = complex(3,4);

28

f_1 = cosh(z_1) % Soal b z_2 = complex(6,-8); f_2 = cosh(z_2) % Soal c z_3 = complex(0,2); f_3 = cosh(z_3) % Soal d z_4 = complex(-2,-3); f_4 = cosh(z_4)

Hasil program f_1 = -6.5807 - 7.5816i f_2 = -2.9350e+001 -1.9957e+002i f_3 = -0.4161 f_4 = -3.7245 + 0.5118i


a. ( )cosh 3 + i4 6.5807 i7.5816= − − (186)

b. ( )cosh 6 - i8 29.3500 i199.5700= − − (187)

c. ( )sinh 2i 0.4161= − (188)

d. ( )sinh 2 i3 3.7245 i0.5118− − = − + (189)



a. ( )ln 3 + i4 (190)

b. ( )'2ln z (191)

c. ( )( )ln 3 + i4 1 + i2 (192)

d. ( )( )6 + i2

ln2 + i4

(193)


clc clear all close all

29

% syms z % soal a z_1 = complex(3,4); f_1 = log(z_1) % Soal b z_2 = log(z^2); f_2 = diff(z_2) % Soal c z_3_a = complex(3,4); z_3_b = complex(1,2); f_3 = log(z_3_a) + log(z_3_b) % Soal d z_4_a = complex(6,2); z_4_b = complex(2,4); f_4 = log(z_4_a) - log(z_4_b)

Hasil program

f_1 = 1.6094 + 0.9273i f_2 = 2/z f_3 = 2.4142 + 2.0344i f_4 = 0.3466 - 0.7854i


a. ( )ln 3 + i4 1.6094 i0.9273= + (194)

b. ( )'2 2

ln zz

= (195)

c. ( )( )ln 3 + i4 1 + i2 2.4142 + i2.0344= (196)

d. ( )( )6 + i2

ln 0.3466 i0.78542 + i4

= − (197)

Bilangan-kompleks . Kulahh

Documents