Top Banner
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 1 BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami turunan, antiturunan fungsi dan dapat mengaplikasikannya untuk menentukan selesaian umum atau selesaian khusus persamaan diferensial yang diberikan. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi ekpslisit dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi. 2. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi implisit dengan menggunakan kaidah diferensial dan sifat-sifatnya. 3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan/integral suatu fungsi 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial 5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan diferensial suatu primitif atau persamaan keluarga suatu fumgsi ekspilisit atau implicit. 6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian khusus persamaan diferensial yang diberi syarat awal. Bab Pendahuluan membahas lima hal pokok, yaitu: (1) fungsi, (2) turunan dan antiturunan, (3) persamaan diferensial, (4) primitif suatu persamaan diferensial, (5) masalah nilai awal dan syarat batas. 1.1 Fungsi Pengetahuan awal dan konsep dasar dalam matematika yang perlu dipahami untuk mempelajari persamaan diferensial adalah fungsi dan turunan fungsi. Berdasarkan tata cara penulisannya, fungsi dapat ditulis dalam bentuk eksplisit dan implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi
36

BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Mar 13, 2019

Download

Documents

doanthu
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 1

BAB I

PENDAHULUAN

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami turunan, antiturunan fungsi dan dapat mengaplikasikannya untuk

menentukan selesaian umum atau selesaian khusus persamaan diferensial yang

diberikan.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi ekpslisit dengan menggunakan

sifat-sifat turunan fungsi.

2. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi implisit dengan menggunakan

kaidah diferensial dan sifat-sifatnya.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan/integral suatu fungsi

4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial

5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan diferensial suatu primitif atau

persamaan keluarga suatu fumgsi ekspilisit atau implicit.

6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian khusus persamaan diferensial yang

diberi syarat awal.

Bab Pendahuluan membahas lima hal pokok, yaitu: (1) fungsi, (2) turunan

dan antiturunan, (3) persamaan diferensial, (4) primitif suatu persamaan

diferensial, (5) masalah nilai awal dan syarat batas.

1.1 Fungsi

Pengetahuan awal dan konsep dasar dalam matematika yang perlu

dipahami untuk mempelajari persamaan diferensial adalah fungsi dan turunan

fungsi. Berdasarkan tata cara penulisannya, fungsi dapat ditulis dalam bentuk

eksplisit dan implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang antara peubah

bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi

Page 2: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 2

eksplisit ditulis berbentuk )(xfy , sedangkan fungsi implisit adalah suatu

fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas tidak dapat dibedakan

secara jelas. Secara umum fungsi implisit ditulis berbentuk 0),( yxf .

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi yang dinyatakan dalam bentuk

eksplisit dan implisit.

1. 452 xxy

2. 3 2 13

1

xxy

3. )5cos( xy

4.

22

xxxx eeeey

5.

3

1arcsinx

xy

6. 1ln1ln1

1ln

xxx

xy

7. xxxy

8. 2522 yx

9. 0222 xyyx

10. 01222 yxyx

11. 43)cos( 22 xxyy

12. 0)sin( yxy

Contoh 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi ekplisit dan fungsi tersebut

dapat diubah menjadi fungsi implisit. Bagaimana bentuk implisitnya

ditinggalkan dalam penjelasan ini sebagai latihan bagi pembaca. Sedangkan

contoh 8, 9, 10, 11 dan 12 adalah fungsi implisit. Berbeda dengan fungsi

eksplisit yang secara langsung dapat diubah menjadi fungsi impilisit, Fungsi

implisit tidak semuanya dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Sehingga dapat

disimpulkan bahwa setiap fungsi eksplisit dapat diubah menjadi bentuk fungsi

Page 3: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 3

implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi

eksplisit. Fungsi pada contoh 9 di atas adalah fungsi implisit yang tidak dapat

dinyatakan dalam fungsi eksplisit.

Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat

beberapa contoh fungsi dan mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam

bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain

fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit

yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi

eksplisit )(xfy , x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut

peubah tak bebas (dependent). Bentuk 0),( yxf jika dapat diubah dalam

bentuk ekplisit x , dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak

bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada

peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

1.2 Turunan dan Antiturunan

Andaikan )(xfy adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi

pada interval tertentu, turunan (derevative) fungsi )(xfy dinotasikan

)('' xfy Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi

)(xfy adalah )(xfDx atau dxdy atau

dxxdf )( .

Turunan fungsi )(xfy didefinisikan sebagai

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim0

asalkan limitnya ada.

Berdasarkan bentuk di definisi turunan di atas,

Misal txx maka diperoleh xtx

Karena 0x maka xt

Sehingga definisi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

xtxftf

dxdy

xt

)()(lim

asalkan bentuk di atas mempunyai limit

Page 4: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 4

Contoh Soal

1. Tentukan turunan dari fungsi

a. 1 xy

Jawab

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim0

xxxx

x

11)(lim

0

11)(11)(11)(

lim0

xxx

xxxx

xxxx

11)(

11)(lim0

xxxxxxx

x

11)(lim

0

xxxx

xx

11)(1lim

0

xxxx

111

xx

121

x

b. x

y

32

Jawab

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim0

xxxx

x

32

)(32

lim0

Page 5: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 5

x

xxxxxx

x

3)(3)(3232

lim0

)(3232)(3232

)3)((3)(3232

lim0 xxx

xxxxxxxxxx

x

xxxxxxxxxx

x

(3332)3)((3

)226()26(lim0

xxxxxxxxx

(3332)3)((3(3

2lim0

Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan

diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi.

Jika vu, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masing-masing dapat

diturunkan dan c sebarang bilangan real maka:

1. 0)( cdxd

2. 1)( xdxd

3. 1)( nn nxxdxd

4. dxdunuu

dxd nn 1)(

5. dxdv

dxduvu

dxd

)(

6. dxdv

dxduvu

dxd

)(

7. dxdw

dxdv

dxduwvu

dxd

)(

8. dxdw

dxdv

dxduwvu

dxd

)(

9. dxduccu

dxd

)(

Page 6: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 6

10. dxdvu

dxduv

dxduv

dxdvuuv

dxd

)(

11. dxdwvw

dxdvuw

dxdwuvuvw

dxd

)(

12. 2vdxdvu

dxduv

vu

dxd

Selain rumus umum turunan fungsi tersebut di atas, terdapat beberapa

aturan turunan suatu fungsi, antara lain:

1. xxdxd cos)(sin

2. xxdxd sin)(cos

3. xxdxd 2sec)(tan

4. xxdxd 2csc)(cot

5. xxxdxd tansec)(sec

6. xxxdxd cotcsc)(csc

7. 21

1)(arcsinx

xdxd

8. 21

1)(arccosx

xdxd

9. 211)(arctanx

xdxd

10. 211)cot(x

xarcdxd

11. 1

1)sec(2

xx

xarcdxd

Page 7: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 7

12. 1

1)csc(2

xx

xarcdxd

13. xxdxd cosh)(sinh

14. xxdxd sinh)(cosh

15. xhxdxd 2sec)(tanh

16. xhxdxd 2csc)(coth

17. xhxhxdxd tanhsec)(sec

18. 2

1

1

1)(sinhx

xdxd

19. 1,1

1)(cosh2

1

xx

xdxd

20. 1,1

1)(tanh 22

1

xx

xdxd

21. 1,1

1)(coth 22

1

xx

xdxd

22. 10,1

1)(sec2

1

xxx

xhdxd

23. 0,11)(csc

2

1

xxxx

xhdxd

24. xx eedxd

)(

25. x

xdxd 1)(ln

26. ax

xdxd a ln1)log(

Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan fungsi

implisit dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan kaidah diferensial,

Page 8: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 8

yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut.

Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya variabel yang

sejenis dikelompokkan dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar

diperoleh turunan fungsi yang diberikan.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Tentukan

dxdy dari 0422 yx

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh

)0()4()()( 22 ddydxd

0022 dyydxx

022 dyydxx

dyydxx

yx

dxdy

24 yx

dxdy

2. Tentukan

dxdy dari 0222 xyyx

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh

)0()2()()( 22 ddxydyxd

00)2()2( 22 dxydyxydxxydyx

0)2()2( 22 dyxyxdxyxy

0)2()2( 22 dyxyxdxyxy

Page 9: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 9

xyxyxy

dxdy

22

2

2

3. Tentukan

dxdy dari xxxy

Jawab

Untuk menentukan dxdy dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah

terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:

xxxy

078 xy

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh

)0()()( 78 dxdyd

078 67 dxxdyy

dxxdyy 67 78

Sehingga 7

6

87

yx

dxdy

Latihan soal

Tentukan dxdy fungsi-fungsi berikut ini.

1. 21

4

xxy

2. 03232 2 xyyxy

3. x

ysin

21

4. 0)12(cos2 xy

Page 10: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 10

5. 21

21x

y

6. 23

)1sec( xy

7. 032)cos( 2 yxxy

8. 0132 yxyx

9. 032)cos( 2 yxxyy

10. 4 1sin xy

Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang

mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah tentang

antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral.

Misal )(xfy menyatakan turunan suatu fungsi, antiturunan dari

)(xfy dinotasikan dengan )(xfAx . Bentuk lain notasi antiturunan fungsi

secara sederhana dilambangkan dengan dxxf )( . Misal antiturunan )(xfy

adalah cxF )( , secara singkat dapat ditulis dengan menggunakan lambang

,,)()( realccxFdxxf dan )(xf disebut integran.

Jika )(xfy suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi

tersebut dikatakan terintegralkan (integrable).

Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan suatu fungsi.

1. realccnuduu

nn

.1

1

dan n bilangan rasional dengan 1n

Akibatnya

untuk n = -1 berlaku cuduu

duuduu n ln11

2. 1,)()(')(1

njikacnxudxxuxu

nn

3. realccxfdxxfxf

,)(ln)()('

Page 11: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 11

4. realccedue uu ,

5. realccu

aduau

u ,ln

6. duvuvdvu

7. realccuduu .cossin

8. realccuduu .sincos

9. realccuduu .tansec 2

10. realccuduu .cotcsc 2

11. realccuduuu .sectansec

12. realccuduuu .csccotcsc

13. realccucuduu .coslnseclntan

14. realccucuduu .sinlnsinlncot

15. realccuuduu .tanseclnsec

16. realccuuduu .cotcsclncsc

17.

realcac

au

uadu ,.arcsin

22

18.

realcac

au

aaudu

uadu ,.arctan1

2222

19.

realcacauau

auadu ,.ln

21

22

20.

realcacauau

aaudu ,.ln

21

22

21.

realcacuuuau

du ,.ln 22

22

22.

realcacauuau

du ,.ln 22

22

Page 12: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 12

23.

realcac

auaauuduua ,.arcsin

22

22222

24.

realcac

auarc

aauudu ,.sec1

22

25. realcacauuaauuduau ,.ln22

222

2222

26. realcacauuaauuduau ,.ln22

222

2222

27. realccuuduu .42sin

2sin 2

28. realccuuduu .42sin

2cos 2

29. realccuuduu .tantan 2

30. realccuuduu .cotcot2

31. realccuuduu .cos)sin2(31sin 23

32. realccuuduu .sin)cos2(31cos 23

33. realccuuduu .coslntan21tan 23

34. realccuuduu .sinlncot21cot 23

35. realccuuuuduu .cotcscln21cotcsc

21csc3

36. realcbabajikacba

ubaba

ubadubuau

,,.,)(2)sin(

)(2)sin(coscos 22

37. 22,)(2)sin(

)(2)sin(sinsin bajikac

bauba

baubadubuau

38. 22,)(2)cos(

)(2)cos(cossin bajikac

bauba

baubadubuau

Page 13: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 13

39.

duun

nn

uuduu nn

n 21

cos1sincoscos

40.

duun

nn

uuduu nn

n 21

sin1cossinsin

41. 1,tantan1

1tan 21

njikaduuun

duu nnn

42. 1,cotcot1

1cot 21

njikaduuun

duu nnn

43. 1,sec12tansec

11sec 22

njikaduunnuu

nduu nnn

44. 1,csc12cotcsc

11csc 22

njikaduunnuu

nduu nnn ,

45. mnduuumn

nmn

uuduuu mnmn

mn

,cossin1cossincossin 211

46. realccuuuduuu .cossinsin

47. realccuuuduuu .sincoscos

48. duuunuuduuu nnn coscossin 1

49. duuunuuduuu nnn sinsincos 1

50. realccuudu .sin21)(sinsin 2

51. realccuudu .cos21)(coscos 2

52. realccuudu .tan21)(tantan 2

53. realccuudu .cot21)(cotcot 2

54. realccuudu .sec21)(secsec 2

55. realccuudu .csc21)(csccsc 2

Page 14: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 14

56. realcacauuaauuduau ,.ln22

222

2222

57.

realcac

uauaaaudu

uau ,.ln

2222

22

58.

realcacauuduau

du ,.ln 22

22

59.

realcacauarcaaudu

uau ,.sec22

22

60. realcacuauauauauduuau ,.ln8

28

224

2222222

61.

realcacua

auauu

du ,.2

22

222

62.

realcacuauauauduau

u ,.ln22

222

22

22

2

63. realcacauuaudu

uau ,.ln 2222

2

22

64.

realcac

auau

audu ,.

2222/322

65.

realcacuaua

duu ,.22

22

66. realcacauuaauauuduau ,,ln8

3)52(8

224

22222/322

67.

realcac

au

uauaa

uaduu ,.arcsin

2

222

22

2

68.

realcac

uuaaauadu

uua ,.ln

2222

22

69.

realcac

auauaauuduuau ,.arcsin

82

8

42222222

70.

realcacua

uauau

du ,.2

22

222

Page 15: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 15

71.

realacacau

uaudu

uau ,.arcsin

22

2

22

72.

realcacu

uaaauau

du ,.ln1 22

22

73. realccuu

uudu

.

1111ln

1

74. realccuuduu

u

.arctan22)1(

75. realccuuu

du

.1ln2)1(

76.

realccuaa

u

ua

du .)(

22223

22

77. realcacauauauauduua

,.arcsin

8325

8)(

422222

322

78. dueunuudueu ununun 1

79. realccuduue uu .)1(

80. realccuuuduu .lnln

81. realccnuu

nuduuu

nnn

.)1(

ln1

ln 2

11

82. realccbubbuaba

edubueau

au

.)cossin(sin 22

83. realccbubbuaba

edubueau

au

.)sincos(cos 22

84. realccuuuduu .1arcsinarcsin 2

85. realccuuuduu .1ln21arctanarctan 2

86. realccuuuarcuduuarc .1lnsecsec 2

Page 16: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 16

87. realccuuuuduuu .14

arcsin)12(41arcsin 22

88. realccuuuduuu .2

arctan)1(21arctan 2

89. realccuuarcuduuarcu .121sec

2sec 2

2

90.

1,11

1arcsin1

arcsin2

11

njikacduu

un

unuduuu

nn

91.

1,11

1arctan1

arctan2

11

njikacduu

un

unuduuu

nnn

92.

1,11

1sec1

sec2

11

njikacduu

un

uarcnuduuarcu

nnn

93. realccuduu .coshsinh

94. realccuduu .sinhcosh

95. realccuduu .coshlntanh

96. realccuduu .sinhlncoth

97. realccuduu

.sinharctancosh

1

98. realccuduu

.

2tanhln

sinh1

99. realccuuduu .24

sinhsinh 2

100. realccuuduu .24

sinhcosh 2

101. realccuuduu .tanhtanh 2

102. realcuuduu .cothcoth2

103. realccuduu

.tanhcosh

12

Page 17: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 17

104. realccuduu

.cothsinh

12

105. realcchuduuhu .sectanhsec

106. realcchuduuhu .csccothcsc

107. realccbauab

audu

bauu

.ln

)( 2

108. realccbau

bbaua

dubau

u

.ln1)( 22

109.

2,1,12

)()( 2

1

njikacn

bn

baua

baudubauun

n

110.

1)(22

32))(22(

1)( 122122222 njika

uadu

nn

uanu

adu

uadu

nnn

111.

21)(

122

12)()( 122

22222 njikaua

nna

nuauduua n

nn

112.

1)(22

32))(22(

1)( 122122222 njika

audu

nn

aunu

adu

audu

nnn

113.

21)(

122

12)()( 122

22222 njikaau

nna

nauuduau n

nn

114. dueuameu

adueu aunaunaun 11

115. realcbacbaubaua

dubauu ,,.))(23(15

2 23

2

116. realccbauunbbauuna

dubauu nnn

.)()32(

2 12/3

117.

realcbacbaubaua

dubau

u ,,.)2(3

22

Page 18: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 18

118. realccdubau

unbbauuna

dubau

u nn

n

.)12(

2 1

119. realccbbaubbau

bbauudu

.ln1

120.

1,

)22()32(

)1( 11 njikacbauu

dubnan

unbbau

bauudu

nnn

121. realcca

aun

auauauduuau

.arcsin22

22

22

122. realcca

auuau

du

.arcsin2 2

123.

duuauun

ann

uauuduuauu nn

n 212/321

2 2212

2)2(2

124.

duuau

un

anuaun

uduuau

duu nnn

2

12

1

2 2)12(2

2

125. realcca

auauauduu

uau

.arcsin22 22

126.

du

uuau

ann

aunuaudu

uuau

nnn 1

223

22 2)32(

3)23(

)2(2

127.

21

2

2 2)12(1

)21(2

2 uauudu

ann

unauau

uauudu

nnn

128. realccuaunnaduuau n

.)2(1

2 122

2

129.

2/32

2

22

242 2)2(

32)2(2 uau

duan

nuaun

au

uau

du n

130. realccu

u

duu

u

.

2232

tan

2232

tanln2

41

sin1sin

2

2

2

131. realccuuduuuu

.cos1lncos

cos1cossin

Page 19: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 19

132. realccuuuduu .cos2sin2sin

133. realccu

u

udu

.

322

tan

322

tanln3

31

sin21

134. realcc

u

udu

.

3

12

tan2arctan3

32

sin2

135. realccu

u

udu

.

32

tan

12

tan3ln

41

sin53

136. realcc

u

udu

.

5

32

tanarctan

21

sin35

137. realccu

u

uudu

.

2tan1

2tan

lncossin1

138. realccuu

du

.2

arctan332

cos2

139. realcc

u

udu

.3

42

tan5arctan

32

sin45

140. realccuu

du

.2

tan33arctan

332

cos2

141. realccuu

du

.2

tan5arctan5

5223

Page 20: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 20

142. realccu

uduuu

u

.cos

cos1ln)cos1(cos

sin 2

2

143. realccuuduu

uu

.3

1tan2arctan3

2tan1lntan1

sec)tan2(2

22

144. realccuuu

du

.2

sec2

tan2

2sin1

145. realccuu

udu

.

3sin33cos1

3cos1

146. realccuduu

u

.222sinarctan

82

82sin2cos

2

147. realccuduu

u

.tan2arcsin

21

tan41sec

2

2

148. realccuduu

u

.3

4sinarctan121

4sin98sin 2

2

149. realccauaua

uau

du

.csccot1sec1

150. realccauadu

au

au

.tan

21tansec 22

1.3 Persamaan Diferensial (PD)

Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada

pembahasan sebelumnya, jika )(xfy maka turunan fungsi dalam bentuk

).(' xfdxdy

Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu

persamaan yang memuat turunan (derevative).

Contoh

1) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk )(xfy maka turunannya memuat

tanda .dxdy

Page 21: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 21

Misal xy 2sin 2 diperoleh xxdxdy 2cos2sin4

Atau

.0)2cos2sin4( dydxxx

2) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk 0),( yxf maka dihasilkan turunan

fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu dy dan dx .

Misal 0cos xyy diperoleh 0)(cos)( xydyd atau

.022

sin

xyydx

xyxdyxydy

Berdasarkan contoh 1 dan 2 di atas, tampak bahwa turunan fungsi membentuk

persamaan yang memuat turunan (derevative) atau diferensial.

Perhatikan beberapa persamaan-persamaan di bawah ini.

1. 032 dydxx

2. xdxdy 23

3. xxydxdy 42

4. 022

2

ydxdy

dxyd

5. 042

2

3

3

ydx

yddx

yd

6. 232 3)'('' xyyy

7. '''' 3 yyy

8. 0

yzxz

xz

9. yxy

zx

z

2

2

2

2

2

10. zyzy

xzx

Page 22: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 22

Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, memuat tanda turunan yaitu

yz

xz

dxdy

,,

dan memuat tanda diferensial dy atau .dx Sehingga persamaan

yang memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.

Definisi

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling

sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM

DIKETAHUI.

Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah

turunan biasa, misalnya dxdy maka persamaannya dinamakan persamaan

diferensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial,

misalnya xz dan

yz , maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial

parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial

biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan

diferensial parsial.

Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan

diferensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat

suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul

dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan

oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan.

Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.

1. 032 dyxdx adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu,

karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan

derajat satu.

Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah

ini.

2. xdxdy 23 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

Page 23: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 23

3. xxydxdy 42 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

4. 022

2

ydxdy

dxyd , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

5. 3

3

dxyd

2

2

dxyd - 4

dxdy + 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)

6. 232 3)'()"( xyyy , persamaan tingkat dua derajat dua (2-2)

7. ')'('' 3 yyy , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

8. 0

yzxz

xz , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

9. yxy

zx

z

2

2

2

2

2

, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

10. zyzy

xzx

, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

1.4 Primitif suatu Persamaan Diferensial

Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan diferensial,

bahwa suatu persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi yang

belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan diferensial

maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan

fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial terdapat beberapa cara,

tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.

Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi

yang belum diketahui suatu persamaan diferensial, maka yang perlu diperhatikan

adalah koefisien dari masing-masing diferensial apakah sudah sejenis.

Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

1. Tentukan primitif persamaan diferensial

xdxdy

2

Jawab

Page 24: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 24

0)2( dydxx

0)2( dydxx

Rccyxx ,212 2

Rccyxx ,24 2

Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari

persamaan diferensial xdxdy

2 , adalah 4 cyxx 22

Selanjutnya 4 cyxx 22 dinamakan selesaian umum. Selesaian

umum persamaan diferensial juga disebut sebagai persamaan keluarga

kurva.

2. Tentukan primitif persamaan

0)()( dyyxydxxxy

Jawab

Persamaan di atas diubah menjadi

0)1()1( dyxydxyx

011

dyy

ydxx

x

cdyy

ydxx

x11

dy

ydx

x 111

111 =

dy

ydydx

xdx

111

111 = c

cyyxx 1ln1ln

cxyyx 1ln1ln)(

cxyyx

11ln)(

Page 25: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 25

)(

11 yxce

xy

Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial

0)()( dyyxydxxxy adalah

)(

11 yxce

xy

atau )()1()1( yxexcy

3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial

yxyyy ')1(

Jawab

Persamaan di atas diubah menjadi

)1(')1( xyyy

dxxydyy )1()1(

01)1(

dy

yydxx

01)1( dydyy

dxx

0ln21 2 yyxx

yxxy 2

21ln

cey yxs 222 2

Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial

yang diberikan adalah

cey yxs 222 2

Hal lain yang sering muncul dalam persamanaan diferensial adalah

menentukan persamaan diferensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka

kita harus melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat

Page 26: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 26

konstanta sebarang sebanyak n . Konstanta tersebut dikatakan penting (esensial)

dan sangat menentukan bentuk persamaan diferensialnya.

Contoh

1. cyx 22 adalah primitif dengan satu angka penting

2. xx ececy 321 adalah primitif dengan dua angka penting

3. bxBaxAy cossin adalah primitif dengan dua angka penting

4. 222)( rycx adalah primitif dengan dua angka penting.

Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan diferensialnya

mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:

1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang atau angka penting primitif yang

diketahui.

2. Misal angka pentingnya sebanyak n , maka turunkan primitif tersebut sampai

turunan nke . Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam

persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang yang lain. Jika

fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka dapat digunakan kaidah

diferensial pada masing-masing variabelnya.

3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua

konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta sebarang n, maka

untuk mengeliminirnya diperlukan )1( n persamaan dan diperoleh setelah

primitif diturunkan sampai turunan nke .

4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan dalam

persamaan diferensial yang dicari.

5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta sebarang

yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan diferensial tidak

terdapat konstanta sebarang.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Tentukan persamaan diferensial dari primitif cyx 22 2

Page 27: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 27

Jawab

Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga

)()2()( 22 cdydxd

042 dyydx

yx

dxdy

2

Persamaan diferensial dari primitif cyx 22 2 adalah y

xdxdy

2

2. Tentukan persamaan diferensial dari primitif axBaxAy sincos

Jawab

Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, maka

axBaaxAadxdy cossin

axBaaxAadx

yd sincos 222

2

)sincos(2 axBaxAa

ya 2

Sehingga persamaan diferensial dari primitif axBaxAy sincos adalah

022

2

yadx

yd

3.

Tentukan persamaan diferensial dari primitif 22 ccxy

Jawab

Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga

02' cxy

cy 2''

2'yc

Page 28: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 28

selanjutnya 2'yc substitusikan ke persamaan 22 ccxy

Didapat 2

2

2"

2"

yxyy

4. Tentukan persamaan diferensial dari primitif

Jawab xx ececy 2

21

Primitif mempunyai 2 angka penting, sehingga xx ececy 2

212'

xx ececy 22

14''

Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka

dengan cara substitusi diperoleh persamaan 02'3'' yyy

5. Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari r

satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.

Jawab

Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan

berpusat pada sumbu x adalah 222)( rycx

Dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x, didapat

02)(2 dxdyycx

Selanjutnya persamaan di atas diturunkan lagi terhadap variabel x sehingga

diperoleh persamaan baru

02)1(2

dxdyy

dxdx

dxd

022 2

2

dxdy

dxydy

Persamaan dibagi 2 diperoleh persamaan

012

2

dxdy

dxydy yang merupakan persamaan diferensial yang

Page 29: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 29

diminta.

6. Tentukan persamaan diferensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di

titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x.

Jawab

Persamaan bola yang diminta adalah )(42 xccy

Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh

04'2 cyy

cyy 2'

2'yyc

Substitusikan ke persamaan semula

xyyyyy

2'

2'4

0)'('22 2 xyyyyy

0)'('222 xyyyy

1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas

Setiap persamaan diferensial yang diberikan akan menimbulkan

pertanyaan, apakah persamaan diferesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika

mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk

menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang

pengertian masalah nilai awal.

Setiap selesaian persamaan diferensial terdapat persoalan-persoalan yang

dapat dicantumkan apabila diketahui n nilai-nilai

).(),.....(''),('),( )1(o

nooo xyxyxyxy

Contoh

Page 30: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 30

Persamaan diferensial xdxdy 2 mempunyai selesaian realccxy ,2

Karena realc maka:

1. 32 xy memenuhi selesaian persamaan xdxdy 2

2. 312 xy memenuhi selesaian persamaan x

dxdy 2

3. 1002 xy juga memenuhi selesaian xdxdy 2 , dan seterusnya.

Bentuk cxy 2 dinamakan selesaian umum persamaan

diferensial xdxdy 2 sedangkan 32 xy ,

312 xy dan 1002 xy

dinamakan selesaian khusus (particular solution). Nilai c sebagai konstanta real

dapat ditentukan, jika dalam persamaan diferensial yang diketahui diberikan

syarat awalnya. Persamaaan diferensial yang mempunyai syarat awal dinamakan

masalah nilai awal (initial value problems).

Definisi

Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n

syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel

bebas yang sama.

Bentuk lain dari definisi di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai

berikut:

Masalah nilai awal suatu persamaan diferensial tingkat-n yang ditulis dalam

bentuk 0),.....,''','',',,( )( nyyyyyxf yaitu menentukan selesaian persamaan

diferensial pada interval I dan memenuhi n syarat awal di Ix o subset dari

bilangan real.

Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan:

Page 31: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 31

0),.....,''','',',,( )( nyyyyyxf dengan

non

non

oooo yxyyxyyxyyxyyxy )(,)(,...,)('',)(',)( 1

)1(21

Atau

non

o

oo

n

yxy

yxyyxy

denganyyyyxf

)(..................

)(')(

0),...",',,(

)(

1

)(

dimana 1321 ,.....,,,, no yyyyy adalah kontanta

Berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan diferensial

memuat konstanta c , sedangkan pada persamaan diferensial dengan n syarat

awal konstanta c tersebut diganti dengan bilangan real )(R yang memenuhi

syarat awal.

Perhatikan contoh berikut ini.

1. Tentukan selesaian masalah nilai awal

,1)0(

'

ydengan

ey x

Jawab

ceydxeyey xxx ' (selesaian umum)

Karena 1)0( y maka ce 01 dan didapat 2c

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah

2 xey

2.

1)1(

1

ydengan

xdxdy

Page 32: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 32

Jawab

1 xdxdy maka cxxdxxy 2

21)1(

Karena 1)1( y maka c 1)1(211 2 dan diperoleh

21

c

sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah

21

21 2 xxy atau 01222 yxx

3. 1 ydxdyx dengan 1)1( y

Jawab

1 ydxdyx

0)1(

x

dxy

dy

0)1( x

dxy

dy

cxy ln1ln

cxy )1(ln

cxy )1(

Karena 1)1( y maka c 1)11( atau 0c

Sehingga selesaian khususnya adalah 0)1( xy

1.6 Latihan soal-soal

1. Tentukan 'y dari uvy jika diketahui

a. 32 11

2 xxvdanx

xu

b. xvdanxu cos1sin 2

c. xxvdanxu cossin1 2

Page 33: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 33

d. x

xvdanx

u31ln

1

e. 3211

xvdanx

u

2. Misal )(xf dan )(xg fungsi-fungsi yang terintegralkan dan realk

Buktikan bahwa:

a. dxxfkdxxkf )()(

b. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

c. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

3. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan diferensial di bawah ini

a) 0)cos( dxxxydy

b) 0)'(2''''' 2 xyyyxyy

c) 3)'(' yxyxy

d) 03

2

22

3

3

vw

dvwd

dvwd

e) 4

2

2

2

1

dxdy

dxyd

f) xyy sin'

g) 22

2

xdxdye

dxyd xy

h) xdx

yddx

yd 2

2

4

4

3

i) xydxdyx

dxyd 313

2

2

2

j) 1)"sin( ' yey

k) xydxdy

dxydx costan)(sin 2

2

Page 34: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 34

l) xxydxdyx

dxyd

dxyd tan)(sin4 2

2

3

3

4. Tentukan antiturunan dari

a) xxxf cossin)(

b) xexf x cos)( 2

c) xxf 4sin2)(

d) xxxf tansec)(

e) xxxf 42 cossin)(

f) 213

)( xxxf

g) xxxf ln2)(

h) xxxf 1)(

i) xxxf sin)( 2

j) 22)( xexf x

5. Tentukan persamaan diferensial dari primitif yang diketahui banyaknya

angka penting berikut ini:

a) xAy sin

b) )sin( Axy

c) BAey x

d) cyxyyx 22 2

e) cxcy 2)(

f) cyx 222

g) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan

kuadrat absis titik tersebut.

h) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik

itu.

Page 35: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 35

6. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan diferensialxy

dxdy

mempunyai selesaian

umum cxy

7. Diberikan persamaaan diferensial xy 2'

a) Tunjukkan bahwa cxy 2 adalah selesaian umumnya.

b) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)

c) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan

32 xy .

d) Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat 21

0

dxy

8. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut dengan syarat awal yang

diberikan.

a) 2)1(,ln yxdxdy

b) 0)0(, yyx

dxdy

c) 1)0(',2)0(,cos2

2

yyxdx

yd

d) 4)0('',1)0(',1)0(,63

3

yyyxdx

yd

e) 0)1(,1)0(,2

2

yyedx

yd x

f) 0)()1(),ln23(22

2

eyyxdx

yd

Page 36: BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar fileBAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Kompetensi Dasar

Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 36