Top Banner
27 BAB II. Hukum-hukum Tegangan Arus 2.1 Pendahuluan Pada saat ini kita telah mengenal sumber-sumber tegangan dan arus ideal serta elemen rangkaian sederhana yang bernama resistor. Jadi kita telah siap untuk menyelidiki perilaku dari rangkaian-rangkaian listrik dasar. Dua buah hukum sederhana, yakni hukum arus Kirchhoff dan hukum Tegangan Kirchhoff, menjadi dasar prosedur-prosedur analisis rangkaian. Akan kita temukan juga nantinya bahwa suatu rangkaian dapat disederhanakan dengan jalan mengkombinasikan elemen-elemen yang terhubung seri atau paralel – hal ini berlaku untuk sumber tegangan maupun arus, serta resistor dan konduktansi. 2.2 Penyajian 1 | Node, Lintasan, Loop, dan Cabang Sekarang kita siap menentukan hubungan antara arus dan tegangan di dalam jaringan-jaringan sederhana dari dua atau lebih elemen rangkaian. Elemen- elemen ini akan dihubungkan dengan kawat yang diasumsikan memiliki resistansi sama dengan nol. Karena jaringan ini muncul sebagai sejumlah elemen sederhana serta sekumpulan kawat penghubung, maka jaringan ini disebut sebagai jaringan parameter terkumpul (lumped-parameter network). Permasalahan analisis yang lebih sulit akan muncul jika kita berhadapan dengan jaringan parameter tersebar (distributed parameter network), yang mengandung elemen-elemen kecil yang jumlahnya tak-terhingga. Di dalam bahan ajar ini kita akan mengkonsentrasikan bahasan kita pada jaringan-jaringan dengan parameter terkumpul. Sebuah titik di mana dua atau lebih elemen memiliki hubungan bersama disebut sebagai simpul atau node. Sebagai contoh, Gambar 2.1a memperlihatkan sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node. Kadangkala suatu jaringan digambarkan sedemikian rupa untuk menjebak para mahasiswa yang tidak cermat atau teliti agar meyakini terdapatnya lebih banyak lagi node di dalam suatu rangkaian dibandingkan dengan yang sesungguhnya ada. Hal seperti ini sering
38

Bab 2. Hukum-hukum Tegangan Arus

Nov 18, 2015

Download

Documents

listrik
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • 27

    BAB II. Hukum-hukum Tegangan Arus

    2.1 Pendahuluan

    Pada saat ini kita telah mengenal sumber-sumber tegangan dan arus ideal

    serta elemen rangkaian sederhana yang bernama resistor. Jadi kita telah siap untuk

    menyelidiki perilaku dari rangkaian-rangkaian listrik dasar. Dua buah hukum

    sederhana, yakni hukum arus Kirchhoff dan hukum Tegangan Kirchhoff, menjadi

    dasar prosedur-prosedur analisis rangkaian. Akan kita temukan juga nantinya

    bahwa suatu rangkaian dapat disederhanakan dengan jalan mengkombinasikan

    elemen-elemen yang terhubung seri atau paralel hal ini berlaku untuk sumber

    tegangan maupun arus, serta resistor dan konduktansi.

    2.2 Penyajian

    1 | Node, Lintasan, Loop, dan Cabang

    Sekarang kita siap menentukan hubungan antara arus dan tegangan di

    dalam jaringan-jaringan sederhana dari dua atau lebih elemen rangkaian. Elemen-

    elemen ini akan dihubungkan dengan kawat yang diasumsikan memiliki resistansi

    sama dengan nol. Karena jaringan ini muncul sebagai sejumlah elemen sederhana

    serta sekumpulan kawat penghubung, maka jaringan ini disebut sebagai jaringan

    parameter terkumpul (lumped-parameter network). Permasalahan analisis yang

    lebih sulit akan muncul jika kita berhadapan dengan jaringan parameter tersebar

    (distributed parameter network), yang mengandung elemen-elemen kecil yang

    jumlahnya tak-terhingga. Di dalam bahan ajar ini kita akan mengkonsentrasikan

    bahasan kita pada jaringan-jaringan dengan parameter terkumpul.

    Sebuah titik di mana dua atau lebih elemen memiliki hubungan bersama

    disebut sebagai simpul atau node. Sebagai contoh, Gambar 2.1a memperlihatkan

    sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node. Kadangkala suatu jaringan

    digambarkan sedemikian rupa untuk menjebak para mahasiswa yang tidak cermat

    atau teliti agar meyakini terdapatnya lebih banyak lagi node di dalam suatu

    rangkaian dibandingkan dengan yang sesungguhnya ada. Hal seperti ini sering

  • 28

    terjadi ketika sebuah node, misalnya node 1 pada Gambar 2.1a, diperlihatkan

    sebagai dua buah persimpangan terpisah yang dihubungkan oleh sebuah

    konduktor (dengan resistansi sama dengan nol), sebagaimana tampak pada

    Gambar 2.1b. Yang dilakukan disini sesungguhnya adalah menyebarkan titik

    bersama menjadi garis bersama yang resistansinya nol. Maka, kita harus

    menganggap semua kawat penghantar sempurna ini sebagai kawat-kawat yang

    menempel atau melekat pada sebuah node sebagai bagian dari node. Perhatikan

    juga bahwa setiap elemen memiliki sebuah node pada masing-masing ujungnya.

    Gambar 2.1

    3

    1

    2

    1

    2

    3

    (a) (b)

    (a) Sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node dan lima buah cabang.

    (b) Node 1 digambar ulang sehingga terlihat sebagai dua buah node, meski sesungguhnya

    tetap merupakan satu buah node

    Anggaplah bahwa kita mulai dari satu node jaringan dan kemudian

    bergerak melalui sebuah elemen sederhana menuju node pada ujung yang lain.

    Berikutnya kita melanjutkan pergerakan kita dari node ini melalui sebuah elemen

    yang lain menuju node berikutnya, dan seterusnya melanjutkan pergerakan ini

    sampai melewati elemen sebanyak yang kita harapkan. Jika tidak ada satupun

    node yang dijumpai lebih dari satu kali, maka kumpulan node dan elemen yang

    kita lalui didefinisikan sebagai lintasan. Jika node dari mana kta memulai

    pergerakan kita sama dengan node di mana kita mengakhiri pergerakan kita maka

    per definisi lintasan ini disebut sebagai lintasan tertutup atau loop.

  • 29

    Sebagai contoh, dalam Gambar 2.1a di atas, jika kita bergerak dari node 2

    melewati sumber arus menuju ke node 1, dan kemudian melalui resistor atas

    sebelah kanan menuju node 3, kita telah membentuk lintasan; dan karena kita

    tidak melanjutkannya hingga ke node 2 kembali maka kita tidak membuat sebuah

    loop. Jika kita bergerak dari node 2 ke node 1 dengan melalui sumber arus,

    kemudian turun menuju node 2 melalui elemen resistor sebelah kiri dan bergerak

    ke atas melalui resistor tengah kembali menuju node 1, kita tidak membentuk

    lintasan karena sebuah node (sebenarnya dua buah node) dijumpai sebanyak lebih

    dari satu kali. Kita juga tidak membentuk sebuah loop karena sebuah loop

    haruslah merupakan sebuah lintasan.

    Istilah lain yang penggunaannya sangat sering kita jumpai adalah cabang.

    Kita mendefinisikan sebuah cabang sebagai sebuah lintasan tunggal di dalam

    sebuah jaringan yang terbentuk dari sebuah elemen sederhana dan node pada

    masing-masing ujung elemen tersebut. Jadi, sebuah lintasan merupakan kumpulan

    cabang. Rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 2.1a dan 2.1b memiliki lima

    buah cabang.

    2 | Hukum Arus Kirchhoff

    Berikutnya kita akan melihat hukum pertama dari dua buah hukum

    rangkaian yang namanya diambil dari seorang profesor di Jerman, Gustav Robert

    Kirchhoff, yang lahir pada waktu Ohm melakukan eksperimen ilmiahnya. Hukum

    aksiomatis ini disebut sebagai hukum arus Kirchhoff (disingkat KCL yang

    merupakan kependekan dari Kirchhoff Current Law atau dalam bahasa

    Indonesianya HAK) dan menyatakan bahwa :

    Jumlah aljabar dari arus-arus yang memasuki setiap node rangkaian adalah nol.

    Hukum ini merepresentasikan pernyataan matematika dari fakta bahwa

    muatan tidak dapat terakumulasi pada sebuah node. Sebuah node bukanlah

    elemen rangkaian, dan sudah barang tentu node ini tidak dapat menyimpan,

    memusnahkan, ataupun membangkitkan muatan. Oleh karenanya, penjumlahan

    arus harus nol. Analogi hidrolik dapat digunakan untuk memperjelas pernyataan

    ini. Sebagai contoh, tinjaulah tiga buah pipa air yang digabungkan sehingga

  • 30

    membentuk hubungan seperti huruf Y. Kita definisikan tiga buah arus mengalir

    masuk kedalam masing-masing pipa dari ketiga pipa ini. Jika kita tetap bersikeras

    bahwa airnya selalu mengalir, jelaslah bahwa kita tidak dapat memiliki tiga buah

    aliran positif, atau pipanya akan pecah. Oleh karena itu, nilai dari satu atau dua

    buah arus yang didefinisikan haruslah negatif.

    Gambar 2.2

    Sebuah contoh node untuk mengilustrasikan penerapan hukum arus Kirchhoff

    Perhatikanlah node pada Gambar 2.2. Jumlah aljabar dari empat buah arus

    yang memasuki node harus sama dengan nol. Jadi,

    iA + iB + (-iC) + (-iD) = 0

    Jelas terlihat bahwa hukum ini juga dapat diterapkan dengan sama baiknya

    terhadap jumlah aljabar arus yang meninggalkan node yaitu

    (-iA) + (-iB) + iC + iD = 0

    Kita juga dapat menyamakan penjumlahan arus-arus yang memiliki tanda panah

    referensi yang diarahkan masuk ke suatu node dengan penjumlahan arus-arus

    yang memiliki tanda panah referensi keluar dari node yang bersangkutan:

    iA + iB = iC + iD

    yang menyatakan bahwa arus yang masuk harus sama dengan yang keluar dari

    suatu node. Bentuk kompak hukum arus Kirchhoff (HAK) adalah sebagai berikut,

    N

    1nn 0i [1]

    yang merupakan bentuk ringkas dari

    0i...iii N321 [2]

    iA iB

    iC iD

  • 31

    Saat menggunakan persamaan [1] atau [2] harus dipahami bahwa N tanda

    panah arus semuanya diarahkan menuju ke suatu node atau semuanya diarahkan

    menjauhi node yang bersangkutan.

    Untuk rangkaian Gambar 2.3a, hitunglah arus yang melewati resistor R3 jika

    diketahui bahwa sumber tegangan memasok arus sebesar 3 A.

    Gambar 2.3

    (a)

    Rangkaian sederhana di mana arus yang melewati resistor R3 ingin dicari besarnya.

    (b)

    Arus yang melewati resistor R1 diberi label sehingga persamaan KCL dapat dituliskan.

    10 V + -

    iR1

    R2 R3

    2 A i

    5 A

    R1

    CONTOH 2.1

    10 V + -

    R1

    R2 R3

    2 A i

    5 A

  • 32

    (c)

    Arus yang masuk pada node atas R3 digambar ulang untuk memeprjelas permasalahan.

    Identifikasikan maksud dan tujuan yang hendak dicapai dari pernyataan

    soal yang diberikan. Arus yang melewati resistor R3 telah diberi label i

    sebagaimana terlihat pada diagram rangkaian.

    Kumpulkan seluruh informasi yang diketahui.

    Arus ini mengalir dari node atas R3, yang dihubungkan pada tiga buah

    cabang rangkaian yang lain. Arus yang mengalir masuk ke dalam node

    dari masing-masing cabang akan ditambahkan untuk membentuk arus i. Tentukan teknik mana yang merupakan teknik terbaik yang cocok untuk

    problem ini.

    Kita mulai dengan melabeli arus yang mengalir melewati R1 (Gambar

    2.3b) sehingga kita dapat menuliskan persamaan KCL pada node atas

    resistor R2 dan R3.

    Bentuklah himpunan persamaan yang tepat.

    Dengan menjumlahkan arus-arus yang mengalir masuk ke dalam node

    akan diperoleh persamaan:

    iR1 2 i + 5 = 0

    Arus yang mengalir masuk ke node ini diperlihatkan dengan lebih jelas

    pada Gambar 2.3c.

    iR1

    R2 R3

    2 A i

    5 A

    R1

    5 A (iR1 2 A )

  • 33

    Tentukan apakah diperlukan informasi tambahan.

    Kita lihat bahwa kita memiliki sebuah persamaan dengan dua buah

    besaran yang tidak diketahui. Hal ini berarti bahwa kita perlu memperoleh

    satu buah persamaan lagi. Pada titik ini, terdapat fakta bahwa sumber

    tegangan 10 V memasok arus sebesar 3 A. KCL menunjukkan bahwa arus

    ini juga merupakan arus iR1.

    Cobalah sebuah solusi.

    Dengan substitusi akan kita temukan bahwa i = 3 2 + 5 = 6 A.

    Pemeriksaan kebenaran solusi.

    Sangat disarankan untuk selalu memeriksa ulang pekerjaan yang telah kita

    lakukan. Kita dapat mengevaluasi apakah paling tidak magnitudo dari

    solusi yang diperoleh sudah masuk akal. Dalam kasus ini, kita mempunyai

    dua buah sumber satu di antaranya memasok arus sebesar 5 A,

    sedangkan sumber lainnya memasok arus sebesar arus sebesar 3 A. Tidak

    ada lagi sumber-sumber yang lain, baik sumber bebas maupun tak-bebas.

    Jadi kita menduga bahwa kita tidak akan memperoleh arus pada rangkaian

    melebihi 8 A.

    3 | Hukum Tegangan Kirchhoff

    Sekarang kita alihkan bahasan kita ke hukum tegangan Kirchhoff

    (disingkat KVL, Kirchhoff Voltage Law atau bahasa Indonesianya HTK).

    Hukum ini menyatakan bahwa

    Penjumlahan aljabar dari tegangan disekeliling suatu lintasan tertutup sama

    dengan nol.

    Arus berkaitan dengan muatan yang mengalir melalui sebuah elemen

    rangkaian, sedangkan tegangan merupakan ukuran dari selisih energi potensial

    pada terminal-terminal elemen. Dalam teori rangkaian, terdapat sebuah nilai unik

    tunggal untuk tegangan. Jadi, energi yang diperlukan untuk memindahkan satu

    muatan dari titik A ke titik B dalam sebuah rangkaian harus memiliki sebuah nilai

  • 34

    yang bebas atau tidak bergantung pada lintasan yang diambil untuk bergerak dari

    titik A ke B.

    Gambar 2.4

    Beda potensial antara titik A dan B tidak bergantung pada lintasan yang dipilih.

    Dalam Gambar 2.4, jika kita membawa sebuah muatan 1 C dari A ke B

    melalui elemen 1, tanda-tanda polaritas referensi untuk v1 menunjukkan bahwa

    kita melakukan kerja v1 joule. Sekarang jika kita justru memilih untuk bergerak

    dari A ke B melalui node C maka kita mengeluarkan v2 v3 joule energi. Akan

    tetapi kerja yang dilakukan tidak bergantung pada lintasan rangkaian, dan nilai-

    nilai ini haruslah sama. Setiap rute yang diambil harus memungkinkan

    diperolehnya nilai tegangan yang sama. Jadi,

    321 vvv [3]

    Selanjutnya, jika kita melakukan pelacakan pada sebuah lintasan tertutup, jumlah

    aljabar dari tegangan-tegangan pada masing-masing elemen lintasan ini harus

    sama dengan nol. Jadi kita dapat menuliskan,

    0v...vvv N321

    Atau dalam bentuk yang lebih kompak dituliskan sebagai,

    N

    1nn 0v [4]

    Kita dapat menerapkan KVL pada sebuah rangkaian dengan berbagai cara yang

    berbeda. Salah satu metode yang dapat membimbing kita pada penulisan

    1

    + v1 -

    2

    3

    + v2 - - v3 +

    C

    B

    A

  • 35

    persamaan rangkaian dengan kemungkinan kesalahan yang lebih kecil

    dibandingkan dengan metode-metode lainnya adalah dengan bergerak

    mengelilingi suatu lintasan tertutup dengan arah yang searah dengan perputaran

    jarum jam dan menuliskan tegangan dari setiap elemen yang terminal (+)-nya

    dijumpai lebih dahulu, serta menuliskan harga negatif dari setiap tegangan yang

    dijumpai pertama kali pada tanda (-)-nya. Dengan menerapkan metode ini pada

    loop tunggal di Gambar 2.4 akan diperoleh,

    0vvv 321

    yang sesuai dengan hasil sebelumnya, yaitu persamaan [3] diatas.

    Dalam rangkaian Gambar 2.5, carilah vx dan ix.

    Gambar 2.5

    Sebuah rangkaian sederhana dengan dua buah sumber tegangan dan sebuah resistor.

    Dari soal yang diberikan, telah diketahui nilai tegangan dari dua diantara

    tiga elemen yang terdapat dalam rangkaian. Jadi, KVL dapat dengan segera

    diterapkan untuk memperoleh vx.

    Dimulai dengan node bawah dari sumber 5 V, kita terapkan KVL searah

    jarum jam mengelilingi loop untuk memperoleh :

    -5 - 7 + vx = 0

    Jadi, vx = 12 V.

    KCL yang diaplikasikan pada rangkaian ini hanya akan menunjukkan

    kepada kita bahwa arus yang sama, (ix), akan mengalir melewati ketiga elemen.

    CONTOH 2.2

    + - 5 V 100

    + vx -

    - +

    7 V

    ix

  • 36

    Dengan mengetahui besarnya tegangan pada resistor 100 dan menggunakan

    hukum Ohm, ix dapat dihitung sebagai,

    120A100

    12

    100xv

    xi mA

    Dalam rangkaian Gambar 2.6 terdapat delapan buah elemen rangkaian; tegangan-

    tegangan berikut pasangan tanda plus-minus terminalnya ditunjukkan untuk

    masing-masing elemen rangkaian ini. Carilah vR2 (yaitu tegangan pada resistor R2)

    dan tegangan vx.

    Gambar 2.6

    Sebuah rangkaian dengan delapan elemen di mana kita ingin mencari vR2 dan vx.

    Titik-titik b dan c, sebagaimana halnya kawat-kawat penghubung diantaranya, merupakan bagian

    dari node yang sama.

    Pendekatan terbaik untuk mencari vR2 dalam situasi ini adalah dengan

    melihat sebuah loop dimana kita dapat mengaplikasikan KVL. Terdapat beberapa

    pilihan untuk ini. Namun, setelah kita lihat kembali rangkaian Gambar 2.6 diatas

    secara lebih cermat dan teliti, terlihatlah bahwa loop yang paling kiri memberikan

    alternatif jalan langsung karena dua tegangan dalam loop ini telah dispesifikasikan

    dengan jelas. Jadi, kita dapat mencari vR2 dengan menuliskan persamaan KVL

    pada loop ini, dimulai dari titik c.

    0v364 2R

    yang menghasilkan vR2 = 32 V.

    CONTOH 2.3

    36 V

    - +

    vs1

    a +

    + 12 V -

    + 14 V -

    c

    - v2 + - +

    + vR1 -

    R1 -

    + vR2 -

    R2 - 4V +

    b

  • 37

    Untuk mencari vx, kita dapat memandang vx ini sebagai penjumlahan

    (aljabar) dari tegangan-tegangan pada tiga elemen disbelah kanan rangkaian.

    Akan tetapi karena kita tidak memiliki nilai-nilai dari ketiga tegangan elemen ini,

    cara atau pendekatan penyelesaian soal seperti ini tidak akan dapat memperoleh

    jawaban yang diharapkan. Sebaliknya kita dapat menerapkan KVL yang dimulai

    dari titik c untuk kemudian bergerak ke atas dan melewati titik a, melintasi vx

    untuk menuju b, dan akhirnya dengan melalui kawat penghantar kembali ke titik

    asal. Persamaan yang diperoleh adalah:

    + 4 6 + 12 + 14 + vx = 0

    dan

    vx = 6 V

    Pendekatan pemecahan yang lain : dengan mengetahui vR2 maka kita dapat

    mengambil jalan singkat melalui elemen rangkaian R2 untuk memperoleh

    persamaan,

    -32 + 12 + 14 + vx = 0

    yang menghasilkan vx = 6 V; jawaban yang sama dengan yang diperoleh

    sebelumnya.

    Tentukanlah vx dalam rangkaian Gambar 2.7a.

    Gambar 2.7

    (a) (b)

    (a) Seuah rangkaian di mana nilai vx ingin dicari dengan menggunakan KVL. (b) Rangkaian

    dengan tegangan dan arus yang telah diberi label.

    CONTOH 2.4

    60 V 60 V

    8

    4

    10 2 + vs -

    ix + -

    5 A 5 A 8

    + v8 -

    4

    10 2

    i4

    + v4 -

    + v10 -

    + -

    ix

    + vx -

    i10 i2

  • 38

    Kita dapat memulai pemecahan problem ini dengan melabeli tegangan dan

    arus pada elemen-elemen rangkaian (Gambar 2.7b). Perhatikan bahwa vx muncul

    pada resistor 2 , dari hukum Ohm akan dapat diperoleh vx. Dengan menuliskan

    persamaan KCL yang tepat, terlihat bahwa

    i2 = i4 + ix

    Sayangnya kita tidak memiliki nilai dari setiap besaran-besaran di atas sehingga

    solusi yang kita kerjakan terhenti (untuk sementara).

    Karena besarnya arus yang mengalir dari sumber 60 V telah diberikan

    (5 A) maka kita akan memulai upaya pemecahan problem dari sisi rangkaian ini.

    Kita bisa secara langsung memperoleh vx dari KVL, ketimbang mencari atau

    mengetahui i2 terlebih dahulu. Salah satu persamaan KVL yang mungkin dibuat

    adalah,

    -60 + v8 +v10 = 0

    Dengan menggunakan hukum Ohm serta fakta bahwa arus 5 A mengalir melewati

    resistor 8 akan kita peroleh v8 = 40 V dan v10 = 60 40 = 20 V. Dengan hasil ini

    kita dapat menentukan

    A210

    V20i10 .

    Dengan mengaplikasikan KVL pada loop tengah,

    -v10 + v4 + vx = 0 [5]

    Berikutnya kita akan mengeliminasi v4 dengan menggunakan KCL dan hukum

    Ohm:

    24vi

    4vii5 410

    4104

    Jadi, v4 = 12 V. Dengan mensubstitusikan nilai ke dalam persamaan [5] bersama-

    sama dengan fakta bahwa v10 = 20 V, dapat diperoleh bahwa vx = 8 V.

    Kunci untuk dapat menganalisis sebuah rangkaian dengan benar, pertama-

    tama adalah melabeli seluruh tegangan dan arus di dalam diagram. Selanjutnya

    tuliskanlah persamaan KCL dan KVL secara cermat untuk memperoleh hubungan

  • 39

    arus dan tegangan yang benar. Hukum Ohm dapat diterapkan jika terdapat lebih

    banyak parameter yang tak diketahui dibandingkan dengan persamaan yang ada.

    4 | Rangkaian Loop Tunggal

    Setelah mempelajari dan memahami hukum Ohm dan Kirchhoff, kita

    dapat mengaplikasikannya untuk menganalisis sebuah rangkaian resistif

    sederhana.

    Gambar 2.8

    (a) Sebuah rangkaian loop tunggal dengan empat buah elemen. (b) Model rangkaian lengkap

    dengan nilai tegangan sumber dan resistansinya. (c). Rangkaian yang dilengkapi dengan

    tanda-tanda referensi arus dan tegangan.

    Gambar 2.8a menunjukkan sebuah rangkaian sederhana yang terdiri dari

    dua buah baterai dan dua buah resistor. Setiap terminal, kawat penghubung, dan

    solderan diasumsikan mempunyai resistansi nol. Dalam rangkaian Gambar 2.8b,

    kedua baterai dimodelkan sebagai sumber tegangan ideal; setiap resistansi internal

    yang mungkin dimiliki diasumsikan sangat kecil sehingga dapat diabaikan.

    Adapun kedua buah resistor diasumsikan dapat digantikan oleh resisor ideal

    (linear).

    ABC

    R1

    R2 vs1 + -

    + -

    vs2

    vs1 vs2

    + - R1

    R2 + vR2 -

    + vR1 -

    + -

    i

    i

    i i

    (a)

    (a) (b)

  • 40

    Di sini kita ingin mencari arus yang melewati masing-masing elemen,

    tegangan pada setiap elemen, serta daya yang diserap oleh masing-masing elemen

    rangkaian. Langkah pertama dalam analisis kita adalah mengasumsikan atau

    menetapkan arah referensi dari arus-arus rangkaian yang tak diketahui. Secara

    sembarang, kita pilih arus i yang mengalir keluar dari terminal atas sumber

    tegangan sebelah kiri dan bergerak di dalam rangkaian dalam arah yang searah

    dengan perputaran jarum jam. Pilihan ini diindikasikan oleh sebuah anak panah

    berlabel i sebagaimana tampak dalam Gambar 2.8c. Aplikasi hukum arus

    Kirchhoff menjamin bahwa arus yang sama juga mengalir melewati setiap elemen

    rangkaian yang lain. Kita menekankan fakta ini dengan cara menempatkan

    beberapa simbol arus yang sama pada beberapa bagian rangkaian yang lain.

    Semua elemen di dalam sebuah rangkaian yang membawa arus yang sama

    dikatakan sebagai elemen-elemen yang terhubung seri. Perhatikan bahwa elemen-

    elemen juga dapat membawa arus yang sama besar tidak terhubung seri. Sebagai

    contoh, bola lampu 100 W di rumah tetangga kita menarik arus yang sama

    besarnya dengan bola lampu 100 W dirumah kita, tetapi kedua lampu tersebut

    bukan merupakan arus yang sama dan tidak berada dalam hubungan seri.

    Langkah kedua dalam analisis rangkaian kita adalah memilih referensi

    tegangan untuk setiap resistor dari kedua buah resistor rangkaian. Konvensi tanda

    pasif mensyaratkan bahwa variabel arus dan tegangan resistor harus didefinisikan

    sedemikian rupa sehingga arus memasuki terminal yang memiliki referensi

    tegangan positif. Karena kita telah memilih arah arus di dalam rangkaian maka vR1

    dan vR2 didefinisikan seperti dalam Gambar 2.8c diatas.

    Langkah ketiganya adalah aplikasi hukum Tegangan Kirchhoff pada

    lintasan tertutup atau loop semata. Misalnya kita memutuskan untuk bergerak di

    dalam rangkaian dalam arah pergerakan yang searah dengan perputaran jarum

    jam, dimulai dari bagian pojok kiri bawah dan menuliskan secara langsung setiap

    tegangan yang dijumpai pertama pada referensi positifnya atau menuliskan harga

    negatif untuk setiap tegangan yang ditemui pertama pada terminal negatifnya.

    Kita akan memperoleh persamaan rangkaian sebagai berikut,

    -vs1 + vR1 + vs2 + vR2 = 0 [6]

  • 41

    Kemudian kita aplikasikan hukum Ohm untuk elemen-elemen resistif yaitu,

    vR1 = R1i dan vR2 = R2i.

    Dengan mensubtitusikan persamaan di atas ini kedalam persamaan [6] akan

    dihasilkan persamaan,

    -vs1 +R1i + vs2 +R2i = 0

    Karena i merupakan satu-satunya variabel yang tidak diketahui, akan kita

    temukan bahwa,

    2R1R2sv1svi

    Tegangan atau daya yang berasosiasi terhadap setiap elemen rangkaian dengan

    demikian dapat diperoleh dengan mengaplikasikan v = Ri, p=vi, atau p=i 2R.

    HItunglah daya yang diserap oleh masing-masing elemen pada rangkaian yang

    ditunjukkan oleh Gambar 2.9a.

    Gambar 2.9

    (a) Sebuah rangkaian loop tinggal yang mengandung sebuah sumber tak-bebas. (b)

    Rangkaian yang dilabeli dengan arus i dan tegangan v30.

    Pertama-tama kita harus menetapkan arah referensi untuk arus i dan

    polaritas referensi untuk tegangan v30 seperti yang ditunjukkan dalam Gambar

    2.9b. Kita tidak perlu menentukan tegangan pada resistor 15 karena tegangan

    pengendali vA untuk sumber tak-bebas sudah tersedia.

    Rangkaian ini berisi sebuah sumber tegangan tak-bebas, yang nilainya

    tetap tak akan diketahui sampai nilai vA ditentukan. Namun demikian, nilai

    aljabarnya (2vA) dapat digunakan sebagaimana halnya jika nilai numeriknya

    CONTOH 2.5

    120 V

    30 + -

    + vA -

    15

    2 vA

    120 V

    30 + - 2 vA +

    vA -

    15

    + v30 - i

    (a) (b)

  • 42

    tersedia. Jadi, dengan mengaplikasikan KVL pada loop rangkaian akan diperoleh

    persamaan:

    - 120 +v30 +2vA vA = 0 [7]

    Dengan menggunakan hukum Ohm terhadap resistor-resistor yang nilainya

    diketahui akan diperoleh:

    v30 = 30 i dan vA = -15 i

    Perhatikan bahwa tanda negatif digunakan karena i mengalir masuk pada terminal

    negatif vA. Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan [7] dapat

    kita peroleh:

    -120 + 30 i 30 i + 15 i = 0

    sehingga akan kita temukan bahwa

    i = 8 A

    Perhitungan daya yang diserap oleh masing-masing elemen adalah :

    p120V = (120)(-8) = - 960 W

    p30 = (8)2(30) = 1920 W

    pdep = (2vA)(8) = 2[(-15)(8)](8)

    = - 1920 W

    p15 = (8)2(15) = 960 W

    Perhatikan bahwa jika kita menjumlahkan semua daya yang diserap (dihitung

    menggunakan kesepakatan tanda pasif), akan kita peroleh nilai yang sama dengan

    nol sebagaimana kita perkirakan berdasarkan prinsip konservasi (kekekalan)

    energi.

    5 | Rangkaian Pasangan Node Tunggal

    Pasangan dari rangkaian loop tunggal yang telah dibahas dalam sub-bab

    sebelumnya adalah rangkaian pasangan node tunggal, di mana setiap elemen

    rangkaian dihubungkan di antara pasangan node yang sama. Contoh dari

    rangkaian ini diperlihatkan pada Gambar 2.10a di bawah. Kedua sumber arus

    serta nilai resistansi dari resistor-resistor rangkaian diketahui. Pertama-tama,

    asumsikanlah suatu tegangan pada masing-masing elemen rangkaian dengan

  • 43

    menetapkan polaritas referensinya secara sembarang. Dengan menerapkan KVL

    maka tegangan pada suatu cabang rangkaian sama dengan tegangan pada cabang-

    cabang yang lainnya. Elemen-elemen pada suatu rangkaian yang memiliki

    tegangan yang sama dikatakan sebagai elemen-elemen yang terhubung paralel.

    Carilah tegangan, arus, dan daya dari masing-masing elemen rangkaian Gambar

    2.10a.

    Gambar 2.10

    (a) (b)

    (a) Rangkaian pasangan node tunggal (b) Rangkaian yang dilengkapi dengan sebuah label

    tegangan dan dua buah label arus.

    Kita dapat mulai memecahkan masalah ini dengan pertama-tama

    mendefinisikan tegangan v dan secara sembarang menentukan polaritasnya

    sebagaimana tampak dalam Gambar 2.10b. Dua buah arus yang mengalir pada

    komponen resistor, arahnya dipilih sedemikian hingga memenuhi kesepakatan

    tanda pasif. Arus-arus ini juga ditunjukkan dalam Gambar 2.10b.

    Dengan menentukan i1 atau i2, kita dapat memperoleh nilai v. Jadi, langkah

    kita berikutnya adalah mengaplikasikan KCL pada salah satu dari dua buah node

    rangkaian. Bagaimanapun juga, biasanya akan lebih mudah dan jelas jika kita

    mengaplikasikan KCL ini pada node di mana terdapat referensi tegangan positif.

    Jadi, kita akan menyamakan jumlah aljabar dari arus-arus yang meninggalkan

    node bagian atas dengan nol sehingga diperoleh persamaan:

    - 120 + i1 + 30 + i2 = 0

    120 A 1/30

    R1 1/15

    R2

    120 A 1/30

    R1 R2 1/15

    i1 i2

    CONTOH 2.6

  • 44

    Dengan menuliskan kedua arus dalam bentuk tegangan v dengan menggunakan

    hukum Ohm, akan kita peroleh:

    i1 = 30 v dan i2 = 15 v

    Dengan mensubstitusikan kedua nilai di atas pada persamaan KCL sebelumnya

    akan dihasilkan:

    -120 + 30 v + 30 + 15 v = 0

    sehingga,

    v = 2 V

    Selanjutnya, dengan menggunakan kembali hukum Ohm akan kita peroleh:

    i1 = 60 A dan i2 = 30 A

    Daya yang diserap oleh masing-masing elemen dengan demikian dapat dihitung

    sebagai berikut:

    untuk kedua buah resistor,

    pR1 = 30(2)2 = 120 W dan pR2 = 15(2)2 = 60 W

    untuk kedua buah sumber

    p120A = 120(-2) = - 240 W dan p30A = 30(2) = 60 W

    Oleh karena sumber 120 A menyerap daya negatif sebesar 240 W, sesungguhnya

    elemen ini menyuplai atau memasok daya ke elemen lain dalam rangkaian. Serupa

    dengan ini, sumber 30 A sesungguhnya menyerap daya, dan bukan menyuplai

    daya.

    Apakah hasil seperti ini telah diperkirakan sebelumnya? Tentu saja hasil

    ini tidak diperkirakan sebelumnya karena biasanya kita menganggap sebuah

    "sumber" sebagai sumber daya rangkaian yang menyuplai daya, ketimbang

    menyerap daya. Namun, seperti kita lihat dalam contoh ini, kasusnya tidaklah

    selalu seperti ini.

  • 45

    Tentukanlah nilai untuk v serta daya yang disuplai oleh sumber arus bebas pada

    Gambar 2.11 berikut ini.

    Gambar 2.11

    Tegangan v dan arus i6 pada sebuah rangkaian pasangan node tunggal yang mengandung sebuah

    sumber tak-bebas.

    Dengan KCL, jumlah arus yang meninggalkan node bagian atas rangkaian

    harus sama dengan nol, sehingga persamaan yang akan diperoleh adalah:

    i6 2ix 0,0024 ix = 0

    Perhatikan bahwa nilai sumber tak-bebas (2ix) diperlakukan sama sebagaimana

    halnya perlakuan terhadap arus yang lain, meskipun nilai eksaknya tidak diketahui

    sampai rangkaian tuntas dianalisis.

    Selanjutnya, kita mengaplikasikan hukum Ohm untuk masing-masing resistor

    sehingga diperoleh

    6000

    v6i dan 2000

    vix

    Oleh karenanya,

    02000

    v024,02000

    v26000

    v

    sehingga v = (600)(0,024) = 14,4 V.

    Semua informasi rangkaian yang lain yang ingin kita cari, sekarang

    dengan mudah dapat diperoleh (biasanya cukup dalam satu langkah saja). Sebagai

    CONTOH 2.7

    6 k 2 k 2ix 24 mA v

    +

    -

    ix

    i6

  • 46

    contoh, daya yang disuplai oleh sumber bebas adalah p24=14,4(0,024) = 0,3456 W

    (345,6 mW).

    Untuk rangkaian Gambar 2.12a dibawah ini, carilah i1, i2, i3 dan i4.

    Gambar 2.12

    (a)

    (b)

    25

    i1 i2

    i3 i4

    10 10 25 A

    0,2 v1

    + v1 - C

    A B

    D

    CONTOH 2.8

    25

    i1 i2

    i3 i4

    10 10 25 A 0,2 v1

    + v1 -

  • 47

    (c)

    (a) Rangkaian pasangan node tunggal. (b) Rangkian yang dilengkapi dengan label-label titik

    simpul untuk memudahkan proses penggambaran ulang. (c) Rangkain yang digambar ulang.

    Sebagaimana digambarkan, rangkaian sedikit lebih rumit untuk dianalisis

    sehingga kita putuskan untuk pertama-tama menggambar ulang rangkaian ini

    setelah sebelumnya dibubuhi label-label titik simpul A, B, C, dan D sebagaimana

    yang tampak dalam Gambar 3.12b dan akhirnya diperoleh Gambar 3.12c. Kita

    juga mendefinisikan arus i10 yang mengalir melalui resistor 10 .

    Tak satupun dari arus-arus rangkaian yang ditanyakan dapat secara

    langsung diperoleh dari diagram rangkaian yang sudah ada, sehingga kita harus

    mencarinya dengan mengaplikasikan hukum Ohm. Masing-masing resistor dari

    ketiga resistor yang ada dalam rangkaian memiliki tegangan yang sama, (v1).

    Penjumlahan arus yang mengalir masuk kedalam node rangkaian yang paling

    kanan adalah:

    025vv2,0

    10v5,2

    100v 1

    111

    Persamaan di atas ini memiliki solusi berupa v1 = 250/5 =50 V

    Dari bagian bawah diagram rangkaian, dapat kita lihat hubungan arus dan

    tegangan sebagai berikut:

    A5,010050

    100vi 14

    + v1 -

    25 0,2 v1

    i1 i2

    i3

    i4

    2,5 A 10

    i10 100

    A B

    C D

  • 48

    Dengan cara serupa dapat kita tentukan bahwa i1 = - 2 A. Dua buah arus lain yang

    tersisa, i2 dan i3, dapat dicari dengan menggunakan KCL untuk menjumlahkan

    arus-arus yang diketahui pada node-node sebelah kanan dan kiri. Jadi,

    A35102iv2,0ii 10112

    dan

    A85,05,25i5,2ii 4103

    6 | Sumber-Sumber Bebas dalam Hubungan Seri dan Paralel

    Berdasarkan pemaparan sejauh ini dapat kita lihat bahwa penulisan

    persamaan-persamaan dalam jumlah yang cukup banyak yang telah kita lakukan

    untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel dapat dihindari dengan melakukan

    kombinasi sumber. Akan tetapi perlu diperhatikan bahwa hubungan untuk semua

    arus, tegangan, dan daya pada sisa rangkaian tetap atau tidak berubah.

    Gambar 2.13

    (a) (b) (a) Sumber sumber tegangan yang terhubung seri dapat digantikan oleh sebuah sumber tegangan

    ekivalen. (b) Sumber-sumber arus paralel dapat digantikan dengan sebuah sumber arus ekivalen.

    Sebagai contoh, beberapa sumber tegangan yang berada dalam hubungan

    seri dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan ekivalen yang mempunyai

    tegangan yang sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing sumber tegangan

    (lihat Gambar 2.13a). Sumber arus paralel juga dapat digabungkan menjadi

    + -

    - +

    + -

    + -

    v1 + v2 v3 Atau

    v1

    v2

    v3

    = i3 i2 i1 i1 i2 + i3

  • 49

    sebuah sumber arus ekivalen dengan jalan menjumlahkan secara aljabar masing-

    masingsumber arus (lihat Gambar 2.13b). Umumnya, upaya untuk melibatkan

    sumber tegangan atau arus tak-bebas dalam penggabungan sumber tidak akan

    memberikan manfaat atau keuntungan yang besar atau cukup berarti.

    Untuk mengakhiri bahasan tentang kombinasi sumber-sumber paralel dan

    seri, marilah kita tinjau kombinasi paralel dari dua buah sumber tegangan serta

    kombinasi seri dari dua buah sumber arus. Sebagai contoh, berapakah nilai

    ekivalen dari sumber 5 V yang terhubung paralel dengan sumber 10 V?

    Berdasarkan definisi dari sebuah sumber tegangan, tegangan pada terminal-

    terminalnya tidak dapat berubah. Selanjutnya dari hukum tegangan Kirchhoff, 5V

    akan sama dengan 10 V, yang merupakan hal yang tidak mungkin. Jadi, sumber-

    sumber tegangan ideal yang terhubung paralel hanya diijinkan jika masing-masing

    sumber tegangan ini memiliki tegangan terminal yang sama setiap saatnya. Dalam

    cara yang serupa, dua buah sumber arus tidak dapat dihubungkan secara seri

    kecuali jika masing-masing sumber arus ini memiliki arus yang sama, termasuk

    tandanya, setiap saatnya.

    Tentukanlah yang mana rangkaian yang valid dari rangkaian-rangkaian dalam

    Gambar 2.14 berikut ini.

    Gambar 2.14

    (a) (b) (c) (d)

    (a) sampai dengan (d) Contoh-contoh rangkaian dengan sumber lebih dari satu, beberapa

    diantaranya melawan hukum Kirchhoff.

    CONTOH 2.9

    5 V

    10 V 1 A

    2 V 1 A

    14 V

    5 A 3 A R

    R

    R + -

    + -

    + -

    + -

  • 50

    Rangkaian Gambar 2.14a terdiri dari dua buah sumber tegangan dalam

    hubungan paralel. Nilai dari masing-masing sumber ini berbeda sehingga

    rangkaian ini melawan KVL. Sebagai contoh, jika sebuah resistor ditempatkan

    secara paralel dengan sumber 5 V, maka resistor ini juga terhubung paralel

    dengan sumber 10 V. Tegangan aktual pada terminal-terminalnya dengan

    demikian akan memiliki dua nilai yang berbeda, sehingga jelas bahwa rangkaian

    ini tidak dapat dibentuk sebagaimana yang ditunjukkan dalam Gambar 2.14a.

    Namun, dalam dunia yang riil semua sumber akan memiliki suatu nilai resistansi

    internal atau resistansi dalam tertentu. Keberadaan resistansi ini memungkinkan

    munculnya perbedaan tegangan di antara kedua sumber riil. Inilah yang menjadi

    dasar pemikiran untuk menyatakan bahwa rangkaian Gambar 2.14b adalah

    rangkaian yang valid (sahih).

    Selanjutnya, rangkaian Gambar 2.14c menentang KCL. Dalam kasus ini,

    tidak jelas arus yang mana sesungguhnya mengalir melalui resistor R.

    Kebalikannya, rangkaian Gambar 2.14d tidak melawan KCL. Akan tetapi jika

    resistor R dihilangkan, kita akan memperoleh rangkaian yang tidak dapat diterima

    karena arus sebesar 5 A akan berada dalam hubungan seri dengan arus -3 A.

    Kondisi ini bertentangan dengan KCL.

    7 | Resistor Hubungan Seri dan Paralel

    Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor

    yang relatif rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Langkah ini berguna terutama

    ketika kita tidak secara khusus tertarik terhadap nilai arus, tegangan, maupun daya

    dari masing-masing resistor dalam rangkaian. Semua hubungan arus, tegangan,

    dan daya dalam sisa rangkaian akan tetap (tidak berubah).

    Tinjaulah kombinasi seri dari N buah resistor yang diperlihatkan oleh

    Gambar 2.15a. Kita ingin menyederhanakan rangkaian dengan menggantikan N

    buah resistor ini dengan sebuah resistor ekivalen, Rek, sedemikian sehingga sisa

    rangkaian, yang dalam kasus ini hanya sumber tegangan, tidak menyadari telah

  • 51

    dilakukannya suatu perubahan. Arus, tegangan, dan daya sumber harus sama

    untuk kondisi sebelum dan sesudah pergantian.

    Gambar 2.15

    (a) (b)

    (a) Kombinasi seri N buah resistor. (b) Rangkaian ekivalennya.

    Pertama-tama, aplikasikanlah KVL untuk memperoleh persamaan:

    N21s vvvv

    dan kemudian dengan hukum Ohm diperoleh:

    i)RRR(iRiRiRv N21N21s

    Sekarang bandingkanlah hasil yang diperoleh ini dengan persamaan sederhana

    yang diperoleh dengan mengaplikasikan rangkaian ekivalen Gambar 2.15b yang

    memiliki persamaan rangkaian:

    iRv eks

    Dari perbandingan di atas akan diperoleh bahwa resistansi ekivalen untuk N buah

    resistor yang terhubung seri adalah,

    N21ek RRRR

    Dengan demikian kita dapat mengganti suatu jaringan dua-terminal yang terdiri

    atas N buah resistor yang terhubung seri dengan sebuah elemen dua-terminal

    tunggal Rek yang mempunyai hubungan v-i yang sama.

    Perlu ditekankan kembali di sini bahwa kita mungkin saja memiliki

    ketertarikan untuk mengetahui arus, tegangan, ataupun daya dari elemen-elemen

    pada rangkaian semula. Sebagai contoh, tegangan dari sumber tegangan tak-bebas

    mungkin saja bergantung pada tegangan dari komponen R3. Jika R3 telah

    R1 RN R2

    + v1 -

    Rek

    + v2 - + vN -

    vs vs

    i

    + -

    + -

    i

  • 52

    digabungkan dengan beberapa resistor seri yang lain untuk membentuk sebuah

    resistansi ekivalen maka resistor R3 ini akan hilang sehingga tegangan pada

    terminal-terminalnya tidak dapat ditentukan. Dalam kasus seperti ini, langkah

    yang lebih baik untuk dilakukan ialah tidak melibatkan R3 sejak awal sebagai

    bagian dari kombinasi.

    Gunakanlah kombinasi resistansi dan sumber untuk menentukan arus i pada

    rangkaian Gambar 2.16a dan daya yang di suplai oleh sumber 80 V.

    Gambar 2.16

    (a) Rangkaian seri dengan beberapa buah sumber dan resistor. (b) Elemen-elemen rangkaian

    disusun ulang untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas. (c) Rangkaian ekivalen yang lebih

    sederhana.

    Langkah yang pertama-tama kita lakukan ialah saling menukarkan posisi

    elemen-elemen dalam Gambar 2.16b (lakukan langkah ini secara hati-hati dengan

    memperhatikan tanda terminal sumber). Langkah selanjutnya ialah

    mengkombinasikan ketiga buah sumber menjadi sebuah sumber ekivalen 90 V,

    serta keempat buah resistor menjadi sebuah resistor ekivalen 30 sebagaimana

    yang tampak pada Gambar 2.16c. Jadi kita akan memperoleh persamaan

    0i820i5i730i1080

    CONTOH 2.10

    30 V 30 V

    i 10 7 5

    80 V + - + -

    8

    (a)

    + -

    20 V

    i

    10 7

    5 20 V

    + -

    80 V

    8

    90 V + - 30

    (b)

    (c)

  • 53

    yang dapat disederhanakan menjadi:

    0i3090

    Solusi yang diperoleh adalah

    A3i

    Untuk menghitung daya yang dipasok oleh sumber 80 V ke rangkaian, kita perlu

    kembali lagi ke Gambar 2.16a dengan bekal solusi bahwa arus yang mengalir

    adalah sebesar 3 A. Jadi daya yang ditanyakan adalah 80 V x 3 A = 240 W.

    Menarik untuk dicatat bahwa tidak ada satupun elemen rangkaian semula

    yang tersisa pada rangkaian ekivalennya.

    Gambar 2.17

    (a) (b)

    (a) Rangkaian dengan N buah resistor paralel. (b) Rangkaian Ekivalenya.

    Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk

    rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor

    dalam hubungan paralel, seperti yang tampak dalam Gambar 2.17a, akan

    menghasilkan persamaan KCL sebagai berikut:

    N21s iiii

    atau,

    ekN21s R

    vRv

    Rv

    Rvi

    Jadi,

    N21ek R1

    R1

    R1

    R1

    Req RN R2

    iN i2 i1

    -

    +

    v is R1

    v

    -

    +

  • 54

    yang dapat ditulis sebagai: 1

    N1

    21

    11

    ek RRRR

    atau dalam bentuk konduktansi,

    N21ek GGGG

    Rangkaian yang disederhanakan (ekivalen) ditunjukkan oleh Gambar 2.17b.

    Kombinasi paralel biasa diindikasikan dengan notasi pendek berikut ini:

    321ek R||R||RR

    Situasi khusus di mana hanya terdapat dua buah resistor yang terubung paralel

    akan kerapkali kita temui. Untuk kasus ini, persamaan untuk resistansi

    ekivalennya dirumuskan sebagai:

    21

    21ek

    R1

    R1

    1R||RR

    atau dalam bentuk yang lebih sederhana lagi,

    [8]

    Bentuk persamaan yang terakhir ini penting dan berguna untuk selalu diingat,

    meskipun kerap terjadi kesalahan di mana persamaan [8] ini digeneralisasi untuk

    lebih dari dua buah resistor, contohnya:

    321

    321ek RRR

    RRRR

    Dengan melihat satuan dari persamaan ini, dengan cepat dapat kita pastikan

    bahwa persamaan di atas tidak mungkin benar.

    21

    21ek RR

    RRR

  • 55

    Hitunglah daya dan tegangan dari sumber tak-bebas yang terdapat pada rangkaian

    Gambar 2.18a berikut ini.

    Gambar 2.18

    (a) Rangkaian dengan banyak node. (b) Dua buah sumber bebas digabungkan menjadi sebuah

    sumber 2 A yang ekivalen, dan resistor 15 yang terhubung seri dengan dua buah resistor 6

    paralel digantikan oleh sebuah resistor 18 (c) Rangkaian ekivalen yang lebih sederhana.

    Kita membiarkan sumber tak-bebas seperti rangkaian semula dan

    mengkombinasikan kedua buah sumber arus yang tersisa menjadi sebuah sumber

    CONTOH 2.11

    6 A

    15

    3

    (b)

    0,9 i3 3

    3 18

    (c)

    9 6 6

    2 A

    2 A 9

    6

    4 A vs

    +

    -

    i3

    (a)

    i3

    0,9 i3

    +

    vs

    -

    0,9 i3

    +

    vs

    -

    i3

  • 56

    arus ekivalen 2 A. Kita lihat bahwa kedua buah resistor 6 berada dalam

    hubungan paralel, yang dapat direduksi menjadi sebuah resistor dengan resistansi

    3 . Oleh karena kedua resistor paralel 6 terhubung seri dengan resistor 15

    maka resistor penggantinya (3 ) juga akan terhubung secara seri dengan resistor

    15 dimaksud. Jadi, kita dapat mengganti resistor 15 serta kedua resistor paralel

    6 dengan sebuah resistor 18 untuk menghasilkan rangkaian Gambar 2.18b di

    atas.

    Sampai di sini, kita mungkin akan tergoda untuk menggabungkan resistor-

    resistor 3,9, dan 18 menjadi resistor ekivalennya. Akan tetapi langkah ini akan

    berakibat hilangnya i3, yang merupakan arus pengendali untuk sumber tak-bebas.

    Jadi, kita memilih untuk menyederhanakan rangkaian lebih lanjut dengan hanya

    mengkombinasikan resistor 9 dan 18 , sebagaimana dapat dilihat pada Gambar

    2.18c.

    Dengan mengaplikasikan ini pada node bagian atas dari rangkaian Gambar

    2.18c, dapat kita peroleh persamaan:

    06vi2i9,0 33

    Untuk menentukan tegangan, v, pada sumber tak-bebas rangkaian, pertama-tama

    kita harus mencari nilai dari arus pengendali, i3. Dengan mengaplikasikan hukum

    Ohm dapat kita peroleh:

    3i3v

    dari mana dapat kita hitung nilai i3 sebagai:

    A3

    10i3

    Jadi, tegangan, v, pada sumber tak-bebas (yang sama dengan tegangan pada

    resistor 3 ) adalah:

    V10i3v 3

    Sumber tak-bebas ini dengan demikian akan menyuplai daya sebesar v x 0,9i3 =

    10(0,9)(10/3) = 30 W ke rangkaian.

  • 57

    Sekarang, jika kita ditanya tentang besarnya daya yang disipasikan oleh

    resistor 15 , kita harus kembali ke rangkaian semula. Resistor ini terhubung seri

    dengan resistor ekivalen 3 dan tegangan sebesar 10 V muncul di antara nilai

    resistansi totalnya yaitu 18 . Oleh karena itu, arus sebesar 5/9 A akan mengalir

    melalui resistor 15 dan daya yang diserap oleh elemen ini adalah (5/9)2(15) =

    4,63 W.

    Tiga buah komentar terakhir tentang kombinasi seri dan paralel berikut ini

    kiranya dapat membantu kita dalam menganalisis rangkaian listrik ini. Komentar

    yang pertama diilustrasikan dengan mengacu pada Gambar 2.19a dan mengajukan

    pertanyaan Apakah vs dan R terhubung seri ataukah paralel? Jawabannya

    adalah Keduanya benar. Kedua elemen ini membawa arus yang sama dan oleh

    karenanya disebut berada dalam hubungan seri. Akan tetapi kedua elemen ini juga

    memiliki tagangan yang sama dan oleh karenanya berada dalam hubungan paralel.

    Gambar 2.19

    R1

    RA

    RB

    RE

    R4

    R3 R2

    RC

    R8

    vs R7

    R6

    R5 R

    vs

    vs RD

    iA

    + -

    + -

    is

    iB

    + -

    (a) (b)

    (c)

  • 58

    (a) Kedua elemen rangkaian berada dalam hubungan seri dan paralel.. (b) R2 dan R3 terhubung paralel sementara R1 dan R8 terhubung seri. (c) Tidak terdapat elemen rangkaian yang berada

    dalam hubungan seri ataupun paralel dengan elemen rangkaian yang lain.

    Komentar yang kedua adalah bahwa rangkaian listrik dapat digambar

    sedemikian hingga kombinasi seri atau paralel dari elemen-elemen pembentuknya

    sulit untuk ditentukan. Dalam Gambar 2.19b misalnya, satu-satunya hubungan

    resistor paralel adalah antara R2 dan R3, sementara satu-satunya hubungan resistor

    seri adalah antara R1 dan R8.

    Komentar yang terakhir, sebuah elemen rangkaian sederhana tidak selalu

    berada dalam hubungan seri atau paralel denga elemen-elemen sederhana lainnya

    di dalam rangkaian. Sebagai contoh, R4 dan R5 dalam Gambar 2.19b tidak

    terhubung secara seri ataupun paralel dengan elemen rangkaian ini dengan

    menggunakan teknik-teknik yang dibahas dalam bab ini.

    8 | Pembagian Tegangan dan Arus

    Dengan mengkombinasikan resistansi dan sumber, telah kita temukan

    metode yang dapat memangkas langkah-langkah yang harus diambil dalam

    menganalisis suatu rangkaian ialah metode yang dikenal sebagai pembagian

    tegangan dan arus. Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan tegangan

    pada satu dari beberapa resistor seri dalam bentuk tegangan kombinasinya.

    Gambar 2.20

    Ilustrasi dari prinsip pembagian tegangan

    Dalam Gambar 2.20, tegangan pada resistor R2 dapat diperoleh melalui

    KVL dan hukum Ohm berikut ini:

    )RR(iiRiRvvv 212121

    i R1

    R2

    + v1 - + v2 -

    v1

    +

    -

  • 59

    sehingga

    21 RRvi

    Jadi,

    221

    22 RRRviRv

    atau

    vRR

    Rv

    21

    22

    Dengan cara yang serupa dapat diperoleh bahwa tegangan pada resistor R1 adalah,

    vRR

    Rv

    21

    11

    Jika rangkaian pada Gambar 2.20 di atas digeneralisasi dengan menghilangkan R2

    dan menggantikannya dengan kombinasi seri R2, R3, ..., RN maka kita akan

    memperoleh bentuk umum prinsip pembagian tegangan dari rangkaian N buah

    resistor seri sebagai berikut:

    [9]

    yang memungkinkan kita menghitung tegangan vk yang muncul pada sembarang

    resistor Rk dari N buah resistor seri.

    Tentukan vx untuk rangkaian Gambar 2.21a berikut ini.

    CONTOH 2.12

    vRRR

    RvN21

    kk

  • 60

    Gambar 2.21

    (a) (b)

    Sebuah contoh numerik yang mengilustrasikan kombinasi resistansi dan pembagian tegangan.

    (a) Rangkaian awal. (b) Rangkaian yang telah disederhanakan.

    Langkah pertama yang kita lakukan adalah mengkombinasikan resistor 6

    dan resistor 3 , dan menggantinya dengan resistor (6)(3)/(6+3) = 2 .

    Oleh karena vx muncul pada kombinasi paralel maka penyederhanaan

    rangkaian yang kita lakukan tidak menghilangkan besaran ini. Namun

    penyederhanaan rangkaian lebih lanjut, di mana kita menggantikan kombinasi seri

    resistor 4 dengan resistor 2 yang diperoleh dari kombinasi paralel sebelumnya,

    akan menghilangkan besaran ini.

    Jadi, kita akan menjalankan proses analisisnya dengan mengaplikasikan

    prinsip pembagian tegangan terhadap rangkaian Gambar 2.21b:

    tsin424

    2)tsin12(vx volt

    Dual dari prinsip pembagian tegangan adalah prinsip pembagian arus. Perhatikan

    Gambar 2.22 di bawah. Pada gambar ini arus total yang dipasok untuk beberapa

    resistor yang terhubung secara paralel.

    Gambar 2.22

    12 sin t V 12 sin t V 6 3

    4

    2 + ~ -

    + vx -

    i3

    + ~ - + vx -

    R1 R2 v

    +

    -

    i2 i1

    i

    4

  • 61

    Ilustrasi dari prinsip pembagian arus.

    Arus yang mengalir melalui resistor R2 dirumuskan sebagai,

    21

    21

    22

    21

    22 RR

    RRRi

    R)R||R(i

    Rvi

    atau

    21

    12 RR

    Rii

    Dengan cara serupa diperoleh rumusan untuk arus yang mengalir melalui resistor

    R1 sebagai:

    21

    21 RR

    Rii

    Untuk kombinasi paralel N buah resistor, arus yang mengalir melalui resistor Rk adalah:

    N21

    kk

    R1

    R1

    R1

    R1

    ii

    [10]

    yang jika dituliskan dalam bentuk konduktansi akan menjadi

    N21

    kk GGG

    Gii

    yang sangat menyerupai bentuk persamaan untuk pembagian tegangan

    (persamaan [9]) sebelumnya.

    Tuliskanlah pernyatan untuk arus yang melalui resistor 3 pada rangkaian

    Gambar 2.23 berikut ini.

    Gambar 2.23

    CONTOH 2.13

  • 62

    Sebuah rangkaian yang digunkan sebagai contoh prinsip pembagian arus. Garis bergelombang

    pada sumber tegangan mengindikasikan sinyal yang berubah secara sinusoidal terhadap waktu.

    Arus total yang mengalir masuk ke kombinasi resistor 3 dan 6 adalah:

    tsin224

    tsin126||34tsin12)t(i

    A

    sehingga arus yang ditanyakan dapat diperoleh melalui prinsip pembagian arus

    sebagai berikut:

    tsin34

    366)tsin2()t(i3

    A

    Sangat disayangkan bahwa prinsip pembagian arus kerapkali diaplikasikan

    pada kasus-kasus di mana prinsip ini tidak dapat diaplikasikan. Sebagai satu

    contoh, marilah kita lihat kembali rangkaian Gambar 2.19c, suatu rangkaian yang

    berdasarkan kesepakatan kita sebelumnya tidak memiliki elemen rangkaian yang

    terhubung seri atau paralel. Tidak adanya resistor-resistor paralel berarti tidak

    adanya jalan untuk mengaplikasikan prinsip pembagian arus. Meskipun demikian

    banyak mahasiswa yang hanya secara sekilas melihat susunan resistor-resistor

    rangkaian RA dan RB lalu berusaha mengaplikasikan prinsip pembagian arus dan

    menuliskan persamaan yang salah yaitu:

    BA

    BSA RR

    Rii

    Perlu diingat, resistor-resistor paralel harus bercabang pada pasangan node yang

    sama.

    12 sin t V

    4

    vx

    i3

    6 3 + ~ -

    -

    +

  • 63

    2.3 Penutup

    SOAL SOAL LATIHAN

    1.Dalam rangkaian Gambar di bawah ini tentukan:

    (a) Berapakah banyaknya node?

    (b) Berapakah banyaknya cabang?

    (c) Jika kita bergerak dari A ke B ke E ke D ke C ke B, akankah kita membentuk

    sebuah lintasan? Ataukah juga membentuk sebuah loop?

    2. Carilah ix dan iy pada rangkaian di bawah ini:

    3. Dalam rangkaian di bawah ini tentukanlah arus i.

    4. Carilah Rekivalen rangkaian resistif berikut ini:

    A B C

    D E

    + -

    iy ix

    1

    1

    5 A

    1 A

    i

    -

    1 V + -

    3,5 V

    10

    10

    +

    - +

    2 V

  • 64

    30 20 8

    10 10 15 2

    40

    Rekivalen