Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Definisi. Fungsi f(x) dikatakan
• monoton naik pada interval I jika untuk
( ) ( )< ⇒ < ∀ ∈1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I
• monoton turun pada interval I jika untuk • monoton turun pada interval I jika untuk
( ) ( )< ⇒ > ∀ ∈1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .
Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton
f(x2) f(x1) f(x ) f(x1) f(x2) x1 x2 x1 x2 (a) monoton turun (b) monoton naik
Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :
> ∀ ∈'( ) 0f x x I
ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika: ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:
< ∀ ∈'( ) 0f x x I
Contoh Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :
= − − +3 213( ) 3 4f x x x x
= − − + ⇔ = − −3 2 213( ) 3 4 '( ) 2 3f x x x x f x x x
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika > ∀ ∈' ( ) 0f x x I
>
⇔ − − >2
'( ) 0
2 3 0
f x
x x (-) (+)(+)⇔ − − >
⇔ + − >
↓ ↓
= − =
2 2 3 0
( 1)( 3) 0
1 3
x x
x x
x x
f(x) monoton naik pada selang −∞ − ∞( , 1) dan (3, )
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika < ∀ ∈'( ) 0f x x I
<
⇔ − − <
⇔ + − <
2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
f x
x x
x x (-) (+)(+)
f ’↓ ↓
= − =
1 3x x
f(x) monoton turun pada selang −( 1,3)
-1 3
f ’
Contoh Tentukan selang kemonotonan
+=
2( 1)( )
xf x
x
Jawab
+ + += =
2 2( 1) 2 1( )
x x xf x
x x
x x2
2
2 2
2
2
2
(2 2)( ) ( 2 1)(1)'( )
2 2 2 1)
1
x x x xf x
x
x x x x
x
x
x
+ − + +=
+ − − −=
−=
• Fungsi f(x) monoton naik pada I jika > ∀ ∈'( ) 0f x x I
>
−⇔ >
+ −⇔ >
2
2
2
'( ) 0
10
( 1)( 1)0
f x
x
x
x x
x
f(x) monoton naik pada selang −∞ − ∞( , 1) dan (1, )
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
• Fungsi f(x) monoton turun pada I jika < ∀ ∈'( ) 0f x x I
<
−⇔ <
+ −⇔ <
2
2
2
'( ) 0
10
( 1)( 1)0
f x
x
x
x x
x
f(x) monoton naik pada selang −( 1,0) dan (0,1)
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya. Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c∈ I.
• f(c) disebut nilai maksimum
minimum global dari f pada I jika
minimum
≥∀ ∈
≤
( ) ( )
( ) ( )
f c f xx I
f c f x
• f(c) disebut nilai maksimum
minimum lokal dari f pada I jika terdapat selang
buka yang memuat c sehingga ≥
≤
( ) ( )
( ) ( )
f c f x
f c f x untuk setiap x pada selang
buka tadi.
Min
Max
globalMin
global MaxMin
lokal
global Max
lokal
a b c d e f
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
• Titik pada daerah definisi dimana
kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi
disebut titik kritis.
• Ada tiga jenis titik kritis :• Ada tiga jenis titik kritis :
a. Titik ujung selang I
b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c = )
c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada )
Min
lokal
Max
globalMin
global Max
lokal
�Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang
�Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner
�Titik x = e merupakan titik singular
lokal
a b c d e f
Jika >
<
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang ε−( , )c c dan
<
>
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang ε+( , )c c ,
maka f(c) merupakan nilai maksimum
minimum lokal f.
f(c)
c
Disebelah kiri c monoton naik
(f ’>0) dan disebelah kanan c
monoton turun (f’<0)
f(c) nilai maks lokal
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun
(f ’<0) dan disebelah kanan c
monoton naik (f’>0)
f(c)
f(c)
Misalkan ='( ) 0f c Jika
<
>
''( ) 0
''( ) 0
f c
f c maka f(c) merupakan nilai
maksimum
minimum
lokaldari f.
Contoh
Tentukan nilai ekstrim fungsi = − − +3 213( ) 3 4f x x x x
Jawab: Jawab:
= − − + ⇔ = − −3 2 21( ) 3 4 '( ) 2 3
3f x x x x f x x x
Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner
=
⇔ − − =
⇔ + − =
⇔ = − =
2
1 2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 dan 3
f x
x x
x x
x x
= − − +
− = − − − − − + = − − + = − − + + =
3 2
3 2
1( ) 3 4
31 1 1 2
( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 53 3 3 3
f x x x x
f − = − − − − − + = − − + = − − + + =
= − − + = − + = − − + = −3 2
( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 53 3 3 3
1 1(3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5
3 3
f
f
Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut. -1 3
(-) (+)(+)
f ’
• Pada selang −∞ −( , 1) , >'( ) 0f x
Pada selang −( 1,3) , <'( ) 0f x
Jadi − =2
( 1) 53
f merupakan nilai maksimum lokal
• Pada selang −( 1,3) , <'( ) 0f x
Pada selang ∞(3, ) , >'( ) 0f x
Jadi = −(3) 5f merupakan nilai minimum lokal
-1 3
• Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I
bila ' ( )f x naik pada interval I.
• Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I
bila ' ( )f x turun pada interval I bila ' ( )f x turun pada interval I
Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika > ∀ ∈"( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I
2. Jika < ∀ ∈"( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Tentukan selang kecekungan dari = 3( )f x x
Jawab
= =2'( ) 3 dan "( ) 6f x x f x x
• f cekung ke atas jika pada > ∀ ∈" ( ) 0 ,f x x I
> ⇔ >"( ) 0 6 0f x x> ⇔ >
⇔ >
"( ) 0 6 0
0
f x x
x
Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)
• f cekung ke bawah jika pada < ∀ ∈" ( ) 0 ,f x x I
< ⇔ <
⇔ <
"( ) 0 6 0
0
f x x
x
Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)
• Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) )
disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi
perubahan kecekungan di x = b, yaitu di
sebelah kiri x = b cekung ke atas dan disebelah kiri x = b cekung ke atas dan di
sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau
sebaliknya.
• Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik
belok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidak
diferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).
f(c) f(c)
c
(c,f(c)) titik belok
c
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung
keatas dan disebelah kanan c
cekung kebawah
Karena disebelah kiri c cekung
kebawah dan disebelah kanan c
cekung keatas
c
f(c)
c
(c,f(c)) bukan titik belok
Karena disekitar c tidak
Terjadi perubahan kecekungan
Walaupun di sekitar c
Terjadi perubahan
Kecekungan tapi tidak ada
Titik belok karena f tidak
terdefinisi di c
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a. = −3( ) 2 1f x x
b. = 4( )f x x b. =( )f x x
c. = +13( ) 1f x x
a. Dari = −3( ) 2 1f x x maka ="( ) 12f x x .
• Bila ="( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
• Fungsi f kontinu di x = 0.
• Untuk x < 0 maka <"( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka
>"( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
b. Dari = 4( )f x x maka = 2" ( ) 12f x x .
• Bila =" ( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok
• Fungsi f kontinu di x = 0
• Untuk x < 0 dan x > 0 maka >" ( ) 0f x . • Untuk x < 0 dan x > 0 maka >" ( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.
c. = +13( ) 1f x x maka
−= 5
3
2"( )
9f x
x.
• Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
• Fungsi f kontinu di x = 0.
• Untuk x < 0 maka >" ( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka Untuk x < 0 maka " ( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka
<" ( ) 0f x .
• Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.
1. Jika , tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
2( ) 6 5f x x x= − +
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
2. Jika ,tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
3 2( ) 6 9f x x x x= − +
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
2. Jika ,tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
3 2( ) 2 3 12 8f x x x x= − − +
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)
Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Penggunaan Turunan
1. Grafik fungsi ( )2
2 1
xf x
x=
− monoton turun pada selang ….
a. ( ) ( )0,1 1,∪ +∞
b. ( ] ( )1,0 1,− ∪ +∞
c. ( ) ( ), 1 1,0−∞ − ∪ −
d. ( ] ( ), 1 1,0−∞ − ∪ −
e. ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
2. Grafik fungsi ( )2x
f x = naik pada selang ….2. Grafik fungsi ( ) 2 1
xf x
x=
− naik pada selang ….
a. ( ] [ ], 1 0,1−∞ − ∪
b. ( ] ( )1,0 1,− ∪ +∞
c. ( ) ( ), 1 1,0−∞ − ∪ −
d. ( , 1] ( 1,0)−∞ − ∪ −
e. ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
3. Nilai minimum dari fungsi ( ) 3 23 2f x x x= − + pada selang [ ]1,3 adalah ….
a. -4
b. -2
c. 0
d. 1
e. 2
4. Titik stasioner fungsi ( ) 3 212 3 4
3f x x x x= − + + adalah ….
a. 1x = − dan 3x =
b. 3x = − dan 1x =
c. 3x = − dan 1x = −
d. 1x = dan 3x =
e. Tidak ada titik stasioner
5. Fungsi ( ) 3 212 3 4f x x x x= − + + monoton turun pada selang …. 5. Fungsi ( ) 3 212 3 4
3f x x x x= − + + monoton turun pada selang ….
a. 1 3x< <
b. 1 3x x< ∪ >
c. 3x >
d. 1x < e. 3x <
6. Fungsi ( ) 3 212 3 4
3f x x x x= − + + cekung ke atas pada selang ….
a. ( ,2)−∞
b. (0,2)
c. ( 2, )− +∞
d. (2, )+∞
e. ( 2,0)−
7. Titik belok fungsi ( ) 3 212 3 4
3f x x x x= − + + adalah ….
a. (3,4)
b. 23
(1,4 )
c. 23
(2,4 )
d. (0,4)
e. 263
( 2, )− −
3
8. Titik ekstrim maksimum fungsi ( ) 2
1xf x
x
−= adalah ….
a. 29
(3, )
b. 14
(2, )
c. (1,0)
d. 34
( 2, )−
e. ( 1, 2)− −
9. Fungsi ( ) 2
1xf x
x
−= monoton turun pada selang ….
a. (0,2)
b. ( ,0) (2, )−∞ ∪ +∞
c. (3, )+∞
d. ( ,0) (0,3)−∞ ∪ d. ( ,0) (0,3)−∞ ∪
e. (0,3)
10. Fungsi ( ) 2
1xf x
x
−= monoton naik pada selang ….
a. (0,2)
b. ( ,0) (2, )−∞ ∪ +∞
c. (3, )+∞
d. ( ,0) (0,3)−∞ ∪
e. (0,3)
Related Documents
![BAB 4 Turunan - relifline.files.wordpress.com fileBab 4.. Turunan 36 m1 = - x - f(x) 1 ( 1) x f x Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A](https://static.cupdf.com/doc/110x72/5c95af7209d3f2a67b8d1807/bab-4-turunan-4-turunan-36-m1-x-fx-1-1-x-f-x-jika-fx-kontinu-pada.jpg)
