Baris Aritmatikaosis.man2kotamalang.sch.id/.../05/XI-Matematika-Wajib.pdfMAT 4 1 materi78.co.nr TURUNAN Turunan A. PENDAHULUAN Turunan/differensial adalah laju sesaat perubahan fungsi

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui

penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan

selalu sama yaitu b. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai

suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan

nilai adalah:

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-

suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

atau sebagai:

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret

aritmatikanya adalah:

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

.

.

Sehingga diperoleh .

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku

terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah

bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku

beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya

adalah:

▪ Nilai q = 3

▪ Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5

▪

▪ Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris

aritmatika adalah suku ke- . Jika diselesaikan dalam rumus , maka nilai

suku tengah didapatkan:

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui

perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku

sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai

suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan

nilai adalah:

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku

petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

Atau sebagai:

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret

aritmatikanya adalah:

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret

aritmatika yaitu:

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku

terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah

bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan

(r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret

geometri menuju tak hingga dimana , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

Atau sebagai :

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga

bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan

tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret

geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret

geometri adalah:

Dimana terdapat unsur didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika ,

maka untuk menentukan nilai dapat menggunakan limit yaitu:

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

1. Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12

suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

▪ Diketahui bahwa , , maka dapat digunakan rumus :

▪ Dimana:

▪ Sehingga:

▪ Diperoleh:

2. Contoh Soal Deret Geometri

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki

rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

▪ Diketahui bahwa:

dan

▪ Jika kedua persamaan disubstitusikan :

Dan

▪ Sehingga :

3. Contoh Soal Geometri Tak Hingga

Jika maka jumlah deret geometri tak hingga adalah?

(SPMB 2005)

Pembahasan 3:

▪ Diketahui bahwa:

atau

▪ Ditentukan ratio deretnya adalah:

▪ Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi adalah:

Limit

Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu

fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x.

Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

Limit Bentuk 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika kita menemukan bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa

dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan

jangan lupakan ada aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :

Bentuk ∞/∞

Bentuk limit ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Contoh Soal

Coba kalian tentukan

Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk ∞/∞

• Jika m<n maka L = 0

• Jika m=n maka L = a/p

• Jika m>n maka L = ∞

Bentuk Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. Bentuk soalnya sangat beragam. Namun,

penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Berikut contoh soal yang akan kami ambil dari

ujian nasional 2013.

Tentukan Limit

Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak

terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nilai limit tak terhingga bentuk pecahan kita hanya

perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari

pangkat tertinggi penyebut. Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi

penyebut. Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. Rumus ke-3

nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

MAT 4

1

materi78.co.nr

TURUNAN

Turunan A. PENDAHULUAN

Turunan/differensial adalah laju sesaat perubahan fungsi f(x) pada interval x2 dan x1 yang mendekati nol.

Laju rata-rata perubahan fungsi

Jika x1 = a, x2 = a + b, dan a adalah domain dari f(x), maka:

∆y

∆x =

f(x2) - f(x1)

x2 - x1 =

f(a+b) - f(a)

(a+b) - a

Laju sesaat perubahan fungsi (turunan)

Adalah nilai limit dari laju rata-rata perubahan fungsi f(x) pada interval x2 dan x1 mendekati nol.

Jika x1 = a, x2 = a + b, a adalah domain dari f(x), dan nilai b mendekati nol, maka:

dy

dx = lim

b→0

∆y∆x = lim

b→0

f(x2) - f(x1)x2 - x1

= limb→0

f(a+b) - f(a)(a+b) - a

B. RUMUS-RUMUS TURUNAN

Rumus-rumus turunan fungsi pada beberapa bentuk:

Fungsi (f(x)) Turunan fungsi (f’(x))

U ± V U’ ± V’

U.V U’.V + U.V’

U.V.W U’.V.W + U.V’.W + U.V.W’

UV

U’.V - U.V’

V2

Un n.Un-1.U’

U∘V = U(V(x)) U’(V(x)).V’(x)

U∘V∘W = U(V(W(x)) U’(V(W(x))).(V(W(x))’

y = f(u)

u = g(x)

dy

du .

du

dx =

dy

dx

y = f(u) v = h(x)

u = g(v)

dy

du .

du

dv .

dv

dx =

dy

dx

C. TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Aturan-aturan yang digunakan pada turunan fungsi aljabar:

f(x) f’(x)

k (konstanta) 0

k.x k

k.xn n.k.xn-1

Contoh pengerjaan bentuk U ± V:

Contoh 1: y = x4 – 5x2 – 7, tentukan turunannya!

y' = 4.x4-1 – 2.5.x2-1 – 0

y’ = 4x3 – 10x

Contoh 2: f(x) = (x – 5)(x + 7), tentukan turunan pertama dan keduanya!

f(x) = x2 + 2x – 35

f’(x) = 2.x2-1 + 2 – 0

f’(x) = 2x + 2

f’’(x) = 2

Contoh 3: f(x) = 3x√x - 7√x - 5x, tentukan f’(x)!

f(x) = 3x3

2⁄ – 7x1

2⁄ – 5x

f’(x) = 3. 32 . x

12⁄ – 7. 1

2 . x–1

2⁄ – 5

f’(x) = 92 √x –

7

2√x – 5

Contoh 4: y = 2a2x2 – 3ax4 + 5x + a + 7, tentukan turunan y terhadap x! dy

dx = 2.2a2.x2-1 – 4.3a.x4-1 + 5 + 0

dy

dx = 4a2x – 12ax3 + 5

Contoh pengerjaan bentuk U.V:

Contoh 1: Turunan pertama dari y = 2x2√2–x adalah?

U = 2x2 U’ = 4x

V = √2–x = (2-x)1

2⁄ V’ = 12. (2-x)–

12⁄ .(-1)

= -1

2√2–x

y’ = U’V + U.V’

y’ = 4x√2–x + 2x2. -1

2√2–x

y’ = 8x - 4x2 - x2

√2–x y’ =

8x - 5x2

√2–x

Contoh 2: f(x) = (3x + 4)(8 – x), tentukan f’(x)!

U = 3x + 4 U’ = 3

V = 8 – x V’ = -1

f’(x) = U’V + U.V’

f’(x) = (3)(8 – x) + (3x + 4)(-1)

f’(x) = 24 – 3x – 3x – 4

f’(x) = 20 – 6x

Contoh 3: f(x) = (x – 2)2(3 – x), tentukan turunan kedua dari f(x) dan nilai f’’(1).

U = (x – 2)2 U’ = 2(x– 2)(1) = 2x – 4

V = 3 – x V’ = -1

f’(x) = U’V + U.V’

f’(x) = (2x – 4)(3 – x) + (x – 2)2(-1)

f’(x) = 6x – 2x2 – 12 + 4x – x2 + 4x – 4

∆y

∆x =

f(x+b) - f(x)

b

dy

dx =

d[f(x)]

dx = y’ = f’(x) = lim

b→0

f(x+b) - f(x)b

MAT 4

2

materi78.co.nr

TURUNAN

f’(x) = –3x2 + 14x – 16

f’’(x) = (2)(-3x2-1) + 14 – 0

f’’(x) = -6x + 14

f’’(1) = -6(1) + 14 f’’(1) = 8

Contoh 4: a = (2b – 4)(b – 1)(3 – b), tentukan da

db !

U = 2b – 4 U’ = 2

V = b – 1 V’ = 1

W = 3 – b W’ = -1 da

db = U’.V.W + U.V’.W + U.V.W’

= 2(b–1)(3–b) + (2b–4)(1)(3–b) + (2b–4)(b–1)(-1)

= 2(3b – b2 – 3 + b) + (6b – 2b2 – 12 + 4b) –

(2b2 – 2b – 4b + 4)

= 8b – 2b2 – 6 + 10b – 2b2 – 12 – 2b2 + b – 4 da

db = 19b – 6b2 – 22

Contoh pengerjaan bentuk UV :

Contoh 1: Tentukan y’ dari y = 3x+2

2x+3 !

U = 3x + 2 U’ = 3

V = 2x + 3 V’ = 2

y’ = U’.V - U.V’

V2

y’ = (3)(2x+3) - (3x+2)(2)

(2x+3)2

y’ =6x + 9 - 6x - 4

4x2+12x+9 y’ =

5

4x2+12x+9

Contoh 2: Tentukan nilai f’(x) dari f(x) = 1

1+1x

!

U = 1 U’ = 0

V = 1 + x-1 V’ = -x-2

f’(x) = U’.V - U.V’

V2

f’(x) = (0)(1+x-1) - (1)(-x-2)

(1+x-1)2

f’(x) = x-2

1+2x-1+x-2 = 1x2

1+2x+1

x2

f’(x) = 1

x2+2x+1

Contoh pengerjaan bentuk Un:

Contoh 1: y = (1 – 5x)6, maka nilai y’?

y’ = n.Un-1.U’

y’ = 6.(1 – 5x)6-1. (-5)

y’ = -30(1 – 5x)5

Contoh 2: y = (x – 2)3, tentukan turunan pertama dan kedua y.

y’ = n.Un-1.U’

y’ = 3.(x – 2)3-1. (1)

y’ = 3(x – 2)2 = 3(x2 – 4x + 4)

y’ = 3x2 – 12x + 12

y’’ = 2.3.x2-1 – 12

y’’ = 6x – 12

Contoh 3: g(x) = (√x – 5)2 + 2√x + 2, nilai g’(x)?

U = √x – 5 = x1

2⁄ – 5 U’ = 12 . x–1

2⁄ = 1

2√x

V = 2√x = 2x1

2⁄ V’ = 2. 12 .x–1

2⁄ = 1

√x

W = 2 W’ = 0

g’(x) = n.Un-1.U’ + V’ + W’

g’(x) = 2(√x – 5). 1

2√x +

1

√x + 0

g’(x) = √x - 5

√x +

1

√x =

√x - 4

√x .

√x

√x =

x - 4√x

x

g’(x) = 1 – 4√x

x

Contoh pengerjaan bentuk komposisi fungsi dan turunan berantai:

Contoh 1: Jika f(x) = x2 + 4, g(x) = 3x + 6, dan h(x) = f∘g(x), tentukan h’(x)!

f’(x) = 2x g’(x) = 3

h’(x) = f’(g(x)).g’(x)

h’(x) = 2(3x + 6)(3) h’(x) = 18x + 36

Contoh 2: y = √x+√5x–1 , tentukan y’.

Kita anggap bahwa:

y = √u u = x + √5x–1

maka,

dy

dx =

dy

du .

du

dx

= 1

2√u. (1+

5

2√5x+1) =

1

2√x+√5x–1. (1+

5

2√5x+1)

= 1

2√x+√5x–1 +

1

2√x+√5x–1.(

5

2√5x+1)

dy

dx =

2√5x+1+5

4√(x+√5x–1)(√5x+1)

D. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Aturan-aturan yang digunakan pada turunan fungsi trigonometri:

f(x) f’(x)

sin U cos U. U’

cos U -sin U. U’

tan U sec2 U. U’

sec U sec U. tan U. U’

cot U -cosec2 U. U’

cosec U cosec U. cot U. U’

MAT 4

3

materi78.co.nr

TURUNAN

Contoh pengerjaan bentuk U ± V:

Contoh 1: f(x) = 2.cosx – sin4x + tanx, maka f’(π

4)?

f’(x) = –2.sinx – 4.cos4x + sec2x

f’(π

4) = –2.sin(π

4) – 4.cos4(π

4) + sec2(π

4)

f’(π

4) = –2. 1/2√2 – 4.(–sin(π

2)) + (√2)2

f’(π

4) = –√2 + 4(1) + 2 f’(π

4) = 6 – √2

Contoh 2: h(x) = cosx + x.sinx – x3 + 5, maka h’(x)?

h’(x) = –sinx + (1)(sinx) + (x)(cosx) – 3x2 + 0

h’(x) = –sinx + sinx + x.cosx – 3x2

h’(x) = x.cosx – 3x2

Contoh pengerjaan bentuk U.V:

Contoh 1: y = (sinx – cosx)(sinx + cosx), tentukan turunan pertama dan kedua dari y.

U = sinx – cosx U’ = cosx + sinx

V = sinx + cosx V’ = cosx – sinx

y’ = U’V + UV’

y’ = (cosx + sinx)(sinx + cosx) + (sinx – cosx)(cosx – sinx)

y’ = sin2x + 2.sinx.cosx + cos2x – (sin2x

– 2.sinx.cosx + cos2x)

y’ = 4.sinx.cosx

y’ = 2.sin2x y’’ = 4.cos2x

Contoh 2: Tentukan y’ dari y = 4.sin2x.cos2x !

U = 4.sin2x U’ = 2.4.sinx.cosx

U’ = 8.sinx.cosx = 4.sin2x

V = cos2x V’ = –2.sin2x

y' = U’V + UV’

y’ = (4.sin2x)(cos2x) + (4.sin2x)(–2.sin2x)

y’ = 2.sin4x – 8.sin2x.sin2x

Contoh pengerjaan bentuk UV:

Contoh 1: Jika y = sinx

1 - cosx , tentukan nilai y’!

U = sinx U’ = cosx

V = 1 – cosx V’ = sinx

y’ = U’.V - U.V’

V2

y' = (cosx)(1 – cosx) – (sinx)(sinx)

(1 – cosx)2

y’ = cosx – cos2x – sin2x(1 – cosx)(1 – cosx)

y’ = –(–cosx+(cos2x + sin2x))

(1–cosx)(1–cosx) =

–(–cosx+1)(1–cosx)(1–cosx)

y’ = 1

cosx – 1

Contoh 2: f(x) = x + sinx

1 + cosx , maka f’(x)?

U = x + sinx U’ = 1 + cosx

V = 1 + cosx V’ = -sinx

f’(x) = U’.V - U.V’

V2

f'(x) = (1 + cosx)(1 + cosx) – (x+sinx)(–sinx)

(1 + cosx)2

f’(x) = 1 + 2.cosx + cos2x + x.sinx + sin2x

(1 + cosx)2

f’(x) = 2 + x.sinx + 2.cosx

(1 + cosx)2

Contoh pengerjaan bentuk Un:

Contoh 1: Tentukan turunan dari y = sin7(5x2 - π2)!

y’ = n.Un-1.U’

y’ = 7.sin7-1(5x2 - π2).cos(5x2 - π

2).(2.5x2-1 – 0)

y’ = 70x.sin6(5x2 - π2).cos(5x2 - π

2)

Contoh 2: f’(x) dari f(x) = sec10(3 – 5x) adalah?

f’(x) = 10.sec10-1(3 – 5x).sec(3 – 5x).tan(3 – 5x).(-5)

f’(x) = –50.sec10(3 – 5x).tan(3 – 5x)

Contoh 3: y = 1

5.cot5x – 1

3.cot3x + cotx + x, maka

turunan pertama dan kedua y adalah?

y’ = 5.15.cot5-1x.(–cosec2x) – 3.1

3.cot3-1x.(–cosec2x)

+ (–cosec2x) + 1

y' = –cot4x.cosec2x – cot2x.cosec2x – cosec2x + 1

y’ = –cot4x.cosec2x – cot2x.cosec2x + cot2x

y’ = cot2x(–cot2x.cosec2x – cosec2x + 1)

y’ = cot2x(–cot2x.cosec2x + cot2x)

y’ = cot4x(–cosec2x + 1)

y’ = cot6x

y’’ = 6.cot6-1x.(–cosec2x) y = –6.cot5x.cosec2x

Contoh pengerjaan bentuk komposisi fungsi dan turunan berantai:

Contoh 1: Jika g(x) = x2, dan h(x) = sin4x, maka turunan dari g∘h(x) adalah?

g’(x) = 2x h’(x) = 4.cos4x

(g∘h(x))’ = g’(h(x)).h’(x)

= 2(sin4x).4.cos4x = 8.sin4x.cos4x

(g∘h(x))’ = 4.sin8x

Contoh 2: y =√sin√cos2x, maka y’?

y = √u u = sinv v = √w w = cos2x

dy

dx =

dy

du .

du

dv .

dv

dw .

dw

dx

= 1

2√u . cosv.

1

2√w .(–2.sin2x)

= 1

2√sin√cos2x.cos√cos2x.

1

2√cos2x.(–2.sin2x)

dy

dx =

–sin2x

(2√sin√cos2x)(√cos2x)

MAT 4

4

materi78.co.nr

TURUNAN

Contoh pengerjaan dengan menyederhanakan menggunakan dalil-dalil trigonometri:

Contoh 1: y = √(sin2x+cos2x)2

sec4x+tan4x

3

, tentukan y’!

y = √2.sin2x.cos2x+sin2x+cos

2x

1cos4x+sin4x

cos4x

3

y = √(2.sin2x.cos2x+1)(cos4x)

1+sin4x

3

y = √(sin4x+1)(cos4x)

1+sin4x

3

= √cos4x3 = cos134x

y’ = 13.cos–

234x.(-sin4x)(4) y’ = - 4.sin4x

3√cos24x3

Contoh 2: f(x) = (sin5x – cos5x)2, maka nilai f’’(x) adalah?

f(x) = sin25x – 2.sin5x.cos5x + cos25x

f(x) = 1 – sin10x f’(x) = –10.cos10x

f’’(x) = 100.sin10x

Contoh 3: Tentukan turunan pertama dari

persamaan y = sin3x – sin2x + sinx

cos3x – cos2x + cosx !

y = (sin3x + sinx) – sin2x

(cos3x + cosx) – cos2x =

2.sin2x.cosx – sin2x

2.cosx.cosx – cos2x

y = (2cosx - 1).sin2x

(2cosx - 1).cos2x = tan2x

y’ = 2.sec22x