Barisan - Official Site of Edi Sukirman - Gunadarma Universityediskm.staff.gunadarma.ac.id/.../barisan-dan-deret-UG.ppt · PPT file · Web viewSelang konvergensi untuk deret Deret

13/05/23 Matematika 2 1

Barisan

Barisan Tak Hingga

Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisanBarisan Monoton

Matematika 2 2

Barisan Tak HinggaSecara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan −bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam

bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku

ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

1nna


Barisan Tak Hingga

Contoh − contoh barisan Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba

–coba.

...,8,6,4,2

1nn2

...,64,

53,

42,

31

1nn2n


Kekonvergenan barisan tak hingga

Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila

atau

{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan

L akan kurang epsilon}

Lalim nn

La,Nn0N0 n

na



Contoh 1Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena

maka divergen

1n

2

1nn

1nnlim

2

n

1n

2

1nn




Jawaban

Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

Misal ,bila maka

untuk x R.

1nn

2

en

n

2

n enlim

nfan Lxflimx

Lnflimn



Jawaban (lanjutan)

Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka

Berdasarkan teorema maka .

Karena nilai limitnya menuju 0, maka

Konvergen menuju 0.

xx ex2lim

x

2

exxf

x

2

x exlim

0enlim

n

2

n

1nn

2

en

0e2lim xx




Jawaban

Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai , akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.

1n

ncosn1

ncoslimn

0n1lim

n

ncos.n1


Sifat – sifat barisanMisal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu

konstanta, maka

1.

2.

3.

4.

5.

kklimn

nnnnalimkaklim

nnnnnnnblimalimbalim

nnnnnnnblimalimbalim

0blim,blimalim

balim nn

nn

nn

n

n

n


Barisan Monoton

Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi

4 macam :

1. Monoton naik bila

2. Monoton turun bila

3. Monoton tidak turun bila

4. Monoton tidak naik bila

1nn aa

1nn aa

1nn aa

1nn aa


Deret Tak Hingga

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari yaitu a1+a2+…+an .

Notasi deret tak hingga adalah .

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :

Dan

1nna

1n na

nn

Slim

11 aS

3213 aaaS

n321n a...aaaS

212 aaS

....,S...,,S,SS k211nn


Deret Tak Hingga

Contoh Selidiki apakah deret konvergen ?

Jawaban

Karena , maka adalah deret

konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu

deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.

1k

1k1

1k

1nn

1n11Sn

11n

nlimSlimnnn

1k

1k1

1k


Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :

1. Deret geometri

2. Deret harmonis

3. Deret-p

Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

1nna


Deret Suku Positif Deret geometri Bentuk umum :

Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.

....... 1321

1

nk

k

rarararaara

1n32n ra...rararaaS

n1n32n rara...rararaSr

nnn raaSrS

r1r1aSn

n


Deret Suku Positif

Deret geometri(lanjutan)

Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret

geometri :

–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret

divergen

–Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke

–Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen

nalim

n

0rlim n

n

r1a

n

nrlim


Deret Suku Positif Deret harmonisBentuk umum :

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari

Sn nya, yaitu

1n n1

n1....

81

71

61

51

41

31

211Sn

.....161....

91

81

71

61

51

41

31

211


Deret Suku Positif Deret harmonis (lanjutan)

Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.

21....

21

21

21

21

21

21

211

....161....

161

81

81

81

81

41

41

211S n2

2

n1limn

2n1


Kedivergenan Deret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka .

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah

Bila ,maka deret akan divergen.

Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,

maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu

dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

1nna 0alim n

n

0alim nn

1nna


Kedivergenan Deret Tak Hingga

Contoh Periksa apakah konvergen ?

Jawaban

Jadi divergen

n121lim

n

1n 1n2n

1n2nlimalim

nn

n

1n 1n2n

021


Uji Deret Positif

1. Uji integral

2. Uji Banding

3. Uji Banding limit

4. Uji Rasio

5. Uji Akar


Uji Deret Positif

Uji integralMisal merupakan deret suku positif dan monoton turun,

dimana , maka integral tak wajar dari f(x)

adalah .

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau

tidak ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret

konvergen.

1nna

Bnnfan dxxflimdxxf

b

1b1


Deret Suku Positif Contoh 1: Uji Integral Deret–pBentuk umum :

Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga

merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan

bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa

deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

Misal maka .

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1

sampai .

1npn1

pn n1nfa px

1xf


Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan)Integral tak wajar dari f(x) adalah

Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

dxx1lim

b

1pb

dxx1

1p

b

1

p1

b p1xlim

p11

p1blim

p1

b


Deret Suku Positif Deret–p (lanjutan)Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :

– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

– Bila 0 p<1, maka ,sehingga deret divergen

– Bila p>1, maka ,

sehingga deret konvergen.

1pb b1p1

1p1lim

p11

p1blim

p1

b

p11

p1blim

p1

b

1p1


Uji Deret Positif

Contoh 2Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :

Misal , maka

Perhitungan integral tak wajar :

dxxlnx

1limb

2b

2n nlnn1

nlnn

1nfan xlnx

1)x(f

dxxlnx

1

2

b2b

xlnlnlim


Uji Deret Positif

Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen.

2n nlnn1


Uji Deret Positif

Uji BandingBila untuk n N, berlaku bn an maka

a. Bila konvergen, maka juga konvergen

b. Bila divergen, maka juga divergen

Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan

suatu deret, bila menggunakan sifat a maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.

Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret

pembandingnya adalah yang bersifat divergen.

1nnb

1nna

1nna

1nnb


Uji Deret Positif Contoh 1Uji kekonvergenan

Jawaban

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih

yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

Dapat dipilh sebagai deret pembanding.

Karena dan merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

1n 2n1

1n n31

1n n31

n31

2n1


Uji Deret Positif

Contoh 2Uji kekonvergenan

Jawaban

Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,

dimana . Karena merupakan deret

konvergen, maka juga konvergen.

1n2 5n3

1n2n3

22 n3

5n3

1n2n3

1n2 5n3


Uji Deret Positif

Contoh 3

Uji kekonvergenan

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang

digunakan adalah .Karena dan

merupakan deret konvergen, maka juga konvergen

12

1

n nntg

2, 1

ntgn

1n22

n

22

2

1

nnntg

1n22

n

12

1

n nntg


Uji Deret Positif

Uji Banding LimitMisal dan , merupakan deret suku positif

dan , berlaku

– Bila 0 < L < , maka kedua deret bersama-sama konvergen

atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .

juga konvergen

– Bila L = dan adalah deret divergen maka .

juga divergen

1nna

1nnb

n

nn b

alimL

1nnb

1nna

1nnb

1nna


Uji Deret Positif

Contoh 1 Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen ( sebagai ).

Karena . dan deret pembandingnya

divergen, maka . juga divergen.

1n23

2

3nn5n

1n1n3

2

n51

n5n

1nnb

13nn5

n5limL 23

3

n

1n23

2

3nn5n


Uji Deret PositifContoh 2Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).

Karena . dan deret

pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama

divergen .

1i 2 5n1

1n1n 2 n1

n1

11n

nlim5n

nlimL 2

2

n2

2

n


Uji Deret PositifUji Rasio

Misal merupakan deret suku positif dan

maka berlaku

– Bila <1, maka deret konvergen

– Bila >1, maka deret divergen

– Bila =1, maka uji gagal

1nna

n

1nn a

alim


Uji Deret Positif

Contoh

Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Dengan uji rasio diperoleh

Karena = 0 < 1 , maka konvergen.

1

2

!i nn

0n)1n()1n(lim

n!n

!)1n()1n(lim 2

2

n2

2

n

n

1i

2

!nn


Uji Deret PositifUji Akar

Misal merupakan deret suku positif dan ,

maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret konvergen

– Bila r > 1, maka deret divergen

– Bila r = 1, maka uji gagal

1nna

nn

nalimr

1nna

1nna


Uji Deret Positif

Contoh Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Dengan uji akar diperoleh

Karena , maka konvergen.

1

2i

n

n

e

e2

e2limr nn

n

n

n

1in

n

e2

1e2r


Uji Deret Positif

Panduan Pemilihan uji deret

Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka

dapat dipilih uji banding atau uji banding limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan

atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n

Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –

sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral


Deret Ganti Tanda

Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk

menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret yang

suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk .

dengan an> 0 untuk semua n dilakukan uji

tersendiri.

Notasi deret ganti tanda adalah . atau .

Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

a. (monoton tak naik)b.

1

1)1(i

nn a

1

)1(i

nn a

n1n aa0

0alim nn

...aaaa 4321


Deret Ganti TandaContoh Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

merupakan deret ganti tanda

dengan rumus suku ke–nnya adalah .

Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :

a. .

b. Nilai

1n

1n

1nn3n1

1n

1n

1nn3n1

n1n aa0

1nn3nan

0alim nn


Deret Ganti Tanda

a.

Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.

b.

Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

1nn3n

2n1n4n0

1

6n5nn4n

3n2n4nn

aa

2

2

n

1n

1aa

n

1n

01nn3nlimalim

nn

n

1

3n1nn

2n1n4n

aa

n

1n


Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Deret dikatakan konvergen

mutlak, bila deret mutlak konvergen

(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila

divergen, maka . juga divergen.

Kovergen bersyarat terjadi bila konvergen tetapi

divergen.

321

1nn aaaa

|a|aaa 3211n

n

1nna

1nna

1nna

1nna



Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji

banding, dimana deret pembandingnya adalah maka

diperoleh bahwa untuk semua nilai n.

Karena merupakan deret konvergen, maka

juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

1n3nncos

1n3nncos

1n3n1

33 n1

nncos

1n3n1

1n3nncos

1n3nncos



Contoh 2Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah .

Dengan uji rasio diperoleh .

Karena =0<1, maka konvergen.

Sehingga konvergen mutlak.

1n

nn

!n21

1n

n

!n2

n

1n

n 2!n

!1n2lim

1n

n

!n2

1n

nn

!n21

01n

2limn



Contoh 3Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.

Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda

a. (monoton tak naik)

Diperoleh bahwa benar

b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.

Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .

1n

n

n11

1n n1

n1n aa0

n1

1n10

0n1limalim

nn

n


Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak

Misal deret dengan suku tak nol dan , tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :

• Bila r<1, maka konvergen mutlak

• Bila r>1, maka divergen

• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)

Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

1nna

n

1n

n a

alimr

1nna

1nna



Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?

JawabanDengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena , maka konvergen mutlak.

en1nlim 3

3

n

1nn

3n

en1

3

n

1n

3

n ne

e1nlimr

1nn

3n

en11

e1r

e1



Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?JawabanDengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena r > 1, maka divergen .

21nlim

n

1nn

n

2!n1

!n

22

!1nlimrn

1nn

1nn

n

2!n1


Deret Pangkat

Bentuk umum :

Contoh deret pangkat

1.

2.

3.

......2210

0

nn

n

nn xaxaxaaxa

......2210

0

nn

n

nn bxabxabxaabxa

......1 2

0

n

n

n xxxx

...!6!4!2

1!2

1642

0

2

xxxnx

n

nn

...51

41

21

21 2

0

xxnx

n

n


Deret Pangkat Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,

yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan nilai

x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,

yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret

maupun disebut interval kekonvergenan.

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki

ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –

masing deret.

n

0nn xa

n

0nn bxa


Deret Pangkat

Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret • Deret konvergen hanya di x = 0• Deret konvergen mutlak di x R• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau

ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret • Deret konvergen hanya di x = b• Deret konvergen mutlak di x R• Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)

atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

n

0nn xa

n0n

n bxa


Deret Pangkat

Contoh 1

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Deret akan konvergen untuk semua nilai x

Atau x R

01n

xlimn

0n

n

!nx

n

1n

n x!n

!1nxlimr


Deret Pangkat

Contoh 2


Jawaban


Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0

1nxlimn

0n

nx!n

n

1n

n x!1n

!nxlimr


Deret Pangkat

Contoh 3


Jawaban


Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah –3 < x < 3.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

2n1n

3xlim

n

0nn

nn

1n3x1

n

n

1n

1n

n x1n3

2n3xlimr

11.

3x


Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = -3 deretnya menjadi Deret ini

diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

• Saat x = 3 deretnya menjadi dengan uji

deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

0n 1n1

0n

n

1n11

0nn

nn

1n3x1

3x3


Deret Pangkat

Contoh 4


Jawaban


Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

1n2nn5xlim 2

2

n

1n2

n

n5x

n

2

2

1n

n 5xn

1n5xlimr

11.5x


Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = 4 deretnya menjadi karena

. konvergen maka deret ganti tandanya juga

konvergen. .

• Saat x = 6 deretnya menjadi yang merupakan

deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

1n

2n

n11

0n2n1

1n2n1

1n2

n

n5x

6x4


Operasi-operasi deret pangkat

1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,

pembagian, dan substitusi

2. Turunan deret :

3. Integral deret :

1

1

0 n

nn

n

nnx xnaxaD

Cx1n

adxxadxxa 1n

0n

nn

0n 0nn

nn


Deret Pangkat

Deret geometri adalah contoh deret pangkat x dengan

an = 1 .

Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.

1n

nx

...xxx1x1

1 32

1x

...uuu1u1

1 32

1u


Deret Pangkat

Contoh 1Nyatakan dalam deret pangkatJawaban

Dengan menggunakan deret geometri

x11

x11

x11

x11

x11

...xxx1 32

1xx

1x


Deret Pangkat

Contoh 2Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

x1x

...xxxx...xxx1xx1

xx1

x 43232


Deret Pangkat


Jawaban

Jadi

x1x1ln

x1lnx1lnx1x1ln

...x31x

21xdx...xxx1dx

x11x1ln 3232

...x31x

21xdx...xxx1dx

x11x1ln 3232

...x52x

32x2x1lnx1ln

x1x1ln 53


Deret Pangkat


Jawaban

adalah turunan dari sehingga

2x11

2x11

x11

...x4x3x21

dx...xxx1d

dxx1

1d

x11 32

32

2


Deret Taylor dan Maclaurin

Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,

dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di

x = b sampai turunan ke-n, yaitu

33

2210 bxabxabxaaxf

!nbfa

!2bfa

bfa

bfa

n

n

''

2

'1

0



Atau f(x) bisa dituliskan sebagai

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.

Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin, yaitu

nn

3'''

2''

'

bx!nbf

bx!3bfbx

!2bfbxbfbfxf

nn

3'''

2''

' x!n0fx

!30fx

!20fx0f0fxf


Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 1Perderetkan ke dalam deret maclaurinJawaban

Sehingga

10fexf x

10fexf 'x'

10fexf ''x''

10fexf '''x'''

10fexf nxn

x,

!nx

!3x

!2xx1e

0n

n32x

xexf


Deret Taylor dan Maclaurin Contoh 2Perderetkan ke dalam deret Maclaurin / Taylor

Jawaban

Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa

Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh perderetannya adalah

1x2exf

x,

!nx

!3x

!2xx1e

0n

n32x

!31x2

!21x21x21e

321x2



Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin

x,!1n2

x1!7

x!5

x!3

xxxsin0n

1n2n

753

x,

!n2x1

!6x

!4x

!2x1xcos

0n

n2n

642

1x1,1n

x14x

3x

2xxx1ln

0n

1nn

432

1x1,1n2

x17x

5x

3xxxtan

0n

1n2n

7531

1x,xxxxx1x1

1

0n

n432



Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :

7x

5x

3xx

753

xCos

xtan 1

dx

xSind

!6x

!4x

!2x1

642

dxx11

2

dx!7

x!5

x!3

xxd753

dxxxx1 642


Soal Latihan

A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

1. 2.

3. 4.

5. 6.

1n2 1n2n

1n2nsin

1n2n

1n2n1nln

1n

nn

221

1nn ncose

1n

2

!nn


Soal Latihan

A (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

11. 12.

1nn2

nn2

6ee2e

1nn

n

4

1nn

n

2e

1n2nn

1n

n

n11

1n

n n


Soal Latihan

A (Lanjutan)

13. 14.

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

1. 2.

3. 4.

1n2

1n

1n11

1nn2

n

e100

1n nnln

1n3 n5n3n

1n 1nn1

1n3 6n

1n3


Soal Latihan

B. (lanjutan)

5. 6.

7. 8.

9. 10.

1n

n

!n60

1n

n

!nn25

1nn2enln

1nn e1

1n3nncos

1n

n2

!2n22!n


Soal Latihan

B. (lanjutan)

11. 12.

13. 14.

15. 16.

1n

2

!nnsin5

1n185n2

1

1n5 2nn

1nn4!n!4!4n

1n3

1

nntan

1n

1n

2n31n1


Soal Latihan

B. (lanjutan)

17. 18.

19. 20.

21. 22.

1n

nn e1

n

3

1n

1n

en1

1n5

2

n5ncos

1n

n

31n

1n2 nn31

1n3 2 nn6

1


Soal Latihan

B. (lanjutan)

23. 24.

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

1. 3.

2. 4.

1n

n

1n22n3

1n 5n1

1n

1n

n311

1n5

n

n4

n

1n

1n

1n32n1

1n2 1n

ncosn


Soal Latihan

D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

1. 4.

2. 5.

3. 6.

0n

nn

!nx1

1n

n1n

n1x1

0nn

n

23x

0n

1nn

1nx2

2n

n

nlnx

n

0nn x

2!n


Soal Latihan

D. (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat

1. 2.

4x

3x

2xx

432

!6

x!4

x!2

x1642

!33x

!23x3x1

32

63x8

53x4

43x2

31 32

xlnxf x3exf


Soal Latihan

E. (Lanjutan)

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

xexxf

2x411xf

2xsinxf

x31exf

x1

1xf

x1lnxxf

x31

xxf2

x3lnxxf

Barisan - Official Site of Edi Sukirman - Gunadarma Universityediskm.staff.gunadarma.ac.id/.../barisan-dan-deret-UG.ppt · PPT file · Web viewSelang konvergensi untuk deret Deret

Documents