Bab 9 graf

Graf

Pendahuluan

• Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

• Gambar berikut ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

Peta Jaringan Jalan Raya

Brebes Tegal

Slawi

Pemalang

Purwokerto

Cilacap

Banjarnegara

Wonosobo

Kebumen

Purworejo

KendalSemarang

Pekalongan

Purbalingga

Magelang

Salatiga

Klaten

Solo

Purwodadi

DemakKudus

Rembang

Blora

Sukoharjo

Wonogiri

SragenBoyolali

Kroya

Temanggung

Sejarah Graf

• Masalah jembatan Konigsberg (tahun 1736)

• Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?

Sejarah Graf

• Graf yang merepresentasikan jembatan Konigsberg:

• Simpul (vertex) menyatakan daratan• Busur (edge) menyatakan jembatan

C

A

B

D

Sejarah Graf

• Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula karena pada graf model jembatan Königsberg itu.

• Hal ini disebabkan karena tidak semua simpul berderajat genap (derajat sebuah simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul yang bersangkutan).

Definisi Graf• Graf G didefinisikan sebagai pasangan

himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini:

• V = himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v1 , v2 , ... , vn }

• E = himpunan busur/sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul = {e1 , e2 , ... , en }

Contoh

G1 adalah graf dengan

V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (1, 3), (2,3), (2, 4), (3, 4) }

1

2 3

4

G1

G2 adalah graf dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

1

2 3

4

e 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

G2

Contoh

• G3 adalah graf dengan• V = { 1, 2, 3, 4 }• E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3),

(2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

1

2

4

3

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

G3

1

2 3

4

e 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

Pada G2, sisi e3 = (1, 3) dan sisi e4 = (1, 3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.

G2

• G3 adalah graf dengan• V = { 1, 2, 3, 4 }• E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3),

(2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

1

2

4

3

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

G3

Jenis-Jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan menjadi dua jenis:

1

2 3

4

G1

1. Graf sederhana (simple graph). Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda

2. Graf tak-sederhana (unsimple-graph).Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph)

1

2 3

4

e 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

G2

1

2

4

3

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

G3

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka

secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:

1. Graf tak-berarah (undirected graph)Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah.

1

2 3

4

e 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

G2

1

2

4

3

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

e8

G3

1

2 3

4

G1

2. Graf berarah (directed graph atau digraph)Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah dan tidak memiliki sisi ganda.

1

2 3

4

1

2 3

4

graf-ganda berarahgraf berarah

Jenis-Jenis Graph

Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan?

Sisi gelang dibolehkan?

Graf sederhanaGraf gandaGraf semuGraf berarahGraf-ganda berarah

Tak-berarahTak-berarahTak-berarahBearahBearah

TidakYaYaTidakYa

TidakTidakYaYaYa

Terminologi Graf

1. Ketetanggaan (Adjacent)• Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila

keduanya terhubung langsung. 1

2 3

4

Tinjau graf G1 :• simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3 • simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4. G1

Terminologi Graf

2. B e r s i s i a n (Incidency)• Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan

e bersisian dengan simpul vj , atau

e bersisian dengan simpul vk

Tinjau graf G1: • sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3• sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.

1

2 3

4

G1

1

2

3

4

5

3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex)Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.

Tinjau graf G3: simpul 5 adalah simpul terpencil.

4. Graf Kosong (null graph atau empty graph)• Graf yang himpunan busurnya merupakan

himpunan kosong (Nn). 1

2

3

45

Graf N5

5. Derajat (Degree)• Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang

bersisian dengan simpul tersebut.• Notasi: d(v)

Tinjau graf G1:

d(1) = d(4) = 2d(2) = d(3) = 3

1

2 3

4

G1

• Tinjau graf G2:

d(1) = 3 bersisian dengan sisi ganda d(3) = 4 bersisian dengan sisi gelang (loop)

1

2 3

e1

e2e3

e4 e5G2

• Tinjau graf G3:

d(5) = 0 simpul terpencild(4) = 1 simpul anting-anting (pendant vertex)

1

23 4

5

Derajat Pada Graf Berarah

• Pada graf berarahdin(v) = derajat-masuk (in-degree)

= jumlah busur yang masuk ke simpul vdout(v) = derajat-keluar (out-degree)

= jumlah busur yang keluar dari simpul v

• d(v) = din(v) + dout(v)

1

2 3

4

Contoh

• Tinjau graf G4:

din(1) = 2; dout(1) = 1

din(2) = 2; dout(2) = 3

din(3) = 2; dout(3) = 1

din(4) = 1; dout(3) = 2 G4

Lemma Jabat Tangan

• Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah busur pada graf tersebut.

• Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka:

EvdVv

2)(

Contoh

• Tinjau graf G1:

d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10

1

2 3

4

G1

= 2 jumlah busur = 2 5 = 10EvdVv

2)(

Contoh

• Tinjau graf G2: • d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4

= 10

1

2 3

e1

e2e3

e4 e5

= 2 jumlah busur = 2 5 =10EvdVv

2)(

Contoh

• Diketahui graf dengan lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpul adalah:

• (a) 2, 3, 1, 1, 2• (b) 2, 3, 3, 4, 4

Penyelesaian:

a. tidak bisa digambar , karena jumlah derajat semua simpulnya ganjil ( 2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9).

b. Dapat digambar, karena jumlah derajat semua simpulnya genap (2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16).

Lintasan

• Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2,... , vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ... , en = (vn-1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.

• Tinjau graf G1: lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan barisan sisi (1,2), (2,4), (4,3).

• Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan tersebut. Lintasan 1, 2, 4, 3 pada G1 memiliki panjang 3.

G1 G2 G3 1

3 2

4

1

2 3

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4 e 5 3

• Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang

• Sebuah lintasan dikatakan Lintasan Sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi dilalui hanya satu kali)

• Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan Tertutup (close path)

• Lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path)

Contoh

• Pada G1 lintasan:• 1,2,4,3 : lintasan sederhana dan lintasan terbuka• 1,2,4,3,1 : lintasan sederhana dan lintasan tertutup• 1,2,4,3,2 : bukan lintasan sedernana tetapi lintasan

terbuka

G1 G2 G3 1

3 2

4

1

2 3

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4 e 5 3

Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)

• Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus.

• Tinjau graf G1: 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.• Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam

sirkuit tersebut. Sirkuit 1, 2, 3, 1 pada G1 memiliki panjang 3

G1 G2 G3 1

3 2

4

1

2 3

4

5

1

2

e 1

e 2 e 3

e 4 e 5 3

1

2

3

4

5

6

78

8. Terhubung (Connected)

Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2.

G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj.

Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph). Contoh graf tak-terhubung:

Keterhubungan Graf Berarah

• Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung (graf tidak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya).

2 3

1

5

4

2 3

1

5

4

• Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.

2 3

1

5

4

• Pada Graf disamping simpul 1 dan 5 terhubung kuat karena kita dapat membuat lintasan dari 1 ke 5, yaitu: lintasan 1, 5 juga sebaliknya dari 5 ke 1, yaitu 5, 4, 3, 2, 1

• Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly coonected).

• Pada Graf disamping simpul 1 dan 5 terhubung lemah karena kita dapat membuat lintasan dari 1 ke 5, yaitu: lintasan 1, 5 tetapi tidak dapat membuat lintasan dari 5 ke 1 2 3

1

5

4

Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph ) apabila untuk setiap pasang sim pul sem barang u dan v di G , terhubung kuat. Kalau tidak, G disebut graf terhubung lem ah .

graf berarah terhubung lemah graf berarah terhubung kuat

1

2

3 4

1

2 3

8 . U p a g r a f ( S u b g r a p h ) d a n K o m p l e m e n U p a g r a f

M i s a l k a n G = ( V , E ) a d a l a h s e b u a h g r a f . G 1 = ( V 1 , E 1 ) a d a l a h u p a g r a f ( s u b g r a p h ) d a r i G j i k a V 1 V d a n E 1 E .

K o m p l e m e n d a r i u p a g r a f G 1 t e r h a d a p g r a f G a d a l a h g r a f G 2 = ( V 2 , E 2 ) s e d e m i k i a n s e h i n g g a E 2 = E - E 1 d a n V 2 a d a l a h h i m p u n a n s i m p u l y a n g a n g g o t a - a n g g o t a E 2 b e r s i s i a n d e n g a n n y a .

( a ) G r a f G 1 ( b ) S e b u a h u p a g r a f ( c ) k o m p l e m e n d a r i u p a g r a f ( b )

1

2

3

4 5

6

1

6

5

31

2

3

52

K o m p o n e n g r a f ( c o n n e c t e d c o m p o n e n t ) a d a la h j u m l a h

m a k s i m u m u p a g r a f t e r h u b u n g d a la m g r a f G .

G r a f G d i b a w a h in i m e m p u n y a i 4 b u a h k o m p o n e n .

1

2 3 4

5

6 7

8

9

10

11

12

13

2 3

4

5

1

Pada graf berarah, komponen terhubung kuat (strongly connected component) adalah jumlah maksimum upagraf yang terhubung kuat. Graf di bawah ini mempunyai 2 buah komponen terhubung kuat:

9 . U p a g r a f R e n ta n g ( S p a n n in g S u b g r a p h )

U p a g ra f G 1 = ( V 1 , E 1 ) d a r i G = ( V , E ) d ik a ta k a n u p a g r a f r e n ta n g j ik a V 1 = V ( y a itu G 1 m e n g a n d u n g s m u a s im p u l d r G ) .

(a ) g r a f G , (b ) u p a g r a f r e n ta n g d a r i G , (c ) b u k a n u p a g r a f r e n ta n g d a r i G

1

2 3

4 5

1

2 3

4 5

1

2 3

1 0 . C u t - S e t

C u t - s e t d a r i g r a f t e r h u b u n g G a d a l a h h i m p u n a n s i s i y a n g b i l a d i b u a n g d a r i G m e n y e b a b k a n G t i d a k t e r h u b u n g . J a d i , c u t - s e t s e l a l u m e n g h a s i l k a n d u a b u a h k o m p o n e n . P a d a g r a f d i b a w a h , { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 5 ) , ( 3 , 5 ) , ( 3 , 4 ) } a d a l a h c u t - s e t . T e r d a p a t b a n y a k c u t - s e t p a d a s e b u a h g r a f t e r h u b u n g . H i m p u n a n { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) } j u g a a d a l a h c u t - s e t , { ( 1 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 2 ) } a d a l a h c u t - s e t , { ( 2 , 6 ) } j u g a c u t - s e t , t e t a p i { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 5 ) } b u k a n c u t - s e t s e b a b h i m p u n a n b a g i a n n y a , { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 5 ) } a d a l a h c u t - s e t .

( a ) ( b )

1

3 4

5

2

6

21

3

5

4

6

11. Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).

a

b

cd

e

10 12

8

15 911

14

Beberapa Graf Khusus

a . G r a f L e n g k a p ( C o m p l e t e G r a p h )

G r a f l e n g k a p i a l a h g r a f s e d e r h a n a y a n g s e t i a p s i m p u l n y a m e m p u n y a i s i s i k e s e m u a s i m p u l l a i n n y a . G r a f l e n g k a p d e n g a n n b u a h s i m p u l d i l a m b a n g k a n d e n g a n K n . J u m l a h s i s i p a d a g r a f l e n g k a p y a n g t e r d i r i d a r i n b u a h s i m p u l a d a l a h n ( n – 1 ) / 2 .

K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6

b . G r a f L i n g k a r a n

G r a f l i n g k a r a n a d a l a h g r a f s e d e r h a n a y a n g s e t i a p s i m p u l n y a b e r d e r a j a t d u a . G r a f l i n g k a r a n d e n g a n n s i m p u l d i l a m b a n g k a n d e n g a n C n .

c. Graf Teratur (Regular Graphs)

Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r.

Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.

d. Graf Bipartite (Bipartite Graph)

Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan dinyatakan sebagai G(V1, V2).

V1 V2

Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena simpul-simpunya dapat dibagi menjadi V1 = {a, b, d} dan V2 = {c, e, f, g}

G

graf persoalan utilitas (K3,3), topologi bintang

a b

c

de

f

g

H2 H3

W G E

H1

Representasi Graf1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

A = [aij], 1, jika simpul i dan j bertetangga aij = { 0, jika simpul i dan j tidak bertetangga

1

32

4

1

23

4

5

1

2 3

4

4321543214321

4

3

2

1

0110

1011

1101

0110

00000

00100

01011

00101

00110

5

4

3

2

1

4

3

2

1

0110

0001

1101

0010

4321

4

3

2

1

0210

2112

1101

0210

1

2

4

3

e 1

e 2

e 3

e 4

e 5

e 6

e 7

e 8

Derajat tiap simpul i: (a) Untuk graf tak-berarah

d(vi) =

n

jija

1

(b) Untuk graf berarah,

din (vj) = jumlah nilai pada kolom j =

n

iija

1

dout (vi) = jumlah nilai pada baris i =

n

jija

1

a b c d e

15810

151411

149

811912

1012

e

d

c

b

a

a

b

cd

e

10 12

8

15 911

14

2. Matriks Bersisian (incidency matrix)

A = [aij], 1, jika simpul i bersisian dengan sisi j aij = { 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j

e1 e2 e3 e4 e5

4

3

2

1

10000

11100

00111

01011

1 2

3

4

e1

e2 e3e4

e5

3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Terminal 1 2, 3 1 2, 3 1 2 2 1, 3, 4 2 1, 3 2 1, 3, 4 3 1, 2, 4 3 1, 2, 4 3 1 4 2, 3 4 3 4 2, 3 5 -

(a) (b) (c)

1

32

4

1

23

4

5

1

2 3

4

Graf Isomorfik Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri

berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat

korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga hubungan kebersisian tetap terjaga.

Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.

Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali

penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara.

( a ) G 1 ( b ) G 2 ( c ) G 3

G a m b a r 6 .3 5 G 1 is o m o r f ik d e n g a n G 2 , t e t a p i G 1 t id a k is o m o r f ik d e n g a n G 3

3

4

1 2

d c

a b

v w

x y

( a ) G 1 ( b ) G 2

G a m b a r 6 . 3 6 G r a f ( a ) d a n g r a f ( b ) i s o m o r f i k [ D E O 7 4 ] edcba zvwyx

A G 1 =

e

d

c

b

a

01000

10101

01011

00101

01110

A G 2 =

z

v

w

y

x

01000

10101

01011

00101

01110

z

d

c

a

b

e

x

v w

y

( a )

( b )

G a m b a r 6 . 3 8 ( a ) D u a b u a h g r a f i s o m o r f i k , ( b ) t i g a b u a h g r a f i s o m o r f i k

D a r i d e f i n i s i g r a f i s o m o r f i k d a p a t d i k e m u k a k a n b a h w a d u a b u a h g r a f i s o m o r f i k m e m e n u h i k e t i g a s y a r a t b e r i k u t [ D E O 7 4 ] : 1 . M e m p u n y a i j u m l a h s i m p u l y a n g s a m a . 2 . M e m p u n y a i j u m l a h s i s i y a n g s a m a 3 . M e m p u n y a i j u m l a h s i m p u l y a n g s a m a b e r d e r a j a t t e r t e n t u

N a m u n , k e t i g a s y a r a t i n i t e r n y a t a b e l u m c u k u p m e n j a m i n . P e m e r i k s a a n s e c a r a v i s u a l p e r l u d i l a k u k a n .

( a ) ( b )

x

u

v

w

y

Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane

Graph)

G ra f ya n g d a p a t d ig a m b a rk a n p a d a b id a n g d a ta r d e n g a n s is i-s is i tid a k s a lin g m e m o to n g d is e b u t s e b a g a i g ra f p la n a r , j ik a tid a k , ia d is e b u t g ra f ta k -p la n a r.

G a m b a r 6 .4 0 K 4 a d a la h g ra f p la n a r

Gambar 6.41 K5 bukan graf planar

Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph).

(a) (b) (c)

Gambar 6.42 Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang

C o n t o h 6 .2 6 . P e r s o a la n u t i l i t a s ( u t i l i t y p r o b le m )

( a ) ( b ) G a m b a r 6 .4 3 ( a ) G r a f p e r s o a la n u t i l i t a s ( K 3 , 3 ) , ( b ) g r a f p e r s o a la n u t i l i t a s b u k a n g r a f

p la n a r .

H 2 H 3

W G E

H 2 H 3

W G E

H 1H 1

S i s i - s i s i p a d a g r a f p l a n a r m e m b a g i b i d a n g m e n j a d i b e b e r a p a w i l a y a h ( r e g i o n ) a t a u m u k a ( f a c e ) . J u m l a h w i l a y a h p a d a g r a f p l a n a r d a p a t d i h i t u n g d e n g a n m u d a h .

G a m b a r 6 . 4 4 G r a f p l a n a r y a n g t e r d i r i a t a s 4 w i l a y a h

R u m u s E u l e r n – e + f = 2 y a n g d a l a m h a l i n i ,

f = j u m l a h w i l a y a h , e = j u m l a h s i s i , n = j u m l a h s i m p u l

C o n t o h 6 . 2 7 . P a d a G a m b a r 6 . 4 4 , e = 1 1 d a n n = 7 , m a k a

f = 1 1 – 7 + 2 = 6 .

R 1

R 2 R 3

R 5

R 4R 6

Pada graf planar sederhana terhubung dengan f wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (dengan e > 2) selalu berlaku ketidaksamaan berikut: e 3f/2 dan e 3n – 6

Contoh 6.28. Pada Gambar 6.44 di atas, 6 3(4)/2 dan 6 3(4) – 2.

R 1

R 2 R 3

R 5

R 4R 6

Ketidaksaamaan e 3n – 6

tidak berlaku untuk graf K3,3

karena e = 9, n = 6 9 (3)(6) – 6 = 12 (jadi, e 3n – 6) padahal graf K3,3 bukan graf planar! Buat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh paling sedikit empat buah sisi, Dari penurunan rumus diperoleh e 2n - 4

Contoh 6.29. Graf K3,3 pada Gambar di bawah memenuhi ketidaksamaan e 2n – 6, karena e = 9, n = 6 9 (2)(6) – 4 = 8 (salah) yang berarti K3,3 bukan graf planar.

H 2 H 3

W G E

H 2 H 3

W G E

H 1H 1

T e o r e m a K u r a t o s w k i

B e r g u n a u n t u k m e n e n t u k a n d e n g a n t e g a s k e p l a n a r a n s u a t g r a f .

( a ) ( b ) ( c )

G a m b a r 6 . 4 5 ( a ) G r a f K u r a t o w s k i p e r t a m a ( K 5 ) ( b ) G r a f K u r a t o w s k i k e d u a ( K 3 , 3 ) ( c ) G r a f y a n g i s o m o r f i k d e n g a n g r a f K u r a t o w s k i k e d u a

Sifat graf Kuratowski adalah:

1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.

2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar

3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski

menyebabkannya menjadi graf planar.

4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar

dengan jumlah simpul minimum, dan graf Kuratowski

kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi

minimum.

T E O R E M A K u r a t o w s k i . G r a f G b e r s i f a t p l a n a r j i k a d a n h a n y a j i k a i a t i d a k m e n g a n d u n g u p a g r a f y a n g s a m a d e n g a n s a l a h s a t u g r a f K u r a t o w s k i a t a u h o m e o m o r f i k ( h o m e o m o r p h i c ) d e n g a n s a l a h s a t u d a r i k e d u a n y a .

G 1 G 2 G 3

G a m b a r 6 . 4 6 T i g a b u a h g r a f y a n g h o m e m o r f i k s a t u s a m a l a i n .

v

x

y

C o n t o h 6 . 3 0 . S e k a r a n g k i t a m e n g g u n a k a n T e o r e m a K u r a t o w s k i u n t u k m e m e r i k s a k e p l a n a r a n g r a f . G r a f G p a d a G a m b a r 6 . 4 7 b u k a n g r a f p l a n a r k a r e n a i a m e n g a n d u n g u p a g r a f ( G 1 ) y a n g s a m a d e n g a n K 3 , 3 .

G a m b a r 6 . 4 7 G r a f G t i d a k p l a n a r k a r e n a i a m e n g a n d u n g u p a g r a f y a n g s a m a d e n g a n K 3 , 3 .

a bc

def

a bc

def

GG 1

P a d a G a m b a r 6 . 4 8 , G t i d a k p l a n a r k a r e n a i a m e n g a n d u n g u p a g r a f ( G 1 ) y a n g h o m e o m o r f i k d e n g a n K 5 ( d e n g a n m e m b u a n g s i m p u l - s i m p u l y a n g b e r d e r a j a t 2 d a r i G 1 , d i p e r o l e h K 5 ) .

G G 1 K 5

G a m b a r 6 . 4 8 G r a f G , u p a g r a f G 1 d a r i G y a n g h o m e o m o r f i k d e n g a n K 5 .

a

b

c

d

efg

h

a

b

c

d

efg

h

ii

a

c

eg

h

Lintasan dan Sirkuit Euler

Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu

kali..

Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

C O N T O H 6 .3 1 . L in ta s a n E u le r p a d a g ra f G a m b a r 6 .4 2 (a ) : 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 L in ta s a n E u le r p a d a g ra f G a m b a r 5 .4 2 (b ) : 1 , 2 , 4 , 6 , 2 , 3 , 6 , 5 , 1 , 3 S irk u it E u le r p a d a g ra f G a m b a r 6 .4 2 (c ) : 1 , 2 , 3 , 4 , 7 , 3 , 5 , 7 , 6 , 5 , 2 , 6 , 1 S irk u it E u le r p a d a g ra f G a m b a r 6 .4 2 (d ) : a , c , f , e , c , b , d , e , a , d , f , b , a

G ra f (e ) d a n (f ) t id a k m e m p u n y a i l in ta s a n m a u p u n s irk u it E u le r

G a m b a r 6 .4 2 (a ) d a n (b ) g ra f s e m i-E u le r (c ) d a n (d ) g ra f E u le r (e ) d a n (f ) b u k a n g ra f s e m i-E u le r a ta u g ra f E u le r

12

3 4

1 2

34

5 6

1

2 3

45

6 7

a

b

e

d

c

f

ba

c d

1 2

3

4 5 e

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

TEOREMA 6.2. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.

TEOREMA 6.3. Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap. (Catatlah bahwa graf yang memiliki sirkuit Euler pasti

mempunyai lintasan Euler, tetapi tidak sebaliknya)

T E O R E M A 6 . 4 . G r a f b e r a r a h G m e m i l i k i s i r k u i t E u l e r j i k a d a n h a n y a j i k a G t e r h u b u n g d a n s e t i a p s i m p u l m e m i l i k i d e r a j a t - m a s u k d a n d e r a j a t - k e l u a r s a m a . G m e m i l i k i l i n t a s a n E u l e r j i k a d a n h a n y a j i k a G t e r h u b u n g d a n s e t i a p s i m p u l m e m i l i k i d e r a j a t - m a s u k d a n d e r a j a t - k e l u a r s a m a k e c u a l i d u a s i m p u l , y a n g p e r t a m a m e m i l i k i d e r a j a t - k e l u a r s a t u l e b i h

b e s a r d e r a j a t - m a s u k , d a n y a n g k e d u a m e m i l i k i d e r a j a t - m a s u k s a t u l e b i h b e s a r d a r i d e r a j a t - k e l u a r . G a m b a r 6 . 4 3 ( a ) G r a f b e r a r a h E u l e r ( a , g , c , b , g , e , d , f , a ) ( b ) G r a f b e r a r a h s e m i - E u l e r ( d , a , b , d , c , b ) ( c ) G r a f b e r a r a h b u k a n E u l e r m a u p u n s e m i - E u l e r

a

b

c

de

fg

a b

cd

a b

cd

(a) (b) (c)

M u n g k in k ah m e lu k is g ra f d i b a w a h in i d e n g a n s e b u a h p en s il, d im u la i d a ri s e b u a h s im p u l d an tid a k m e n g g a m b a r u la n g s eb u a h g a ris p u n ?

G a m b a r 6 .4 4 B u la n s a b it M u h a m m a d

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di

dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.

Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf

Hamilton, sedangkan graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.

( a ) ( b ) ( c ) G a m b a r 6 . 4 5 ( a ) g r a f y a n g m e m i l i k i l i n t a s a n H a m i l t o n ( m i s a l : 3 , 2 , 1 , 4 ) ( b ) g r a f y a n g m e m i l i k i s i r k u i t H a m i l t o n ( 1 , 2 , 3 , 4 , 1 ) ( c ) g r a f y a n g t i d a k m e m i l i k i l i n t a s a n m a u p u n s i r k u i t H a m i l t o n

1 2

34

1

3

2

4

1 2

34

(a) (b)

Gambar 6.46 (a) Dodecahedron Hamilton, dan (b) graf yang mengandung sirkuit Hamilton

TEOREMA 6.5. Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu) supaya graf sederhana G dengan n ( 3) buah simpul adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G). TEOREMA 6.6. Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.

TEOREMA 6.7. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3), terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

TEOREMA 6.8. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3 dan n ganjil), terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n genap dan n 4, maka di dalam G terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas. Contoh 6.33. (Persoalan pengaturan tempat duduk). Sembilan anggota sebuah klub bertemu tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan? Jumlah pengaturan tempat duduk yang berbeda adalah (9 - 1)/2 = 4.

Gambar 6.47 Graf yang merepresentasikan persoalan pengaturan tempat duduk.

1

2

3

5

6

7

8

9

Beberapa graf dapat mengandung sirkuit Euler dan sirkuit Hamilton sekaligus, mengandung sirkuit Euler tetapi tidak mengandung sirkuit Hamilton, mengandung sirkuit Euler dan lintasan Hamilton, mengandung lintsan Euler maupun lintasan Hamilton, tidak mengandung lintasan Euler namun mengandung sirkuit Hamilton, dan sebagainya. Graf pada Gambar (a) mengandung sirkuit Hamilton maunpun sirkuit Euler, sedangkan graf pada Gambar 6.48(b) mengandung sirkuit Hamilton dan lintasan Euler (periksa!).

(a) (b)

Gambar 6.48 (a) Graf Hamilton sekaligus graf Euler (b) Graf Hamilton sekaligus graf semi-Euler

6

5

4

1

3

2

5

1 2

34