-
27
BAB II. Hukum-hukum Tegangan Arus
2.1 Pendahuluan
Pada saat ini kita telah mengenal sumber-sumber tegangan dan
arus ideal
serta elemen rangkaian sederhana yang bernama resistor. Jadi
kita telah siap untuk
menyelidiki perilaku dari rangkaian-rangkaian listrik dasar. Dua
buah hukum
sederhana, yakni hukum arus Kirchhoff dan hukum Tegangan
Kirchhoff, menjadi
dasar prosedur-prosedur analisis rangkaian. Akan kita temukan
juga nantinya
bahwa suatu rangkaian dapat disederhanakan dengan jalan
mengkombinasikan
elemen-elemen yang terhubung seri atau paralel hal ini berlaku
untuk sumber
tegangan maupun arus, serta resistor dan konduktansi.
2.2 Penyajian
1 | Node, Lintasan, Loop, dan Cabang
Sekarang kita siap menentukan hubungan antara arus dan tegangan
di
dalam jaringan-jaringan sederhana dari dua atau lebih elemen
rangkaian. Elemen-
elemen ini akan dihubungkan dengan kawat yang diasumsikan
memiliki resistansi
sama dengan nol. Karena jaringan ini muncul sebagai sejumlah
elemen sederhana
serta sekumpulan kawat penghubung, maka jaringan ini disebut
sebagai jaringan
parameter terkumpul (lumped-parameter network). Permasalahan
analisis yang
lebih sulit akan muncul jika kita berhadapan dengan jaringan
parameter tersebar
(distributed parameter network), yang mengandung elemen-elemen
kecil yang
jumlahnya tak-terhingga. Di dalam bahan ajar ini kita akan
mengkonsentrasikan
bahasan kita pada jaringan-jaringan dengan parameter
terkumpul.
Sebuah titik di mana dua atau lebih elemen memiliki hubungan
bersama
disebut sebagai simpul atau node. Sebagai contoh, Gambar 2.1a
memperlihatkan
sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node. Kadangkala
suatu jaringan
digambarkan sedemikian rupa untuk menjebak para mahasiswa yang
tidak cermat
atau teliti agar meyakini terdapatnya lebih banyak lagi node di
dalam suatu
rangkaian dibandingkan dengan yang sesungguhnya ada. Hal seperti
ini sering
-
28
terjadi ketika sebuah node, misalnya node 1 pada Gambar 2.1a,
diperlihatkan
sebagai dua buah persimpangan terpisah yang dihubungkan oleh
sebuah
konduktor (dengan resistansi sama dengan nol), sebagaimana
tampak pada
Gambar 2.1b. Yang dilakukan disini sesungguhnya adalah
menyebarkan titik
bersama menjadi garis bersama yang resistansinya nol. Maka, kita
harus
menganggap semua kawat penghantar sempurna ini sebagai
kawat-kawat yang
menempel atau melekat pada sebuah node sebagai bagian dari node.
Perhatikan
juga bahwa setiap elemen memiliki sebuah node pada masing-masing
ujungnya.
Gambar 2.1
3
1
2
1
2
3
(a) (b)
(a) Sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node dan lima
buah cabang.
(b) Node 1 digambar ulang sehingga terlihat sebagai dua buah
node, meski sesungguhnya
tetap merupakan satu buah node
Anggaplah bahwa kita mulai dari satu node jaringan dan
kemudian
bergerak melalui sebuah elemen sederhana menuju node pada ujung
yang lain.
Berikutnya kita melanjutkan pergerakan kita dari node ini
melalui sebuah elemen
yang lain menuju node berikutnya, dan seterusnya melanjutkan
pergerakan ini
sampai melewati elemen sebanyak yang kita harapkan. Jika tidak
ada satupun
node yang dijumpai lebih dari satu kali, maka kumpulan node dan
elemen yang
kita lalui didefinisikan sebagai lintasan. Jika node dari mana
kta memulai
pergerakan kita sama dengan node di mana kita mengakhiri
pergerakan kita maka
per definisi lintasan ini disebut sebagai lintasan tertutup atau
loop.
-
29
Sebagai contoh, dalam Gambar 2.1a di atas, jika kita bergerak
dari node 2
melewati sumber arus menuju ke node 1, dan kemudian melalui
resistor atas
sebelah kanan menuju node 3, kita telah membentuk lintasan; dan
karena kita
tidak melanjutkannya hingga ke node 2 kembali maka kita tidak
membuat sebuah
loop. Jika kita bergerak dari node 2 ke node 1 dengan melalui
sumber arus,
kemudian turun menuju node 2 melalui elemen resistor sebelah
kiri dan bergerak
ke atas melalui resistor tengah kembali menuju node 1, kita
tidak membentuk
lintasan karena sebuah node (sebenarnya dua buah node) dijumpai
sebanyak lebih
dari satu kali. Kita juga tidak membentuk sebuah loop karena
sebuah loop
haruslah merupakan sebuah lintasan.
Istilah lain yang penggunaannya sangat sering kita jumpai adalah
cabang.
Kita mendefinisikan sebuah cabang sebagai sebuah lintasan
tunggal di dalam
sebuah jaringan yang terbentuk dari sebuah elemen sederhana dan
node pada
masing-masing ujung elemen tersebut. Jadi, sebuah lintasan
merupakan kumpulan
cabang. Rangkaian yang diperlihatkan pada Gambar 2.1a dan 2.1b
memiliki lima
buah cabang.
2 | Hukum Arus Kirchhoff
Berikutnya kita akan melihat hukum pertama dari dua buah
hukum
rangkaian yang namanya diambil dari seorang profesor di Jerman,
Gustav Robert
Kirchhoff, yang lahir pada waktu Ohm melakukan eksperimen
ilmiahnya. Hukum
aksiomatis ini disebut sebagai hukum arus Kirchhoff (disingkat
KCL yang
merupakan kependekan dari Kirchhoff Current Law atau dalam
bahasa
Indonesianya HAK) dan menyatakan bahwa :
Jumlah aljabar dari arus-arus yang memasuki setiap node
rangkaian adalah nol.
Hukum ini merepresentasikan pernyataan matematika dari fakta
bahwa
muatan tidak dapat terakumulasi pada sebuah node. Sebuah node
bukanlah
elemen rangkaian, dan sudah barang tentu node ini tidak dapat
menyimpan,
memusnahkan, ataupun membangkitkan muatan. Oleh karenanya,
penjumlahan
arus harus nol. Analogi hidrolik dapat digunakan untuk
memperjelas pernyataan
ini. Sebagai contoh, tinjaulah tiga buah pipa air yang
digabungkan sehingga
-
30
membentuk hubungan seperti huruf Y. Kita definisikan tiga buah
arus mengalir
masuk kedalam masing-masing pipa dari ketiga pipa ini. Jika kita
tetap bersikeras
bahwa airnya selalu mengalir, jelaslah bahwa kita tidak dapat
memiliki tiga buah
aliran positif, atau pipanya akan pecah. Oleh karena itu, nilai
dari satu atau dua
buah arus yang didefinisikan haruslah negatif.
Gambar 2.2
Sebuah contoh node untuk mengilustrasikan penerapan hukum arus
Kirchhoff
Perhatikanlah node pada Gambar 2.2. Jumlah aljabar dari empat
buah arus
yang memasuki node harus sama dengan nol. Jadi,
iA + iB + (-iC) + (-iD) = 0
Jelas terlihat bahwa hukum ini juga dapat diterapkan dengan sama
baiknya
terhadap jumlah aljabar arus yang meninggalkan node yaitu
(-iA) + (-iB) + iC + iD = 0
Kita juga dapat menyamakan penjumlahan arus-arus yang memiliki
tanda panah
referensi yang diarahkan masuk ke suatu node dengan penjumlahan
arus-arus
yang memiliki tanda panah referensi keluar dari node yang
bersangkutan:
iA + iB = iC + iD
yang menyatakan bahwa arus yang masuk harus sama dengan yang
keluar dari
suatu node. Bentuk kompak hukum arus Kirchhoff (HAK) adalah
sebagai berikut,
N
1nn 0i [1]
yang merupakan bentuk ringkas dari
0i...iii N321 [2]
iA iB
iC iD
-
31
Saat menggunakan persamaan [1] atau [2] harus dipahami bahwa N
tanda
panah arus semuanya diarahkan menuju ke suatu node atau semuanya
diarahkan
menjauhi node yang bersangkutan.
Untuk rangkaian Gambar 2.3a, hitunglah arus yang melewati
resistor R3 jika
diketahui bahwa sumber tegangan memasok arus sebesar 3 A.
Gambar 2.3
(a)
Rangkaian sederhana di mana arus yang melewati resistor R3 ingin
dicari besarnya.
(b)
Arus yang melewati resistor R1 diberi label sehingga persamaan
KCL dapat dituliskan.
10 V + -
iR1
R2 R3
2 A i
5 A
R1
CONTOH 2.1
10 V + -
R1
R2 R3
2 A i
5 A
-
32
(c)
Arus yang masuk pada node atas R3 digambar ulang untuk
memeprjelas permasalahan.
Identifikasikan maksud dan tujuan yang hendak dicapai dari
pernyataan
soal yang diberikan. Arus yang melewati resistor R3 telah diberi
label i
sebagaimana terlihat pada diagram rangkaian.
Kumpulkan seluruh informasi yang diketahui.
Arus ini mengalir dari node atas R3, yang dihubungkan pada tiga
buah
cabang rangkaian yang lain. Arus yang mengalir masuk ke dalam
node
dari masing-masing cabang akan ditambahkan untuk membentuk arus
i. Tentukan teknik mana yang merupakan teknik terbaik yang cocok
untuk
problem ini.
Kita mulai dengan melabeli arus yang mengalir melewati R1
(Gambar
2.3b) sehingga kita dapat menuliskan persamaan KCL pada node
atas
resistor R2 dan R3.
Bentuklah himpunan persamaan yang tepat.
Dengan menjumlahkan arus-arus yang mengalir masuk ke dalam
node
akan diperoleh persamaan:
iR1 2 i + 5 = 0
Arus yang mengalir masuk ke node ini diperlihatkan dengan lebih
jelas
pada Gambar 2.3c.
iR1
R2 R3
2 A i
5 A
R1
5 A (iR1 2 A )
-
33
Tentukan apakah diperlukan informasi tambahan.
Kita lihat bahwa kita memiliki sebuah persamaan dengan dua
buah
besaran yang tidak diketahui. Hal ini berarti bahwa kita perlu
memperoleh
satu buah persamaan lagi. Pada titik ini, terdapat fakta bahwa
sumber
tegangan 10 V memasok arus sebesar 3 A. KCL menunjukkan bahwa
arus
ini juga merupakan arus iR1.
Cobalah sebuah solusi.
Dengan substitusi akan kita temukan bahwa i = 3 2 + 5 = 6 A.
Pemeriksaan kebenaran solusi.
Sangat disarankan untuk selalu memeriksa ulang pekerjaan yang
telah kita
lakukan. Kita dapat mengevaluasi apakah paling tidak magnitudo
dari
solusi yang diperoleh sudah masuk akal. Dalam kasus ini, kita
mempunyai
dua buah sumber satu di antaranya memasok arus sebesar 5 A,
sedangkan sumber lainnya memasok arus sebesar arus sebesar 3 A.
Tidak
ada lagi sumber-sumber yang lain, baik sumber bebas maupun
tak-bebas.
Jadi kita menduga bahwa kita tidak akan memperoleh arus pada
rangkaian
melebihi 8 A.
3 | Hukum Tegangan Kirchhoff
Sekarang kita alihkan bahasan kita ke hukum tegangan
Kirchhoff
(disingkat KVL, Kirchhoff Voltage Law atau bahasa Indonesianya
HTK).
Hukum ini menyatakan bahwa
Penjumlahan aljabar dari tegangan disekeliling suatu lintasan
tertutup sama
dengan nol.
Arus berkaitan dengan muatan yang mengalir melalui sebuah
elemen
rangkaian, sedangkan tegangan merupakan ukuran dari selisih
energi potensial
pada terminal-terminal elemen. Dalam teori rangkaian, terdapat
sebuah nilai unik
tunggal untuk tegangan. Jadi, energi yang diperlukan untuk
memindahkan satu
muatan dari titik A ke titik B dalam sebuah rangkaian harus
memiliki sebuah nilai
-
34
yang bebas atau tidak bergantung pada lintasan yang diambil
untuk bergerak dari
titik A ke B.
Gambar 2.4
Beda potensial antara titik A dan B tidak bergantung pada
lintasan yang dipilih.
Dalam Gambar 2.4, jika kita membawa sebuah muatan 1 C dari A ke
B
melalui elemen 1, tanda-tanda polaritas referensi untuk v1
menunjukkan bahwa
kita melakukan kerja v1 joule. Sekarang jika kita justru memilih
untuk bergerak
dari A ke B melalui node C maka kita mengeluarkan v2 v3 joule
energi. Akan
tetapi kerja yang dilakukan tidak bergantung pada lintasan
rangkaian, dan nilai-
nilai ini haruslah sama. Setiap rute yang diambil harus
memungkinkan
diperolehnya nilai tegangan yang sama. Jadi,
321 vvv [3]
Selanjutnya, jika kita melakukan pelacakan pada sebuah lintasan
tertutup, jumlah
aljabar dari tegangan-tegangan pada masing-masing elemen
lintasan ini harus
sama dengan nol. Jadi kita dapat menuliskan,
0v...vvv N321
Atau dalam bentuk yang lebih kompak dituliskan sebagai,
N
1nn 0v [4]
Kita dapat menerapkan KVL pada sebuah rangkaian dengan berbagai
cara yang
berbeda. Salah satu metode yang dapat membimbing kita pada
penulisan
1
+ v1 -
2
3
+ v2 - - v3 +
C
B
A
-
35
persamaan rangkaian dengan kemungkinan kesalahan yang lebih
kecil
dibandingkan dengan metode-metode lainnya adalah dengan
bergerak
mengelilingi suatu lintasan tertutup dengan arah yang searah
dengan perputaran
jarum jam dan menuliskan tegangan dari setiap elemen yang
terminal (+)-nya
dijumpai lebih dahulu, serta menuliskan harga negatif dari
setiap tegangan yang
dijumpai pertama kali pada tanda (-)-nya. Dengan menerapkan
metode ini pada
loop tunggal di Gambar 2.4 akan diperoleh,
0vvv 321
yang sesuai dengan hasil sebelumnya, yaitu persamaan [3]
diatas.
Dalam rangkaian Gambar 2.5, carilah vx dan ix.
Gambar 2.5
Sebuah rangkaian sederhana dengan dua buah sumber tegangan dan
sebuah resistor.
Dari soal yang diberikan, telah diketahui nilai tegangan dari
dua diantara
tiga elemen yang terdapat dalam rangkaian. Jadi, KVL dapat
dengan segera
diterapkan untuk memperoleh vx.
Dimulai dengan node bawah dari sumber 5 V, kita terapkan KVL
searah
jarum jam mengelilingi loop untuk memperoleh :
-5 - 7 + vx = 0
Jadi, vx = 12 V.
KCL yang diaplikasikan pada rangkaian ini hanya akan
menunjukkan
kepada kita bahwa arus yang sama, (ix), akan mengalir melewati
ketiga elemen.
CONTOH 2.2
+ - 5 V 100
+ vx -
- +
7 V
ix
-
36
Dengan mengetahui besarnya tegangan pada resistor 100 dan
menggunakan
hukum Ohm, ix dapat dihitung sebagai,
120A100
12
100xv
xi mA
Dalam rangkaian Gambar 2.6 terdapat delapan buah elemen
rangkaian; tegangan-
tegangan berikut pasangan tanda plus-minus terminalnya
ditunjukkan untuk
masing-masing elemen rangkaian ini. Carilah vR2 (yaitu tegangan
pada resistor R2)
dan tegangan vx.
Gambar 2.6
Sebuah rangkaian dengan delapan elemen di mana kita ingin
mencari vR2 dan vx.
Titik-titik b dan c, sebagaimana halnya kawat-kawat penghubung
diantaranya, merupakan bagian
dari node yang sama.
Pendekatan terbaik untuk mencari vR2 dalam situasi ini adalah
dengan
melihat sebuah loop dimana kita dapat mengaplikasikan KVL.
Terdapat beberapa
pilihan untuk ini. Namun, setelah kita lihat kembali rangkaian
Gambar 2.6 diatas
secara lebih cermat dan teliti, terlihatlah bahwa loop yang
paling kiri memberikan
alternatif jalan langsung karena dua tegangan dalam loop ini
telah dispesifikasikan
dengan jelas. Jadi, kita dapat mencari vR2 dengan menuliskan
persamaan KVL
pada loop ini, dimulai dari titik c.
0v364 2R
yang menghasilkan vR2 = 32 V.
CONTOH 2.3
36 V
- +
vs1
a +
+ 12 V -
+ 14 V -
c
- v2 + - +
+ vR1 -
R1 -
+ vR2 -
R2 - 4V +
b
-
37
Untuk mencari vx, kita dapat memandang vx ini sebagai
penjumlahan
(aljabar) dari tegangan-tegangan pada tiga elemen disbelah kanan
rangkaian.
Akan tetapi karena kita tidak memiliki nilai-nilai dari ketiga
tegangan elemen ini,
cara atau pendekatan penyelesaian soal seperti ini tidak akan
dapat memperoleh
jawaban yang diharapkan. Sebaliknya kita dapat menerapkan KVL
yang dimulai
dari titik c untuk kemudian bergerak ke atas dan melewati titik
a, melintasi vx
untuk menuju b, dan akhirnya dengan melalui kawat penghantar
kembali ke titik
asal. Persamaan yang diperoleh adalah:
+ 4 6 + 12 + 14 + vx = 0
dan
vx = 6 V
Pendekatan pemecahan yang lain : dengan mengetahui vR2 maka kita
dapat
mengambil jalan singkat melalui elemen rangkaian R2 untuk
memperoleh
persamaan,
-32 + 12 + 14 + vx = 0
yang menghasilkan vx = 6 V; jawaban yang sama dengan yang
diperoleh
sebelumnya.
Tentukanlah vx dalam rangkaian Gambar 2.7a.
Gambar 2.7
(a) (b)
(a) Seuah rangkaian di mana nilai vx ingin dicari dengan
menggunakan KVL. (b) Rangkaian
dengan tegangan dan arus yang telah diberi label.
CONTOH 2.4
60 V 60 V
8
4
10 2 + vs -
ix + -
5 A 5 A 8
+ v8 -
4
10 2
i4
+ v4 -
+ v10 -
+ -
ix
+ vx -
i10 i2
-
38
Kita dapat memulai pemecahan problem ini dengan melabeli
tegangan dan
arus pada elemen-elemen rangkaian (Gambar 2.7b). Perhatikan
bahwa vx muncul
pada resistor 2 , dari hukum Ohm akan dapat diperoleh vx. Dengan
menuliskan
persamaan KCL yang tepat, terlihat bahwa
i2 = i4 + ix
Sayangnya kita tidak memiliki nilai dari setiap besaran-besaran
di atas sehingga
solusi yang kita kerjakan terhenti (untuk sementara).
Karena besarnya arus yang mengalir dari sumber 60 V telah
diberikan
(5 A) maka kita akan memulai upaya pemecahan problem dari sisi
rangkaian ini.
Kita bisa secara langsung memperoleh vx dari KVL, ketimbang
mencari atau
mengetahui i2 terlebih dahulu. Salah satu persamaan KVL yang
mungkin dibuat
adalah,
-60 + v8 +v10 = 0
Dengan menggunakan hukum Ohm serta fakta bahwa arus 5 A mengalir
melewati
resistor 8 akan kita peroleh v8 = 40 V dan v10 = 60 40 = 20 V.
Dengan hasil ini
kita dapat menentukan
A210
V20i10 .
Dengan mengaplikasikan KVL pada loop tengah,
-v10 + v4 + vx = 0 [5]
Berikutnya kita akan mengeliminasi v4 dengan menggunakan KCL dan
hukum
Ohm:
24vi
4vii5 410
4104
Jadi, v4 = 12 V. Dengan mensubstitusikan nilai ke dalam
persamaan [5] bersama-
sama dengan fakta bahwa v10 = 20 V, dapat diperoleh bahwa vx = 8
V.
Kunci untuk dapat menganalisis sebuah rangkaian dengan benar,
pertama-
tama adalah melabeli seluruh tegangan dan arus di dalam diagram.
Selanjutnya
tuliskanlah persamaan KCL dan KVL secara cermat untuk memperoleh
hubungan
-
39
arus dan tegangan yang benar. Hukum Ohm dapat diterapkan jika
terdapat lebih
banyak parameter yang tak diketahui dibandingkan dengan
persamaan yang ada.
4 | Rangkaian Loop Tunggal
Setelah mempelajari dan memahami hukum Ohm dan Kirchhoff,
kita
dapat mengaplikasikannya untuk menganalisis sebuah rangkaian
resistif
sederhana.
Gambar 2.8
(a) Sebuah rangkaian loop tunggal dengan empat buah elemen. (b)
Model rangkaian lengkap
dengan nilai tegangan sumber dan resistansinya. (c). Rangkaian
yang dilengkapi dengan
tanda-tanda referensi arus dan tegangan.
Gambar 2.8a menunjukkan sebuah rangkaian sederhana yang terdiri
dari
dua buah baterai dan dua buah resistor. Setiap terminal, kawat
penghubung, dan
solderan diasumsikan mempunyai resistansi nol. Dalam rangkaian
Gambar 2.8b,
kedua baterai dimodelkan sebagai sumber tegangan ideal; setiap
resistansi internal
yang mungkin dimiliki diasumsikan sangat kecil sehingga dapat
diabaikan.
Adapun kedua buah resistor diasumsikan dapat digantikan oleh
resisor ideal
(linear).
ABC
R1
R2 vs1 + -
+ -
vs2
vs1 vs2
+ - R1
R2 + vR2 -
+ vR1 -
+ -
i
i
i i
(a)
(a) (b)
-
40
Di sini kita ingin mencari arus yang melewati masing-masing
elemen,
tegangan pada setiap elemen, serta daya yang diserap oleh
masing-masing elemen
rangkaian. Langkah pertama dalam analisis kita adalah
mengasumsikan atau
menetapkan arah referensi dari arus-arus rangkaian yang tak
diketahui. Secara
sembarang, kita pilih arus i yang mengalir keluar dari terminal
atas sumber
tegangan sebelah kiri dan bergerak di dalam rangkaian dalam arah
yang searah
dengan perputaran jarum jam. Pilihan ini diindikasikan oleh
sebuah anak panah
berlabel i sebagaimana tampak dalam Gambar 2.8c. Aplikasi hukum
arus
Kirchhoff menjamin bahwa arus yang sama juga mengalir melewati
setiap elemen
rangkaian yang lain. Kita menekankan fakta ini dengan cara
menempatkan
beberapa simbol arus yang sama pada beberapa bagian rangkaian
yang lain.
Semua elemen di dalam sebuah rangkaian yang membawa arus yang
sama
dikatakan sebagai elemen-elemen yang terhubung seri. Perhatikan
bahwa elemen-
elemen juga dapat membawa arus yang sama besar tidak terhubung
seri. Sebagai
contoh, bola lampu 100 W di rumah tetangga kita menarik arus
yang sama
besarnya dengan bola lampu 100 W dirumah kita, tetapi kedua
lampu tersebut
bukan merupakan arus yang sama dan tidak berada dalam hubungan
seri.
Langkah kedua dalam analisis rangkaian kita adalah memilih
referensi
tegangan untuk setiap resistor dari kedua buah resistor
rangkaian. Konvensi tanda
pasif mensyaratkan bahwa variabel arus dan tegangan resistor
harus didefinisikan
sedemikian rupa sehingga arus memasuki terminal yang memiliki
referensi
tegangan positif. Karena kita telah memilih arah arus di dalam
rangkaian maka vR1
dan vR2 didefinisikan seperti dalam Gambar 2.8c diatas.
Langkah ketiganya adalah aplikasi hukum Tegangan Kirchhoff
pada
lintasan tertutup atau loop semata. Misalnya kita memutuskan
untuk bergerak di
dalam rangkaian dalam arah pergerakan yang searah dengan
perputaran jarum
jam, dimulai dari bagian pojok kiri bawah dan menuliskan secara
langsung setiap
tegangan yang dijumpai pertama pada referensi positifnya atau
menuliskan harga
negatif untuk setiap tegangan yang ditemui pertama pada terminal
negatifnya.
Kita akan memperoleh persamaan rangkaian sebagai berikut,
-vs1 + vR1 + vs2 + vR2 = 0 [6]
-
41
Kemudian kita aplikasikan hukum Ohm untuk elemen-elemen resistif
yaitu,
vR1 = R1i dan vR2 = R2i.
Dengan mensubtitusikan persamaan di atas ini kedalam persamaan
[6] akan
dihasilkan persamaan,
-vs1 +R1i + vs2 +R2i = 0
Karena i merupakan satu-satunya variabel yang tidak diketahui,
akan kita
temukan bahwa,
2R1R2sv1svi
Tegangan atau daya yang berasosiasi terhadap setiap elemen
rangkaian dengan
demikian dapat diperoleh dengan mengaplikasikan v = Ri, p=vi,
atau p=i 2R.
HItunglah daya yang diserap oleh masing-masing elemen pada
rangkaian yang
ditunjukkan oleh Gambar 2.9a.
Gambar 2.9
(a) Sebuah rangkaian loop tinggal yang mengandung sebuah sumber
tak-bebas. (b)
Rangkaian yang dilabeli dengan arus i dan tegangan v30.
Pertama-tama kita harus menetapkan arah referensi untuk arus i
dan
polaritas referensi untuk tegangan v30 seperti yang ditunjukkan
dalam Gambar
2.9b. Kita tidak perlu menentukan tegangan pada resistor 15
karena tegangan
pengendali vA untuk sumber tak-bebas sudah tersedia.
Rangkaian ini berisi sebuah sumber tegangan tak-bebas, yang
nilainya
tetap tak akan diketahui sampai nilai vA ditentukan. Namun
demikian, nilai
aljabarnya (2vA) dapat digunakan sebagaimana halnya jika nilai
numeriknya
CONTOH 2.5
120 V
30 + -
+ vA -
15
2 vA
120 V
30 + - 2 vA +
vA -
15
+ v30 - i
(a) (b)
-
42
tersedia. Jadi, dengan mengaplikasikan KVL pada loop rangkaian
akan diperoleh
persamaan:
- 120 +v30 +2vA vA = 0 [7]
Dengan menggunakan hukum Ohm terhadap resistor-resistor yang
nilainya
diketahui akan diperoleh:
v30 = 30 i dan vA = -15 i
Perhatikan bahwa tanda negatif digunakan karena i mengalir masuk
pada terminal
negatif vA. Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam
persamaan [7] dapat
kita peroleh:
-120 + 30 i 30 i + 15 i = 0
sehingga akan kita temukan bahwa
i = 8 A
Perhitungan daya yang diserap oleh masing-masing elemen adalah
:
p120V = (120)(-8) = - 960 W
p30 = (8)2(30) = 1920 W
pdep = (2vA)(8) = 2[(-15)(8)](8)
= - 1920 W
p15 = (8)2(15) = 960 W
Perhatikan bahwa jika kita menjumlahkan semua daya yang diserap
(dihitung
menggunakan kesepakatan tanda pasif), akan kita peroleh nilai
yang sama dengan
nol sebagaimana kita perkirakan berdasarkan prinsip konservasi
(kekekalan)
energi.
5 | Rangkaian Pasangan Node Tunggal
Pasangan dari rangkaian loop tunggal yang telah dibahas dalam
sub-bab
sebelumnya adalah rangkaian pasangan node tunggal, di mana
setiap elemen
rangkaian dihubungkan di antara pasangan node yang sama. Contoh
dari
rangkaian ini diperlihatkan pada Gambar 2.10a di bawah. Kedua
sumber arus
serta nilai resistansi dari resistor-resistor rangkaian
diketahui. Pertama-tama,
asumsikanlah suatu tegangan pada masing-masing elemen rangkaian
dengan
-
43
menetapkan polaritas referensinya secara sembarang. Dengan
menerapkan KVL
maka tegangan pada suatu cabang rangkaian sama dengan tegangan
pada cabang-
cabang yang lainnya. Elemen-elemen pada suatu rangkaian yang
memiliki
tegangan yang sama dikatakan sebagai elemen-elemen yang
terhubung paralel.
Carilah tegangan, arus, dan daya dari masing-masing elemen
rangkaian Gambar
2.10a.
Gambar 2.10
(a) (b)
(a) Rangkaian pasangan node tunggal (b) Rangkaian yang
dilengkapi dengan sebuah label
tegangan dan dua buah label arus.
Kita dapat mulai memecahkan masalah ini dengan pertama-tama
mendefinisikan tegangan v dan secara sembarang menentukan
polaritasnya
sebagaimana tampak dalam Gambar 2.10b. Dua buah arus yang
mengalir pada
komponen resistor, arahnya dipilih sedemikian hingga memenuhi
kesepakatan
tanda pasif. Arus-arus ini juga ditunjukkan dalam Gambar
2.10b.
Dengan menentukan i1 atau i2, kita dapat memperoleh nilai v.
Jadi, langkah
kita berikutnya adalah mengaplikasikan KCL pada salah satu dari
dua buah node
rangkaian. Bagaimanapun juga, biasanya akan lebih mudah dan
jelas jika kita
mengaplikasikan KCL ini pada node di mana terdapat referensi
tegangan positif.
Jadi, kita akan menyamakan jumlah aljabar dari arus-arus yang
meninggalkan
node bagian atas dengan nol sehingga diperoleh persamaan:
- 120 + i1 + 30 + i2 = 0
120 A 1/30
R1 1/15
R2
120 A 1/30
R1 R2 1/15
i1 i2
CONTOH 2.6
-
44
Dengan menuliskan kedua arus dalam bentuk tegangan v dengan
menggunakan
hukum Ohm, akan kita peroleh:
i1 = 30 v dan i2 = 15 v
Dengan mensubstitusikan kedua nilai di atas pada persamaan KCL
sebelumnya
akan dihasilkan:
-120 + 30 v + 30 + 15 v = 0
sehingga,
v = 2 V
Selanjutnya, dengan menggunakan kembali hukum Ohm akan kita
peroleh:
i1 = 60 A dan i2 = 30 A
Daya yang diserap oleh masing-masing elemen dengan demikian
dapat dihitung
sebagai berikut:
untuk kedua buah resistor,
pR1 = 30(2)2 = 120 W dan pR2 = 15(2)2 = 60 W
untuk kedua buah sumber
p120A = 120(-2) = - 240 W dan p30A = 30(2) = 60 W
Oleh karena sumber 120 A menyerap daya negatif sebesar 240 W,
sesungguhnya
elemen ini menyuplai atau memasok daya ke elemen lain dalam
rangkaian. Serupa
dengan ini, sumber 30 A sesungguhnya menyerap daya, dan bukan
menyuplai
daya.
Apakah hasil seperti ini telah diperkirakan sebelumnya? Tentu
saja hasil
ini tidak diperkirakan sebelumnya karena biasanya kita
menganggap sebuah
"sumber" sebagai sumber daya rangkaian yang menyuplai daya,
ketimbang
menyerap daya. Namun, seperti kita lihat dalam contoh ini,
kasusnya tidaklah
selalu seperti ini.
-
45
Tentukanlah nilai untuk v serta daya yang disuplai oleh sumber
arus bebas pada
Gambar 2.11 berikut ini.
Gambar 2.11
Tegangan v dan arus i6 pada sebuah rangkaian pasangan node
tunggal yang mengandung sebuah
sumber tak-bebas.
Dengan KCL, jumlah arus yang meninggalkan node bagian atas
rangkaian
harus sama dengan nol, sehingga persamaan yang akan diperoleh
adalah:
i6 2ix 0,0024 ix = 0
Perhatikan bahwa nilai sumber tak-bebas (2ix) diperlakukan sama
sebagaimana
halnya perlakuan terhadap arus yang lain, meskipun nilai
eksaknya tidak diketahui
sampai rangkaian tuntas dianalisis.
Selanjutnya, kita mengaplikasikan hukum Ohm untuk masing-masing
resistor
sehingga diperoleh
6000
v6i dan 2000
vix
Oleh karenanya,
02000
v024,02000
v26000
v
sehingga v = (600)(0,024) = 14,4 V.
Semua informasi rangkaian yang lain yang ingin kita cari,
sekarang
dengan mudah dapat diperoleh (biasanya cukup dalam satu langkah
saja). Sebagai
CONTOH 2.7
6 k 2 k 2ix 24 mA v
+
-
ix
i6
-
46
contoh, daya yang disuplai oleh sumber bebas adalah
p24=14,4(0,024) = 0,3456 W
(345,6 mW).
Untuk rangkaian Gambar 2.12a dibawah ini, carilah i1, i2, i3 dan
i4.
Gambar 2.12
(a)
(b)
25
i1 i2
i3 i4
10 10 25 A
0,2 v1
+ v1 - C
A B
D
CONTOH 2.8
25
i1 i2
i3 i4
10 10 25 A 0,2 v1
+ v1 -
-
47
(c)
(a) Rangkaian pasangan node tunggal. (b) Rangkian yang
dilengkapi dengan label-label titik
simpul untuk memudahkan proses penggambaran ulang. (c) Rangkain
yang digambar ulang.
Sebagaimana digambarkan, rangkaian sedikit lebih rumit untuk
dianalisis
sehingga kita putuskan untuk pertama-tama menggambar ulang
rangkaian ini
setelah sebelumnya dibubuhi label-label titik simpul A, B, C,
dan D sebagaimana
yang tampak dalam Gambar 3.12b dan akhirnya diperoleh Gambar
3.12c. Kita
juga mendefinisikan arus i10 yang mengalir melalui resistor 10
.
Tak satupun dari arus-arus rangkaian yang ditanyakan dapat
secara
langsung diperoleh dari diagram rangkaian yang sudah ada,
sehingga kita harus
mencarinya dengan mengaplikasikan hukum Ohm. Masing-masing
resistor dari
ketiga resistor yang ada dalam rangkaian memiliki tegangan yang
sama, (v1).
Penjumlahan arus yang mengalir masuk kedalam node rangkaian yang
paling
kanan adalah:
025vv2,0
10v5,2
100v 1
111
Persamaan di atas ini memiliki solusi berupa v1 = 250/5 =50
V
Dari bagian bawah diagram rangkaian, dapat kita lihat hubungan
arus dan
tegangan sebagai berikut:
A5,010050
100vi 14
+ v1 -
25 0,2 v1
i1 i2
i3
i4
2,5 A 10
i10 100
A B
C D
-
48
Dengan cara serupa dapat kita tentukan bahwa i1 = - 2 A. Dua
buah arus lain yang
tersisa, i2 dan i3, dapat dicari dengan menggunakan KCL untuk
menjumlahkan
arus-arus yang diketahui pada node-node sebelah kanan dan kiri.
Jadi,
A35102iv2,0ii 10112
dan
A85,05,25i5,2ii 4103
6 | Sumber-Sumber Bebas dalam Hubungan Seri dan Paralel
Berdasarkan pemaparan sejauh ini dapat kita lihat bahwa
penulisan
persamaan-persamaan dalam jumlah yang cukup banyak yang telah
kita lakukan
untuk rangkaian-rangkaian seri dan paralel dapat dihindari
dengan melakukan
kombinasi sumber. Akan tetapi perlu diperhatikan bahwa hubungan
untuk semua
arus, tegangan, dan daya pada sisa rangkaian tetap atau tidak
berubah.
Gambar 2.13
(a) (b) (a) Sumber sumber tegangan yang terhubung seri dapat
digantikan oleh sebuah sumber tegangan
ekivalen. (b) Sumber-sumber arus paralel dapat digantikan dengan
sebuah sumber arus ekivalen.
Sebagai contoh, beberapa sumber tegangan yang berada dalam
hubungan
seri dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan ekivalen yang
mempunyai
tegangan yang sama dengan jumlah aljabar dari masing-masing
sumber tegangan
(lihat Gambar 2.13a). Sumber arus paralel juga dapat digabungkan
menjadi
+ -
- +
+ -
+ -
v1 + v2 v3 Atau
v1
v2
v3
= i3 i2 i1 i1 i2 + i3
-
49
sebuah sumber arus ekivalen dengan jalan menjumlahkan secara
aljabar masing-
masingsumber arus (lihat Gambar 2.13b). Umumnya, upaya untuk
melibatkan
sumber tegangan atau arus tak-bebas dalam penggabungan sumber
tidak akan
memberikan manfaat atau keuntungan yang besar atau cukup
berarti.
Untuk mengakhiri bahasan tentang kombinasi sumber-sumber paralel
dan
seri, marilah kita tinjau kombinasi paralel dari dua buah sumber
tegangan serta
kombinasi seri dari dua buah sumber arus. Sebagai contoh,
berapakah nilai
ekivalen dari sumber 5 V yang terhubung paralel dengan sumber 10
V?
Berdasarkan definisi dari sebuah sumber tegangan, tegangan pada
terminal-
terminalnya tidak dapat berubah. Selanjutnya dari hukum tegangan
Kirchhoff, 5V
akan sama dengan 10 V, yang merupakan hal yang tidak mungkin.
Jadi, sumber-
sumber tegangan ideal yang terhubung paralel hanya diijinkan
jika masing-masing
sumber tegangan ini memiliki tegangan terminal yang sama setiap
saatnya. Dalam
cara yang serupa, dua buah sumber arus tidak dapat dihubungkan
secara seri
kecuali jika masing-masing sumber arus ini memiliki arus yang
sama, termasuk
tandanya, setiap saatnya.
Tentukanlah yang mana rangkaian yang valid dari
rangkaian-rangkaian dalam
Gambar 2.14 berikut ini.
Gambar 2.14
(a) (b) (c) (d)
(a) sampai dengan (d) Contoh-contoh rangkaian dengan sumber
lebih dari satu, beberapa
diantaranya melawan hukum Kirchhoff.
CONTOH 2.9
5 V
10 V 1 A
2 V 1 A
14 V
5 A 3 A R
R
R + -
+ -
+ -
+ -
-
50
Rangkaian Gambar 2.14a terdiri dari dua buah sumber tegangan
dalam
hubungan paralel. Nilai dari masing-masing sumber ini berbeda
sehingga
rangkaian ini melawan KVL. Sebagai contoh, jika sebuah resistor
ditempatkan
secara paralel dengan sumber 5 V, maka resistor ini juga
terhubung paralel
dengan sumber 10 V. Tegangan aktual pada terminal-terminalnya
dengan
demikian akan memiliki dua nilai yang berbeda, sehingga jelas
bahwa rangkaian
ini tidak dapat dibentuk sebagaimana yang ditunjukkan dalam
Gambar 2.14a.
Namun, dalam dunia yang riil semua sumber akan memiliki suatu
nilai resistansi
internal atau resistansi dalam tertentu. Keberadaan resistansi
ini memungkinkan
munculnya perbedaan tegangan di antara kedua sumber riil. Inilah
yang menjadi
dasar pemikiran untuk menyatakan bahwa rangkaian Gambar 2.14b
adalah
rangkaian yang valid (sahih).
Selanjutnya, rangkaian Gambar 2.14c menentang KCL. Dalam kasus
ini,
tidak jelas arus yang mana sesungguhnya mengalir melalui
resistor R.
Kebalikannya, rangkaian Gambar 2.14d tidak melawan KCL. Akan
tetapi jika
resistor R dihilangkan, kita akan memperoleh rangkaian yang
tidak dapat diterima
karena arus sebesar 5 A akan berada dalam hubungan seri dengan
arus -3 A.
Kondisi ini bertentangan dengan KCL.
7 | Resistor Hubungan Seri dan Paralel
Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi
resistor
yang relatif rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Langkah ini
berguna terutama
ketika kita tidak secara khusus tertarik terhadap nilai arus,
tegangan, maupun daya
dari masing-masing resistor dalam rangkaian. Semua hubungan
arus, tegangan,
dan daya dalam sisa rangkaian akan tetap (tidak berubah).
Tinjaulah kombinasi seri dari N buah resistor yang diperlihatkan
oleh
Gambar 2.15a. Kita ingin menyederhanakan rangkaian dengan
menggantikan N
buah resistor ini dengan sebuah resistor ekivalen, Rek,
sedemikian sehingga sisa
rangkaian, yang dalam kasus ini hanya sumber tegangan, tidak
menyadari telah
-
51
dilakukannya suatu perubahan. Arus, tegangan, dan daya sumber
harus sama
untuk kondisi sebelum dan sesudah pergantian.
Gambar 2.15
(a) (b)
(a) Kombinasi seri N buah resistor. (b) Rangkaian
ekivalennya.
Pertama-tama, aplikasikanlah KVL untuk memperoleh persamaan:
N21s vvvv
dan kemudian dengan hukum Ohm diperoleh:
i)RRR(iRiRiRv N21N21s
Sekarang bandingkanlah hasil yang diperoleh ini dengan persamaan
sederhana
yang diperoleh dengan mengaplikasikan rangkaian ekivalen Gambar
2.15b yang
memiliki persamaan rangkaian:
iRv eks
Dari perbandingan di atas akan diperoleh bahwa resistansi
ekivalen untuk N buah
resistor yang terhubung seri adalah,
N21ek RRRR
Dengan demikian kita dapat mengganti suatu jaringan dua-terminal
yang terdiri
atas N buah resistor yang terhubung seri dengan sebuah elemen
dua-terminal
tunggal Rek yang mempunyai hubungan v-i yang sama.
Perlu ditekankan kembali di sini bahwa kita mungkin saja
memiliki
ketertarikan untuk mengetahui arus, tegangan, ataupun daya dari
elemen-elemen
pada rangkaian semula. Sebagai contoh, tegangan dari sumber
tegangan tak-bebas
mungkin saja bergantung pada tegangan dari komponen R3. Jika R3
telah
R1 RN R2
+ v1 -
Rek
+ v2 - + vN -
vs vs
i
+ -
+ -
i
-
52
digabungkan dengan beberapa resistor seri yang lain untuk
membentuk sebuah
resistansi ekivalen maka resistor R3 ini akan hilang sehingga
tegangan pada
terminal-terminalnya tidak dapat ditentukan. Dalam kasus seperti
ini, langkah
yang lebih baik untuk dilakukan ialah tidak melibatkan R3 sejak
awal sebagai
bagian dari kombinasi.
Gunakanlah kombinasi resistansi dan sumber untuk menentukan arus
i pada
rangkaian Gambar 2.16a dan daya yang di suplai oleh sumber 80
V.
Gambar 2.16
(a) Rangkaian seri dengan beberapa buah sumber dan resistor. (b)
Elemen-elemen rangkaian
disusun ulang untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas. (c)
Rangkaian ekivalen yang lebih
sederhana.
Langkah yang pertama-tama kita lakukan ialah saling menukarkan
posisi
elemen-elemen dalam Gambar 2.16b (lakukan langkah ini secara
hati-hati dengan
memperhatikan tanda terminal sumber). Langkah selanjutnya
ialah
mengkombinasikan ketiga buah sumber menjadi sebuah sumber
ekivalen 90 V,
serta keempat buah resistor menjadi sebuah resistor ekivalen 30
sebagaimana
yang tampak pada Gambar 2.16c. Jadi kita akan memperoleh
persamaan
0i820i5i730i1080
CONTOH 2.10
30 V 30 V
i 10 7 5
80 V + - + -
8
(a)
+ -
20 V
i
10 7
5 20 V
+ -
80 V
8
90 V + - 30
(b)
(c)
-
53
yang dapat disederhanakan menjadi:
0i3090
Solusi yang diperoleh adalah
A3i
Untuk menghitung daya yang dipasok oleh sumber 80 V ke
rangkaian, kita perlu
kembali lagi ke Gambar 2.16a dengan bekal solusi bahwa arus yang
mengalir
adalah sebesar 3 A. Jadi daya yang ditanyakan adalah 80 V x 3 A
= 240 W.
Menarik untuk dicatat bahwa tidak ada satupun elemen rangkaian
semula
yang tersisa pada rangkaian ekivalennya.
Gambar 2.17
(a) (b)
(a) Rangkaian dengan N buah resistor paralel. (b) Rangkaian
Ekivalenya.
Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan
untuk
rangkaian-rangkaian paralel. Sebuah rangkaian yang mengandung N
buah resistor
dalam hubungan paralel, seperti yang tampak dalam Gambar 2.17a,
akan
menghasilkan persamaan KCL sebagai berikut:
N21s iiii
atau,
ekN21s R
vRv
Rv
Rvi
Jadi,
N21ek R1
R1
R1
R1
Req RN R2
iN i2 i1
-
+
v is R1
v
-
+
-
54
yang dapat ditulis sebagai: 1
N1
21
11
ek RRRR
atau dalam bentuk konduktansi,
N21ek GGGG
Rangkaian yang disederhanakan (ekivalen) ditunjukkan oleh Gambar
2.17b.
Kombinasi paralel biasa diindikasikan dengan notasi pendek
berikut ini:
321ek R||R||RR
Situasi khusus di mana hanya terdapat dua buah resistor yang
terubung paralel
akan kerapkali kita temui. Untuk kasus ini, persamaan untuk
resistansi
ekivalennya dirumuskan sebagai:
21
21ek
R1
R1
1R||RR
atau dalam bentuk yang lebih sederhana lagi,
[8]
Bentuk persamaan yang terakhir ini penting dan berguna untuk
selalu diingat,
meskipun kerap terjadi kesalahan di mana persamaan [8] ini
digeneralisasi untuk
lebih dari dua buah resistor, contohnya:
321
321ek RRR
RRRR
Dengan melihat satuan dari persamaan ini, dengan cepat dapat
kita pastikan
bahwa persamaan di atas tidak mungkin benar.
21
21ek RR
RRR
-
55
Hitunglah daya dan tegangan dari sumber tak-bebas yang terdapat
pada rangkaian
Gambar 2.18a berikut ini.
Gambar 2.18
(a) Rangkaian dengan banyak node. (b) Dua buah sumber bebas
digabungkan menjadi sebuah
sumber 2 A yang ekivalen, dan resistor 15 yang terhubung seri
dengan dua buah resistor 6
paralel digantikan oleh sebuah resistor 18 (c) Rangkaian
ekivalen yang lebih sederhana.
Kita membiarkan sumber tak-bebas seperti rangkaian semula
dan
mengkombinasikan kedua buah sumber arus yang tersisa menjadi
sebuah sumber
CONTOH 2.11
6 A
15
3
(b)
0,9 i3 3
3 18
(c)
9 6 6
2 A
2 A 9
6
4 A vs
+
-
i3
(a)
i3
0,9 i3
+
vs
-
0,9 i3
+
vs
-
i3
-
56
arus ekivalen 2 A. Kita lihat bahwa kedua buah resistor 6 berada
dalam
hubungan paralel, yang dapat direduksi menjadi sebuah resistor
dengan resistansi
3 . Oleh karena kedua resistor paralel 6 terhubung seri dengan
resistor 15
maka resistor penggantinya (3 ) juga akan terhubung secara seri
dengan resistor
15 dimaksud. Jadi, kita dapat mengganti resistor 15 serta kedua
resistor paralel
6 dengan sebuah resistor 18 untuk menghasilkan rangkaian Gambar
2.18b di
atas.
Sampai di sini, kita mungkin akan tergoda untuk menggabungkan
resistor-
resistor 3,9, dan 18 menjadi resistor ekivalennya. Akan tetapi
langkah ini akan
berakibat hilangnya i3, yang merupakan arus pengendali untuk
sumber tak-bebas.
Jadi, kita memilih untuk menyederhanakan rangkaian lebih lanjut
dengan hanya
mengkombinasikan resistor 9 dan 18 , sebagaimana dapat dilihat
pada Gambar
2.18c.
Dengan mengaplikasikan ini pada node bagian atas dari rangkaian
Gambar
2.18c, dapat kita peroleh persamaan:
06vi2i9,0 33
Untuk menentukan tegangan, v, pada sumber tak-bebas rangkaian,
pertama-tama
kita harus mencari nilai dari arus pengendali, i3. Dengan
mengaplikasikan hukum
Ohm dapat kita peroleh:
3i3v
dari mana dapat kita hitung nilai i3 sebagai:
A3
10i3
Jadi, tegangan, v, pada sumber tak-bebas (yang sama dengan
tegangan pada
resistor 3 ) adalah:
V10i3v 3
Sumber tak-bebas ini dengan demikian akan menyuplai daya sebesar
v x 0,9i3 =
10(0,9)(10/3) = 30 W ke rangkaian.
-
57
Sekarang, jika kita ditanya tentang besarnya daya yang
disipasikan oleh
resistor 15 , kita harus kembali ke rangkaian semula. Resistor
ini terhubung seri
dengan resistor ekivalen 3 dan tegangan sebesar 10 V muncul di
antara nilai
resistansi totalnya yaitu 18 . Oleh karena itu, arus sebesar 5/9
A akan mengalir
melalui resistor 15 dan daya yang diserap oleh elemen ini adalah
(5/9)2(15) =
4,63 W.
Tiga buah komentar terakhir tentang kombinasi seri dan paralel
berikut ini
kiranya dapat membantu kita dalam menganalisis rangkaian listrik
ini. Komentar
yang pertama diilustrasikan dengan mengacu pada Gambar 2.19a dan
mengajukan
pertanyaan Apakah vs dan R terhubung seri ataukah paralel?
Jawabannya
adalah Keduanya benar. Kedua elemen ini membawa arus yang sama
dan oleh
karenanya disebut berada dalam hubungan seri. Akan tetapi kedua
elemen ini juga
memiliki tagangan yang sama dan oleh karenanya berada dalam
hubungan paralel.
Gambar 2.19
R1
RA
RB
RE
R4
R3 R2
RC
R8
vs R7
R6
R5 R
vs
vs RD
iA
+ -
+ -
is
iB
+ -
(a) (b)
(c)
-
58
(a) Kedua elemen rangkaian berada dalam hubungan seri dan
paralel.. (b) R2 dan R3 terhubung paralel sementara R1 dan R8
terhubung seri. (c) Tidak terdapat elemen rangkaian yang berada
dalam hubungan seri ataupun paralel dengan elemen rangkaian yang
lain.
Komentar yang kedua adalah bahwa rangkaian listrik dapat
digambar
sedemikian hingga kombinasi seri atau paralel dari elemen-elemen
pembentuknya
sulit untuk ditentukan. Dalam Gambar 2.19b misalnya,
satu-satunya hubungan
resistor paralel adalah antara R2 dan R3, sementara satu-satunya
hubungan resistor
seri adalah antara R1 dan R8.
Komentar yang terakhir, sebuah elemen rangkaian sederhana tidak
selalu
berada dalam hubungan seri atau paralel denga elemen-elemen
sederhana lainnya
di dalam rangkaian. Sebagai contoh, R4 dan R5 dalam Gambar 2.19b
tidak
terhubung secara seri ataupun paralel dengan elemen rangkaian
ini dengan
menggunakan teknik-teknik yang dibahas dalam bab ini.
8 | Pembagian Tegangan dan Arus
Dengan mengkombinasikan resistansi dan sumber, telah kita
temukan
metode yang dapat memangkas langkah-langkah yang harus diambil
dalam
menganalisis suatu rangkaian ialah metode yang dikenal sebagai
pembagian
tegangan dan arus. Pembagian tegangan digunakan untuk menyatakan
tegangan
pada satu dari beberapa resistor seri dalam bentuk tegangan
kombinasinya.
Gambar 2.20
Ilustrasi dari prinsip pembagian tegangan
Dalam Gambar 2.20, tegangan pada resistor R2 dapat diperoleh
melalui
KVL dan hukum Ohm berikut ini:
)RR(iiRiRvvv 212121
i R1
R2
+ v1 - + v2 -
v1
+
-
-
59
sehingga
21 RRvi
Jadi,
221
22 RRRviRv
atau
vRR
Rv
21
22
Dengan cara yang serupa dapat diperoleh bahwa tegangan pada
resistor R1 adalah,
vRR
Rv
21
11
Jika rangkaian pada Gambar 2.20 di atas digeneralisasi dengan
menghilangkan R2
dan menggantikannya dengan kombinasi seri R2, R3, ..., RN maka
kita akan
memperoleh bentuk umum prinsip pembagian tegangan dari rangkaian
N buah
resistor seri sebagai berikut:
[9]
yang memungkinkan kita menghitung tegangan vk yang muncul pada
sembarang
resistor Rk dari N buah resistor seri.
Tentukan vx untuk rangkaian Gambar 2.21a berikut ini.
CONTOH 2.12
vRRR
RvN21
kk
-
60
Gambar 2.21
(a) (b)
Sebuah contoh numerik yang mengilustrasikan kombinasi resistansi
dan pembagian tegangan.
(a) Rangkaian awal. (b) Rangkaian yang telah disederhanakan.
Langkah pertama yang kita lakukan adalah mengkombinasikan
resistor 6
dan resistor 3 , dan menggantinya dengan resistor (6)(3)/(6+3) =
2 .
Oleh karena vx muncul pada kombinasi paralel maka
penyederhanaan
rangkaian yang kita lakukan tidak menghilangkan besaran ini.
Namun
penyederhanaan rangkaian lebih lanjut, di mana kita menggantikan
kombinasi seri
resistor 4 dengan resistor 2 yang diperoleh dari kombinasi
paralel sebelumnya,
akan menghilangkan besaran ini.
Jadi, kita akan menjalankan proses analisisnya dengan
mengaplikasikan
prinsip pembagian tegangan terhadap rangkaian Gambar 2.21b:
tsin424
2)tsin12(vx volt
Dual dari prinsip pembagian tegangan adalah prinsip pembagian
arus. Perhatikan
Gambar 2.22 di bawah. Pada gambar ini arus total yang dipasok
untuk beberapa
resistor yang terhubung secara paralel.
Gambar 2.22
12 sin t V 12 sin t V 6 3
4
2 + ~ -
+ vx -
i3
+ ~ - + vx -
R1 R2 v
+
-
i2 i1
i
4
-
61
Ilustrasi dari prinsip pembagian arus.
Arus yang mengalir melalui resistor R2 dirumuskan sebagai,
21
21
22
21
22 RR
RRRi
R)R||R(i
Rvi
atau
21
12 RR
Rii
Dengan cara serupa diperoleh rumusan untuk arus yang mengalir
melalui resistor
R1 sebagai:
21
21 RR
Rii
Untuk kombinasi paralel N buah resistor, arus yang mengalir
melalui resistor Rk adalah:
N21
kk
R1
R1
R1
R1
ii
[10]
yang jika dituliskan dalam bentuk konduktansi akan menjadi
N21
kk GGG
Gii
yang sangat menyerupai bentuk persamaan untuk pembagian
tegangan
(persamaan [9]) sebelumnya.
Tuliskanlah pernyatan untuk arus yang melalui resistor 3 pada
rangkaian
Gambar 2.23 berikut ini.
Gambar 2.23
CONTOH 2.13
-
62
Sebuah rangkaian yang digunkan sebagai contoh prinsip pembagian
arus. Garis bergelombang
pada sumber tegangan mengindikasikan sinyal yang berubah secara
sinusoidal terhadap waktu.
Arus total yang mengalir masuk ke kombinasi resistor 3 dan 6
adalah:
tsin224
tsin126||34tsin12)t(i
A
sehingga arus yang ditanyakan dapat diperoleh melalui prinsip
pembagian arus
sebagai berikut:
tsin34
366)tsin2()t(i3
A
Sangat disayangkan bahwa prinsip pembagian arus kerapkali
diaplikasikan
pada kasus-kasus di mana prinsip ini tidak dapat diaplikasikan.
Sebagai satu
contoh, marilah kita lihat kembali rangkaian Gambar 2.19c, suatu
rangkaian yang
berdasarkan kesepakatan kita sebelumnya tidak memiliki elemen
rangkaian yang
terhubung seri atau paralel. Tidak adanya resistor-resistor
paralel berarti tidak
adanya jalan untuk mengaplikasikan prinsip pembagian arus.
Meskipun demikian
banyak mahasiswa yang hanya secara sekilas melihat susunan
resistor-resistor
rangkaian RA dan RB lalu berusaha mengaplikasikan prinsip
pembagian arus dan
menuliskan persamaan yang salah yaitu:
BA
BSA RR
Rii
Perlu diingat, resistor-resistor paralel harus bercabang pada
pasangan node yang
sama.
12 sin t V
4
vx
i3
6 3 + ~ -
-
+
-
63
2.3 Penutup
SOAL SOAL LATIHAN
1.Dalam rangkaian Gambar di bawah ini tentukan:
(a) Berapakah banyaknya node?
(b) Berapakah banyaknya cabang?
(c) Jika kita bergerak dari A ke B ke E ke D ke C ke B, akankah
kita membentuk
sebuah lintasan? Ataukah juga membentuk sebuah loop?
2. Carilah ix dan iy pada rangkaian di bawah ini:
3. Dalam rangkaian di bawah ini tentukanlah arus i.
4. Carilah Rekivalen rangkaian resistif berikut ini:
A B C
D E
+ -
iy ix
1
1
5 A
1 A
i
-
1 V + -
3,5 V
10
10
+
- +
2 V
-
64
30 20 8
10 10 15 2
40
Rekivalen