Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Barisan Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat – sifat barisan Barisan Monoton
Aug 31, 2014
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1
Barisan
Barisan Tak HinggaKekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisanBarisan Monoton
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 2
Barisan Tak Hingga
Barisan dg n suku, dinyatakan dalam bentuk : a1,a2,…,an.
a1 : suku ke–1,
a2 : suku ke–2
an : suku ke–n.
DefinisiSecara sederhana, barisan merupakan susunan daribilangan−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 3
Barisan Tak Hingga
{ }∞=1nna
Definisi
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 4
Barisan Tak Hingga
ContohBarisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Barisan
Bisa dituliskan dengan rumus
Penentuan an hanya bersifat coba –coba.
K,8,6,4,2{ }∞=1nn2
K,64,
53,
42,
31
∞
=
+ 1nn2n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 5
Kekonvergenan barisan tak hingga
DefinisiSuatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
atau
Lalim nn=
∞→
εε <−≥∋>∃>∀ La,Nn0N0 n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 6
Kekonvergenan barisan tak hingga
Contoh 1Periksa kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena
maka divergen
∞
=
+ 1n
2
1nn
∞=+∞→ 1nnlim2
n
∞
=
+ 1n
2
1nn
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 7
Kekonvergenan barisan tak hingga
Contoh 2Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
Misal ,bila maka
untuk x ∈ R.
∞
=
1nn
2
en
∞∞
→∞→ n
2
n enlim
( )nfan = ( ) Lxflimx
=∞→
( ) Lnflimn
=∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 8
Kekonvergenan barisan tak hingga
Jawaban (lanjutan)
Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka
Berdasarkan teorema maka .
Karena nilai limitnya menuju 0, maka
Konvergen menuju 0.
xx ex2lim
∞→=
( )x
2
exxf =
x
2
x exlim
∞→
0enlimn
2
n=
∞→
∞
=
1nn
2
en
0e2lim xx==
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 9
Kekonvergenan barisan tak hingga
Contoh 3Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut
Jawaban
Dg menggunakan prinsip apit
Sehingga
Jadi barisan diatas konvergen ke 0
∞
=
1n
ncosn1 π
0coslim =∞→ x
xx
π
0coslim =∞→ n
nn
π
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 10
Sifat – sifat barisan
Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka
1.
2.
3.
4.
5.
kklimn
=∞→
nnnnalimkaklim
∞→∞→=
( ) nnnnnnnblimalimbalim
∞→∞→∞→±=±
( ) nnnnnnnblimalimbalim
∞→∞→∞→=
0blim,blimalim
balim nn
nn
nn
n
n
n≠=
∞→
∞→
∞→
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 11
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila
2. Monoton turun bila
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
1nn aa +<
1nn aa +>
1nn aa +≤
1nn aa +≥
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 12
Deret Tak Hingga
Definisi
Deret tak hingga merupakan jumlahan dari : a1+a2+…+an . Notasi deret tak hingga : .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :
Dan
{ }∞=1nna
∑∞
=1n na
nn
Slim∞→
11 aS =
3213 aaaS ++=M
n321n a...aaaS ++++=
212 aaS +=
{ } ....,S...,,S,SS k211nn =∞=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 13
Deret Tak Hingga
Contoh Selidiki apakah deret konvergen ?
Jawaban
Karena , maka konvergen menuju
1.
Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus
dan bersifat coba – coba.
+−∑
∞
=1k1
k1
1k
1nn
1n11Sn +
=+
−=
11nnlimSlim
nnn=
+=
∞→∞→ 1k1
k1
1k +−∑
∞
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 14
Deret Suku Positif
Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p
Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
∑∞
=1nna
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 15
Deret Suku PositifDeret geometriBentuk umum :
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r ≠ 1.
Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.
1n321kn
1kra...rararaara −−
=+++++=∑
1n32n ra...rararaaS −+++++=
n1n32n rara...rararaSr +++++= −
nnn raaSrS −=−
( )r1r1aSn
n −−
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 16
Deret Suku Positif
Deret geometri (lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri :
1.Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , deret divergen
2.Bila | r |<1, maka , deret konvergen ke
3.Bila | r | >1, maka , deret divergen
∞=∞→nalim
n0rlim n
n=
∞→ r1a−
∞=∞→
nn
rlim
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 17
Deret Suku Positif
Deret harmonisBentuk umum :
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu
∑∞
=1n n1
n1....
81
71
61
51
41
31
211Sn +++++++++=
.....161....
91
81
71
61
51
41
31
211 +
+++
++++
+++=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 18
Deret Suku PositifDeret harmonis (lanjutan)
Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen.
21....
21
21
21
21
21
21
211 +++++++++=
....161....
161
81
81
81
81
41
41
211S n2 +
+++
++++
+++>
∞=+∞→ 2
n1limn
2n1+=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 19
Kedivergenan Deret Tak Hingga
Bila deret konvergen, maka .
kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila ,maka deret akan divergen.
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
∑∞
=1nna 0alim nn
=∞→
0alim nn≠
∞→∑∞
=1nna
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 20
Kedivergenan Deret Tak Hingga
ContohPeriksa apakah konvergen ?
Jawaban
Jadi divergen n121lim
n +=
∞→
∑∞
= +1 12n nn
1n2nlimalim
nn
n +=
∞→∞→
∑+
∞
=1n 1n2n
021≠=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 21
Uji Deret Positif
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 22
Uji Deret Positif
Uji integralMisal merupakan deret suku positif dan monoton turun, ,
maka integral tak wajar dari f(x) adalah:
Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak
ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret
konvergen.
∑∞
=1nna
( ) ( ) dxxflimdxxfb
1b1∫∫
∞→
∞=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 23
Uji Deret Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret–pBentuk umum :
Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau
divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
Misal maka .
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1
sampai ∞.
∑∞
=1npn1
( ) pn n1nfa == ( ) px
1xf =
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 24
Uji Deret Positif
Deret–p (lanjutan)Integral tak wajar dari f(x) adalah
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen.
dxx1lim
b
1pb
∫∞→
=dxx1
1p∫
∞ b
1
p1
b p1xlim
−=
−
∞→ p11
p1blim
p1
b −−
−=
−
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 25
Uji Deret Positif
Deret–p (lanjutan)Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :
1. Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
2. Bila 0≤ p<1, maka ,sehingga deret divergen
3. Bila p>1, maka ,
sehingga deret konvergen.( ) 1pb b1p
11p1lim −∞→ −
−−
=
∞=−
−−
−
∞→ p11
p1blim
p1
b
p11
p1blim
p1
b −−
−
−
∞→ 1p1−
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 26
Uji Deret Positif
Contoh 2Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :
Misal , maka
Perhitungan integral tak wajar :
dxxlnx
1limb
2b ∫∞→
=
∑∞
=2n nlnn1
( )nlnn1nfan ==
xlnx1)x(f =
dxxlnx
1
2∫∞
( )] ∞==∞→
b2b
xlnlnlim
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 27
Uji Deret Positif
Contoh 2 (lanjutan)
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen.
∑∞
=2n nlnn1
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 28
Uji Deret Positif
Uji BandingBila untuk ∀n ≥ N, berlaku bn ≥ an maka
a. Bila konvergen, maka juga konvergen
b. Bila divergen, maka juga divergen
.
∑∞
=1nnb ∑
∞
=1nna
∑∞
=1nna ∑
∞
=1nnb
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 29
Uji Deret Positif
Contoh 1Uji kekonvergenan
Jawaban
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.
Dapat dipilh sebagai deret pembanding.
Karena dan merupakan deret
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
∑∞
= +1n 2n1
∑∞
=1n n31
∑∞
=1n n31
n31
2n1
≥+
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 30
Uji Deret Positif
Contoh 2Uji kekonvergenan
Jawaban
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding ,
dimana . Karena merupakan deret
konvergen, maka juga konvergen.
∑∞
= +1n2 5n3
∑∞
=1n2n3
22 n3
5n3
≤+
∑∞
=1n2n3
∑∞
= +1n2 5n3
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 31
Uji Deret Positif
Contoh 3
Uji kekonvergenan
Jawaban
Karena untuk , maka deret pembanding yang
digunakan adalah .Karena dan
merupakan deret konvergen, maka juga konvergen
∑∞
=
−
1n2
1
nntan
2ntan,n 1 π<∞→ −
∑∞
=1n22
n
π
22
2
1
nnntan π≤
−
∑∞
=1n22
n
π
∑∞
=
−
1n2
1
nntan
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 32
Uji Deret Positif
Uji Banding LimitMisal dan , merupakan deret suku positif dan
, berlaku
1.Bila 0<L < ∞ , maka kedua deret bersama-sama konv/divergen
2.Bila L = 0, dan adalah deret konvergen, maka .
juga konvergen
3.Bila L = ∞ dan adalah deret divergen maka .
juga divergen
∑∞
=1nna ∑
∞
=1nnb
n
nn b
alimL∞→
=
∑∞
=1nnb ∑
∞
=1nna
∑∞
=1nnb ∑
∞
=1nna
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 33
Uji Deret Positif
Contoh 1Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan diketahui
sebagai deret divergen ( sebagai ).
Karena . dan deret pembandingnya
divergen, maka . juga divergen.
∑∞
= ++1n23
2
3nn5n
∑∞
=1
1n n
∑∞
=1nnb
51
35lim 23
3
=++
=∞→ nn
nLn
∑∞
= ++1n23
2
3nn5n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 34
Uji Deret Positif
Contoh 2Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Deret pembanding yang digunakan adalah dan
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
Karena . dan deret
pembandingnya divergen, maka kedua deret bersama-sama
divergen .
∑∞
= +1i 2 5n1
∑∑∞
=
∞
==
1n1n 2 n1
n1
1/111lim
1lim
5lim 22
2
2
2
=+
=+
=+
=∞→∞→∞→ nn
nn
nL
nnn
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 35
Uji Deret Positif
Uji Rasio
Misal merupakan deret suku positif dan
maka berlaku
1. Bila ρ<1, maka deret konvergen
2. Bila ρ>1, maka deret divergen
3. Bila ρ=1, maka uji gagal
∑∞
=1nna
n
1nn a
alim +
∞→=ρ
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 36
Uji Deret Positif
ContohUji kekonvergenan deret
Jawaban
Dengan uji rasio diperoleh
Karena ρ = 0 < 1 , maka konvergen.
∑=
n
1i
2
!nn
( )0
)1(
11lim
)1()1(lim!
!)1()1(lim
2
2
2
2
2
2
+
+=
++
=++
=∞→∞→∞→ n
nnn
nnn
nn
nnnρ
∑=
n
1i
2
!nn
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 37
Uji Deret Positif
Uji Akar
Misal merupakan deret suku positif dan ,
maka berlaku
1. Bila r < 1, maka deret konvergen
2. Bila r > 1, maka deret divergen
3. Bila r = 1, maka uji gagal
∑∞
=1nna n
nn
alimr∞→
=
∑∞
=1nna
∑∞
=1nna
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 38
Uji Deret Positif
Contoh Uji kekonvergenan deret
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
Karena , maka konvergen.
∑=
n
1in
n
e2
e2
e2limr nn
n
n==
∞→
∑=
n
1in
n
e2
1e2r <=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 39
Uji Deret Positif
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka
dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n
Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 40
Deret Ganti Tanda
DefinisiAdalah deret yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu
berbentuk . dengan an> 0 untuk
semua n dilakukan uji tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah . atau .
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a. (monoton tak naik)b.
∑=
+−n
1in
1n a)1( ∑=
−n
1in
n a)1(
n1n aa0 ≤≤ +
0alim nn
=∞→
...aaaa 4321 +−+−
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 41
Deret Ganti Tanda
Contoh Tentukan kekonvergenan deret
Jawaban
ini merupakan deret ganti tanda dg
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
a. .
b. Nilai
( )( )∑
∞
=
+
++
−1n
1n
1nn3n1
nn aa ≤+1
( )1nn3nan +
+=
0alim nn=
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 42
Deret Ganti Tanda
a.
Karena jadi {an} adalah monoton tak naik.
b.
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
( ) ( ) ( )13
214
++
≤++
+nnn
nnn
( )( )( ) 1
611
654
324
2
21 ≤
++=
+++
=++
+=+
nnnnn
nnnn
aa
n
n
1aan
1n ≤+
( ) 01nn3nlimalim
nn
n=
++
=∞→∞→
( ) ( )( ) 131
2141 ≤
++
+++
=+
nnn
nnn
aa
n
n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 43
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Deret dikatakan konvergen
mutlak, bila deret mutlak konvergen
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).
bila divergen, maka juga divergen.
Kovergen bersyarat : konvergen tetapi
divergen.
Semua uji deret positif dpt digunakan utk uji deret mutlaknya
K+++=∑∞
=321
1nn aaaa
|a|aaa 3211n
n ++=∑∞
=
∑∞
=1nna
∑∞
=1nna∑
∞
=1nna
∑∞
=1nna
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 44
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Contoh 1Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah . Dengan menggunakan uji
banding, dimana deret pembandingnya adalah maka
diperoleh bahwa untuk semua nilai n.
Karena merupakan deret konvergen, maka
juga konvergen. Sehingga konvergen mutlak.
∑∞
=1n3nncos π
∑∞
=1n3nncos π
∑∞
=1n3n1
33 n1
nncos
≤π
∑∞
=1n3n1
∑∞
=1n3nncos π
∑∞
=1n3nncos π
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 45
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Contoh 2Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah .
Dengan uji rasio diperoleh .
Karena ρ=0<1, maka konvergen.
Sehingga konvergen mutlak.
( )∑∞
=−
1n
nn
!n21
∑∞
=1n
n
!n2
( ) n
1n
n 2!n
!1n2lim+
=+
∞→ρ
∑∞
=1n
n
!n2
( )∑∞
=−
1n
nn
!n21
01n2lim
n=
+=
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 46
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Contoh 3Tentukan apakah konvergen mutlak atau bersyarat ?
Jawaban
Deret mutlaknya adalah yang merupakan deret divergen.
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
a. (monoton tak naik)
Diperoleh bahwa benar
b. Jadi deret ganti tandanya konvergen.
Karena deret ganti tandanya konvergen sedangkan deret mutlaknya divergen maka konvergen bersyarat .
( )∑∞
=−
1n
n
n11
∑∞
=1n n1
nn aa ≤+1
nn1
11
≤+
0n1limalim
nnn==
∞→∞→
( )∑∞
=−
1n
n
n11
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 47
Uji rasio untuk kekonvergenan mutlak
Misal deret dengan suku tak nol dan , tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
• Bila r<1, maka konvergen mutlak
• Bila r>1, maka divergen
• Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
∑∞
=1nna
n
1n
n aa
limr +
∞→=
∑∞
=1nna
∑∞
=1nna
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 48
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Contoh 1
Tentukan apakah konvergen mutlak atau
divergen?
JawabanDengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena , maka konvergen mutlak.
( )en1nlim 3
3
n
+=
∞→
( )∑∞
=−
1nn
3n
en1
( )3
n
1n
3
n ne
e1nlimr +∞→
+=
( )∑∞
=−
1nn
3n
en11
e1r <=
e1
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 49
Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat
Contoh 2 Tentukan apakah konvergen mutlak atau divergen?JawabanDengan uji rasio mutlak diperoleh :
Karena r > 1, maka divergen .
( )21nlim
n
+=
∞→
( )∑∞
=−
1nn
n
2!n1
( )!n2
2!1nlimrn
1nn +∞→
+=
( )∑∞
=−
1nn
n
2!n1
∞=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 50
Deret Pangkat
Bentuk umum :
Contoh deret pangkat
1.
2.
3.
KK +++++=∑∞
=
nn
2210
n
0nn xaxaxaaxa
( ) ( ) ( ) ( ) ...bxabxabxaabxa nn
2210
n
0nn +−++−+−+=−∑
∞
=K
KK +++++=∑∞
=
n2
0n
n xxx1x
( )( ) K+−+−=−∑
∞
= !6x
!4x
!2x1
!n2x1
642
0n
n2n
( ) ( )K+
−+
−+=
+−
∑∞
= 51x
41x
21
2n1x 2
0n
n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 51
Deret Pangkat
Interval Kekonvergenan
Yaitu Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret.
Bentuk interval kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –
masing deret.
( )n0n
n bxa −∑∞
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 52
Deret Pangkat
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :
Selang konvergensi untuk deret • Deret konvergen hanya di x = 0• Deret konvergen mutlak di x ∈ R• Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau
ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Selang konvergensi untuk deret 1. Deret konvergen hanya di x = b2. Deret konvergen mutlak di x ∈ R3. Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)
atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
n
0nn xa∑
∞
=
( )n0n
n bxa −∑∞
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 53
Deret Pangkat
Contoh 1
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Deret akan konvergen untuk semua nilai x atau x ∈R
01nx
limn
=+
=∞→
∑∞
=0n
n
!nx
( ) n
1n
n x!n
!1nxlimr+
=+
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 54
Deret Pangkat
Contoh 2
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Bila x=0 maka r = 0, bila x≠0 maka r = ∞
Jadi deret konvergen untuk x = 0
1nxlimn
+=∞→
∑∞
=0n
nx!n
( )n
1n
n x!1n
!nxlimr +
=+
∞→
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 55
Deret Pangkat
Contoh 3
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai r yang memenuhi adalah –3 < x < 3.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.
2n1n
3xlim
n ++
=∞→
( )( )∑
∞
= +−
0nn
nn
1n3x1
( )( )n
n
1n
1n
n x1n3
2n3xlimr +
+= +
+
∞→11.
3x
<=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 56
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = - 3 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = -3 → deretnya menjadi → Deret ini diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .
• Saat x = 3 → deretnya menjadi → dengan uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
∑∞
= +0n 1n1
( )∑∞
= +−
0n
n
1n11
3x3 ≤<−
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 57
Deret Pangkat
Contoh 4
Tentukan interval kekonvergenan deret
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi adalah 4 < x < 6.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara terpisah.
1n2nn5xlim 2
2
n ++−=
∞→
( )∑∞
=
−
1n2
n
n5x
( )( ) ( )n
2
2
1n
n 5xn
1n5xlimr
−+
−=
+
∞→15 <−= x
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 58
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai
berikut :
• Saat x = 4 → deretnya menjadi → karena . konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen. .
• Saat x = 6 → deretnya menjadi yang merupakan
deret-p yang diketahui konvergen.
Jadi interval kekonvergenan deret adalah
( )∑∞
=
−1n
2n
n11
∑∞
=0n2n1
∑∞
=1n2n1
6x4 ≤≤
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 59
Operasi-operasi deret pangkat
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
3. Integral deret :
∑=
∑
∞
=
−∞
= 1n
1nn
0n
nnx xanxaD
Cx1n
adxxadxxa 1n
0n
nn
0n 0nn
nn +∑
+=∫ ∑ ∑ ∫= +
∞
=
∞
=
∞
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 60
Deret Pangkat
Deret geometri adalah contoh deret pangkat x denganan = 1 .
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri, maka diperoleh
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi yang memuat x.
∑∞
=1n
nx
...xxx1x11 32 ++++=−
1x <
...uuu1u11 32 ++++=−
1u <
:Selang kekonvergenan
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 61
Deret Pangkat
Contoh 1Nyatakan dalam deret pangkatJawaban
Dengan menggunakan deret geometri
x11+
( )x11
x11
−−=
+
( )x11
x11
−−=
+...xxx1 32 +−+−=
1xx <=−
1x <
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 62
Deret Pangkat
Contoh 2Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya
x1x+
( )( ) ...xxxx...xxx1x
x1x
x1x 43232 +−+−=+−+−=
−−=
+
Selang kekonvergenan : | x | < 3
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 63
Deret Pangkat
Contoh 3Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
Jadi
−+x1x1ln
( ) ( )x1lnx1lnx1x1ln −−+=
−+
( ) ( )∫ ∫ −−−−=++++−=−
−=− ...x31x
21xdx...xxx1dx
x11x1ln 3232
( ) ( )∫ ∫ −+−=+−+−=+
=+ ...x31x
21xdx...xxx1dx
x11x1ln 3232
( ) ( ) ...x52x
32x2x1lnx1ln
x1x1ln 53 +++=−−+=
−+
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 64
Deret Pangkat
Contoh 4Nyatakan dalam deret pangkat
Jawaban
adalah turunan dari sehingga
( )2x11+
( )2x11+ x1
1+
−
( )( ) ...x4x3x21
dx...xxx1d
dxx11d
x11 32
32
2 +−+−=+−+−
−=
+−=+
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 65
Deret Pangkat
Contoh 5Nyatakan dalam deret pangkat Taylor pusat x=2Jawaban
Dengan menggunakan deret geometri
Selang kekonvergenan:
x1
2)2(1
121
)2(211
−−
−=−−
−= xxx
+
−
+
−
+−= ...22
221
211 2xx
x
122<
−x
402|2|122
<<⇔<−⇔<− xxx
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 66
Deret Taylor dan Maclaurin
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,… diperoleh dari penurunan f(x) di x = b sampai turunan ke-n, yaitu
( ) ( ) ( ) ( ) K+−+−+−+= 33
2210 bxabxabxaaxf
( )( )
( )!
'1
0
nbfa
bfabfa
n
n =
=
=
M
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 67
Deret Taylor dan Maclaurin
Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret Maclaurin
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn
bxnbfbxbfbxbfbxbfbfxf −+++−+−+−+=!!3!2
3'''
2''
' K
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn
3'''
2''
' x!n0fx
!30fx
!20fx0f0fxf +++++= K
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 68
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 1Perderetkan ke dalam deret MaclaurinJawaban
Sehingga
( ) ( ) 10fexf x =→=
( ) ( ) 10fexf 'x' =→=
( ) ( ) 10fexf ''x'' =→=
( ) ( ) 10fexf '''x''' =→=
M
( ) ( ) 10fexf nxn =→=
ℜ∈=++++= ∑∞
=x,
!nx
!3x
!2xx1e
0n
n32x K
( ) xexf =
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 69
Deret Taylor dan Maclaurin
Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam deret Maclaurin
M
( )( ) ℜ∈
+−=+−+−= ∑
∞
=
+
x,!1n2
x1!7x
!5x
!3xxxsin
0n
1n2n
753
K
( )( ) ℜ∈−=+−+−= ∑
∞
=x,
!n2x1
!6x
!4x
!2x1xcos
0n
n2n
642
K
( ) ( ) 1x1,1n
x14x
3x
2xxx1ln
0n
1nn
432
≤<−+
−=+−+−=+ ∑∞
=
+
K
( ) 1x1,1n2
x17x
5x
3xxxtan
0n
1n2n
7531 ≤≤−
+−=+−+−= ∑
∞
=
+− K
1x,xxxxx1x11
0n
n432 <=+++++=− ∑
∞
=
K
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 70
Deret Taylor dan Maclaurin
Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat seperti pada bagian sebelumnya, misal :
K+−+−=7x
5x
3xx
753
M xCos
xtan 1−
( )dxxSind
= K+−+−=!6x
!4x
!2x1
642
dxx112∫
+=
dx!7x
!5x
!3xxd
753
−+−
=
dxxxx1 642 K+−+−= ∫
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 71
Soal Latihan
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1. 2.
3. 4.
5. 6.
M
∞
=
+ 1n2 1n2n
∞
=
+ 1n2nsin
1n2n π
( ) ∞
=
+
1n2n1nln ∞
=
+
1n
nn2
21
{ }∞=−1n
n ncose∞
=
1n
2
!nn
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 72
Soal Latihan
A (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
11. 12.
M
∞
=
−−
1nn2
nn2
6ee2e
( )∞
=
−
1nn
n
4π
∞
=
1nn
n
2e
∞
=
− 1n2nn
∞
=
+
1n
n
n11
{ }∞=1nn n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 73
Soal Latihan
A (Lanjutan)
13. 14.
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
1. 2.
3. 4.
M
( )∞
=
+
+−
1n2
1n
1n11
∞
=
1nn2
n
e100
∑∞
=1n nnln
∑∞
= +1n3 n5n3n
∑∞
= +1n 1nn1
∑∞
= −+
1n3 6n1n3
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 74
Soal Latihan
B. (lanjutan)
5. 6.
7. 8.
9. 10.
M
∑∞
=1n
n
!n60
∑∞
=
+
1n
n
!nn25
∑∞
=1nn2enln
∑∞
=1nn e1
∑∞
=1n3nncos π
( )( )∑
∞
= +1n
n2
!2n22!n
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 75
Soal Latihan
B. (lanjutan)
11. 12.
13. 14.
15. 16.
M
∑∞
=1n
2
!nnsin5
( )∑∞
= +1n185n2
1
∑∞
= +1n5 2nn
( )∑∞
=
+
1nn4!n!4!4n
∑∞
=
−
1n3
1
nntan
( )∑∞
=
+
++−
1n
1n
2n31n1
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 76
Soal Latihan
B. (lanjutan)
17. 18.
19. 20.
21. 22.
M
( )∑∞
=
−−1n
nn e1
( ) n
3
1n
1n
en1∑
∞
=
+−
∑∞
=
+
1n5
2
n5ncos
∑∞
=
1n
n
31n
∑∞
= −1n2 nn31
∑∞
= −1n 3 2 nn61
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 77
Soal Latihan
B. (lanjutan)
23. 24.
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukankonvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen
1. 3.
2. 4.
M
∑∞
=
−+
1n
n
1n22n3
∑∞
= +1n 5n1
( )∑∞
=
+−1n
1n
n311
( )∑∞
=
−
1n5
n
n4
( )n
1n
1n
1n32n1∑
∞
=
+
−+
−
∑∞
= +1n2 1nncosn π
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 78
Soal Latihan
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1. 4.
2. 5.
3. 6.
M
( )∑∞
=
−
0n
nn
!nx1
( ) ( )∑∞
=
+ +−
1n
n1n
n1x1
( )∑∞
=
−
0nn
n
23x
( )∑∞
=
+
+−
0n
1nn
1nx2
∑∞
=2n
n
nlnx
n
0nn x2!n
∑∞
=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 79
Soal Latihan
D. (Lanjutan)
7. 8.
9. 10.
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1. 2.
M
K+−+−4x
3x
2xx
432
K+−+−!6x
!4x
!2x1
642
( ) ( ) ( )K+
+−
+++−
!33x
!23x3x1
32
( ) ( ) ( )K+
−+
−+
−+
63x8
53x4
43x2
31 32
( ) xlnxf = ( ) x3exf =
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 80
Soal Latihan
E. (Lanjutan)
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
M
( ) xexxf =
( ) 2x411xf
−=
( ) 2xsinxf =
( ) x31exf −=
( )x11xf+
=
( ) ( )x1lnxxf +=
( )x31
xxf2
+=
( ) ( )x3lnxxf =