Top Banner
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton
80

BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Aug 31, 2014

Download

Documents

Irfan Islamy
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1

Barisan

Barisan Tak HinggaKekonvergenan barisan tak hingga

Sifat – sifat barisanBarisan Monoton

Page 2: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 2

Barisan Tak Hingga

Barisan dg n suku, dinyatakan dalam bentuk : a1,a2,…,an.

a1 : suku ke–1,

a2 : suku ke–2

an : suku ke–n.

DefinisiSecara sederhana, barisan merupakan susunan daribilangan−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.

Page 3: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 3

Barisan Tak Hingga

{ }∞=1nna

Definisi

Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah

Page 4: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 4

Barisan Tak Hingga

ContohBarisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Barisan

Bisa dituliskan dengan rumus

Penentuan an hanya bersifat coba –coba.

K,8,6,4,2{ }∞=1nn2

K,64,

53,

42,

31

=

+ 1nn2n

Page 5: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 5

Kekonvergenan barisan tak hingga

DefinisiSuatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila

atau

Lalim nn=

∞→

εε <−≥∋>∃>∀ La,Nn0N0 n

Page 6: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 6

Kekonvergenan barisan tak hingga

Contoh 1Periksa kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena

maka divergen

=

+ 1n

2

1nn

∞=+∞→ 1nnlim2

n

=

+ 1n

2

1nn

Page 7: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 7

Kekonvergenan barisan tak hingga

Contoh 2Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut :

Misal ,bila maka

untuk x ∈ R.

=

1nn

2

en

∞∞

→∞→ n

2

n enlim

( )nfan = ( ) Lxflimx

=∞→

( ) Lnflimn

=∞→

Page 8: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 8

Kekonvergenan barisan tak hingga

Jawaban (lanjutan)

Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka

Berdasarkan teorema maka .

Karena nilai limitnya menuju 0, maka

Konvergen menuju 0.

xx ex2lim

∞→=

( )x

2

exxf =

x

2

x exlim

∞→

0enlimn

2

n=

∞→

=

1nn

2

en

0e2lim xx==

∞→

Page 9: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 9

Kekonvergenan barisan tak hingga

Contoh 3Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

Jawaban

Dg menggunakan prinsip apit

Sehingga

Jadi barisan diatas konvergen ke 0

=

1n

ncosn1 π

0coslim =∞→ x

xx

π

0coslim =∞→ n

nn

π

Page 10: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 10

Sifat – sifat barisan

Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka

1.

2.

3.

4.

5.

kklimn

=∞→

nnnnalimkaklim

∞→∞→=

( ) nnnnnnnblimalimbalim

∞→∞→∞→±=±

( ) nnnnnnnblimalimbalim

∞→∞→∞→=

0blim,blimalim

balim nn

nn

nn

n

n

n≠=

∞→

∞→

∞→

∞→

Page 11: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 11

Barisan Monoton

Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam :

1. Monoton naik bila

2. Monoton turun bila

3. Monoton tidak turun bila

4. Monoton tidak naik bila

1nn aa +<

1nn aa +>

1nn aa +≤

1nn aa +≥

Page 12: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 12

Deret Tak Hingga

Definisi

Deret tak hingga merupakan jumlahan dari : a1+a2+…+an . Notasi deret tak hingga : .

Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :

Dan

{ }∞=1nna

∑∞

=1n na

nn

Slim∞→

11 aS =

3213 aaaS ++=M

n321n a...aaaS ++++=

212 aaS +=

{ } ....,S...,,S,SS k211nn =∞=

Page 13: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 13

Deret Tak Hingga

Contoh Selidiki apakah deret konvergen ?

Jawaban

Karena , maka konvergen menuju

1.

Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus

dan bersifat coba – coba.

+−∑

=1k1

k1

1k

1nn

1n11Sn +

=+

−=

11nnlimSlim

nnn=

+=

∞→∞→ 1k1

k1

1k +−∑

=

Page 14: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 14

Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :

1. Deret geometri

2. Deret harmonis

3. Deret-p

Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral

∑∞

=1nna

Page 15: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 15

Deret Suku PositifDeret geometriBentuk umum :

Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r ≠ 1.

Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.

1n321kn

1kra...rararaara −−

=+++++=∑

1n32n ra...rararaaS −+++++=

n1n32n rara...rararaSr +++++= −

nnn raaSrS −=−

( )r1r1aSn

n −−

=

Page 16: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 16

Deret Suku Positif

Deret geometri (lanjutan)

Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret

geometri :

1.Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , deret divergen

2.Bila | r |<1, maka , deret konvergen ke

3.Bila | r | >1, maka , deret divergen

∞=∞→nalim

n0rlim n

n=

∞→ r1a−

∞=∞→

nn

rlim

Page 17: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 17

Deret Suku Positif

Deret harmonisBentuk umum :

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu

∑∞

=1n n1

n1....

81

71

61

51

41

31

211Sn +++++++++=

.....161....

91

81

71

61

51

41

31

211 +

+++

++++

+++=

Page 18: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 18

Deret Suku PositifDeret harmonis (lanjutan)

Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.

21....

21

21

21

21

21

21

211 +++++++++=

....161....

161

81

81

81

81

41

41

211S n2 +

+++

++++

+++>

∞=+∞→ 2

n1limn

2n1+=

Page 19: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 19

Kedivergenan Deret Tak Hingga

Bila deret konvergen, maka .

kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah

Bila ,maka deret akan divergen.

Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,

maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu

dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.

∑∞

=1nna 0alim nn

=∞→

0alim nn≠

∞→∑∞

=1nna

Page 20: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 20

Kedivergenan Deret Tak Hingga

ContohPeriksa apakah konvergen ?

Jawaban

Jadi divergen n121lim

n +=

∞→

∑∞

= +1 12n nn

1n2nlimalim

nn

n +=

∞→∞→

∑+

=1n 1n2n

021≠=

Page 21: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 21

Uji Deret Positif

1. Uji integral

2. Uji Banding

3. Uji Banding limit

4. Uji Rasio

5. Uji Akar

Page 22: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 22

Uji Deret Positif

Uji integralMisal merupakan deret suku positif dan monoton turun, ,

maka integral tak wajar dari f(x) adalah:

Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak

ada, maka deret divergen.

Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret

konvergen.

∑∞

=1nna

( ) ( ) dxxflimdxxfb

1b1∫∫

∞→

∞=

Page 23: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 23

Uji Deret Positif

Contoh 1: Uji Integral Deret–pBentuk umum :

Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau

divergen, digunakan integral tak wajar yaitu

Misal maka .

Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1

sampai ∞.

∑∞

=1npn1

( ) pn n1nfa == ( ) px

1xf =

Page 24: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 24

Uji Deret Positif

Deret–p (lanjutan)Integral tak wajar dari f(x) adalah

Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.

dxx1lim

b

1pb

∫∞→

=dxx1

1p∫

∞ b

1

p1

b p1xlim

−=

∞→ p11

p1blim

p1

b −−

−=

∞→

Page 25: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 25

Uji Deret Positif

Deret–p (lanjutan)Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :

1. Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen

2. Bila 0≤ p<1, maka ,sehingga deret divergen

3. Bila p>1, maka ,

sehingga deret konvergen.( ) 1pb b1p

11p1lim −∞→ −

−−

=

∞=−

−−

∞→ p11

p1blim

p1

b

p11

p1blim

p1

b −−

∞→ 1p1−

=

Page 26: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 26

Uji Deret Positif

Contoh 2Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :

Misal , maka

Perhitungan integral tak wajar :

dxxlnx

1limb

2b ∫∞→

=

∑∞

=2n nlnn1

( )nlnn1nfan ==

xlnx1)x(f =

dxxlnx

1

2∫∞

( )] ∞==∞→

b2b

xlnlnlim

Page 27: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 27

Uji Deret Positif

Contoh 2 (lanjutan)

Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen.

∑∞

=2n nlnn1

Page 28: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 28

Uji Deret Positif

Uji BandingBila untuk ∀n ≥ N, berlaku bn ≥ an maka

a. Bila konvergen, maka juga konvergen

b. Bila divergen, maka juga divergen

.

∑∞

=1nnb ∑

=1nna

∑∞

=1nna ∑

=1nnb

Page 29: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 29

Uji Deret Positif

Contoh 1Uji kekonvergenan

Jawaban

Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih

yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

Dapat dipilh sebagai deret pembanding.

Karena dan merupakan deret

p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen

∑∞

= +1n 2n1

∑∞

=1n n31

∑∞

=1n n31

n31

2n1

≥+

Page 30: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 30

Uji Deret Positif

Contoh 2Uji kekonvergenan

Jawaban

Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,

dimana . Karena merupakan deret

konvergen, maka juga konvergen.

∑∞

= +1n2 5n3

∑∞

=1n2n3

22 n3

5n3

≤+

∑∞

=1n2n3

∑∞

= +1n2 5n3

Page 31: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 31

Uji Deret Positif

Contoh 3

Uji kekonvergenan

Jawaban

Karena untuk , maka deret pembanding yang

digunakan adalah .Karena dan

merupakan deret konvergen, maka juga konvergen

∑∞

=

1n2

1

nntan

2ntan,n 1 π<∞→ −

∑∞

=1n22

n

π

22

2

1

nnntan π≤

∑∞

=1n22

n

π

∑∞

=

1n2

1

nntan

Page 32: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 32

Uji Deret Positif

Uji Banding LimitMisal dan , merupakan deret suku positif dan

, berlaku

1.Bila 0<L < ∞ , maka kedua deret bersama-sama konv/divergen

2.Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .

juga konvergen

3.Bila L = ∞ dan adalah deret divergen maka .

juga divergen

∑∞

=1nna ∑

=1nnb

n

nn b

alimL∞→

=

∑∞

=1nnb ∑

=1nna

∑∞

=1nnb ∑

=1nna

Page 33: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 33

Uji Deret Positif

Contoh 1Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui

sebagai deret divergen ( sebagai ).

Karena . dan deret pembandingnya

divergen, maka . juga divergen.

∑∞

= ++1n23

2

3nn5n

∑∞

=1

1n n

∑∞

=1nnb

51

35lim 23

3

=++

=∞→ nn

nLn

∑∞

= ++1n23

2

3nn5n

Page 34: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 34

Uji Deret Positif

Contoh 2Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah dan

diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).

Karena . dan deret

pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama

divergen .

∑∞

= +1i 2 5n1

∑∑∞

=

==

1n1n 2 n1

n1

1/111lim

1lim

5lim 22

2

2

2

=+

=+

=+

=∞→∞→∞→ nn

nn

nL

nnn

Page 35: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 35

Uji Deret Positif

Uji Rasio

Misal merupakan deret suku positif dan

maka berlaku

1. Bila ρ<1, maka deret konvergen

2. Bila ρ>1, maka deret divergen

3. Bila ρ=1, maka uji gagal

∑∞

=1nna

n

1nn a

alim +

∞→=ρ

Page 36: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 36

Uji Deret Positif

ContohUji kekonvergenan deret

Jawaban

Dengan uji rasio diperoleh

Karena ρ = 0 < 1 , maka konvergen.

∑=

n

1i

2

!nn

( )0

)1(

11lim

)1()1(lim!

!)1()1(lim

2

2

2

2

2

2

+

+=

++

=++

=∞→∞→∞→ n

nnn

nnn

nn

nnnρ

∑=

n

1i

2

!nn

Page 37: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 37

Uji Deret Positif

Uji Akar

Misal merupakan deret suku positif dan ,

maka berlaku

1. Bila r < 1, maka deret konvergen

2. Bila r > 1, maka deret divergen

3. Bila r = 1, maka uji gagal

∑∞

=1nna n

nn

alimr∞→

=

∑∞

=1nna

∑∞

=1nna

Page 38: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 38

Uji Deret Positif

Contoh Uji kekonvergenan deret

Jawaban

Dengan uji akar diperoleh

Karena , maka konvergen.

∑=

n

1in

n

e2

e2

e2limr nn

n

n==

∞→

∑=

n

1in

n

e2

1e2r <=

Page 39: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 39

Uji Deret Positif

Panduan Pemilihan uji deret

Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka

dapat dipilih uji banding atau uji banding limit

Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan

atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n

Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –

sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral

Page 40: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 40

Deret Ganti Tanda

DefinisiAdalah deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu

berbentuk . dengan an> 0 untuk

semua n dilakukan uji tersendiri.

Notasi deret ganti tanda adalah . atau .

Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila

a. (monoton tak naik)b.

∑=

+−n

1in

1n a)1( ∑=

−n

1in

n a)1(

n1n aa0 ≤≤ +

0alim nn

=∞→

...aaaa 4321 +−+−

Page 41: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 41

Deret Ganti Tanda

Contoh Tentukan kekonvergenan deret

Jawaban

ini merupakan deret ganti tanda dg

Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :

a. .

b. Nilai

( )( )∑

=

+

++

−1n

1n

1nn3n1

nn aa ≤+1

( )1nn3nan +

+=

0alim nn=

∞→

Page 42: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 42

Deret Ganti Tanda

a.

Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.

b.

Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.

( ) ( ) ( )13

214

++

≤++

+nnn

nnn

( )( )( ) 1

611

654

324

2

21 ≤

++=

+++

=++

+=+

nnnnn

nnnn

aa

n

n

1aan

1n ≤+

( ) 01nn3nlimalim

nn

n=

++

=∞→∞→

( ) ( )( ) 131

2141 ≤

++

+++

=+

nnn

nnn

aa

n

n

Page 43: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 43

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Deret dikatakan konvergen

mutlak, bila deret mutlak konvergen

(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).

bila divergen, maka juga divergen.

Kovergen bersyarat : konvergen tetapi

divergen.

Semua uji deret positif dpt digunakan utk uji deret mutlaknya

K+++=∑∞

=321

1nn aaaa

|a|aaa 3211n

n ++=∑∞

=

∑∞

=1nna

∑∞

=1nna∑

=1nna

∑∞

=1nna

Page 44: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 44

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Contoh 1Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji

banding, dimana deret pembandingnya adalah maka

diperoleh bahwa untuk semua nilai n.

Karena merupakan deret konvergen, maka

juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.

∑∞

=1n3nncos π

∑∞

=1n3nncos π

∑∞

=1n3n1

33 n1

nncos

≤π

∑∞

=1n3n1

∑∞

=1n3nncos π

∑∞

=1n3nncos π

Page 45: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 45

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Contoh 2Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah .

Dengan uji rasio diperoleh .

Karena ρ=0<1, maka konvergen.

Sehingga konvergen mutlak.

( )∑∞

=−

1n

nn

!n21

∑∞

=1n

n

!n2

( ) n

1n

n 2!n

!1n2lim+

=+

∞→ρ

∑∞

=1n

n

!n2

( )∑∞

=−

1n

nn

!n21

01n2lim

n=

+=

∞→

Page 46: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 46

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Contoh 3Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?

Jawaban

Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.

Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda

a. (monoton tak naik)

Diperoleh bahwa benar

b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.

Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .

( )∑∞

=−

1n

n

n11

∑∞

=1n n1

nn aa ≤+1

nn1

11

≤+

0n1limalim

nnn==

∞→∞→

( )∑∞

=−

1n

n

n11

Page 47: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 47

Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak

Misal deret dengan suku tak nol dan , tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :

• Bila r<1, maka konvergen mutlak

• Bila r>1, maka divergen

• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)

Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .

∑∞

=1nna

n

1n

n aa

limr +

∞→=

∑∞

=1nna

∑∞

=1nna

Page 48: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 48

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Contoh 1

Tentukan apakah konvergen mutlak atau

divergen?

JawabanDengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena , maka konvergen mutlak.

( )en1nlim 3

3

n

+=

∞→

( )∑∞

=−

1nn

3n

en1

( )3

n

1n

3

n ne

e1nlimr +∞→

+=

( )∑∞

=−

1nn

3n

en11

e1r <=

e1

=

Page 49: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 49

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?JawabanDengan uji rasio mutlak diperoleh :

Karena r > 1, maka divergen .

( )21nlim

n

+=

∞→

( )∑∞

=−

1nn

n

2!n1

( )!n2

2!1nlimrn

1nn +∞→

+=

( )∑∞

=−

1nn

n

2!n1

∞=

Page 50: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 50

Deret Pangkat

Bentuk umum :

Contoh deret pangkat

1.

2.

3.

KK +++++=∑∞

=

nn

2210

n

0nn xaxaxaaxa

( ) ( ) ( ) ( ) ...bxabxabxaabxa nn

2210

n

0nn +−++−+−+=−∑

=K

KK +++++=∑∞

=

n2

0n

n xxx1x

( )( ) K+−+−=−∑

= !6x

!4x

!2x1

!n2x1

642

0n

n2n

( ) ( )K+

−+

−+=

+−

∑∞

= 51x

41x

21

2n1x 2

0n

n

Page 51: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 51

Deret Pangkat

Interval Kekonvergenan

Yaitu Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret.

Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki

ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –

masing deret.

( )n0n

n bxa −∑∞

=

Page 52: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 52

Deret Pangkat

Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret • Deret konvergen hanya di x = 0• Deret konvergen mutlak di x ∈ R• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau

ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret 1. Deret konvergen hanya di x = b2. Deret konvergen mutlak di x ∈ R3. Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)

atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

n

0nn xa∑

=

( )n0n

n bxa −∑∞

=

Page 53: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 53

Deret Pangkat

Contoh 1

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Deret akan konvergen untuk semua nilai x atau x ∈R

01nx

limn

=+

=∞→

∑∞

=0n

n

!nx

( ) n

1n

n x!n

!1nxlimr+

=+

∞→

Page 54: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 54

Deret Pangkat

Contoh 2

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Bila x=0 maka r = 0, bila x≠0 maka r = ∞

Jadi deret konvergen untuk x = 0

1nxlimn

+=∞→

∑∞

=0n

nx!n

( )n

1n

n x!1n

!nxlimr +

=+

∞→

Page 55: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 55

Deret Pangkat

Contoh 3

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai r yang memenuhi adalah –3 < x < 3.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

2n1n

3xlim

n ++

=∞→

( )( )∑

= +−

0nn

nn

1n3x1

( )( )n

n

1n

1n

n x1n3

2n3xlimr +

+= +

+

∞→11.

3x

<=

Page 56: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 56

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = - 3 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = -3 → deretnya menjadi → Deret ini diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

• Saat x = 3 → deretnya menjadi → dengan uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

∑∞

= +0n 1n1

( )∑∞

= +−

0n

n

1n11

3x3 ≤<−

Page 57: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 57

Deret Pangkat

Contoh 4

Tentukan interval kekonvergenan deret

Jawaban

Pengujian dengan uji rasio mutlak :

Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6.

Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.

1n2nn5xlim 2

2

n ++−=

∞→

( )∑∞

=

1n2

n

n5x

( )( ) ( )n

2

2

1n

n 5xn

1n5xlimr

−+

−=

+

∞→15 <−= x

Page 58: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 58

Deret Pangkat

Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai

berikut :

• Saat x = 4 → deretnya menjadi → karena . konvergen maka deret ganti tandanya juga

konvergen. .

• Saat x = 6 → deretnya menjadi yang merupakan

deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret adalah

( )∑∞

=

−1n

2n

n11

∑∞

=0n2n1

∑∞

=1n2n1

6x4 ≤≤

Page 59: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 59

Operasi-operasi deret pangkat

1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,

pembagian, dan substitusi

2. Turunan deret :

3. Integral deret :

∑=

=

−∞

= 1n

1nn

0n

nnx xanxaD

Cx1n

adxxadxxa 1n

0n

nn

0n 0nn

nn +∑

+=∫ ∑ ∑ ∫= +

=

=

=

Page 60: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 60

Deret Pangkat

Deret geometri adalah contoh deret pangkat x denganan = 1 .

Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh

Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.

∑∞

=1n

nx

...xxx1x11 32 ++++=−

1x <

...uuu1u11 32 ++++=−

1u <

:Selang kekonvergenan

Page 61: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 61

Deret Pangkat

Contoh 1Nyatakan dalam deret pangkatJawaban

Dengan menggunakan deret geometri

x11+

( )x11

x11

−−=

+

( )x11

x11

−−=

+...xxx1 32 +−+−=

1xx <=−

1x <

Page 62: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 62

Deret Pangkat

Contoh 2Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Dengan menggunakan jawaban sebelumnya

x1x+

( )( ) ...xxxx...xxx1x

x1x

x1x 43232 +−+−=+−+−=

−−=

+

Selang kekonvergenan : | x | < 3

Page 63: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 63

Deret Pangkat

Contoh 3Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

Jadi

−+x1x1ln

( ) ( )x1lnx1lnx1x1ln −−+=

−+

( ) ( )∫ ∫ −−−−=++++−=−

−=− ...x31x

21xdx...xxx1dx

x11x1ln 3232

( ) ( )∫ ∫ −+−=+−+−=+

=+ ...x31x

21xdx...xxx1dx

x11x1ln 3232

( ) ( ) ...x52x

32x2x1lnx1ln

x1x1ln 53 +++=−−+=

−+

Page 64: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 64

Deret Pangkat

Contoh 4Nyatakan dalam deret pangkat

Jawaban

adalah turunan dari sehingga

( )2x11+

( )2x11+ x1

1+

( )( ) ...x4x3x21

dx...xxx1d

dxx11d

x11 32

32

2 +−+−=+−+−

−=

+−=+

Page 65: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 65

Deret Pangkat

Contoh 5Nyatakan dalam deret pangkat Taylor pusat x=2Jawaban

Dengan menggunakan deret geometri

Selang kekonvergenan:

x1

2)2(1

121

)2(211

−−

−=−−

−= xxx

+

+

+−= ...22

221

211 2xx

x

122<

−x

402|2|122

<<⇔<−⇔<− xxx

Page 66: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 66

Deret Taylor dan Maclaurin

Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,

dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di x = b sampai turunan ke-n, yaitu

( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−+−+= 33

2210 bxabxabxaaxf

( )( )

( )!

'1

0

nbfa

bfabfa

n

n =

=

=

M

Page 67: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 67

Deret Taylor dan Maclaurin

Atau f(x) bisa dituliskan sebagai

Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.

Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret Maclaurin

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn

bxnbfbxbfbxbfbxbfbfxf −+++−+−+−+=!!3!2

3'''

2''

' K

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn

3'''

2''

' x!n0fx

!30fx

!20fx0f0fxf +++++= K

Page 68: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 68

Deret Taylor dan Maclaurin

Contoh 1Perderetkan ke dalam deret MaclaurinJawaban

Sehingga

( ) ( ) 10fexf x =→=

( ) ( ) 10fexf 'x' =→=

( ) ( ) 10fexf ''x'' =→=

( ) ( ) 10fexf '''x''' =→=

M

( ) ( ) 10fexf nxn =→=

ℜ∈=++++= ∑∞

=x,

!nx

!3x

!2xx1e

0n

n32x K

( ) xexf =

Page 69: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 69

Deret Taylor dan Maclaurin

Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin

M

( )( ) ℜ∈

+−=+−+−= ∑

=

+

x,!1n2

x1!7x

!5x

!3xxxsin

0n

1n2n

753

K

( )( ) ℜ∈−=+−+−= ∑

=x,

!n2x1

!6x

!4x

!2x1xcos

0n

n2n

642

K

( ) ( ) 1x1,1n

x14x

3x

2xxx1ln

0n

1nn

432

≤<−+

−=+−+−=+ ∑∞

=

+

K

( ) 1x1,1n2

x17x

5x

3xxxtan

0n

1n2n

7531 ≤≤−

+−=+−+−= ∑

=

+− K

1x,xxxxx1x11

0n

n432 <=+++++=− ∑

=

K

Page 70: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 70

Deret Taylor dan Maclaurin

Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :

K+−+−=7x

5x

3xx

753

M xCos

xtan 1−

( )dxxSind

= K+−+−=!6x

!4x

!2x1

642

dxx112∫

+=

dx!7x

!5x

!3xxd

753

−+−

=

dxxxx1 642 K+−+−= ∫

Page 71: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 71

Soal Latihan

A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen

1. 2.

3. 4.

5. 6.

M

=

+ 1n2 1n2n

=

+ 1n2nsin

1n2n π

( ) ∞

=

+

1n2n1nln ∞

=

+

1n

nn2

21

{ }∞=−1n

n ncose∞

=

1n

2

!nn

Page 72: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 72

Soal Latihan

A (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

11. 12.

M

=

−−

1nn2

nn2

6ee2e

( )∞

=

1nn

n

=

1nn

n

2e

=

− 1n2nn

=

+

1n

n

n11

{ }∞=1nn n

Page 73: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 73

Soal Latihan

A (Lanjutan)

13. 14.

B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?

1. 2.

3. 4.

M

( )∞

=

+

+−

1n2

1n

1n11

=

1nn2

n

e100

∑∞

=1n nnln

∑∞

= +1n3 n5n3n

∑∞

= +1n 1nn1

∑∞

= −+

1n3 6n1n3

Page 74: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 74

Soal Latihan

B. (lanjutan)

5. 6.

7. 8.

9. 10.

M

∑∞

=1n

n

!n60

∑∞

=

+

1n

n

!nn25

∑∞

=1nn2enln

∑∞

=1nn e1

∑∞

=1n3nncos π

( )( )∑

= +1n

n2

!2n22!n

Page 75: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 75

Soal Latihan

B. (lanjutan)

11. 12.

13. 14.

15. 16.

M

∑∞

=1n

2

!nnsin5

( )∑∞

= +1n185n2

1

∑∞

= +1n5 2nn

( )∑∞

=

+

1nn4!n!4!4n

∑∞

=

1n3

1

nntan

( )∑∞

=

+

++−

1n

1n

2n31n1

Page 76: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 76

Soal Latihan

B. (lanjutan)

17. 18.

19. 20.

21. 22.

M

( )∑∞

=

−−1n

nn e1

( ) n

3

1n

1n

en1∑

=

+−

∑∞

=

+

1n5

2

n5ncos

∑∞

=

1n

n

31n

∑∞

= −1n2 nn31

∑∞

= −1n 3 2 nn61

Page 77: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 77

Soal Latihan

B. (lanjutan)

23. 24.

C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukankonvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

1. 3.

2. 4.

M

∑∞

=

−+

1n

n

1n22n3

∑∞

= +1n 5n1

( )∑∞

=

+−1n

1n

n311

( )∑∞

=

1n5

n

n4

( )n

1n

1n

1n32n1∑

=

+

−+

∑∞

= +1n2 1nncosn π

Page 78: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 78

Soal Latihan

D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut

1. 4.

2. 5.

3. 6.

M

( )∑∞

=

0n

nn

!nx1

( ) ( )∑∞

=

+ +−

1n

n1n

n1x1

( )∑∞

=

0nn

n

23x

( )∑∞

=

+

+−

0n

1nn

1nx2

∑∞

=2n

n

nlnx

n

0nn x2!n

∑∞

=

Page 79: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 79

Soal Latihan

D. (Lanjutan)

7. 8.

9. 10.

E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat

1. 2.

M

K+−+−4x

3x

2xx

432

K+−+−!6x

!4x

!2x1

642

( ) ( ) ( )K+

+−

+++−

!33x

!23x3x1

32

( ) ( ) ( )K+

−+

−+

−+

63x8

53x4

43x2

31 32

( ) xlnxf = ( ) x3exf =

Page 80: BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 80

Soal Latihan

E. (Lanjutan)

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

M

( ) xexxf =

( ) 2x411xf

−=

( ) 2xsinxf =

( ) x31exf −=

( )x11xf+

=

( ) ( )x1lnxxf +=

( )x31

xxf2

+=

( ) ( )x3lnxxf =