Home >Documents >bab I. Fungsi dua peubah - · PDF filePada kalkulus 1, kita telah membahas ... Grafik dari...

bab I. Fungsi dua peubah - · PDF filePada kalkulus 1, kita telah membahas ... Grafik dari...

Date post:30-Jan-2018
Category:
View:233 times
Download:1 times
Share this document with a friend
Transcript:
  • 1

    BAB 1.

    FUNGSI DUA PEUBAH

    1.1 PENDAHULUAN

    Pada bagian ini akan dibahas perluasan konsep pada fungsi satu

    peubah ke fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini,

    anda seharusnya dapat:

    - Menentukan domain dan range fungsi dua peubah atau lebih - Membuat sketsa grafik fungsi dua peubah - Menentukan limit dan menyelidiki kekontinuan fungsi dua

    peubah.

    1.2 FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH

    Pada kalkulus 1, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik

    eksplisit maupun implisit.

    Berikut kita ingat kembali fungsi satu peubah

    A B

    x y = f(x)

    Range f,

    Domain f, Df dinotasikan Rf

  • 2

    Pada fungsi satu peubah, f : A B

    A R dan B R dengan R = himpunan semua bilangan real

    Grafik fungsi f = {(x,y) y = f(x), x Df},berupa himpunan titik di R

    2, dapat berupa garis lurus atau lengkung.

    Selanjutnya pada kalkulus lanjut ini, akan kita bahas lanjutannya yaitu

    tentang fungsi dengan dua variabel atau lebih.

    Kita telah belajar fungsi satu peubah, y = f(x), dalam hal ini x

    merupakan peubah bebas dan y peubah tak bebas.

    Akan diperluas menjadi fungsi dengan peubah lebih dari satu, misal:

    A B

    (x,y) z = f(x,y)

    range f,R f

    Domain f, Df

    Pada fungsi dua peubah,

    f : A B

    A R R dan B R

    Grafik fungsi f = {(x,y,z) z = f(x,y), (x,y) Df}, berupa himpunan titik di R

    3, dapat berupa luasan di R

    3.

    ( )( )( ) 43214321

    22

    42,,,

    2,,

    2,

    xxxxxxxxh

    xezyxg

    yxyxf

    yz

    ++=

    =

    +=

  • 3

    Perhatikan bahwa notasi fungsi dengan peubah lebih dari satu tidak

    berbeda dengan penulisan fungsi dengan satu peubah.

    Fungsi z = f(x, y) adalah fungsi dengan dua peubah, dengan peubah

    bebas x and y, serta z sebagai peubah tak bebas.

    Fungsi w = g(x, y, z) adalah fungsi dengan tiga peubah. peubah x, y

    dan z merupakan peubah bebas dan w peubah tak bebas.

    Nilai dari fungsi dengan dua peubah atau lebih dapat ditentukan

    dengan memasukkan nilai-nilai x dan y:

    Contoh 1.1 :

    Definisi 1.1. Fungsi dua peubah adalah suatu fungsi dari dua peubah x

    dan y adalah suatu aturan yang mengawankan (x, y) di dalam suatu

    himpunan D ( D disebut domain) dengan suatu nilai tunggal (unique

    value) dari f , yang dinyatakan dengan f(x,y).

    Secara sama dapat didefinisikan fungsi dengan lebih dari dua peubah.

    Operasi-operasi pada fungsi satu peubah dapat diperluas untuk fungsi

    dengan dua peubah atau lebih.Misalnya, untuk fungsi dengan dua

    peubah f dan g:

    ( )( ) 179423223,2

    2,

    22

    22

    =+=+=

    +=

    f

    yxyxf

    ( ) ( ) 4191623423,4 22 =+=+=f

    ( ) 2222 5025252,5 yyyyf +=+=+=

    ( )( ) ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) 0,asalkan,,

    ,,

    ,,,

    ,,,

    =

    =

    =

    yxgyxg

    yxfyx

    g

    f

    yxgyxfyxgf

    yxgyxfyxgf

  • 4

    Domain fungsi dua peubah

    Jika domain tidak diberikan, maka domain adalah himpunan semua

    titik sedemikian sehingga fungsi terdefinisi.

    Misal, perhatikan fungsi

    Domain dari f(x,y) adalah seluruh titik di bidang XY. Setiap pasangan

    (x,y) akan memberikan nilai real bagi f.

    Domain g(x,y) adalah himpunan (x,y) di bidang XY sedemikian

    sehingga perkalian xy lebih dari 0. Jadi domainnya adalah semua titik

    di kuadran I dan III.

    Contoh 1.2 : Tentukan domain fungsi:

    Penyelesaian: Domain f(x,y) adalah himpunan semua titik yang

    memenuhi:

    atau

    Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di

    dalam lingkaran:

    Contoh 1.3: Tentukan domain dari fungsi:

    Penyelesaian:

    Perhatikan bahwa g adalah fungsi dengan tiga peubah, sehingga

    domainnya tidak berada dalam bidang XY , tetapi di sistem koordinat

    tiga dimensi.

    ( ) ( )xy

    yxgyxyxf1

    ,and3, 22 =+=

    ( ) 2225, yxyxf =

    025 22 yx

    2225 yx +

    2522 =+ yx

    ( ) 16,, 222 ++= zyxzyxg

  • 5

    Fungsi akan terdefinisi jika:

    Dengan demikian domainnya berupa himpunan pasangan terurut

    (x,y,z) yang memenuhi .

    Contoh 1.4: Tentukan domain fungsi:

    Penyelesaian:

    Kita tahu bahwa argument dari fungsi logaritma harus lebih besar dari

    0, maka

    Ini akan terjadi di kuadran I dan III. Catat bahwa titik-titik di

    sepanjang sumbu x dan sumbu y tidak termasuk dalan domain

    tersebut.

    ( ) ( )xyyxh ln, =

    0> yx

    16atau016 222222 ++++ zyxzyx

    .16222 ++ zyx

  • 6

    Grafik fungsi dua peubah atau lebih

    Penggambaran grafik fungsi akan sangat membantu dalam memehami

    suatu fungsi. Grafik dapat memberikan ilustrasi atau sebagai

    representasi visual dari suatu persamaan.

    Grafik dari fungsi dengan dua peubah f dengan domain D adalah

    himpunan semua titik (x, y, z) di R3 sedemikian sehingga z = f(x,y)

    dan (x,y) berada di D.

    Grafik dari fungsi z = f(x,y) adalah luasan permukaan dalam ruang

    dimensi 3. Sedangkan grafik dari fungsi tiga peubah, w = f(x, y, z)

    akan berupa himpunan titik-titik (x, y, z, w) yang dalam hal ini (x, y,

    z) adalah sebagai domainnya.

    Grafik dari fungsi w = f(x, y, z) adalah dalam ruang dimensi 4.

    Kita akan mencoba menggambarkan grafik fungsi dua peubah tetapi

    kita tidak dapat menggambarkan grafik dari fungsi dengan 3 peubah

    atau lebih.

    Contoh 1.5: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut kemudian

    sketsakan grafiknya.

    Penyelesaian: Dari contoh 1 kita telah tahu bahwa domainnya berupa

    himpunan titik-titik pada dan di dalam lingkaran dengan jari-jari 5,

    yaitu himpunan titik-titik yang memenuhi pertaksamaan:

    Range dari z adalah semua kemungkinan nilai z.

    Range ini harus non negatif, karean z adalah akar-akar prinsip dengan

    domain:

    Nilai dalam akar bervariasai antara 0 dan 25.

    Jadi range-nya adalah

    2522 + yx

    2522 + yx

    ( ) 2225, yxyxfz ==

    50 z

  • 7

    Perhatikan bahwa dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan:

    Diperoleh:

    atau

    Kita tahu bahwa ini akan berupa bola dengan jari-jari 5.

    Tetapi perhatikan bahwa fungsi:

    dan persamaan:

    tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebagai suatu

    fungsi dari x dan y , artinya setiap (x,y) tidak memberikan nilai

    tunggal untuk z.

    Bahwa fungsi di atas mempunyai range , berarti bahwa fungsi

    ini berupa bagian setengah atas dari bola.

    Selanjutnya untuk menggambarkan grafiknya, terlebih dahulu kita

    akan menggambarkan jejak-jejak di bidang koordinat.

    1. Jejak di bidang xy (jadi dalam hal ini z = 0), adalah:

    Merupakan lingkaran berpusat di O dengan jari-jari 5 di bidang xy.

    2. Jejak di bidang yz (x = 0), adalah:

    Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 pada bidang yz.

    2225 yxz =

    222 25 yxz =

    25222 =++ zyx

    50 z

    2225 yxz =

    25222 =++ zyx

    25atau250 2222 =+= yxyx

    25atau25 222 =+= zyyz

  • 8

    3. Jejak di bidang xz (y = 0), adalah:

    Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 di bidang xz.

    Selanjutnya kita dapat menggambarkan jejak di bidang yang sejajar

    dengan bidang koordinat.

    4. Untuk z = 3:

    Jadi pada bidang z = 3, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa

    lingkaran berpusat di (0,0,3) dengan jari-jari 4.

    5. Untuk z = 4:

    Maka pada bidang z = 4, yang sejajar dengan bidang xy, jejak

    berupa lingkaran berpusat di (0,0,4) dengan jari-jari 3.

    Berdasarkan kelima jejak di atas, yaitu tiga jejak di bidang koordinat

    ditambah dua jejak di bidang yang sejajar dengan bidang xy, maka

    diperoleh sketsa grafiknya sebagai berikut:

    25atau25 222 =+= zxxz

    1622atau22253 =+= yxyx

    9atau254 2222 =+= yxyx

  • 9

    LATIHAN 1.2

    Sketsakan grafik ( luasan permukaan) dari fungsi:

    1.

    2.

    1.3. LIMIT FUNGSI

    Limit dan kekontinuan fungsi dua peubah atau lebih pada dasarnya

    tidak jauh berbeda dengan limit dan kekontinan fungsi satu

    peubah.Definisi limit diberikan sebagai berikut.

    Definisi 1.2 : Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi

    himpunan terbuka D di R2 dan (a,b) D,

    Lyxfbayx

    =

    ),(lim),(),(

    jika dan hanya jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 sehingga untuk setiap (x,y) D yang memenuhi

    0 < 22 )()( byax + < berlaku f(x,y) L< .

    Contoh 1.6:

    -4

    -2

    0

    2

    4

    -4

    -2

    0

    2

    42.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    5

    grafik z=sqrt(25-y2-x2)

  • 10

Click here to load reader

Embed Size (px)
Recommended