Bab1 Estimasi Bayes

Dr. Suparman, M.Si., DEA 1

Penaksir Bayes :

Misalkan n21 x,,x,x

menyatakan sampel random yg diambil dari suatu populasi dgn fgs kepadatan peluang

)x(f

dimana adalah parameter.

Jika )( menyatakan distribusi prior utk maka

Maka menurut Teorema Bayes, distribusi posterior utk

adalah

)x,,x,x( n21

d)()x,,x,x(f

)()x,,x,x(f

n21

n21

jika Kontinu dan

)x,,x,x( n21 )()x,,x,x(f

)()x,,x,x(f

n21

n21

jika diskrit.

Penaksir bayes untuk θ adalah mean distribusi posterior


Example :

Let x1 = 1, x2 = 2 be a random sample of size 2

from distribution with probability density

,)1(x3)x(f x3x

.3,2,1,0x

If the prior density of θ is

,2)( 121

a. What is the posterior distribution of θ

b. What is the Bayes estimation of θ

Answer :

)2x,1x( 21 a.

d)()2x,1x(f

)()2x,1x(f

21

21

)2x,1x(f 21

)x(f i2

1i

ii x3xi

2

1i

)1(x3

33 )1(23

13

33 )1(9

d)1(18

)1(18

331

33

21


)2x,1x( 21

d)1(18

)1(18

331

33

21

d)1(18 331

21

d)331(18 3231

21

d3318 65431

21

140

9

1409

33 )1(18

33 )1(280

Therefore, posterior distribution of θ is

)2x,1x( 21 ,)1(280 33 121

b. )2x,1x(Eˆ 21

d)1(280 331

21


b. )2x,1x(Eˆ 21

d)1(280 331

21

d)1(280 341

21

256

163

Therefore, Bayes estimation of θ is

256

163ˆ


Penaksir Bayes :

Misalkan n21 x,,x,x

menyatakan sampel random yg diambil dari suatu populasi dgn fgs kepadatan peluang

)x(f

dimana adalah parameter.

Jika )( menyatakan distribusi prior utk maka

Maka menurut Teorema Bayes, distribusi posterior utk

adalah

)x,,x,x( n21

d)()x,,x,x(f

)()x,,x,x(f

n21

n21

jika Kontinu dan

)x,,x,x( n21 )()x,,x,x(f

)()x,,x,x(f

n21

n21

jika diskrit.

Penaksir bayes untuk θ adalah mean distribusi posterior

Conjugate Prior


Notasi “” Notasi “” berarti sebanding dengan.

Contoh : 3x2)x(f

3x)x(f

4yx3)yx(f 4x)yx(f

4yx3)xy(f y)xy(f

!x

e)x(f

x

!x)x(f

x

x

1ex)(

1),x(f

x

1ex),x(f

11 )x1(x)()(

)(),x(f

11 )x1(x),x(f

xe)x(f xexf )(


)x,,x,x( n21

n

1i i

xn

!x

en

1i i b/1a

ae

)a(b

1

n1i i

xn

0!x

en

1i i

de)a(b

1 b/1a

a

n

1i ixneb/1a e )x,,x,x( n21


Contoh 4.30 hal 96 :

Dari suatu populasi yang berdistribusi Poisson, diambil sampel random x1 , x2 , ….., xn . Misalkan bahwa distribusi prior untuk parameter θ adalah distribusi gamma dengan parameter a dan b. Tentukan : a. Distribusi posterior dari parameter θ b. Estimator bayes untuk θ Jawab :

!x

e)x(f

x

θ>0 dan x = 0,1,2,…

b/1a

ae

)a(b

1)(

θ>0, b>0, dan a>0

Sehingga

)x(f)x,,x,x(f in

1in21

!x

e

i

xn

1i

i

n1i i

xn

!x

en

1i i


a. Distribusi posterior dari θ

d)()x,,x,x(f

)()x,,x,x(f)x,,x,x(

n210

n21

n21

n1i i

xn

!x

en

1i i

b/1a

ae

)a(b

1

n1i i

xn

0!x

en

1i i

de)a(b

1 b/1a

a

n

1i ixneb/1a e

)b

1n(1xa

en

1i i

Jadi, distribusi posterior dari θ adalah berdistribusi gamma dengan parameter

)b

1n(

1

dan n

1i ixa


b. Estimasi bayes untuk θ

Dari jawaban no. a, diperoleh θ berdistribusi gamma dengan parameter

n

1i ixa dan

)b

1n(

1

Jadi, estimator bayes untuk θ adalah

n1i i )

b

1n/()xa(ˆ


Soal 1 :

Misalkan kita mempunyai sampel random ukuran n yang berasal dari distribusi eksponensial

xe)x(f

utk x >0. Disini, θ > 0.

Misalkan distribusi prior untuk parameter θ adalah

b/1a

ae

)a(b

1)b,a(

Tentukan distribusi posterior untuk θ


Soal 2 :

Misalkan kita mempunyai sampel random ukuran n yang berasal dari distribusi bernoulli

x1x )1()x(f

utk x = 0, 1. Disini, 0<θ<1


1)b,a(

1. Tentukan distribusi posterior untuk θ

2. Penarsir bayes untuk θ

Soal 3 :

Misalkan kita mempunyai sampel random ukuran n yang berasal dari distribusi dgn fungsi kepadatan probabilitas

xe)x(f

utk x>0


bbe)b(untuk θ >0.

1. Tentukan distribusi posterior untuk θ

2. Penaksir bayes untuk θ

Bab1 Estimasi Bayes

Documents