BHN RGKSN INTEGRAL.doc

7/27/2019 BHN RGKSN INTEGRAL.doc

1/13

BAB II

TEKNIK INTEGRAL

2.1 Teknik Substitusi

Teknik substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada

umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke

bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. n

x dx =

1

1

+

+

n

x n+ c, asalkan n -1 atau

b. [ ] dxxfxf n

)()( =[ ]

1

)( 1

+

+

n

xf n

+ c, asalkan n -1

!arena rumus di atas adalah "ed#man umumnya, maka

integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. $ika belum

sesuai atau menyim"ang dari bentuk di atas maka seda"at

mungkin diubah terlebih dahulu. %engan demikian setelah

integran sesuai dengan bentuk baku integralnya da"at dilakukan

dengan menga"likasikan rumus dasar integral tidak tentu

tersebut di atas. &khirnya selesaiannya da"at dilakukan dengan

met#de substitusi.

Perhatikan bebera"a c#nt#h berikut'

1. x1

dxisal u = x1

xu = 1

)1()(

xdud =dxudu =

*ubstitusi bentuk terakhir ke x1 dx, di"er#leh

duuu )( = - duu

%engan rumus dasar di da"at

x1 dx = - duu

= - cu

+

+

+

= - cx + +)1(+

. dxx + +)1( = ( ) dxx

+

1 +*ubstitusi = ( )

+

1 x+ E = ( )+1 x+ d( E ) = d ( )+1 x+ d = ( ) )(1 x+ dx

dx = )1(+ xEdE+

dxx + +)1( = E dExE

)1(+ +

= dE

E

E

-

+

+

= dEE +

+

1

= cE +

+

+

1 +

=+/

1E + c

= ( ) cx +

+

+

.

+

1

1

. + dxx 11)1+(

isal & = x + 1

d(&) = d(x+1)

d& = dx

dx =+

dA

*ehingga + dxx 11)1+( = +

11 dAA

= dAA11

+

1

= cA

+)1

(+

1 1

= cA +1+0

1

= cx

+++0

)1+( 1

. xCos

dxisal & = x

d(&) = d(x) d& = dx

dx =

dA

xc#s dx =

c#s dAA

= Ac#s dA

1

= AdAc#s1

=

+dA

A

c#s1

1

= + AdAdA c#s-1

-

1

= cAA

++

sin

-

= cxx

++

-sin

-

= cxx

++

-sin

. + xx --

(x+) dx

$a2ab

isal & = xx -- + & = x + x & d& = (x+) dx

& d& = (x+) dx

& d& = (x+) dx

*ehingga

+ xx --

(x+) dx = A .& d& = dAA

= cA +++

1

=+ --

+

1xx + + c

. +-+ttdt

$a2ab

isal P = -+ +t

P = t + t =+

- P

d(P ) = d(t+)


2/13

P d" = dt dt = Pdp+

, sehingga

+-+ttdt

=

p

dppP

)+

)(

+

-(

= dpP )(31

0.

10 xdxx

$a2ab

isal 4 = 10 x 4 = 10 - x x = 10 - 4 d(4 ) = d(10 - x )

4 du = (-x)dx

dx = dux

U

10 x

dxx=

u

x

uu )10(

du

= dux

u

10

= - duux )10(1

=

+

1+

10C

x

uC

x

u+++

= Cx

xx

x

x +++

10)10(

1010

= Cx

x

x

x

+

+

+)10()10(10 /+/1

5. + dttt /+)(

$a2ab

isal = (t+) +

= (t+) +

d = (t+) dt

+ dttt /+)( = + )(+

..

t

MdMtM

=

+ dMM

t

t

)(+

=+

+

1

)(+

M

t

t

++ 6

= 3

)(

)(3

++

tt

t+ 6

= Ctt

++

)(3

1. dxx 1 $a2ab

*ubstitusikan xu = 1

xu = 1

)1()(

xdud =dxduu =

*ubstitusi bentuk terakhir ke dxx 1 , di"er#leh

= duuduuu )(

%engan rumus integral dasar di da"at

= duudxx 1

cu

+

=

+

+

!arena xu = 1

*ehingga cxdxx += +)1(+

1

. dxx + +)1(

$a2ab

*ubstitusi ( )+

1 xE +=

( )+ 1 xE +=( ) ( )+ 1 xdEd +=

( ) dxxdEE )(1+ +=

)1(+ x

dEEdx

+=

*ehingga +=+ +

)1(+)1(

x

EdEEdxx

-+

+E

dEE

dEE -

+

1

cE

+

3

-+

1 -3

cE + -3

-

+

!arena ( )+

1 xE +=

*ehingga ( ) cxdxx +

+=+

-

3

++ 1

-

+)1(

( ) cx +

+=

5

1-

+

. + dxx 11)1+(

*ubstitusi )1+( += xA)1+()( += xdAd

dxdA +=+

dAdx=

*ehingga

=+ +)1+( 1111 dAAdxx

= dAA11

+

1

cA

+= )1

(+

1 1

cA += 1

+0

1

!arena )1+( += xA

*ehingga cx

dxx ++=+ 1)1+(

)1+(1

11

. dxxc#s$a2ab

*ubstitusikan xA =dxdA =

dAdx=


3/13

*ehingga

= c#sc#s dAAdxx

= AdAc#s1

+

= dAA

c#s1

1

+= AdAdA c#s-

1

-

1

cAA ++=

sin

-!arena xA =

cxx

x ++= -sin

-

c#s

*ehingga cx

xdxx +

+= -

sin

1c#s

. ( ) ++ dxxxx ---

$a2ab

*ubstitusikan xxA -- +=

( )xxA -- += ( xxdAd --)( +=

dxxAdA )-( += dxxAdA )-( +=*ehingga

( ) =++ dAAAdxxxx .---

= dAA

cA+= ++

1

!arena xxA -- +=

*ehingga ( ) cxdxxxx ++=++ + --+1

---

0. +-+t

dtt

$a2ab

*ubstitusi isal -+ += tP

-+ += tP )-+()(

+= tdPd dtPdP + =

+

PdPdt=

*ehingga

=+ P

dPPP

t

tdt +

+

-

-+

= dPP )(31

cPP +=3

5

+

!arena -+ += tP*ehingga

( ) ctttttdt +++++=

+ -+3-+-+

5

-+

5.

10 x

dxx

$a2ab

*ubstitusi 10 xw =( ) 10 xw =

xdxwdw =

dwx

wdx =

*ehingga

( )dw

x

w

w

w

x

dxx

=

10

10

dwx

w

=10

= dwwx )10(1

cx

w

x

w

++= +10 +

!arena 10 xw =*ehingga

x

xx

x

xdx

x

x +

=

+

10)10(

1010

10

cx

x

x

x++=

+

)10()10(10 /+/1

&khirnya di"er#leh

c

x

x

x

x

x

dxx+

+

=

+)10()10(10

10

/+/1

. + dttt /+)(

$a2ab

*ubstitusikan ( )+

+= ts

( )+ += ts

( ) dttsds + +=

( )

dst

sdt

+

+=

*ehingga

( ) dsts

stdttt +=+ /+

+

..)(

+= dsstt

)(+

cst

t ++

= + +

1

)(+

( ) ctt

t++

+=

3

)(3

ctt

++= 3)(

*ehinggga ctt

dttt ++=+ 3

)()(

/+

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

*ebelum membahas teknik integral 7ungsi trig#n#metri

secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar 7ungsi

trig#n#metri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil

"engintegralan dengan teknik 7ungsi trig#n#metri. 8entuk dasar

tersebut adalah'

1. cxdxx +=

c#ssin

. cxdxx += sinc#s . += cxdxx seclntan = cx + c#sln

. += cxdxx csclnc#t = cx +sinln

. ++= cxxdxx tanseclnsec0. += cxxdxx c#tcsclncsc


4/13

8erdasarkan bentuk-bentuk integral di atas, selanjutnya

diberikan bebera"a kasus bentuk integral 7ungsi trig#n#metri

yang dibahas "ada bagian ini, diantaranya adalah'

a. Bentuk ,sin xdxm

xdxmc#s dengan m bilangan

ganjil atau genap positip

$ika m bulat "#siti" dan ganjil, maka m diubah menjadi

(m-1) + 1, atau m digena"kan terdekat. *elanjutnya substitusi

dengan menggunakan kesamaan identitas 1c#ssin =+ xx

atau sin x

= 1 - c#s x

atau c#s x

= 1 - sin x

dan .&khirnya dengan substitusi tersebut dida"at kesamaan

antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan

mudah da"at diselesaikan.

6#nt#h'

m bilangan ganjil

1. xdx+sin

$a2ab

xdx+sin = dxx

+ 1)1+(sin

= xxsinsin

dx = )c#s()c#s1(

xdx

= + )(c#sc#s)c#s(1 xdxd

= Cxx ++ +c#s+

1c#s

. dxx .

c#s

$a2ab

dxx c#s =

+x

1)1.(c#s dx

= xdxxc#sc#s-

= )(sin)sin1(

xdx

= )(sin)sinsin1( -

xdxx +

= + )(sinsin)(sinsin)(sin1

-xxdxxdxd

= cxxx ++ + sin

1sin

+

sin

. dxx)(sin

$a2ab'

isal u = x, du = dx atau dx =

du

*ehingga = sin)(sin duudxx

= udu

sin

1

= uduusinsin1 -

=

)c#s()c#s1(1 udu

=

+ )c#s()c#sc#s1(1 -

uduu

=

Cuuu ++ + sin19

1sin

+

1c#s

1

=

Cxxx + sin19

1sin

+

1c#s

1 +

8entuk xdxmc#s , dx

msin , jika m bilangan bulat

"#siti" gena", selesaiannya da"at dilakukan dengan

menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin x =

c#s1 xdan c#s

c#s1 xx +=

6#nt#h'

1. xdxsin

!arena "angkatnya gena", digunakan kesamaan setengah

sudut, maka

xdxsin =

dx

x

c#s1=

dx

x

c#s

1

= xdxdx c#s1

1

= Cxx

+ -sin

. xdx-c#s

$a2ab

xdx-c#s =

)(c#s x dx

=

+

dxx

c#s1

=

+ dxxx

-

)c#s:

)

)c#s

-

1

=

++ xdxdx

xdx c#s

-

1

c#s

-

1

=

sin

xx+ +

+

dxx

-c#s1

-

1

= Cxxxx

+++++

-sin

-

sin

-

= Cxxx

++++

-sin

-

sin

+

. xdxsin-

isal u = x , du = dx atau dx =

du, sehingga

xdxsin- = sin

-

duu

=

duu

c#s1

1

= + duuu )c#sc#s1(-1

1

=

+ uduududu c#s1

c#s-

1

1

=

++ duu

ududu

-c#s1

1c#s

-

1

1

=

++ ududuududu -c#s101

10

1c#s

-

1

1

=

Cuuuu +++ -sin0-

1

10

1sin

1

1

!arena u = x, maka

xdxsin-

=

Cxxxx +++ )(-sin0-

1)(

10

1)(sin

1)(

1

b. Bentuk xdxx nm c#ssin

8entuk ini mem"unyai ciri-ciri m atau n ganjil dan m dan n

gena" sekaligus.

$ika m atau n bilangan bulat "#siti" ganjil, sedangkan

lainnya sebarang bilangan, maka 7akt#rkan sin x atau c#s x

dengan menggunakan kesamaan identintas

1c#ssin =+ xx dengan terlebih dahulu mengubah salahsatu bilangan ganjil. isal m ganjil maka ubah m dengan m =

(m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1.

$ika m dan n gena" digunakan kesamaan setengah

sudut


5/13

c#s1sin

xx

= dan

c#s1c#s

xx

+= sehingga

di"er#leh hasil "engintegralannya.

6#nt#h

1. xdxx +

c#ssin

$a2ab

!arena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

xdxx +

c#ssin = dxx + 1)1+( c#ssin

xdxxx

c#ssinsin =

xdxxx sinc#s)c#s1(

=

)c#s()c#s(c#s -

xdxx =

)c#s(c#s)c#s(c#s -

xxdxxd

=

+ )(c#sc#s)(c#sc#s -

xxdxxd (te#rema 1)

= Cxx ++ + c#s

1c#s

+

1

(hasil te#rema 1)

= Cxx + )+

1c#s

1(c#s +

. xdxx +

c#ssin !arena n ganjil, maka ubah menjadi gena"

xdxx +

c#ssin = xdxxx c#sc#ssin

=

)(sin)sin1(sin

xdxx

=

)(sinsin)(sinsin -

xxdxxd

= Cxx + +

sin

1

sin+

1

. xdxx ++

c#ssin

$a2ab

xdxx ++

c#ssin

!arena kedua "angkat bilangan ganjil, "ilih salah satu untuk

diubah menjadi gena"

dxxx ++

c#ssin = xdxxx c#sc#ssin +

= )(sin)sin1(sin + xdxx

= )(sinsin)(sinsin +

xxdxxd

= Cxx + 0-

sin0

1

sin-

1

&tau

xdxx ++

c#ssin = dxxxx +

c#ssinsin

= )c#s(c#s)c#s1( +

xxdx

= )c#s()c#s(c#s +

xdxx

= Cxx ++ 0- c#s0

1c#s

-

1

. dxxx

sinc#s

!edua "angkat bilangan gena", sehingga di"er#leh'

xdxx

sinc#s =

+

dxxx

c#s1

c#s1

= dxx)c#s1(-1

=

+ dx

x

-c#s11

-

1

=

dx

x

-c#s

1

-

1

= Cxx

+

-c#s

-

1

= Cxx +

+

-c#s

. dxxx --

c#ssin

$a2ab

!arena kedua "angkatnya bilangan gena", untuk

menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah

sudut sin x =

c#s1 x dan c#s c#s1 xx += .

xdxx --

c#ssin = dxxx

)(c#s)(sin

=

+

dxxx

c#s1

c#s1

=

+++ dxxxxx )c#sc#s1)(c#sc#s1(101

= + dxxx )c#sc#s1(101 -

= + xdxdxxdx c#s101

c#s

1

10

1 -

=

++

+ dx

xxdx

-c#s1

10

1

-c#s1

1

10

1

=

++++

dxxxx

dx

)-c#s-c#s1(0-

1

-c#s1

1

10

1

=

+++

+ xdxdx

xdx

0-

1-c#s

+

1

0-

1

-c#s1

1

10

1

=

++++ xdxdxxdx 11

-c#s+

1

0-

1

-c#s1

1

10

1

=

++ xdxxdxdxdx -c#s+1

0-

1-c#s

10

1

10

1

10

1

= + xdxxdxdx c#s11

-c#s+

1

1

+

= Cxxx ++ sin

19-

1-sin

1

1

1

+

c. ,tan dxxn

an dxxn

c#t %alam kasus ini jika n gena" gunakan kesamaan

identitas 1 + xx sectan = dan 1+c#t xx csc= . $ika nganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 +

xx sectan = dan 1+c#t xx csc= .

Perhatikan c#nt#h berikut'

1. xdx+

tan

!arena "angkat n ganjil maka diubah dalam bentuk "erkalian

yang salah satunya gena", selanjutnya gunakan kesamaan

identitas 1 + xx sectan =*ehingga di"er#leh

xdx+

tan = dxxx tantan

= dxxx tan)1(sec = dxxdxxx tantansec

= + cxdxxx seclnsectan = ( ) + cxxdx lntantan

= Cxx + seclntan

1

1. xdx+

c#t

$a2ab

!arena "angkat integran ganjil maka ubah = (-1)+1,


6/13

selanjutnya gunakan kesamaan identitas

xx cscc#t1 =+ dan xdxxd csc)c#t( = di"er#leh

= dxxxdx c#tc#tc#t +

dxx c#t)1(csc

=

= dxxdxxx c#tc#tcsc

= xdxdxxx c#tcscc#t

( ) +=

dxxxdx c#tc#tc#t

cxx ++= csclnc#t

1

*ehingga cxxxdx ++= csclnc#t1

c#t +

. xdx-

c#t

!arena "angkat n gena", maka gunakan kesaman identintas

xx cscc#t1 =+ , sehingga dida"at

xdx-

c#t = dxx )(c#t

= dxx )1(csc

= dxxx )1csc(csc -

+

= + dxxxx )1csccsc)(csc

= ++ ;1csccsc)c#t1( dxxxx =

++ dxxdxdx )c#t()c#t()c#t1(

= Cxxxx +++ c#tc#t+

1)c#t( +

= Cxxx +++ c#tc#t

+

1 +

1. xdxtan

$a2ab

( ) = dxxxdx 1sectan = dxxdx 1sec

= dxxd 1)(tan cxx +=tan

*ehingga cxxxdx += tantan

. xdxx nm

sectan ! an xdxx nm

cscc#t

8entuk ini mem"unyai dua kasus yaitu n gena" msebarang dan m ganjil n sebarang. $ika n gena" dan m sebarang

gunakan kesamaan 1 + tan xx sec= atauxx

cscc#t1 =+

6#nt#h

1. dxxx -sectan

!arena salah satu "angkat bilangan gena", maka

langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan

xx sec= , sehingga di"er#leh dxxx

-sectan = dxxxx secsectan

= dxxxx + sec)tan1(tan

= )(tan)tan(tan 5

xdxx +

= Cxx ++ 0 tan

1tan

0

1

. dxxx --cscc#t

$a2ab

dxxx --cscc#t = dxxxx ))(csc(cscc#t

-

= )c#t()1(c#tc#t - xdx

= )c#t()c#t(c#t -0

xdxx

= Cxx ++ 5 c#t

1c#t

5

1

*edangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang

juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan

xx sec= atau 1 + c#t x = csc x .6#nt#h'

1. xdxx ++

sectan = xdxxxx secsectantan = )(secsectan

xdx

=)(secsec)1(sec

xdxx

= )(sec)sec(sec

-xdxx

= Cxx + + sec+

1sec

1

.

xdxx /1+

sectan =

dxxxx secsectantan +

=

)(secsec)1(sec +

xdxx

=

)(sec)sec(sec

+/1 xdxx

= xx /1/+secsec

+

+ + 6

e. nxdxmxc#ssin ! ,sinsin nxdxmx

nxdxmxc#sc#s


7/13

a. xa , a ?ealb. ax + = xa + , a ?ealc. ax , a ?ealatau bentuk lain yang da"at diubah menjadi bentuk di atas,

misalnya

xba =

xb

a

xba + =

xb

a

+

bxa =

a

bx atau cbxax ++ yang da"at

diubah menjadi bentuk kuadrat sem"urna.

8entuk integral yang integrannya memuat xa atau bentuk lain yang da"at diubah menjadi sejenisnya.

*elesaiannya menggunakan substitusi x = a sin t atau sin t =a

x

dengan -

t .

*elanjutnya "erhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini.

!arena x = a sin t maka

xa = )sin( taa = )sin1( ta

= a c#s t

dx = a c#s t dt.

*elanjutnya bentuk tcxa c#s = dan

tdtadx c#s= substitusikan ke dalam integral semula.6#nt#h'

Tentukan hasil "engintegralan berikut ini'

1. - x dx$a2ab

isal x = sin t sin t =

x

dx = c#s t dt

- x = tt c#ssin-- =

*ehingga

= dxx

- tdtt c#s.c#s = tdttc#sc#s-

= tdtc#s =

+dt

t

)c#s1(=

dt + tc#s dt =

cttt ++ c#ssin =

+

-

arcsin

xxx

+c

&tau tdtc#s = (

c#ssin tt+ Ct+

1)

= sint c#st + t + 6

=

x

- x + arc sin

x

+ 6

= Cxxx

+

arcsin

-

. - xx

dx

$a2ab

- xx

dx=

)(- x

dx

isal (x-) = sin t, sin t =

x

dx = c#s t dt

tx c#s)(- = , sehingga

)(- x

dx= t

tdt

c#s

c#s

= dt = t + 6

= arc sin

x+ 6

. + 010 xx

dx

$a2ab

+ 010 xxdx = )+( x

dx

isal (x-) = sin t,

dx = c#s t dt)+( x = c#s t, sehingga

+ 010 xx

dx=

ttdt

c#s

c#s

= dt

= t + 6

= arc sin

+x+ 6

1.

( ) ( )

=

+ 111 xx

dx

x

dx

$a2ab

*ubstitusi x = ;sin+ A

dx = AdAc#s+

)sin+(++ Ax =

= Ac#s+ , sehingga

+ xx dx =

AdAAA c#s+.c#s+sin+

= 3 AdAA

c#ssin

= 3

+

dAAA

c#s1

c#s1

= dAA)c#s1(-

3

= +

dAA

)

-c#s1(1-

3

=

AdAdAdA -c#s3

31

-

3

= CAAA + sin+

3

3

-

3

= CAx

+

-sin

-.

3

+arcsin

3

5

tx

a

xa

tx

- x

x

- xx

t

.

010 xx+

+xt

x

t

+

+ x


8/13

=

CAAAAx +

)sin)(c#sc#ssin-(+

3

+arcsin

3

=

AAAA

x sin)(c#sc#s(sin

+arcsin

3+ 6

= Cxxxxx +

++

)+(

+

+

++arcsin

3

.

( )

+

- xx

dx

8entuk integral yang integrannya memuat bentuk xa +atau bentuk lain yang da"at diubah sejenisnya, selesaiannya

menggunakan

substitusi x = a tan t ataua

xt=tan dan dx = a sec t ,

dengan -

t


!arena x = a tan t maka

xa + = )tan( taa + = )tan1( ta + = a sec t

*elanjutnya bentuk tcxa c#s = dan dx = a sec

t

.substitusikan ke dalam integral semula.

6#nt#h'

Tentukan hasil "engintegralan di ba2ah ini.

1. + 3 x

dx

$a2ab

isal x = tan t

dx = sec t dt

=+ 3 x sec t, sehingga

+

3 x

dx=

t

dt

sec+

sec+ +

= tdtsec = ln Ctt ++tansec

= ln++

3

xx+

++ 6

= ln Cxx +++

3

. ++

-

)1(

xx

dxx

$a2ab

++

-

)1(

xx

dxx =

dxxxxx

x)

-

1

-

(

++

++

=

++

++ 1)(1)(

x

dx

x

xdx

isal (x+) = tan t

x = (tan t) -

dx = sec t dan

1)( ++x = sec t, sehingga

++

++ 1)(1)(

x

dx

x

xdx

=

t

tdt

t

tdtt

sec

sec

sec

sec).(tan

= tdttdtt sec-sectan - tsec dt= sec t @ ln Ctt ++tansec

= Cxxxxx +++++++

)(.-ln..-

8entuk integral yang integrannya memuat ax atau sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t

dan dx = a sec t tan t dt,

-

t .


!arena x = a tan t maka ax =)sec( ata

= )1(sec ta

= a ttan

*elanjutnya bentuk ax = a ttan dan dx = adttttansec substitusikan ke dalam integral semula.

6#nt#h'Tentukan hasil "engintegralan berikut ini'

1. dxx

x 3

$a2ab

isal x = sec t

dx = sec t tan t dt

3 x = tan t, sehingga

dxx

x 3 =

tdttt

ttansec+

sec+

tan+

= tdt

tan

= dtt )1(sec

= tan t @ t + 6

= Cx

arcx +

+sec+

+

3

. xx

dx

$a2ab

xx

dx=

3)1(

x

dx

isal (x-1) = sec t, gg

dx = sec t tgn t dt

3)1( x = tgn t, sehingga

3)1( x

dx=

ttdt

tan+

tansec+

= tdtsec = ln Ctt ++tansec

3 x+x

+t

+x

- ++ xx

1

t

+

x3 x t

xx1x

t+

tx

ax +

a

t

ax x

a


9/13

= ln Cxxx

+

+

+

+

1

2.# Integral $arsial %Integral Bagian&


10/13

- 7ungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax ) cbx++ n

dan seterusnya.

. Dyatakan integran menjadi bentuk "enjumlahan n-"ecahan

"arsial sehingga integran da"at ditentukan antiturunannya,

isal '

=)(

)(

xg

xf ...

)()(

11

1 ++

++ bax

A

bax

A (Penyebut

k#mbinasi liner berbeda)

...)()()()(

)( ++1 ++++++= baxAbaxAbaxAxg xf (k#mbin

asi lenear berulang)

...)(

)(

11

1

11 +++

++

+++

=cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

xg

xf

(k#mbinasi kuadrat berbeda)

...)(

)(

1

11

1 +++

++

+=

cxbxa

BxA

bxa

A

xg

xf(k#mbinasi

linear dan kuadrat)

.


11/13

= +++

dxx

BAAx)(

)(

%i"er#leh & = , & + 8 = atau & = , 8 = -0, sehingga'

++=++

)(

0

)(

)(

-

xxdx

x

xdx

= ln Cx

x ++

++)(

0

. + + dxxxxdxx

1)+(

+

$a2ab


12/13

=

+++++++

dxxx

x!CxxBAx

))(1(

)1)(())((

=

+++++++++

dxxx

!BxCAx!BxCA

))(1(

)()()()(

+

%i"er#leh

&+6 = 1, 8+% = 1, &+6= 1, 8+% = atau &=9, 8=1, 6=1,

%=9 sehingga'

+++++

dxxx

xxx

+

-

+

= +++ dxxx

x 1

1

= +++ dxxx

dxx 1

1

= arctg x + Cx ++1ln

1

. ++

dxxxx

xx

)1)()(+(

1

+

$a2ab' Penyebut adalah k#mbinasi linear berbeda (x+) dan

(x-) dengan kuadrat (x )1 + , sehingga'

++

dxxxx

xx

)1)()(+(

1

+

=

+++

+

+ dx

x

!Cx

x

B

x

A

)1()()+(

=

( ) ++

+++++++xxx

x!CxxxBxxA

)1)()(+(

)(+()1)(+()1)((

=

++

+++++++++xxx

!BAx!CBAxCBA

)1)()(+(

0()+()(

+

aka di"er#leh

& + 8 + 6 = 1, -&+8+6+% = -, &+8+%-06 = 9, -&+8-

0% = -1 atau

& = , 8 = -1, 6 = 9, % = -1

+++

+

+ dx

x

!Cx

x

B

x

A

)1()()+( =

++

+

+ dx

xxx )1(

1

)(

1

)+(

=cxxx ++ arctanln+ln

=

( ) cxxx ++ arctanln+ln

=

( )cx

x

x +

+arctan

+ln

$adi ++

dxxxx

xx

)1)()(+(

1

+

=

( )cx

x

x +

+arctan

+ln

. dxxx

xx +

+-

+

$a2ab

dxxx

xx +

+-

+

= ++

dxxx

xx

)-(

= +++ dx

x

CBx

x

A)

-(

= dxxx

xCBxxA +

+++-

)()-(+

= ++++

xx

ACxxBA

-

-)(+

%ida"at &+8 = , 6 = 1, & = - atau & = -, 8 = , dan 6

= 1

+++ dx

x

CBx

x

A)

-(

= +

++ dxx

xdx

x -

1-

=

++++

dxx

dxx

xdx

x -

1

-

-

= ln -ln ++ xx + F arc tan

Cx +

. +

dxx

xx

)1(

-

+

$a2ab'

+

dxx

xx

)1(

-

+

= dxx

xx )

1

(

+

= + dxxx

xdx1

= F x-

+ dx

x

x

1

=

1x@ .

1 + dxx

x

1

= F x- Cx ++1ln

= F x@ ln (x+1)/ + 6

= F x@ ln )1( +x + 6

*#al-s#al

Tentukan hasil "engintegralan berikut ini'

1) ++++

dxxx

xxx

10

10+

+

) +++++ dx

xx

xxx

+

-

+

) ++

dxx

xx

+

)1(

1

) +++++

dxxxx

xxx

)+)((

1

+

2.* Integral Fungsi Rasional +ang ,emuat Fungsi

Trigonometri

Bungsi B(x) = )(,9)(,

)(

)(xfxg

xg

xf dan g(x)

mememuat 7ungsi trig#n#metri da"at juga dikateg#rikan sebagai

7ungsi rasi#nal, hanya saja tidak da"at disebut sejati atau tidak

sejati. Gal ini dikarenakan 7(x) = sin x dan 7(x) = c#s x tidak

mem"unyai derajat se"erti halnya dengan 7ungsi "#lin#mial.

Pengintegralan jenis ini menggunakan TH%

*48*T


13/13

1. + xxdx

c#ssin1

. + xdx

c#s

. ++ xxdx

c#ssin1

. x

x

sin

c#ssin1 ++dx

. xsin+1

dx

*elesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan

met#de substitusi

x = arc tan I sehingga dx = d""1

+.

*elanjutnya sin x dan c#c x di substitusi ke bentuk Aariabel I.

!arena x = arc tan I maka'

"x

=

tan

enurut rumus identitas 7ungsi trig#n#metri

1 + tan

x= sec

x

1 + I

=

sec x

1

1

c#s

"

x

+=

enurut rumus identitas 7ungsi trig#n#metri yang lain

sin 1c#s =+ xx

1

c#s

sin =

+

xx, sehingga dida"at

sin

1

11

"

x

+=

=

1 "

"

+

%engan rumus jumlah c#sinus dida"at'

c#s x = c#s x sin x

=

sin

c#sc#s

xxx

11

1c#s

"

"

"x

+

+=

=

1

1

"

"

+

%engan rumus jumlah sinus dida"at'

sin x = sin x c#s x

sin x = sin

xc#s

x

=

1

1

1 ""

"

++

=1

"

"

+%engan demikian integral 7ungsi rasi#nal yang memuat 7ungsitrig#n#metri da"at diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = arc tan I, sin x =1

"

"

+, c#s x =

1

1

"

"

+

4ntuk lebih jelasnya "erhatikan bebera"a c#nt#h di ba2ah ini.

Tentukan selesaian dari

1. ++ xxdx

c#ssin1 $a2ab

++ xxdx

c#ssin1 =

++

++

+

1

1

1

1

1

"

"

"

"

d""

=

+

+

+

+

+

++

1

1

1

1

11

"

"

"

"

"

"

"

d"

= + "d"

= +"d"

1

= "+1ln + 6

= Cx ++

tan1ln

. xdx

c#s

$a2ab xdx

c#s =

+

+

1

1

1

"

""

d"

= +

++

+

1

1

1

)1(1

"

"

"

""

d"

= + +1

"

d"

= +

+

1+

"

d"

= c" +

+/1

arctan++

= c" ++arctan++

= cx

+

+

tanarctan++

. + x

dx

sin+

=

$a2ab

+ xdx

sin+ =

++

+

1

+

1

"

""

d"

= ++ ""d"

19++

= ++ )+)(1+(

""

d"

= +++ d""

B

"

A

)+()1+(

= d"""

BA"BA ++

+++)+)(1+(

)()+(

= ++ d""" )+(1

)1+(

+

= C"" +++ +ln1+ln+

= Cxx +++ +

tanln1

tan+ln+

BHN RGKSN INTEGRAL.doc

Documents